76: 2'A XXXIII NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE DU PGCD ET DU PPCM

©2012 Cédric Christian Bernard Gagneux

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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I) LES EXPRESSIONS SYSTEMATIQUES DU PGCD ET LEURS EQUIVALENCES AVEC LES EXPRESSIONS DES FONCTIONS PLANCHER, PLAFOND ET MODULO

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1.a) Les expressions constitutives des algorithmes du PGCD et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

Commençons par écrire les expressions des fonctions arithmétiques plancher, plafond et modulo, équivalentes à l'algorithme d'Euclide pour déterminer la valeur du PGCD de deux nombres. Cet algorithme d'Euclide fut énoncé sous la forme de l'anthyphérèse d'Euclide définie comme "La méthode qui est employée par Euclide une première fois dans le livre VII - proposition II3 pour calculer le PGCD de deux entiers : il préconise d'ôter au plus grand nombre le plus petit, autant que faire se pourra puis d'ôter le reste au plus petit des nombres, etc. Bref, d'ôter systématiquement au plus grand des nombres le plus petits jusqu'à tomber sur un nombre qui mesure (qui divise) le précédent. Cette méthode par soustractions successives est l'ancêtre de ce que l'on appelle aujourd'hui l'algorithme d'Euclide. Elle est de nouveau employée dans le livre X, théorème 24 pour caractériser deux longueurs incommensurables (on parlerait de nos jours de longueurs dont le rapport est irrationnel. Il s'agit d'enlever alternativement à la plus grande longueur la plus petite, si le processus se poursuit indéfiniment, les longueurs sont incommensurables. Cette méthode aurait pu être employée, par exemple, pour démontrer l'irrationalité de la racine carrée de 22, mais il n'existe aucun témoignage de son utilisation pour une telle démonstration chez Euclide ou d'autres auteurs de la Grèce antique à propos de √2 ou d'un autre irrationnel", extrait d'après l'article de Wikipédia l'encyclopédie libre. Ainsi nous formaliserons les étapes de l'algorithme d'Euclide que nous représenterons comme suit:

∀ rₙ ∈ N*, ∀ qₙ ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b, ∀ n ∈ N*:

r₀=a=x₀*a+y₀*b ↔ r₀=a=1*a+0*b → x₀=1 ∧ y₀=0
r₁=b= x₁*a+y₁*b ↔ r₁=b = 0*a+1*b → x₁=0 ∧ y₁=1

a= q₀*b + r₂, avec a>b> r₂ ↔ q₀=⌊a/b⌋ ∧ r₂=a mod b

b= q₁*r₂ + r₃, avec r₂ > r₃ ↔ q₁=⌊b/r₂⌋ ∧ r₃=b mod r₂

r₂=q₂*r₃ + r₄, avec r₃ > r₄ ↔ q₂=⌊r₂/r₃⌋ ∧ r₄=r₂ mod r₃

r₃=q₃*r₄ + r₅, avec r₄ > r₅ ↔ q₃=⌊r₃/r₄⌋ ∧ r₅=r₃ mod r₄

r₄= q₄*r₅ + r₆, avec r₅ > r₆ ↔ q₄=⌊r₄/r₅⌋ ∧ r₆=r₄ mod r₅

r₅= q₅*r₆ + r₇, avec r₆> r₇ ↔ q₅=⌊r₅/r₆⌋ ∧ r₇=r₅ mod r₆

r₆= q₆*r₇ + r₈, avec r₇ > r₈ ↔ q₆=⌊r₆/r₇⌋ ∧ r₈=r₆ mod r₇

......

rₙ₌ₓ=qₙ₌ₓ*rₙ₌ₓ₊₁ + rₙ₌ₓ₊₂, avec rₙ₌ₓ₊₁ > rₙ₌ₓ₊₂

rₙ₌ₓ₊₁=qₙ₌ₓ₊₁*rₙ₌ₓ₊₂ + rₙ₌ₓ₊₃, avec rₙ₌ₓ₊₂ > rₙ₌ₓ₊₃

Pour conclure à l'existence de la valeur de PGCD(a,b) dans l'interprétation de l'algorithme précédent il nous faut encore supposer arbitrairement seulement par exemple que cet algorithme d'Euclide se termine à la cinquième étape des divisions successives des restes devenus diviseurs par les restes obtenus dans les étapes précédentes, soit comme suit:

