88: 1'A XXXXII NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE EN ARITHMÉTIQUE MODULAIRE: La congruence modulaire ponctuelle non séquentielle

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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"En mathématiques, l'usage du terme modulo est différent même s'il est lié : il ne désigne pas une opération, mais intervient pour caractériser une relation de congruence sur les entiers (et plus généralement pour d'autres congruences) et certains l'utilisent également pour désigner l'opération binaire. En informatique, l'opération modulo, ou opération mod, est une opération binaire qui associe à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne du premier par le second, le reste de la division de a par n (n ≠ 0) est noté a mod n. Le langage Excel utilise la définition mathématique de l'opération modulo s'écrivant MOD(a,n) et fonctionnant sur les nombres réels.", extrait de l'article intitulé Modulo (opération) publié sur le site de Wikipédia.

 J'entends donc par le terme de modulo considérer la fonction arithmétique et non pas seulement la relation de congruence ou l'opération binaire, car la fonction modulo écrite "mod" est en fait la fonction qui à tout couple de nombres entiers associe un troisième nombre entier qui est "le reste de la division euclidienne du premier par le second". En mathématiques, on appelle ce type de relation entre deux variables une fonction lorsque chaque valeur de la variable indépendante est associée à une et une seule valeur de la variable dépendante.Or nous savons qu'une Variable aléatoire est un type de fonction qui associe un nombre réel à chaque élément de l’espace échantillonnal. Par exemple si l’espace échantillonnal est: {AAA, AAF, AAR...RGG GGG}; et si X représente le nombre d’échantillons de type R alors X(AAA)=0, X(AAF)=0, X(AAR)=1, ...X(ARR)=2, ... X(RRR)=3. On constate donc que si à un couple, ou un triplet, etc. de valeurs est associé une seule valeur alors la définition d'une fonction comme un procédé qui permet d'associer à un nombre, un unique autre nombre appelé image sera satisfaite. Donc l'association à un couple de nombres d'un unique troisième, "le reste de la division euclidienne du premier par le second" correspond bien à cette définition de fonction que nous notons:

mod(a,b)=c, signifiant a/b=q+c avec a,b,c,q appartenant à N l'ensemble des entiers naturels et a appelé le dividende, b appelé le diviseur, c appelé le reste et q appelé le quotient comme illustré par la figure ci-dessous:

En utilisant la partie entière (définition mathématique) la fonction modulo peut être calculé en utilisant d'autres fonctions soit la fonction plancher notée ⌊x⌋ qui est le plus grand entier inférieur ou égal à x qui appliquée à l'expression de la fonction modulo donne: a mod b = a−⌊a/b⌋×b. L'opérateur mod retourne alors un nombre appelé le modulo ou résidu (le reste de la division euclidienne a/b) toujours compris entre 0 (inclus) et le diviseur b (exclu) et qui a le même signe que le diviseur b. Par exemple, 9 mod 4 = 9 − ⌊9/4⌋×4 = 9 − 2×4 = 1. Nous utiliserons la notation mod(a,b) équivalente à la notation a mod b pour mieux différencier la fonction modulo de la relation de congruence comprenant cette fonction modulo. En effet, si r est le reste de la division euclidienne de a par b, cette opération est double dans le cas d'une relation de congruence, car r est le reste de la division euclidienne de a par b, et de la division de d par b. On peut donc exprimer que, a et d, deux nombres dividendes, aussi appelés les "congrus modulo b", sont donc congruents modulo b, b étant le diviseur aussi appelé le "module", tandis que le reste noté r des deux divisions de a/b et d/b est identique et appelé "résidu ou modulo" dans la relation de congruence entre a et d, sous quatre formes:

a ≡ d (b) ;
a ≡ d [b] ;
a ≡ d (mod b) ;
a ≡d mod b (notation de Gauss).
La dernière est celle préconisée par la norme ISO/CEI 80000-2 de 2009.

Toutes les notations se lisent « a est congru à d modulo b ». Par exemple soit a=29, d=13 et b=8 alors, 29 ≡ 13 (8), car 29– 13 = 16, multiple de 8, ou encore, car 29 et 13 ont tous les deux 5 comme reste dans la division par 8.

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"L'origine de l'usage du terme de "Congruence" est datée de 1374 et son étymologie vient du latin classique d’époque impériale "congruentia", « accord, conformité, convenance ». Lui-même du latin "congruens", Participe présent du verbe latin "congruo" (« converger, concorder »). Le mot a eu un regain d’usage au milieu XIXe grâce aux mathématiques plus particulièrement en Arithmétique ou la congruence est définie comme la relation entre deux nombres tels que leur différence est le multiple d'un troisième nombre. En arithmétique modulaire, la congruence signifie la relation entre deux nombres ayant le même reste lorsqu'il est divisé par un entier spécifié. Par extension en Algèbre la congruence est définie comme la relation entre deux éléments x et y d’un anneau ou d’un groupe tels que x-y appartienne, respectivement, à un idéal ou un sous-groupe. En Géométrie euclidienne le terme est un Anglicisme et la congruence est définie comme la relation entre figures planes semblables (homothétiques). En Géométrie riemannienne la congruence est l'ensemble des courbes intégrales associées à un champ de vecteurs."

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"En algèbre abstraite, une relation de congruence (ou simplement de congruence) est une relation d'équivalence sur une structure algébrique (telle qu'un groupe, un anneau ou un espace vectoriel) qui est compatible avec la structure dans le sens où les opérations algébriques effectuées avec des éléments équivalents donneront éléments équivalents. Chaque relation de congruence a une structure de quotient correspondante, dont les éléments sont les classes d'équivalence (ou classes de congruence) pour la relation. L'exemple prototypique d'une relation de congruence est la congruence modulo n sur l'ensemble des entiers. Pour un entier positif donné n, deux entiers a et b sont appelés modulo congrus n, écrit a ≡ b (mod n), si a-b est divisible par n (ou de manière équivalente si a et b ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par n). Par exemple, 37 et 57 sont congrus modulo dix, 37 ≡ 57( mod10 ), car 37 − 57 = − 20 est un multiple de 10,  ou de manière équivalente puisque les deux nombres 37 et 57 ont le même reste de 7 lorsqu'ils sont divisés par dix"

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"Modulo est un jargon mathématique qui a été introduit dans les mathématiques dans le livre Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss en 1801. Étant donné les entiers a, b et n, l'expression "a ≡ b (mod n)", prononcée "a est congru à b modulo n", signifie a - b est un multiple entier de n, ou de manière équivalente, a et b les deux partagent le même reste lorsqu'ils sont divisés par n. C'est l'ablatif latin de module, qui lui-même signifie « une petite mesure ».Gauss avait initialement prévu d'utiliser "modulo" comme suit : étant donné les entiers a, b et n, l'expression a ≡ b (mod n) (prononcé "a est congru à b modulo n") signifie a - b est un multiple entier de n , ou de manière équivalente, a et b laissent tous deux le même reste lorsqu'ils sont divisés par n . Par exemple:

13 est congru à 63 modulo 10 signifie que 13 − 63 est un multiple de 10 ( ce qui est équivalant à écrire que , 13 et 63 diffèrent d'un multiple de 10).

La relation de congruence est une relation d'équivalence. La classe d'équivalence modulo n d'un entier a est l'ensemble de tous les entiers de la forme a+ kn, où k est un entier quelconque. Elle est appelée classe de congruence ou classe de résidus d'un modulo n, et peut être notée (a mod n), ā, ou [a] lorsque le module ʼn est connu à partir du contexte.

Chaque classe de résidus modulo n contient exactement un entier dans l'intervalle 0,..., n − 1. Ainsi, ces n entiers sont représentatifs de leurs classes de résidus respectives.

Il est généralement plus facile de travailler avec des entiers qu'avec des ensembles d'entiers; c'est-à-dire les représentants les plus souvent considérés, plutôt que leurs classes de résidus.

Par conséquent (a mod n) désigne généralement l'unique entier k tel que 0 < k < n et k = a (mod n); c'est ce qu'on appelle le résidu d'un modulo n. En particulier (a mod n) = (b mod n) équivaut à, a = b (mod n), expliquant pourquoi «=» est souvent utilisé à la place de "≡" dans ce contexte.". 

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I) LA RELATION DE CONGRUENCE PONCTUELLE NON SÉQUENTIELLE ÉQUIVALENTE AUX EXPRESSIONS DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND

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Qu'entendons-nous par le terme d'expression ponctuelle non séquentielle par opposition au terme d'expression séquentielle? Tout simplement dans le premier cas l'expression mathématique non utilisable pratiquement répétitivement pour une suite de nombres sans avoir à réécrire par itérations successives cette expression avec de nouvelles valeurs des variables de cette expression afin d'obtenir un nouveau résultat. L'itération dont l'étymologie provient du latin "iterum" signifiant encore d'où son ambiguïté, car il faudrait savoir encore quoi. En effet en général le terme d'itération désigne la répétition d'étapes, la répétition d'une séquence d'instructions dans un algorithme comme l'algorithme d'Euclide et son extension par l'identité de Bézout à l'algorithme d'Euclide étendu. Dans ses variantes la notation de l'expression de l'itération attribue des valeurs initiales aux grandeurs impliquées, définit le nombre d'itérations, lie chaque itération avec une opération arithmétique du terme actuel à un terme précédent dont le résultat est accumulé, en attribuant une valeur de comptage d'étape à l'opération avec la présence de l'index de comptage dans l'expression. Mais contrairement à l'itération d'expressions dans un algorithme, une expression ponctuelle non séquentielle est une seule expression qui se substitue à toutes les étapes d'un algorithme avec un nombre d'itérations égal exactement à 1; mais un calcul de cette expression doit être répété pour obtenir un nouveau résultat avec de nouvelles variables justifiant la qualification de ponctuelle, et surtout d'où la nécessité d'une autre définition de l'itération en particulier pour définir un nouveau calcul pour un nouveau résultat d'une expression sans étapes, qui unifient en une seule opération les étapes d'un algorithme, mais qui doit être répété pour un nouveau calcul, car cette expression ponctuelle non séquentielle ne peut pas ou n'est pas pratique dans un processus d'itération de calcul successif par des valeurs de variables formant une suite de nombres telle que la suite de nombres de l'ensemble des nombres entiers: 

N=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24...). Nous constatons que si l'expression ponctuelle non séquentielle que j'écrirais de l'algorithme d'Euclide étendu pourrait être considérée comme une expression parfaitement séquentielle dont les valeurs a et b peuvent variées suivant la séquence des nombres entiers N*, mais cette expression est comme celle de  non parfaitement unifiable en une seule expression, car il reste toujours une subdivision des expressions respectives suivants deux cas selon les valeurs des variables. Elles sont néanmoins constitutives d'expression ponctuelle non séquentielle par rapport aux expressions algorithmiques qui requiert plusieurs étapes répétées pour différentes valeurs des variables choisies et dont le calcul nécessite une mise en forme spéciale généralement en tableau d'une ou plusieurs colonnes et plusieurs lignes et qui n'est pas le calcul d'une expression unique. 

