Table des Matières

9: 2A Les Nouvelles Fonctions Caractéristiques Simples Non Usuelles Extraordinaires: Les fonctions caractéristiques d'annulations, de segmentations, de terminaisons et d'indexations.


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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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 © "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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"Une fonction caractéristique ou indicatrice est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E, et qui est notée 1A, (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule). Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E est une fonction:

1A: E→ {0,1}
  • x↦ 1 si x ∈ E: 1A(x)=1
  • x↦ 0 si x ∉ E: 1A(x)=0"
Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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USUEL, -ELLE, adj. et subst. masc.. − Adj. Qui est d'un usage courant; qui sert ordinairement, habituellement; qui se rencontre couramment. Synonyme de commun, courant, familier, usité. Extrait du trésor de la langue française informatisée.

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I) LES NOUVELLES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES SIMPLES: NON USUELLES ?

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Rappelons qu'une fonction simple est "une fonction numérique définie comme certaines fonctions qui ont une dénomination usuelle, dépendant éventuellement d'un ou plusieurs paramètres numériques, qui les définissent précisément. Il peut s'agir de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, voire de fonctions arithmétiques dont l'image est constituée d'un nombre fini de valeurs réelles (ou éventuellement complexes) comme une fonction étagée qui est une fonction simple définie sur un espace mesurable et qui est elle-même une fonction mesurable, ou comme une fonction en escalier qui est une fonction étagée définie sur l’ensemble des réels et dont les valeurs (réelles) sont constantes sur des intervalles, et qui sont donc des fonctions constantes par morceaux. Dans les trois acceptions, chacune de ces fonctions peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques". C'est cette dernière propriété fondamentale des fonctions simples d'avoir pour expression une combinaison linéaire d'expression de fonctions caractéristiques, qui permet d'écrire celles qui parmi toutes les fonctions caractéristiques et leurs combinaisons linéaires sont non usuelles parce qu'elles ne sont pas identifiées couramment, ce que j'entreprends ici de faire non pas pour les rendre simplement usuelles, mais beaucoup plus en les rendant extraordinaires pour qu'elles appartiennent à la catégorie des fonctions arithmétiques. Rappelons qu'en théorie des nombres, "une fonction arithmétique, arithmétique ou théorique des nombres est pour la plupart des auteurs toute fonction f(n) dont le domaine est constitué des entiers positifs qui constituent un sous-ensemble des nombres complexes. Hardy et Wright incluent dans leur définition l'exigence selon laquelle une fonction arithmétique « exprime une propriété arithmétique de n ». Un exemple de fonction arithmétique est la fonction diviseur dont la valeur pour un entier positif n est égale au nombre de diviseurs de n. Il existe une classe plus large de fonctions de la théorie des nombres qui ne correspondent pas à la définition ci-dessus, par exemple les fonctions de comptage de nombres premiers." Extrait de l'article intitulé "Fonctions arithmétiques" publié sur Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne. "Les fonctions arithmétiques apparaissent et sont utilisées dans les études sur les propriétés des nombres. Cependant, la théorie des fonctions arithmétiques présente également un intérêt indépendant. Les lois régissant les variations des fonctions arithmétiques ne peuvent généralement pas être décrites par des formules simples, et le comportement asymptotique en termes de fonctions numériques est déterminé. De nombreuses fonctions arithmétiques n'étant pas monotones, l'étude de leurs valeurs moyennes revêt une grande importance (cf. Ordre moyen d'une fonction arithmétique ). Une classe importante de fonctions arithmétiques est constituée par les fonctions arithmétiques multiplicatives et les fonctions arithmétiques additives . Le problème de la distribution de leurs valeurs est étudié en théorie probabiliste des nombres. Les fonctions arithmétiques les plus courantes ont des notations symboliques traditionnelles : ϕ(n)est la fonction d'Euler ; d(n) ou τ(n) est le nombre de diviseurs ; µ(n) est la fonction de Möbius ; Λ(n) est la fonction de Mangoldt ; σ(n) est la somme des diviseurs du nombre n. Les fonctions arithmétiques incluent également la partie intégrante d'un nombre [x], et la partie fractionnaire d'un nombre {x}. Les fonctions arithmétiques donnant le nombre de solutions d'une équation sont également étudiées ; par exemple, r(n) est le nombre de solutions entières x And y de l'équation x2+y2=n dans le problème de Goldbach ; J(N)est le nombre de solutions en nombres premiers de l'équation N=p1+p2+p3. D'autres fonctions arithmétiques expriment la quantité de nombres satisfaisant certaines conditions ; par exemple, la fonction π(x) le nombre de nombres premiers non supérieurs à x, décrit la distribution des nombres premiers ; π(x,q,l) donne le nombre de nombres premiers non supérieurs à x dans la progression arithmétique p≡l(modq). Les fonctions Chebyshev traitent également les propriétés des nombres premiers : θ(x) est la somme des logarithmes népériens des nombres premiers jusqu'à x, tandis que ψ(x)=∑n ≤ x Λ(n)  (cf. fonction Chebyshev)." Extrait de l'article intitulé "Fonctions arithmétiques" publié sur l'encyclopédie des mathématiques en ligne. Ci-dessous est une liste succincte organisée par catégorie d'objet mathématique des FONCTIONS ARITHMÉTIQUES
pour un nombre n donné:

