1: 1A La fonction caractéristique: Présentation, problématique et plan d'étude des fonctions caractéristiques dont les combinaisons linéaires sont des fonctions simples d'algèbre fonctionnelle simple.

Page publiée depuis ma ville de Bénodet dans mon pays fouesnantais en Finistère. Pajenn embannet gant ma c’hêr e Benoded, e ma bro eus Fouenant e Penn-ar-Bed. © "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64 en France.

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Mon tapuscrit est dédié généralement à Google Blogger et Google Chrome, et plus particulièrement à Microsoft Excel et au logiciel R; mais n'est absolument pas dédié au tout supranaturel qui se donne des airs, à tous les surréels qui nous pompent l'air, et surtout à l'humanité qui ne manque pas d'air comme inhumanité civilisée de l'animalité sophistiquée par la liberté capturée, l'inégalité et l'inimitié généralisées et appliquée à la réalité technocratisée et politisée, pour fusionner immoralité et amoralité dans l'impunité de la criminalité libérée.

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À ma ville de Bénodet et à mon Pays fouesnantais.

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À Patrick Gagneux, mon père, et Annie Vialard-Goudou ma mère.

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À Euler né le 15 avril 1707 à Bâle (Suisse) et mort le 7 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg (Empire russe), un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne. Il était notamment membre de l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin. En 1727, Leonard s’installe en Russie, rejoint les rangs des membres associés de l’Académie des sciences et, en 1733, occupe un poste au département de mathématiques. Parmi ses contributions les plus connues, citons l'introduction de la fonction gamma, l'analogie entre le calcul infinitésimal et le calcul des différences finies. Il a été le premier mathématicien à travailler avec les fonctions sinus et cosinus. En 1760, il se lance dans l'étude des lignes de courbure et commence à développer une nouvelle branche des mathématiques appelée géométrie différentielle.

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To Newton (December 25, 1642 – March 20, 1727), an English, then British, mathematician, physicist, philosopher, alchemist, astronomer and theologian.

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To Gauss (30 April 1777 – 23 February 1855), a German mathematician, astronomer and physicist. 

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To K.E. Iverson (17 December 1920 – 19 October 2004), a Canadian computer scientist noted for the development of the programming language APL honored with the Turing Award in 1979 "for his pioneering effort in programming languages and mathematical notation, and in programming language theory and practice". 

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"The ultimate form within forms, the final shape of change, may elude us. The pursuit of the idea of form—even the form of force, of endlessly interacting process is man's inevitable, crucial need”,John Unterecker, Poet, editor, and scholar who earned an MA and a PhD at Columbia University. 

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"La logique est le fondement de la certitude de toutes les connaissances que nous acquérons." Leonhard Euler

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"Rien n'arrive dans le monde dont le sens ne soit celui d'un maximum ou d'un minimum." Leonhard Euler

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"But in our opinion truths of this kind should be drawn from notions* rather than from notations**." Johann Carl Friedrich Gauss about the proof of Wilson's theorem written in Disquisitiones Arithmeticae (1801) Article 76.

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"Une notion* est une connaissance superficielle, approximative; le reflet, dans l'esprit, d'objets réels et de phénomènes dans leurs caractéristiques et relations essentielles. Elle peut former une proposition avec une autre notion. C'est une connaissance élémentaire, souvent tirée d'observations empiriques. Elle est donc moins élaborée et abstraite que le concept. En logique, un concept est un contenu de pensée, qui, lorsqu'il est appliqué à un objet, peut former une proposition. Le concept est un terme abstrait qui se distingue donc de la chose désignée par ce concept." La notation** mathématique consiste à utiliser des symboles pour représenter des opérations, des nombres non spécifiés, des relations et tout autre objet mathématique et à les assembler en expressions et formules. La notation mathématique est largement utilisée en mathématiques, en sciences et en ingénierie pour représenter des concepts et des propriétés complexes de manière concise, sans ambiguïté et précise.", d'après Wikipédia l'encyclopédie en ligne libre.

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"Mathematical notation** provides perhaps the best-known and best developed example of language used consciously as a tool of thought. Nevertheless, mathematical notation has serious deficiencies. In particular, it lacks universality, and must be interpreted differently according to the topic, according to the author, and even according to the immediate context. If it is to be effective as a tool of thought, a mathematical notation must allow convenient expression not only of notions arising directly from a problem, but also of those arising in subsequent analysis, generalization, and specialization.", Kenneth E. Iverson, in a speech entitled "Notation as a Tool of Thought" at the IBM Thomas J. Watson Research Center.

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I) PRESENTATION DES NOTIONS, NOTATIONS ET CONCEPTS DE LA DÉFINITION DES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DONT LES COMBINAISONS LINÉAIRES SONT DES FONCTIONS SIMPLES D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE: 

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Illustrée ci-dessus la notation standard de la fonction caractéristique qui est une fonction notée généralement χF(x) (que je note 1A(x)) et qui définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément x de l’ensemble E. 

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Tout d'abord, mon tapuscrit n'est pas un ouvrage de bidouillages formuliques mathématiques pour de quelconques applications électroniques, physiques, chimiques, biologiques ou technologiques, d'où son qualificatif d'anti-prolétaires et surtout d'anti-militaires car encore plus significatif en ces temps dramatiques d'infamie des prolétaires de guerre au service des extrémistes de l'avarice, mondialement nuisant et détruisant pour toujours et encore plus d'argent et de pouvoir, tandis que pour leurs chères payés à chercher des poux dans les têtes, toujours et encore pour rien, si ce n'est pour tester que leurs outils de guerre, de plus en plus chers et de plus en plus exotiques, font encore et toujours partout les plus gros trous les plus brulants et les plus fumants; et surtout pour vérifier que les humains meurent toujours au cas ou certains seraient devenus immortels à force de regarder le reflet enfin payant en immortalité, des éternels rupins hollywoodiens en fait payés à faire de l'œil au cyclope dévorant ses moutons. En réaction mon tapuscrit est donc un ouvrage de mathématiques pures, abstrait sans aucune application concrète et dédiée exclusivement au langage mathématique, ses symboles et ses signes sui generis pour raisonner mathématiquement sur des objets mathématiques que sont les fonctions simples. 

Ensuite, si les trois astérisques disposés en triangle (⁂) de l'astérisme, un signe typographique en ponctuation permettant d’attirer l’attention sur un passage ou bien de séparer les sous chapitres, sont dédiés à la performance de précision de la perception des expressions mathématiques à la lecture de mon ouvrage, alors les trois autres points initialisés par les trois P de "Présentation", de "Problématique" et de "Plan" de mon raisonnement, sont dédiés aux mathématiques pures qui font la liberté de penser des applications mathématiques précises. Mais si la liberté de penser est toute relative, car rien ne se pense qu'après que les autres aient pensé avant, alors pourtant maintenant je pense après d'une pensée mathématique sui generis, que le fondement de l'écriture mathématique n'est pas plus poétique pour plaire aux politiques, que programmatique (accroître et optimiser la présence sur le web en utilisant des logiciels et des algorithmes) pour plaire en informatique, mais la formulation algébrique syntaxiquement valide et le calcul algébrique numériquement juste, au sens synonyme d'exact (sur une feuille de papier, un écran de calculatrice ou une feuille de calcul), et au sens étymologique (du latin "justificare" signifiant « rendre juste »), de justifié par le raisonnement logique parce que si la science vérifie des hypothèses par l’observation dans l'expérimentation, les mathématiques ne semblent les vérifier qu'avec le raisonnement logique. Donc en réaction contre cette différence, mon raisonnement sur l’objet mathématique des fonctions simples définies comme des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques (une fonction caractéristique notée 1A(x) est définie sur un ensemble X qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble X de tout élément x de l’ensemble X.), se fonde à la fois sur la science et la logique, c'est à dire que mon raisonnement mathématique est conforme à la définition d'une loi mathématique scientifique que je définis comme étant la loi déduite de la description et de la prédiction par le calcul algébrique et numérique d’après les observations et les expériences répétées des comportements abstraits des objets mathématiques, qui sont un type d’objet abstrait, décrit par des axiomes formulant des propriétés fondamentales de ces objets, et à partir desquelles on dérive les autres propriétés par des démonstrations, ou encore des axiomes formulant une classe ou une catégorie d’objets mathématiques dans leur généralité, à partir de propriétés élémentaires (ordinairement, un objet mathématique est une valeur pouvant être attribuée à une variable dans une formule ou expression algébrique et numérique). Or, si les lois mathématiques en général renvoient toutes à la réalité sans être absolues, car elles ne portent pas sur des objets physiques et ne sont pas empiriques, et donc qu’elles ne sont pas des lois scientifiques, au sens de comportant un énoncé fondé sur des observations ou expériences répétées décrivant ou prédisant un ensemble de phénomènes naturels, néanmoins, et heuristiquement conforme à l’exception qui confirme la règle, cinq lois mathématiques particulières et leurs corolaires sont aussi des lois scientifiques:

•  La loi scientifique géométrique affine énoncée comme: "une variation entre x l’intensité d’un phénomène , et y l’intensité d’un autre phénomène sont corrélées en reliant les deux grandeurs x et y sous la forme d’une fonction affine y = ƒ(x)".

• La loi scientifique trigonométrique des sinus énoncée comme: "une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d’un triangle et les sinus des angles respectivement opposés. "

•  La loi scientifique trigonométrique de Morrie énoncée comme: "Cos(π/9)·Cos(2π/9)·Cos(4π/9) = 1/8 ".

•  La loi scientifique de probabilité en générale est énoncée comme: "la description du comportement aléatoire d’un phénomène dépendant du hasard par une mesure dont la masse totale vaut 1 vérifiant les trois axiomes des probabilités, c’est à dire les propriétés que doit vérifier une application P afin de formaliser l’idée de probabilité, soit si P est une mesure sur un espace mesurable (ΩA), alors (ΩAP) doit être un espace de probabilité.". Plus particulièrement, corolaires de cette loi de probabilité générale, les lois scientifiques de probabilités sont toutes définies comme une mesure particulière, qui est une loi décrivant le comportement d’une variable aléatoire, discrète ou continue, et une loi de probabilité si sa masse totale vaut 1: 

• Loi arc sinus
• Loi de Bates
• Loi de Benford
• Loi de Benktander
• Loi de Bernoulli
• Loi bêta
• Loi bêta binomiale négative
• Loi bêta décentrée
• Loi bêta prime
• Loi bêta rectangulaire
• Loi bêta binomiale
• Loi binomiale négative
• Loi binomiale négative étendue
• Loi binomiale
• Loi de Burr
• Loi de Cantor
• Loi de Cauchy
• Loi du χ
• Loi du χ²
• Loi du χ² non centrée
• Loi du χ non centrée
• Loi de Conway-Maxwell-Poisson
• Loi du cosinus surélevé
• Loi de Dagum
• Loi de Davis
• Loi de Delaporte
• Loi du demi-cercle
• Loi demi normale
• Loi de Dirichlet
• Loi d’Erlang
• Loi exponentielle.

• "La loi scientifique statistique de puissance est une relation mathématique entre deux quantités. Si une quantité est la fréquence d’un évènement et l’autre est la taille d’un évènement, alors la relation est une distribution de la loi de puissance si les fréquences diminuent très lentement lorsque la taille de l’évènement augmente. En science, une loi de puissance est une relation entre deux quantités x et y qui peut s’écrire de la façon suivante : y=a*x^k où a est une constante dite constante de proportionnalité, k, valeur négative, est une autre constante, dite exposant, puissance, indice ou encore degré de la loi et x, un nombre réel strictement positif. L’une des caractéristiques des lois de puissance est leur invariance d’échelle. Le phénomène est le suivant : pour un changement d’échelle de la variable, la fonction est seulement multipliée par un coefficient." d'après Wikipédia  l'encyclopédie en ligne libre. 

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Étant donnés maintenant les cinq lois mathématiques générales qui sont aussi des lois scientifiques, si mon raisonnement sur l’objet mathématique des fonctions simples définies comme des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques, se conforme essentiellement à ma définition d’une loi mathématique, pour que cette dernière soit aussi par ma définition même une loi scientifique, je dois donc décrire mon objet mathématique que sont les fonctions simples avec une sixième loi mathématique qui soit aussi une loi scientifique que je décrirais intuitivement comme "la loi scientifique algébrique de la structure caractéristique de l’ensemble des grandeurs de variations d’intensité de phénomènes corrélées par y=f(x)", une loi que j’appellerais plus précisément "la loi de structure caractéristique ", et que j’expliciterais conceptuellement trivialement de la façon suivante comme: 

Tout objet mathématique est descriptible par au minimum la combinaison de trois concepts mathématiques fondamentaux du vide (le caractère de ce qui n’est pas à la fois, pas le critère attribué à un objet correspondant à une négation et le caractère de ce qui est individualisable c’est-à-dire individuellement égal exactement au critère attribué à un objet) , de la nullité (le caractère de ce qui n’est pas le critère attribué à un objet correspondant à une négation) et de l’unité (le caractère de ce qui est individualisable c’est à dire individuellement égale exactement au critère attribué à un objet). 

Ensuite j'énonce plus rigoureusement cette sixième loi mathématique aussi scientifique, comme "si une variation entre x l’intensité d’un phénomène, et y l’intensité d’un autre phénomène, sont corrélées en reliant les deux grandeurs x et y sous la forme d’une fonction y=ƒ(x), alors elles sont aussi caractéristiquement corrélées en reliant aussi les deux mêmes grandeurs x et y, sous la forme de fonctions caractéristiques des valeurs nulles et non nulles de l'ensemble d’éléments l’intensité d’un phénomène. 

Et enfin, j'écris cette sixième loi mathématique scientifique algébriquement pour être transformable en expression numérique, après avoir remarqué qu' à l'origine elle est le résultat de l'observation de la définition et de l'expression manquante à celle de la fonction caractéristique plus générale que la fonction caractéristique implicitement d'appartenance, et non implicitement d'appartenance, sachant que: 

• Les fonctions caractéristiques ou fonctions indicatrices ("Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité.", extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.), sont  définies sur un ensemble X qui explicite soit l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble X de tout élément x de l’ensemble X, mais la question se pose de savoir si formellement les fonctions caractéristiques seraient par définition toujours des fonctions caractéristiques d'appartenance.

• Les fonctions caractéristiques ou fonctions indicatrices, sont notées généralement χA, mais je les note 1A, car conventionnellement, la notation anglo-saxonne pour la fonction caractéristique de A s'écrit avec la lettre A en indice du 1 et par extension la fonction caractéristique de n'importe quel sous-ensemble d'un ensemble donc des éléments d'un sous-ensemble et d'un ensemble aussi noté par ma propre convention la notation de toutes fonctions caractéristiques soit sans l'argument de la fonction notée ici pour l'exemple, 1A(x), donc sans plus écrire ni la lettre du sous-ensemble A ou de l'ensemble et qui n'est plus écrit non plus en indice pour des raisons de lisibilité. Une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule), et sont notées comme suit, avec x ∈ X :
  

1A: X→ {0,1}

• 1A(x)=1, si x ∈ A

• 1A(x)=0, si x ∉ A.

