Pages publiées depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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"En mathématiques, on dit que deux suites de nombres sont proportionnelles quand, en multipliant (ou en divisant) par une même constante non nulle, les termes de l'une on obtient les termes de l'autre. Le facteur constant entre l'une et l'autre de ces suites est appelé coefficient de proportionnalité. Ces suites de nombres étant par exemple des grandeurs mesurées." Extrait de l'article intitulé "Proportionnalité" d'après Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne.
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"Un algorithme est la description d'une suite finie et non ambiguë d'instructions et d’opérations permettant d'obtenir un résultat à partir d'éléments fournis"
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"En mathématiques élémentaires, la règle de trois ou règle de proportionnalité ou produit en croix est une méthode mathématique permettant de déterminer une quatrième proportionnelle. Plus précisément, trois nombres a, b et c étant donnés, la règle de trois permet, à partir de l'égalité des produits en croix, de trouver le nombre d tel que (a, b) soit proportionnel à (c, d). Ce nombre d vaut : d=(b × c) / a. Elle tire son nom de la présence d'une opération qui implique trois nombres (a, b et c)."⁂
I) L'ALGORITHME DU TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ DE LA RÈGLE DE TROIS:
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Avant de montrer dans le deuxième titre de ce premier chapitre comment la fonction caractéristique est pragmatiquement un outil de manipulation de données disposées en tableau et dont la combinaison linéaire en fonction simple donne l'expression de la détermination de la quatrième proportionnelle, ce premier titre répondant à la question de "comment la mise en forme fondamentale matricielle correspondante à un tableau de proportionnalité est un algorithme de la "règle de trois" simple et composée?", j'écris donc en premier cet algorithme (une suite finie et non ambiguë d'instructions et d’opérations permettant de résoudre une classe de problèmes) mathématique du choix de la "règle de trois" simple directe ou inverse dans un tableau de proportionnalité unique selon des règles de disposition des données et des règles indiquant la règle de trois correspondante qu'il faut choisir parmi les deux possibles, soit la règle de trois directe, ou inverse; j'écris ensuite la "règle de trois" composée directe et inverse dans plusieurs tableaux juxtaposés de proportionnalité toujours selon des règles de disposition des données et d'indications de la règle de trois correspondantes qu'il faut choisir autant de fois qu'il y a de règle de trois qui sont composées parmi les deux "règles de trois" possibles, soit la règle de trois directe, ou la règle de trois inverse.
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1.1) Le tableau de proportionnalité et la règle de trois:
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La proportionnalité est une notion qui s'applique à des grandeurs reliées entre elles par un même nombre. Si en multipliant par un même nombre les valeurs prises par une grandeur, on obtient les valeurs prises par l'autre grandeur, alors on dit que ces grandeurs sont proportionnelles. Si deux grandeurs sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel les valeurs prises par la première grandeur doivent être multipliées pour obtenir celles prises par la deuxième.
Un tableau de proportionnalité est un tableau qui contient les valeurs prises par deux grandeurs proportionnelles. Pour calculer une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité, il faut commencer par chercher le coefficient de proportionnalité. Puis, il faut multiplier ou diviser la valeur correspondante par ce coefficient de proportionnalité.
En mathématiques, la règle de trois ou règle de proportionnalité ou produit en croix est une méthode mathématique permettant de déterminer une quatrième proportionnelle. Une quatrième proportionnelle est une inconnue x dans un tableau de proportionnalité. Plus précisément, trois nombres a, b et c étant donnés, la règle de trois directe ou inverse permet, de trouver le nombre d tel que (a, b) soit proportionnel à (c, x). Ce nombre x vaut soit : x = b /a × c si la règle de trois directe s'applique; soit x = b × a/c si la règle de trois inverse s'applique. La règle de trois tire son nom de la présence d'une opération qui implique trois nombres (a, b et c). La mise en place d'une règle de trois nécessite une rédaction rigoureuse pour placer ces trois nombres dans la fraction finale. Cette rédaction peut être avantageusement remplacée par un tableau de proportionnalité. Un tableau à plusieurs colonnes et deux lignes est un tableau de proportionnalité si on multiplie toujours par le même nombre pour passer de la première ligne à la deuxième. L'utilisation d'une règle de trois suppose que soit établie l'existence d'une proportionnalité entre les quantités en présence.