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1.a) Les expressions constitutives de la relation de congruence ponctuelle non séquentielle et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

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"L’algorithme de division : étant donné a ∈ Z et n ∈ N il existe un unique q,r ∈ Z tel que

une = qn + r, 0 ≤ r < n

Pour chaque n ∈ N, l'ensemble Zn = {0, 1, . . . , n − 1} comprend les résidus modulo n.

Les entiers a, b sont dits congrus modulo n s'ils ont le même résidu : on écrit a ≡ b (mod n).

L’algorithme de division dit que chaque entier a ∈ Z a un résidu unique r ∈ Z ₙ .

On peut écrire 7 ≡ −3 (mod 5), puisque l’application de l’algorithme de division donne

7 = 5 × 1 + 2 et − 3 = 5 × (−1) + 2

En effet, 7 et 12 ont tous deux un résidu 2 modulo 5.

Les entiers a et b sont congrus modulo n, et s'écrivent a≡b(mod n), s'ils ont le même reste lors de la division par n. La congruence modulo n satisfait les propriétés suivantes :

1. a≡a pour tout a ;
2. a≡b implique b≡a ;
3. a≡b et b≡c implique a≡c ;
4. a≡0 si n|a ;
5. a≡b et c≡d implique a+c≡b+d ;
6. a≡b et c≡d implique a−c≡b−d ;
7. a≡b et c≡d implique ac ≡ bd ;
8. a≡b implique a*j ≡ b*j pour chaque entier j ≥1 "

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"Généralement, une congruence linéaire est un problème consistant à trouver un entier x qui satisfait l'équation ax = b (mod m). Ainsi, une congruence linéaire est une congruence sous la forme ax = b (mod m), où x est un entier inconnu. Dans une congruence linéaire où x₀ est la solution, tous les entiers x₁ sont x₁ = x₀ (mod m). Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les congruences linéaires. Les méthodes les plus couramment utilisées sont la méthode de l’algorithme euclidien et la méthode d’Euler.

 Résoudre la congruence linéaire ax = b (mod m)

Solution : ax = b (mod m)      (1)

a, b et m sont des entiers tels que m > 0 et c = (a, m).

Si c ne peut pas diviser b, la congruence linéaire ax = b (mod m) n'a pas de solution.

Si c peut diviser b, les congruences ax = b(mod M) ont une solution incongrue pour modulo m.

Comme mentionné, ax = b (mod m) est égal à ax - my = b. Si on applique le théorème 19, on se rend compte que c ne peut pas diviser b ; ainsi, il est impossible d'obtenir une solution pour l'équation ax - my = b.

Alternativement, si c peut diviser b, cela implique qu'il existe plusieurs solutions dont la variable est x notée x = x0 + (m/c)t     (2)

Ainsi, les valeurs de x deviennent la solution de la congruence ax = b (mod m). Vous pouvez désormais trouver facilement le nombre de toutes les solutions incongrues.

En supposant que les deux solutions soient incongrues telles que :

x0 + (m/c)t1 = x0 + (m/c)t2 (modm)        (3)

(m/c)t1 = (m/c)t2 (modm)        (4)

Vous réalisez maintenant que (m, m/c) = m/c

Ainsi t1 = t2 (mod c)  (5)

Vous disposez maintenant d’un ensemble de solutions incongrues données par X = X0 + (M/C)T, où T est donné modulo C. mathématiquement, si C = (A, M) = 1, il existe toujours une solution unique définie pour modulo M dans la congruence linéaire AX = B(mod M).

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Résolution de congruences linéaires à l'aide de la méthode de l'algorithme euclidien

La méthode de l’algorithme euclidien est l’une des méthodes les plus simples pour résoudre des congruences linéaires. La technique fonctionne de telle sorte que si d est le plus grand diviseur commun de deux entiers positifs, disons a et b, le d divise le rappel (r). Ce reste (r) résulte de la division du plus petit de a et b par le plus grand.

La méthode de l'algorithme euclidien vous permet de trouver les chemins intermédiaires des nombres premiers tout en résolvant des congruences linéaires.

Exemple : Résoudre la congruence linéaire 3x = 12 (mod 6)

Solution:

3x = 12 (mod 6)

(3, 6) = 3 et 3/12

Ainsi, vous obtenez trois solutions incongrues pour le mod 6.

Vous devez utiliser la méthode de l'algorithme euclidien pour trouver la solution de l'équation diophantienne linéaire résultante 3x - 6y= 12 pour vous donner x0 = 0.

Les trois solutions incongrues sont données par :

x1 = 6 (mod 6)

x1 = 6+2 = 2 (mod 6)

x2 = 6+4 = 4 (mod 6)

Illustration

Le PGCD de 24 et 16 est 8.

Ainsi; 24 = 1(16) + 8

Le reste est donc 8 lorsque l’on divise 24 par 16, qui est divisible par 8.

Exemples

Pour mieux comprendre comment utiliser la méthode de l'algorithme euclidien, nous utiliserons l'équation 11x = 1 mod 23.

Exemple : Résoudre la congruence linéaire 11x = 1 mod 23

Solution : Trouvez le plus grand diviseur commun de l’algorithme.

23 = 2(11) +1

11 = 1(11) + 0

Le PGCD vaut donc 1.

Vous pouvez voir à partir de l'équation que 1 = (1)(23) + (-2)11 (mod 23)

(-2)(11) = 1 module 23

Ainsi, x = -2

Pour écrire la réponse sous la forme d'une valeur de 0 à 22, vous réalisez que -2 = 21 mod 23 ; ainsi, la solution est x = 21.

Exemple : Considérons la congruence linéaire 16x = 5 mod 29

Solution:

Tout d’abord, résolvez la congruence 16x = 1 mod 29

29 = 1(16) +13 (2)

16 = 1(13) + 3 (3)

13 = 4(3) + 1 (4)

Vous obtenez donc :

1 = 1(13) + (-4)(3).

Remplacez dans l'équation 1 = 1(13) + (-4)(3) en utilisant le fait qu'à partir de (3), 3 = 16 -1(13) vous obtenez :

1 = 1(13) + (-4)(16-1(13)) = 5(13) + (-4)(16) (5)

Vous pouvez maintenant utiliser (2) en sachant que 13 = 29 -1(16) pour remplacer 13 dans (5).

1 = 5(29-1(16)) + (-4)(16) = (-9)(16) +(5)(29)

La dernière équation mod 29 donne donc :

(-9)(16) = 1 module 29

La valeur de x est donc -9, ce qui dans ce cas est congru à modulo 29 à 30. Mais cela ne s’arrête pas là. Maintenant que vous savez que 16(20) est congru à 1 mod 29, multipliez les deux côtés de l'équation par 5 pour obtenir 100(16), congru à modulo 29. Et comme 100 est congru à 13 mod 29, la solution de la la congruence linéaire 16x = 5 modulo 29 est 13.

Enfin, vérifiez que 16(13)-5 laissera un reste nul lorsque vous le diviserez par 29.

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Comment résoudre des congruences linéaires à l'aide de la méthode d'Euler?

Cette méthode s'applique à la résolution d'une équation diophantienne linéaire. Une équation diophantienne linéaire est toute équation exprimée par ax + by = c. La méthode d'Euler applique les connaissances de la résolution d'équations diophantiennes linéaires pour résoudre des congruences linéaires. Il est important de noter qu’il existe une relation étroite entre les équations diophantiennes linéaires et les congruences linéaires.

Il en est ainsi parce que dans l'équation a = b (mod n), n divise (a-b) ou a-b = nt pour certains t, ou a= b + nt.

De plus, l'équation a = b + nt peut être convertie en modulo n :

a = b + nt

a = b + 0t modn

Donc a = b mod n

Exemple:

Vous pouvez facilement convertir la congruence linéaire 13x = 4 mod 37 en une équation diophantienne 13x = 4 + 37y.

La résolution de congruences linéaires à l'aide de la méthode d'Euler implique de transformer les congruences en équations. Vous modifiez ensuite l'équation en un modulo de congruence en utilisant le plus petit coefficient.

Exemple:

Résolvez l’équation linéaire diophantienne suivante: 23x + 49a = 102

Solution:

23x + 49a = 102    (1)

Tout d’abord, changez l’équation diophantienne en une congruence linéaire. Vous réalisez à partir de l’équation que le mod 23 est le plus petit coefficient.

49 y = 101 mod 23

Simplifions maintenant l'équation pour obtenir :3 y= 10 modules 23

Utilisez maintenant la méthode d'Euler pour transformer l'équation en égalité.

3 y +10 + 23a      (2)

Réduisons maintenant l’équation à la congruence mod 3, qui est le plus petit coefficient.

0 = 10 + 2a mod 3 ou 0 = équiv 1+ 2a mod 3.

Simplifiez cela davantage en une équation pour obtenir : 0 = 1 + 2a + 3b         (3)

Avant de passer à l’étape suivante, prenons note de l’introduction d’une nouvelle variable (b).

Ensuite, prenons le mode 2 pour obtenir : 0 = 1 +3b mod 2

Simplifiez encore pour obtenir : 0 = 1 + b mod 2

Cela se traduit par : b −1 mod 2

Maintenant que vous avez b mod 2, choisissez n'importe quel b entier satisfaisant cette congruence, par exemple b = -1.

Revenons à l'équation x (2) pour obtenir :

1 + 2*a + 3(−1) = 0.

