6: 2'A II FONCTIONS INDICATRICES DE PENTES ET DE POINTES

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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I) LES FONCTIONS INDICATRICES DE PENTES SIMPLES

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Graphe de la fonction rampe

"Rampe: Désigne un plan incliné ou ce qui est en plan incliné. Vieilli. Partie d'un escalier conduisant d'un palier à un autre. Plan incliné aménagé pour permettre la communication entre deux points qui ne sont pas de niveau".

Après avoir rapporté la définition de rampe, nous considérons dans ce deuxième titre, la catégorie correspondante des fonctions indicatrices soit les fonctions rampes caractéristiques, qui sont donc des fonctions croissantes ou décroissantes par morceaux (contrairement à l'objet de notre rubrique précédente, les fonctions échelons qui sont constantes sur un intervalle), n’ayant qu’un nombre fini de morceaux ou intervalles continus ou discontinus et qui peuvent être écrits comme une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices d’intervalles. Néanmoins, elles ne sont pas exactement comme les fonctions linéaires par morceaux caractéristiques, objets de notre deuxième titre, et qui sont des fonctions composées de multiples fonctions rampes, donc de la catégorie que j'appelle les fonctions rampes caractéristiques multiples que je différentie de celle des fonctions rampes caractéristiques simples dans notre premier sous-titre.

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1.1) Les fonctions rampes caractéristiques simples:

Comme dans notre rubrique précédente il nous faut aussi écrire les expressions manquantes de cette nouvelle catégorie de fonctions indicatrices de pentes, les fonctions rampes caractéristiques, et donc tout d'abord nous écrirons l'expression fondamentale de la fonction rampe caractéristique positive, notée R₊(x) et négative notée, R₋(x); la fonction de rampe d'impulsions d'unité caractéristique, notée ∆₁(H₁(x)); puis nous écrirons l'expression de la fonction triangulaire caractéristique, la fonction de composition maximum de deux fonctions rampes; ensuite la fonction d'échelon caractéristique discrète d'unité d'impulsion entre 0 et 1, notée ∆½(H½(x)); ensuite, la fonction d'échelon caractéristique discrète d'unité d'impulsion positive, notée ∆₀(H₀(x)); puis, la fonction d'échelon caractéristique chapeau ou triangulaire notée, tri(x); et enfin, la fonction linéaire par morceaux caractéristiques valeur absolue, notée |x|.

Graphe de la fonction rampe

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1.1.a) La fonction de rampe positive caractéristique: R₊(x)

" Formellement la fonction rampe indicatrice de positivité ", est une fonction réelle élémentaire, dont le graphe à la forme d'une rampe. Elle peut être exprimée par de nombreuses définitions, comme la fonction dont la valeur est "0 pour les impulsions entrées négatives", ou bien encore la fonction dont "la valeur d'impulsion à la sortie est égale à la valeur d'impulsion à l'entrée pour les entrées non négatives". Le terme «rampe» peut également être utilisé pour d'autres fonctions obtenues par mise à l'échelle et décalage, et la fonction est la fonction de rampe unitaire est la fonction de pente 1, à partir de 0. La fonction rampe R(x) : R → R₀⁺) peut être définie analytiquement de plusieurs manières. Les définitions possibles sont les suivantes:

Une fonction par morceaux: R(x): {x if x ≥ 0; 0 if x < 0
La fonction max : R(x)=max(x ,0)
La moyenne d’une variable indépendante et sa valeur absolue (une droite avec le gradient d’unité et son module) : R(x)= (x + | x |) / 2. Cela peut être obtenu en notant la définition suivante de max(a,b), max (a , b)=(a + b+|a−b |) /2 pour lesquels a= x et b = 0.
La fonction de Heaviside multipliée par une droite avec gradient d’unité: R(x)= x*H (x);
La convolution de la fonction de pas de Heaviside avec elle-même: R(x)= H(x)∗H(x)"

Dans l’ensemble du domaine, la fonction rampe est non négative, donc sa valeur absolue est elle-même, c’est-à-dire, ∀ x ∈ R, R(x)≥0 →R(x)=|R(x)|." Extrait de l'article "Fonction rampe" de Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne.

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Donc après cette définition de la fonction rampe en général toujours sous-entendue la fonction de rampe positive ou "fonction indicatrice de pente positive", que je note spécialement R₊(x) pour la différencier de R₋(x), et dont l'expression est connue comme R₊(x)=(x+|x|)/2, tandis que son expression sous la forme de combinaison linéaire de fonctions indicatrices est inexistante,

alors nous devons maintenant la créer en définissant la fonction caractéristique de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x<0,

1A(x)=1, si x>=0;

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x)=1A(R₊(x)), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

1A(x)=1A(R₊(x))=⌈(x+|x|)/(|2x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉) (1)

1A(x)=1A(R₊(x))=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉ (2).

Nous pouvons aussi réécrire l'expression préexistante de R₊(x)=(x+|x|)/2 de la fonction de rampe, sous la forme de combinaison linéaire de fonctions indicatrices sachant que l'expression de la fonction valeur absolue (que nous élaborerons dans le paragraphe intitulé la fonction valeur absolue caractéristique) est:

|x|=sgn(x)*x=(2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*x = 2*x*⌈x/(|x|+1)⌉-x*⌈|x|/(|x|+1)⌉. Alors l'expression donnée de la fonction rampe, R₊(x)=(x+|x|)/2, devient:

R₊(x)=(x + sgn(x)*x)/2=(x+2*x*⌈x/(|x|+1)⌉-x*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/2 (2').

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Nous constatons que la fonction indicatrice de la fonction de rampe définie ci-dessus est identique à la définition et aux expressions de la fonction d'échelon caractéristique de Heaviside, dont la valeur est zéro pour les arguments négatifs et un pour les arguments positifs et dont les deux expressions sont exactement (1) et (2), en rappelant la définition donnée dans la rubrique précédente (5: 1'A I LES FONCTIONS ÉCHELONS CARACTÉRISTIQUES) de la fonction de Heaviside en adoptant la convention de H(0)=1:

1A: R→ {0; 1}

1A(x)=0, si x<0

1A(x)=1, si x>=0

Nous notons H₁(x) l'expression de cette fonction caractéristique 1A(x)=H(x), pour la différencier de H(x), car contrairement à H(x) elle est définie pour x=0 avec H₁(0)=1; et elle est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)

=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement positifs, 1A(x>0)=⌈x/(|x|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A(x=0)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉, alors la fonction de Heaviside caractéristique est définie comme suit:

H₁(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉ (23)₅

H₁(x)=1/2*(sgn(x)+1)+1/2*1A(x=0)=⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1 (23)₅

H₁(x)=sgn(x)-1A(x>0)+1=⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉ +1 (23)₅

H₁(x)=1A(x>0)+1A(x=0)=1A(x>=0)=⌈x/(|x|+1)⌉ +1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (23)₅

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Nous pouvons donc définir la fonction rampe R₊(x)=(x+|x|)/2, de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A'(x)=1A(x)*x=0, si x<0,

1A'(x)=1A(x)*x=x, si x>=0;

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x)*x=R₊(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

1A'(x)=1A(x)*x=R₊(x)=(⌈(x+|x|)/(|2x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉))*x (3)

1A'(x)=1A(x)*x=R₊(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉ )*x (4).

Mais aussi puisque nous avons constaté précédemment que la fonction indicatrice de la fonction de rampe définie ci-dessus est identique à la définition et aux expressions de la fonction d'échelon caractéristique de Heaviside, H₁(x):

H₁(x)*x=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉)*x (23)₅'

H₁(x)*x=(1/2*(sgn(x)+1)+1/2*1A(x=0))*x=(⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1)*x (23)₅'

H₁(x)*x=(sgn(x)-1A(x>0)+1)*x=(⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉ +1)*x (23)₅'

H₁(x)=(1A(x>0)+1A(x=0))*x=1A(x>=0)*x=(⌈x/(|x|+1)⌉ +1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*x (23)₅'

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-1;1244;1244,3;0,57) dans la première fonction de la fonction rampe caractéristique, notée 1A(x)=1A(R₊(x)), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;1;0;

0;1;1;0;1;1;1;0;0;0;1;1;1); puis dans la deuxième fonction, la fonction rampe notée 1A'(x)=1A(x)*x=R₊(x), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA'ᵢ=(511;0;0;0

;0;0;0;0;0;0;1244;1244;1244,3;0;0;0;1244;1244,3;0.57).

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1.1.b) La fonction de rampe négative caractéristique: R₋(x)

Donc après cette définition de la fonction rampe en général toujours sous-entendue la fonction de rampe positive ou "fonction indicatrice de pente positive", R₊(x), nous considérons la fonction de rampe négative ou "fonction indicatrice de pente négative", que je note spécialement R₋(x) pour la différencier de R₊(x), et dont l'expression déduite est, R₋(x)=(x-|x|)/2, tandis que son expression sous la forme de combinaison linéaire de fonctions indicatrices est inexistante,
alors nous devons maintenant la créer en définissant la fonction caractéristique de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}
1A''(x)=1, si x<0,
1A''(x)=0, si x>=0;
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x)=1A(R₋(x))=1A((x-|x|)/2), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

1A''(x)=1A(R₋(x))=⌈(|x|)/(|x|+1)⌉-⌈(x+|x|)/(|2x|+1)⌉ (5)

1A''(x)=1A(R₋(x))=⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)-⌈x/(|x|+1)⌉ (6).

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Nous pouvons donc définir la fonction rampe R₋(x)=(x-|x|)/2, de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}
1A'''(x)=1A''(x)*x=x, si x<0,
1A'''(x)=1A''(x)*x=0, si x>=0;
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(x)=R₋(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

1A'''(x)=1A''(x)*x=R₋(x)=(⌈(|x|)/(|x|+1)⌉-⌈(x+|x|)/(|2x|+1)⌉ )*x (7)

1A'''(x)=1A''(x)*x=R₋(x)=(⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)-⌈x/(|x|+1)⌉ )*x (8).

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Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉})
↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511;-0,177;-174;-0,571;0;-1228,23;-959;0;0;-199;1244;1244;1244,3;-1244;-1244;
-1;1244;1244,3;0,57) dans la première fonction, la fonction rampe caractéristique, notée 1A''(x)=1A(R₋(x)), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;1;1;0;1;1;0;0;1;0;0;0;1;1;1;0;0;0); puis dans la deuxième fonction rampe notée 1A'''(x)=1A''(x)*x=R₋(x), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA''ᵢ=(0;-0,177;-174;-0,571;0;-1228,23;-959;0;0;-199;0;0;0;-1244;-1244;-1;0;0,0).
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1.1.c) La fonction d'impulsions d'unité : ∆₁(H₁(x))

La fonction H(x) de Heaviside

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Ensuite toujours parmi ces fonctions indicatrices de pentes, nous considérons la fonction discrète d'unité d'impulsion, ou "fonction indicatrice de valeurs supérieures ou égales à 0 et strictement inférieures à 1", notée ∆₁(H₁(x))=H₁(x)-H₁(x-1), à laquelle correspond l'expression de la fonction caractéristique définie de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x<0 ou x>=1

1A(x)=1, si x>=0 et x<1

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x)=H₁(x)-H₁(x-1) est comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*; soit l'expression donnée précédemment H₁(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉:

∆₁(H₁(x))=H₁(x)-H₁(x-1)=((1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉)-((1-⌈(|x-1|)/(|x-1|+1)⌉)+⌈(x-1)/(|x-1|+1)⌉) (9).

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1.1.d) La fonction discrète d'unité d'impulsion entre 0 et 1: ∆½(H½(x))

Ensuite toujours parmi ces fonctions indicatrices de pentes, nous considérons à nouveau la fonction discrète d'unité d'impulsion, ou "fonction indicatrice de valeurs supérieures ou égales à 0 et inférieures ou égales à 1", notée ∆½(H½(x))=H½(x)-H½(x-1), soit la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=0, si x<0 ou x>1

1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=1/2, si x=1 ou x=0

1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=1, si x>=0 et x<1

L'expression de cette fonction caractéristique 1A((x+|x|)/(2(x)))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=H½(x)-H½(x-1) dont la formule donnée précédemment pour x est H½(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉, et que j'écris maintenant en particulier pour H½(x)-H½(x-1) comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

H½(x)-H½(x-1)=((1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉)-((1-⌈(|x-1|)/(|x-1|+1)⌉)*1/2+⌈(x-1)/(|x-1|+1)⌉) (10).