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1.2) Le tableau de proportionnalité et la règle de trois simple et directe:
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Cette disposition restera inchangée pour toute mise en forme d'énoncé de problème à résoudre en utilisant la règle de trois simple et directe, soit la première colonne est composée des quantités d'objets identiques, donc ici dans notre premier exemple, les heures de travail, et l'intersection de la dernière ligne et de notre première colonne sera toujours remplie par notre valeur recherchée, la quatrième de proportion soit la variable x à laquelle correspondant la quantité d'objets identiques à l'objet de la quantité écrite à l'intersection de la ligne du dessus et toujours de cette même première colonne; à sa droite, la deuxième colonne suivante comprend dans la ligne du dessus la quantité d'objet différent de l'objet de la première colonne et correspondant à la relation a R b; tandis qu'à l'intersection de la deuxième ligne et deuxième colonne sera écrit la quantité de l'objet identique à celui de l'intersection de la même colonne et de la ligne du dessus, la valeur c correspondant à la relation x R c ; nous avons donc soit a=7, b=5 et c= 8 avec a>b<c, soit deux formules d'inégalités reliant deux expressions numériques avec deux symboles de comparaison opposés qui détermine le premier type de règle de trois directe (définie par si une grandeur augmente, l'autre augmente aussi, dans la même proportion) utilisée et dont la formule de proportion correspondante à ce premier type de règle de trois est toujours définie comme suit: a/b=x/c ↔ x=c × a/b. Le nombre manquant est x = 11 h 12 min.
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1.3) Le tableau de proportionnalité et la règle de trois simple et inverse:
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Considérons maintenant l'énoncé du nouveau problème suivant pour illustrer encore notre procédé algorithmique appliqué comme précédemment au premier type de règle de trois simple et inverse: "En combien de temps 14 ouvriers (c) construiront un certain mur que 30 ouvriers (b) ont pu élever en 56 jours (a)?" auquel correspond la mise en forme de tableau comme suit:
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1.4) Les tableaux de proportionnalité juxtaposés et la règle de trois composée double:
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Une extension de la règle de trois simple est la règle de trois composée double, qui consiste à trouver une valeur inconnue lorsque cinq autres valeurs sont connues au lieu de trois. Elle est appliquée à la résolution des problèmes de proportion par deux « règles de trois » enchaînées, soit deux règles identiques simples directes ou deux règles de trois simples inverses, soit deux règles de trois différentes, une règle de trois simple directe, et une règle de trois simple et inverse.
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a/((c'/b')/c/b))=100/(10/6)/(20/8))=100/(1.666666667/2.5)=150.
a*((c'/b')/(b/c))=294*(30/7)/(15/10))=294*(4.285714286/1.5)=840.
Donc il nous faudrait maintenant déterminer quelle est l'indication signalant l'utilisation de l'opérateur de multiplication ou de division dans la formule de calcul de cet autre algorithme, mais nous constatons qu'il n'y en a pas comme le confirme les illustrations suivantes ci-dessous de cet autre algorithme appliqué aux deux problèmes restants illustrés précédemment par notre nouvel algorithme de mise en forme en tableau et dont la formule de calcul de cet autre algorithme pour le premier des deux problèmes restants illustrés ci-dessous est la suivante:
a/((b'/c')/b/c))=4/(100/50)/(6/4))=100/(2/1.5)=3. Comme précédemment pour le choix de l'opérateur de la multiplication dans ce nouvel exemple nous n'avons aucune indication que nous pourrions énoncer dans une règle déterminant notre choix de l'opérateur après la valeur a.
a/((b'/c')/c/b))=10/(5/2)/(3/2))=10/(2.5/1.5)=6.Comme précédemment pour le choix de l'opérateur de la division dans ce nouvel exemple nous n'avons aucune indication que nous pourrions énoncer dans une règle déterminant notre choix de l'opérateur après la valeur a.