1 + 2*a − 3 = 0

Ensuite, accédez au y dans l’équation (2) pour obtenir : 3 y= 10 + 23a = 10 + 23 = 33

Donc y = 11

Revenons à l'équation originale (1) pour obtenir :

23x + 49 11 = 102

23x = 102 − 539 = 437

x = 19

La solution finale est donc :

x = 19

y = 11"

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₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ  

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1.b) Les expressions constitutives de la relation de congruence non séquentielle équivalente à la relation du PGCD, et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

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Commençons par écrire avec les expressions des fonctions arithmétiques plancher, plafond et modulo, équivalentes à l'algorithme d'Euclide pour déterminer la valeur du PGCD de deux nombres, qui fut énoncé sous la forme de l'anthyphérèse d'Euclide définie comme "La méthode qui est employée par Euclide une première fois dans le livre VII - proposition II3 pour calculer le PGCD de deux entiers : il préconise d'ôter au plus grand nombre le plus petit, autant que faire se pourra puis d'ôter le reste au plus petit des nombres, etc. Bref, d'ôter systématiquement au plus grand des nombres le plus petits jusqu'à tomber sur un nombre qui mesure (qui divise) le précédent. Cette méthode par soustractions successives est l'ancêtre de ce que l'on appelle aujourd'hui l'algorithme d'Euclide. Elle est de nouveau employée dans le livre X, théorème 24 pour caractériser deux longueurs incommensurables (on parlerait de nos jours de longueurs dont le rapport est irrationnel. Il s'agit d'enlever alternativement à la plus grande longueur la plus petite, si le processus se poursuit indéfiniment, les longueurs sont incommensurables. Cette méthode aurait pu être employée, par exemple, pour démontrer l'irrationalité de la racine carrée de 22, mais il n'existe aucun témoignage de son utilisation pour une telle démonstration chez Euclide ou d'autres auteurs de la Grèce antique à propos de √2 ou d'un autre irrationnel", extrait d'après l'article de Wikipédia l'encyclopédie libre. Ainsi nous formaliserons les étapes de l'algorithme d'Euclide que nous représenterons comme suit:

∀ rₙ ∈ N*, ∀ qₙ ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b, ∀ n ∈ N*:

a= q₀*b + r₂, avec a>b ↔ q₀=⌊a/b⌋ ∧ r₂=a mod b

b= q₁*r₂ + r₃, avec r₂ > r₃ ↔ q₁=⌊b/r₂⌋ ∧ r₃=b mod r₂

r₂=q₂*r₃ + r₄,  avec r₃ > r₄ ↔ q₂=⌊r₂/r₃⌋ ∧ r₄=r₂ mod r₃

r₃=q₃*r₄ + r₅,  avec  r₄ > r₅ ↔ q₃=⌊r₃/r₄⌋ ∧  r₅=r₃ mod r₄

r₄= q₄*r₅ + r₆, avec r₅ > r₆ ↔ q₄=⌊r₄/r₅⌋ ∧ r₆=r₄ mod r₅

r₅= q₅*r₆ + r₇,  avec r₆> r₇ ↔ q₅=⌊r₅/r₆⌋  ∧  r₇=r₅ mod r₆

r₆= q₆*r₇ + r₈,  avec r₇ > r₈ ↔ q₆=⌊r₆/r₇⌋  ∧  r₈=r₆ mod r₇

......

rₙ₌ₓ=qₙ₌ₓ*rₙ₌ₓ₊₁ + rₙ₌ₓ₊₂, avec rₙ₌ₓ₊₁ > rₙ₌ₓ₊₂

rₙ₌ₓ₊₁=qₙ₌ₓ₊₁*rₙ₌ₓ₊₂ + rₙ₌ₓ₊₃, avec rₙ₌ₓ₊₂ > rₙ₌ₓ₊₃ 

Pour conclure à l'existence de la valeur de PGCD(a,b) dans l'interprétation de l'algorithme précédent il nous faut encore supposer arbitrairement seulement par exemple que cet algorithme d'Euclide se termine à la cinquième étape des divisions successives des restes devenus diviseurs par les restes obtenus dans les étapes précédentes, soit comme suit:

a= q₀*b + r₂  avec a > b > r₂  

b= q₁*r₂ + r₃, avec r₂ > r₃

r₂ = q₂*r₃ + r₄  avec r₃ > r₄

r₃ = q₃*r₄ + r₅ avec r₄ > r₅

r₄= q₄* r₅+ 0  avec r₅ > 0

Alors puisque le cinquième reste r₅ est nul, l’avant-dernier reste r₄ est donc égal au PGCD entre a et b soit PGCD(a,b)= r₄, mais en général l'avant-dernière étape précédent celle ou le reste est égal à zéro correspondra toujours à la valeur du PGCD entre les deux nombres.

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Prenons un exemple, soit le PGCD entre a=126 et b=35, qui est noté PGCD(126,35):

a=126=3*35+21, avec a=126 > b=35 > r₂=21
b=35=1*21+14, avec  r₂=21 > r₃=14
r₂=21=1*14+7, avec r₃=14 > r₄=7,

r₃=14=2*7+0; avec r₄=7 > r₅ = 0.

Ainsi, le cinquième reste r₅ = 0, donc l’avant-dernier et quatrième reste r₄ = 7 est le PGCD recherché: PGCD(126,35)=7.

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Remarquons que d'après l'article publié sur le site de Wikipédia l'encyclopédie libre, qui est intitulé "Plus grand commun diviseur": "Une méthode plus efficace est l'algorithme euclidien modulaire, une variante dans laquelle la différence des deux nombres a et b est remplacée par le reste de la division euclidienne (également appelée division avec reste) de a par b. En désignant ce reste comme un mod b, l'algorithme remplace (a, b) par (b, a mod b) à plusieurs reprises jusqu'à ce que la paire soit (d, 0), où d est le plus grand diviseur commun. Par exemple, pour calculer PGCD(48,18), le calcul est le suivant :

PGCD(48,18)→PGCD(18,48mod18)=PGCD(18,12)→PGCD(12,18mod12)=PGCD(12,6)→PGCD(6,12mod6)=PGCD(6,0). Cette dernière correspond à la première expression soit à nouveau PGCD(48, 18) = 6.", donc des expressions modulo qui ne justifient pas seulement notre sous-titre consacré au PGCD de deux nombres en relation avec les expressions de l'arithmétique modulaire que nous étudions dans trois rubriques dédiées. 

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Mais cette méthode est encore celle utilisant l'expression redondante du PGCD en particulier pour trouver la valeur d'un autre PGCD en général, et surtout sa mise en forme et algorithmique et non celle d'une expression ponctuelle ou séquentielle, alors j'écris ici tout d'abord la méthode pour obtenir la valeur du PGCD résultant du calcul des expressions à chaque étape de l'algorithme d'Euclide équivalentes aux expressions des fonctions arithmétiques plancher, plafond et modulo, soit, considérons les expressions des deux deux fonctions indicatrices caractéristiques des diviseurs des deux variables a et b dont nous cherchons le PGCD, et considérons encore que la multiplication des expressions de ces deux fonctions indicatrices caractéristiques des diviseurs des deux variables a et b qui nous donne la nouvelle fonction indicatrice caractéristique des nombres diviseurs communs de a et de b, donc trois expressions que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0,1}:

• 1A(nₓ)=0, si nₓ∤a
• 1A(nₓ)=1, si nₓ|a

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la divisibilité de la variable a par nₓ, soit dₙ|a, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a:

a(n)=1A(dₙ|a)=1A(nₓ)=1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉   (a)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par la valeur correspondante de la variable a dans l'expression (a), soit a(n)=1A(dₙ|126)=1A(nₓ)=1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉, nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:

Seq=(1;1;1;0;0;1;1;0;1;0;0......). Remarquons que si nous multiplions l'expression (a) par n ∈ N* nous obtenons la suite des nombres diviseurs de a=126, inférieurs ou égaux à 126, et dont la  représentation  séquentielle est Seq=(1;2;3;0;0;6;7;0;9;0;0......).

∴

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la divisibilité de la variable b par nₓ, soit d'ₙ|b, est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(nₓ)=0, si nₓ∤b
• 1A(nₓ)=1, si  nₓ|b

∀ b ∈ N*, ∀ nₓ  ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N* et et dₙ <= b:

a'(n)=1A(dₙ|b)=1A(nₓ)=1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉   (b)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par la valeur correspondante de la variable b dans l'expression (b), soit a(n)=1A(dₙ|35)=1A(nₓ)=1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉, nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:

Seq=(1;0;0;0;1;0;1;0;0;0......). Remarquons que si nous multiplions l'expression (b) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres diviseurs de b=35, inférieurs ou égaux à b=35, de représentation séquentielle Seq=(1;0;0;0;5;0;7;0;0;0......).

∴

La multiplication des expressions précédentes (a) et (b) résulte dans l'expression de la nouvelle fonction indicatrice de la caractéristique des nombres diviseurs communs à, a et b, soit 1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b), est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(nₓ)=0, si nₓ∤a ∧ nₓ∤b
• 1A(nₓ)=1, si nₓ|a ∧ nₓ|b

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la divisibilité des variables a et b par nₓ, soit dₙ|a ∧ dₙ|b, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ  ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N* et  dₙ <= b:

a(n)*a'(n)=1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b)=(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)    (c) ↔ (a)*(b)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (c), soit a(n)*a'(n)=1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:

Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0;0......). Remarquons que si nous multiplions l'expression (c) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres communs diviseurs de a =126 et b=35, inférieurs ou égaux à 126, de représentation séquentielle, Seq=(1,0,0,0,0, 0,7,0,0,0,0,0,0,0,0.0,0,0,0..)

∴

Enfin le plus grand diviseur commun à, a et b correspond à la dernière valeur non nulle de la séquence de nombres représentant cette dernière expression (c). En effet nous obtenons cette valeur égale au PGCD(a,b) en définissant tout d'abord l'expression de la fonction indicatrice inverse de la précédente soit :

1A: N→ {0,1}

• 1A(nₓ)=1, si nₓ∤a ∧ nₓ∤b
• 1A(nₓ)=0, si nₓ|a ∧ nₓ|b

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la non divisibilité des variables a et b par nₓ, soit dₙ∤a ∧ dₙ∤ b, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ  ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ∤a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ  ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ∤b ∈ N*:

a(n)=1A(dₙ∤a)*1A(dₙ∤b)=1-1A(dₙ|a)*1A(d'ₙ|b)=1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)    (d) ↔ 1- (c) ↔ 1- (a)* (b)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (d), soit 1A(dₙ∤a)*1A(dₙ∤b)=1-1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), nous obtenons sa représentation séquentielle, Seq=(0;1;1;1;1;1;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1......). Remarquons que si nous multiplions l'expression (c) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres non communs diviseurs de a =126 et b=35, de représentation séquentielle, Seq=(0;2;3;4;5;6;0;8;9;10;11;12;13;14;15;16......).

∴

Ensuite, en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général ( noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation, nous écrivons maintenant l'expression de la valeur du PGCD(a,b) qui représente l'expression se substituant à l'ensemble de toutes les étapes de la méthode de l'algorithme d'Euclide, qui est définie et décomposée comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=∑ n=1→n=∞:  [ (a(n₊₁)*a'(n₊₁) )i ] =∑ n=1→n=∞:  [ (1A(dₙ₊₁|a)*1A(dₙ₊₁|b))i ] =∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]           (e) ↔ ∑ n=1→n=∞:  [ ( (a)*(b) )i ] . 

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (e), soit ∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ], nous obtenons sa représentation séquentielle, qui est comme suit:

Seq=(1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2...). Remarquons avec le décalage indiciel de de n₊₁, la différence d' avec l'expression sans ce décalage, ∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌉) )i ] dont la représentation séquentielle est comme suit:

Seq=(1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2...), il y a une quantité de six 1 au lieu de cinq comme précédemment. Cette difference tient au fait que chaque nombre 1 ou 2 correspond au rang des segments de la suite de nombres de l'expression (c), soit a(n)*a'(n)=

1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), de représentation séquentielle, Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0): chaque nombre 1 détermine un nouveau rang de segmentation avec le premier déterminant le rang 1, et le deuxième nombre 1 déterminant le segment de rang 2, etc. comme nous l'avons écrit à la rubrique 17 intitulée "8'A IV FONCTION DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE FONDAMENTALE".

