Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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I LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SOUS SEGMENTATIONS QUASI GÉNÉRALES
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Nous continuons donc dans ce nouveau titre notre catégorisation des fonctions indicatrices, et après la première catégorie des fonctions caractéristiques de segmentations équivalentes à la fonction caractéristique d'appartenance, la deuxième catégorie de la fonction caractéristique de segmentation fondamentale, la troisième catégorie des fonctions caractéristiques de sous segmentations fondamentales nulles et non nulles, la quatrième catégorie des fonctions caractéristiques de segmentations quasi fondamentales, la cinquième catégorie des fonctions caractéristiques de sous segmentations quasi fondamentales, nous considérons ensuite dans cette nouvelle catégorisation des fonctions indicatrices, la sixième catégorie qui est celle que j'ai appelée "les fonctions caractéristiques de sous segmentations quasi générales", en explicitant tout d'abord le terme de "quasi". En effet ce terme est justifié dans cette dernière catégorie car elle présente une forme "quasi" c'est à dire presque identique à celle des expressions de sous segmentations générales, mais qui sont encore restreintes dans leurs formes parce que nous ne progressons pas vers l'émancipation totale des contraintes des conditions existantes à nos expressions des fonctions caractéristiques de segmentations, parce que leur nombre ne diminue pas et donc nous n'écrivons pas encore des expressions complètement émancipées de toutes contraintes, comme celles de la catégorie finale des expressions générales par contre le sera. Nos expressions ont encore des conditions comme précédemment celles des fonctions caractéristiques de sous segmentations quasi fondamentales, et ici dans cette nouvelle catégorie elles sont au nombre de trois. La première est celle de la position séquentielle de centralité correspondant à la moyenne arithmétique des valeurs des cardinaux des sous-ensembles d'éléments à valeur 0 ou 1, divisé par deux et répartis à chaque extrémité "segmentale" c'est-à-dire de la représentation séquentielle soit de la sous suite de nombres de valeurs 1 soit de valeurs 0; la deuxième étant celle encore de la tendance à devenir une fonction caractéristique de segmentation fondamentale ce qui visuellement correspond dans la représentation séquentielle à avoir plus d'éléments de valeurs non nulles vers le début de la séquence correspondant à l'élément dont le résultat de la fonction d'index de position est 1 que vers le dernier élément non nul de la séquence c'est-à-dire l'élément dont la fonction d'index de position est supérieure à toutes les autres valeurs des éléments de valeurs non nulles précédents; la troisième et dernière condition est celle qui est toujours omniprésente dans toutes les expressions des fonctions de segmentation, soit qu’à toutes opérations des fonctions caractéristiques de segmentations ou de sous segmentations résulte dans des valeurs des cardinaux des éléments de l'ensemble ou des deux sous-ensembles des éléments de valeurs nulles et non nulles qui sont toujours égaux à la valeur des cardinaux des éléments des ensembles et sous-ensembles sur lequel sont effectués ces opérations.
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Ci-dessus mon illustration "d'artiste" (il manque les parenthèses délimitant le début et la fin de la séquence, ainsi que les séparateurs des éléments de la séquence, qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation séquentielle de trois types de fonctions caractéristiques de sous segmentations équilibrées quasi générales non nulles et nulles des trois premières fonctions caractéristiques représentées au-dessus d'elles.