 Cette notation standard de la fonction caractéristique correspond à une définition algébriquement trop générale pour être utilisable numériquement et qui doit donc être transformée en une expression algébrique numériquement calculable. Pour cela nous utilisons la fonction arithmétique plafond d'un nombre réel x, qui est notée ⌈x⌉, c'est-à-dire plus précisément, car recouvrant des noms différents "dans le cas où x est un rationnel a ∈ ℤ, b ∈ ℕ*, ou la partie entière de x n'est autre que le quotient euclidien de a par b": la fonction plafond est la fonction partie entière par excès ou partie entière supérieure d'un nombre réel x, qui est notée ⌈x⌉. C'est Kenneth E. Iverson qui la créa, dans son livre de 1962 intitulé "A Programming Language", la fonction arithmétique au nom de « plafond » et sa notation correspondante ⌈x⌉. Wikipédia  l'encyclopédie en ligne libre définie les fonctions arithmétiques f(n), telles que la fonction plafond, comme étant définies en théorie des nombres et une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par ℕ*". Hardy et Wright dans leur ouvrage de 1938 intitulé "An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford: Clarendon Press)" inclut dans leur définition l’exigence qu’une fonction arithmétique f(n) « exprime une propriété arithmétique de n ». C'est donc cette condition que nous satisferons tout au long des pages de mon ouvrage en n'écrivant que des expressions algébriques numériquement calculables. Et plus particulièrement dans son introduction nous écrivons immédiatement l'origine de la notation d'Iverson de sa fonction plafond notée ⌈x⌉, ainsi que de la fonction plancher notée ⌊x⌋ la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court d'un nombre réel x qui est le plus grand entier relatif (positif, négatif ou nul) inférieur ou égal à x, en relation avec la fonction arithmétique de l'opération de modulo notée, de la façon suivante:

• si sign(x)=x/|x|=sign(y)=y/|y|, et si x≠0 et y≠0 alors:

•  x mod y=x−y*⌊x/y⌋=x+y-y*⌈(x+1)/y⌉, avec ⌊x/y⌋=⌈(x+1)/y⌉-1 et ⌈x/y⌉=⌊(x-1)/y⌋+1; 

• si sign(x)=x/|x| ≠ sign(y)=y/|y|, et si x≠0 et y≠0 alors:

• si x<0 et y>0 alors: x mod y = |x|−y*⌊|x|/y⌋-1=|x|+y-y*⌈(|x|+1)/y⌉-1, avec ⌊|x|/y⌋=⌈(|x|+1)/y⌉-1 et ⌈|x|/y⌉=⌊(|x|-1)/y⌋+1;

• si x>0 et y<0 alors: x mod y = -x+ |y|*⌊x/|y|⌋+1=-x-|y|+y*⌈(x+1)/|y|⌉+1, avec ⌊x/|y|⌋=⌈(x+1)/|y|⌉-1 et ⌈x/|y|⌉=⌊(x-1)/|y|⌋+1.

Sachant que Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne définie le résultat de l'opération de modulo, x mod y comme "une classe d'équivalence, et n'importe quel membre de la classe peuvent être choisis comme représentant ; cependant, le représentant habituel est le résidu le moins positif, le plus petit entier non négatif appartenant à cette classe (c'est-à-dire le reste de la division euclidienne)." En fait l'opération de modulo est l'une des opérations fondamentales de l’arithmétique modulaire dont Wikipédia nous dit que "l'idée de base est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Ainsi c'est une arithmétique où l'on ne raisonne pas directement sur les nombres, mais sur leurs restes respectifs par la division euclidienne par un certain entier : le module. Si les origines de l'arithmétique modulaire remontent à l’Antiquité, les historiens associent généralement sa naissance à l’année 1801, date de la publication du livre "Disquisitiones Arithmeticae" de Carl Friedrich Gauss". Mais le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss à la fin du XVIIIe siècle a présentée au public dans ses "Disquisitiones Arithmeticae" en 1801 pas exactement seulement l'opération modulo, mais la congruence sur les entiers qui est une relation pouvant unir deux entiers relatifs x et y qui sont dits congrus modulo n si leur différence est divisible par n, c'est-à-dire si x est de la forme y + kn avec k entier, ou bien encore si le reste de la division euclidienne de x par n est égal à celui de la division de y par n, et une relation notée x ≡ y mod n Si nous avons explicité ainsi ce que nous avons écrit précédemment, soit que le résultat de l'opération de modulo, x mod y" est "une classe d'équivalence, et n'importe quel membre de la classe peuvent être choisis comme représentant selon les différentes valeurs de la variable k", comme soit par exemple 2 ≡ -3 mod 5 (2--3=5 donc k=1) et -8≡ 7 mod 5 (-8-7=-15 donc k=-3); nous avons donc aussi explicité l'opération modulo comme en reprenant les exemples précédents que-3 mod 5=1 et 2 mod 5=1, ou bien encore 7 mod 5=2 et -8 mod 5=2.

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Donc c'est une nouvelle définition de cette fonction caractéristique χA(x) qui explicite soit l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble X de tout élément x de l’ensemble X, que je nomme la fonction caractéristique à l'origine d'appartenance et donc par extension la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance abrégée fonction caractéristique fondamentale, et que je réécris maintenant comme correspondant à une expression algébrique numériquement calculable, en la définissant comme suit: 

 ∀ yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞  ⊆ R; ∀ x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊ₓ  ⊆ R; et soit la notation χA(x) de la fonction caractéristique ou indicatrice des intervalles de la séquence SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞, et soit, sa définition ensembliste telle que, χA(x): {1 if x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞; 0 if x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞  (1), alors l'expression numérique calculable correspondante à cette expression algébrique ensembliste (1) est définie par χA(x):{1 if x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ →1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=1; 0 if x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ →1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=0.       (A), deux propositions (1)↔ (A) dont nous écrivons l'équivalence plus lisiblement, car le prélude à une encore plus grande amélioration de sa lisibilité finalisée comme suit:

χA(x): {1 if x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞; 0 if x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞      (1) ↔ (A)

χA(x):{1 if x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ →1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=1; 0 if x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ →1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=0.        (A)

Nous remarquons que nous avons précisé la valeur des éléments caractérisés par le changement graduel de notation de l'opération de la caractérisation de la variable unique x à celle des deux variables y-x dans les deux opérateurs de l'opération de caractérisation de la fonction caractéristique soit la notation changeant de χA(x) à 1A(yᵢ-x) afin d'indiquer un développement plus détaillé en trois parties de toute fonction caractéristique dont nous écrivons maintenant  la première partie en réécrivant l'expression (A) pour encore en améliorer la lisibilité en la finalisant et en la détaillant dans toutes les pages qui vont suivre de la même façon suivante:

1A: E→ {0,1}

• 1A(yᵢ-x)=1, si yᵢ-x=0 ∧ x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ 

• 1A(yᵢ-x)=0, si  yᵢ-x≠0 ∧ x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ 

 Mais si nous n'avons écrit ci-dessus que la première partie de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance, c'est-à-dire la fonction caractéristique de x appartenant à SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ-x)=1, c'est parce que nous n'écrirons la deuxième partie des conditions de définition ainsi que la troisième partie de l'expression algébrique numériquement calculable toujours de cette même fonction caractéristique fondamentale d'appartenance (deux parties donc qui sont la réécriture de l'expression (A) ci-dessus), seulement après que les expressions obtenues par leur union et leur intersection, une opération que je crée et dont l'opérateur que je crée aussi est représenté par le symbole que je crée encore comme étant ∪∩ et que je définis généralement comme correspondant à l'union et à l'intersection simultanément des éléments d'une suite de nombres en général, soit d'un ensemble ou l'ordre et la répétition ne sont pas des propriétés, soit d'une séquence ou l'ordre et la répétition sont des propriétés, soit les deux et que j'appelle donc ensemble séquentiel, c'est à dire qui à la propriété de préserver les opérations ensemblistes, mais ou l'ordre et la répétition sont des propriétés. J'appelle ensuite ce nouvel opérateur ensembliste séquentiel donc, "l'uniontersection" qui est un mot-valise que je crée avec le nom "union" et le nom "intersection". Soit, la représentation de cette opération d'uniontersection successive sur une suite de nombres sera sous forme d'une suite de nombres si l'on considère chaque élément résultant de chaque opération successivement répétée sur un ensemble séquentiel d'éléments à valeur de nombres notés ∪∩ (n=1→n=∞: [a(n)i]), avec a(n) représentant une fonction de domaine de départ sur N et de domaine d'arrivée sur N; i représentant l'indice d'union intersection; la notation a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure "d'uniontersection", et n=∞ est la limite supérieure d'union intersection. 

Sinon, la représentation de cette opération d'uniontersection successive sur une suite de nombres d'un ensemble séquentiel sera sous forme d'une série si l'on considère uniquement le dernier élément de toutes les opérations successivement répétées c'est-à-dire leur étape finale sur un ensemble ou une séquence d'éléments à valeur de nombres, c'est-à-dire si l'on considère l'opération d'uniontersection totale dont le résultat n'est plus une suite de nombres à indices d'union intersection, mais plus simplement l'uniontersection  totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble séquentiel SeqE dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée: 

 ∪∩ (n=1→n=∞: [a(n)]).

Mais au-delà de la représentation ensembliste implicite dans l'écriture des éléments résultants de l'expression de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance, nécessitant donc que soit définie ces résultats comme un ensemble séquentiel correspondant à une suite de nombres, ce qui justifie la création de ce nouvel opérateur correspondant à une nouvelle opération est tout d'abord qu'il n'existe pas d'opération qui permette d'écrire les éléments d'un ensemble ou d'une séquence correspondant aux étapes de l'opération de fonction caractéristique fondamentale sur une suite de nombres sous la forme d'un ensemble ou d'une séquence autre que celle consistant à changer successivement les valeurs des variables.  

Ensuite ce qui justifie cette nouvelle opération toujours en relation avec l'écriture de l'expression de la fonction caractéristique fondamentale est que si comme l’arithmétique comporte des opérations binaires sur les nombres, la théorie des ensembles comporte des opérations binaires sur les ensembles:

• l’union des ensembles A et B, notée A ∪ B, correspondant à l’ensemble de tous les objets qui sont membres de A, ou B, ou les deux. Par exemple, l’union de {1, 2, 3} et {2, 3, 4} est l’ensemble {1, 2, 3, 4}. 
• l’intersection des ensembles A et B, notée A ∩ B, est l’ensemble de tous les objets qui sont membres à la fois de A et de B. Par exemple, l’intersection de {1, 2, 3} et {2, 3, 4} est l’ensemble {2, 3}. 

Mais puisque dans ces deux opérations ensemblistes d'union et d'intersection par définition et au-delà de le constater par les exemples écris ci-dessus, on ne peut pas répéter les éléments d'un ensemble et que l'ordre des éléments d'un ensemble ne compte pas, alors il nous faut inventer un nouvel opérateur dans le domaine d'extension des ensembles que nous appelons les ensembles séquentiels et que j'appelle "l’uniontersection" des ensembles séquentiels A et B, notée A ∪∩ B, qui est l’ensemble séquentiel de tous les éléments qui sont membres de A, ou B, ou les deux et de tous les éléments qui sont membres à la fois de A et de B. Par exemple, si l'union de {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} est l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5}, et si l’intersection de {1, 2, 3} et {3, 4, 5} est l’ensemble {3} alors "l'uniontersection" des ensembles séquentiels notés Seq Aᵢ₌₃=({1;2; 3}) ∪ ∩ Seq Bᵢ₌₃=({3; 4; 5}) est l’ensemble séquentiel  Seq (A∪ ∩B)ᵢ₌₆=({1; 2; 3; 3; 4; 5}). Ou bien encore si A={1, 2, 3, 7, 9} ∪ B={1, 2, 3, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 7, 9, 4, 5} et A={1, 2, 3,7, 9} ∩ B={1, 2, 3, 3, 4, 5}= {1, 2, 3}, alors "l'uniontersection" des ensembles séquentiels notés Seq Aᵢ₌₃=({1, 2, 3, 7, 9}) ∪ ∩ Seq Bᵢ₌₃=({1, 2, 3, 3, 4, 5}) est l’ensemble séquentiel Seq(A ∪∩ B)ᵢ₌₁₀=({1; 2; 3; 7; 9 ; 1, 2, 3, 3, 4; 5}). Nous verrons ultérieurement au chapitre 24, puis aux chapitres dédies aux opérations ensemblistes séquentielles que cette opération devient une opération ensembliste séquentielle quand elle correspond à une opération étendue au domaine séquentiel ou l'ordre des éléments comptent et qui est l'opération ensembliste séquentielle en général de la concaténation sur deux ensembles correspondant à une séquence d'éléments ordonnés et que je distingue comme étant de deux types que j'appelle tout d'abord la concaténation insertion et qui si le terme de juxtaposé n'est pas précisé est toujours implicitement non juxtaposée et réordonnée; puis que j'appelle la concaténation insertion juxtaposée de début (gauche) ou de fin (droite), et que je définis en général comme si A={a₁; a₂; b₁; b₂ } et B={a₃; b₃; c₁; c₂; c₃}, avec a < b < c ou a> b > c, alors la concaténation réordonnée non juxtaposée de A et B, c'est-à-dire la concaténation d'insertion est notée A ⊔ B={a₁; a₂; a₃; b₁; b₂; b₃; c₁; c₂; c₃}; et la concaténation juxtaposée non réordonnée de début ou gauche,  de A et B est notée A ⋆⊔ B={a₁; a₂; b₁; b₂; a₃; b₃;c₁; c₂; c₃}; et la concaténation juxtaposée non réordonnée de fin ou droite, de A et B, est notée A ⊔⋆ B={a₃, b₃, c₁, c₂; c₃; a₁; a₂; b₁; b₂ }. 

Enfin maintenant donc après ces précisions sur la propriété ensembliste séquentielle de l'expression de l'opération "d'uniontersection" nécessaire pour écrire l'expression de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance, et ultimement pour écrire l'expression de toute fonction caractéristique, nous remarquons que si nous avons crée ce nouvel opérateur "d'uniontersection" en le justifiant et en le définissant, c'est aussi pour pouvoir enfin l'écrire dans la troisième et dernière partie de la nouvelle forme de l'écriture de toute fonction caractéristique après avoir écrit la deuxième partie de cette fonction caractéristique de x appartenant ou non à SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞, la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance notée 1A(yᵢ-x) en la définissant maintenant comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R; ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x=xᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-xᵢ=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:

1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉    (A)'↔ (A)''

1A(yᵢ-x) = ∪∩ (n=1→n=∞: [ (1-⌈|yᵢ₌ₙ-x|/(|yᵢ₌ₙ-x|+1)⌉)i ])            (A)''↔ (A)'''

1A(yᵢ-x)=(1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|+1)⌉)… ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞-x|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞ -x|+1)⌉)                  (A)'''. 

La représentation ensembliste ou séquentielle de l'expression  (A)''' est Seq(1A(yᵢ-x))=({(1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|+1)⌉) ; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|+1)⌉) ; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|+1)⌉);….; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞-x|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞ -x|+1)⌉)}). Cette représentation longue restera pour des raisons de lisibilité pratique implicite comme par clarté et simplicité algébrique nous n'utiliserons  que l'expression (A)' tout au long de ces pages sauf quelques exceptions nous obligeant à faire ressortir l'expression algébrique implicite comme explicite. 

⁂

Puis nous remarquons maintenant qu'il existe logiquement la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance inverse de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance précédente, que nous appelons logiquement la fonction caractéristique fondamentale de non-appartenance et ayant aussi une expression numérique calculable que nous définissons puis que nous réécrivons exactement comme précédemment de la façon suivante:

∀ yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞  ⊆ R, ∀ x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊ₓ  ⊆ R; soit la notation χA(x) de la fonction caractéristique ou indicatrice des intervalles de la séquence SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et soit, sa définition ensembliste telle que, χA(x): {0 if x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ; 1 if x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞    (1') , alors l'expression numérique calculable correspondante à cette expression algébrique ensembliste (1') est définie par extension du domaine des ensembles à celui des ensembles séquentiels par χA(x): {0 if x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ →1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=0; 1 if x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ →1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=1.   (A'), deux propositions (1')↔ (A') dont nous écrivons l'équivalence plus lisiblement, car comme précédemment le prélude à une encore plus grande amélioration de sa lisibilité finalisée comme suit:

χA(x): {0 if x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ; 1 if x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞    (1') ↔ (A')

χA(x): {0 if x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ →1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=0; 1 if x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ →1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=1       (A')

Comme précédemment pour l'expression (A) nous réécrirons l'expression  (A')  pour en améliorer la lisibilité et la détailler dans toutes les pages qui vont suivre de la manière suivante:

1A: SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1-1A(yᵢ-x)=0, si yᵢ-x=0 ∧ x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ 

• 1-1A(yᵢ-x)=1, si yᵢ-x≠0 ∧ x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ 

L'expression de cette fonction caractéristique de x n'appartenant pas à SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ notée 1- 1A(yᵢ-x) est encore définie tout d'abord comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ  ⊆ R; ∀ x= xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({xᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-xᵢ =0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;….nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

1-1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉           (A')' ↔ (A')''

1-1A(yᵢ-x) = ∪∩ (n=1→n=∞: [ (⌈|yᵢ₌ₙ-x|/(|yᵢ₌ₙ-x|+1)⌉)i ])            (A')''↔ (A')'''

1-1A(yᵢ-x)=(⌈|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|+1)⌉) ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|+1)⌉) ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|+1)⌉)… ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞-x|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞ -x|+1)⌉)                  (A')'''. Cette dernière expression de la fonction caractéristique fondamentale de non-appartenance qui est l'inverse de la fonction caractéristique d'appartenance.