- si a>b<c, alors a/b=x/c; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois directe.
- si a>b'<c', alors a/b'=x'/c'; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois directe.
- si a>b>c, alors a*b=x*c; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse.
- si a>b'>c', alors a*b'=x'*c'; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse
- si a>=b>c, alors a*b=x*c; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse.
- si a>=b'>c', alors a*b'=x'*c'; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse.
- si a<b<c, alors a*b=x*c; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse
- si a<b'<c', alors a*b'=x'*c'; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse.
- si a<b>c, alors a*b=x*c; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse.
- si a<b'>c', alors a*b'=x'*c'; nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse.
Ces règles du nouvel algorithme par mise en forme en tableau de proportionnalité de la règle de trois simple et composée doivent aussi s'appliquer à toute règle de trois composée quelque soit le nombre de règles de trois successives appliquées ce que nous allons maintenant montrer dans les sous-titres suivants de la règle de trois composée triple puis de la règle de trois composée quadruple.
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1.5) Les tableaux de proportionnalité juxtaposés et la règle de trois composée triple:
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Une extension de la règle de trois double est la règle de trois composée triple, qui consiste à trouver une valeur inconnue lorsque sept autres valeurs sont connues au lieu de cinq. Elle est appliquée à la résolution des problèmes de proportion par trois « règles de trois » enchaînées, soit trois règles identiques simples directes ou trois règles de trois simples inverses, soit deux règles de trois identiques: deux règles de trois simples directes, et une règle de trois simple et inverse; deux règles de trois simples et inverses, et une règle de trois simple et directe.
Considérons maintenant l'énoncé du problème suivant pour illustrer notre procédé algorithmique du sixième type de règle de trois composée triple: "18 ouvriers travaillant à raison de 8 heures par jour ont pavé en 10 jours une rue longue de 150 m. Combien faut-il d'ouvriers travaillant 6 heures par jour pour paver en 15 jours une rue longue de 75 m, rue de même largeur que la précédente?", auquel correspond la mise en forme de tableau suivante:
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1.6) Les tableaux de proportionnalité juxtaposés et la règle de trois composée quadruple:
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1.7) Les tableaux de proportionnalité juxtaposés et la règle de trois composée quintuple:
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1.8) Le cas particulier du tableau de proportionnalité et de la règle de trois appliquées au calcul du pourcentage:
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Le pourcentage d'une partie d'un ensemble, ou d'un système physique, est le rapport d'une mesure (effectif ou grandeur extensive) de cette partie à la mesure correspondante de l'ensemble total (ou du système physique), exprimée sous la forme d'une fraction de cent. Le pourcentage est donc un nombre sans dimension (un nombre pur), mais pour en rappeler l'origine on le fait généralement suivre du signe « % », ou parfois de « /100 », de « pour cent » ou de l'abréviation « p.c. ». "Prendre une fraction n/d d'une quantité Q, c'est partager Q en d parts égales et en prendre n. Numériquement, cela consiste donc à diviser Q par d et multiplier le résultat par n. Il revient au même de multiplier n par Q et de diviser ensuite par d. Un pourcentage n'est autre qu'une écriture fractionnaire de dénominateur 100.Par suite, calculer t% d'une quantité Q, c'est prendre t/100 de Q."⁂