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1.1.e) La fonction discrète d'unité d'impulsion positive: ∆₀(H₀(x))

Ensuite toujours parmi ces fonctions indicatrices de pentes, nous considérons finalement la fonction discrète d'unité d'impulsion, ou "fonction indicatrice de valeurs strictement supérieures à 0 et inférieures ou égales à 1", notée ∆₀(H₀(x))=H₀(x)-H₀(x-1), soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=0, si x<=0 ou x>1

1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=1, si x>0 et x<=1

L'expression de cette fonction caractéristique 1A((x+|x|)/(2(x)))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=H₀(x)-H₀(x-1) dont la formule donnée précédemment pour x est H₀(x)=⌈x/(|x|+1)⌉, et que j'écris maintenant en particulier pour H₀(x)-H₀(x-1) comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

∆₀(H₀(x))=H₀(x)-H₀(x-1)=(⌈x/(|x|+1)⌉)-(⌈(x-1)/(|x-1|+1)⌉) (11)

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1.1.f) La fonction chapeau ou triangulaire: tri(x)

Ensuite toujours parmi ces fonctions indicatrices de pentes, nous considérons la fonction triangulaire (également connu tant que fonction de triangle, fonction de chapeau, ou fonction de tente) notée, tri(x), et qui est une fonction dont le graphe prend la forme d'un triangle (souvent cela est un triangle isocèle de hauteur 1 et base 2 dans ce cas elle est appelée la fonction triangulaire).

Illustrée par l'image ci-dessus, la définition de la fonction triangulaire correspond donc à celle de la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: R→ {0,1-|x|}

1A(|x|)=0, si |x|>=1

1A(|x|)=1-|x|, si |x|=<1

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(|x|)=tri(x), la fonction triangulaire est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

1A(|x|)=tri(x)=(1-⌈ ( (|x|-1)*⌈|x|/(|x|+1)⌉ )/( | (|x|-1)*⌈|x|/(|x|+1)⌉ |+1)⌉ )*(1-|x|) (12);

Nous remarquerons que l'expression (12) de la fonction triangulaire correspond en fait à l'expression de la composition de la fonction f(x)= (1-|x|) et d'une fonction caractéristique définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

1A₆(|x|)=0, si |x|>=1

1A₆(|x|)=1, si |x|=<1

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(tri(x)), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

1A₆(|x|)=1A(tri(x))=(1-⌈ ( (|x|-1)*⌈|x|/(|x|+1)⌉ )/( | (|x|-1)*⌈|x|/(|x|+1)⌉ |+1)⌉ ) (13);

tri(x)=1A₆(x) ∘ f(x) (13)'↔ (13).

∴

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,

xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par
SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}) ↔ SeqAᵢ₌₁₄=(511; 0; 0,9; 1; 152; 1228; 959; 0,5; 555; 0,5; 0,5; 1; 0,5; 0,2) dans la fonction tri(x)=(1-⌈ ( (|x|-1)*⌈|x|/(|x|+1)⌉ )/( | (|x|-1)*⌈|x|/(|x|+1)⌉ |+1)⌉ )*(1-|x|), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}), qui est représenté par Seq({0;0,25;1})=(0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0,25; 0; 0,25; 0,25; 0; 0,25; 1).

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Une deuxième et nouvelle définition de l'expression de la fonction triangulaire tri(x) est celle que j'écris de l'expression de la composition de fonctions, soit la fonction rectangulaire récursive ( le terme usuel pour désigner la fonction d'elle-même appelée une fonction récursive dont le processus est appelé récursion), et d'autres fonctions de composition, me permettant ainsi de comparer cette expression de récursion avec d'autres expressions transformant la fonction rectangulaire en triangulaire et que je généraliserais ensuite à la récursion des fonctions caractéristiques et leurs transformations réciproques ou transformations en d'autres fonctions caractéristiques. Donc soit tri(x) ↔ rect(rect(x)) défini comme suit:

1A: R→ {0;1/4;1}

1A(rect(rect(x))=0, si rect(x)=1

1A(rect(rect(x))=1/4, si rect(x)=1/2

1A(rect(rect(x))=1, si rect(x)=0

L'expression de la fonction rectangulaire récursive rect(rect(x)), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*; soit la fonction rectangulaire d'expression, rect(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2:

Nous en déduisons ainsi l'expression de la fonction triangulaire comme fonction composée par la fonction rectangulaire récursive et d'autres fonctions de composition, soit tr(x)∼rect(rect(x))*α(x) ± β(x), en complétant par les expressions manquantes à l'expression de rect(rect(x)) maintenant connue, soit l'expression composée de la fonction triangulaire définie comme suit:

∀ x ∈ R: soit rect(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2; et soit a(n)=rect(x)∗rect(x)=(1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2)²:

tri(x)=1A(|x|<1)*(1-|x|)*rect(rect(x))+rect(x)∗rect(x)*(1-|x|)+( 1A(x=1/2)+1A(x= -1/2) ) *

1/2^3*2 (15)

tri(x)=(1-⌈(( |x|-1)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/( | (|x|-1)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)+1)⌉ | *(1-|x|) * ((1-|⌈(rect(x)+1/2)/( |rect(x)+1/2 |+1)⌉-⌈(-rect(x)+1/2)/( |-rect(x)+1/2 |+1)⌉ |+(1-⌈ |-rect(x)+1/2 |/( |rect(x)+1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈ |-rect(x)-1/2 |/( |rect(x)-1/2|+1)⌉)*1/2)*(1- |⌈(rect(x)+1/2)/( |rect(x)+1/2 |+1)⌉-⌈(-rect(x)+1/2)/( |-rect(x)+1/2 |+1)⌉ |+(1-⌈ |-rect(x)+1/2|/( |rect(x)+1/2 |+1)⌉)*1/2+(1-⌈ |-rect(x)-1/2 |/( |rect(x)-1/2 |+1)⌉)*1/2)) + ((1- |⌈(x+1/2)/( |x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/( |-x+1/2 |+1)⌉ | + (1-⌈ |-x+1/2| / ( |x+1/2 |+1)⌉)*1/2+(1-⌈ |-x-1/2| / ( |x-1/2|+1)⌉)*1/2)*(1- | ⌈(x+1/2)/( |x+1/2| +1)⌉-⌈(-x+1/2)/( |-x+1/2 |+1)⌉ | +(1-⌈ |-x+1/2 | /( |x+1/2 |+1)⌉ )*1/2+(1-⌈ |-x-1/2 |/( |x-1/2 |+1)⌉)*1/2))*(1- |x |) + (1-⌈ |-x+1/2 |/( |x+1/2| +1)⌉+1-⌈ |-x-1/2 |/( |x-1/2 |+1)⌉)*1/2^3*2 (15)' ↔ (15) ↔ (12)

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄})
↔ SeqAᵢ₌₁₄=(511; 0; 0,9; 1; 152; 1228; 959; 0,5; 555; 0,5; 0,5; 1; 0,5; 0,2) dans la première fonction de composition de la fonction triangulaire, tri(x), et notée 1A(|x|<1), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1); puis dans la seconde fonction de composition de la fonction triangulaire, tri(x), et notée tri(x)=1A(|x|<1)*(1-|x|), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}), et qui est représentée par Seq({0; 1-|x|})=(0; 1; 0,1; 0; 0; 0; 0; 0,5; 0; 0,5; 0,5; 0; 0,5; 0,8).

⁂

Nous ne continuons pas notre exemple précédent pour représenter les valeurs de l'expression (15) puisque celle-ci développée en (15') est longue et redondante, car utilisant la formule de tri(x) pour déterminer une autre expression de tr(x). Inspirons nous plutôt de la seule expression donnée d'équivalence entre la fonction rectangulaire (illustré par l'image ci-dessus) et la fonction triangulaire, soit tri(x)=(1-|x|)*Π(x/2) ↔ tr(x)=1A(|x|<1)*(1-|x|), signifiant que Π(x/2)=1A(|x|<1), pour déterminer les expressions en α'(x), α''(x),α'''(x) dans tri(x)∼rect(rect(x))*(1-|x|)*α'(x); tri(x)∼rect(x)*rect(x)*(1-|x|)*α''(x); tr(x)∼(rect(x)+rect(x))*(1-|x|)*α'''(x), soit:

tri(x) =1A(|x|<1)*(1-|x|)*rect(rect(x))+rect(x)∗rect(x)*(1-|x|)+(1A(x=1/2)+1A(x= -1/2)*

1/2^3*2 ↔ (a)

(a) ↔ 1A(|x|<1)*(1-|x|) =1A(|x|<1)*(1-|x|)*rect(rect(x))+rect(x)∗rect(x)*(1-|x|)+(1A(x=1/2)+1A(x= -1/2)*1/2^3*2 ↔ (b)

(b) ↔ 1A(|x|<1)*(1-|x|) -1A(|x|<1)*(1-|x|)*rect(rect(x)) = rect(x)∗rect(x)*(1-|x|)+(1A(x=1/2)+1A(x= -1/2)*1/2^3*2 ↔ (c)

(d) ↔ 1A(|x|<1)*(1-|x|)*(1-rect(rect(x)))-rect(x)∗rect(x)*(1-|x|) = (1A(x=1/2)+1A(x= -1/2)*1/2^3*2 ↔ (e)

(e) ↔ (1-|x|)*(1-rect(rect(x))+1A(|x|<1)-rect(x)∗rect(x)) = ( 1A(x=1/2) + 1A(x= -1/2) )*1/2^3*2 ↔ (f)

(f)↔(1-|x|)*(1-rect(rect(x))+rect(x/2)-rect(x)∗rect(x)) = ( 1A(x=1/2) + 1A(x=-1/2) )*1/2^3*2 ↔ (g)

Or nous savons par le calcul des expressions correspondantes dans l'expression (g) que:

1-rect(rect(x))+rect(x/2)-rect(x)∗rect(x) = ( 1A(x=1/2) +1A(x=-1/2) )*1/2 + rect(x/2) (h) →(i)

(i) ↔ 1-rect(rect(x))-rect(x)∗rect(x) = ( 1A(x=1/2) +1A(x=-1/2) )*1/2 ↔ rect(rect(x))=1-(1A(x=1/2) +1A(x=-1/2) )*1/2-rect(x)∗rect(x) (i') ↔ rect(x)∗rect(x) = 1-( 1A(x=1/2) +1A(x=-1/2) )*1/2-rect(rect(x)) (i'')

Nous constatons encore que la fonction indicatrice de la fonction triangulaire définie ci-dessus est identique à la définition et à l'expression de la fonction d'échelon rectangulaire caractéristique dont l'expression est rect(x/2)*(1-|x|)=tri(x) en rappelant la définition donnée dans la rubrique précédente (5: 1'A I LES FONCTIONS ÉCHELONS CARACTÉRISTIQUES) de la fonction rectangulaire:

1A: R→ {0;1/2;1}

1A(|x|)=0, si |x|>1/2,

1A(|x|)=1/2, si |x|=1/2,

1A(|x|)=1, si |x|<1/2;

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(|x|)=rect(x)=Π(x), dont la formule est inexistante et que nous devons donc créer comme suit, est:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

1A(|x|)=rect(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2 (10)₅

En remplaçant dans l'expression de rect(x/2)*(1-|x|) nous obtenons l'expression de tri(x) définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

tri(x)=1A(|x/2|)*(1-|x|)=rect(x/2)*(1-|x|)=Π(x/2)*(1-|x|)=(1-|⌈(x/2+1/2)/(|x/2+1/2|+1)⌉-⌈(-x/2+1/2)/(|-x/2+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x/2-1/2)/(|x/2-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x/2+1/2)/(|x/2+1/2|+1)⌉)*1/2)*(1-|x|) (16)

⁂

Nous pouvons aussi déduire l'expression de tri(x), toujours en utilisant l'expression de rect(x/2)*(1-|x|)=tri(x), en considérant que précédemment nous savions par le calcul des expressions correspondantes dans l'expression (g) que:

(h) ↔ 1-rect(rect(x))+rect(x/2)-rect(x)∗rect(x) = ( 1A(x=1/2) +1A(x=-1/2) )*1/2 + rect(x/2); et donc en faisant apparaitre dans cette dernière expression (h) l'expression de rect(x/2)*(1-|x|) c'est-à-dire:

(h)→(h)' ↔ (1-rect(rect(x))+rect(x/2)-rect(x)∗rect(x) )*(1-|x|) = (( 1A(x=1/2) +1A(x=-1/2) )*1/2 + rect(x/2))*(1-|x|)

(h)''↔ (1-|x|)-(1-|x|)*rect(rect(x))+(1-|x|)*rect(x/2)-rect(x)∗rect(x) )*(1-|x|)² = ( ( 1A(x=1/2) +1A(x=-1/2) )*1/2*(1-|x|) + rect(x/2)*(1-|x|)

(h)''↔ (1-|x|)-(1-|x|)*rect(rect(x))+(1-|x|)*rect(x/2)-rect(x)∗rect(x) )*(1-|x|)² - ( ( 1A(x=1/2) +1A(x=-1/2) )*1/2*(1-|x|) =tri(x) (16)'

⁂

1.1.g) La fonction linéaire par morceaux caractéristiques valeur absolue: |x|

Graphe de la fonction de valeur absolue, y=|x|

Ensuite toujours parmi ces fonctions indicatrices de pentes, nous considérons la fonction de valeur absolue est une fonction définie par morceaux par définition par de multiples sous fonctions, où chaque sous fonction s'applique à un intervalle différent du domaine; il s'agit en fait d'une façon d'exprimer la fonction, plutôt que d'une caractéristique de la fonction elle-même. La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux définie sur ℝ par :
|x|= -x, si x < 0
|x|= x , si x ≥ 0
Nous reconnaissons la formulation de la fonction indicatrice, dans cette définition de la fonction valeur absolue notée |x| car nous remarquons que cette expression de la fonction valeur absolue est en fait le résultat de la multiplication de x par l'expression de la fonction caractéristique signe, soit la première fonction caractéristique définie comme suit:

1A: R→ {0,1}
1A(x)= -1, si x<0,
1A(x)=0, si x=0
1A(x)=1, si x>0;
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(x)=sgn(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

1A(x)=sgn(x)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (17).

Soit en finalité l'expression de la fonction caractéristique signe multipliée par x, et définie de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}
1A(x)*x=-1*x si x<0,
1A(x)*x=0 si x=0
1A(|x)*x=1*x si x>0.
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(x)*x=sgn(x)*x, est alors définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*; soit sgn(x)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:

|x|=sgn(x)*x=(2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*x = 2*x*⌈x/(|x|+1)⌉-x*⌈|x|/(|x|+1)⌉ (17)'.

⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉})
↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511;-0,177;-174;-0,571;0;-1228,23;-959;0;0;-199;1244;1244;1244,3;-1244;-1244;
-1;1244;1244,3;0,57) dans la première fonction, la fonction caractéristique signe, notée 1A(x)=sgn(x), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq({0;1})=(1;-1;-1;-1;0;-1;-1;0;0;-1;1;1;1;-1;-1;-1;1;1;1); puis dans la deuxième fonction valeur absolue notée 1A(x)*x=sgn(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ=(511;0,177;174;0,571;0;1228,23;959;0;0;199;1244;1244;1244,3;1244;1244;1;1244;1244,3;0,57) .

⁂

II) LES FONCTIONS INDICATRICES DE PENTES MULTIPLES

⁂

"Une fonction linéaire continue par morceaux"

"Une fonction linéaire par morceaux est une fonction définie sur un intervalle (éventuellement non borné) de nombres réels, tel qu’il existe un ensemble d’intervalles sur chacun desquels la fonction est une fonction affine (une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme: f(x)=a*x+ b où les paramètres a et b ne dépendent pas de x et lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont a est la pente et b l'ordonnée à l'origine. Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.). (Ainsi, « linéaire par morceaux » est en fait défini comme signifiant « affine par morceaux ».) Si le domaine de la fonction est compact, il doit y avoir une collection finie de tels intervalles ; si le domaine n’est pas compact, il peut être nécessaire qu’il soit fini ou qu’il soit localement fini dans les réels. En particulier, une fonction linéaire par morceaux par définition est une fonction à valeur réelle d'une variable réelle, dont le graphique est composé de segments de ligne droite et définie sur un intervalle éventuellement illimité de nombres réels, de sorte qu'il existe une collection d'intervalles sur chacun desquels la fonction est une fonction affine (une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes). Il s'agit en fait d'une façon d'exprimer la fonction, plutôt que d'une caractéristique de la fonction elle-même. En général, les fonctions linéaires par morceaux peuvent être définies en utilisant la commune notation fonctionnelle, où le corps de la fonction est un tableau de fonctions et de sous-domaines associés. Ces sous-domaines doivent couvrir l'ensemble du domaine; souvent, il est également nécessaire qu'ils soient disjoints par paires, c'est-à-dire qu'ils forment une partition du domaine. Pour que la fonction globale soit appelée "par morceaux", les sous-domaines doivent généralement être des intervalles (certains peuvent être des intervalles dégénérés, c'est-à-dire des points uniques ou des intervalles illimités). Pour les intervalles bornés, le nombre de sous-domaines doit être fini, pour les intervalles illimités, il est souvent seulement nécessaire d'être localement finis. Une notion distincte, mais connexe, est celle d'une propriété détenant par morceaux pour une fonction, utilisée lorsque le domaine peut être divisé en intervalles sur lesquels la propriété tient. Contrairement à la notion de fonction linéaire par morceaux par définition, et il s'agit en fait d'une propriété de la fonction elle-même. Les exemples de ces autres types de fonctions linéaires par morceaux par propriété incluent la fonction en dents de scie et la fonction de plancher." Extrait de l'article intitulé "Piecewise" de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

De l'exposé ci-dessus de la définition et des propriétés de la fonction linéaire par morceaux, nous nous inspirons pour créer les nouvelles fonctions caractéristiques des fonctions linéaires par morceaux caractéristiques multiples, objets de notre deuxième titre, les fonctions composées de multiples fonctions indicatrices de pentes, appartenant donc à la catégorie des fonctions indicatrices de pentes multiples que je différentie de celle des fonctions pentes caractéristiques simples dans notre premier sous-titre. Elles sont soit l'union soit l'intersection des fonctions caractéristiques des multiples sous fonctions "d'une fonction définie par morceaux par définition par de multiples sous fonctions, où chaque sous fonction s'applique à un intervalle différent du domaine."

Mais si comme précédemment, nous considérons dans ce premier paragraphe qu'à la question de "pourquoi créer de nouvelles fonctions caractéristiques?", la première réponse triviale correspondante est encore à cause de l'inexistence de l'expression de la fonction caractéristique des fonctions linéaires par morceaux définie en général avec, x ∈ R par l'expression χA(x), la fonction indicatrice des intervalles A, définie comme χA(x): {1 si x ∈ A; 0 si x ∉ A, en fait c'est aussi parce que tout comme "Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) qui introduisit le mot «fonction» vers 1692 et attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. ( De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai.)", et plus précisément, les fonctions caractéristiques sont fondamentales à l'élaboration de l'expression des fonctions linéaires par morceaux ce qui transparait jusque dans la similarité des définitions des fonctions caractéristiques et des fonctions linéaires par morceaux. En effet, considérons la définition par morceaux de la fonction de valeur absolue :

|x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}

"Pour toutes les valeurs de x inférieurs à zéro, la première sous fonction (-x) est utilisée, ce qui annule le signe de la valeur d’entrée, ce qui rend les nombres négatifs positifs. Pour toutes les valeurs de x supérieur ou égal à zéro, la deuxième sous fonction (x) est utilisée, ce qui s’évalue trivialement à la valeur d’entrée elle-même.

Le tableau suivant documente la fonction de valeur absolue à certaines valeurs de x:

x	f(x)	Sous fonction utilisée
−3	3	-x
*−0,1*	*0.1*	-x
0	0	x
*1/2*	*1/2*	x
5	5	x

Afin d’évaluer une fonction définie par morceaux à une valeur d’entrée donnée, le sous-domaine approprié doit être choisi afin de sélectionner la sous fonction correcte et de produire la valeur de sortie correcte."

Tandis que grâce à notre méthode de création des nouvelles fonctions caractéristiques équivalentes aux fonctions linéaires par morceaux, la définition par morceaux de la fonction de valeur absolue notée |x| ci-dessus est simplifiée, car tout d'abord unifiée en une seule expression définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*

et soit sgn(x)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:

a(n)=|x|=sgn(x)*x=(2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*x = 2*x*⌈x/(|x|+1)⌉-x*⌈|x|/(|x|+1)⌉ (17)'.

Ensuite, la définition par morceaux de la fonction de valeur absolue ci-dessus notée |x|, est encore simplifiée par rapport à la définition par morceaux de la fonction de valeur absolue notée |x| ci-dessus, dans l'extrait de l'article de Wikipédia, l'encyclopédie libre et en ligne, et qui est intitulé "Piecewise Function", si nous l'exprimons comme une nouvelle fonction simple soit la combinaison linéaire de fonctions par morceaux, toujours en une seule expression et surtout généralisable à d'autres expressions nous permettant d'obtenir par d'autres combinaisons linéaires similaires des expressions de fonctions simples nouvelles, une méthode que nous écrirons précisément que nous la décrivons maintenant généralement comme dépassant la méthode heuristique nous ayant permis d'écrire l'expression de la valeur absolue comme égale à l'expression de la fonction signe:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N et soit sgn(x)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:

1A(-t<=x<=t)=1-|⌈(x+t)/(|x+t|+1)⌉-⌈(-x+t)/(|-x+t|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-t)/(|x-t|+1)⌉)+⌈(-x+t)/(|-x+t|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+t)/(|x+t|+1)⌉)+⌈(-x-t)/(|-x-t|+1)⌉)⌉ (20) → (20)'' ∧ (20)'''

Nous allons remplacer respectivement par t=x et t=-x successivement dans l'expression (20) pour obtenir respectivement les deux expressions (20)'' puis (20)''', afin de monter que, a(n)=((20)'''- (20)'')*x ↔ |x|={x|-x<=x<=x}↔|x|=1A(-x<=x<=x)*x ↔ a(n)=|x|=2*x*⌈x/(|x|+1)⌉-x*⌈|x|/(|x|+1)⌉ (17)', comme suit:

Si, t=x alors a(n)=1A(-t<=x<=t) ↔ 1A(-x<=x<=x)=1-|⌈(x+x)/(|x+x|+1)⌉-⌈(-x+x)/(|-x+x|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-x)/(|x-x|+1)⌉)+⌈(-x+x)/(|-x+x+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+x)/(|x+x|+1)⌉)+⌈(-x-x)/(|-x-x|+1)⌉)⌉=1-|⌈(2*x)/(|2*x|+1)⌉|+1+1-⌈(⌈(2*x)/(|2*x|+1)⌉)+⌈(-2*x)/(|-2*x|+1)⌉)⌉ (20)''

1A(-t<=x<=t)=1-|⌈(x+t)/(|x+t|+1)⌉-⌈(-x+t)/(|-x+t|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-t)/(|x-t|+1)⌉)+⌈(-x+t)/(|-x+t|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+t)/(|x+t|+1)⌉)+⌈(-x-t)/(|-x-t|+1)⌉)⌉ (20) → (20)'''

Si, t=-x alors a(n)=1A(-t<=x<=t) ↔ 1A(x<=x<=-x)= 1-|⌈(0)/(|0|+1)⌉-⌈(-2*x)/(|-2*x |+1)⌉|+1-⌈(⌈(0)/(|0|+1)⌉)+⌈(-2*x)/(|-2*x|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(0)/(|0|+1)⌉)+⌈(0)/(| 0 |+1)⌉)⌉=1-⌈(-2*x)/(|-2*x |+1)⌉+1-⌈⌈(-2*x)/(|-2*x| +1)⌉)⌉+1⌉ (20)'''

(20)'''- (20)'' ↔ 1A(x<=x<=-x)-1A(-x<=x<=x) =1-⌈(-2*x)/(|-2*x |+1)⌉+1-

⌈ ⌈(-2*x)/(|-2*x|+1)⌉)⌉+1⌉ - (1-|⌈(2*x)/(|2*x|+1)⌉| +2-⌈(⌈(2*x)/(|2*x|+1)⌉)+⌈(-2*x)/(|-2*x|+1)⌉)⌉)(20)'''' ↔ sgn(x)= 2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (17).