∀ rₙ ∈ N*, ∀ qₙ ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b, ∀ n ∈ N*:

r₀=a=x₀*a+y₀*b ↔ r₀=a=1*a+0*b → x₀=1 ∧ y₀=0
r₁=b= x₁*a+y₁*b ↔ r₁=b = 0*a+1*b → x₁=0 ∧ y₁=1

a= q₀*b + r₂, avec a > b > r₂ ↔ q₀=⌊a/b⌋ ∧ r₂=a mod b

b= q₁*r₂ + r₃, avec r₂ > r₃ ↔ q₁=⌊b/r₂⌋ ∧ r₃=b mod r₂

r₂ = q₂*r₃ + r₄, avec r₃ > r₄ ↔ q₂=⌊r₂/r₃⌋ ∧ r₄=r₂ mod r₃

r₃ = q₃*r₄ + r₅, avec r₄ > r₅ ↔ q₃=⌊r₃/r₄⌋ ∧ r₅=r₃ mod r₄

r₄= q₄* r₅+ 0, avec r₅ > 0 ↔ q₄=⌊r₄/r₅⌋ ∧ r₆=r₄ mod r₅=0

Alors puisque le cinquième reste r₅ est nul, l’avant-dernier reste r₄ est donc égal au PGCD entre a et b soit PGCD(a,b)= r₄, mais en général l'avant-dernière étape précédent celle ou le reste est égal à zéro correspondra toujours à la valeur du PGCD entre les deux nombres.

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Prenons un exemple, soit le PGCD entre a=126 et b=35, qui est noté PGCD(126,35):

r₀=126=x₀*126+y₀*35 ↔ r₀=126=1*126+0*35 → x₀=1 ∧ y₀=0
r₁=35= x₁*126+y₁*35 ↔ r₁=35 = 0*126+1*35 → x₁=0 ∧ y₁=1

a=126=3*35+21, avec a=126 > b=35 > r₂=21 ↔ q₀=3=⌊126/35⌋ ∧ r₂=21=126 mod 35
b=35=1*21+14, avec r₂=21 > r₃=14 ↔ q₁=1=⌊35/21⌋ ∧ 14=35 mod 21
r₂=21=1*14+7, avec r₃=14 > r₄=7 ↔ q₂=1=⌊21/14⌋ ∧ r₄=7=21 mod 14

r₃=14=2*7+0, avec r₄=7 > r₅ = 0 ↔ q₃=2=⌊14/7⌋ ∧ r₅=0=14 mod 3

Ainsi, le cinquième reste r₅ = 0, donc l’avant-dernier et quatrième reste r₄ = 7 est le PGCD recherché: PGCD(126,35)=7.

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Remarquons que d'après l'article publié sur le site de Wikipédia l'encyclopédie libre, qui est intitulé "Plus grand commun diviseur": "Une méthode plus efficace est l'algorithme euclidien modulaire, une variante dans laquelle la différence des deux nombres a et b est remplacée par le reste de la division euclidienne (également appelée division avec reste) de a par b. En désignant ce reste comme un mod b, l'algorithme remplace (a, b) par (b, a mod b) à plusieurs reprises jusqu'à ce que la paire soit (d, 0), où d est le plus grand diviseur commun. Par exemple, pour calculer PGCD(48,18), le calcul est le suivant :

PGCD(48,18)→PGCD(18,48mod18)=PGCD(18,12)→PGCD(12,18mod12)=PGCD(12,6)→PGCD(6,12mod6)=PGCD(6,0). Cette dernière correspond à la première expression soit à nouveau PGCD(48, 18) = 6.", donc des expressions modulo qui ne justifient pas seulement notre sous-titre consacré au PGCD de deux nombres en relation avec les expressions de l'arithmétique modulaire que nous étudions dans trois rubriques dédiées.