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression  (A')''', la fonction caractéristique fondamentale de non-appartenance est Seq(1-1A(yᵢ-x))=({(⌈|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|+1)⌉) ; (⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|+1)⌉) ; (⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|+1)⌉);….; (⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞-x|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞ -x|+1)⌉)}).

⁂

Mais il existe une définition et une expression beaucoup plus élémentaires d'une fonction caractéristique au sens de moins particulière, donc d'une fonction caractéristique en général, que celle écrite précédemment, comme seule générale, car fondamentale et implicitement toujours d'appartenance, et qui est la définition et l'expression de la fonction caractéristique des valeurs nulles et non nulles des éléments de tout ensemble séquentiel. Je l'appelle la fonction caractéristique de structures élémentaires qui si elle est plus générale reste encore implicitement seulement et non plus explicitement une fonction caractéristique d'appartenance d'un élément à une seule valeur précise (cette propriété est maintenant transposée aux seuls éléments du résultat de la fonction caractéristique, les éléments caractéristiques qui appartiennent à l'ensemble {0; 1}, tandis que les éléments caractérisés n'appartiennent plus qu'à l'ensemble des éléments dont les valeurs sont encore précisément nulles, mais aussi et moins précisément non nulles). Cette fonction caractéristique de structures élémentaires est définie comme suit:

1A: SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(yᵢ≠0)=0, si yᵢ=0 

• 1A(yᵢ≠0)=1, si yᵢ≠0 

L'expression de cette fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments yᵢ de  l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞, de valeurs non nulles et notées 1A(yᵢ≠0)=1, est définie comme suit:

∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ y=yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

1A(yᵢ≠0)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉         (A'')'↔ (A'')''

1A(yᵢ≠0) = ∪∩ (n=1→n=∞: [ (⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉)i ])            (A'')''↔ (A'')'''

1A(yᵢ≠0)=(⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ +1)⌉) ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|+1)⌉) ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |+1)⌉)… ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)                  (A'')'''. Cette dernière expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires qui est l'inverse de la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées.

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression  (A'')''', la fonction caractéristique de structures élémentaires est Seq(1A(yᵢ≠0))=({(⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁|+1)⌉) ; (⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ |+1)⌉) ; (⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|+1)⌉);….; (⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)}).

⁂

Puis nous remarquons encore qu'il existe logiquement la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées de la fonction précédente, ayant aussi une expression numérique calculable que nous définissons puis que nous écrivons exactement comme précédemment de la façon suivante:

1A: SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(yᵢ=0)=1, si yᵢ=0

• 1A(yᵢ=0)=0, si yᵢ≠0 

L'expression de cette fonction caractéristique de structures élémentaires inversées des éléments yᵢ de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞, de valeurs nulles et notées 1A(yᵢ=0)=1, est définie comme suit:

∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ y=yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

1A(yᵢ=0)=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉         (A''')' ↔ (A''')''

1A(yᵢ=0) = ∪∩ (n=1→n=∞: [ (1-⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉)i ])            (A''')''↔ (A''')'''

1A(yᵢ=0)=(1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ +1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |+1)⌉)… ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)                  (A''')'''. Cette dernière expression de la fonction caractéristique  de structures élémentaires inversées qui est l'inverse de la fonction caractéristique de structures élémentaires.

La représentation ensembliste ou séquentielle de l'expression  (A''')''', la fonction caractéristique  de structures élémentaires inversées est Seq(1A(yᵢ=0))=({(1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁|+1)⌉) ; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ |+1)⌉) ; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|+1)⌉);….; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)}).

Nous remarquons que nous retirerons les indices i dans les deux expressions  (A')'' et  (A')''',  pour écrire la plupart des expressions qui vont suivre dans toutes ces pages afin de simplifier plus encore notre notation comme implicitement y=yᵢ, c'est à dire que la variable la plus générale de y contient toutes les valeurs de la variable de yᵢ qui contient toutes les valeurs de variables de yᵢ₌ₙ jusqu'à yᵢ₌ₙ₊∞, ce que nous avons écrit dans la deuxième partie de l'écriture de notre fonction caractéristique de structures élémentaires que sont l'énoncé des conditions du domaine de définition de ses variables y compris des indices. 

⁂

C'est donc de cette dernière observation concrétisée dans l'expression (A')'' et son expression  inverse (A')''' de l'existence d'une fonction caractéristique de structures élémentaires et de structures élémentaires inversées qui est plus générales que la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance et de non-appartenance, et surtout qui n'est donc explicitement d'appartenance comme son nom l'indique, car qui n'est plus qu'implicitement et imprécisément seulement une fonction caractéristique fondamentale d'appartenance réduite, que je déduis intuitivement l'existence de cette sixième loi mathématique scientifique que j'appelle la loi mathématique de structure caractéristique explicitant plusieurs types de structures inhérentes à toute collection de données que sont des grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), et dont je donne maintenant une démonstration constructive par définition respectant les contraintes des mathématiques intuitionnistes en ne faisant pas appel au principe du tiers exclu et ne faisant pas appel à l'infini, comprenant un contenu calculatoire, que j'écris en le définissant préalablement de la façon suivante:

1. 1 En appliquant la loi mathématique de structure caractéristique à xᵢ (ou à yᵢ la séquence de nombres de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞) appartenant à la séquence de nombres de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞, et nous obtenons une première sous structure de données qui est celle de la non-nullité et de la nullité des valeurs des éléments de l'ensemble séquentiel des grandeurs d’intensité xᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), donc une première sous structure, celle de la non-nullité des valeurs des éléments de l'ensemble séquentiel des grandeurs d’intensité xᵢ  (ou yᵢ) aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), mais donc aussi une deuxième sous structure, celle de la nullité des valeurs des éléments de l'ensemble séquentiel des grandeurs d’intensité xᵢ (ou yᵢ) aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x) et chacune résultante de leurs caractérisations tout d'abord par la fonction caractéristique notée 1A(xᵢ≠0) caractérisant xᵢ et dont l’expression algébrique est numériquement calculable comme suit:

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(xᵢ≠0)=0, si x=0 

• 1A(xᵢ≠0)=1, si x≠0 

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments xᵢ de valeurs non nulles de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ est notée 1A(xᵢ≠0) et elle est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

1A(xᵢ≠0) =⌈|x|/(|x|+1)⌉        (1)

Ensuite toujours en appliquant la loi mathématique de structure caractéristique à xᵢ appartenant à la séquence de nombres SeqEᵢ₌ₙ₊∞, nous obtenons donc une deuxième sous structure de données qui est celle de la nullité des valeurs des éléments de l'ensemble séquentiel des grandeurs d’intensité xᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), et résultantes de leurs caractérisations par la fonction caractéristique notée 1A(xᵢ=0) caractérisant xᵢ, dont l’expression algébrique est numériquement calculable comme suit: 

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(xᵢ=0)=0, si xᵢ≠0

• 1A(xᵢ=0)=1, si xᵢ=0 

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments xᵢ de valeurs nulles de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ est notée 1A(xᵢ=0) et elle est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R alors:

1A(xᵢ=0)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉         (2)

1. 2 L'application de la loi mathématique de structure caractéristique permet aussi d'obtenir une deuxième structure de donnée des grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle de l’égalité des valeurs de 1 ou 0 des éléments des fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) caractérisant xᵢ et yᵢ et dont l’expression algébrique est numériquement calculable comme suit:

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1} ∧ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|)=1, si xᵢ=yᵢ=0 ∨ xᵢ≠0 ∧ yᵢ≠0

• 1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|)=0, si xᵢ≠0 ∧ yᵢ=0  ∨ yᵢ≠0 ∧ xᵢ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments xᵢ de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et yᵢ de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|) ↔1A(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|) ↔1A(xᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0) est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R ∧ ∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

1A(xᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0)↔1A(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|)=1-⌈|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|/(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|+1)⌉ 

 (3) ↔ (3)'

1A(xᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|)=1-⌈|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|/(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|+1)⌉    (3)' ↔ (3)''

1A(xᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|)=1-(⌈|⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉|/(|⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |+1)⌉)   (3)'' ↔ (3)'''

1A(xᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|)=1-(⌈|⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈|x|/(|x|+1)⌉|/(|⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉)        (3)'''

1. 3 Ensuite la loi mathématique de structure caractéristique appliquée résulte aussi dans une troisième structure inhérente des données que sont les grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle de l’inégalité des valeurs caractéristiques de 1 ou 0 résultante des fonctions caractéristiques notée en général 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) caractérisant xᵢ et yᵢ et dont l’expression algébrique numériquement calculable, comme suit: 

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1} ∧ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|)=0, si  yᵢ=0 ∧ xᵢ=0  ∨ yᵢ≠0 ∧ xᵢ≠0

• 1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|)=1, si   yᵢ≠0 ∧ xᵢ=0 ∨ yᵢ=0 ∧ xᵢ≠0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments xᵢ de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et yᵢ de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞, notée 1A(|1A(xᵢ≠0) -1A(yᵢ≠0)|) ↔1A(|1A(yᵢ≠0) -1A(xᵢ≠0)|) ↔1A(xᵢ≠0) ≠1A(yᵢ≠0) est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R ∧∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, soit 1A(xᵢ≠0) =⌈ |x|/(|x|+1)⌉ et 1A(yᵢ≠0)=⌈|y|/(|y|+1)⌉ alors:

1A(xᵢ≠0) ≠1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|)=⌈|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|/(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|+1)⌉ 

(4) ↔ (4)’

1A(xᵢ≠0) ≠1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|)=⌈|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|/(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|+1)⌉     (4)' ↔ (4)''

1A(xᵢ≠0) ≠1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(xᵢ≠0) - 1A(yᵢ≠0)|)=⌈|⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈|x|/(|x|+1)⌉|/(|⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉    (4)'' ↔ (4)'''

1A(xᵢ≠0) ≠1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(xᵢ≠0) - 1A(yᵢ≠0)|)=⌈|⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉|/(|⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |+1)⌉           (4)'''

1. 4 Puis, appliquer la loi mathématique de structure caractéristique résulte dans une quatrième structure inhérente aux données collectées que sont les grandeurs d’intensité aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle à la fois d’égalité et d’inégalité des valeurs caractéristiques de 1 ou 0 résultante des fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0), caractérisant xᵢ et yᵢ et dont l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit:

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1} ∧ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)= -1, si x=1 ∧ y=0; si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ∧ x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⇔x ≠ y ; si y ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ∧ y ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⇔ x ≠ y

• 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)=1, si y=1 ∧ x=0; si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ∧ x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⇔x ≠ y; si y ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ∧ y ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⇔ x ≠ y

• 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)= 0, si x=1 et y=1 ou x=0 et y=0; si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ∧ x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⇔x = y; si y ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ∧ y ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⇔x = y.

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de {-1; 0; 1} appartenant à 1A(SeqEᵢ₌ₙ₊∞) ou 1A(SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞), mais pas les deux, c'est-à-dire caractéristique des éléments xᵢ de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞, et yᵢ de l'ensemble séquentiel SeqE' ᵢ₌ₙ₊∞ de valeurs différemment nulles ou non nulles et elle est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R ∧ ∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)=⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉              (5)

1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)=⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉              (5)'

Remarquons que si nous simplifions la définition et la notation de l'expression (5) précédente de la fonction caractéristique des éléments des ensembles séquentiels SeqE et SeqE' de valeurs différemment nulles ou non nulles et pour éviter d'avoir une fonction caractéristique dont certains éléments ont une valeur de -1, en appartenant à {-1;0;1}, nous obtenons l'expression  (4)''' de la fonction caractéristique précédente, celle de la structure de l’inégalité des valeurs caractéristiques de 1 ou 0 résultante des fonctions caractéristiques notée en général 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) caractérisant xᵢ et yᵢ, comme suit:

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1} ∧ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)= 1, si x=1 ∧ y=0 ∨ si y=1 ∧ x=0; si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ∧ x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⇔ x ≠ y; si y ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ∧ y ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⇔ x ≠ y

• 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)= 0, si x=1 et y=1 ou x=0 et y=0; si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ∧ x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⇔x = y;  si y ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ∧ y ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⇔x = y.

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de {0;1} appartenant à 1A(SeqEᵢ₌ₙ₊∞) ou 1A(SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞), mais pas les deux, c'est à dire caractéristique des éléments de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ de valeurs différemment nulles ou non nulles est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R ∧ ∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

1A(1A(yᵢ≠0) - 1A(xᵢ≠0))=⌈ |⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉ | / ( |⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉ | +1)⌉           (4)'''

Remarquons aussi à propos de l'expression (5), notée 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)=⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉, que si nous avions choisi d'écrire l'expression de la différence 1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0), alors si les signes de ces éléments auraient été les signes opposés de ceux de l'expression de la différence précédente notée 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0), par contre les éléments résultants de l'expression  (4)''' de la fonction caractéristique des éléments de {0;1} appartenant à 1A(SeqE) ou 1A(SeqE'), mais pas les deux, sont identiques, car 1A(1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0))

=1A(1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)).

1. 5 Puis, appliquer la loi mathématique de structure caractéristique résulte encore dans une cinquième structure inhérente aux données collectées que sont les grandeurs d’intensité aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle d'équivalence caractéristique entre les fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) et réciproquement, caractérisant xᵢ et yᵢ et dont l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit: 

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1} ∧ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(yᵢ≠0)=1Aa'(xᵢ≠0)+1Ab'(yᵢ≠0)+1A(xᵢ≠0), si 1Aa'(xᵢ≠0)+1Ab'(yᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)

• 1A(xᵢ≠0)=1Aa(xᵢ≠0)+1Ab(yᵢ≠0)+1A(yᵢ≠0), si 1Aa(xᵢ≠0)+1Ab(yᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)

L'expression de ces fonctions caractéristiques d'équivalences des éléments xᵢ de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞, et des éléments yᵢ de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ et notée 1Aa(xᵢ≠0)+1Ab(yᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0) et 1Aa'(xᵢ≠0)+1Ab'(yᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0) est défini comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R ∧ ∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

1A(yᵢ≠0)=(⌈|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|/(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|+1)⌉)*(1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0))+1A(xᵢ≠0)   (6) ↔ (6)'

1A(yᵢ≠0)=(⌈|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|/(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|+1)⌉ )*(1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0))+1A(xᵢ≠0)                                 (6)' ↔ (6)''

1A(yᵢ≠0)= ⌈|y|/(|y|+1)⌉=(⌈|⌈|y|/(|y|+1)⌉- ⌈|x|/(|x|+1)⌉|/(|⌈|y|/(|y|+1)⌉- ⌈|x|/(|x|+1)⌉ |+1)⌉)*(⌈|y|/(|y|+1)⌉- ⌈|x|/(|x|+1)⌉ )+ ⌈|x|/(|x|+1)⌉            (6)'' ↔ (6)'''

1A(yᵢ≠0)=(⌈| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉|/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉|+1)⌉ )*(⌈|y|/(|y|+1)⌉- ⌈|x|/(|x|+1)⌉)+ ⌈|x|/(|x|+1)⌉                                (6)'''

1A(xᵢ≠0)=(⌈|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|/(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|+1)⌉)*(1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0))+1A(yᵢ≠0)      (7) ↔ (7)'

1A(xᵢ≠0)=(⌈|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|/(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|+1)⌉ )*(1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0))+1A(yᵢ≠0)    (7)' ↔ (7)''             

1A(xᵢ≠0)=(⌈|⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈|x|/(|x|+1)⌉ |/( | ⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉)*(⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ )+⌈|y|/(|y|+1)⌉  (7)'' ↔ (7)'''    

1A(xᵢ≠0)=(⌈| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |+1)⌉ )*(⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ )+⌈|y|/(|y|+1)⌉                                        (7)'''

1. 6 Puis, appliquer la loi mathématique de structure caractéristique résulte dans une sixième structure inhérente aux données formant une suite de nombres correspondants aux grandeurs d’intensité aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle de l'expression caractéristique neutre pour l'opération d'addition des fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) et réciproquement, caractérisant xᵢ et yᵢ et dont l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit: 

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1} ∧ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(xᵢ≠0)=1Ac(xᵢ≠0)+1Ad(yᵢ≠0)+1A(xᵢ≠0), si 1Ac(xᵢ≠0)+1Ad(yᵢ≠0)=0

• 1A(yᵢ≠0)=1Ae(xᵢ≠0)+1Af(yᵢ≠0)+1A(yᵢ≠0), si 1Ae(xᵢ≠0)+1Af(yᵢ≠0)=0

L'expression de ces fonctions caractéristiques neutres des éléments xᵢ de valeurs non nulles de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞s, et des éléments yᵢ de valeurs nulles de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ et notée 1Ac(xᵢ≠0)+1Ad(yᵢ≠0)=0 et 1Ae(xᵢ≠0)+1Af(yᵢ≠0)=0 est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R ∧ ∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

1A(xᵢ≠0)=(1-(⌈|1A(yᵢ≠0) -1A(xᵢ≠0)|/(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|+1)⌉))*(1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0))+1A(xᵢ≠0)

(8) ↔ (8)'

1A(xᵢ≠0)=(1-(⌈|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|/(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|+1)⌉ ))*(1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0))+1A(xᵢ≠0)     (8)' ↔ (8)''             

1A(xᵢ≠0)=(1-(⌈|⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉ |/(| ⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈ |x|/(|x|+1)⌉ |+1)⌉))*(⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈ |x|/(|x|+1)⌉)+⌈ |x|/(|x|+1)⌉      (8)'' ↔ (8)''' 

1A(xᵢ≠0)=(1-(⌈|⌈|x|/(|x|+1)⌉ -⌈|y|/(|y|+1)⌉ |/(|⌈ |x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |+1)⌉))*(⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈ |x|/(|x|+1)⌉)+⌈ |x|/(|x|+1)⌉                                            (8)'''. 