((20)'''- (20)'')*x ↔ (1A(x<=x<=-x)-1A(-x<=x<=x))*x=(1-⌈(-2*x)/(|-2*x |+1)⌉+1-⌈ ⌈(-2*x)/(|-2*x|+1)⌉)⌉+1⌉ - (1-⌈(2*x)/(|2*x|+1)⌉| + 2-⌈(⌈(2*x)/(|2*x|+1)⌉)+⌈(-2*x)/(|-2*x|+1)⌉)⌉))*x (20)''''

Nous constatons par le calcul que l'expression (20)'''' ↔ ((20)'''- (20)'')*x ↔ |x|={x|-x<=x<=x} ↔ |x|=1A(-x<=x<=x)*x ↔ |x|=2*x*⌈x/(|x|+1)⌉-x*⌈|x|/(|x|+1)⌉ (17)'

⁂

2.1) Les fonctions linéaires par morceaux caractéristiques multiples:

⁂

"Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) introduisit le mot «fonction» vers 1692. Leibniz lui-même attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. - De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai."

∴

Nous considérons comme au premier paragraphe de notre rubrique précédente qu'à la question de "pourquoi créer de nouvelles fonctions caractéristiques?", la deuxième réponse est pour indiquer que les fonctions linéaires par morceaux caractéristiques composés, forment une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques dont la somme des expressions correspond à l'expression d'une seule fonction générale linéaire par morceaux caractéristiques de compositions. En effet nous pouvons considérer qu'une fonction linéaire par morceaux par propriété, est une fonction par morceaux, α(x), composés de segments de ligne définie exhaustivement par plusieurs sous-fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x) et g(x),.... Ω(x), avec chaque sous-fonction valide sur un intervalle différent dans le domaine.

⁂

2.1.a) La fonction de composition linéaire par morceaux caractéristiques:
⋃ₙ₌₁→ₙ₌∞1A(α(x)ₙ₌₁→ₙ₌∞)

Si nous voulons maintenant déterminer les propriétés de l'ensemble des sous fonctions et des sous fonctions de toutes fonctions linéaires par morceaux ("également appelée fonction par morceaux, fonction hybride ou définition par cas) qui est une fonction définie par plusieurs sous-fonctions, où chaque sous-fonction s’applique à un intervalle différent dans le domaine"), alors nous commençons par énoncer, soit αᵢ(x) la fonction linéaire par morceaux qui sont des segments de lignes définies en général par l'ensemble de tous les cas particuliers de la fonction linéaire par morceaux caractéristiques que sont ces fonctions de composition a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x), Ω(x) de la fonction composée α(x)=a(x) ∘ b(x) ∘ c(x) ∘ d(x) ∘ e(x) ∘ f(x) ∘ g(x)....... ∘ Ω(x), dont l'expression (A) est définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:

αᵢ(x) = a(x) + b(x) + c(x)+ d(x) + e(x) + f(x) + g(x).....+Ω(x) → ⋃ₙ₌₁→ₙ₌∞({1A(αᵢ₌₁→ᵢ₌∞(x))})=({1A(a(x))}) ⋃ ({1A(b(x))}) ⋃ ({1A(c(x))}) ⋃ ({1A(d(x))}) ⋃ ({1A(e(x))}) ⋃ ({1A(f(x))})

⋃ ({1A(g(x))})....⋃ ({1A(Ω(x))}) =1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x)).....+1A(Ω(x)) (A).

Ensuite, nous considérons que parmi les exemples possibles de ces sous fonctions de α(x), définie par morceaux, soit a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x).. Ω(x), elles correspondantes toutes en général aux cas particulier des fonctions de relations d'inégalité entre la même valeur d'entrée x et une variable choisie différente pour chaque cas, a,b,c, d, etc., mais pouvant prendre exactement la même valeur pour chaque cas, et dont les fonctions indicatrices correspondantes donnant leurs représentations sous la forme de l'expression générale 1A(x)*x, sont définies exhaustivement de la manière suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x≠α

1A(x)=1, si x=α

L'expression de cette fonction caractéristique de a(x)= -α, est définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ α ∈ R:

1A(x)=1A(a(x)=α)=1-⌈ ⌈(x-α)/(|x-α|+1)⌉+⌈(-x+α)/(|-x+α|+1)⌉ ⌉ (α)

α(x)={x | x=α } ↔ α(x)=1A(x=α )*x=( 1-⌈ ⌈(x-α)/(|x-α|+1)⌉+⌈(-x+α)/(|-x+α|+1)⌉ ⌉ )*x (α)''↔(α)'*x ↔(α)*x

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ β ∈ R⁺ ↔β >=0:

1A(x)=1A(a(x)=β)=1-⌈|x-β|/(|x|+β+1)⌉ (β)

β(x)={x| x=β} ↔ β (x)=1A(x=β )*x=(1-⌈|x-β|/(|x|+β+1)⌉ )*x (β)'↔(β)*x

⁂

0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0); puis dans la deuxième fonction notée α(x)={x |x=-3}↔ α(x)=1A(α(x)=-3)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ=(0;0;0;

0;-3;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0).

⁂

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x≠-ω

1A(x)=1, si x= -ω

L'expression de cette fonction caractéristique de a(x)= -ω, est définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ ω ∈ R:

1A(x)=1A(a(x)=-ω)=1-⌈ ⌈(x+ω)/(|x+ω|+1)⌉+⌈(-x-ω)/(|-x-ω|+1)⌉ ⌉ (ω)

α(x)={x | x=-ω } ↔ α(x)=1A(x=-ω )*x=( 1-⌈ ⌈(x+ω)/(|x+ω|+1)⌉+⌈(-x-ω)/(|-x-ω|+1)⌉ ⌉ )*x (ω)'↔(ω)*x.

⁂

0;0;-3;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0).

⁂

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si a<=x

1A(x)=1, si x<a

L'expression de cette fonction caractéristique de a(x)={x |x<a}, est définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ R:

1A(x)=1A(x<a)=1A(a(x)={x |x<a})=⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉ (1)

1A(x)=⌈(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(-x+a)/(|-x+a|+1)⌉)⌉-⌈(-x+a)/|(-x+a)|+1)⌉ (1)'.

Nous remarquons que l'expression (1)', beaucoup plus longue et moins pratique que l'expression (1), n'est en fait écrite que pour monter que nous obtenons l'expression (1) de la fonction caractéristique des nombres éléments d'un sous-ensemble quelconque de R qui sont strictement inférieurs à une variable donnée, a, par la soustraction de l'expression de la fonction caractéristique des nombres x inférieurs ou égaux à la valeur de cette variable, a, et l'expression des nombres x exactement égaux à la valeur de cette variable, a, soit la soustraction des deux expressions des fonctions caractéristiques qui sont:

1A(x<=a)=1A(x=a)+1A(x<a)=1-⌈(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(-x+a)/(|-x+a|+1)⌉)⌉+⌈(-x+a)/|(-x+a)|+1)⌉ (a), et

1A(x=a)=1-⌈(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(-x+a)/(|-x+a|+1)⌉)⌉ (b)

a(x)={x |x<a} ↔ a(x)=1A(x)*x=⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉*x=(⌈(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(-x+a)/(|-x+a|+1)⌉)⌉-⌈(-x+a)/|(-x+a)|+1)⌉ )*x (1'')

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉})
↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57), dans les deux expressions (1) et (1') de la fonction caractéristique des nombres strictement inférieurs à une variable choisie a=3, donc une fonction indicatrice notée 1A(a(x)={x |a>x}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;1;1;0;0;0;1); puis dans la deuxième fonction notée a(x)={x |3>x} ↔ a(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ=(0;0,177;-174;-0,571;-3;-1228,23;-959;2;0;-2.99;0;0;0;-1244;-1244;0;0;0;0,57) .

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x).. Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont définies comme suit:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si b<x;

1A(x)=1, si x<=b

L'expression de cette fonction caractéristique de b(x)={x |x<=b} est définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ R:

1A(x)=1A(b(x)={x |x<=b})=1-⌈(x-b)/(|(x-b)|+1)⌉ (2)

1A(x)=1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉+⌈(-x+b)/|(-x+b)|+1)⌉ (2)'.

Nous remarquons encore que l'expression (2)', beaucoup plus longue et moins pratique que l'expression (2), n'est en fait écrite que pour monter que nous obtenons l'expression de la fonction caractéristique des nombres éléments d'un sous-ensemble quelconque de R, x qui sont cette fois-ci inférieurs ou égaux à une variable donnée b, par non plus la soustraction de l'expression de la fonction caractéristique des nombres inférieurs ou égaux à la valeur de cette variable b, et l'expression de la fonction caractéristique des nombres exactement égaux à la valeur de cette variable, b, mais par la fonction caractéristique de la somme de l'expression de la fonction caractéristique des valeurs de x strictement supérieures à b et de l'expression de la fonction caractéristique des valeurs de b strictement supérieures à x, à laquelle on ajoute à nouveau l'expression cette dernière fonction caractéristique, soit la fonction caractéristique dont la nomenclature de l'expression est (a'):

⌈ ⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉ +⌈(-x+b)/|(-x+b)|+1)⌉⌉ + ⌈(-x+b)/|(-x+b)|+1)⌉ (a')

b(x)={x |x<=b} ↔ b(x)=1A(x)*x=(1-⌈(x-b)/(|(x-b)|+1)⌉)*x (2)''

↔ b(x)={x |x<=b} ↔ b(x)=1A(x)*x=(⌈⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉ +⌈(-x+b)/|(-x+b)|+1)⌉⌉+⌈(-x+b)/|(-x+b)|+1)⌉ )*x (2)'''

⁂

et qui est représentée par SeqA''''ᵢ=(0;0,177;-174;-0,571;-3;-1228,23;-959;2;0;-2.99;0;0;0;-1244;

-1244;3;0;0;0,57) .

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x).. Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x>c)=0, si x<c;

1A(x>c)=1, si x>c.

L'expression de cette fonction caractéristique de c(x)={x |x>c}, est définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ c ∈ R:

1A(x>=c)-1A(x=c)=c(x)=1A({x |x>c})=⌈(⌈(x-c)/(|x-c|+1)⌉)+⌈(-x+c)/(|-x+c|+1)⌉)⌉-⌈(-x+c)/|(-x+c)|+1)⌉ (3).

Nous obtenons l'expression de la fonction caractéristique des nombres éléments d'un sous-ensemble quelconque de R, notée x qui sont strictement supérieurs à une variable donnée, c, par la soustraction de l'expression de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à la valeur de cette variable, c, et l'expression de la fonction caractéristique des nombres exactement égaux à la valeur de cette variable, c, soit 1A(x>=c)-1A(x=c) correspondant à la soustraction des deux expressions comme suit:

a(n)=1A(x>=c)=1-⌈(-x+c)/|(-x+c)|+1)⌉ (c), et

a(n)=1A(x=c)=1-⌈(⌈(x-c)/(|x-c|+1)⌉)+⌈(-x+c)/(|-x+c|+1)⌉)⌉ (d)

c(x)={x |x>c} ↔ c(x)=1A(x)*x= 1-⌈(-x+c)/|(-x+c)|+1) - (1-⌈(⌈(x-c)/(|x-c|+1)⌉)+⌈(-x+c)/(|-x+c|+1)⌉)⌉ ) = ⌈(⌈(x-c)/(|x-c|+1)⌉)+⌈(-x+c)/(|-x+c|+1)⌉)⌉ -⌈(-x+c)/|(-x+c)|+1) (3') ↔ (a)-(b)↔ (3)

⁂

1;0); puis dans la deuxième fonction que je note c(x)={x |x>3}↔ c(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(511;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1244;1244;1244,3;

0;0;0;1244;1244,3;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x).. Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont aussi définies comme suit:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x>d,

1A(x)=1, si x>=d.

L'expression de cette fonction caractéristique de d(x)={x |x>=d }, est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ d ∈ R:

1A(x>=d)=1-⌈(-x+d)/|(-x+d)|+1)⌉ (4).