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1.b) Les expressions systématiques longues du PGCD et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

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Mais cette méthode est encore celle utilisant l'expression redondante du PGCD en particulier pour trouver la valeur d'un autre PGCD en général, et surtout sa mise en forme et algorithmique et non celle d'une expression ponctuelle ou séquentielle, alors j'écris ici tout d'abord la méthode pour obtenir la valeur du PGCD résultant du calcul des expressions à chaque étape de l'algorithme d'Euclide équivalentes aux expressions des fonctions arithmétiques plancher, plafond et modulo, soit, considérons les expressions des deux deux fonctions indicatrices caractéristiques des diviseurs des deux variables a et b dont nous cherchons le PGCD, et considérons encore que la multiplication des expressions de ces deux fonctions indicatrices caractéristiques des diviseurs des deux variables a et b qui nous donne la nouvelle fonction indicatrice caractéristique des nombres diviseurs communs de a et de b, donc trois expressions que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=0, si nₓ∤a
1A(nₓ)=1, si nₓ|a

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la divisibilité de la variable a par nₓ, soit dₙ|a, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a:

a(n)=1A(dₙ|a)=1A(nₓ)=1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ (a)

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Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par la valeur correspondante de la variable a dans l'expression (a), soit a(n)=1A(dₙ|126)=1A(nₓ)=1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉, nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:

Seq=(1;1;1;0;0;1;1;0;1;0;0......). Remarquons que si nous multiplions l'expression (a) par n ∈ N* nous obtenons la suite des nombres diviseurs de a=126, inférieurs ou égaux à 126, et dont la représentation séquentielle est Seq=(1;2;3;0;0;6;7;0;9;0;0......).

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L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la divisibilité de la variable b par nₓ, soit d'ₙ|b, est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=0, si nₓ∤b
1A(nₓ)=1, si nₓ|b

∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N* et et dₙ <= b:

a'(n)=1A(dₙ|b)=1A(nₓ)=1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉ (b)

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Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par la valeur correspondante de la variable b dans l'expression (b), soit a(n)=1A(dₙ|35)=1A(nₓ)=1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉, nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:

Seq=(1;0;0;0;1;0;1;0;0;0......). Remarquons que si nous multiplions l'expression (b) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres diviseurs de b=35, inférieurs ou égaux à b=35, de représentation séquentielle Seq=(1;0;0;0;5;0;7;0;0;0......).

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La multiplication des expressions précédentes (a) et (b) résulte dans l'expression de la nouvelle fonction indicatrice de la caractéristique des nombres diviseurs communs à, a et b, soit 1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b), est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=0, si nₓ∤a ∧ nₓ∤b
1A(nₓ)=1, si nₓ|a ∧ nₓ|b

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la divisibilité des variables a et b par nₓ, soit dₙ|a ∧ dₙ|b, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N* et dₙ <= b:

a(n)*a'(n)=1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b)=(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) (c) ↔ (a)*(b)

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Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (c), soit a(n)*a'(n)=1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:
Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0;0......). Remarquons que si nous multiplions l'expression (c) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres communs diviseurs de a =126 et b=35, inférieurs ou égaux à 126, de représentation séquentielle, Seq=(1,0,0,0,0, 0,7,0,0,0,0,0,0,0,0.0,0,0,0..)
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Enfin le plus grand diviseur commun à, a et b correspond à la dernière valeur non nulle de la séquence de nombres représentant cette dernière expression (c). En effet nous obtenons cette valeur égale au PGCD(a,b) en définissant tout d'abord l'expression de la fonction indicatrice inverse de la précédente soit :

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=1, si nₓ∤a ∧ nₓ∤b
1A(nₓ)=0, si nₓ|a ∧ nₓ|b

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la non divisibilité des variables a et b par nₓ, soit dₙ∤a ∧ dₙ∤ b, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ∤a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ∤b ∈ N*:

a(n)=1A(dₙ∤a)*1A(dₙ∤b)=1-1A(dₙ|a)*1A(d'ₙ|b)=1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) (d) ↔ 1- (c) ↔ 1- (a)* (b)

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Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (d), soit 1A(dₙ∤a)*1A(dₙ∤b)=1-1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), nous obtenons sa représentation séquentielle, Seq=(0;1;1;1;1;1;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1......). Remarquons que si nous multiplions l'expression (c) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres non communs diviseurs de a =126 et b=35, de représentation séquentielle, Seq=(0;2;3;4;5;6;0;8;9;10;11;12;13;14;15;16......).
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Ensuite, en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général ( noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation, nous écrivons maintenant l'expression de la valeur du PGCD(a,b) qui représente l'expression se substituant à l'ensemble de toutes les étapes de la méthode de l'algorithme d'Euclide, qui est définie et décomposée comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (a(n₊₁)*a'(n₊₁) )i ] =∑ n=1→n=∞: [ (1A(dₙ₊₁|a)*1A(dₙ₊₁|b))i ] =∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] (e) ↔ ∑ n=1→n=∞: [ ( (a)*(b) )i ].