Nous remarquons que cette dernière et avant-dernière expression sont constituées d'un premier terme d'une addition de fonction caractéristique qui est l'élément neutre pour l'addition des fonctions caractéristiques et qui est la multiplication de l'expression (2)''' de la fonction caractéristique d'égalités des valeurs des fonctions caractéristiques, qui est notée 1A(xᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)|), et de l'expression de la différence entre les valeurs des deux fonctions caractéristiques 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0).

1A(yᵢ≠0)=(1-(⌈|1A(yᵢ)-1A(xᵢ)|/(|1A(yᵢ)-1A(xᵢ)|+1)⌉))*(1A(xᵢ)-1A(yᵢ))+1A(yᵢ)       (9) ↔ (9)' 

1A(yᵢ≠0)=(1-(⌈|1A(xᵢ)-1A(yᵢ)|/(|1A(xᵢ)-1A(yᵢ)|+1)⌉ ))*(1A(xᵢ)-1A(yᵢ))+1A(yᵢ)         (9)' ↔ (9)''      

1A(yᵢ≠0)=(1-(⌈|⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈|x|/(|x|+1)⌉ |/( | ⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈|x|/(|x|+1)⌉ |+1)⌉))*(⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ )+⌈|y|/(|y|+1)⌉                       (9)'' ↔ (9)'''   

1A(yᵢ≠0)=(1-(⌈|⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉  |/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉  |+1)⌉ ))*( ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉  )+⌈|y|/(|y|+1)⌉                                         (9)''' 

Nous remarquons que cette dernière et avant-dernière expression sont constituées d'un premier terme d'une addition de fonction caractéristique qui est l'élément neutre pour l'addition des fonctions caractéristiques et qui est la multiplication de l'expression (3)''' de la fonction caractéristique d'égalités des valeurs des fonctions caractéristiques, qui est notée 1A(xᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0) ↔1A(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|), et de l'expression de la différence entre les valeurs des deux fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0).

1. 7 Puis avec l'application de la loi mathématique de structure caractéristique nous obtenons une septième structure inhérente aux données que sont les grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), et qui est celle des valeurs d'indexe de position de xᵢ et yᵢ , impliquant l’existence d’une deuxième structure de données de l’ensemble séquentiel des éléments aux valeurs dans N correspondantes aux valeurs des indexes de positions de xᵢ et yᵢ caractérisés par les éléments de valeurs caractéristiques égales à 1 ou 0 résultant des fonctions caractéristiques notées en général 1A(xᵢ≠0), 1A(yᵢ≠0) et caractérisant les valeurs de xᵢ et yᵢ et, dont les expressions algébriques numériquement calculables sont comme suit en commençant par écrire l'expression de la valeur d'indexe de position de xᵢ≠0:

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1} 

• INDEX(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*nᵢ=1*nᵢ, si 1A(xᵢ≠0)=1 ∧ xᵢ≠0 

• INDEX(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*nᵢ=0*nᵢ, si 1A(xᵢ≠0)=0 ∧ xᵢ=0 

L'expression de ces fonctions caractéristiques des valeurs d'indexe de position des éléments xᵢ de valeurs non nulles de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ est notée INDEX(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*nᵢ=1*n et elle est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:

INDEX(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*nᵢ=(⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n                (10). 

Ensuite nous écrivons l'expression de la valeur d'indexe de position de xᵢ=0 comme suit:

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1} 

• INDEX(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*nᵢ=1*n, si 1A(xᵢ=0)=1 ∧ xᵢ=0 

• INDEX(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*nᵢ=0*n, si 1A(xᵢ=0)=0 ∧ xᵢ≠0 

L'expression de cette fonction caractéristique des valeurs d'indexe des éléments xᵢ de valeurs nulles de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et qui est notée INDEX(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*nᵢ=1*n, est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:

INDEX(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n     (11)

Puis en remplaçant xᵢ par yᵢ dans toutes les expressions précédentes nous écrivons en abrégeant utilement la démarche précédente, l'expression de la valeur de l'indexe de position de yᵢ après l'avoir définie comme suit:

∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R:

INDEX(yᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0)*nᵢ=(⌈|y|/(|y|+1)⌉))*n            (10)

INDEX(yᵢ=0)=1A(yᵢ=0)*nᵢ=((1-⌈|y|/(|y|+1)⌉)*n        (11)'

1. 8 Nous constatons à cette étape de l'application de la loi mathématique de structure caractéristique dont nous obtenons une huitième structure inhérente aux séquences de nombres d'un ensemble séquentiel que sont leurs valeurs d'indexes de positions de valeurs dans N l'ensemble des entiers naturels, que nous pouvons énoncer un "corolaire" découlant de notre loi caractéristique et que je définis comme suit:

 ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; n₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

n=INDEX(xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0)=1A(xᵢ≠0)*nᵢ+1A(xᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n+(⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n         (12) ↔ (12)'

n=INDEX(xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0)=(1A(xᵢ≠0)+1A(xᵢ=0))*nᵢ=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n         (12)'

Nous remarquons que cette dernière expression (12)' est constituée dans son premier terme du produit de l'élément neutre pour l'opération de la multiplication des fonctions caractéristiques et dont l'expression est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

a(xᵢ)=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉)        (13) ⇒ (14)

a(xᵢ)=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉)=1     (14). C'est cette dernière expression qui correspond au corolaire de la loi mathématique de structure caractéristique cette dernière que nous énonçons enfin comme:

• Tous les éléments de n'importe quelle suite de nombres dans R d'un ensemble séquentiel aux valeurs nulles et non nulles sont toujours caractérisables par l'expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires et l'expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires dont les éléments caractéristiques sont de valeurs dans {0;1} correspondantes aux valeurs nulles et non nulles des éléments caractérisés de cette suite de nombres d'un ensemble séquentiel. 

Et donc nous énonçons son corolaire en complément de notre énoncé précédent de la loi mathématique de structure caractéristique comme: 

• La somme de l'expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments de valeurs non nulles de cette suite de nombres d'un ensemble séquentiel avec l'expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments nuls de cette même suite de nombres d'un ensemble séquentiel est toujours égale à la suite de nombres correspondants à l'élément neutre pour l'opération de la multiplication des fonctions caractéristiques dont tous les éléments sont égaux à 1.

1. 9 Puis avec l'application de la loi mathématique de structure caractéristique nous obtenons une neuvième et dernière structure inhérente aux données que sont les grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques non corrélées par y=f(x), qui est celle des valeurs d'indexes internes de positions de xᵢ et yᵢ, impliquant l’existence d’une deuxième structure de données de l’ensemble des éléments aux valeurs dans N correspondantes à ces valeurs d'indexes internes de positions de xᵢ et yᵢ caractérisés par les éléments de valeurs caractéristiques égales à 1 ou 0 résultant de la fonction caractéristique 1A(xᵢ≠0), 1A(yᵢ≠0) caractérisant xᵢ et yᵢ, et dont l’expression algébrique numériquement calculable est (après que les expressions obtenues par leur sommation en série soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole Sigma correspondant à l'addition d'une suite de nombres en général notés Σ (n=1→n=∞: [ a(n)i ]), où i représente l'indice de de l'addition, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de l'addition, et n=∞ est la limite supérieure de l'addition; l'addition totale n'est plus une suite de nombres à indices d'addition, mais plus simplement l'addition totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqE dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée Σ( n=1→n=x: [ a(n) ]), cette suite de nombres d'un ensemble séquentiel est définie tout d'abord pour les éléments xᵢ≠0, de la manière suivante:

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• INDEXINT(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ≠0))i ]))=0*n, si 1A(xᵢ)=0 ∧ xᵢ=0

• INDEXINT(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ≠0))i ]))=1*n, si 1A(xᵢ)=1 ∧ xᵢ≠0 

L'expression de ces fonctions caractéristiques de la valeur d'indexe interne des éléments xᵢ de valeurs non nulles de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et notée INDEXINT(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ≠0))i ])) est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:

INDEXINT(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ≠0))i ]))       (15) ↔ (15)'

INDEXINT(xᵢ≠0)=Σ(n=1→n=∞: [(((⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉))i])*(⌈|x|/(|x|+1)⌉)   (15)' 

Puis après avoir obtenu l'expression caractéristique des valeurs d'indexes internes des éléments de valeur non nulle d'une suite de nombres d'un ensemble séquentiel, nous écrivons maintenant l'expression caractéristique de la valeur d'indexe interne des éléments xᵢ de valeur nulle d'une suite de nombres comme suit:  

1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• INDEXINT(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ=0))i ]))=0*n, si 1A(xᵢ)=1 ∧ xᵢ≠0

• INDEXINT(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ=0))i ]))=1*n, si 1-1A(xᵢ)=1 ∧ xᵢ=0 

L'expression de ces fonctions caractéristiques de la valeur d'indexe interne des éléments xᵢ de valeurs nulles de l'ensemble séquentiel SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et notée 1A(xᵢ=0)=1*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ=0))i ])) est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:

INDEXINT(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ=0))i ]))    (16) ↔ (16)'

INDEXINT(xᵢ=0)=Σ(n=1→n=∞: [(((1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉))i])*(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)            (16)' 

⁂

Illustrons les expressions algébriques correspondant au contenu calculatoire de la démonstration constructive de la loi de structure caractéristique, en remplaçant dans les conditions de si yᵢ=f(xᵢ); et ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁;.….ᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;…..yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, avec les deux exemples de suites de nombres soit SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0) et SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), alors:

1. 1 L'application de la loi mathématique de structure caractéristique à SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ permet d'obtenir une première sous structure de données qui est celle de la non nullité des valeurs des éléments de l'ensemble séquentiel des grandeurs d’intensité xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont l’expression algébrique numériquement calculable est représentée comme suit:

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (1), notée 1A(xᵢ≠0) =⌈|x|/(|x|+1)⌉, est Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0).

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (1), notée 1A(yᵢ≠0)=⌈|y|/(|y|+1)⌉ est Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1).      

1. 1 L'application de la loi mathématique de structure caractéristique aux ensembles séquentiels SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ permet d'obtenir encore une deuxième sous structure de données qui est celle de de la nullité des valeurs des éléments de l'ensemble séquentiel des grandeurs d’intensité xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont l’expression algébrique numériquement calculable est représentée comme suit:

•  La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (2) notée 1A(xᵢ=0) =1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ est Seq(1-1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1).             

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (2), notée 1A(yᵢ=0)=1-⌈|y|/(|y|+1)⌉ est Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0).  

1.  2 L'application de la loi mathématique de structure caractéristique à SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ permet aussi d'obtenir une deuxième structure de donnée des grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle de l’égalité des valeurs de 1 ou 0 des éléments des fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) caractérisant respectivement xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit:

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (3), notée 1A(xᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0) ↔ 1A(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|)=1-(⌈|⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉|/(|⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉), est Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅-SeqEᵢ₌₁₅)) =Seq(1-1A(SeqEᵢ₌₁₅-SeqE'ᵢ₌₁₅)) = (0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0)  

1. 3 Ensuite l'application de la loi de mathématique de structure caractéristique aux ensembles séquentiels SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ résulte aussi dans une troisième structure inhérente des données que sont les grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle de l’inégalité des valeurs caractéristiques de 1 ou 0 résultante des fonctions caractéristiques notées en général 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) caractérisant respectivement xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit: 

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (4)''', notée 1A(xᵢ≠0) ≠ 1A(yᵢ≠0) ↔ 1A(|1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)|)=(⌈|⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉|/(|⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉), est Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅-SeqEᵢ₌₁₅)) =Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅-SeqE'ᵢ₌₁₅)) = (1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 1)  

1. 4 L'application de la loi mathématique de structure caractéristique à SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ résulte dans une quatrième structure inhérente aux données collectées que sont les grandeurs d’intensité aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle à la fois d’égalité et d’inégalité des valeurs caractéristiques de 1 ou 0 résultante des fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0), caractérisant respectivement xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit:

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (5) notée, 1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0)=⌈|y|/(|y|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉, est Seq(1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0))= (-1; 1; 0; 0; 0; 1; -1; 1; 0;1; -1; 1; 1; 0; 1)  

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (5)' notée, 1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0)=⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉, est Seq(1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0))=(1; -1; 0 ; 0 ; 0; -1; 1;- 1; 0; -1; 1; -1; -1; 0; -1)

1. 5 L'application de la loi mathématique de structure caractéristique à SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ résulte encore dans une cinquième structure inhérente aux données collectées que sont les grandeurs d’intensité aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle d'équivalence caractéristique entre les fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) et réciproquement, caractérisant respectivement xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit: 

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (7)''' notée, 1A(xᵢ≠0)=(⌈| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |+1)⌉ )*(⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ )+⌈|y|/(|y|+1)⌉, est Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0). Nous remarquons que le deuxième et dernier terme de l'addition notée ⌈|y|/(|y|+1)⌉, a pour représentation ensembliste séquentielle Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1). Nous remarquons aussi que le premier terme avant le deuxième et dernier terme de l'addition et notée(⌈| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |+1)⌉ )*(⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ ), a pour représentation ensembliste séquentielle Seq(1A(xᵢ≠0)-1A(yᵢ≠0))=(1; -1; 0 ; 0 ; 0; -1; 1;- 1; 0; -1; 1; -1; -1; 0; -1)

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (6)''' notée, 1A(yᵢ≠0)=(⌈| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉|/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉|+1)⌉ )*(⌈|y|/(|y|+1)⌉- ⌈|x|/(|x|+1)⌉)+ ⌈|x|/(|x|+1)⌉, est Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1). Nous remarquons que le deuxième et dernier terme de l'addition notée ⌈|x|/(|x|+1)⌉, a pour représentation ensembliste séquentielle Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0). Nous remarquons encore que le premier terme avant le deuxième et dernier terme de l'addition et notée (⌈| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉|/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉|+1)⌉ )*(⌈|y|/(|y|+1)⌉- ⌈|x|/(|x|+1)⌉), a pour représentation ensembliste séquentielle Seq(1A(yᵢ≠0)-1A(xᵢ≠0))= (-1; 1; 0; 0; 0; 1; -1; 1; 0;1; -1; 1; 1; 0; 1)                             

1. 6 L'application de la loi mathématique de structure caractéristique à SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ résulte dans une sixième structure inhérente aux données formant une suite de nombres correspondants aux grandeurs d’intensité aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), qui est celle de l'expression caractéristique neutre pour l'opération d'addition des fonctions caractéristiques 1A(xᵢ≠0) et 1A(yᵢ≠0) et réciproquement, caractérisant respectivement xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit:  

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (8)''' notée, 1A(xᵢ≠0)=(1-(⌈|1A(xᵢ)-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |/(|⌈ |x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |+1)⌉))*(⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈ |x|/(|x|+1)⌉)+⌈ |x|/(|x|+1)⌉, est Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0). Nous remarquons que le deuxième et dernier terme de l'addition notée ⌈|x|/(|x|+1)⌉, a pour représentation ensembliste séquentielle Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0). Nous remarquons encore que le premier terme avant le deuxième et dernier terme de l'addition et noté (1-(⌈|1A(xᵢ)-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |/(|⌈ |x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ |+1)⌉))*(⌈|y|/(|y|+1)⌉ -⌈ |x|/(|x|+1)⌉), a pour représentation ensembliste séquentielle Seq(0ᵢ₌₁₅))=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).                                   