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- "S'il y a 17 nombres dans un ensemble S de 100 éléments de chiffres et des lettres, combien y a-t-il de nombres dans un ensemble S' de 320 éléments de chiffres et des lettres?", auquel correspond le calcul du pourcentage suivant de quel est le nombre de la quantité de chiffres correspondant à 17% de chiffres d'un ensemble de 320 éléments de chiffres et de lettres;
- "S'il y a 17 nombres dans un ensemble S de 100 éléments de chiffres et des lettres, combien y a-t-il de nombres dans un ensemble S' de 15 éléments de chiffres et des lettres?", auquel correspond le calcul du pourcentage suivant de quel est le nombre de la quantité de chiffres correspondant à 17% de chiffres d'un ensemble de 15 éléments de chiffres et de lettres;
Cette disposition est inchangée pour toute mise en forme d'énoncé de problème à résoudre en utilisant la règle de trois simple et directe ou simple et inverse, et dans notre cas particulier correspondant à un calcul de pourcentage, car la première colonne est toujours composée des quantités d'objets identiques, donc ici dans notre exemple ci-dessus, à l'intersection de la première colonne de gauche et de la première ligne du dessus, le nombre d'éléments correspondant à la quantité particulière soit d'éléments de chiffres ou d'éléments de lettres dans un ensemble S, la valeur a, correspondant à la relation a R b. À l'intersection de la ligne du dessous et de notre première colonne de gauche sera toujours inscrite notre valeur recherchée, la variable x à laquelle correspond la valeur de la quantité d'objets identique à la valeur de la quantité d'objets inscrite l'intersection de la ligne du dessus et de la même colonne de gauche, et qui est la quatrième de proportion correspondant à la relation x R c; tandis qu'à à sa droite, est inscrit à l'intersection de la deuxième colonne suivante et de la ligne du dessus la quantité d'objets similaires à l'objet de la quantité inscrite à l'intersection de la ligne du dessous et de la deuxième colonne à droite de cette valeur recherchée x, soit la valeur c correspondant à la relation c R x, la quantité totale d'éléments de chiffres et des lettres dans un ensemble S', soit la valeur b toujours égale à 100, la quantité totale d'éléments de chiffres et des lettres dans un ensemble S.
Nous constatons dans notre illustration ci-dessus, du cas particulier de la recherche de la quatrième proportionnelle correspondante au calcul du pourcentage, qu'à la fin du sous-titre 1)4 précédemment la liste des règles que nous avions écrites pour déterminer le choix entre la règle de trois directe ou inverse donnant la quatrième proportionnelle n'est plus applicable, car si nous avions auparavant les règles suivantes de "si a<b>c, alors a*b=x*c, nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse"; et de "si a<b<c, alors a*b=x*c, nous appliquons donc la formule de calcul correspondante à la règle de trois inverse", désormais, dans le cas particulier du calcul du pourcentage équivalent à la la recherche de la quatrième proportionnelle, ce n'est plus qu'une seule et même règle qui s'applique, soit le premier type de règle de trois simple et inverse toujours définie comme suit: a/b=x/c ↔ x= a/b × c.
Ainsi dans notre premier exemple précédent correspondant à la première illustration ci-dessus, soit a=17, b=100 et c= 15, nous appliquons le premier type de règle de trois, dite simple et directe et dont la formule de proportion correspondante est toujours définie comme suit: a / b=x / c ↔ x= a /b × c. Le nombre manquant est donc x =a /b × c= 17/100 × 15=2.
Dans notre premier exemple précédent correspondant à la première illustration ci-dessus, soit a=17, b=100 et c= 320, nous appliquons le premier type de règle de trois, dite simple et directe et dont la formule de proportion correspondante est toujours définie comme suit: a / b=x / c ↔ x= a /b × c. Le nombre manquant est donc x =a /b × c= 17/100 × 320=54.
