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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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XVI) PLUSIEURS VALEURS EXACTEMENT OU APPROXIMATIVEMENT ÉGALE À UNE OU PLUSIEURS VALEURS DANS L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES
Nous continuerons donc à développer les définitions afférentes à notre nouvelle fonction suivante dans cette troisième partie, IV), toujours en utilisant la fonction indicatrice dans diverses formulations de cette nouvelle fonction N°3 de recherche exacte ou N°3' de recherche approximative d’une valeur donnée unique et exclusivement appartenant à la suite de nombres notée SeqA, soit nous considérons tout d'abord la fonction représentée par la notation Rchexct(xₙ)⊆(SeqA=a) d’un élément xₙ=a ∈ S={Seq A}. La définition de la fonction caractéristique de cette nouvelle fonction de recherche exacte est la suivante:
1A: S→ {0,1}
1A(xₙ ∧ a∈ S={SeqA})=1, si xₙ=a ;
et 1A(xₙ ∧ a∈ S={SeqA})=0, si xₙ≠a,
et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(Rchexct(xₙ)⊆(SeqA=a)) est:
∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∧ a ∈ R, ∀ a ∈ S: 1A(Rchexct(xₙ)⊆(SeqA=a))=1-⌈|xₙ-a|/(|xₙ|)+a+1)⌉ (70)
Maintenant considérons une autre fonction de recherche exact d'une valeur xₑ donnée seulement par le rang exacte et qui correspond à la valeur e ∈ N* donc correspondant à la valeur indicielle de la valeur exacte recherchée de xₙ=aₑ appartenant à la suite de nombres SeqA, que l'on a donc indexé par les entiers naturels N, comme dans l'expression précédente (70), avec l'indice n de la valeur xₙ, et dans ce cas de l'indice e de la valeur aₑ avec e ∈ N*,
∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∧ a ∈ R, ∀ xₙ ∧ a ∈ S: Rngₙ(Rchexct(xₙ)⊆(SeqA=a))=(1-⌈|xₙ-a|/(|xₙ|)+a+1)⌉)*n (71).
En particulier pour le cas ou le rang est égal à la valeur e, la fonction de rang à pour expression: Rngₙ(Rchexct(xₙ)⊆(SeqA=aₑ))=(1-⌈|xₙ-aₑ|/(|xₙ|)+aₑ+1)⌉)*n (71'). (Cette nouvelle expression n'est plus celle d'une fonction caractéristique ou indicatrice dont les valeurs sont strictement égales à 0 ou 1, mais à une seule valeur appartenant à l'ensemble des entiers N*).
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Il existe une autre expression plus "sui generis" correspondant à cette fonction caractéristique de recherche de rang donné pour une valeur recherchée correspondante à ce rang de la suite de nombres de SeqA et qui est définie comme suit:
1A: S→ {0,1}
1A(xₙ ∧ aₑ ∈ S={SeqA})=1, si n=e ∧ xₙ=aₑ;
et 1A(xₙ ∧ aₑ ∈ S={SeqA})=0, si n≠e ∧ xₙ≠aₑ, dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:
∀ n ∈ N*, ∀ e∈ N*, ∀ aₑ∧ xₙ ∈ R, ∀ aₑ ∧ xₙ ∈ S={SeqA}:
1A(Rchexct(Rngₙ(xₙ))⊆(SeqA=aₑ))= ⌈|n/(e+1)-1|⌉-⌈|n/e-1|⌉+⌈n/e⌉-⌈n/(e+1)⌉ (72)
Dans le cas ou la valeur exacte recherchée xₑ correspondant au rang e=(1-⌈|xₙ-aₑ|/(|xₙ|)+aₑ+1)⌉)*n (71) nous obtenons l'équation de la fonction caractéristique du rang e ∈ N* de la valeur exacte recherchée soit:
∀ n ∈ N*, ∀ e∈ N*, ∀ aₑ∧ xₙ ∈ R, ∀ aₑ ∧ xₙ ∈ S={SeqA}:
1A(Rchexct(Rngₙ(xₙ))⊆(SeqA=aₑ))=⌈|n/((1-⌈|xₙ-a|/(|xₙ|)+a+1)⌉)*n+1)-1|⌉-⌈|n/((1-⌈|xₙ-a|/(|xₙ|)+a+1)⌉)*n)-1|⌉+⌈n/((1-⌈|xₙ-a|/(|xₙ|)+a+1)⌉)*n)⌉-⌈n/((1-⌈|xₙ-a|/(|xₙ|)+a+1)⌉)*n+1)⌉ (73)
Sachant que si une valeur exacte recherchée donnée n'appartient pas à la suite de nombres SeqA dans toutes les expressions précédentes de la fonction caractéristique de recherche exacte soit par la valeur donnée soit par le rang, seront égales à 0, est une des raisons pour laquelle il donc il nous faut développer une expression correspondant à la fonction de recherche d'une valeur approximative donnée appartenant donc approximativement à l'ensemble des valeurs de la suite de nombres SeqA, nouvelle fonction N° 3', de recherche d'une valeur approximative notée, Rchapp(xₙ)⊆(SeqA≈b), nous avons donc comme précédemment une formule de son expression qui nécessite des itérations, c'est-à-dire
1A: S→ {0,1}
1A(xₙ +c∧ a∈ S={SeqA})=1, si xₙ+c=b ;
et 1A(xₙ +c∧ a∈ S={SeqA})=0, si xₙ+c≠b,
et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(Rchapp(xₙ)⊆(SeqA≈b)) est:
∀ n ∧ c ∈ N*, ∀ xₙ ∧ b ∈ R, ∀ xₙ ∧ b ∈ S: 1A(Rchapp(xₙ)⊆(SeqA≈b))=1-⌈|(|xₙ|-b+c)|/(|(|xₙ|-b+c)|+1)⌉ (74). La valeur approximative recherchée appartenant à la suite des nombres de SeqA et correspondante à cette fonction caractéristique et plus exactement à sa valeur non nulle, s'obtient en multipliant son expression par les valeurs xₙ de la suite de nombres SeqA, soit:
∀ n ∧ c ∈ N*, ∀ xₙ ∧ b ∈ R, ∀ xₙ ∧ b ∈ S: Rchapp(xₙ)⊆(SeqA≈b)=(1-⌈|(|xₙ|-b+c)|/(|(|xₙ|-b+c)|+1)⌉ )*xₙ (75).
