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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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Qu'est-ce que le rang d'une séquence de nombres si ce n'est un nombre ordinal?:
"Le mot «rang» fait référence à plusieurs concepts connexes en mathématiques impliquant des graphiques, des groupes, des matrices, des formes quadratiques, des séquences, la théorie des ensembles, des statistiques et des tenseurs" et qui est définie en considérant tout d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence qui est "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a le rang 0 ou 1, l’élément suivant a le rang 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)" terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme.
Ainsi, "Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts: décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux cardinaux (zéro, un, deux, trois…) et ordinaux (zéroième, premier, deuxième, troisième…) et sont très semblables. Cependant, dans le cas infini, on est amené à distinguer nombre cardinal et nombre ordinal. Si la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure particulière, les ordinaux sont intimement liés à un ordre sur les éléments de cet ensemble, et plus précisément à un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné est un ensemble dans lequel toute partie non vide admet un plus petit élément. Le plus petit élément de l'ensemble peut être numéroté 0, le suivant 1, le suivant 2, etc., mais dès que l'ensemble est infini, une notation adaptée est nécessaire pour désigner judicieusement tous les éléments de l'ensemble. La théorie des ordinaux permet, entre autres, de donner un sens précis à cette numérotation heuristique des éléments d'un ensemble bien ordonné. On
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X III) LA FONCTION DE RANG CARACTÉRISTIQUE ASYMÉTRIQUE
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La fonction de rang caractéristique notée Rng1A(SeqS) correspond en général à la fonction d'indice dont l'expression générale est a(n)={(n, x)=xₙ)} appliquée à une fonction caractéristique, dont la représentation notée SeqS de la suite de nombres dont les valeurs appartiennent à l'ensemble {0;1} et dont l'expression est obtenue par l'opération de multiplication des valeurs de la suite de nombres appartenant à l'ensemble N* par les valeurs de la fonction caractéristique, et que l'on peut définir comme suit:
∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ SeqS ⊆{0;1}: Rng1A(SeqS)=SeqS*n; ou Rng1A(1A(SeqA))=1A(SeqA)*n
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Dans l'expression que nous avons développée précédemment (III'; 3.3.b)) d'une fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple, nous avons considéré, la première variable a=b+1 choisie déterminant le rang de la première valeur non annulée, et la deuxième variable b=a-1 choisie déterminant le nombre de valeurs non annulées de n'importe quelle séquence de nombres, et que nous avons définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
- 1A( ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) )=1, si ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)=0
- 1A(((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋))=0, si ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)≠0.
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) (5), peut se définir comme suit:
Soit a=b+1 , ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋))=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6).
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La fonction de rang appliquée à la fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple s'obtient encore comme précédemment (III'; 3.3.b)), en développant une formule générale de la fonction du rang n de l'indice de xₙ ∈ SeqA' définie précédemment, soit la fonction d'indice d'expression a(n)={(n, x)=xₙ)}, appliquée aux valeurs particulières de l'expression (6), qui sont exclusivement la dernière valeur nulle avant la prochaine valeur non nulle de la représentation de l'expression (6), et qui est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
- 1A((n, x)=xₙ)=1A(b/(mod(n-1,a)+1))=1, si b/(mod(n-1,a)+1)=1
- 1A((n, x)=xₙ)=1A(b/(mod(n-1,a)+1))=0 si b/(mod(n-1,a)+1)≠1 .