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1.1 Les fonctions caractéristiques de sous segmentations équilibrées quasi générales non nulles et nulles
Après cette présentation générale nous considérons maintenant plus précisément cette catégorie faite de deux doubles fonctions de sous segmentations avec les fonctions caractéristiques de segmentations équilibrées quasi générales non nulles et nulles. La première est notée SGMTEQGNRLNNL([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]) ↔ 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p), et elle est définie généralement comme la fonction indicatrice de n'importe quelles suites de nombres qui sont caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments de valeurs non nuls et de valeurs d'indexe de position supérieure, inférieure ou égale aux deux valeurs de deux variables choisies de la fonction d'indexe de position de deux éléments de l'ensemble; mais aussi définie comme la sous suite d'éléments de valeurs 1 correspondantes à un segment centré tendant vers le début de la séquence et dont le cardinal est égal au maximum de fois possible que peut être répétée la quantité d'éléments de valeurs 1. Son expression est équivalente à la fonction caractéristique de translations de mouvement séquentiel de plusieurs éléments d'une séquence dont les valeurs appartiennent toutes au sous-ensemble {1}, elle même équivalente à la fonction caractéristique de la fonction d'index de position de plusieurs éléments, et que nous définissons enfin par le processus en deux étapes comme suit:
La première étape consiste à définir tout d'abord l'expression de 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p), expression partielle de la fonction caractéristique de segmentation quasi générale, sans que son expression ne tienne compte de la deuxième condition de répétition de la quantité d'éléments de la sous séquence, tant que cette quantité n'est pas supérieure à la valeur du cardinal de tous les éléments de l'ensemble soit la somme des éléments à valeurs non nulles et à valeurs nulles; ainsi que de la troisième condition de centralité segmentale, et expression définie comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ⊆ {0;1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors la fonction caractéristique de la fonction d'index de plusieurs éléments successifs égaux à 1 appartenant à une séquence de nombres à valeur dans l'ensemble {0;1} est notée de la façon suivante:
1A: N→ {0;1}
- 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p)=0, si nᵢ*xᵢ>p ∨ nᵢ*xᵢ <=a
- 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p)=1, si nᵢ*xᵢ <= p ∧ nᵢ*xᵢ >= a+1
L'expression de cette fonction caractéristique ,1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1})), notée plus simplement 1A(a <INDEX(xₙ) <= p), de la fonction d'index de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤ nᵢ*xᵢ ≤ a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est définie comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1 et p=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card( SeqX'ᵢ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a'=card(SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:
1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ])=(⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (3) ↔ (3)'
1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ])=(⌈|n/(a+a'+1) -1|⌉-⌈n/(a+a'+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (3)'
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Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1} ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<=p; p-a >1 et p-a=a', donc considérons l'exemple des valeurs de variable de a=8 et a'=5, et en remplaçant dans l'expression (3), soit, 1A(INDEX([xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈] ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈]| xᵢ=1}))
=(⌈|n/(8+1+5)-1|⌉-⌈n/(8+1+5)⌉+1) -(⌈|n/(8+1) -1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) dont la représentation est la séquence, SeqAᵢ=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0...).
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Alors, ayant définie l'expression de cette fonction caractéristique,1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1})), notée plus simplement 1A(a <INDEX(xₙ) <= p), de la fonction d'indexe de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤ nᵢ*xᵢ ≤ a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), dans la deuxième étape il nous reste maintenant à définir à nouveau l'expression de la fonction caractéristique de segmentation générale notée, SGMTEQGNRLNNL( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ↔ 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p) en tenant compte cette fois ci de la deuxième condition de répétition de la quantité d'éléments de la sous séquence, tant que cette quantité n'est pas supérieure à la valeur du cardinal de tous les éléments de l'ensemble soit la somme des éléments à valeurs non nulles et à valeurs nulles, ainsi que de la troisième condition de centralité segmentale, ce qui revient à changer la valeur des variables de a et de p par le cardinal des éléments de valeurs nulles et de valeurs non nulles, ce que nous définissons comme suit:
Card(SeqA'ᵢ₌ₙ₊∞)={1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq({0;1})ᵢ₌ₙ₊∞=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1....)}=( (∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) + (∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) )=α+β
( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=α
( ∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=β
a=⌈β/2⌉
p=α+⌈β/2⌉
SGMTQEGNRLNNL([xᵢ₌ₐ₊₁; x₌ₚ])=1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(p+1) -1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)= (⌈|n/(α+⌈β/2⌉ +1) -1|⌉ - ⌈n/(α+⌈β/2⌉ +1)⌉+1)-(⌈|n/(⌈β/2⌉ +1) -1|⌉ - ⌈n/(⌈β/2⌉ +1)⌉+1)
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Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1} ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<=p; p-a >1 et p-a=a', donc considérons l'exemple des valeurs de variable de a=8 et a'=5, et en remplaçant dans l'expression (3), soit, 1A(INDEX([xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈] ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈]| xᵢ=1}))
=(⌈|n/(8+1+5)-1|⌉-⌈n/(8+1+5)⌉+1) -(⌈|n/(8+1) -1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) dont la représentation est la séquence, SeqAᵢ=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0...…..).