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c'=c-x=c-c*a/b=c*(1-a/b)=1395
- c''=c'-x'=1395-279=1116
- (1) & (1)'→c''=c'-x'=c-x-x'=(c-c*a/b)-(c-c*a/b)*a'/b↔
- (1) & (1)' →c''=c'-x'=c-x-x'=c*(1-a/b-a'/b+a/b*a'/b)=c*Y=1116
- Y=(1-a/b)*(1-a'/b)= 0.72
- (1) & (1)' →Y=(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)=(1-(a + a')/b + a*a'/b²)=1-( a +a'- a*a'/b)/b=1-A/B
- (1) & (1)'→A=( a + a' - a*a'/b)=28
- (1) & (1)' →B=b=100
- (1) & (1)' →A/B=28%
- (1) & (1)' →Y=1-A/B=72.00%
- (1) & (1)' →c''=c*Y=c*(1-A/B)=1116
- c'''=c''-x''=1116-22.32=1093.68
- (1) & (1)' & (2) & (2)'→c'''=c''-x''=c-x-x'-x''=(c-c*a/b)-(c-c*a/b)*a'/b-(c'-c'*a'/b)*a''/b
- (1) & (1)' & (2) & (2)' → c'''=c''-x''=c-x-x'-x''=c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)-(c'-c'*a'/b)*a''/b
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →c'''=c''-x''=c-x-x'-x''=c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)-c'*(1-a'/b)*a''/b
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →c'''=c''-x''=c-x-x'-x''=c*(1-a/b-a'/b+a/b*a'/b)-(c-c*a/b)*(1-a'/b)*a''/b
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →c'''=c''-x''=c-x-x'-x''=c*(1-a/b-a'/b+a/b*a'/b)-(c-c*a/b-a'/b*c+c*a/b*a'/b)*a''/b
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →c'''=c''-x''=c-x-x'-x''=c*(1-a/b-a'/b+a/b*a'/b)-c*(1-a/b-a'/b+a/b*a'/b)*a''/b
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →'c'''=c''-x''=c-x-x'-x''=c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b)
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →'c'''=c''-x''=c-x-x'-x''=c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b)=c*Y*Z=c*Y'=1093.68
- Z=(1-a''/b)=0.98
- Y=(1-a/b)*(1-a'/b)= 0.72
- Y'=Z*Y=(1-a''/b)*(1-a/b)*(1-a'/b)=0.7056
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →Y'=(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b)=1-a/b-a'/b + a/b*a'/b-a''/b*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)=1-(a/b + a'/b-a/b*a'/b + a''/b*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b))=1-A'/B
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →Y'=1-(a/b + a'/b-a/b*a'/b + a''/b*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b))=1-A'/B=70.56%
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →A'/B=(a/b + a'/b-a/b*a'/b + a''/b*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)=29.44%
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →A'/B=(a + a' - a*a'/b +a'' - a*a''/b-a'*a''/b + a*a'*a''/b²)/b=29.44%
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →A'=(a + a' - a*a'/b + a'' - a*a''/b-a'*a''/b + a*a'*a''/b²)=29.44
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →A'/B=29.44%
- (1) & (1)' & (2) & (2)' →Y'=1-A'/B=1-(a + a' - a*a'/b + a''- a*a''/b-a'*a''/b + a*a'*a''/b²)/b=70.56%
- c''''=c'''-x'''=1093.68-214.36128=879.31872
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→c''''=c - x - x' - x'' - x'''=(c-c*a/b)-(c-c*a/b)*a'/b-(c'-c'*a'/b)*a''/b-(c''-c''*a''/b)*a'''/b=
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→c''''=c-x-x'-x''-x'''=c*(1-a/b-a'/b+a/b*a'/b)-(c'-c'*a'/b)*a''/b-(c''-c''*a''/b)*a'''/b=879.31872
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→c''''=c - x - x' - x''- x'''=c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b)-(c''-c''*a''/b)*a'''/b=
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→c''''=c - x - x'- x'' - x'''=c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b)-(c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)-c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*a''/b)*a'''/b=
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→c''''=c - x - x' - x''- x'''=c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b)-(c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)-c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*a''/b)*a'''/b=
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→c''''=c-x -x'-x''-x'''=c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b)-(c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)-c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*a''/b)*a'''/b
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→'c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b-a'''/b + a''/b*a'''/b)=c*Y*V=c*Y''=879.31872
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→c*(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b)*(1-a'''/b)=c*Y*W*Z=c*Y*V=c*Y'*W=c*Y''=879.31872
- Y=(1-a/b)*(1-a'/b)= 0.72
- V=(1-a''/b-a'''/b + a''/b*a'''/b)0.78792
- W=(1-a'''/b)=0.804
- Z=(1-a''/b)=0.98
- Y''=Y'*V=0.5673024