Cette fonction caractéristique de la fonction d'indice a(n)={(n, x)=xₙ)}, soit caractéristique des valeurs d'indices correspondantes aux valeurs particulières que sont les dernières valeurs nulles précédent toutes une valeurs non nulles de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple d'expression (6), équivalente à la fonction caractéristique de la fonction caractérisée, a(n)=b/(mod(n-1,a)+1) (7), est plus simple que la généralisation correspondante trop rudimentaire, car composée d'expressions trop nombreuses des multiples formules des "fonctions caractéristiques de xₙ|n, yₙ|n, z|n,...𝛀|n, c'est-à-dire 1A(x|n), 1A(y|n), 1A(z|n),....1A(𝛀|n), avec 1A(x|n)=1, 1A(y|n)=1, 1A(z|n)=1,....1A(𝛀|n)=1 quand n/x=x/n=1, et n/y=y/n=1, et n/z=z/n=1.... n/𝛀=𝛀/n=1; ou sinon, 1A(x|n)=0, 1A(y|n)=0, 1A(z|n)=0,....1A(𝛀|n)=0 ", avec x=1, et y=x+1, z=y+1....et 𝛀=𝛀-₁+1. Son expression peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n∈ N*: 1A(b/(mod(n-1,a)+1))=(1-⌈(|(b/(mod(n-1,a)+1)-1)|/(b/(mod(n-1,a)+1))⌉)) (8); la fonction de rang correspondant à cette fonction caractéristique, donc la fonction rang caractéristique notée rang(1A(b/(mod(n-1,a)+1))) est définie comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n∈ N*: rang(1A(b/(mod(n-1,a)+1)))=(1-⌈(|(b/(mod(n-1,a)+1)-1)|/(b/(mod(n-1,a)+1))⌉))*(⌊((a*n+b)/a⌋-⌊((a+b*n)/a⌋+1) (9);
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Par exemple pour a=10 et b=9, cette fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple peut se définir comme suit:
Soit a=10 et b=9, ∀ n∈ N*: 1A( ((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋-(n+1)/10+(n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋)*((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-9),mod(-n, 10)+(10-9))/(2*((10-9)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6'); elle est représentée par la suite de nombres S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1.....) et nous observons la triple asymétrie de la forme de cette représentation avec une première série longue seulement de deux segments symétriques de valeur de 0 et de 1 de quantité égale à b=9 pour chacune des valeurs de 0 et 1, et constitutif de la première symétrie dite courte, suivit d'une série d'éléments de valeur 0 équidistants de a=10 donc suivit d'une série d'éléments de valeur 1, et dont le nombre est égal à b=9, et suite constitutive de la deuxième et troisième asymétrie.
Tandis que correspondant toujours à l'exemple précédent des valeurs de variables a= 10 et b=9, la fonction rang caractéristique notée en général rang(1A(b/(mod(n-1,a)+1))) est définie comme suit en particulier:
Soit a=10, b=9, ∀ n ∈ N*: rang(1A(9/(mod(n-1,10)+1)))=(1-⌈(|(9/(mod(n-1,10)+1)-1)|/(9/(mod(n-1,10)+1))⌉))*(⌊((10*n+9)/10⌋-⌊((10+9*n)/10⌋+1) (9'); elle est représentée par la suite de nombres S'=(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,0.....);
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Au-delà du cas particulier précédent des variables a=b+1, de la fonction d'annulation caractéristique multiple, comme précédemment (III'; 3.3.b) nous considérons le cas des valeurs des variables a et b telles que a>b+1, et nous obtenons cette fois-ci encore le rang de la première valeur non annulée égale à la valeur de la variable a, donc inversement le nombre de valeurs annulées dans un premier segment de valeur de la séquence représentant la fonction caractéristique égale à a-1, tandis que le nombre de valeurs annulées après le premier segment de valeur non annulée suivant ce premier segment de valeurs annulées au nombre de a-1, est maintenant égale à a-b, mais l'expression de la fonction caractérisée donnée précédemment comme étant a(n)=((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) (5) est maintenant changée, et la nouvelle expression de la fonction caractérisée qui remplace aussi la précédente pour le cas de a=b+1 est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
- 1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉=1, si (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉<b ∨ (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉=a
- 1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉)=0, si b<=(mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉<a ∨ (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉=0
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultants de la fonction caractérisée dont l'expression est a(n)=(mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉ (10) supérieurs ou égaux à b ou strictement inférieurs à b, peut se définir comme suit:
Soit a>b+1, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, 1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉)=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6). La formule de l'expression de la fonction caractéristique restant donc inchangée. En revanche, l'expression correspondante de la fonction de rang caractéristique de la fonction d'annulation asymétrique triple est modifiée comme suit:
Soit a>b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(b/(mod(n-1,a)+1))=rang(1A(b/(mod(n-1,a)+1)))=(1-⌈(|(b/(mod(n-1,a)+1)-1)|/(b/(mod(n-1,a)+1))⌉))*(⌊((a*n+b)/a⌋-⌊((a+b*n)/a⌋+1)/(a-b) (11);
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Prenons un nouvel exemple, soit les valeurs des variables a=10 et b=7, en remplaçant dans l'expression de la fonction caractérisée on obtient a(n)=(mod(n-1, 10)+1)*⌊⌈n/10⌉/(⌈n/10⌉+1)⌋ (10'), représentée par la séquence Seq(mod(n-1, 10)+1)*⌈⌊n/10⌋/(⌊n/10⌋+1)⌉=SeqB=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3...);
Soit a=10 et b=7, ∀ n∈ N*: 1A( ((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋-(n+1)/10+(n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋)*((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-7),mod(-n, 10)+(10-7))/(2*((10-7)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1.....).