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Rappelons que dans la sixième catégorie qui est celle que j'ai appelée fonctions caractéristiques de segmentations équilibrées quasi générales", il y en deux la première non nulle et la deuxième nulle, et notée SGMTEQGNRLNL([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]) ↔ 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p), qui est définie d'abord comme la fonction indicatrice de n'importe quelles suites de nombres qui sont caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments de valeurs nuls et de valeurs d'indexe de position supérieure, inférieure ou égale aux deux valeurs de deux variables choisies de la fonction d'indexe de position de deux éléments de l'ensemble; mais aussi définie comme la sous suite d'éléments de valeurs 1 correspondantes à un segment centré tendant vers le début de la séquence et dont le cardinal est égal au maximum de fois possible que peut être répétée la quantité d'éléments de valeurs 1. Son expression est équivalente à la fonction caractéristique de translations de mouvement séquentiel de plusieurs éléments d'une séquence dont les valeurs appartiennent toutes au sous-ensemble {1}, elle même équivalente à la fonction caractéristique de la fonction d'index de position de plusieurs éléments, et que nous définissons enfin par le même processus en deux étapes que précédemment mais surtout avec exactement les mêmes expressions que dans la première étape, tandis que la deuxième étape nous écrivons en partie de nouvelles expressions définies, comme suit:
Card(SeqA'ᵢ₌ₙ₊∞)={1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq({0;1})ᵢ₌ₙ₊∞=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1....)}=( (∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) + (∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) )=α+β
( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=α
( ∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=β
a=⌈α/2⌉
p=β+⌈α/2⌉
SGMTEQGNRLNL([xᵢ₌ₐ₊₁; x₌ₚ])=1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(p+1) -1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)=(⌈|n/(β+⌈α/2⌉+1) -1|⌉ - ⌈n/(β+⌈α/2⌉+1)⌉+1)-(⌈|n/(⌈α/2⌉ +1) -1|⌉ - ⌈n/(⌈α/2⌉ +1)⌉+1)
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Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1} ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<=p; p-a >1 et p-a=a', donc considérons l'exemple des valeurs de variable de a=8 et a'=5, et en remplaçant dans l'expression (3), soit, 1A(INDEX([xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈] ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈]| xᵢ=1}))
=(⌈|n/(8+1+5)-1|⌉-⌈n/(8+1+5)⌉+1) -(⌈|n/(8+1) -1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) dont la représentation est la séquence, SeqAᵢ=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0...…..).
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Ci-dessus mon illustration "d'artiste" (il manque les parenthèses délimitant le début et la fin de la séquence, ainsi que les séparateurs des éléments de la séquence, qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation séquentielle de trois types de fonctions caractéristiques de sous segmentations avancées quasi générales non nulles et nulles des trois premières fonctions caractéristiques représentées au-dessus d'elles.
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1.2 Les fonctions caractéristiques de sous segmentations avancées quasi générales non nulles et nulles
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Après cette présentation générale nous considérons maintenant plus précisément cette catégorie faite de deux doubles fonctions de sous segmentations avec les fonctions caractéristiques de segmentations équilibrées quasi générales non nulles et nulles. La première est notée SGMTEQGNRLNNL([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]) ↔ 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p), car il y en deux qui sont les "fonctions caractéristiques de segmentations avancée quasi générales nulles et non nulles, et dont la première est notée
SGMTAQGNRLNNL([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]) ↔ 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p). Elle est définie d'abord comme la fonction indicatrice de n'importe quelles suites de nombres qui sont caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments de valeurs non nuls et de valeurs d'indexe de position supérieure, inférieure ou égale aux deux valeurs de deux variables choisies de la fonction d'indexe de position de deux éléments de l'ensemble; mais aussi définie comme la sous suite d'éléments de valeurs 1 correspondantes à un segment centré tendant vers le début de la séquence et dont le cardinal est égal au maximum de fois possible que peut être répétée la quantité d'éléments de valeurs 1. Son expression est équivalente à la fonction caractéristique de translations de mouvement séquentiel de plusieurs éléments d'une séquence dont les valeurs appartiennent toutes au sous-ensemble {1}, elle même équivalente à la fonction caractéristique de la fonction d'index de position de plusieurs éléments, et que nous définissons enfin par le processus en deux étapes comme suit:
La première étape consiste à définir tout d'abord l'expression de 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p), expression partielle de la fonction caractéristique de segmentation quasi générale, sans que son expression ne tienne compte de la deuxième condition de répétition de la quantité d'éléments de la sous séquence, tant que cette quantité n'est pas supérieure à la valeur du cardinal de tous les éléments de l'ensemble soit la somme des éléments à valeurs non nulles et à valeurs nulles; ainsi que de la troisième condition de centralité segmentale, et expression définie comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ⊆ {0;1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors la fonction caractéristique de la fonction d'index de plusieurs éléments successifs égaux à 1 appartenant à une séquence de nombres à valeur dans l'ensemble {0;1} est notée de la façon suivante:
1A: N→ {0;1}
- 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p)=0, si nᵢ*xᵢ>p ∨ nᵢ*xᵢ <=a
- 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p)=1, si nᵢ*xᵢ <= p ∧ nᵢ*xᵢ >= a+1
L'expression de cette fonction caractéristique ,1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1})), notée plus simplement 1A(a <INDEX(xₙ) <= p), de la fonction d'index de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤ nᵢ*xᵢ ≤ a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est définie comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1 et p=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card( SeqX'ᵢ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a'=card(SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:
1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ])=(⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (3) ↔ (3)'
1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ])=(⌈|n/(a+a'+1) -1|⌉-⌈n/(a+a'+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (3)'
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Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1} ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<=p; p-a >1 et p-a=a', donc considérons l'exemple des valeurs de variable de a=8 et a'=5, et en remplaçant dans l'expression (3), soit, 1A(INDEX([xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈] ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈]| xᵢ=1}))
=(⌈|n/(8+1+5)-1|⌉-⌈n/(8+1+5)⌉+1) -(⌈|n/(8+1) -1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) dont la représentation est la séquence, SeqAᵢ=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0...…..).
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Alors, ayant ayant maintenant précédemment définie l'expression de cette fonction caractéristique,1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1})), notée plus simplement 1A(a <INDEX(xₙ) <= p), de la fonction d'indexe de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤ nᵢ*xᵢ ≤ a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), dans la deuxième étape il nous reste maintenant à définir à nouveau l'expression de la fonction caractéristique de segmentation générale notée, SGMTAQGNRLNNL( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ↔ 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p) en tenant compte cette fois ci de la deuxième condition de répétition de la quantité d'éléments de la sous séquence, tant que cette quantité n'est pas supérieure à la valeur du cardinal de tous les éléments de l'ensemble soit la somme des éléments à valeurs non nulles et à valeurs nulles, ainsi que de la troisième condition de centralité segmentale, ce qui revient à changer la valeur des variables de a et de p par le cardinal des éléments de valeurs nulles et de valeurs non nulles, ce que nous définissons comme suit:
Card(SeqA'ᵢ₌ₙ₊∞)={1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq({0;1})ᵢ₌ₙ₊∞=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1....)}=( (∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) + (∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) )=α+β
( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=α
( ∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=β
a=⌊(α+β mod(α))/2⌋
p=α*(α+β-(α+β mod(α)))/α+⌊((α+β mod(α))/2⌋
SGMTAQGNRLNNL([xᵢ₌ₐ₊₁; x₌ₚ])=1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(p+1) -1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)= (⌈|n/((α*(α+β-(α+β mod(α)))/α+⌊((α+β mod(α))/2⌋)+1)-1|⌉ -⌈n/((α*(α+β-(α+β mod(α)))/α+⌊((α+β mod(α))/2⌋ )+1)⌉+1)-(⌈|n/(⌊(α+β mod(α))/2⌋ +1) -1|⌉ - ⌈n/(⌊(α+β mod(α))/2⌋ +1)⌉+1)
⁂
Rappelons que dans la sixième catégorie que j'ai appelée "des fonctions caractéristiques de segmentations avancée quasi générales", car il y en deux dont la deuxième
est notée SGMTAQGNRLNL([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]) ↔ 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p), est définie d'abord comme la fonction indicatrice de n'importe quelles suites de nombres qui sont caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments de valeurs nuls et de valeurs d'indexe de position supérieure, inférieure ou égale aux deux valeurs de deux variables choisies de la fonction d'indexe de position de deux éléments de l'ensemble; mais aussi définie comme la sous suite d'éléments de valeurs 1 correspondantes à un segment centré tendant vers le début de la séquence et dont le cardinal est égal au maximum de fois possible que peut être répétée la quantité d'éléments de valeurs 1. Son expression est équivalente à la fonction caractéristique de translations de mouvement séquentiel de plusieurs éléments d'une séquence dont les valeurs appartiennent toutes au sous-ensemble {1}, elle même équivalente à la fonction caractéristique de la fonction d'index de position de plusieurs éléments, et que nous définissons enfin par le processus en deux étapes comme suit:
Card(SeqA'ᵢ₌ₙ₊∞)={1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq({0;1})ᵢ₌ₙ₊∞=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1....)}=( (∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) + (∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) )=α+β
( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=α
( ∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=β
a=⌊(α+β mod(β))/2⌋
p=β*(α+β-(α+β mod(β)))/β+⌊((α+β mod(β))/2⌋
SGMTAQGNRLNL([xᵢ₌ₐ₊₁; x₌ₚ])=1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(p+1) -1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)=(⌈|n/(β*(α+β-(α+β mod(β)))/β+⌊((α+β mod(β))/2⌋+1) -1|⌉ - ⌈n/(β*(α+β-(α+β mod(β)))/β+⌊((α+β mod(β))/2⌋+1)⌉+1)-(⌈|n/(⌊(α+β mod(β))/2⌋+1) -1|⌉ - ⌈n/(⌊(α+β mod(β))/2⌋+1)⌉+1)
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II LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SOUS SEGMENTATIONS GÉNÉRALES
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Ci-dessus mon illustration "d'artiste" (il manque les parenthèses délimitant le début et la fin de la séquence, ainsi que les séparateurs des éléments de la séquence, qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation séquentielle de trois types de fonctions caractéristiques de sous segmentations générales non nulles et nulles des trois premières fonctions caractéristiques représentées au-dessus d'elles.
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2.1 Les fonctions caractéristiques de sous segmentations générales nulles et non nulles
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Maintenant pour déterminer l'expression de cette fonction de translation caractéristique de plusieurs éléments d'une séquence dont les valeurs appartiennent toutes au sous-ensemble {0;1}, nous allons comme précédemment définir la fonction d'index de plusieurs éléments pour définir la fonction de quantité de translation de mouvement de plusieurs éléments pour ensuite définir la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments, ainsi que la fonction de translation de mouvement réflexive de plusieurs éléments, qui sont pour ces quatre fonctions, comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ⊆ {0;1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors la fonction caractéristique de la fonction d'index de plusieurs éléments successifs égaux à 1 appartenant à une séquence de nombres à valeur dans l'ensemble {0;1} est notée de la façon suivante:
1A: N→ {0,1}- 1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=0, si nᵢ*xᵢ>p ∨ nᵢ*xᵢ <=a
- 1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=1, si nᵢ*xᵢ <= p ∧ nᵢ*xᵢ >= a+1
L'expression de cette fonction caractéristique de la fonction d'index de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤ nᵢ*xᵢ ≤ a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est définie comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1 et p=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a,c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a'=card(SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:
1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(p+1) -1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1) (3)
1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(a+a'+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+a'+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1) (3)'
Maintenant pour déterminer l'expression de cette fonction de translation caractéristique de plusieurs éléments d'une séquence dont les valeurs appartiennent toutes au sous-ensemble {0;1}, nous allons comme précédemment définir la fonction d'index de plusieurs éléments pour définir la fonction de quantité de translation de mouvement de plusieurs éléments pour ensuite définir la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments, ainsi que la fonction de translation de mouvement réflexive de plusieurs éléments, qui sont pour ces quatre fonctions, comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ⊆ {0;1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors la fonction caractéristique de la fonction d'index de plusieurs éléments successifs égaux à 1 appartenant à une séquence de nombres à valeur dans l'ensemble {0;1} est notée de la façon suivante:
1A: N→ {0,1}
- 1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=0, si nᵢ*xᵢ>p ∨ nᵢ*xᵢ <=a
- 1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=1, si nᵢ*xᵢ <= p ∧ nᵢ*xᵢ >= a+1
L'expression de cette fonction caractéristique de la fonction d'index de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤ nᵢ*xᵢ ≤ a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est définie comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1 et p=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a,
c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments
appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a'=card(SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:
1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(p+1) -1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1) (3)
1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(a+a'+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+a'+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1) (3)'
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=(⌈|n/(8+1+5)-1|⌉-⌈n/(8+1+5)⌉+1) -(⌈|n/(8+1) -1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) dont la représentation est la séquence, SeqAᵢ=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0...…..).