- Y'=Z*Y=(1-a''/b)*(1-a/b)*(1-a'/b)=0.7056
- Y''=Y'*V=0.555956352
- Y''=0.5673024
- V=W*Z=0.78792
- Y*W*Z=0.5673024
- Y'*W=879.31872
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→Y''=(1-a/b - a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b-a'''/b+ a''/b*a'''/b)=1-a/b-a'/b + a/b*a'/b-(1-a/b-a'/b +a/b*a'/b)*a''/b-(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*a'''/b+(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*a''/b*a'''/b
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→Y''=(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b-a'''/b + a''/b*a'''/b)=1-(a/b + a'/b-a/b*a'/b+(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*a''/b+(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*a'''/b-(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*a''/b*a'''/b)
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→Y''=(1-a/b-a'/b + a/b*a'/b)*(1-a''/b-a'''/b + a''/b*a'''/b)=0.5673024
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→Y''=(1-A/B)*(1-a''/b-a'''/b + a''/b*a'''/b)=(1-A/B)*(1-A''/B)=0.5673024
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→1-A''/B=1-(a''/b + a'''/b-a''/b*a'''/b)=1-(a'' + a''' -a''*a'''/b)/b=0.78792
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→1-A/B=1-(a + a' - a*a'/b)/b=0.72
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→Y''=(1-A/B)*(1-A''/B)=1-A''/B-A/B+A''/B*A/B=1-(A''/B+A/B-A''/B*A/B)=1-(A''+A-A''*A/B)/B=0.5673024
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→A'''/B=(A''+A-A''*A/B)/B=((a'' + a''' - a''*a'''/b)+(a + a' - a*a'/b)-(a'' + a''' - a''*a'''/b)*(a + a' - a*a'/b)/b)/b=0.4326976
- (1) & (1)' & (2) & (2)'& (3) & (3)'→A'''=((a'' + a''' - a''*a'''/b)+(a + a' - a*a'/b)-(a'' + a''' -a''*a'''/b)*(a + a' - a*a'/b)/b)=43.26976
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II) LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE COMME OUTIL DU TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ DE LA RÈGLE DE TROIS:
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Précédemment nous avions montré que l'expression de la fonction caractéristique correspondait à celle de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance c'est-à-dire la fonction caractéristique de x appartenant à SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ-x)=1, notée:
1A: E→ {0,1}
- 1A(yᵢ-x)=1, si yᵢ-x=0 ∧ x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞
- 1A(yᵢ-x)=0, si yᵢ-x≠0 ∧ x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞
∀ yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R; ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x=xᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-xᵢ=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:
1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ (1), et qu'elle était en fait une expression beaucoup plus élémentaire d'une fonction caractéristique au sens de moins particulière, donc d'une fonction caractéristique en général, que celle écrite précédemment, comme seule générale, car fondamentale et implicitement toujours d'appartenance, et qui est la définition et l'expression de la fonction caractéristique des valeurs nulles et non nulles des éléments de tout ensemble séquentiel et que j'ai appelé la fonction caractéristique de structures élémentaires, qui si elle est plus générale, elle reste encore implicitement seulement et non plus explicitement une fonction caractéristique d'appartenance d'un élément à une seule valeur précise (cette propriété est maintenant transposée aux seuls éléments du résultat de la fonction caractéristique, les éléments caractéristiques qui appartiennent à l'ensemble {0;1}, tandis que les éléments caractérisés n'appartiennent plus qu'à l'ensemble des éléments dont les valeurs sont encore précisément nulles, mais aussi et moins précisément non nulles). J'ai défini cette fonction caractéristique de structures élémentaires comme suit:
1A: SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
- 1A(yᵢ≠0)=0, si yᵢ=0
- 1A(yᵢ≠0)=1, si yᵢ≠0.
J'ai encore défini l'expression de cette fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments yᵢ de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞, de valeurs non nulles, noté 1A(yᵢ≠0)=1, comme suit:
∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ y=yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
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ÈÉ ⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋
∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