De même que pour a=10 et b=7, l'expression correspondante de cette fonction de rang caractéristique est définie comme suit:
Soit a=10 et b=7, ∀ n∈ N*: rang(1A(7/(mod(n-1,10)+1)))=(1-⌈(|(7/(mod(n-1, 10)+1)-1)|/(7/(mod(n-1, 10)+1))⌉))*(⌊((10*n+7)/10⌋-⌊((10+7*n)/10⌋+1)/(10-7) (11'); elle est représentée comme précédemment par la même suite de nombres Seq'=(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,0.....);
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Pour
1A: E→ {0,1}
- 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=1, si 0<(mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)<=b
- 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=0, si (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)>b ∨ (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)=0.
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)) (12), peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6). L'expression obtenue de cette nouvelle fonction caractérisée reste donc inchangée.
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La fonction de rang caractéristique asymétrique appliquée à cette fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple développée ci-dessus s'obtient encore comme précédemment (III'; 3.3.b)) en développant une formule générale de la fonction du rang n de l'indice de xₙ ∈ SeqA' définie précédemment, soit la fonction d'indice d'expression a(n)={(n, x)=xₙ)}, appliquée aux valeurs particulières de l'expression (6), qui sont exclusivement la dernière valeur nulle avant la prochaine valeur non nulle de la représentation de l'expression (6), et qui est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
- 1A((n, x)=xₙ)=1A(b/(mod(n-1,a)+1))=1, si b/(mod(n-1,a)+1)=1
- 1A((n, x)=xₙ)=1A(b/(mod(n-1,a)+1))=0 si b/(mod(n-1,a)+1)≠1 ,
Cette fonction caractéristique de la fonction d'indice a(n)={(n, x)=xₙ)}, soit caractéristique des valeurs d'indices correspondantes aux valeurs particulières des dernières valeurs nulles précédent toutes une valeurs non nulles de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple d'expression (6), équivalente à la fonction caractéristique de la fonction caractérisée, a(n)=b/(mod(n-1,a)+1) (12), est plus simple que la généralisation correspondante trop rudimentaire, car composée d'expressions trop nombreuses des multiples formules des "fonctions caractéristiques de xₙ|n, yₙ|n, z|n,...𝛀|n, c'est-à-dire 1A(x|n), 1A(y|n), 1A(z|n),....1A(𝛀|n), avec 1A(x|n)=1, 1A(y|n)=1, 1A(z|n)=1,....1A(𝛀|n)=1 quand n/x=x/n=1, et n/y=y/n=1, et n/z=z/n=1.... n/𝛀=𝛀/n=1; ou sinon, 1A(x|n)=0, 1A(y|n)=0, 1A(z|n)=0,....1A(𝛀|n)=0 ", avec x=1, et y=x+1, z=y+1....et 𝛀=𝛀-₁+1. Son expression peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(b/(mod(n-1,a)+1))=Termasym1Aₙ((⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉))=(1-⌈(|(b/(mod(n-1,a)+1)-1)|/(b/(mod(n-1,a)+1))⌉)) (8);
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Par exemple pour a=10 et b=9, cette fonction indicatrice d'expression (6) peut se définir comme suit:
Soit a=10 et b=9, ∀ n∈ N*: 1A( ((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋-(n+1)/10+(n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋)*((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-9),mod(-n, 10)+(10-9))/(2*((10-9)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6'); elle est représentée par la suite de nombres S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1.....), et nous observons la triple asymétrie courte de la forme de cette représentation avec une première série longue seulement de deux segments symétriques de valeur de 0 et de 1 de quantité égale à b=9 pour chacune des valeurs de 0 et 1, et constitutif de la première symétrie dite courte, suivit d'une série de valeur 0 équidistante de a=10, puis d'une série d'éléments de valeur 1, et dont le nombre est égal à b=9, et sous suite constitutive de la deuxième et troisième asymétrie.