Ci-dessus mon illustration "d'artiste" (il manque les parenthèses délimitant le début et la fin de la séquence, ainsi que les séparateurs des éléments de la séquence, qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation séquentielle de trois types de fonctions caractéristiques de sous segmentations originales générales non nulles et nulles des trois premières fonctions caractéristiques représentées au-dessus d'elles.
⁂
2.2 Les fonctions caractéristiques de sous segmentations originales générales
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Donc, nous continuons dans ce nouveau titre notre catégorisation des fonctions indicatrices, et nous considérons ensuite dans cette nouvelle catégorisation générale des fonctions indicatrices, après la deuxième catégorie des fonctions caractéristiques de segmentations, la troisième catégorie qui est celle que j'ai appelée "la fonction caractéristique de sous segmentations ", notée:
SOUSGMTGNRL( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₚ] ) ↔ 1A(xₙ), et définie comme la fonction indicatrice de n'importe quelles suites de nombres qui sont caractéristiques d'un segment de valeurs supérieures, inférieures ou égales à une variable de position choisie, et définie comme suit:
1A: E→ {0,1}:
- 1A(xₙ)=1, si xₙ<=p
- 1A(xₙ)=0, si xₙ>p
L'expression de cette fonction indicatrice des éléments xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ), est définie comme suit :
∀ xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ) ⊆ R, ∀ n ∈ N*, ∀ p ∈ N*, avec p=Card( Seq=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ)) , et Sgmtval(xₙ→ₙ₌ₚ) ↔1A(xₙ):
1A(xₙ)=⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1 (a₃).
Ou bien encore la fonction indicatrice inverse, soit:
1A: E→ {0,1}:
- 1A(xₙ)=0, si xₙ<=p
- 1A(xₙ)=1, si xₙ>p
L'expression de cette fonction indicatrice des éléments xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ), est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ) ⊆ R, ∀ n ∈ N*, ∀ p ∈ N*, avec p=Card( Seq=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ)), et Sgmtval(xₙ₌ₚ₊₁→ₙ₌∞) ↔1-1A(xₙ):
1-1A(xₙ)=1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)=⌈n/(p+1)⌉-⌈|n/(p+1)-1|⌉ (a₄).
⁂
Prenons un exemple, avec la segmentation caractéristique du segment de valeurs inférieures ou égales à la quatrième valeur d'une suite de nombres représentée par SeqXₙ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...) en général et en particulier par SeqAᵢ₌₂₃=(511; 177; 174; 571; 152; 1228; 959; 60; 555; 199; 1244; 1244; 1244; 1244; 1244; 1244; 1244; 1244; 57; 138; 250; 12171; 499). Donc en remplaçant par les valeurs de SeqAᵢ₌₂₃ dans l'expression précédente (a₃), comme suit:
∀ n ∈ N*, et avec p=4, soit Sgmtval(xₙ→ₙ₌₄) ↔ 1A(xₙ₌₄):
1A(xₙ₌₄)=⌈|n/(4+1)-1|⌉-⌈n/(4+1)⌉+1= ⌈|n/5-1|⌉-⌈n/5⌉ +1, dont la représentation est la séquence Seq{1;0}=(1;1;1;1;0;0;0;0;0;0...…). Nous obtenons la segmentation caractéristique de la quatrième valeur de SeqAᵢ₌₂₃, soit l'expression:
1A(xₙ₌₄)*SeqAᵢ₌₂₃=(⌈|n/5-1|⌉-⌈n/5⌉ +1)*xₙ, de représentation comme suit:
1A(xₙ₌₄)*SeqAᵢ₌₂₃=(⌈|n/5-1|⌉-⌈n/5⌉ +1)*xₙ, de représentation comme suit:
SeqAᵢ₌₂₃=(511;177;174;571;0; 0; 0; 0, 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).
⁂
Ci-dessus mon illustration "d'artiste" (il manque les parenthèses délimitant le début et la fin de la séquence, ainsi que les séparateurs des éléments de la séquence, qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation séquentielle de trois types de fonctions caractéristiques de sous segmentations générales nulles et non nulles des trois premières fonctions caractéristiques représentées au-dessus d'elles.
⁂
2.3 Les fonctions caractéristiques de sous segmentations générales
Card(SeqA'ᵢ₌ₙ₊∞)={1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq({0;1})ᵢ₌ₙ₊∞=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1....)}=( (∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) + (∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) )=α+β
( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=α
( ∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] )=β
∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