Nous obtenons l'expression de la fonction caractéristique des nombres éléments d'un sous-ensemble quelconque de R, notée x qui sont supérieurs ou égaux à une variable donnée d, par l'addition de l'expression de la fonction caractéristique des nombres supérieurs à la valeur de cette variable d, et l'expression de la fonction caractéristique des nombres exactement égaux à la valeur de cette variable d, soit 1A(x>d)+1A(x=d) correspondant à l'addition des deux expressions des fonctions caractéristiques comme suit:

1A(x>d)=⌈(x-d)/(|x-d|+1)⌉ (e), et

1A(x=d)=1-⌈(⌈(x-d)/(|x-d|+1)⌉)+⌈(-x+d)/(|-x+d|+1)⌉)⌉ (f)

1A(x>d)+1A(x=d)=⌈(x-d)/(|x-d|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-d)/(|x-d|+1)⌉)+⌈(-x+d)/(|-x+d|+1)⌉)⌉ (4') ↔

(e)+(f)

d(x)={x |x>=d }↔ d(x)=1A(x)*x=(⌈(x-d)/(|x-d|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-d)/(|x-d|+1)⌉)+⌈(-x+d)/(|-x+d|+1)⌉)⌉)*x (4)''

⁂

0;1244;1244;1244,3;0;0;3;1244;1244,3;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)...Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x<=e ∧ x<0 ∨ si x<=e ∧ x>0

1A(x)=1, si x>e ∧ x>0

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ e ∈ R:

1A(x)=⌈(|x|-e)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-e)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉ (5).

e(x)={x |e<x>0} ↔ e(x)=1A(x)*x=(⌈(|x|-e)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-e)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉ )*x (5)'↔ (5)*x

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉})
↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57), dans l'expression (5) de la fonction caractéristique des nombres strictement supérieurs à une variable choisie e=3 et strictement supérieurs à 0, donc une fonction indicatrice notée 1A(e(x)={x |3<x>0}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;0;0;0;1;1;0);puis dans la deuxième fonction que je note e(x)={x |e<=x>0} ↔ e(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(511;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1244;1244;1244,3;0;0;0;1244;1244,3;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x< f ∧ x< 0 ∨ si x< f ∧ x >0

1A(x)=1, si x >=f ∧ x >0

1A(f<=x>0)=⌈(|x|-f)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-f)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-f)/(|x-f|+1)⌉)+⌈(-x+f)/(|-x+f|+1)⌉)⌉ (6).

f(x)={x |f<=x>0}↔f(x)=(⌈(|x|-f)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-f)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-f)/(|x-f|+1)⌉)+⌈(-x+f)/(|-x+f|+1)⌉)⌉)*x (6)'↔ (6)*x

⁂

fonction notée f(x)={x |3<=x>0}↔f(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(511;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1244;1244;1244,3;

0;0;3;1244;1244,3;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x<=g ∧ x< 0 ∨ si x<=g∧ x >0

1A(x)=1, si x >g ∧ x >=0

1A(0<=x>g)=⌈(|x|-g)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-g)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (7)

f(x)={x |g<x>=0} ↔ g(x)=1A(0<=x>g)*x=(⌈(|x|-g)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-g)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*x (7)'↔ (7)*x

⁂

1;0); puis dans la deuxième fonction notée g(x)={x |3<x>=0} ↔ g(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}),et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(511;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1244;1244;1244,3;

0;0;0;1244;1244,3;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)...Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x<h ∧ x< 0 ∨ si x<h ∧ x >0

1A(x)=1, si x >=h ∧ x >=0

1A(0<=x>=h)=⌈(|x|-h)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-h)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-h)/(|x-h|+1)⌉)+⌈(-x+h)/(|-x+h|+1)⌉)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (8)

h(x)={x |h<=x>=0} ↔ h(x)=1A(0<=x>h)*x=(⌈(|x|-h)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-h)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-h)/(|x-h|+1)⌉)+⌈(-x+h)/(|-x+h|+1)⌉)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ )*x (8)'↔ (8)*x

⁂

0);puis dans la deuxième fonction notée h(x)={x |3<=x>=0} ↔h(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(511;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1244;1244;1244,3;

0;0;3;1244;1244,3;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)...Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x< = -i ∧ x > -1 ∨ si x=< -i ∧ x >-1

1A(x)=1, si x > -i ∧ x < -1

1A(-i<x<-1)=⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(i-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(i-|x|))|+1)⌉-1+⌈(⌈(x+1)/(|x+1|+1)⌉+⌈(-x-1)/(|-x-1|+1)⌉)⌉ (9)

i(x)={x |-i<x<-1} ↔ i(x)=1A(-1<x<-i)*x=( ⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(i-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(i-|x|))|+1)⌉-1+⌈(⌈(x+1)/(|x+1|+1)⌉+⌈(-x-1)/(|-x-1|+1)⌉)⌉ )*x (9)'↔ (9)*x

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀})
↔ SeqAᵢ₌₂₀=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57,-1), dans l'expression (9) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs à une variable choisie -i=-3 et strictement inférieurs à -1, donc une fonction indicatrice notée 1A(i(x)={x |-3<x<-1}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0); puis dans la deuxième fonction notée i(x)={x |-3<x<-1} ↔ i(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;-0,571;0;0;0;0;0;-2,99;0;0;0;0

;0;0;0;0;0;0).

⁂

Ces sous-fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)...Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x< = -j ∧ x > -1 ∨ si x=< -j ∧ x >-1

1A(x)=1, si x > -j ∧ x < = -1

1A(-j<x<=-1)=⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(j-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(j-|x|))|+1)⌉ (10)

j(x)={x |-j<x<= -1} ↔ j(x)=1A(-j<x<=-1)*x=(⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(j-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(j-|x|))|+1)⌉ )*x (10)'↔ (10)*x

⁂

0;1); puis dans la deuxième fonction notée j(x)={x | -3<x<= -1} ↔ j(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;-0,571;0;0;0;0;0;-2,99;0;0;0;0

;0;0;0;0;0;-1).

⁂

Ces sous-fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)...Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x < -k ∧ x >= -1 ∨ si x< -k ∧ x <= -1

1A(x)=1, si x >= -k ∧ x < -1

1A(-k<=x<-1)=⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(k-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(k-|x|))|+1)⌉-1+⌈(⌈(x+1)/(|x+1|+1)⌉+⌈(-x-1)/(|-x-1|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x-k)/(|x-k|+1)⌉)+⌈(-x+k)/(|-x+k|+1)⌉)⌉ (11)

j(x)={x |-k<=x<-1} ↔ j(x)=1A(-k<=x<-1)*x=(⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(k-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(k-|x|))|+1)⌉-1+⌈(⌈(x+1)/(|x+1|+1)⌉+⌈(-x-1)/(|-x-1|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x-k)/(|x-k|+1)⌉)+⌈(-x+k)/(|-x+k|+1)⌉)⌉ )*x (11)'↔ (11)*x

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀})
↔ SeqAᵢ₌₂₀=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57,-1), dans l'expression (11) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie -k=-3 et strictement inférieurs à -1, donc une fonction indicatrice notée 1A( k(x)={x |-3<=x<-1}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;1;1;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0); puis dans la deuxième fonction que je note k(x)={x |-3<x<-1}↔ k(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;-0,571;-3;0;0;0;0;-2,99;0;0;0;0

;0;0;0;0;0;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x < -L ∧ x > -1 ∨ si x< -L ∧ x < -1

1A(x)=1, si x >= -L ∧ x < =-1

1A(-L=<x<=-1)=⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(L-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(L-|x|))|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-L)/(|x-L|+1)⌉)+⌈(-x+L)/(|-x+L|+1)⌉)⌉ (12)

j(x)={x |-L<=x<= -1} ↔ j(x)=1A(-L<=x<=-1)*x=(⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(L-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(L-|x|))|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-L)/(|x-L|+1)⌉)+⌈(-x+L)/(|-x+L|+1)⌉)⌉)*x (12)'↔ (12)*x

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀})
↔ SeqAᵢ₌₂₀=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57,-1), dans l'expression (12) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie -L=-3 et inférieurs ou égaux à -1, donc une fonction indicatrice notée 1A(L(x)={x |-3<=x<=-1}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;1;1;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1); puis dans la deuxième fonction notée L(x)={x |-3<=x<= -1} ↔ L(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₀({xₙ₌₁→ₙ₌₂₀}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;-0,571;-3;0;0;0;0;-2,99;0;0;0;0;0;0;0;0;0;-1).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)...Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >= m ∧ x<0 ∨ si x>=m ∧ x >0 ∨ si x<= m ∧ x<0

1A(x)=1, si x <m ∧ x >0

1A(0<x<m)= ⌈(m-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(m-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉ (13)

m(x)={x | 0<x<m} ↔ m(x)=1A(0<x<m)*x=( ⌈(m-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(m-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉)*x (13)'↔ (13)*x

⁂

-1244;3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (12) de la fonction caractéristique des nombres strictement inférieurs à une variable choisie m=3 et strictement supérieurs à 0, et notée 1A(m(x)={x |0<x<3}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;1); puis dans la deuxième

fonction notée m(x)={x |0<x<3}↔ m(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;0;0;0;0;0;0;2;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;0;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)...Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >= n ∧ x<0 ∨ si x>=n ∧ x >0 ∨ si x<= n ∧ x<0

1A(x)=1, si x < n ∧ x >=0

1A(0<=x<n)=⌈(n-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(n-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (14)

n(x)={x | 0<=x<n} ↔ n(x)=1A(0<=x<n)*x=( ⌈(n-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(n-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*x (14)'↔ (14)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (14) de la fonction caractéristique des nombres strictement inférieurs à une variable choisie n=3 et supérieurs ou égaux à 0, donc une fonction indicatrice notée 1A(n(x)={x |0<=x<3}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;1); puis dans la deuxième

fonction notée n(x)={x |0<=x<3}↔ n(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;0;0;0;0;0;0;2;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;0;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x > O ∧ x<=0 ∨ si x> O ∧ x >=0 ∨ si x<O ∧ x<=0

1A(x)=1, si x <= O ∧ x >0

1A(0<x<=O)= ⌈(O-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(O-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-O)/(|x-O|+1)⌉)+⌈(-x+O)/(|-x+O|+1)⌉)⌉ (15)

n(x)={x | 0<x<=O} ↔ O(x)=1A(0<x<=O)*x=( ⌈(O-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(O-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-O)/(|x-O|+1)⌉)+⌈(-x+O)/(|-x+O|+1)⌉)⌉)*x (15)'↔ (15)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (15) de la fonction caractéristique des nombres inférieurs ou égaux à une variable choisie O=3 et supérieurs à 0, donc une fonction indicatrice notée 1A(O(x)={x |0<x<=3}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;1); puis dans la deuxième fonction notée

O(x)={x |0<x<=3}↔ O(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;0;0;0;0;0;0;2;0;0;0;0;0;3;0;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;0;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x > p ∧ x<0 ∨ si x>p ∧ x >0 ∨ si x<p ∧ x<0

1A(x)=1, si x <= p ∧ x >=0

1A(0<=x<=p)= ⌈(p-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(p-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-p)/(|x-p|+1)⌉)+⌈(-x+p)/(|-x+p|+1)⌉)⌉ (16)

p(x)={x | 0<=x<=p} ↔ p(x)=1A(0<=x<=p)*x=( ⌈(p-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(p-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-p)/(|x-p|+1)⌉)+⌈(-x+p)/(|-x+p|+1)⌉)⌉)*x (16)'↔ (16)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (16) de la fonction caractéristique des nombres inférieurs ou égaux à une variable choisie p=3, et supérieurs ou égaux à 0, donc une fonction indicatrice, notée, 1A(p(x)={x |0<=x<=3}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;1;0;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;1); puis dans la deuxième fonction notée

p(x)={x |0<=x<=3}↔ p(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;0;0;0;0;0;0;2;0;0;0;0;0;3;0;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;0;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >= q ∨ x <= - q

1A(x)=1, si x < q ∧ x >-q

1A(-q<x<q)=1-|⌈(x+q)/(|x+q|+1)⌉-⌈(-x+q)/(|-x+q|+1)⌉| (17)

q(x)={x | -q<x<q} ↔ q(x)=1A(-q<x<q)*x=(1-|⌈(x+q)/(|x+q|+1)⌉-⌈(-x+q)/(|-x+q |+1)⌉| )*x (17)'↔ (17)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (17) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie -q=-3, et des nombres strictement inférieurs à q=3, fonction indicatrice donc de notation 1A(q(x)={x |-3<x<3}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;1;0;0;0;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;0;0;0;1;1;1); puis dans la deuxième fonction notée

q(x)={x |-3< x< 3}↔ q(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;-0,571;0;0;0;2;0;-2,99;0;0;0;0;0;0;0;0,57;-1;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;-0,5;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x > r ∨ x <= - r