∴

Nous avons aussi besoin de déterminer l'expression du rang des segments de la fonction indicatrice caractéristique de l'inverse de la précédente soit, le rang des segments de la fonction indicatrice de la caractéristique de l'ensemble des nombres non diviseurs commun de a et b, et inférieurs à a>b, qui est définie comme suit: 

 ∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-a(n)*a'(n))i ]=∑ n=1→n=∞: [ (1-1A(dₙ₊₁|a)*1A(dₙ₊₁|b) )i ] =∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ]    (g) ↔ ∑ n=1→n=∞: [ ( 1- (a)* (b) )i ] 

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (g), soit  ∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )i ] nous obtenons sa représentation séquentielle qui est Seq=( 0,1,2,3,4,5,5,6,7,8.).

∴

Enfin nous avons aussi besoin de déterminer le cardinal de l'ensemble des nombres communs diviseurs avec a et b, défini comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] )      (f) ↔ ∑ n=1→n=∞:  [ (a)*(b) ]. Cette dernière expression avec la sommation est sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristique d'expression (a)*(b) dont la valeur est donc 1 ou 0 et la valeur de leur somme est celle d'une variable fixe.

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (f), soit a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈23/n-⌊23/n⌋⌉)] )= 2, nombre qui correspond à la valeur du cardinal du sous ensemble des éléments non nuls de la suite de nombres de l'expression (c), soit a(n)*a'(n)=1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), de représentation séquentielle, Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0).

∴

Si avec les deux expressions précédentes (e), (f) et (g), nous avons écrit les paramètres nécessaires à l'élaboration de l'expression du rang caractéristique de la plus grande valeur des diviseurs communs de a et b, alors nous écrivons maintenant l'opération sur les sous-ensembles de nombres qui compte tenu de ces deux paramètres nous donnera en finalité l'expression de ce rang caractéristique recherché, que nous pouvons définir comme la dernière de premières valeurs non nulles avant une série de valeurs nulles. La première opération est en fait celle de la caractérisation par la fonction indicatrice des valeurs nulles de la fonction indicatrice d'expression (c), soit, a(n)*a'(n)=1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b)=(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉), donc si nulles alors correspondant à l'expression de l'ensemble des nombres caractéristique des nombres commun non diviseurs de a et b qui sont inférieurs à la plus grande valeur de ces nombres correspondant à la valeur recherché du PGCD(a,b) et caractérisé par le nombre 1. Cette opération de caractérisation est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(nₓ)=1, si nₓ∤a ∨ nₓ∤b ∧ nₓ < 1A(PGCD(a,b))*nₓ
• 1A(nₓ)=0, si nₓ|a ∧ nₓ|b ∧ nₓ < 1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la non divisibilité des variables a ou b par nₓ< 1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
 

a(n)=( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)  )              (h) ↔  (⌈ ((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d)*(n-(g) +(d)₊₁ )))/(((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d) *(n-(g) +(d)₊₁ ))+1)⌉)*(d)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (h) soit a(n)=(⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁-⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ), de représentation séquentielle, Seq=(0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,....).

∴

Ensuite, après l'opération de caractérisation précédente, nous allons soustraire au résultat de cette opération précédente soit l'expression (h), l'expression (d), pour obtenir l'expression de la fonction indicatrice des nombres inférieurs à la plus grande valeur des nombres commun diviseurs à a et b, une opération résultant dans l'expression d'une fonction indicatrice qui est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(nₓ)=1, si nₓ > 1A(PGCD(a,b))*nₓ
• 1A(nₓ)=0, si nₓ <= 1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ>1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)= (1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)  )       (i) ↔ (d) - (h) ↔ 1- (c) - (h) ↔ 1- (a)* (b) - (h) ↔ 1- (a)* (b) - (  (⌈ ((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d)*(n-(g) +(d)₊₁ )))/(((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d) *(n-(g) +(d)₊₁ ))+1)⌉)*(d)  )

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (i) soit:

 

a(n)= (1-(1-⌈126/n-⌊126 /n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) - ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35,/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)  ), de représentation séquentielle:
Seq=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1..).

∴

Puis, nous considérons l'inverse de la fonction indicatrice précédente et dont l'expression est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(nₓ)=0, si nₓ > 1A(PGCD(a,b))*nₓ
• 1A(nₓ)=1, si nₓ < =1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ<=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)= 1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) )        (j)  ↔ 1-(i) ↔  1- (d) + (h) ↔ (c) + (h) ↔  (a)*(b)+(h)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (j) soit:

a(n)= 1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ), de représentation séquentielle: Seq(1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0

,0,0,0,0,0,...).

∴

Enfin nous déterminons le cardinal de l'ensemble des nombres inférieurs ou égaux au PGCD(a,b), défini comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ]        (k) ↔ ∑ n=1→n=∞:  [(j)]. Cette dernière expression avec la sommation est sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristiques de nₓ<=1A(PGCD(a,b))*nₓ et d'expression (j), dont la valeur est donc 1 ou 0, et la valeur de leur somme est une variable fixe.

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (k) soit:

a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ]=7  

∴

Enfin nous obtenons l'expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de l'index de position du nombre correspondant à la valeur du PGCD(a,b) obtenu précédemment par la sommation totale de l'expression précédente, (j), et dont l'expression (k) est à la fois ce cardinal et cet index de position de PGCD(a,b), et qui est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(nₓ)=1, si nₓ = 1A(PGCD(a,b))*nₓ
• 1A(nₓ)=0, si nₓ ≠1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)= ( 1- ⌈  | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁-⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) |  / (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) - ⌊ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) |  /  ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉  )  *   (1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) )   )        (l) ↔ (1-⌈ |n-(k)| / (k) -⌊ |n-(k)| / (k) ⌋ ⌉ )*(j)  avec (k) ↔ ∑ n=1→n=∞: [(j)]; et avec  (j) ↔ 1-(i) ↔ 1- (d) + (h) ↔ (c) + (h) ↔  (a)*(b)+(h)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (l) soit:

a(n)= ( 1- ⌈  | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁-⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) |  / (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) - ⌊ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) |  /  ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉  ) * (1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) )  ), de représentation séquentielle: Seq(0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,

0,0,0,0,0,0,...).

∴

Nous écrivons pour conclure l'expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de la valeur du PGCD(a,b) qui est égale à la multiplication de nₓ ∈ N* par l'expression précédente (l) de la fonction indicatrice de la caractéristique de l'index de position du nombre correspondant à la valeur du PGCD(a,b) obtenu précédemment par la sommation totale de l'expression précédente, (j), et dont l'expression (k) est à la fois ce cardinal et cet index de position de PGCD(a,b), et qui est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(nₓ)=1*nₓ, si nₓ = 1A(PGCD(a,b))*nₓ
• 1A(nₓ)=0*nₓ, si nₓ ≠1A(PGCD(a,b))*nₓ

L'expression de la multiplication de nₓ par l'expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:

a(n)= (  ( 1- ⌈  | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁-⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) |  / (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) - ⌊ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) |  /  ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉  )  *   (1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ) )*n       (m) ↔ (l) * (a(n)=n)

∴

Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l'expression (m) soit:

a(n)= (( 1- ⌈  | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁-⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) |  / (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) - ⌊ | n - (∑ n=1→n=∞: [ (1 -  ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) |  /  ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 - ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉  ) * (1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉))  -  ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) - ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉)  )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) )  )  ) * n, de représentation séquentielle, Seq(0,0,0,0,0,0,7,0,0,0,0,

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...).

∴

Le PGCD(a,b)=∑ n=1→n=∞:  [(m) ]↔ ∑ n=1→n=∞:  [(l)*(a(n)=n)]. Ces dernières expressions avec la sommation sont sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristiques de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ et d'expression (m), dont la valeur est donc 1 ou 0, et la valeur de leur somme égale à leur cardinal est une variable fixe toujours égale à la valeur du PGCD(a,b).

∴

∴

II) PROPRIÉTÉS DE LA RELATION DE CONGRUENCE NON SÉQUENTIELLE ÉQUIVALENTE AUX EXPRESSIONS DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND

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2.a) Les expressions de l'inverse multiplicatif modulaire d'un entier relatif, A, pour la multiplication modulo b, et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

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Cette deuxième sous partie est consacrée à l'une des propriétés de la relation de congruence non séquentielle, soit l'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre b toujours défini comme suit: 

∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ N*, ∀ b ∈ Z*,  A⁻¹ est l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, si a(n)=A⁻¹ →(A*A⁻¹) ≡ 1(mod b) ↔ A*A⁻¹ mod b=1     (0), signifiant que l'inverse multiplicatif modulaire d’un entier A est un entier A⁻¹ tel que le produit A*A⁻¹ est congru à 1 modulo b, et que si cet entier A⁻¹ existe alors PGCD(A, b)=1. 

Cette propriété d'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre b, en arithmétique modulaire est similaire à celle de l'inverse en arithmétique non modulaire. En effet, si tous les nombres réels autres que 0 ont un inverse et que multiplier un nombre A par l'inverse 1/A équivaut à diviser par A, avec A*(1/A)=1, l'opération de division n'est pas définie en arithmétique modulaire, mais il existe néanmoins l'inverse modulaire noté A⁻¹ tel que, A*A⁻¹ mod b=1, mais avec A⁻¹≠(1/A), donc seulement une équivalence de notation sinon avec A⁻¹=(1/A), entre inverse en arithmétique modulaire et inverse en arithmétique non modulaire, car nous avons l'égalité A*A⁻¹ mod b=1 ↔ 1 mod b=1 ≢  A*A⁻¹ =1 ↔ A*1/A=1. Néanmoins, si lorsque A*x ≡ 1 (mod b), a une solution, elle est souvent notée ainsi, A⁻¹, cela peut être considéré comme un abus de notation puisque cet inverse pourrait être interprété à tort comme l'inverse de A (qui, contrairement à l'inverse multiplicatif modulaire, n'est pas un entier sauf lorsque a vaut 1 ou -1). Ainsi, l'inverse de A modulo b existe, si et seulement si A et b sont premiers entre eux, c'est-à-dire si le PGCD(A, b)=1, ou bien encore que seuls les nombres premiers avec b qui sont les nombres qui ne partagent aucun facteur premier avec b ont un inverse modulaire (mod b). Si cet inverse existe, l'opération de division par A modulo b équivaut à la multiplication par son inverse modulaire de A (mod b) qui est A⁻¹, avec (A* A⁻¹ ) ≡ 1 (mod b) ou de manière équivalente (A* A⁻¹ ) mod b=1.

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Nous écrivons maintenant l'expression équivalente aux expressions de ce qui sont appelées  en théorie des nombres les fonctions plancher, plafond et modulo, de l'inverse A⁻¹ multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre b, pour deux nombres donnés A et b, et non pour une suite de nombres donnés conformément à notre définition dans ce titre de la congruence modulaire non séquentielle. Nous définissons tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général ( noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), nous avons définie A⁻¹≠1/A, l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, comme suit:

∀ A ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec A>b :

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1).

a(n)=A⁻¹= ∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈|mod(n*A,b)-1|/(|mod(n*A,b)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/A⌋)-⌊|n-A|/A⌋) )i ]                        (1').

