∴
Article de cette rubrique en cours de rédaction!
∴
© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
∴
L'origine de l'usage du terme de "Congruence" est datée de 1374 et son ethymologie vient du latin classique d’époque impériale congruentia, « accord, conformité, convenance ». Lui-même du latin congruens, Participe présent du verbe latin congruo (« converger, concorder »). Le mot a eu un regain d’usage au milieu XIXe grâce aux mathématiques plus particulièrement en Arithmétique ou la congruence est définie comme la relation entre deux nombres tels que leur différence est le multiple d'un troisième nombre. En arithmétique modulaire, la congruence signifie la relation entre deux nombres ayant le même reste lorsqu'il est divisé par un entier spécifié. Par extension en Algèbre la congruence est définie comme la relation entre deux éléments x et y d’un anneau ou d’un groupe tels que x-y appartienne, respectivement, à un idéal ou un sous-groupe. En Géométrie Euclidienne le terme est un Anglicisme et la congruence est définie comme la relation entre figures planes semblables (homothétiques). En Géométrie Riemannienne la congruence est l'ensemble des courbes intégrales associées à un champ de vecteurs.
∴
En algèbre abstraite, une relation de congruence (ou simplement de congruence) est une relation d'équivalence sur une structure algébrique (telle qu'un groupe , un anneau ou un espace vectoriel) qui est compatible avec la structure dans le sens où les opérations algébriques effectuées avec des éléments équivalents donneront éléments équivalents. Chaque relation de congruence a une structure de quotient correspondante, dont les éléments sont les classes d'équivalence (ou classes de congruence) pour la relation.L'exemple prototypique d'une relation de congruence est la congruence modulo n sur l'ensemble des entiers.Pour un entier positif donné n, deux entiers a et b sont appelés modulo congrus n, écrit a ≡ b (mod n), si a-b est divisible par n (ou de manière équivalente si a et b ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par n). Par exemple, 37 et 57 sont congrus modulo dix, 37 ≡ 57( mod10 ), car 37−57 = − 20 est un multiple de 10, ou de manière équivalente puisque les deux nombres 37 et 57 ont le meme reste de 7 lorsqu'ils sont divisés par dix
∴
Modulo est un jargon mathématique qui a été introduit dans les mathématiques dans le livre Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss en 1801. Étant donné les entiers a, b et n, l'expression "a ≡ b (mod n)", prononcée "a est congru à b modulo n", signifie que a - b est un multiple entier de n, ou de manière équivalente, a et b les deux partagent le même reste lorsqu'ils sont divisés par n. C'est l'ablatif latin de module, qui lui-même signifie « une petite mesure ».Gauss avait initialement prévu d'utiliser "modulo" comme suit : étant donné les entiers a, b et n, l'expression a ≡ b (mod n) (prononcé "a est congru à b modulo n") signifie que a-b est un multiple entier de n , ou de manière équivalente, a et b laissent tous deux le même reste lorsqu'ils sont divisés par n. Par exemple:
13 est congru à 63 modulo 10 signifie que 13−63 est un multiple de 10 (équiv., 13 et 63 diffèrent d'un multiple de 10).
La relation de congruence est une relation d'équivalence. La classe d'équivalence modulo n d'un entier a est l'ensemble de tous les entiers de la forme a+ kn, où k est un entier quelconque. Elle est appelée classe de congruence ou classe de résidus d'un modulo n, et peut être notée (a mod n), ā, ou [a] lorsque le module ʼn est connu à partir du contexte.
Chaque classe de résidus modulo n contient exactement un entier dans l'intervalle 0,..., n−1. Ainsi, ces n entiers sont représentatifs de leurs classes de résidus respectives.
Il est généralement plus facile de travailler avec des entiers qu'avec des ensembles d'entiers; c'est-à dire les représentants les plus souvent considérés, plutôt que leurs classes de résidus.
Par conséquent (a mod n) désigne généralement l'unique entier k tel que 0 < k < n et k = a (mod n); C'est ce qu'on appelle le résidu d'un modulo n. En particulier (a mod n) = (b mod n) équivaut à a = b (mod n), et cela explique pourquoi «=» est souvent utilisé à la place de "≡" dans ce contexte.