1A(x)=1, si x <= r ∧ x >-r

1A(-r<x<=r)=1-|⌈(x+r)/(|x+r|+1)⌉-⌈(-x+r)/(|-x+r|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-r)/(|x-r|+1)⌉)+⌈(-x+r)/(|-x+r|+1)⌉)⌉ (18)

r(x)={x | -r<x<=r} ↔ r(x)=1A(-r<x<=r)*x=(1-|⌈(x+r)/(|x+r|+1)⌉-⌈(-x+r)/(|-x+r|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-a)/(|x-r|+1)⌉)+⌈(-x+r)/(|-x+r|+1)⌉)⌉)*x (18)'↔ (18)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (18) de la fonction caractéristique des nombres inférieurs ou égaux à une variable choisie r=3, et des nombres strictement supérieurs à -r=-3, qui est notée 1A(r(x)={x |-3<x<=3}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;1;0;0;0;1;1;1;0;0;0;0;0;1;0;0;1;1;1;1;0;0;1;1;1); puis dans la deuxième fonction, notée,

r(x)={x |-3< x< =3}↔ r(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;-0,571;0;0;0;2;0;-2,99;0;0;0;0;0;3;0;0;0,57;-1;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;-0,5;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >= s ∨ x <-s

1A(x)=1, si x < s ∧ x >= -s

1A(-s<=x<s)=1-|⌈(x+s)/(|x+s|+1)⌉-⌈(-x+s)/(|-x+s|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x+s)/(|x+s|+1)⌉)+⌈(-x-s)/(|-x-s|+1)⌉)⌉ (19)

s(x)={x |-s<=x<s} ↔s(x)=1A(-s<=x<s)*x=(1-|⌈(x+s)/(|x+s|+1)⌉-⌈(-x+s)/(|-x+s|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x+s)/(|x+s|+1)⌉)+⌈(-x-s)/(|-x-s|+1)⌉)⌉)*x (19)'↔ (19)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (19) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie, -s=-3, et des nombres strictement inférieurs à s=3, une fonction indicatrice donc notée 1A(r(x)={x |-3<x<=3}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;1;1;0;0;1;1;1;0;0;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;0;0;1;1;1); puis dans la deuxième fonction, notée, r(x)={x |-3<= x< 3}↔ r(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;-0,571;-3;0;0;2;0;-2,99;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,57;-1;0,82;0,1217;0;0;0,73;-0,5;0,5)

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >= t ∨ x <=-t

1A(x)=1, si x <= t ∧ x >= -t

1A(-t<=x<=t)=1-|⌈(x+t)/(|x+t|+1)⌉-⌈(-x+t)/(|-x+t|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-t)/(|x-t|+1)⌉)+⌈(-x+t)/(|-x+t|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+t)/(|x+t|+1)⌉)+⌈(-x-t)/(|-x-t|+1)⌉)⌉ (20)

t(x)={x |-t<=x<=t} ↔ t(x)=1A(-t<=x<=t)*x=(1-|⌈(x+t)/(|x+t|+1)⌉-⌈(-x+t)/(|-x+t|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-t)/(|x-t|+1)⌉)+⌈(-x+t)/(|-x+t|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+t)/(|x+t|+1)⌉)+⌈(-x-t)/(|-x-t|+1)⌉)⌉)*x (20)'↔ (20)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (20) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie -t=-3 et caractéristique des nombres inférieurs ou égaux à t=3, que je note 1A(t(x)={x |-3<=x<=3}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;1;0;0;0;1;1;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;1;1;1;1;0;0;1;1;1); puis dans la deuxième fonction notée

t(x)={x |-3<= x<= 3}↔ t(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;-0,571;-3;0;0;2;0;-2,99;0;0;0;0;0;0;3;0;0;0,57;-1;0,82;0,1217;0;0;0,73;-0,5;0,5).

⁂

Ces sous Fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >= u ∨ x <-v

1A(x)=1, si x < u ∧ x >-v

1A(-v<x<u)=1-|⌈(x+v)/(|x+v|+1)⌉-⌈(-x+u)/(|-x+u|+1)⌉| (21)

uv(x)={x |-v<x<u} ↔ uv(x)=1A(-v<x<u)*x= (1-|⌈(x+v)/(|x+v|+1)⌉-⌈(-x+u)/(|-x+u|+1)⌉|)*x (21)'↔ (21)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (21) de la fonction caractéristique des nombres strictement supérieurs à une variable choisie -v=-0.5 et strictement inférieurs à une variable choisie u=5, qui est notée 1A(uv(x)={x |-0.5<x<5}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;1

;0;1;1;0;0;0;1;0;1); puis dans la deuxième fonction notée uv(x)={x |-0.5<x< 5}↔ uv(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0;0;0;0;0;0;0;3;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;0;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x > y ∨ x < -z

1A(x)=1, si x <y ∧ x >= -z

1A(-z<=x<y)=1-|⌈(x+z)/(|x+z|+1)⌉-⌈(-x+y)/(|-x+y|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x+z)/(|x+z|+1)⌉)+⌈(-x-z)/(|-x-z|+1)⌉)⌉ (22)

zy(x)={x |-z<=x<y} ↔ zy(x)=1A(-z<=x<y)*x= (1-|⌈(x+z)/(|x+z|+1)⌉-⌈(-x+y)/(|-x+y|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x+z)/(|x+z|+1)⌉)+⌈(-x-z)/(|-x-z|+1)⌉)⌉)*x (22)'↔ (22)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (22) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie -z=-0.5 et strictement inférieur à une variable choisie y=5, qui est notée 1A(zy(x)={x |-0.5<=x<5}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;1;1); puis dans la deuxième fonction notée zy(x)={x |-0.5<=x< 5}↔ zy(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0;0;0;0;0;0;0;3;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;

0,73;-0.5;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >α ∨ x <= -β

1A(x)=1, si x <= α ∧ x >-β

1A(-β<x<=α)=1-|⌈(x+β)/(|x+β|+1)⌉-⌈(-x+α)/(|-x+α|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-α)/(|x-α|+1)⌉)+⌈(-x+α)/(|-x+α|+1)⌉)⌉ (23)

αβ(x)={x |-β<x<=α} ↔ αβ(x)=1A(-β<x<=α)*x= (1-|⌈(x+β)/(|x+β|+1)⌉-⌈(-x+α)/(|-x+α|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-α)/(|x-α|+1)⌉)+⌈(-x+α)/(|-x+α|+1)⌉)⌉)*x (23)'↔ (23)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (22) de la fonction caractéristique des nombres strictement supérieurs à une variable choisie -β=-0.5 et supérieurs ou égaux à une variable choisie α=5, qui est notée 1A(αβ(x)={x |-0.5<x<=5}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;1); puis dans la deuxième fonction notée αβ(x)={x |-0.5<x<= 5}↔ αβ(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0;0;0;0;0;0;0;3;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;

0;0;0,73;0;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >γ ∨ x < -δ

1A(x)=1, si x <= γ ∧ x >= -δ

1A(-δ<=x<=γ)=1-|⌈(x+δ)/(|x+δ|+1)⌉-⌈(-x+γ)/(|-x+γ|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-δ)/(|x-δ|+1)⌉)+⌈(-x+δ)/(|-x+δ|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+γ)/(|x+γ|+1)⌉)+⌈(-x-γ)/(|-x-γ|+1)⌉)⌉ (24)

γδ(x)={x |-β<=x<=α} ↔ γδ(x)=1A(-β<x<=α)*x= (1-|⌈(x+δ)/(|x+δ|+1)⌉-⌈(-x+γ)/(|-x+γ|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-δ)/(|x-δ|+1)⌉)+⌈(-x+δ)/(|-x+δ|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+γ)/(|x+γ|+1)⌉)+⌈(-x-γ)/(|-x-γ|+1)⌉)⌉ )*x (24)'↔ (24)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (24) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie -δ=0.5 et inférieurs ou égaux à une variable choisie, γ=5, qui est notée 1A(γδ(x)={x |-0.5<x<=5}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;1;1); puis dans la deuxième fonction notée γδ(x)={x |-0.5<x<= 5}↔ γδ(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0;0;0;0;0;0;0;3;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;

0,73;-0.5;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >= ε ∨ x < =ζ

1A(x)=1, si x < ε ∧ x > ζ

1A(ζ<x<ε )=1-|⌈(x-ζ)/(|x-ζ|+1)⌉-⌈(-x+ε )/(|-x+ε |+1)⌉| (25)

εζ(x)={x |ζ<x<ε} ↔ εζ(x)=1A(ζ<x<ε)*x= (1-|⌈(x-ζ)/(|x-ζ|+1)⌉-⌈(-x+ε )/(|-x+ε |+1)⌉|)*x (25)'↔ (25)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (25) de la fonction caractéristique des nombres strictement supérieurs à une variable choisie ζ=0.5 et strictement inférieurs à une variable choisie ε=4, qui est notée 1A(εζ(x)={x |-0.5<x<4}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0

;0;0;1;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;0); puis dans la deuxième fonction notée γδ(x)={x |-0.5<x<4}↔ γδ(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0;0;0;0;0;0;0;3;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0; 0,73;0;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >=η ∨ x < θ

1A(x)=1, si x < η ∧ x >= θ

1A(θ<=x<η)=1-|⌈(x-θ)/(|x-θ|+1)⌉-⌈(-x+ η)/(|-x+ η|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-θ)/(|x-θ|+1)⌉)+⌈(-x+θ)/(|-x+θ|+1)⌉)⌉ (26)

θη(x)={x |θ<=x<η }↔ θη(x)=1A(θ<=x<η )*x=(1-|⌈(x-θ)/(|x-θ|+1)⌉-⌈(-x+ η)/(|-x+ η|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-θ)/(|x-θ|+1)⌉)+⌈(-x+θ)/(|-x+θ|+1)⌉)⌉)*x (26)'↔ (26)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5), dans l'expression (26) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie θ=0.5 et strictement inférieurs à une variable choisie η=4, qui est notée 1A(θη(x)={x|-0.5<=x<4}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;1;0;

0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;1); puis dans la deuxième fonction notée θη(x)={x|-0.5<=x<4}↔ θη(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₈({xₙ₌₁→ₙ₌₂₈}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0;0;0;0;0;0;0;3;0;0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;0;0,5).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >κ ∨ x < =λ

1A(x)=1, si x <= κ ∧ x > λ

1A(λ<x<=κ)=1-|⌈(x-λ)/(|x-λ|+1)⌉-⌈(-x+κ)/(|-x+κ|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-κ)/(|x-κ|+1)⌉)+⌈(-x+κ)/(|-x+κ|+1)⌉)⌉ (27)

λκ(x)={x |λ<x<=κ}↔ λκ(x)=1A(λ<x<=κ)*x=(1-|⌈(x-λ)/(|x-λ|+1)⌉-⌈(-x+κ)/(|-x+κ|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-κ)/(|x-κ|+1)⌉)+⌈(-x+κ)/(|-x+κ|+1)⌉)⌉)*x (27)'↔ (27)*x

∴

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5;177;-3,9;4;452;-617), dans l'expression (27) de la fonction caractéristique des nombres strictement supérieurs à une variable choisie λ=0.5 et inférieurs ou égaux à une variable choisie κ=4, qui est notée 1A(λκ(x)={x|-0.5<x<=4}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₃₃({xₙ₌₁→ₙ₌₃₃}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;0;0;0;1;0;0); puis dans la deuxième fonction notée λκ(x)={x|-0.5<x<=4}↔ λκ(x) =1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₃₁({xₙ₌₁→ₙ₌₃₃}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;0;0;0;0;2;0;0;0;0;0;0;0;3;0;

0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;0;0;0;0;4;0;0).