Précisons que la valeur de c correspond à la valeur de la différence recherchée entre la valeur
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Il nous faut donc maintenant envisager d'abord la possibilité de réduire le nombre d'itérations à une ou à aucune itération et de combiner les deux fonctions de recherche exacte et approximative en une seule et la fonction caractéristique d'un ensemble minimum de valeurs approximatives, ou un ensemble dont le nombre peut être réduit celons une valeur déterminée dont le minimum d'élément de ce sous-ensemble serait un seul élément dont la différence avec la valeur approximative serait la plus petite possible.
Une première réduction possible à 2 itérations est le processus utilisant la fonction
1A: S→ {0,1}
1A(xₙ ∧ a∈ S={SeqA})=1, si xₙ<=b;
et 1A(xₙ ∧ a∈ S={SeqA})=0, si xₙ>b,
et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(
∀ n ∧ c ∈ N*, ∀ xₙ ∧ b ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: 1A(
Pour pouvoir ensuite diminuer le nombre de valeurs approximatives à l'ensemble des valeurs approximatives de SeqA à b telle que
∀ n ∧ c ∈ N*, ∀ xₙ ∧ b ∈ R, ∀ xₙ ∈ S:
Ensuite il nous faut donc écrire l'expression de la fonction caractéristique de la fonction
1A: S→ {0,1}
1A(Eₙ ∧ a∈ S={SeqA})=1, si b>Eₙ>=b-c;
et 1A(Eₙ ∧ a∈ S={SeqA})=0, si b<Eₙ<b-c,
avec Eₙ=(1-(⌈|(⌈|xₙ-b)|/(xₙ-b+2-⌈(|xₙ-(b-1)|)/(|xₙ|+(b-1)+1)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-b+1)|/(|xₙ|+(b-1)+1)⌉+1/2-⌈|xₙ-b)|/(|xₙ|+b+1)⌉/2)|/((|(⌈|xₙ-b)|/(xₙ-b+2-⌈(|xₙ-(b-1)|)/(|xₙ|+(b-1)+1)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-b+1)|/(|xₙ|+(b-1)+1)⌉+1/2-⌈|xₙ-b)|/(|xₙ|+b+1)⌉/2)|+1)⌉))*xₙ (78),
et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice
En fait le nombre d'itérations réduit à 2 est en fait seulement le résultat d'une volonté de lisibilité de la formule de l'expression précédente puisque remplacer directement Eₙ par l'expression (78) est parfaitement possible donc réduisant le nombre d'itérations à 1.
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Une autre méthode possible est de rechercher plusieurs valeurs exactes simultanément, soit en considérant 5 valeurs données a, b, c, d et e, recherchées dans la suite de nombres SeqA, nous obtenons l'expression de la fonction caractéristique suivante:
1A: S→ {0,1}
1A(xₙ ∧ a ∧ b ∧ c ∧ d ∧ e ∈ S={SeqA})=1, si xₙ=a ∨ xₙ=a ∨ xₙ=b ∨ xₙ=c ∨ xₙ=d ∨ xₙ=e;
et 1A(xₙ ∧ a ∧ b ∧ c ∧ d ∧ e ∈ S={SeqA})=0, si xₙ≠a ∨ xₙ≠b ∨ xₙ≠c ∨ xₙ≠d ∨ xₙ≠e,
et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(
∀ n ∧ c ∈ N*, ∀ a ∧ b ∧ c ∧ d ∧ e ∧ xₙ ∈ S ∈ R:
1A(