Or si nous avons écrit l'expression équivalente aux expressions de ce qui sont appelées en théorie des nombres les fonctions plancher, plafond et modulo, de cet inverse A⁻¹ multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre b, et que nous n'avons seulement écrit que l'expression d'équivalence modulaire de cet inverse A⁻¹ multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo b, pour deux nombres donnés A et b, et non pour une suite de nombres donnés, conformément au titre de notre rubrique, il existe d'autres expressions préexistantes à la notre pour calculer l'inverse multiplicatif modulaire A⁻¹ d'un nombre A modulo b, notamment en utilisant l'algorithme dit de la méthode de Fermat énoncé par le petit théorème de Fermat ("un résultat de l'arithmétique modulaire datée d'octobre 1640, qui s'énonce comme « si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^(p–1) – 1 est un multiple de p », autrement dit sous les mêmes conditions sur a et p, a^(p–1) est congru à 1 modulo p " d'après l'article de Wikipédia L'encyclopédie libre), quand le module b est premier, soit, a(n)=A⁻¹ ↔ A^(-1) = A^(b-2) mod b   (2). Tandis que lorsque le module b est composite, avec A et b premiers entre eux, on peut utiliser l'algorithme dit de la méthode d'Euler énoncé par le théorème d'Euler ( "une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où n est un nombre premier.Pour tout entier n > 0 et tout entier a premier avec n (autrement dit : inversible mod n),  a^phi (n)≡ 1  mod n où phi (n) est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers." d'après l'article de Wikipédia L'encyclopédie libre) pour calculer l'inverse multiplicatif, soit, A⁻¹ ↔ A^(-1) = A^(φ(b)-1) mod b     (2'), à condition que l'on connaisse φ(b) qui d'après Wikipédia est définie en Anglais comme "la Fonction Totient de Euler et en Français qui est défini comme la fonction indicatrice de Euler, c'est-à-dire dans les deux cas, "une fonction arithmétique de la théorie des nombres, notée phi(n) ↔ φ(n), qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Plus formellement, algébriquement l'indicatrice d'Euler est la fonction φ, de l'ensemble ℕ* des entiers strictement positifs dans lui-même, définie par :

φ : N* ⟶ N* 

n ⟼ c a r d ({ m ∈ N* | m ⩽ n et m premier avec n }).

Par exemple toujours d'après Wikipédia:

• φ(8) =4, car parmi les nombres de 1 à 8, seuls les quatre nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8; 
• φ(12) = 4, car parmi les nombres de 1 à 12, seuls les quatre nombres 1, 5, 7 et 11 sont premiers avec 12 ;
• φ(1) = 1, car 1 est premier avec lui-même (c'est le seul entier naturel qui vérifie cette propriété, si bien que pour tout entier n > 1, on peut remplacer non seulement m ∈ ℕ* par m ∈ ℕ, mais m ≤ n par m < n, dans la définition ci-dessus de φ(n))."
• Un entier p > 1 est premier si et seulement si tous les nombres de 1 à p – 1 sont premiers avec p, c.-à-d. si et seulement si φ(p) = p – 1 ;

∴

Illustrons maintenant ces deux derniers algorithmes, celui de la méthode de Fermat et celui de la méthode de Euler, permettant de déterminer A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), et correspondant à la multiplication de deux nombres entiers A et A⁻¹, puisque seuls les nombres entiers sont des nombres premiers ou des nombres composés (excluant ainsi les nombres décimaux, justifiant ainsi notre algorithme plus restrictif que dans l'ensemble des cas précédents, puisqu'il ne donnera que les valeurs de nombres entiers correspondantes à l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, A⁻¹ .), en prenant tout d'abord pour la méthode de Fermat l'exemple de A=3 et b=17, alors en remplaçant ces valeurs dans la définition comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ p=b ∈ P=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31...):

a(n)= A⁻¹ ↔ A^(-1) = A^(b-2) mod b        (2), cette dernière expression satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1       (1). 

Donc pour b=17 et A=3, en remplaçant dans (2) nous obtenons:

a(n)= A⁻¹ ↔ A^(-1) = 3^(17-2) mod 17= 3^(15) mod 17=6. Cette valeur de A⁻¹=6, l'inverse multiplicatif modulaire de A=3 modulo b=17, satisfait l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), soit 3*6=18 mod 17=1.

En prenant ensuite pour la méthode d'Euler, l'exemple de  A=4 et b=15, alors en remplaçant ces valeurs dans la définition comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ c=b ∈ N\P=(4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20...):

a(n)=A⁻¹ ↔ A^(-1) = A^(φ(b)-1) mod b     (2'), cette dernière expression satisfaisant aussi l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1       (1). 

Donc pour b=15 et A=4, en remplaçant dans (2) nous obtenons:

a(n)=A⁻¹ ↔ A^(-1) = 4^(φ(15)-1) mod 15,  avec φ(15)=8

 A⁻¹ ↔ A^(-1) =  4^(8-1) mod 15= 4^(7) mod 15=4. Cette valeur de A⁻¹=4, l'inverse multiplicatif modulaire de A=4, modulo 15, satisfait l'expression, a(n)=A*A⁻¹ mod b=1 (1), soit en remplaçant dans (1), 4*4 mod 15=1 ↔  16 mod 15=1. 

∴

Remarquons qu'il existe un troisième algorithme dit euclidien étendu ayant la même structure que l'algorithme d'Euclide  et ne nécessitant pas de déterminer la valeur de φ(b), car son expression que j'ai écrite au titre 11,  2'A I' et intitulé, "APPLICATIONS EN THÉORIE DES NOMBRES DE LA FONCTION D'ANNULATION CARACTÉRISTIQUE SIMPLE: 1A(p(n)) et phi(n) ", comme la formule de l'expression de la fonction Totient d’Euler (avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), comme suit, soit ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 

a(n)=phi(x)=Σ n=1→n=x: [ (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1) i ],   (10)₁₁ (La numérotation indicée permet de différencier la numérotation non indicée des expressions de ce titre d'avec ceux des titres précédents et l'indice correspondant au titre précédent 11). 

Mais cette dernière expression implique que pour calculer toute séquence de nombres totients donc d'une séquence de nombres nous additionnons autant d'expression (10) qu'il y a de valeurs de x simultanément, ce qui nous donne un trop grand nombre d'expressions  après seulement quelques dizaines de valeurs successives de la variable x choisie appartenant à N*. En fait cette expression (10), sert principalement à déterminer le nombre totient d'une seule valeur choisie différente et répétitivement, et non d'une suite de nombres totients d'une suite de valeurs de nombres choisies comme toutes celles de l'ensemble N*. Cet algorithme euclidien étendu, fonctionne à la fois pour le module des nombres premiers ou composés, mais comme les deux algorithmes précédents de Fermat et d'Euler, il n'est pas utilisable pratiquement pour une suite de nombres, car il n'a pas d'expression unique systématique définie malgré ce qui s'en rapproche le plus, soit l'expression du théorème de Bézout étendu ("un résultat d'arithmétique élémentaire provenant de l'existence d'un couple d'entiers tels que ax + by = PGCD(a, b), dans un premier Théorème de Bachet-Bézout (ou Identité de Bézout) — qui énonce que "Soient a et b deux entiers relatifs. Si d est le PGCD de a et b, alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = d." et dans un deuxième théorème déduit du premier, soit le théorème de Bézout énonçant que "Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1." d'après l'article de Wikipédia L'encyclopédie libre) à l'expression de A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1    (1), selon lequel A possède un inverse modulo b si et seulement s'il existe deux entiers x=A⁻¹ et y, tels que   a(n)=x*A+ y*b        (1'), et plus particulièrement a(n)=x*A + y*b  1       (1'').

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Reprenons et élaborons ce que nous avons écrit précédemment et considérons tout d'abord la formalisation de l'algorithme d'Euclide qui est décrit en partant de deux nombres a, b ∈ N* que l’on divise et donnant un premier quotient que l'on divisera par le premier reste obtenu, ainsi que les quotients successifs que l'on divisera encore par les restes successifs obtenus, et ce tant que les quotients et les restes obtenus vérifient l'inégalité rₙ  > rₙ ₊₁, l'algorithme se terminant à la dernière division, car donnant un reste égal à 0, et correspondant formellement à une première division euclidienne a/b soit a(n)=a = q₀*b + r₂   (3), suivie de divisions euclidiennes successives entre les nouveaux quotients et les nouveaux restes obtenus, soit b= qₙ*rₙ + rₙ₊₁    (3'), les étapes de l'algorithme d'Euclide sont formalisées et représentées comme précédemment et comme suit:

∀ rₙ ∈ N*, ∀ qₙ ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b, ∀ n ∈ N* 

a= q₀*b+r₂  avec a > b > r₂  

b= q₁*r₂+r₃, avec r₂ > r₃

r₂ = q₂*r₃+r₄  avec r₃ > r₄

r₃ = q₃*r₄+r₅ avec r₄ > r₅

r₄= q₄*r₅+0  avec r₅ > 0

Or l’on suppose ici arbitrairement pour l'exemple seulement que l'algorithme d'Euclide se termine à la cinquième étape des divisions successives des restes devenus diviseurs par les restes obtenus dans les étapes précédentes, puisque le cinquième reste r₅ est nul, l’avant-dernier reste r₄ est donc égal au PGCD entre a et b soit PGCD(a,b)= r₄, mais en général l'avant-dernière étape précédent celle ou le reste est égal à zéro correspondra toujours à la valeur du PGCD entre les deux nombres.

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Prenons encore un exemple que nous utiliserons aussi pour illustrer l'algorithme d'Euclide étendu, soit le PGCD entre 120 et 23, qui est noté PGCD(120,23):

a=120 = 5*23+5, avec a=120 > b=23 > r₂=5
b=23 = 4*5+3, avec  r₂=5 > r₃=3
r₂=5 = 1*3+2, avec r₃=3 > r₄=2,
r₃=3= 1*2+1; avec r₄=2 > r₅ = 1,

r₄=2= 2*1+0; avec r₅ =1 > r₆ = 0

Ainsi, le sixième reste r₆ = 0, donc l’avant-dernier et cinquième reste  r₅ = 1, est le PGCD recherché: PGCD(120,23)=1.