⁂

Ces sous fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x)…Ω(x), de la fonction définie par morceaux, α(x), sont encore définies de la façon suivante:

1A: R→ {0,1}

1A(x)=0, si x >ν ∨ x < μ

1A(x)=1, si x <= ν ∧ x >= μ

1A(μ=<x<=ν )= 1-|⌈(x-μ)/(|x-μ|+1)⌉-⌈(-x+ν)/(|-x+ν|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-μ)/(|x-μ|+1)⌉)+⌈(-x+μ)/(|-x+μ|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x-ν)/(|x-ν|+1)⌉)+⌈(-x+ν)/(|-x+ν|+1)⌉)⌉ (28)

μν(x)={x |μ=<x<=ν }↔ μν(x)=1A(μ=<x<=ν )*x=(1-|⌈(x-μ)/(|x-μ|+1)⌉-⌈(-x+ν)/(|-x+ν|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-μ)/(|x-μ|+1)⌉)+⌈(-x+μ)/(|-x+μ|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x-ν)/(|x-ν|+1)⌉)+⌈(-x+ν)/(|-x+ν|+1)⌉)⌉ )*x

(28)'↔ (28)*x

⁂

3;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168;804,5;0,73;-0,5;0,5;177;-3,9;4;452;-517), dans l'expression (28) de la fonction caractéristique des nombres supérieurs ou égaux à une variable choisie μ=0.5 et inférieurs ou égaux à une variable choisie ν=4, qui est notée 1A(μν(x)={x|-0.5<=x<=4}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₃₃({xₙ₌₁→ₙ₌₃₃}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;1;1;0;0;0;1;0;1;0;0;1;0;0); puis dans la deuxième fonction notée μν(x)={x|-0.5<=x<=4}↔ μν(x) =1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₃₃({xₙ₌₁→ₙ₌₃₃}), et qui est représentée par SeqA'''ᵢ(0;-0,177;0;0;0;0;0;2;0;0;0;0;0;0;0;3;0;

0;0,57;0;0,82;0,1217;0;0;0;0,73;0;0,5;0;0;4;0;0).

⁂

2.1.b) Exemple d'expressions des sous fonctions d'une fonction linéaire par morceaux comme expressions de sous fonctions caractéristiques:

∴

"Une fonction linéaire continue par morceaux"

Une fonction définie par morceaux par plusieurs sous fonctions, où chaque sous fonction appliquée à un intervalle différent dans le domaine en fait une façon d’exprimer la fonction, plutôt qu’une caractéristique de la fonction elle-même et donc nous allons ici utiliser les expressions des fonctions indicatrices d'inégalités écrites précédemment pour en faire une caractéristique de la fonction elle-même, de la manière suivante:

Soit a(n)=1A(x)=1A(b(x)=({x |x<= b'}))=1-⌈(x-b')/(|(x-b')|+1)⌉ (2); soit f₁(x)=({-3-x, si x<= -b' }); ∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R; ∀ n ∈ N*; ∀ b' ∈ R:

1A: R→ {0,1}

1'A(x)=0, si x > -b';

1'A(x)=1, si x<= -b

L'expression de cette fonction caractéristique de b'(x)=({x |x<=-b'}) est définie de la façon suivante:

1A(x)=1A(b(x)=({x |x<= b'}))=1-⌈(x-b')/(|(x-b')|+1)⌉ (2) → (2')

1'A(x)=1'A(b'(x)={x |x<= -b'})=1-⌈(x+b')/(|(x+b')|+1)⌉ (2') → (2'')

(2'') ↔ b'(x)=1'A(x)*x=1'A(b'(x)*x={x |x<= -b'})=(1-⌈(x+b')/(|(x+b')|+1)⌉)*x (2'') →(2''')

(2''') ↔ f₁(b'(x))=({x | si x<= -b' → y= -3-b'(x) }) =( -3-1'A(x)*x )*1'A(x)=(1-⌈(x+b')/(|(x+b')|+1)⌉)*(-3-x*(1-⌈(x+b')/(|(x+b')|+1)⌉))

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉})
↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57), dans les deux expressions (2'') et (2''') de la fonction caractéristique d'une variable choisie -b=-3, supérieure ou égale à x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et notée 1A(b'(x)={x |x<=-b}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq₁'({0;1})=(0;0;1;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0); puis dans la deuxième fonction notée: b'(x)=({x |x<=-3}) ↔ a(x)=1A(b'(x))*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq₁'({0;1})*SeqAᵢ₌₁₉=(0;0;-174;0;-3;-1228,23;-959;0;0;0;0;0;0;-1244;-1244;0;0;0;0); puis dans la troisième fonction notée: f₁(b'(x))=-3-1'A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seqf₁(Seq₁'({0;1})*SeqAᵢ₌₁₉)=(0;0; 171;0 ;0; 1225,23; 956; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1241; 1241; 0; 0; 0; 0).

⁂

Soit f₂(x)=({x+3, si -b'<=x<=0}); ∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔

SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R; ∀ n ∈ N*; ∀ b' ∈ R:

1A: R→ {0,1}

1'A(x)=0, si x < -b' ∨ x > 0

1'A(x)=1, si x >= -b' ∧ x <= 0

L'expression de cette fonction caractéristique de b'(x)=({x|-b'<=x<=0}) est définie de la façon suivante:

a(n)=1'A(b'(x))=1'A(-b'<=x<=0)=⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (3') → (3'')

(3'') ↔ b'(x)=1'A(b'(x))*x=1'A(-b'<=x<=0)*x=(⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ )*x (3'') →(3''')

(3''') ↔ f₂(b'(x))=({x | si -b<=x<=0 → y= 3+b'(x) }) = (3+1'A(b'(x))*x) *1'A(b'(x))=( 3+x*( ⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈ |x| / (|x|+1)⌉|+1)⌉ +1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ))*(⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ )

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉})
↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57), dans les expressions (3'), (3'') et (3''') de la fonction caractéristique d'une variable choisie -b=-3, inférieure ou égale à x, avec x inférieur ou égale à 0, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et notée 1A(b'(x)=({x| -b'<=x<=0}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq₂'({0;1})=(0;0;1;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0); puis dans la deuxième fonction notée: b'(x)=({x|-b'<=x<=0}) ↔ a(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq₂'({0;1})*SeqAᵢ₌₁₉=(0;-0,177;0;-0,571;0;0;0;0;0;-2,99;0;0;0;0;0;0;0;0;0); puis dans la troisième fonction notée: f₂(b'(x))=3+1'A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seqf₂(Seq₂'({0;1})*SeqAᵢ₌₁₉)=(0; 2,823; 0;2,429; 0;0;0;0; 3; 0,01;0;0;0;0;0;

0;0;0;0).

⁂

Soit f₃(x)=({3-2*x, si 0<=x<=b'}); ∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...)

⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R; ∀ n ∈ N*; ∀ b' ∈ R:

1A: R→ {0,1}

1'A(x)=0, si x < 0 ∨ x > b'

1'A(x)=1, si x >= 0 ∧ x < = b'

L'expression de cette fonction caractéristique de b'(x)=({x | 0<=x<=b'}) est définie de la façon suivante:

1'A(b'(x))=1'A(0<=x<=b')=⌈(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ + 1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ (4') → (4'')

(4'') ↔b'(x)=1'A(b'(x))*x=1'A(0<=x<=b')*x=(⌈(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ + 1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉)*x (4'') →(4''')

(4''') ↔ f₃(b'(x))=({x | si 0<=x<=b'→ y= 3-2*b'(x)})= (3-2*1'A(b'(x))*x) *1'A(b'(x))=(3-2*( (⌈(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ + 1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉)*x ))*(⌈(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉})
↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57), dans les expressions (4'), (4'') et (4''') de la fonction caractéristique d'une variable choisie b=3, supérieure ou égale à x, avec x supérieur ou égale à 0, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et notée 1A(b'(x)=({x | 0<=x<=b'}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq₃'({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1); puis dans la deuxième fonction notée: b'(x)=({x | 0<=x<=b'}) ↔ a(x)=1A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq₃'({0;1})*SeqAᵢ₌₁₉=(0;0;0;0;0;0;2;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0,57); puis dans la troisième fonction notée: f₃(b'(x))=3-2*1'A(x)*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seqf₃(Seq₃'({0;1})*SeqAᵢ₌₁₉)=(0;0;0;0;0;0;-1;3;0;0;0;0;0;0;-3;0;0;1,86).

⁂

Soit f₄(x)=({0.5*x -4.5, si x > = b'}); ∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...)

⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R; ∀ n ∈ N*; ∀ b' ∈ R:

1A: R→ {0,1}

1'A(x)=0, si x < b';

1'A(x)=1, si x>= b'

L'expression de cette fonction caractéristique de b'(x)=({x |x>=b'}) est définie de la façon suivante:

1'A(x)=1'A(b'(x)={x |x>= b'})=⌈(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ (5') → (5'')

(5'') ↔ b'(x)=1'A(x)*x=1'A(b'(x)*x={x |x>= b'})*x=(⌈(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )*x (5'') →(5''')

(5''') ↔ f₄(b'(x))=({x | si x>= b' → y=0.5*b'(x) -4.5}) = ( 0.5*1'A(x)*x-4.5 )*1'A(x)=(⌈(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )*(0.5*(⌈(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )*x-4.5)

1A(x)=1A(b(x)=({x |x>=b'}))=⌈(x-b')/(|(x-b')|+1)⌉ +1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|

+1)⌉ ⌉ (6') → (6'')

(6'') ↔ b'(x)=1'A(x)*x=1'A(b'(x)*x={x |x>= b'})*x=( ⌈(x-b')/(|(x-b')|+1)⌉ +1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )*x

(6'') → (6''') ↔ f₄(b'(x))=({x | si x> = b' → y=0.5*b'(x) -4.5})= (0.5*1'A(x)*x-4.5 )*1'A(x) = (⌈(x-b')/(|(x-b')|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )*(0.5*( ⌈(x-b')/(|(x-b')|+1)⌉ +1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )*x-4.5).

⁂

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉})
↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57), dans les deux expressions (5'') et (5''') de la fonction caractéristique d'une variable choisie b=3, inférieure ou égale à x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et notée 1A(b'(x)={x |x>=b}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par Seq₄'({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;0;0;1;1;1;0); puis dans la deuxième fonction notée: b'(x)=({x |x>=3}) ↔ a(x)=1A(b'(x))*x, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}), et qui est représentée par SeqAᵢ₌₁₉ *Seq₄'({0;1})=(511; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;1244;1244; 1244.3; 0; 0; 3; 1244; 1244.3; 0); puis dans la troisième fonction notée f₄(b'(x))=({0.5*1'A(x)*x-4.5}), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}),

et qui est représentée par Seqf₄(SeqAᵢ₌₁₉ *Seq₄'({0;1})) (251; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 617,5; 617,5; 617,65; 0; 0; -3; 617,5; 617,65; 0).

⁂

2.1.c) Exemple de l'expression de la fonction caractéristique totale des sous fonction caractéristique de la fonction linéaire par morceaux : ⋃ₙ₌₁→ₙ₌∞1A(α(x)ₙ₌₁→ₙ₌∞)

"Une fonction linéaire continue par morceaux"

Nous reprenons notre exemple précédent et nous écrivons maintenant l'expression de f(x)=({-3-x, si x<= -b'; x+3, si -b'<=x<=0, 3-2*x, si 0<=x<=b'; 0.5*x-4.5, si x>= b'}), comme la fonction composée des sous fonctions de composition de f(x)=f₁(x) ∘ f₂(x) ∘ f₃(x) ∘ f₄(x), et définie de la façon suivante:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R; ∀ n ∈ N*; ∀ b' ∈ R:

f(x)= f₁(x)=({-3-x, si x<= -b') ⋃ f₂(x)=({x+3, si -b'<=x<=0}) ⋃ f₃(x)=({3-2*x, si 0<=x<=b'}) ⋃ f₄(x)=({0.5*x-4.5, si x>= b'}) = f₁(x)+ f₂(x)+f₃(x)+f₄(x)=(1-⌈(x+b')/(|(x+b')|+1)⌉)*(-3-x*(1-⌈(x+b')/(|(x+b')|+1)⌉)) + ( 3+x*( ⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈ |x| / (|x|+1)⌉|+1)⌉ +1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ))*(⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ) + (3-2*( (⌈(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ + 1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉)*x ))*(⌈(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ ) + (⌈(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )*(0.5*(⌈(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ )*x-4.5) (7') ↔ (2''') + (3''') + (4''') + (5''')

↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57), dans les 4 expressions de (7') ↔ (2''') + (3''') + (4''') + (5'''), de la fonction f(x)=({-3-x, si x<= -b'; x+3, si -b'<=x<=0, 3-2*x, si 0<=x<=b'; 0.5*x-4.5, si x>= b'}), et d'une variable choisie b'=3, (7') est représentée par: Seqf(SeqAᵢ₌₁₉ *Seqₓ'({0;1}))= (251;2,823;171;2,429;0;1225,23;956;-1;6;0,01;617,5;617,5;617,65;1241;1241;-6;617,5;617,65;1,86).