• La représentation ensembliste et séquentielle de l'expression (9)''' notée, 1A(yᵢ≠0)=(1-(⌈|⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉  |/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉  |+1)⌉ ))*( ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉  )+⌈|y|/(|y|+1)⌉, est Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1). Nous remarquons que le deuxième et dernier terme de l'addition notée ⌈|y|/(|y|+1)⌉, a pour représentation ensembliste séquentielle Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1). Nous remarquons encore que le premier terme avant le deuxième et dernier terme de l'addition et noté (1-(⌈|⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉  |/(| ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉  |+1)⌉ ))*( ⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈|y|/(|y|+1)⌉ ), a pour représentation ensembliste séquentielle Seq(0ᵢ₌₁₅))=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) .  

1. 7 L'application de la loi mathématique de structure caractéristique à SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ résulte dans une septième structure inhérente aux données que sont les grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques corrélées ou non par y=f(x), et qui est celle des valeurs d'indexe de position de xᵢ et yᵢ, impliquant l’existence d’une deuxième structure de données de l’ensemble des éléments aux valeurs dans N correspondantes aux valeurs des indexes de positions de xᵢ et yᵢ caractérisés par les éléments de valeurs caractéristiques égales à 1 ou 0 résultant des fonctions caractéristiques notées en général 1A(xᵢ≠0), 1A(yᵢ≠0) et caractérisant respectivement les valeurs de xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit:  

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (10) notée, INDEX(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*nᵢ=(⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n, est SeqN *Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(1*1; 0*2; 1*3; 1*4; 1*5; 0*6; 1*7; 0*8; 1*9; 0*10; 1*11; 0*12; 0*13; 0*14; 0*15)= (1; 0; 3; 4; 5; 0; 7; 0; 9; 0; 11; 0; 0; 0; 0).

•  La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (11) notée, INDEX(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n, est SeqN*Seq(1-1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(0*1; 1*2; 0*3; 0*4; 0*5; 1*6; 0*7; 1*8; 0*9; 1*10; 0*11; 1*12; 1*13; 1*14; 1*15)=(0; 2; 0; 0; 0; 6; 0; 8; 0; 10; 0; 12; 13; 14; 15).           

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (10) notée, INDEX(yᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0)*nᵢ=(⌈|y|/(|y|+1)⌉)*n, est SeqN *Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(0*1; 1*2; 1*3; 1*4; 1*5; 1*6; 0*7; 1*8; 1*9; 1*10; 0*11; 1*12; 1*13; 0*14; 1*15)=(0; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 8; 9; 10; 0; 12; 13; 0; 15).     .

•  La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (11) notée, INDEX(yᵢ=0)=1A(yᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|y|/(|y|+1)⌉)*n, est SeqN*Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(1*1; 0*2; 0*3; 0*4; 0*5; 0*6; 1*7; 0*8; 0*9; 0*10; 1*11; 0*12; 0*13; 1*14; 0*15) =(1; 0; 0; 0; 0; 0; 7; 0; 0; 0; 11; 0; 0; 14; 0). 

1. 8  L'application de la loi mathématique de structure caractéristique à SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ résulte dans une huitième structure inhérente à toutes séquences de nombres que sont leurs valeurs d'indexes de positions indexées sur N l'ensemble des entiers naturels que nous pouvons énoncer dans un "corolaire" découlant de notre loi caractéristique appliquée aux éléments xᵢ et yᵢ caractérisés par les éléments de valeurs caractéristiques égales à 1 ou 0 résultant des fonctions caractéristiques notées en général 1A(xᵢ≠0), 1A(yᵢ≠0) et caractérisant les valeurs de  xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit: 

•  La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (12)' notée, INDEX(xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0)=n=1A(xᵢ≠0)*nᵢ+1A(xᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n est SeqN*(Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))+(Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅)))=(1*1; 2*1; 1*3; 1*4; 1*5; 1*6; 1*7; 1*8; 1*9; 1*10; 1*11; 1*12; 1*13; 1*14; 1*15) =(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15). Nous remarquons que le corolaire de la loi de structure caractéristique d'expressions (14) notées a(xᵢ)=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉)=1 a pour représentation ensembliste séquentielle la somme de Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0), et de Seq(1-1A(SeqEᵢ₌₁₅))=(0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1), représentée par l'ensemble séquence somme, Seq(Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅))+Seq(1-1A(SeqEᵢ₌₁₅)))=(1+0; 0+1; 1+0; 1+0; 1+0; 0+1; 1+0; 0+1; 1+0; 0+1; 1+0; 0+1; 0+1; 0+1; 0+1) = (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1).

•  La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (12)' notée, INDEX(yᵢ≠0 ∨ yᵢ=0)=n=1A(yᵢ≠0)*nᵢ+1A(yᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|y|/(|y|+1)⌉+⌈|y|/(|y|+1)⌉)*n est SeqN*(Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))+(Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅)))=(1*1; 2*1; 1*3; 1*4; 1*5; 1*6; 1*7; 1*8; 1*9; 1*10; 1*11; 1*12; 1*13; 1*14; 1*15) =(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15). Nous remarquons que le corolaire de la loi de structure caractéristique d'expressions (14) notées a(yᵢ)=(1-⌈|y|/(|y|+1)⌉+⌈|y|/(|y|+1)⌉)=1 a pour représentation ensembliste séquentielle la somme de Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1), et de Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0), représentée par l'ensemble séquence somme, Seq(Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))+Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅)))=(0+1; 1+0; 1+0; 1+0; 1+0; 1+0; 0+1; 1+0; 1+0; 1+0; 0+1; 1+0; 1+0; 0+1; 1+0) = (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1).          

1. 9 Puis avec l'application de la loi mathématique de structure caractéristique nous obtenons une neuvième et dernière structure inhérente aux données que sont les grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques non corrélées par y=f(x), qui est celle des valeurs d'indexes internes de positions de xᵢ et yᵢ, impliquant l’existence d’une deuxième structure de données de l’ensemble des éléments aux valeurs dans N correspondantes à ces valeurs d'indexes internes de positions de xᵢ et yᵢ caractérisés par les éléments de valeurs caractéristiques égales à 1 ou 0 résultant de la fonction caractéristique 1A(xᵢ≠0), 1A(yᵢ≠0) et caractérisant respectivement les valeurs de  xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit: 

• La représentation séquentielle de l'expression (15)' notée, INDEXINT(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ≠0))i ]))=Σ(n=1→n=∞: [(((⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉))i])*(⌈|x|/(|x|+1)⌉) est Seq(INDEXINT(SeqEᵢ₌₁₅≠0))=(1; 0; 2; 3; 4; 0; 5; 0; 6; 0; 7; 0; 0; 0; 0). Remarquons que la représentation ensembliste séquentielle de la somme sigma qui correspond au premier terme du produit de l'expression (15)' et d'expression Σ(n=1→n=∞: [(((1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉))i]), a pour représentation ensembliste séquentielle SeqΣ(Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅)))=(1; 1+0; 1+0+1; 1+0+1+1; 1+0+1+1+1; 1+0+1+1+1+0; 1+0+1+1+1+0+1;1+0+1+1+1+0+1+ 0; 1+0+1+1+1+0+1+ 0+1;1+0+1+1+1+0+1+ 0+1+ 0; 1+0+1+1+1+0+1+ 0+1+ 0+1; 1+0+1+1+1+0+1+ 0+1+ 0+1+ 0; 1+0+1+1+1+0+1+ 0+1+ 0+1+ 0+0; 1+0+1+1+1+0+1+ 0+1+ 0+1+ 0+0+0; 1+0+1+1+1+0+1+ 0+1+ 0+1+ 0+0+0+0)=(1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7).

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (15)' notée, INDEXINT(yᵢ≠0)=1A(yᵢ≠0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(yᵢ≠0))i ]))=Σ(n=1→n=∞: [(((⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉))i])*(⌈|y|/(|y|+1)⌉) est Seq(INDEXINT(SeqE'ᵢ₌₁₅≠0))= (0; 1; 2; 3; 4; 5; 0; 6; 7; 8; 0; 9; 10; 0; 11). Remarquons que la représentation ensembliste séquentielle de la somme sigma qui correspond au premier terme du produit de l'expression (15)' et d'expression Σ(n=1→n=∞: [(((⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉))i]), a pour représentation ensembliste séquentielle SeqΣ(Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅)))=(0; 0+1; 0+1+1; 0+1+1+1; 0+1+1+1+1; 0+1+1+1+1+1; 0+1+1+1+1+1+0; 0+1+1+1+1+1+0+1; 0+1+1+1+1+1+0+1+1; 0+1+1+1+1+1+0+1+1+ 1; 0+1+1+1+1+1+0+1+1+ 1+0; 0+1+1+1+1+1+0+1+1+ 1+0+ 1; 0+1+1+1+1+1+0+1+1+ 1+0+ 1+1; 0+1+1+1+1+1+0+1+1+ 1+0+ 1+1+ 0; 0+1+1+1+1+1+0+1+1+ 1+0+ 1+1+ 0+1)= (0; 1; 2; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 11).  

• La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (16)' notée, INDEXINT(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(xᵢ=0))i ]))=Σ(n=1→n=∞: [(((1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉))i])*(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉), est Seq(INDEXINT(SeqEᵢ₌₁₅=0))=(0; 1; 0; 0; 0; 2; 0; 3; 0; 4; 0; 5; 6; 7; 8). Remarquons que la représentation ensembliste séquentielle de la somme sigma qui correspond au premier terme du produit de l'expression (16)' et d'expression Σ(n=1→n=∞: [(((1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉))i]), a pour représentation ensembliste séquentielle SeqΣ(Seq(1-1A(SeqEᵢ₌₁₅)))=(0; 0+1; 0+1+0; 0+1+0+0; 0+1+0+0+0; 0+1+0+0+0+1; 0+1+0+0+0+1+0; 0+1+0+0+0+1+0+1; 0+1+0+0+0+1+0+1+0; 0+1+0+0+0+1+0+1+0+1;  0+1+0+0+0+1+0+1+0+1+0; 0+1+0+0+0+1+0+1+0+1+0+1; 0+1+0+0+0+1+0+1+0+1+0+1+1; 0+1+0+0+0+1+0+1+0+1+0+1+1+1; 0+1+0+0+0+1+0+1+0+1+0+1+1+1+1)=(0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 7; 8)

• La représentation ensembliste et séquentielle de l'expression (16)' notée, INDEXINT(yᵢ=0)=1A(yᵢ=0)*(Σ(n=1→n=∞: [(1A(yᵢ=0))i ]))=Σ(n=1→n=∞: [(((1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉))i])*(1-⌈|y|/(|y|+1)⌉),  est Seq(INDEXINT(SeqE'ᵢ₌₁₅=0))=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 3; 0; 0; 4; 0). Remarquons que la représentation ensembliste séquentielle de la somme sigma qui correspond au premier terme du produit de l'expression (16)' et d'expression Σ(n=1→n=∞: [(((1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉))i]), a pour représentation ensembliste séquentielle SeqΣ(Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅)))=(1; 1+0; 1+0+0; 1+0+0+0; 1+0+0+0+0; 1+0+0+0+0+0; 1+0+0+0+0+0+1; 1+0+0+0+0+0+1+0; 1+0+0+0+0+0+1+0+0; 1+0+0+0+0+0+1+0+0+0; 1+0+0+0+0+0+1+0+0+0+1; 1+0+0+0+0+0+1+0+0+0+1+0; 1+0+0+0+0+0+1+0+0+0+1+0+0;1+0+0+0+0+0+1+0+0+0+1+0+0 +1;1+0+0+0+0+0+1+0+0+0+1+0+0 +1+0)=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4).    

⁂

 Mais avec l'application de la loi mathématique de structure caractéristique nous obtenons plus qu'une énième structure inhérente aux données que sont les grandeurs d’intensité xᵢ et yᵢ aux variations réciproques non corrélées par y=f(x), car nous obtenons aussi une structure mathématique soit des ensembles de départ et d'arrivée du domaine de définition des fonctions caractéristiques fondamentales d'appartenance et de non-appartenance, des fonctions caractéristiques de structures élémentaires et de structures élémentaires inversées, ainsi que toutes les fonctions caractéristiques résultant des structures d'éléments caractéristiques crées par l'application de la loi caractéristique à une structure de donnée quelconque caractérisée écrite précédemment; soit la structure mathématique des ensembles de fonctions caractéristiques telles que nous les avons définies précédemment. Dans les deux cas ces structures peuvent correspondre soit à un magma et donc éventuellement un groupe, ou soit à un anneau et donc éventuellement un corps, ce que nous déterminons maintenant en considérant la première propriété nécessaire pour l'existence d'un magma et plus, la propriété de loi de composition interne que l'ensemble du domaine de définition et d'arrivée des fonctions caractéristiques doit avoir. Considérons tout d'abord l'existence de la loi de composition qui correspondrait à la fonction caractéristique dans l'ensemble R des nombres rationnels auxquels appartiennent les deux opérandes de la fonction caractéristique et sur N auquel le résultat des deux opérandes de la fonction caractéristique appartient à N, dans le cas de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance notée (A)': 1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉, et son inverse la fonction caractéristique fondamentale de non-appartenance notée (A')': 1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉. Or d'après Wikipédia "une opération dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés opérandes, en associe éventuellement un troisième, unique, nommé résultat, toujours dans ce même ensemble", donc une fonction caractéristique fondamentale d'appartenance ou de non-appartenance résultant dans deux valeurs possibles dans {0;1} de chaque résultat des deux opérandes yᵢ et x  à valeur dans R, n'est pas une relation interne dans cet ensemble R puisque la valeur du résultat doit être unique. Donc si maintenant nous considérons la fonction caractéristique de structures élémentaires notées (A')'': 1A(yᵢ≠0)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ et son inverse la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées notées (A')''': 1A(yᵢ=0)=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ nous n'avons plus qu'un seul opérande par rapport à la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance et de non-appartenance et n'est donc pas une relation interne dans cet ensemble R; et exactement comme précédemment la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance et de non-appartenance résultant dans deux valeurs possibles dans {0;1} de chaque résultat des deux opérandes yᵢ et x  à valeur dans R, c'est maintenant l'opérande unique de la fonction caractéristique de structures élémentaires et de la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées qui résulte aussi dans deux valeurs possibles dans {0;1} de l'unique opérande yᵢ à valeur dans R.  alors, il semble que faire usage du terme de fonction caractéristique soit erroné, car une fonction ou application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un unique élément du second voir même que chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second et nous venons de voir que les fonctions caractéristiques fondamentales d'appartenance et non-appartenance ou des fonctions caractéristiques de structures élémentaires et de structures élémentaires inversées, ne sont pas des relations dans R, et encore moins des fonctions un terme synonyme avec une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un unique élément du second.