∴

Or par définition nous savons que le PGCD de a et b, divise a et b, et donc qu'il divise aussi toute combinaison linéaire de a et b, définie comme la somme des multiples de a avec les multiples de b, et qu'il est donc lui-même une combinaison linéaire de a et de b et la plus petite combinaison linéaire possible de a et de b, alors chaque reste obtenu rₙ de l'algorithme d'Euclide est une combinaison linéaire de a et b, définissant ainsi la méthode l'algorithme d'Euclide étendu comme suit:

∀ rₙ ∈ N*, ∀ qₙ ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a > b, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ₌ₓ ∈ Z, ∀ yₙ₌ₓ  ∈ Z et soit la première division euclidienne de l'algorithme d'Euclide,a(n)= a = q₀*b + r₂     (3), suivie de divisions euclidiennes successives entre les nouveaux quotients et les nouveaux restes obtenus de l'algorithme d'Euclide, soit a(n)= qₙ = qₙ₊₁*rₙ₊₁ + rₙ₊₂   (3'), alors la première combinaison linéaire déduite de la première division de l'algorithme d'Euclide (3) implique toutes les combinaisons linéaires suivantes aussi déduites des divisions suivantes (3') de l'algorithme d'Euclide. Cette définition générale de la méthode de l'algorithme d'Euclide étendu est représentée formalisée pour être applicable à toute valeur de N* remplaçant les variables a et b, comme suit :

∀ n ∈ N*, ∀ rₙ ∈ N*, ∀ qₙ ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b; et q₀ le quotient de la division euclidienne de a par b; et a = q₀*b + r₂; et soit tout d'abord l'algorithme d'Euclide suivant précédant l'algorithme d'Euclide étendu:

a= q₀*b + r₂, avec a>b ↔ q₀=⌊a/b⌋ ∧ r₂=a mod b

b= q₁*r₂ + r₃, avec r₂ > r₃ ↔ q₁=⌊b/r₂⌋ ∧ r₃=b mod r₂

r₂=q₂*r₃ + r₄,  avec r₃ > r₄ ↔ q₂=⌊r₂/r₃⌋ ∧ r₄=r₂ mod r₃

r₃=q₃*r₄ + r₅,  avec  r₄ > r₅ ↔ q₃=⌊r₃/r₄⌋ ∧  r₅=r₃ mod r₄

r₄= q₄*r₅ + r₆, avec r₅ > r₆ ↔ q₄=⌊r₄/r₅⌋ ∧ r₆=r₄ mod r₅

r₅= q₅*r₆ + r₇,  avec r₆> r₇ ↔ q₅=⌊r₅/r₆⌋  ∧  r₇=r₅ mod r₆

r₆= q₆*r₇ + r₈,  avec r₇ > r₈ ↔ q₆=⌊r₆/r₇⌋  ∧  r₈=r₆ mod r₇

......

rₙ₌ₓ=qₙ₌ₓ*rₙ₌ₓ₊₁ + rₙ₌ₓ₊₂, avec rₙ₌ₓ₊₁ > rₙ₌ₓ₊₂

rₙ₌ₓ₊₁=qₙ₌ₓ₊₁*rₙ₌ₓ₊₂ + rₙ₌ₓ₊₃, avec rₙ₌ₓ₊₂ > rₙ₌ₓ₊₃ 

∴

Ensuite, soit l'algorithme d'Euclide étendu continuant l'algorithme d'Euclide précédent avec

∀ n ∈ N*, avec n=1, ∀ rₙ ∈ N*, ∀ qₙ ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b; et q₀ le quotient de la division euclidienne de a par b; et a = q₀*b + r₂ :

a₀(n)=r₀=a=x₀*a+y₀*b ↔ r₀=a=1*a+0*b → x₀=1 ∧ y₀=0   (3.0)

a₁(n)=r₁=b= x₁*a+y₁*b ↔ r₁=b = 0*a+1*b → x₁=0 ∧ y₁=1  (3.1)

a₂(n)=a=q₀*b + rₙ₊₁  (3)→ a'(n)= rₙ₊₁ = xₙ₊₁*a + yₙ₊₁*b   (3") → a₂'(n)=xₙ₊₁=xₙ₋₁ - qₙ₋₁*xₙ ∧ yₙ₊₁=yₙ₋₁ - qₙ₋₁*yₙ ↔ x₂=x₀-q₀*x₁ ∧ y₂=y₀- q₀*y₁   (3"') → x₂*a+y₂*b=r₂   (3"'')

a₃(n)=b= q₁*rₙ₊₁ + rₙ₊₂ (3') → a'(n)= rₙ₊₂ = xₙ₊₂ *a + yₙ₊₂ *b  (3") → a₃'(n)=xₙ₊₂=xₙ - qₙ*xₙ₊₁ ∧ yₙ₊₂ =yₙ - qₙ*yₙ₊₁ ↔ x₃=x₁ -q₁ *x₂ ∧ y₃=y₁ - q₁ *y₂   (3"') → x₃*a+y₃*b=r₃      (3"'') 

a₄(n)=rₙ₊₃=r₁₊₃ = r₄= q₂*rₙ₊₂ + rₙ₊₃ (3') → a'(n)= rₙ₊₃ = xₙ₊₃ *a + yₙ₊₃ *b  (3'') → a₄'(n)=xₙ₊₃=xₙ₊₁ - qₙ₊₁*xₙ₊₂ ∧ yₙ₊₃=yₙ₊₁ - qₙ₊₁*yₙ₊₂ ↔ x₄=x₂ -q₂*x₃ ∧ y₄=y₂ - q₂ *y₃    (3''') → x₄*a+y₄*b=r₄      (3"'') 

a₅(n)=rₙ₊₄=r₁₊₄= r₅= q₃*rₙ₊₃ + rₙ₊₄ (3')→ a'(n)= rₙ₊₄ = xₙ₊₄ *a + yₙ₊₄ *b   (3'') → a₅'(n)=xₙ₊₄=xₙ₊₂  - qₙ₊₂ *xₙ₊₃ ∧ yₙ₊₄=yₙ₊₂ - qₙ₊₂*yₙ₊₃ ↔ x₅=x₃ -q₃*x₄ ∧ y₅=y₃  - q₃*y₄   (3"') → x₅*a+y₅*b=r₅      (3"'') 

a₆(n)=rₙ₊₅=r₁₊₅= r₆= q₄*rₙ₊₄ + rₙ₊₅  (3') → a'(n)= rₙ₊₅= xₙ₊₅ *a + yₙ₊₅ *b   (3'')→ a₆'(n)=xₙ₊₅=xₙ₊₃  - qₙ₊₃ *xₙ₊₄ ∧ yₙ₊₅=yₙ₊₃ -qₙ₊₃ *yₙ₊₄  ↔ x₆=x₄ -q₄*x₅ ∧ y₆=y₄ - q₄*y₅    (3''') → x₆*a+y₆*b=r₆     (3"'')

 

Plutôt que de continuer la formalisation ci-dessus de cette méthode algorithmique, elle peut être formalisée après (3.1) comme suit avec ∀ n ∈ N*, avec n=x,  et comme précédemment ∀ rₙ ∈ N*, ∀ qₙ ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b; et q₀ le quotient de la division euclidienne de a par b; et a = q₀*b + r₂ :

aₙ₌ₓ(n)= rₙ₌ₓ= qₙ₌ₓ₋₂*rₙ₌ₓ₋₁ + rₙ₌ₓ  (3') → a'ₙ₌ₓ(n)= rₙ₌ₓ= xₙ₌ₓ*a + yₙ₌ₓ *b   (3'') → a'ₙ₌ₓ(n)=xₙ₌ₓ=xₙ₌ₓ₋₂ - qₙ₌ₓ₋₂*xₙ₌ₓ₋₁  ∧ yₙ₌ₓ=yₙ₌ₓ₋₂  - qₙ₌ₓ₋₂ *yₙ₌ₓ₋₁    (3''') → xₙ₌ₓ*a+yₙ₌ₓ*b= rₙ₌ₓ  (3"'') 

aₙ₌ₓ₊₁ (n)= rₙ₌ₓ₊₁ = qₙ₌ₓ₋₁ * rₙ₌ₓ+ rₙ₌ₓ₊₁  (3') →a'ₙ₌ₓ₊₁(n)= rₙ₌ₓ₊₁= xₙ₌ₓ₊₁ *a + yₙ₌ₓ₊₁ *b    (3") →   a'ₙ₌ₓ₊₁(n)=xₙ₌ₓ₊₁ = xₙ₌ₓ₋₁ - qₙ₌ₓ₋₁ *xₙ₌ₓ ∧ yₙ₌ₓ₊₁=yₙ₌ₓ₋₁ - qₙ₌ₓ₋₁*yₙ₌ₓ   (3''') →   xₙ₌ₓ₊₁*a+yₙ₌ₓ₊₁*b= rₙ₌ₓ₊₁    (3"'') 

Donc nous concluons par l'interprétation des éléments de notre représentation formalisée de l'algorithme étendu d'Euclide, que les étapes précédentes se terminent lorsque:

xₙ₌ₓ₊₁*a + yₙ₌ₓ₊₁*b=0 ⊕ xₙ₌ₓ₊₁*a + yₙ₌ₓ₊₁*b=1 avec a'ₙ₌ₓ₊₁(n)=xₙ₌ₓ₊₁ = xₙ₌ₓ₋₁ - qₙ₌ₓ₋₁ *xₙ₌ₓ  ∧ yₙ₌ₓ₊₁=yₙ₌ₓ₋₁ - qₙ₌ₓ₋₁ * yₙ₌ₓ (3'''); et ce qui signifie dans le premier cas que le reste de l'étape précédente soit rₙ₌ₓ₊₁ est égale au PGCD entre a et b et que, a et b n'ont pas d'inverse multiplicatif modulaire. Tandis que dans le deuxième cas, cela signifie que le PGCD entre a et b est égale à 1, mais aussi ce qui signifie que, a et b sont co-premiers entre eux et donc que les variables a et b sont deux nombres admettant un inverse multiplicatif modulaire égale à xₙ₌ₓ₊₁ et yₙ₌ₓ₊₁ respectivement pour a et b.

∴

Ainsi cette représentation précédente en générale de l'algorithme d'Euclide donnant à la fois le résultat de la valeur du PGCD(a,b) et la combinaison linéaire comme précédemment définie correspond à la formalisation de la définition de l'algorithme d'Euclide étendu. Dans le cas particulier ou cette combinaison linéaire est égale à 1, nous retrouvons bien comme nous l'avons précédemment écrit le théorème de Bézout énonçant que "Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1", théorème qui peut être étendu à l'expression de A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1    (1), selon lequel A possède un inverse modulo b si et seulement s'il existe deux entiers x=A⁻¹ et y tels que, a(n)=x*A + y*b        (1'), et plus particulièrement a(n)=x*A + y*b=1       (1'').

∴

Pour illustrer notre exposé précédent prenons encore le même exemple que précédemment qui est aussi celui de l'article intitulé "l'algorithme d'Euclide étendu" de Wikipédia L'encyclopédie libre, du calcul du PGCD de 120 et 23 avec l'algorithme d'Euclide que nous rappelons fastidieusement peut être, mais nécessairement:

a=120=23*5+5, avec a > b > r₂, soit 120 > 23 > 5; 

b=23=5*4+3, avec r₂ > r₃, soit 5 > 3; 

r₂=5=3*1+2, avec r₃ > r₄, soit 3 > 2;

r₃=3=2*1+1, avec r₄ > r₅, soit 2 > 1;

r₄=2=1*2+0, avec r₅ > r₆, soit 1 > 0.