⁂

Ensuite nous définissons d'abord les propriétés générales des sous fonctions caractéristiques de f(x)=({-3-x, si x<= -b'; x+3, si -b'<=x<=0, 3-2*x, si 0<=x<=b'; 0.5*x-4.5, si x>= b'}), comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R; ∀ n ∈ N*; ∀ b' ∈ R: Si αᵢ(x)= a(x) + b(x) + c(x)+ d(x) + e(x) + f(x) + g(x)…..+Ω(x), alors:

⋃ₙ₌₁→ₙ₌∞({1A(αᵢ₌₁→ᵢ₌∞(x))})=({1A(a(x))}) ⋃ ({1A(b(x))}) ⋃ ({1A(c(x))}) ⋃ ({1A(d(x))}) ⋃ ({1A(e(x))}) ⋃ ({1A(f(x))}) ⋃ ({1A(g(x))})….⋃ ({1A(Ω(x))})=1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…..+1A(Ω(x)) (AA)

Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂,xₙ₊₃,xₙ₊₄,xₙ₊₅,
xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, dans l'expression (AA), considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₁₉({xₙ₌₁→ₙ₌₁₉}) ↔ SeqAᵢ₌₁₉=(511; -0,177; -174; -0,571; -3; -1228,23; -959; 2; 0; -2,99; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 3; 1244; 1244,3; 0,57), dans les 4 expressions de (7') ↔ (2''') + (3''') + (4''') + (5'''), de la fonction f(x)=({-3-x, si x<= -b'; x+3, si -b'<=x<=0, 3-2*x, si 0<=x<=b'; 0.5*x-4.5, si x>= b'}), et l'exemple d'une variable choisie b'=3, alors:

(AA) ↔ ⋃ₙ₌₁→ₙ₌₄({1A(αᵢ₌₁→ᵢ₌₄(x))})=({1A(f₁(x))}) ⋃ ({1A(f₂(x) )}) ⋃ ({1A(f₃(x) )}) ⋃

({1A(f₄(x))}) = (1-⌈(x+b')/(|(x+b')|+1)⌉) + (⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(b'-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ) + (⌈(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b'-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉+⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ ) + (⌈(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-b')*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-b')/(|x-b'|+1)⌉ +⌈(-x+b')/(|-x+b'|+1)⌉ ⌉ ) = (1-⌈(x+3)/(|(x+3)|+1)⌉)

+ (⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(3-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(3-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ) + (⌈(3-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(3-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1-⌈⌈(x-3)/(|x-3|+1)⌉ +⌈(-x+3)/(|-x+3|+1)⌉ ⌉ ) + (⌈(|x|-3)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-3)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-3)/(|x-3|+1)⌉ +⌈(-x+3)/(|-x+3|+1)⌉ ⌉ ) (A'A').

L'expression (A'A') est représentée par Seqₓ'({0;1})=(1;1;1;1;1;1;1;1;2;1;1;1;1;1;1;2;1;1;1) qui peut être schématisée informellement par Seq₁'({0;1})=(0;0;1;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0) ⋃

Seq₂'({0;1})=({0;0;1;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0} ⋃ Seq₃'({0;1})=({0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;

0;0;0;0;0;1}) ⋃ Seq₄'({0;1})=({1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;0;0;1;1;1;0}) = Seq'({0;1})=(1;1;1;1;1

;1;1;1;2;1;1;1;1;1;1;2;1;1;1).

Puisque nous voulons déterminer les propriétés de l'ensemble des sous fonctions ainsi que les propriétés des sous fonctions de toutes fonctions linéaires par morceaux soit αᵢ(x), remarquons que l'expression de la somme des sous fonctions caractéristiques de la fonction linéaire par morceaux dans notre exemple ci-dessus, dont le résultat est représenté par Seqₓ'({0;1})=(1;1;1;1;1;1;1;1;2;1;1;1;1;1;1;2;1;1;1), correspondant à la fonction indicatrice d'un ensemble de fonctions indicatrices, n'a pas la propriété d'être multipliable par x, pour donner l'expression de f(x) représentée par la séquence Seqf(SeqAᵢ₌₁₉ *Seqₓ'({0;1})) = (251;2,823; 171; 2,429;0; 1225,23; 956; -1;6; 0,01; 617,5; 617,5;617,65; 1241; 1241; -6;617,5; 617,65; 1,86), de même que les sous fonctions qui n'ont pas cette propriété, c'est-à-dire qu'en générale et définie comme suit:

αᵢ(x) ≠ 1A(α(x))*x (B).

1A(αᵢ(x))*x ≠(1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…..+1A(Ω(x)))*x (B').

1A(αᵢ(x))≠(1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…..+1A(Ω(x))) (B'')

Mais nous pouvons déterminer la propriété résultante de l'observation de Seqₓ '({0;1})=(1;1;1;1;1;

1;1;1;2;1;1;1;1;1;1;2;1;1;1) , l'expression (A') qui peut être schématisée informellement par Seq₁'({0;1})=(0;0;1;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0) ⋃ Seq₂'({0;1})=({0;0;1;0;1;1;1;1;0;0;0;0;

0;1;1;0;0;0;0} ⋃ Seq₃'({0;1})=({0;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1}) ⋃ Seq₄'({0;1})=({1;0;0;

0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;0;0;1;1;1;0}), comme ayant la caractéristique des intervalles joints et se chevauchant du domaine de définition de la fonction linéaire par morceaux, f(x), et donc nous pouvons déterminer la propriété en générale de cet intervalle caractéristique pour toute fonction linéaire par morceaux caractéristiques, αᵢ(x), que nous définissons comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R; ∀ n ∈ N*; soit la fonction linéaire par morceaux caractéristiques, αᵢ(x)= a(x) + b(x) + c(x)+ d(x) + e(x) + f(x) + g(x)…..+Ω(x), soit l'intervalle de αᵢ(x), noté I=[αᵢ(x)]= [a(x)] ⋃ [ b(x)] ⋃ [c(x) ] ⋃ [ d(x)] ⋃ [ e(x)] ⋃ [f(x) ] ⋃ [ g(x)] …⋃ [ Ω(x)], avec I= [a(x)] l'intervalle de la sous fonction de αᵢ(x), etc. alors la fonction caractéristique d'intervalles de αᵢ(x) est définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

1A( 1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) +1A(g(x))

…+1A(Ω(x)) ) =0, si [a(x)] ∩ [ b(x)] ∨ [ b(x)] ∩ [c(x) ] ∨ [c(x) ] ∩ [ d(x)] ∨ [ d(x)] ∩ [ e(x)] ∨ [ e(x)] ∩ [f(x) ] ∨ [f(x) ] ∩ [ g(x)] ∨ [ g(x)] …∩ [ Ω(x)]=0

1A(1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…..+1A(Ω(x)))=1, si [a(x)] ∩ [ b(x)] ∨ [ b(x)] ∩ [c(x) ] ∨ [c(x) ] ∩ [ d(x)] ∨ [ d(x)] ∩ [ e(x)] ∨ [ e(x)] ∩ [f(x) ] ∨ [f(x) ] ∩ [ g(x)] ∨ [ g(x)] …∩ [ Ω(x)] ≠ 1

L'expression de cette fonction caractéristique de (1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…..+1A(Ω(x))), 1A(1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…+1A(Ω(x))), considérant les conditions précédemment données, est maintenant définie de la façon suivante:

1'A(x)=1A(1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…..+1A(Ω(x)))=⌈ |( 1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…..+1A(Ω(x)) )-1| / ( | ( 1A(a(x)) + 1A(b(x)) + 1A(c(x)) + 1A(d(x)) + 1A(e(x)) + 1A(f(x)) + 1A(g(x))…..+1A(Ω(x)) )-1|+1) ⌉ (29)

⁂

Reprenons l'exemple précédent de Seqₓ'({0;1})=(1;1;1;1;1;1;1;1;2;1;1;1;1;1;1;2;1;1;1), la représentation de l'expression de (A'A') comme ayant la caractéristique des intervalles joints et se chevauchant du domaine de définition de la fonction linéaire par morceaux, fᵢ₌₄(x) pour écrire cette fonction caractéristique d'intervalles de fᵢ₌₄(x), et qui est notée I=[fᵢ₌₄(x)]=[f₁(x)] ⋃ [ f₂(x)]

⋃ [f₃(x)] ⋃ [f₄(x)], avec, I=[f₁(x)] l'intervalle de la première sous fonction de fᵢ₌₄(x), etc. , une fonction caractéristique d'intervalle qui est définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

1A( 1A(f₁(x)) + 1A(f₂(x)) + 1A(f₃(x)) + 1A(f₄(x)) ) =0, si {[f₁(x)] ∩ [ f₂(x) ] ∨ [ f₂(x)] ∩ [f₃(x)] ∨ [f₃(x)] ∩ [ f₄(x)]} =∅

1A( 1A(f₁(x)) + 1A(f₂(x)) + 1A(f₃(x)) + 1A(f₄(x)) )=1, si {[f₁(x)] ∩ [ f₂(x) ] ∨ [ f₂(x)] ∩ [f₃(x)] ∨ [f₃(x)] ∩ [ f₄(x)]} ≠∅

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(f₁(x)) + 1A(f₂(x)) + 1A(f₃(x)) + 1A(f₄(x)) est définie de la façon suivante:

1'A(x)=1A(1A(f₁(x))+1A(f₂(x))+1A(f₃(x))+1A(f₄(x)))=⌈ | (1A(f₁(x))+1A(f₂(x))+1A(f₃(x)) +1A(f₄(x)) )-1| / ( | (1A(f₁(x))+1A(f₂(x))+1A(f₃(x)) +1A(f₄(x)) )-1|+1) ⌉ (29) ↔ (29)'

(29)'↔ 1'A(x)=1A(1A(f₁(x))+1A(f₂(x))+1A(f₃(x))+1A(f₄(x)))=⌈ | ( (1-⌈(x+3)/(|(x+3)|+1)⌉) + (⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(3-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(3-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ) + (⌈(3-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(3-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1-⌈⌈(x-3)/(|x-3|+1)⌉ +⌈(-x+3)/(|-x+3|+1)⌉ ⌉ ) + (⌈(|x|-3)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-3)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-3)/(|x-3|+1)⌉ +⌈(-x+3)/(|-x+3|+1)⌉ ⌉ ) )-1| / ( | ( (1-⌈(x+3)/(|(x+3)|+1)⌉) + (⌈(⌈x/(|x|+1)⌉-(3-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉)/(|⌈x/(|x|+1)⌉-(3-|x|)*⌈|x|/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ) + (⌈(3-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(3-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1-⌈⌈(x-3)/(|x-3|+1)⌉ +⌈(-x+3)/(|-x+3|+1)⌉ ⌉ ) + (⌈(|x|-3)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-3)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈⌈(x-3)/(|x-3|+1)⌉ +⌈(-x+3)/(|-x+3|+1)⌉ ⌉ ) )-1|+1) ⌉ (29)'

L'expression (29') est représentée par Seqₓ''({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0).

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III) LES FONCTIONS INDICATRICES DE POINTES

Table des Matières

6: 2'A II FONCTIONS INDICATRICES DE PENTES ET DE POINTES

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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I) LES FONCTIONS INDICATRICES DE PENTES SIMPLES

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1.1) Les fonctions rampes caractéristiques simples:

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1.1.a) La fonction de rampe positive caractéristique: R₊(x)

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1.1.b) La fonction de rampe négative caractéristique: R₋(x)

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1.1.c) La fonction d'impulsions d'unité : ∆₁(H₁(x))

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1.1.d) La fonction discrète d'unité d'impulsion entre 0 et 1: ∆½(H½(x))

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1.1.f) La fonction chapeau ou triangulaire: tri(x)

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1.1.g) La fonction linéaire par morceaux caractéristiques valeur absolue: |x|

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II) LES FONCTIONS INDICATRICES DE PENTES MULTIPLES

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2.1) Les fonctions linéaires par morceaux caractéristiques multiples:

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2.1.a) La fonction de composition linéaire par morceaux caractéristiques: ⋃ₙ₌₁→ₙ₌∞1A(α(x)ₙ₌₁→ₙ₌∞)

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2.1.a) La fonction de composition linéaire par morceaux caractéristiques:
⋃ₙ₌₁→ₙ₌∞1A(α(x)ₙ₌₁→ₙ₌∞)