Or nous trouvons définie dans Wikipédia, l'encyclopédie libre et en ligne, "Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe". Toujours dans Wikipédia nous trouvons définie qu’"En théorie des nombres, une fonction arithmétique, arithmétique ou théorique des nombres est généralement toute fonction f(n) dont le domaine est constitué des entiers positifs et dont l'étendue est un sous-ensemble des nombres complexes. Hardy et Wright incluent dans leur définition l'exigence selon laquelle une fonction arithmétique « exprime une propriété arithmétique de n ». Et cette propriété de n qu'exprimerait les fonctions indicatrices ou fonctions caractéristiques fondamentales d'appartenance et non-appartenance, et les fonctions indicatrices ou fonctions caractéristiques de structures élémentaires et de structures élémentaires inversées, qui seraient donc à défaut d'être des fonctions ordinaires des fonctions spéciales de théorie des nombres, des fonctions arithmétiques, cette propriété de n donc pourrait être celle d'indexation des éléments caractéristiques et de ces éléments caractérisés sur N*, car selon la définition toujours trouvée dans Wikipédia, "une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par ℕ*" sachant qu'en théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En effet les fonctions caractéristiques ne seraient que des fonctions, mais pas au sens ordinaire en mathématiques d'une fonction qui attribue à chaque élément d'un ensemble X, appelé le domaine de la fonction exactement un élément d'un ensemble Y appelé le codomaine de la fonction X, et pas seulement au sens extraordinaire de fonctions arithmétiques en théorie des nombres, mais aussi dans le sens ou les fonctions caractéristiques ne sont que l'étape de complétion intermédiaire d'une fonction d'indexation, c'est-à-dire que ces deux fonctions caractéristiques fondamentales d'appartenance et de non-appartenance, et les fonctions caractéristiques de structures élémentaires et de structure élémentaires inversées, ne sont que les étapes de complétion intermédiaire d'une seule et même fonction d'indexation sur N qui elle est une fonction au sens ordinaire, car correspondant à une relation qui à deux opérandes sur l'ensemble des variables de valeurs choisies appartenant à R correspond un résultat unique d'éléments d'indexe de position des éléments du premier ensemble de départ et de valeur n ∈ N ⊆ R, l'ensemble d'arrivée de la fonction d'indexation. C'est cette relation entre les deux expressions de la fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments de valeurs nulles et non nulles que j'ai écrits précédemment en application de la loi mathématique de structure caractéristique et que je rappelle ici comme suit:      

INDEX(xᵢ≠0)=1A(xᵢ≠0)*nᵢ=(⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n                (10).

 

INDEX(xᵢ=0)=1A(xᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n             (11).

Nous constatons à cette étape de l'application de la loi mathématique de structure caractéristique que nous obtenons une huitième structure inhérente aux séquences de nombres que sont leurs valeurs d'indexe de positions indexées sur N l'ensemble des entiers naturels qui résulte plus précisément d'un "corolaire" découlant de la loi mathématique de structure caractéristique et que je définis comme suit:

 ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

n=INDEX(xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0)=1A(xᵢ≠0)*nᵢ+1A(xᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n+(⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n         (12) ↔ (12)'

n=INDEX(xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0)=(1A(xᵢ≠0)+1A(xᵢ=0))*nᵢ=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉)*n         (12)'

Nous remarquons que cette dernière expression (12)' est constituée dans son premier terme du produit de l'élément neutre pour l'opération de la multiplication des fonctions caractéristiques et dont l'expression est définie comme suit:

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:

a(xᵢ)=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉) =1       (13). C'est cette dernière expression qui correspond au corolaire de la loi mathématique de structure caractéristique que nous énonçons enfin comme suit:

•  Tous les éléments d'une suite quelconque de nombre dans R d'un ensemble séquentiel de valeurs nulles et non nulles sont toujours caractérisables par l'expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires dont les éléments caractéristiques sont de valeurs dans {0;1} et qui correspondent aux valeurs nulles et non nulles des éléments caractérisés de cette suite de nombres d'un ensemble séquentiel. 

Et son corolaire que nous énonçons en complément de notre énoncé de la loi mathématique de structure caractéristique comme suit: 

• La somme des deux expressions de la fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments de valeurs nulles et non nulles de cette suite de nombres d'un ensemble séquentiel est toujours égale à la suite de nombres d'un ensemble séquentiel correspondants à l'élément neutre pour l'opération de la multiplication des fonctions caractéristiques dont tous les éléments sont égaux à 1.

Mais écrire que ces deux fonctions caractéristiques fondamentales d'appartenance et de non-appartenance, et ces deux fonctions caractéristiques de structures élémentaires et de structures élémentaires inversées ne sont que les étapes de complétion intermédiaire d'une seule et même fonction d'indexation sur N qui elle est une fonction au sens ordinaire, car correspondant à une relation qui à deux opérandes sur l'ensemble des variables de valeurs choisies appartenant à R correspond un résultat unique d'éléments d'indexe de position des éléments du premier ensemble de départ et de valeur n ∈ N ⊆ R, l'ensemble d'arrivée de la fonction d'indexation, ne suffit pas à faire de ces deux fonctions caractéristiques des fonctions ordinaires, car il manque toujours à cette dernière nouvelle définition des fonctions caractéristiques de structures élémentaires et de structures élémentaires inversées la condition d'une fonction ou application qui est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un unique élément du second voir même que chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second, du fait du seul élément de l'ensemble d'arrivée qui est 1 si l'on considère la somme des deux expressions de la fonction caractéristique de structures élémentaires et son inverse, la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées comme précédemment. C'est ce que nous avions illustré précédemment en remarquant que le corolaire de la loi de structure caractéristique d'expressions (13) notées a(yᵢ)=(1-⌈|y|/(|y|+1)⌉+⌈|y|/(|y|+1)⌉)=1 avait pour représentation ensembliste et séquentielle la somme de Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1), et de Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0;

0; 1; 0; 0; 1; 0), représentée par la séquence somme, Seq(Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅))+Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅)))=(0+1; 1+0; 1+0; 1+0; 1+0; 1+0; 0+1; 1+0; 1+0; 1+0; 0+1; 1+0; 1+0; 0+1; 1+0) = (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1). Il nous faut donc considérer que chaque valeur de 1 est unique, car correspondante à un indexe de position unique à valeur dans N afin de contourner la problématique de la condition d'une fonction ou application qui est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un unique élément du second voir même que chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second, faisant ainsi de la fonction caractéristique de structures élémentaires et son inverse la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées une fonction ordinaire. Nous pourrions alors considérer qu'éventuellement nous pourrions utiliser une notation spéciale pour différencier les valeurs de 1 s'ils sont indicés de façon à ce que les valeurs d'indices correspondent à leurs valeurs d'indexes de positions ce qui leur confère leur unicité par leur indexe malgré qu'ils soient tous égaux à la valeur de 1, et c'est cette indexation que j'ai déjà créée implicitement si l'on considère leur représentation ensembliste séquentielle avec le nouveau symbole de la nouvelle opération ensembliste crée précédemment ∪∩ et que je définis généralement comme correspondant à l'union et à l'intersection simultanément des éléments d'une suite de nombres en général, soit d'un ensemble ou l'ordre et la répétition ne sont pas des propriétés, soit d'une séquence ou l'ordre et la répétition sont des propriétés, et que j'appelle donc "l'uniontersection" qui est un mot-valise que je crée avec le nom "union" et le nom "intersection". Soit, la représentation de cette opération d'uniontersection successive sur une suite de nombres sera sous forme d'une suite de nombres si l'on considère chaque élément résultant de chaque opération successivement répétée sur un ensemble d'éléments à valeur de nombres 

notés ∪∩ (n=1→n=∞: [a(n)i]), avec a(n) représentant une fonction de domaine de départ sur N et de domaine d'arrivée sur N; i représentant l'indice d'union intersection; la notation a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure 

"d'uniontersection", et n=∞ est la limite supérieure d'union intersection. C'est cette relation

 entre les deux expressions de la fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments de valeurs nulles et non nulles que j'ai écrits précédemment en application de la loi mathématique de structure caractéristique et que je rappelle encore ici comme suit:      

• 1A(yᵢ≠0)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉         (A'')'↔ (A'')''
  

1A(yᵢ≠0) = ∪∩ (n=1→n=∞: [ (⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉)i ])            (A'')''↔ (A'')'''

1A(yᵢ≠0)=(⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ +1)⌉) ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|+1)⌉) ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |+1)⌉)… ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)                  (A'')'''. Cette dernière expression de la fonction caractéristique fondamentale de structures élémentaires qui est l'inverse de la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées . 

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression  (A'')''', la fonction caractéristique  de structures élémentaires est Seq(1A(yᵢ≠0))=({(⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁|+1)⌉) ; (⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ |+1)⌉) ; (⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|+1)⌉);….; (⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)).

• 1A(yᵢ=0) = ∪∩ (n=1→n=∞: [ (1-⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉)i ])            (A''')''↔ (A''')'''

1A(yᵢ=0)=(1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ +1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |+1)⌉)… ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)                  (A''')'''. Cette dernière expression de la fonction caractéristique  de structures élémentaires inversées qui est l'inverse de la fonction caractéristique  de structures élémentaires.

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression  (A''')''', la fonction caractéristique  de structures élémentaires inversées est Seq(1A(yᵢ=0))=((1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁|+1)⌉) ; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ |+1)⌉) ; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|+1)⌉);….; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)).

Alors la somme des deux expressions de la fonction caractéristique de structure1A(yᵢ≠0) et de son inverse 1A(yᵢ=0) la fonction caractéristique de structures inversées est définie comme suit:

 1A(yᵢ≠0) + 1A(yᵢ=0)=∪∩ (n=1→n=∞: [ (⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉)i ]) +∪∩ (n=1→n=∞: [ (1-⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉)i ])     (AA) ↔ (AA)'

 1A(yᵢ≠0) + 1A(yᵢ=0)=(⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ +1)⌉) ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|+1)⌉) ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |+1)⌉)… ∪∩ (⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)  + (1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ +1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ |+1)⌉)… ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)     (AA)'

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (AA)', la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées est Seq(1A(yᵢ=0)+1A(yᵢ≠0))=((⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁|+1)⌉)+(1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁|/(|yᵢ₌ₙ₌₁|+1)⌉) ;(⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ |+1)⌉)+ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ |+1)⌉) ; (⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|+1)⌉)+(1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃|+1)⌉)… (⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉)+(1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞|+1)⌉))=(1ᵢ₌ₙ₌₁; 1₌ₙ₊₁₌₂; 1ᵢ₌ₙ₊₂₌₃; … 1ᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞). C.Q.F.D.

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Mais si tout ce que nous avons écrit précédemment n'est qu'en réponse à la nécessité de définir nos fonctions caractéristiques fondamentales et élémentaires comme des fonctions ordinaires pour procéder à leur analyse structurelle algébrique, nous ne nous en préoccuperons plus pour toutes les fonctions simples que nos créerons ultérieurement dans toutes les pages de notre ouvrage, puisque par définition elles seront toujours des fonctions simples en étant des combinaisons linéaires de cette fonction caractéristique de structures élémentaires et de structures élémentaires inversées.

 Ainsi donc maintenant nous pouvons procéder à l'analyse structurelle algébrique des deux expressions de fonction caractéristique de structures élémentaires et implicitement celles de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance et de non-appartenance, puisqu'en effet, la structure mathématique des ensembles séquentiels de fonctions caractéristiques telles que nous les avons définies précédemment ainsi que celles illustrant en neufs cas de structures caractéristiques crées par l'application de la loi mathématique caractéristique peuvent correspondre soit à un magma et donc éventuellement un groupe, ou soit à un anneau et donc éventuellement un corps, ce que nous déterminons maintenant afin d'énoncer les propriétés des fonctions caractéristiques et d'écrire les expressions algébriques numériquement calculables correspondantes. 

∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇….yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; soit l'ensemble R des nombres rationnels, sachant que l'on appelle loi de composition interne ⋆ sur R toute application f: R×R→R: (x, y)→ f(x, y)= x⋆ y,  alors si l'opérateur ⋆ correspondant à 1A l'opérateur de la fonction caractéristique est une loi de composition interne sur R. Rappelons quelques définitions avant d'élaborer sur l'opération caractéristique, toujours d'après Wikipédia, "Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens, quels que soit les deux éléments (on dit formellement que l'opération doit être définie partout." Une opération dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés opérandes, en associe éventuellement un troisième, unique, nommé résultat, toujours dans ce même ensemble. En résumé, une loi de composition interne dans un ensemble E, ou, plus simplement une loi dans E, est une opération qui donne un résultat dans E pour tous les couples possibles d'éléments de E. Une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un élément de E. autrement dit, c'est une opération binaire.

Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne notée "⋆". On dit que (G,⋆) est un groupe si:

— La loi "⋆" est associative.

— La loi "⋆" admet un élément neutre.

— Tout élément x ⋆ G admet un élément symétrique.

Si de plus la loi "⋆" est commutative, on dit que (G,⋆) est un groupe abélien.

Un ensemble E muni d'une loi de composition interne ⋆ s'appelle un magma, et on le note (E,⋆). On appelle groupe un magma associatif qui possède un élément neutre et tel que tout élément est inversible. Un groupe est donc un ensemble G muni d'une loi de composition interne ⋆ tel que:

— pour tous x, y, z ∈ G, x⋆ (y ⋆ z)=(x ⋆ y)⋆ z ;

—il existe e ∈ G tel que, pour tout x ∈ G x⋆ e = e ⋆ x ;

—pour tout x ∈ G, il existe y ∈ G tel que x ⋆ y=y ⋆ x=e.

Soit (E,⋆) un magma. On dit que ⋆ est associative si pour tous x, y, z ∈ E , si x⋆ ( y ⋆ z )=( x ⋆ y ) ⋆  z; et on dit que ⋆ est commutative si pour tous x, y ∈ E, x ⋆ y=y ⋆ x.

Si (E,⋆) est un magma associatif, si x∈ E et n∈  N*, on peut alors définir par récurrence x ^n= x ⋆  x^(n−1). On note aussi n ^ x quand la loi est notée +. On appelle groupe un magma associatif qui possède un élément neutre et tel que tout élément est inversible. Un groupe est donc un ensemble G muni d'une loi de composition interne ⋆ telle que pour tous x, y, z ∈ G, x⋆ (y ⋆ z)=(x⋆ y)⋆ z; il existe e ∈ G tel que, pour tout x ∈ G, x ⋆ e=e ⋆ x=x; pour tout x ∈ G, il existe y ∈ G tel que x ⋆ y=y ⋆ x=e.

On dit que e est un élément neutre pour le magma (E,⋆) si, pour tout x ∈ E, x ⋆ e = e ⋆ x. Si un tel élément neutre existe, il est unique et on l'appelle l'élément neutre de (E,⋆). On le note souvent 0E si la loi est notée +, ou 1E si la loi est notée ×.

Lorsque le magma (E,⋆) possède un élément neutre e, on dit que x ∈ E est inversible s'il existe y ∈ E tel que x ⋆  y=e.

Proposition : Soit (E,⋆) un magma dont la loi est associative, x, y ∈ E, inversibles. Alors

x admet un unique inverse, que l'on note x^-1 ou -x.

x^-1 est inversible, d'inverse x.

x⋆ y  est inversible, d'inverse y^-1⋆ x^-1.

si z₁, z₂ sont dans E tels que x⋆ z₁=x⋆ z₂, alors z₁=z₂.

pour n ∈ N*, x ^ n est inversible, d'inverse (x^-1)^n, que l'on note x^-n."

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎

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Ci-dessus est une illustration intitulée "A047481: Numbers that are congruent to {0, 2, 5, 7} mod 8.", de deux de mes formules de {0, 2, 5, 7} mod 8, soit a(n)=(-1*((-1)^(1/2*n+(-1)^n/4-1/4)))/2+2*n+1/2 with n>=0; a(n)=cos((n+1)*Pi/2)-1/2*cos(n*Pi/2)-1/2*cos((n+1)*Pi/2)+2*n+1/2 with n>=0, que j'ai publiées sur le site de l'O.E.I.S. le 5 mars 2014 et dont mon ouvrage internet d'algèbre fonctionnelle simple en est un des aboutissements.