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Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (e), soit ∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ], nous obtenons sa représentation séquentielle, qui est comme suit:

Seq=(1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2...). Remarquons avec le décalage indiciel de de n₊₁, la différence d' avec l'expression sans ce décalage, ∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌉) )i ] dont la représentation séquentielle est comme suit:

Seq=(1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2...), il y a une quantité de six 1 au lieu de cinq comme précédemment. Cette difference tient au fait que chaque nombre 1 ou 2 correspond au rang des segments de la suite de nombres de l'expression (c), soit a(n)*a'(n)=

1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), de représentation séquentielle, Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0): chaque nombre 1 détermine un nouveau rang de segmentation avec le premier déterminant le rang 1, et le deuxième nombre 1 déterminant le segment de rang 2, etc. comme nous l'avons écrit à la rubrique 17 intitulée "8'A IV FONCTION DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE FONDAMENTALE".

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Nous avons aussi besoin de déterminer l'expression du rang des segments de la fonction indicatrice caractéristique de l'inverse de la précédente soit, le rang des segments de la fonction indicatrice de la caractéristique de l'ensemble des nombres non diviseurs commun de a et b, et inférieurs à a>b, qui est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-a(n)*a'(n))i ]=∑ n=1→n=∞: [ (1-1A(dₙ₊₁|a)*1A(dₙ₊₁|b) )i ] =∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] (g) ↔ ∑ n=1→n=∞: [ ( 1- (a)* (b) )i ]

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Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (g), soit ∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )i ] nous obtenons sa représentation séquentielle qui est Seq=( 0,1,2,3,4,5,5,6,7,8.).

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Enfin nous avons aussi besoin de déterminer le cardinal de l'ensemble des nombres communs diviseurs avec a et b, défini comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) (f) ↔ ∑ n=1→n=∞: [ (a)*(b) ]. Cette dernière expression avec la sommation est sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristique d'expression (a)*(b) dont la valeur est donc 1 ou 0 et la valeur de leur somme est celle d'une variable fixe.

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Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (f), soit a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈23/n-⌊23/n⌋⌉)] )= 2, nombre qui correspond à la valeur du cardinal du sous ensemble des éléments non nuls de la suite de nombres de l'expression (c), soit a(n)*a'(n)=1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), de représentation séquentielle, Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0).
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Si avec les deux expressions précédentes (e), (f) et (g), nous avons écrit les paramètres nécessaires à l'élaboration de l'expression du rang caractéristique de la plus grande valeur des diviseurs communs de a et b, alors nous écrivons maintenant l'opération sur les sous-ensembles de nombres qui compte tenu de ces deux paramètres nous donnera en finalité l'expression de ce rang caractéristique recherché, que nous pouvons définir comme la dernière de premières valeurs non nulles avant une série de valeurs nulles. La première opération est en fait celle de la caractérisation par la fonction indicatrice des valeurs nulles de la fonction indicatrice d'expression (c), soit, a(n)*a'(n)=1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b)=(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉), donc si nulles alors correspondant à l'expression de l'ensemble des nombres caractéristique des nombres commun non diviseurs de a et b qui sont inférieurs à la plus grande valeur de ces nombres correspondant à la valeur recherché du PGCD(a,b) et caractérisé par le nombre 1. Cette opération de caractérisation est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=1, si nₓ∤a ∨ nₓ∤b ∧ nₓ < 1A(PGCD(a,b))*nₓ
1A(nₓ)=0, si nₓ|a ∧ nₓ|b ∧ nₓ < 1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la non divisibilité des variables a ou b par nₓ< 1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) (h) ↔ (⌈ ((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d)*(n-(g) +(d)₊₁ )))/(((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d) *(n-(g) +(d)₊₁ ))+1)⌉)*(d)

∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (h) soit a(n)=(⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁-⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ), de représentation séquentielle, Seq=(0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,....).