Le reste obtenu à la dernière étape r₆=0, donc le reste de la cinquième étape précédente r₅=1 est égal à la valeur du PGCD entre 120 et 35, soit PGCD(120,35)= 1, et un PGCD égal à 1 signifie que les nombres 120 et 23 sont premiers entre eux, et qu'ils admettent tout deux un inverse multiplicatif modulaire puisque d'après la condition même de la définition de A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1),  l'inverse de A modulo b existe si et seulement si A et b sont premiers entre eux, donc si PGCD(A, b) = 1 caractérisant cette propriété de co-primalité de deux nombres (la co-primalité est la propriété de deux nombres entiers tous deux ou non, composites ou premiers, dont on dit qu'ils sont premiers entre eux, ou co-premiers, "si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun ou de manière équivalente, s'ils sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun". Tandis que la primalité est la propriété d'un nombre premier, soit être différent de 1 et divisible uniquement par 1 et par lui-même.). Cependant cet algorithme d'Euclide n'est pas le plus efficace puisqu'il faut le répéter plusieurs fois pour obtenir en finalité cet inverse multiplicatif modulaire, et de la manière suivante en reprenant notre exemple précédent de 120 et 23 nous obtenons les combinaisons linéaires de ces deux nombres possibles en replaçant dans la définition générale de la méthode de l'algorithme d'Euclide étendu est représentée formalisée pour être applicable à toute valeur de N* remplaçant les variables a et b, et autres, soit n=1, a=120 et b=23, avec le quotient de la division euclidienne de a par b, soit q₀=5, comme suit:

a₀(n)=rₙ₋₁ =r₁₋₁=r₀=a=x₀*a+y₀*b ↔ r₀=a=1*a+0*b → x₀=1 ∧ y₀=0  (3.0)→1*120+0*23=120  (3.1)

a₁(n)=rₙ=r₁=b=x₁*a+y₁*b ↔ r₁=b=0*a+1*b→ x₁=0 ∧ y₁=1   (3.2)→0*120+1*23=23   (3.3)

a₂(n)=a=q₀*b+r₂      (3)→ a₂'(n)=rₙ₊₁=xₙ₊₁*a + yₙ₊₁*b   (3'')→ a₂'(n)=xₙ₊₁=xₙ₋₁ - qₙ₋₁*xₙ ∧ yₙ₊₁=yₙ₋₁ - qₙ₋₁*yₙ ↔ x₂=x₀-q₀*x₁ ∧ y₂=y₀- q₀*y₁ ↔x₂=1-5*0=1 ∧ y₂=0-5*1=-5      (3''')→1*120-5*23=5=r₂  (3'''')

a₃(n)=b= q₁*r₂ + rₙ₊₂ (3') → a₃'(n)= rₙ₊₂ = xₙ₊₂ *a + yₙ₊₂ *b  (3'') → a₃'(n)=xₙ₊₂=xₙ - qₙ*xₙ₊₁ ∧ yₙ₊₂ =yₙ - qₙ*yₙ₊₁ ↔ x₃=x₁ -q₁ *x₂ ∧ y₃=y₁ - q₁ *y₂ ↔ x₃=0-4*1=-4 ∧ y₃=1-4*-5=21  (3''')→ -4*120+21*23=3=r₃      (3'''')

a₄(n)=rₙ₊₃=r₁₊₃ = r₄= q₂*rₙ₊₂ + rₙ₊₄ (3') → a₄'(n)= rₙ₊₃ = xₙ₊₃ *a + yₙ₊₃ *b  (3'') → a₄'(n)=xₙ₊₃=xₙ₊₁ - qₙ₊₁*xₙ₊₂ ∧ yₙ₊₃=yₙ₊₁ - qₙ₊₁*yₙ₊₂ ↔ x₄=x₂ -q₂*x₃ ∧ y₄=y₂ - q₂ *y₃ ↔ x₄=1-1*-4=5 ∧ y₄=-5-1*21=-26    (3''') → 5*120-26*23=2= r₄    (3'''')

a₅(n)=rₙ₊₄=r₁₊₄= r₅= q₃*rₙ₊₄ + rₙ₊₅ → a₅'(n)= rₙ₊₄ = xₙ₊₄ *a + yₙ₊₄ *b     (3'') → a₅'(n)=xₙ₊₄=xₙ₊₂  - qₙ₊₂ *xₙ₊₃ ∧ yₙ₊₄=yₙ₊₂ - qₙ₊₂*yₙ₊₃ ↔ x₅=x₃ -q₃*x₄ ∧ y₅=y₃  - q₃*y₄ ↔ x₅=-4-1*5=-9 ∧ y₅=21-1*-26=47     (3''') → -9*120+47*23=1=r₅    (3'''')

a₆(n)=rₙ₊₅=r₁₊₅= r₆= q₄ * rₙ₊₅ + rₙ₊₆ → a₆'(n)= rₙ₊₅= xₙ₊₅ *a + yₙ₊₅ *b   (3'') → a₆'(n)=xₙ₊₅=xₙ₊₃  - qₙ₊₃ *xₙ₊₄ ∧ yₙ₊₅=yₙ₊₃  - qₙ₊₃ *yₙ₊₄  ↔ x₆=x₄ -q₄*x₅ ∧ y₆=y₄ - q₄*y₅ ↔ x₆=5-2*-9=23 ∧ y₆=-26-2*47=-120     (3''') → 23*120-120*23=0=r₆     (3'''')

Nous pouvons maintenant interpréter les résultats des étapes précédentes de l'algorithme d'Euclide étendu avec l'avant-dernière étape dont le résultat de sa dernière partie soit l'expression (3'''') est 1, -9*120+47*23=1  (3"") ce qui signifie que a=120 et b=23 sont co-premiers entre eux et donc que le PGCD entre a=120 et b=23 est égal à 1, noté, PGCD(120, 23)=1; et surtout que ces deux nombres 120 et 23 admettent un inverse multiplicatif modulaire, que nous avons calculé dans l'avant-dernière partie de cette même avant-dernière étape de l'algorithme d'Euclide étendu soit l'expression a(n)=x₅=-4-1*5=-9 ∧ y₅=21-1*-26=47   (3'''). Ainsi -9 est l'inverse pour la multiplication de 120 modulo 23, parce que 1= -9 × 120 mod 23. De même 47 est l'inverse, pour la multiplication modulo 120, de 23 parce que 1=47*23 mod 120. 

∴

Remarquons tout d'abord qu'étant donné le nombre important d'étapes nécessaires avec l'algorithme d'Euclide étendu pour obtenir le résultat de la valeur recherchée de l'inverse multiplicatif modulaire, il existe donc un algorithme plus efficace que l'algorithme d'Euclide étendu qui est l'algorithme de "Blankinship" et qui étant matriciel nous l'étudierons dans nos sous-titres consacrés à l'Arithmétique matricielle séquentielle au titre "9'A: Nouvelles Expressions d'Algèbre fonctionnelle simple en Arithmétique matricielle séquentielle".

∴

Ensuite remarquons aussi et surtout que l'algorithme étendu d'Euclide est incomplet, car il ne donne pas toute les valeurs de l'inverse multiplicatif d'une variable choisie contrairement à l'expression que j'ai écrite au titre, "88: 1'A XXXXII NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE EN ARITHMÉTIQUE MODULAIRE: La congruence non séquentielle", et surtout une expression équivalente aux expressions de ce qui sont appelées en théorie des nombres les fonctions plancher, plafond et modulo, de cet inverse A⁻¹ multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre b, donc qui ne requiert aucune étape de calcul correspondant à la mise en forme algorithmique comme celle de l'algorithme d'Euclide étendu. En effet, en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général ( noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), nous avons définie A⁻¹≠1/A, l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, comme suit:

∀ A ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec A>b :

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1).

a(n)=A⁻¹=( ∑n=1→n=∞: [ (1-⌈|mod(n*A,b)-1|/(|mod(n*A,b)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/A⌋)-⌊|n-A|/A⌋) )i ]                   (1').

Mais en fait si nous inversons la condition de A > b de l'expression (1') pour déterminer encore la valeur de A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), et donc que nous écrivons ∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ Z*, ∀ b ∈ N*, avec |A| > b et A<0 , alors nous obtenons l'expression de la deuxième valeur de A⁻¹≠1/A, qui est aussi la deuxième valeur de l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, et qui est définie comme suit:

 ∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ Z*, ∀ b ∈ N*, avec |A| > b et A<0:

a(n)=A⁻¹=( ∑ n=1→n=∞: [- (1-⌈|mod(n*A,b)-1|/(|mod(n*A,b)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/A⌋)-⌊|n-A|/A⌋) )i ]                     (1'').

Ainsi, nous obtenons une deuxième valeur différente de la première valeur obtenue par le calcul de l'expression (1') et correspondante aussi à l'expression de l'inverse multiplicatif modulaire de A soit encore A⁻¹≠1/A, l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, car satisfaisant encore l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1).

∴

Prenons un exemple pour illustrer les deux 'expressions précédentes (1')(1") correspondantes à l'expression de la valeur de l'inverse multiplicatif modulaire de A soit A⁻¹≠1/A l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), soit A=120 et b=23.  Alors en utilisant l'algorithme d'Eclide étendu comme précédemment, nous avons obtenu la valeur de -9 qui est l'inverse pour la multiplication de 120 modulo 23, parce que 1= -9 × 120 mod 23; et de même nous avons obtenu 47 qui est l'inverse pour la multiplication modulo 120, de 23 parce que 1=47*23 mod 120. Mais si l'expression (1') et (1'') respectivement résulte dans la valeur de 14 qui est l'inverse pour la multiplication de 120 modulo 23, parce que 1= 14 × 120 mod 23; et dans la valeur de -9, qui est l'inverse pour la multiplication de 120 modulo 23, parce que 1= -9 × 120 mod 23.

Donc il nous faudra encore écrire une nouvelle expression pour trouver cette troisième valeur de A⁻¹ pour pallier l'incomplétude de nos deux expressions par rapport à l'algorithme d'Euclide étendu, c'est-à-dire qu'il nous faudra modifier nos expressions (1) et (1'), pour obtenir une nouvelle expression de la deuxième valeur manquante de 47, donc pour A=23 et b=120. De plus, il nous faudra rechercher s'il existe peut être comme pour la valeur de 120, soit A⁻¹≠1/A, -9 et 14, les deux inverses multiplicatifs modulaires modulo b de A, une deuxième valeur qui soit l'inverse multiplicatif modulaire de b soit b⁻¹≠1/b, l'inverse multiplicatif modulaire modulo A de b.

∴

Mais en fait si cette fois-ci nous inversons les deux variables A et de b dans l'expression (1') pour déterminer encore la valeur de b⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo A de b, satisfaisant l'expression a(n)=b*b⁻¹ mod A=1   (1), et donc que nous écrivons ∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ Z*, ∀ b ∈ N*, avec A> b, alors nous obtenons l'expression de la deuxième valeur résultat de l'algorithme d'Euclide étendu, soit b⁻¹≠1/b, l'inverse multiplicatif modulaire de b modulo A, et qui est définie comme suit:

 ∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ Z*, ∀ b ∈ N*, avec A > b:

a(n)=b⁻¹=( ∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈|mod(n*b,A)-1|/(|mod(n*b,A)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/b⌋)-⌊|n-b/b⌋) )i ]                     (1''').