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II) PROBLÉMATIQUES DES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DONT LES COMBINAISONS LINÉAIRES SONT DES FONCTIONS SIMPLES D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE

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Je pense que des 9 cas précédents des expressions de fonctions caractéristiques dont la structure caractéristique d'éléments de {0;1} résulte de l'application la loi mathématique à deux structures de données que sont les deux exemples précédents des deux séquences de nombres, SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅, je peux en déduire l'existence de trois problématiques consubstantielles à l'algèbre fonctionnelle simple qui est par définition l'étude des fonctions caractéristiques, de leurs relations et de leurs propriétés individuelles, et de leurs formulations particulières par de nouvelles expressions de fonction simples, qui sont des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques en tant que variables elles-mêmes de fonctions simples, puis en déduire toute une succession de problématiques liées aux précédentes comme de plus en plus compréhensives jusqu'à la problématique finale les comprenant toutes, soit leurs applications mathématiques à la cryptographie, la théorie du signal, et à l'optimisation. Cette imbrication structurelle des problématiques reflète celle des fonctions caractéristiques dans des combinaisons linéaires que sont les fonctions simples elles-mêmes combinées et formants d'autres fonctions simples, et que je décris maintenant dans l'ordre d'importance comme suit:

• En quoi, si elle reste très approximative et même impossible, la recréation de l'expression d'une fonction à l'origine ainsi que des éléments de son domaine de définition dont nous n'avons que les éléments caractérisés sous la forme de valeurs de 0 et 1 des éléments d'une fonction caractéristique, et implicitement la loi de structure caractéristique sont elles utiles? En réponse à cette problématique la réécriture d'expression par les fonctions caractéristiques dans le cas particulier ou il n'existe que la structure algorithmique par les fonctions caractéristiques et consistant à réécrire les algorithmes par la combinaison linéaire d'expressions de fonctions caractéristiques est un aboutissement justifiant son qualificatif d'utile. En réponse encore à cette problématique la construction d'une algèbre équationnelle des inconnues que sont l'ensemble des fonctions à l'origine possiblement objets des fonctions caractéristiques en commençant par la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance notée (A)': 1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉; et son inverse de non-appartenance notée (A')': 1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉; et la fonction caractéristique de structures élémentaires qui est notée (A')''': 1A(yᵢ=0)=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉; et la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées qui est notée (A')'': 1A(yᵢ≠0)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉, une algèbre équationnelle donc qui serait utile à l'arithmétique des congruences.

• Existe-t-il d'autres fonctions caractéristiques que la fonction caractéristique fondamentale par définition d'appartenance et la fonction caractéristique fondamentale par la structure en général de valeurs nulles et non nulles, c'est-à-dire d'autres formes de caractérisations d'expressions de fonctions résultant dans une nouvelle fonction caractéristique, et quelles est leurs typologies suivantes quels critères, sachant que dans les expressions que j'écris j'utilise trois autres fonctions arithmétiques f(n) qui « exprime une propriété arithmétique de n » dans les nouvelles expressions de fonctions caractéristiques et de fonctions simples, soit:

• La fonction plancher notée ⌊x⌋ d'un nombre réel x correspondant à  la fonction partie entière par défaut ou partie entière inférieure d'un nombre réel x.

• La fonction partie fractionnaire d'un nombre réel x qui est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut, et qui est notée {x}= x-⌊x⌋. 

• La fonction arithmétique de la relation de modulo notée, x mod y=x−y*⌊x/y⌋. 

A cette problématique je répondrais tout d'abord en définissant cette typologie des fonctions caractéristiques comme des fonctions quasiment simples elles-mêmes, c'est-à-dire en créant de nouvelles fonctions caractéristiques dans le seul but d'élargir les critères de la caractérisation et ensuite créer la catégorie de caractérisation qui déterminera leur type de nouvelle fonction simple identifiable à leur nom, soit les fonctions caractéristiques d'annulations, de segmentations, d'indexations et de terminaisons. Remarquons que "Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) introduisit le mot «fonction» vers 1692. Leibniz lui-même attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. - De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai.").

• Existe-t-il une arithmétique de combinaison des fonctions caractéristiques et quelles seraient ces limites calculatoires, sachant que les expressions des fonctions caractéristiques qui sont des combinaisons linéaires formant des fonctions simples sont l'aboutissement d'un raisonnement par la démonstration directe mathématique consistant à utiliser les techniques de calcul pour réaliser la démonstration, et plus généralement définie comme "consistant à démontrer la proposition énoncée comme un théorème en partant directement des hypothèses données et en arrivant à la conclusion par une suite d'implications logiques. Les mathématiciens parlent assez informellement de démonstration directe, pour une démonstration d'un énoncé n'utilisant que les constituants de celui-ci, de la façon la plus simple possible, sans les recomposer, et sans le déduire de théorèmes plus forts." C'est-à-dire que les composantes sont les hypothèses données et leur combinaison linéaire la suite d'implication logique. Donc pour préciser le mouvement général de l'écriture mathématique en partant fondamentalement d'une fonction caractéristique d'appartenance et d'une fonction caractéristique de structures d'éléments de valeurs nulles et non nulles donnant de nouvelles fonctions caractéristiques et éventuellement leurs combinaisons linéaires donnant de nouvelles fonctions simples, et au-delà de l'arithmétique des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques que sont les fonctions simples que j'ai effectivement construit, j'ai aussi organisé méthodologiquement celles-ci pour en finalité obtenir systématiquement l'expression de fonctions simples et leurs fonctions arithmétiques qui sont particulières parce qu'elles correspondent à quatre types d'applications en théorie algorithmique des nombres conformément à la définition en général donnée d'un algorithme (en explicitant quelque peu la définition générale donnée par Wikipédia l'encyclopédie libre, un algorithme une suite finie et non ambiguë d'instructions et d’opérations permettant de résoudre une classe de problèmes et dont les propriétés définies par le professeur Donald Knuth d'informatique de l'université de Stanford, sont la finitude de chaque étape de l'algorithme, la définition précise des actions calculatoires de chaque étape de l'algorithme, la définition précise des quantités entrées avant chaque étape de l'algorithme ainsi que la relation spécifiée des quantifiées sorties qui sont le résultat de l'algorithme, et enfin la réalisation humainement possible des opérations de l'algorithme, c'est-à-dire écrite algébriquement numériquement dans une durée finie):

• Un nouvel algorithme en théorie des nombres. Par exemple, j'écris l'expression particulière d'une combinaison linéaire de fonctions indicatrices du PGCD équivalente à toutes les étapes de l'algorithme d'Euclide, c'est-à-dire une expression unique se substituant à l'algorithme d'Euclide en éliminant son irréductibilité à une expression qui n'est plus une itération algorithmique de l'application n ↦ pgcd(n, m), l'entier m étant fixé, sa propriété qu'il existera toujours deux itérations algorithmiques minimales. Encore par exemple, j'écris l'expression de la fonction simple de recherche exacte ou non d'une ou plusieurs valeurs d'une suite de nombres, équivalente à la fonction informatique du même nom. 

• Un nouvel algorithme de programmation mathématique pour la résolution d'un problème d'optimisation qui consiste généralement à minimiser ou maximiser une fonction sur un ensemble par une approximation continue. Par exemple, j'écris l'expression de la combinaison de fonctions indicatrices correspondantes à ma création d'une nouvelle fonction de compression sur l'ensemble des éléments d'une séquence de nombres qui correspond à une extraction sans remplacement par la valeur 0, d'une sous suite de nombres éléments de l'ensemble d'une suite de nombres. 

•  Une équivalence inédite entre les expressions particulières de ces fonctions simples avec un algorithme de programmation mathématique déjà connue. Par exemple j'écris l'expression de la fonction simple de recherche de valeurs correspondante à l'algorithme mathématique de tri.

• Une équivalence inédite entre les expressions particulières de ces fonctions simples avec l'expression d'une fonction arithmétique en théorie des nombres. Par exemple j'écris l'expression de fonctions simples équivalentes aux expressions inexistantes ou non numériquement calculables des expressions de la fonction indicatrice de primalité, la fonction de Möbius et la fonction indicatrice d'Euler.

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III) PLAN D'ÉTUDE DES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DONT LES COMBINAISONS LINÉAIRES SONT DES FONCTIONS SIMPLES D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE

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Je pense qu'énoncer un plan ne consiste pas à décrire une structure, mais à l'expliquer et donc ici pourquoi commencer par trois algorithmes, le premier de proportionnalité, le second de multiplication, et le troisième de division qui ne sont pas exclusivement des applications en arithmétique caractéristique et qui sont bien des mathématiques pures en tant qu'algorithmes en théorie des nombres dont j'étudie les fonctions simples et d'autres algorithmes en programmation linéaire et probabilité tout au long de ces pages. Mais surtout leur place au début de l'ouvrage est due à ce qu'ils sont des algorithmes d'algèbre fonctionnelle simple fondamentaux du raisonnement diagrammatique au moyen de représentation visuelle dont les tableaux, utilisant un concept appelé "la caractéristique universelle", qui d'après Wikipédia est "un langage formel et universel imaginé par le philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz capable d'exprimer aussi des concepts mathématiques, que scientifiques ou encore métaphysiques. Leibniz espérait ainsi créer un langage utilisable dans le cadre du calcul logique universel mécanisable : le "calculus ratiocinator". On peut le voir comme une méthode, un algorithme, ou une machine, qui permettrait de démêler le vrai du faux dans toute discussion dont les termes seraient exprimés dans une langue philosophique universelle, que Leibniz appelait la "Caractéristique universelle". Cette dernière, que Leibniz n'a pas complètement formalisée, était censée pouvoir exprimer n'importe quel énoncé philosophique ou scientifique. Leibniz imaginait donc un procédé automatique couplant la langue formalisée et l'algorithme, qui puisse décider de la vérité de toute assertion, quelle qu'elle soit." "La caractéristique universelle" est la caractéristique primordiale, c'est-à-dire primitive, et à l'origine de la fonction caractéristique.

Toujours dans le plan chronologique pour mettre en évidence une évolution dans les expressions recherchées et utilisées en algèbre fonctionnelle simple, Il nous faut ensuite faire le point sur la préexistence des fonctions indicatrices qui sont aussi des fonctions simples et principalement des fonctions simples utilisées en théorie des signaux et que je réorganise en deux catégories principales, soit, des fonctions indicatrices d'échelons et des fonctions indicatrices de pentes, et dont je montre aussi dans plusieurs chapitres dédiés, l'utilité de leurs applications en théorie des nombres.

Puis après cette revue du "stock" de fonctions caractéristiques préexistantes historiquement dans la caractéristique universelle et déjà existante en théorie du signal, vient la nouveauté et nous définissons enfin des nouvelles fonctions à la fois caractéristiques et simples fondamentales, car elles seront les éléments de construction de toutes les autres expressions de fonctions caractéristiques et simples tout au long de cet ouvrage et que j'ai synthétisées, autour de cinq grandes catégories de fonctions, soit les nouvelles fonctions à la fois caractéristiques et simples d'annulation, de segmentation, de terminaison, d'indexation et de rang, et dont je montre aussi comme précédemment dans plusieurs chapitres dédiés l'utilité de leurs applications en théorie des nombres.

Il vient ensuite tout naturellement puisque la fonction caractéristique à l'origine est définie comme une fonction d'opération ensembliste d'appartenance et qu'il nous fallait définir les expressions précédentes pour cette première catégorie d'application des expressions des fonctions à la fois caractéristiques et simples nouvelles précédemment exposées d'annulation, de segmentation, de terminaison, d'indexation et de rang, qui est celle de la théorie ensembliste et multi ensembliste, ou j'écris les premières combinaisons linéaires des fonctions caractéristiques fondamentales qui sont les expressions de nouvelles fonctions simples d'opérations ensemblistes séquentielles d'appartenance, d'inclusion, d'ensemble des parties, de réunion, d'intersection et de concaténation; ainsi que de nouvelles fonctions d'opérations ensemblistes séquentielles booléennes de conjonction, disjonction et négation exprimées avec les opérateurs booléens que sont respectivement les opérateurs binaires AND et OR, et l'opérateur unaire NOT.

Puis dans une nouvelle catégorie d'application des expressions des nouvelles fonctions à la fois caractéristiques et simples précédemment exposées d'annulation, de segmentation, 

de terminaison, d'indexation et de rang, j'écris les expressions de ce que sont les nouvelles fonctions simples non indicatrices de translations de mouvement séquentiel, de tri, de recherche, d'insertion, d'interversion, de répétition, d'inversion, de concaténation, d'incrémentation, de compression, et de décompression, mais qui par rapport aux nouvelles fonctions d'opérations ensemblistes et booléennes précédentes forment des composants d'expressions d'autres fonctions simples dont toutes ces nouvelles fonctions simples elles-mêmes ainsi que les précédentes jusqu'à en être même parfois des combinaisons linéaires.

Ensuite j'écris une série de chapitres autour du même thème de celui de la transcription de fonctions trigonométrique par les fonctions caractéristiques et simples non pas comme une application ultime de toutes les fonctions caractéristiques et simples que j'ai créées précédemment, mais plutôt comme une séparation en même temps qu'une introduction à la relation de congruence utilisée principalement et extensivement dans les chapitres suivants portant sur le même sujet de la théorie des nombres au sens de la théorie des relations entre les nombres et les chiffres, et entre les nombres entre eux, constituant ce que j'appelle un domaine spécifique dans l'algèbre fonctionnelle simple de par son achèvement est l'arithmétique caractéristique, c'est-à-dire conformément à la définition de l'arithmétique désignant l'étude des nombres, de leurs relations et de leurs propriétés individuelles et collectives, et donc par extension l'arithmétique caractéristique est l'étude par les fonctions caractéristiques individuelles et leurs combinaisons linéaires, des nombres, de leurs relations et de leurs propriétés individuelles et collectives. C'est ainsi que j'écris des:

• Nouvelles expressions d'arithmétique caractéristique en arithmétique modulaire; 

• Nouvelles expressions d'arithmétique caractéristique du PGCD et du PPCM; 

• Nouvelles expressions d'arithmétique caractéristique en arithmétique des bases; 

• Nouvelles expressions d'arithmétique caractéristique en arithmétique des chiffres; 

• Nouvelles expressions d'arithmétique  caractéristique de la somme de puissances, des nombres figurés et des nombres harmoniques.

Après avoir écrit conformément à un plan que je qualifierais d'analytique parce qu'il reproduit constamment la même structure analytique dans chaque subdivision, c'est-à-dire une structure organisée selon un plan de type C – F – C ou plan d'étude de "Causes– Faits – Conséquence", que j'adapte ici pour les sciences mathématiques en une étude du "Pourquoi? – Quoi? –Comment ?", le premier exposé en trois subdivisions, puis le deuxième exposé en quatre subdivisions de nouvelles fonctions caractéristiques et des fonctions simples illustrées par leurs applications en théorie des nombres et allant jusqu'à élaborer en systématisant les expressions d'une arithmétique caractéristique dans un troisième exposé en cinq subdivisions, j'écris donc ensuite le quatrième exposé de mon ouvrage en algèbre fonctionnelle simple qui est exclusivement consacré aux nouvelles expressions des fonctions caractéristiques et des fonctions simples appliquées aux expressions mathématiques matricielles constituant ce que j'appelle l'arithmétique matricielle séquentielle. 

Il ne restera plus qu'en toute dernière partie, mais pas la moindre, celle des applications en cryptographie, en théorie du signal, et en optimisation dont leur seule explication réside dans leurs liens avec toutes les expressions écrites précédemment dont elles sont l'illustration de leurs utilisations pratiques et pas seulement des abstractions en mathématiques pures.

⁂

Mais si je pense encore comme précédemment qu'énoncer un plan ne consiste pas à décrire une structure, mais à l'expliquer, alors il faut aussi en donner les règles d'écriture qui l'explique car elles sont inhérentes à ses propriétés fonctionnelles qu'il faut aussi décrire comme étant tout d'abord la propriété fonctionnelle d'être une ébauche de mon futur ouvrage papier intitulé, « ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE: Les fonctions simples, combinaisons linéaires de fonctions indicatrices ou caractéristiques, en théorie algorithmique des nombres et en mathématiques appliquées.», que je révise régulièrement sur mon site internet Blogger de Google. Sa première fonction est donc celle de la révision de mes écrits mathématiques dans mon ouvrage de mathématiques. Ensuite la propriété fonctionnelle de la structure de mon ouvrage en ligne est d'être une publication scientifique mathématiques qui méthodologiquement n'est pas exactement de la vulgarisation, définie comme "le fait d'adapter des notions, des connaissances scientifiques ou techniques afin de les rendre compréhensibles au non-spécialiste, la reformulation d'un discours spécialisé qui consiste généralement à le débarrasser de ses difficultés spécifiques, de ses caractères techniques afin de le rendre accessible au grand public", car sa fonction est d'être de la rédaction réorganisant en systématisant mes propres outils mathématiques m'ayant permis de trouver des solutions personnelles d'algorithmes mathématiques en théorie algorithmique des nombres, rédigés parfois en anglais en ligne ou sur papier et sur tableur, dont un exemple fut publié sous la forme de deux formules en 2014 sur le site de l'O.E.I.S. soit la séquence référence "A079978: Characteristic function of multiples of three", retirée de la publication sur le site en mai 2019; et la séquence de référence "A047481: Numbers that are congruent to {0, 2, 5, 7} mod 8."