Soit a=10 et b=9, ∀ n∈ N*: 1A(9/(mod(n-1,10)+1))=Termasym1Aₙ((⌊mod(mod(n,-10)+(10-9),mod(-n, 10)+(10-9))/(2*((10-9)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉))=(1-⌈(|(9/(mod(n-1,10)+1)-1)|/(9/(mod(n-1,10)+1))⌉)) (8'); elle est représentée par la suite de nombres Seq'=(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0.....);
∴
Au-delà du cas particulier précédent des variables a=b+1 de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique multiple, comme précédemment (III'; 3.3.b)) nous considérons le cas des variables a et b telles que a>b+1 et nous obtenons cette fois-ci encore le rang de la première valeur non annulée égale à la valeur de la variable a, donc inversement le nombre de valeurs annulées dans un premier segment de valeur de la séquence représentant la fonction caractéristique égale à a-1, tandis que le nombre de valeurs annulées après le premier segment de valeur non annulée suivant ce premier segment de valeurs annulées au nombre de a-1, est maintenant égale à a-b, mais l'expression de la fonction caractérisée donnée précédemment comme étant a(n)=((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) (5) est maintenant changée, comme précédemment pour
1A: E→ {0,1}
- 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=1, si 0<(mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)<=b
- 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=0, si (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)>b ∨ (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)=0.
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)) (5'), peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6). L'expression obtenue de cette nouvelle fonction caractérisée reste donc inchangée.
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Mais, l'expression de la fonction de terminaison caractéristique asymétrique appliquée à cette fonction d'annulation caractéristique asymétrique a changé, de même que sa notation puisque la valeur nulle est maintenant la première valeur nulle immédiatement après la valeur précédente non nulle, et se définit maintenant comme suit:
Soit a>b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(b/(mod(n-1,a)+1))=Termasym1Aₙ(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉))=((1-⌈(|(b/(mod(n-1,a)+1)-1)|/(b/(mod(n-1,a)+1))⌉))-⌈n/b⌉-⌈|n/(b+1)-1|⌉+⌈n/(b+1)⌉+⌈|n/b-1|⌉ (9)
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Prenons un nouvel exemple soit les valeurs des variables a=10 et b=7, en remplaçant dans l'expression de la fonction caractérisée on obtient a(n)=((mod(n,10)+1)*(-⌈|(n/10-1)|⌉+⌈n/10⌉)) (5'), représentée par la séquence Seq(((mod(n,10)+1)*(-⌈|(n/10-1)|⌉+⌈n/10⌉)))=SeqB=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3...);
Soit a=10 et b=7, ∀ n∈ N*: 1A( ((mod(n,10)+1)*(-⌈|(n/10-1)|⌉+⌈n/10⌉)) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-7),mod(-n, 10)+(10-7))/(2*((10-7)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, Seq=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1.....).
De même que pour a=10 et b=7, l'expression correspondante de cette fonction de terminaison caractéristique asymétrique est définie comme suit:
Soit a=10 et b=7, ∀ n∈ N*: 1A(7/(mod(n-1,10)+1))=Termasym1Aₙ((⌊mod(mod(n,-10)+(10-7),mod(-n, 10)+(10-7))/(2*((10-7)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉)) (9'); elle est représentée comme précédemment par la même suite de nombres Seq'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0.....);
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∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