Puis comme précédemment (1''), si nous inversons la condition de A> b de l'expression (1''') pour déterminer encore la valeur de b⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo A de b, satisfaisant l'expression a(n)=b*b⁻¹ mod A=1   (1), et donc que nous écrivons ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, ∀ A ∈ N*, avec |A| > b et b<0 , alors nous obtenons l'expression de la deuxième valeur de b⁻¹≠1/b, qui est aussi la deuxième valeur l'inverse multiplicatif modulaire de b modulo A, et qui est définie comme suit:

 ∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ Z*, ∀ b ∈ N*, avec |A| > b et b<0:

a(n)=A⁻¹=( ∑ n=1→n=∞: [- (1-⌈|mod(n*b, A)-1|/(|mod(n*b, A)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/b⌋)-⌊|n-b|/b⌋) )i ]                     (1'''').

Ainsi, nous obtenons une deuxième valeur différente de la première valeur obtenue par le calcul de l'expression (1''') et correspondante aussi à l'expression de l'inverse multiplicatif modulaire de b soit encore b⁻¹≠1/b, l'inverse multiplicatif modulaire de b modulo A, car satisfaisant encore l'expression a(n)=b*b⁻¹ mod A=1   (1).

Nous remarquerons qu'il est possible de simplifier nos quatre expressions en deux seulement, et ce en utilisant la fonction signe ou "signum en latin, souvent représentée sgn dans les expressions, qui est une fonction mathématique qui extrait le signe d'un nombre réel, c'est-à-dire que l'image d'un nombre par cette application est 1 si le nombre est strictement positif, 0 si le nombre est nul, et -1 si le nombre est strictement négatif " et dont l'expression est définie comme une fonction indicatrice soit:

1A: E→ {0,1,-1}

• 1A(n)=1, si n>0
• 1A(n)=0 si n=0
• 1A(n)=-1, si n<0

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ Z, peut se définir comme suit:

∀ n ∈ Z:  a(n)=1A(n)=sgn(n)=n/|n|.      (S)

Donc en utilisant l'expression de la fonction signe, l'expression (1') et (1") deviennent définies comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ Z*, ∀ b ∈ N*, avec A > b et A>0  ∨ |A| > b et A<0 :

a(n)=A⁻¹=( ∑ n=1→n=∞: [ (sgn(A)*(1-⌈|mod(n*A,b)-1|/(|mod(n*A,b)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/A⌋)-⌊|n-A|/A⌋) ))i ]  =( ∑ n=1→n=∞: [ (A/|A|*(1-⌈|mod(n*A,b)-1|/(|mod(n*A,b)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/A⌋)-⌊|n-A|/A⌋) ))i ]                      (1'.1'').

Tandis qu' en utilisant encore l'expression de la fonction signe, cette fois-ci l'expression (1''') et (1''") deviennent définies comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ Z*, ∀ b ∈ N*, avec A > b et A>0  ∨ |A| > b et b<0 :

a(n)=A⁻¹=( ∑ n=1→n=∞: [(sgn(b)*(1-⌈|mod(n*b,A)-1|/(|mod(n*b,A)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/b⌋)-⌊|n-b|/b⌋) ))i ]  =( ∑ n=1→n=∞: [ (b/|b|*(1-⌈|mod(n*b,A)-1|/(|mod(n*b,A)-1|+1)⌉)*n*(1-(⌊n/b⌋)-⌊|n-b|/b⌋) ))i ]                      (1'''.1'''').

 ∴

∴

Si cette non-complétude de l'algorithme d'Euclide étendu nous donne ainsi une raison supplémentaire pour développer notre propre algorithme de l'expression systématique des nombres entiers de la séquence des valeurs de A⁻¹, inverse multiplicatif modulaire modulo b des nombres entiers de la séquence des valeurs de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), c'est pourtant de l'algorithme d'Euclide étendu dont nous nous inspirons maintenant pour essayer de créer cet autre algorithme non séquentiel, consistant à simplement faire apparaitre les valeurs successives de u et de v qui minimise le résultat de l'expression (1''), et qui est définie comme suit:

a(n)=u*A+v*b  (1') ↔ a(n)=uₙ*A-vₙ*b   (1')ₙ  pour A>b  ⋁ a(n)=-uₙ*A+vₙ*b   (1')ₙ' pour A<b. 

Les étapes de calcul de cet algorithme correspondent aux expressions successives suivantes qui ne seront pas formalisées, mais seulement illustrées en remplaçant dans l'expression (1')ₙ  les variables A et b par les valeurs de l'exemple de l'article intitulé "l'algorithme d'Euclide étendu" de Wikipédia, A=120 et b=23:

Soit, u₁=1 et v₁=A mod b, alors:

a(n)=u₁*120-v₁*23↔ a(n)=1*120-5*23=5  (1')₁ 

Soit, u₂=v₁-u₁, et v₂=b-2*u₁, alors:

a(n)=u₂*120+v₂*23 ↔ a(n)= -4*120+21*23=3   (1')₂

Soit, u₃=u₁-u₂ et v₃=v₁+v₂, alors:

a(n)=u₃*120-v₃*23 ↔ a(n)=(1+4)*120-(5+21)*23=2 ↔ a(n)=5*120-26*23=2   (1')₃

Soit, u₄=u₁+u₃ et v₄=v₁+2*v₂, alors:

a(n)=u₄*120-v₄*23 ↔ a(n)=(4+1+4)*120-(5+21+21)*23=-1 ↔ a(n)= 9*120-47*23=-1  (1')₄

Soit, u₄=u₁+u₃ et v₄=v₁+2*v₂,, alors:

a(n)= -u₄*120+v₄*23 ↔ a(n)= -(4+1+4)*120+(5+21+21)*23=1 ↔ a(n)= -9*120+47*23=1.  (1')₄'

Puis nous remplaçons dans l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), par les valeurs de u et v correspondant aux variables u₄ et v₄ dans les expressions  (1')₄ et (1')₄', et avec comme précédemment les valeurs de l'exemple choisies dans l'article de Wikipédia, soit b=23 et A=120, et nous obtenons: -9*120 mod 23=1 et 47*23 mod 120 = 1. "Ceci signifie que -9 est l'inverse pour la multiplication de 120 modulo 23, parce que 1 = -9 × 120 (mod 23). De même 47 est l'inverse, pour la multiplication modulo 120, de 23.", toujours d'après l'article intitulé "l'algorithme d'Euclide étendu" de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

∴

2.b) Les expressions constitutives du système à résidus réduits modulo b et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

∴

En mathématiques, un sous-ensemble R des nombres entiers est appelé un système de résidus réduit modulo n si :

• pgcd(r, n) = 1 pour chaque r dans R, 
• R contient φ(n) éléments, 
• aucun élément de R n'est congruent modulo n. 

Ici φ désigne la fonction totient d'Euler. Un système de résidus réduit modulo n peut être formé à partir d'un système de résidus complet modulo n en supprimant tous les entiers qui ne sont pas relativement premiers avec n. Par exemple, un système de résidus complet modulo 12 est {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Les soi-disant totatifs 1, 5, 7 et 11 sont les seuls entiers de cet ensemble qui sont relativement premiers à 12, et donc le système de résidu réduit correspondant modulo 12 est {1, 5, 7, 11}. La cardinalité de cet ensemble peut être calculée avec la fonction totient : φ(12) = 4. Certains autres systèmes de résidus réduits modulo 12 sont :

{13,17,19,23}

{−11,−7,−5,−1}

{−7,−13,13,31}

{35,43,53,61}

L'ensemble des entiers {0, 1, 2, ..., n − 1} est appelé le système des moindres résidus modulo n, et tout ensemble de n entiers, dont deux ne sont pas congruents modulo n, est appelé un système résiduel complet modulo n. Le système de moindre résidu est un système de résidu complet, et un système de résidu complet est simplement un ensemble contenant précisément un représentant de chaque classe de résidu modulo n. Par exemple, le système de moindre résidu modulo 4 est {0, 1, 2, 3}. Certains autres systèmes de résidus complets modulo 4 incluent:

{1, 2, 3, 4}

{13, 14, 15, 16}

{−2, −1, 0, 1}

{−13, 4, 17, 18}

{−5, 0, 6, 21}

{27, 32, 37, 42}

Certains ensembles qui ne sont pas des systèmes de résidus complets modulo 4 sont :
{−5, 0, 6, 22}, puisque 6 est congru à 22 modulo 4. {5, 15}, puisqu'un système de résidus complet modulo 4 doit avoir exactement 4 classes de résidus incongrues.

∴

2.c) Les expressions constitutives du système à résidus quadratiques modulo b et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo.

∴

En arithmétique modulaire, un entier naturel q est un résidu quadratique modulo n s'il possède une racine carrée en arithmétique modulaire de module n, autrement dit, q est un résidu quadratique modulo n s'il existe un entier x tel que x²≡q(mod n). Dans le cas contraire, on dit que q est un non-résidu quadratique modulo n.

∴

2.d) Les expressions constitutives des racines primitives modulo b et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

∴

Un nombre g est une racine primitive modulo n si chaque nombre premier à n est congru à une puissance de g modulo n, autrement dit, pour tout entier a premier à n, il existe un entier k tel que gk ≡ a (mod n). Un tel k est appelé indice ou logarithme discret de a à la base g modulo n. Prenons par exemple n = 14. Les éléments de (Z/14Z)× sont les classes de congruence 1, 3, 5, 9, 11 et 13. Donc 3 est une racine primitive modulo 14, et l'on a 32 ≡ 9, 33 ≡ 13, 34 ≡ 11, 35 ≡ 5 et 36 ≡ 1 (modulo 14). La seule autre racine primitive modulo 14 est 5.

The number 3 is a primitive root modulo 7 because:

3¹=3⁰×3≡1×3=3≡3(mod7)

3²=3¹×3≡3×3=9≡2(mod7)

3³=3²×3≡2×3=6≡6(mod7)

3⁴=3³×3≡6×3=18≡4(mod7)

3⁵=3⁴×3≡4×3=12≡5(mod7)

3⁶=3⁵×3≡5×3=15≡1(mod7)

3⁷=3⁶×3≡1×3=3≡3(mod7)

Nous voyons ici que la période de 3k modulo 7 est 6. Les restes de la période, qui sont 3, 2, 6, 4, 5, 1, forment un réarrangement de tous les restes non nuls modulo 7, ce qui implique que 3 est bien une primitive racine modulo 7. Cela vient du fait qu'une séquence (gk  modulo n) se répète toujours après une certaine valeur de k, puisque modulo n produit un nombre fini de valeurs. Si g est une racine primitive modulo n et n est premier, alors la période de répétition est n − 1. Il a été démontré que les permutations ainsi créées (et leurs déplacements circulaires) sont des tableaux de Costas." Extrait de l'article "Primitive racine modulo n" publié sur le site de Wikipédia.

∴

⌊ ⌋ ⌈ ⌉   ⌊ ⌋ ⌈ ⌉   ⌈ ⌉⌊ ⌋ ⌈ ⌉       ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ 

∀ ∈ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ    

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ 

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ  

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ  

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ  

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ  

  ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