Donc de ces deux propriétés fonctionnelles principales de la structure de mon ouvrage que sont la révision de mes écrits mathématiques et la réorganisation par la systématisation de mes pensées mathématiques sous toutes leurs formes passées et présentes, j'en déduis maintenant les règles inhérentes à ses deux propriétés fonctionnelles de révision et de réorganisation avec systématisation appliquées rigoureusement à toutes mes idées mathématiques dans cet ouvrage. Elles sont la liberté de publication ou de non publication de toutes mes idées mathématiques; l'exclusivité personnelle par l'originalité et l'unicité de toutes mes idées mathématiques publiées; puis enfin la vérifiabilité par la calculabilité exacte de toutes expressions algébriques numériquement transformées de toutes mes idées mathématiques publiées. Constatons qu'elles sont bien des règles inhérentes à ses deux propriétés fonctionnelles de révision et de réorganisation avec systématisation, parce que sans ces règles nous ne pourrions amener le processus de révision et celui de réorganisation avec systématisation de mes idées mathématiques à son terme autrement qu'arbitrairement incomplètement.

 Maintenant ces deux règles en général inhérentes aux propriétés fonctionnelles de la structure de mon ouvrage peuvent être décrites plus précisément que toutes mes expressions algébriques et numériques écrites doivent être en tout point conformes avec l'une des sept règles de déontologie personnelle dans la rédaction de mon ouvrage que je me suis fixée. 

• Ma première règle de déontologie personnelle est que toutes mes formules publiées soient strictement « sui generis », sauf mention contraire indiquée par la formule mise entre guillemets, suivie du nom de son auteur, la date de sa publication et son ouvrage de référence et stylistiquement toute reproduction du travail écrit et publié par autrui insérée dans mes écrits sont indiquées par leur style en caractère gras et en italique, parfaitement discernable et donc dissociable de mes écrits jamais écrits en italique ou en caractère gras. Les illustrations de mon site que je limite aux miennes, le plus souvent, mais quand ce sont celles d'autrui qui sont reproduites partiellement le plus souvent, avec l'indication de leurs origines, et elles sont des extraits de documents visuels sans rapport subsistant avec l'original et qui sont non soumis au droit d'auteur et donc dans le domaine public, la plupart du temps indiqué par leurs auteurs ou, car ils sont déjà composés exclusivement d'informations qui sont dans le domaine public et ne contiennent aucune modification qui en ferait une œuvre originale.

• Ensuite ma deuxième règle de déontologie personnelle est que le résultat numériquement calculé pour chaque expression écrite soit strictement exact en remplaçant toutes variables par un nombre quelconque dans les conditions indiquées, et que je dois avoir auparavant calculé sur mon tableur Excel, dont je ne joins aucun fichier téléchargeable sur ce site, du fait que je souhaite avant tout rédiger mathématiquement toutes les expressions des suites de nombres ainsi que leurs représentations, mais aussi du fait de leur productibilité et vérifiabilité sur n'importe quel autre tableur de son choix du lecteur. Ainsi, j'utilise l'écriture mathématique de l'expression numérique de la transformation d'expression algébrique des fonctions caractéristiques combinaisons linéaires de fonctions simples, comme l'une des techniques de démonstration très utilisée en physique théorique appelée, "la démonstration directe mathématique qui consiste à utiliser les techniques de calcul pour réaliser la démonstration", et qui est la démonstration élémentaire utilisée la plus fréquemment dans toutes les pages de mon ouvrage, tandis que toutes les autres démonstrations différentes serviront un but particulier.

• Puis ma troisième règle de déontologie personnelle est qu'aussi bien les expressions algébriques que les expressions numériques transformant les expressions algébriques en les illustrant d'un exemple, ne sont pas seulement la retranscription mathématique de formules sur un tableur devenu au même titre que la programmation en langage C, Java, Python, Ruby ou Magma, etc. d'indispensables nouveaux outils de recherche mathématiques. En effet comme je souhaite montrer tout au long des pages de mon ouvrage que l'écriture sur une page blanche n'est pas devenue le moyen inférieur de faire des mathématiques, car l'intérêt de l'écriture mathématique de passer de la feuille de calcul du tableur, à la page web ou la page blanche de livre sans que cette dernière ne perde en représentation parce qu'elle ne peut que simplement retranscrire l'expression d'un calcul avec une machine, est d'étoffer graduellement mon raisonnement et d'affiner la précision des expressions algébriques au fur et à mesure que je les écris sur mon site web comme l'atteste la mention écrite parfois "en cours de rédaction" en haut de page d'un titre signifiant que j'ai écrit un premier essai qu'ensuite je réécris quelques mois ou parfois quelques années plus tard afin de prendre du recul quant au contenu de ce que j'ai publié et de le reprendre comme s'il était nouveau. Mais elle peut aussi signifier que même si j'ai réécrit convenablement le contenu d'un titre il reste néanmoins encore des compléments à publier ultérieurement. Un intérêt donc plus précisément est qu'en écrivant mathématiquement algébriquement les expressions mathématiques sur une page d'abord plutôt que sur un tableur, est que le raisonnement dévoile au fur et à mesure d'autres expressions algébriques transcrites numériquement qui n'apparaitrais pas autrement c'est-à-dire si écrites sur une feuille de calcul. Le tableur n'est qu'un outil de production d'une représentation mathématique séquentiel, c'est-à-dire matriciel sur une feuille de calcul (toutes les séquences sont donc écrites mathématiquement commençant du premier élément à gauche jusqu'au dernier élément plus à droite et sont la représentation des éléments d'une matrice ligne elle-même correspondant dans un tableur à une représentation de cellules horizontales, mais pour des raisons pratiques dans l'utilisation d'un tableur sous forme d'un agencement vertical en colonne de cellules dont chaque cellule correspond alors aux éléments successifs de cette séquence.), dont je ne communique pas intentionnellement les feuilles de calculs qu'il m'a fallu parfois des décennies pour développer et créer, afin que les expressions algébriques et leur transcription en expressions numériques que j'ai écrites sur la page web soient suffisamment efficaces symboliquement mathématiquement pour permettre aisément leur reproduction sur les tableurs individuels personnels de tous lecteurs. 

• Ensuite ma quatrième règle de déontologie personnelle est que mon ouvrage de mathématiques en ligne est le prélude à mon ouvrage papier soit écrit exclusivement par un humain et non par une machine, malgré qu'en utilisant blogger, un correcteur et un tableur j'utilise une machine qui est un ordinateur et un serveur. Mais cette volonté délibérée n'est pas rendue pour autant plus symbolique que pratique parce que sa raison est la supériorité absolue de toute volonté humaine en finalité, car mon ouvrage étant écrit en hommage aux mathématiciens John Napier, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss et Kenneth E. Iverson (né le 17 décembre 1920, Camrose Alberta Canada, et mort le 19 octobre 2004, Toronto Ontario Canada) il fut un informaticien connu pour l'invention des langages APL et J. Il devint IBM Fellow dès 1970 et en 1979, et fut récompensé par le prix Turing pour ses travaux théoriques reliant les langages de programmation et la notation mathématique, ces mêmes travaux ayant abouti au langage APL.), qui ont fait tout leur possible humainement arithmétiquement pour qu'il soit, logarithmiquement, infinitésimalement, exponentiellement, "modulairement" et caractéristiquement possible mathématiquement pour tous, nous les humains, alors je continue dans ces pages la tradition d'une écriture mathématique qui n'est pas l'écriture d'un langage machine même si elle présente des similarités du à l'influence de l'utilisation généralisée et quotidienne de nos calculateurs que sont les ordinateurs et leurs programmes.

• Puis ma cinquième règle de déontologie personnelle est que mon ouvrage de mathématiques en ligne n'étant absolument pas une œuvre pédagogique et n’étant absolument pas destiné à l'enseignement, donc n'étant pas non plus destiné à un quelconque public composé majoritairement d'enfants, d'élèves, d'étudiants, d'enseignants ou de chercheurs directement concernés par l'acte d'enseignement, de formation ou l'activité de recherche nécessitant la représentation ou la reproduction de mon site, ne doit se prêter en aucune façon à l'exception pédagogique qui ferait que je ne pourrais en interdire sa représentation ou sa reproduction. Ce qui implique que pour que je puisse en interdire absolument toute reproduction, selon les termes du droit d’auteur défini par l’article L 111-1 du Code de la Propriété intellectuelle, article L 111, disposant que "L'auteur d'une œuvre de l'esprit jouit sur cette œuvre, du seul fait de sa création, d'un droit de propriété incorporelle exclusif et opposable à tous.", ce site doit donc servir strictement et exclusivement mon besoin personnel de création mathématique libre et non conventionnelle à usage strictement personnel de son auteur. Il n'y a donc ni exercices à faire avec ou sans corrections, ni commentaires de lecteurs, ni paiement en ligne d'une quelconque prestation de lecture d'articles en lignes supplémentaires ou d'achat de version papier de cet ouvrage qui je le répète ne sera pas mis en vente, mais seulement publié à frais d'auteur avec une seule copie de l'originale. Cet ouvrage voulant être parfaitement sui generis et le résultat d'un effort de travail et de création d'écriture d'expressions mathématiques strictement personnel et donc ne s'inspire en aucun cas du travail d'autrui excepté les mathématiciens que j'ai cités et tous les auteurs des livres que j'ai achetés et inscrits dans ma page de bibliographie. Par exemple, les chapitres 77, 78, 79, 80, 81, 82 et 83 que j'ai écrits sur l'arithmétique des chiffres n'ont absolument rien à voir avec la vidéo mathématique datée du 26 juillet 2022, publiée sur un site web populaire agrégateur de vidéos par "Michael maths" du Canada, intitulée "Inventing New Math: Operations on Digits with Digit Theory", et que je n'ai pas visionnée. Mon travail de recherche en arithmétique des chiffres est antérieur de plus de 10 ans. Je n'ai pas lu non plus le livre de Karam Aloui intitulé "Fonction somme des chiffres: propriétés arithmétiques et combinatoires" publié le 21.10.2016 aux Éditions universitaires européennes. Mon travail de recherche en arithmétique des chiffres est antérieur de plus de 2 ans. Donc « Toute ressemblance avec des expressions et des analyses mathématiques existantes ou ayant existé serait purement fortuite et ne pourrait être que le fruit d'une pure coïncidence » .

• Et, ma sixième règle de déontologie personnelle est que mon ouvrage de mathématiques en ligne est de faire respecter mes C.G.U. (L'acronyme pour Conditions générales d’Utilisation) en respectant celles des autres, car tout contenu dupliqué portant préjudice à l'auteur du contenu illégalement dupliqué par autrui un site internet textes et images sont protégés par les dispositions du Code de la Propriété intellectuelle au titre du droit d’auteur (article L. 716-6 du Code de la propriété intellectuelle). Donc, Cédric Christian Bernard Gagneux, moi-même, l'auteur de ce site intitulé « ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE:  Les fonctions simples, combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques, en théorie algorithmique des nombres et en mathématiques appliquées.», certifie aussi que toutes les images reproduites sur ce site sont dans le domaine public telles que les détenteurs des droits d'auteur des œuvres images, publient ces œuvres images dans le domaine public et cela s’applique dans le monde entier et les détenteurs des droits d'auteur des œuvres images, accordent à toute personne le droit d'utiliser ces œuvres images dans n'importe quel but, sans aucune condition, à moins que de telles conditions ne soient requises par la loi; interdit toute reproduction et exploitation à des fins non commerciales ou commerciales de toute partie ou de l'intégralité de tous les éléments publiés sur ce site qui sont des créations uniques et originales protégées par la mention de « Tous droits réservés » suivant les dispositions du texte de loi applicable au droit d'auteur en France, régi par par la loi du 11 mars 1957 et la loi du 3 juillet 1985, codifiées dans le code de la propriété intellectuelle, soit en particulier:

• Article L. 123-1 du Code de la propriété intellectuelle: L'auteur jouit, sa vie durant du droit exclusif d'exploiter son œuvre sous quelque forme que ce soit et d'en tirer un profit pécuniaire. Au décès de l'auteur, ce droit persiste au bénéfice de ses ayants droit pendant l'année civile en cours et les soixante-dix années qui suivent.

• Article L. 111-1 du Code de la propriété intellectuelle: L'auteur d'une œuvre de l'esprit jouit sur cette œuvre, du seul fait de sa création, d'un droit de propriété incorporelle exclusif et opposable à tous. Ce droit comporte des attributs d'ordre intellectuel et moral, ainsi que des attributs d'ordre patrimonial […].

• Il est interdit de reproduire librement le texte, une image, sans le consentement de son auteur (article L.122-4). Vous pouvez en citer des extraits, sous certaines conditions , en indiquant le nom de l'auteur ainsi que la source (Article L.122-5 alinéa 3 ), ce peut être une "analyse", ou une "courte citation" (Article L.122-5 alinéa 3.a). En aucun cas, la reproduction complète (sous quelques formes que ce soit) n'est autorisée. Le droit de citation autorise à reprendre un court extrait de ce blog en citant la source, seulement dans le but d'illustrer un propos. En aucun cas, le droit de citation ne permet de reproduire un article complet. La copie même en citant sa source n'est pas un droit.

• Enfin, ma septième et dernière règle de déontologie personnelle est que mon ouvrage de mathématiques en ligne ne contribue en rien à la peur des mathématiques, en démystifiant les problèmes mathématiques et la terreur qu'ils inspirent; en équilibrant la quantité de symbole littéraire et la quantité de symboles mathématiques avec des explications littéraires détaillée des expressions mathématiques. J'exprime ainsi ma solidarité avec le refus des lecteurs d'un environnement mathématique intentionnellement anxiogène qui nuit à la compréhension et à l'écriture mathématique sachant que la cause de la peur des mathématiques est qu'elles sont un type d'abstraction symbolique inventé par les élites se reproduisant par la terreur: lorsque la population n'a plus peur d'apprendre les mathématiques enfin compréhensibles et parce que compter est moins pénible, alors la terreur des politiques devient mathématique avec la relation disproportionnée entre un minuscule groupe, l'élite, qui terrorise un plus grand groupe, la population, renversant le rapport de force entre la majorité et l’extrême minorité!

"Le Réseau d'information pour la réussite éducative (RIRE) publie sur son site que "Selon Alana Foley, postdoctorante et coauteure de l’étude publiée dans le journal "Current Directions in Psychologial Science": "Le lien entre l’anxiété et la performance en mathématique est observé partout dans monde. Quand les élèves sont anxieux, le système responsable des émotions dans le cerveau interfère avec la capacité à retenir de l’information en mémoire. Par conséquent, ces élèves réussissent moins bien qu’ils ne le feraient s’ils n’étaient pas aux prises avec cette angoisse à l’égard des mathématiques pour retenir l’information en mémoire et pour utiliser des stratégies avancées qui nécessitent une grande quantité de ressources cognitives en mathématiques". 

"Pour Jing Zhang, Nan Zhao, et Qi Ping Kong coauteurs de l’étude intitulée "La relation entre l'anxiété mathématique et la performance mathématique : une enquête méta analytique" et publiée dans le journal "Frontières in Psychology", volume10, en 2019: "L'anxiété mathématique (AM) est un sujet de préoccupation dans l'éducation depuis longtemps et fait référence à l'état de peur, de tension et d'appréhension lorsque les individus s'engagent dans les mathématiques. Une série d'études suggèrent que ce phénomène constitue un problème très répandu parmi les élèves des écoles primaires et universitaires. Le lien négatif entre anxiété mathématique et performance a été découvert dans de nombreuses études empiriques, ce qui indique que l’AM entraînerait de mauvaises performances lorsque les individus font face à un raisonnement mathématique ou résolvent des problèmes mathématiques. Il y a eu près de 20 200 études antérieures liées à la maîtrise ou aux performances en mathématiques."

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