∴

Ensuite, après l'opération de caractérisation précédente, nous allons soustraire au résultat de cette opération précédente soit l'expression (h), l'expression (d), pour obtenir l'expression de la fonction indicatrice des nombres inférieurs à la plus grande valeur des nombres commun diviseurs à a et b, une opération résultant dans l'expression d'une fonction indicatrice qui est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=1, si nₓ > 1A(PGCD(a,b))*nₓ
1A(nₓ)=0, si nₓ <= 1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ>1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)= (1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) (i) ↔ (d) - (h) ↔ 1- (c) - (h) ↔ 1- (a)* (b) - (h) ↔ 1- (a)* (b) - ( (⌈ ((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d)*(n-(g) +(d)₊₁ )))/(((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d) *(n-(g) +(d)₊₁ ))+1)⌉)*(d) )

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (i) soit:

a(n)= (1-(1-⌈126/n-⌊126 /n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35,/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ), de représentation séquentielle:
Seq=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1..).

∴

Puis, nous considérons l'inverse de la fonction indicatrice précédente et dont l'expression est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=0, si nₓ > 1A(PGCD(a,b))*nₓ
1A(nₓ)=1, si nₓ < =1A(PGCD(a,b))*nₓ
L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ<=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)= 1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) (j) ↔ 1-(i) ↔ 1- (d) + (h) ↔ (c) + (h) ↔ (a)*(b)+(h)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (j) soit:

a(n)= 1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ), de représentation séquentielle:
Seq(1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...).

∴

Enfin nous déterminons le cardinal de l'ensemble des nombres inférieurs ou égaux au PGCD(a,b), défini comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] (k) ↔ ∑ n=1→n=∞: [(j)]. Cette dernière expression avec la sommation est sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristiques de nₓ<=1A(PGCD(a,b))*nₓ et d'expression (j), dont la valeur est donc 1 ou 0, et la valeur de leur somme est une variable fixe.

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (k) soit:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ]=7

∴

Enfin nous obtenons l'expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de l'index de position du nombre correspondant à la valeur du PGCD(a,b) obtenu précédemment par la sommation totale de l'expression précédente, (j), et dont l'expression (k) est à la fois ce cardinal et cet index de position de PGCD(a,b), et qui est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=1, si nₓ = 1A(PGCD(a,b))*nₓ
1A(nₓ)=0, si nₓ ≠1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

a(n)= ( 1- ⌈ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁-⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) | / (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) - ⌊ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) | / ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉ ) * (1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ) (l) ↔ (1-⌈ |n-(k)| / (k) -⌊ |n-(k)| / (k) ⌋ ⌉ )*(j) avec (k) ↔ ∑ n=1→n=∞: [(j)]; et avec (j) ↔ 1-(i) ↔ 1- (d) + (h) ↔ (c) + (h) ↔ (a)*(b)+(h)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (l) soit:

a(n)= ( 1- ⌈ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁-⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) | / (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) - ⌊ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) | / ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉ ) * (1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ), de représentation séquentielle: Seq(0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...).

∴

Nous écrivons pour conclure l'expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de la valeur du PGCD(a,b) qui est égale à la multiplication de nₓ ∈ N* par l'expression précédente (l) de la fonction indicatrice de la caractéristique de l'index de position du nombre correspondant à la valeur du PGCD(a,b) obtenu précédemment par la sommation totale de l'expression précédente, (j), et dont l'expression (k) est à la fois ce cardinal et cet index de position de PGCD(a,b), et qui est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A(nₓ)=1*nₓ, si nₓ = 1A(PGCD(a,b))*nₓ
1A(nₓ)=0*nₓ, si nₓ ≠1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de la multiplication de nₓ par l'expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)= ( ( 1- ⌈ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁-⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) | / (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) - ⌊ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) | / ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉ ) * (1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ) )*n (m) ↔ (l) * (a(n)=n)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (m) soit:

a(n)= (( 1- ⌈ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁-⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) | / (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) - ⌊ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) | / ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉ ) * (1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ) ) * n, de représentation séquentielle, Seq(0,0,0,0,0,0,7,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...).

∴

Le PGCD(a,b)=∑ n=1→n=∞: [(m) ]↔ ∑ n=1→n=∞: [(l)*(a(n)=n)]. Ces dernières expressions avec la sommation sont sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristiques de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ et d'expression (m), dont la valeur est donc 1 ou 0, et la valeur de leur somme égale à leur cardinal est une variable fixe toujours égale à la valeur du PGCD(a,b).

∴

1.c) Les expressions systématiques courtes du PGCD et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

∴

II) LES EXPRESSIONS SYSTEMATIQUES DU PPCM ET LEURS EQUIVALENCES AVEC LES EXPRESSIONS DES FONCTIONS PLANCHER, PLAFOND ET MODULO

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉

∴