FACTEURS

*       Quantité de facteurs:  Ω(n) 

*       Quantité de facteurs premiers distincts:  ω(n)

*       Radical d'un nombre: produit des facteurs (non répétés) γ(n)

*       Signature première (exposants de la factorisation) 

*       Fonction lambda de Liouville – Parité de la quantité de facteurs (n)

*       Fonction de Möbius – Nature des facteurs de n (n)

*       Fonction de Mertens – sommes sur la fonction de Möbius M(n)

DIVISEURS

*       Quantité de diviseurs (n)

*       Quantité de diviseurs sauf n '(n) ou s(n)

*       Quantité de diviseurs sauf n et 1

*(n) ou s*(n)

*       Fonction d'abondance(n)

*       Fonction de déficience (n)
 
*       Somme des diviseurs (n)

*       Somme des diviseurs sans n'(n)

*       Somme des diviseurs unitaires de n

*(n)

*       Taux d'abondance (n) / n

*       Différence entre quantité de diviseurs de la forme 4k+1 et ceux en 4k+3 E(n)

*       Moyenne arithmétique des diviseurs A(n)

*       Moyenne géométrique des diviseurs G(n)

*       Moyenne harmonique des diviseurs H(n)
 
PUISSANCE

*       Somme de la puissance k des diviseurs d'un nombre k (n)

*       Somme des diviseurs d'un nombre premier élevé à la puissance k (pk)

 
CHIFFRES

*       Somme des chiffres de n (digsum)

*       Cumul de la somme des chiffres de n pour tous les nombres n inférieurs ou égaux à x

FACTEURS

*       Quantité de nombres sans carré  x S(x)

*       Quantité de nombres n  x tels que  est pair E(x)
 
*       Quantité de nombres n  x tels que  est impair O(x)

DIVISEURS

 *       Plus petit entier ayant k diviseurs D(k)

*       Quantité de nombres premiers p  n p(n)

*       Quantité d'entiers inférieurs à n et n'ayant aucun diviseur commun avec n (n)

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II) LES NOUVELLES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES SIMPLES: 

EXTRAORDINAIRES ?

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 "Ici, Legrand, ayant de nouveau chauffé le vélin, le soumit à mon examen. Les caractères suivants apparaissaient en rouge, grossièrement tracés entre la tête de mort et le chevreau :

53‡‡†305))6*;4826)4‡.)4‡);806*;48‡8
¶60))85;1‡(;:‡*8†83(88)5*†;46(;88*96
*?;8)*‡(;485);5*†2:*‡(;4956*2(5*—4)8
¶8*;4069285);)6†8)4‡‡;1(‡9;48081;8:8‡
1;48†85;4)485†528806*81(‡9;48;(88;4
(‡?34;48)4‡;161;:188;‡?;


"A good glass in the bishop's hotel in the devil's seat forty-one degrees and thirteen minutes north-east side shoot from the left eye of the death's-head a bee-line from the tree through the shot fifty feet out.",  traduit en langage humain:

"Un bon verre dans l'hostel de l'évêque dans la chaise du diable quarante et un degrés et treize minutes nord-est quart de nord principal tige septième branche côté est lâchez de l'œil gauche de la tête de mort une ligne d'abeille de l'arbre à travers la balle cinquante pieds au large."

"LE SCARABÉE D'OR", extrait des "HISTOIRES EXTRAORDINAIRES", un recueil de nouvelles écrites par Edgar Allan Poe, puis traduites et réunies sous ce titre par Charles Baudelaire en 1856.

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Si nous qualifions ces fonctions non usuelles d'extraordinaires, un terme quelque peu superlatif, mathématiquement d'un contextuel inhabituel, ce n'est pas pour transformer l'auteur, moi-même devenant extraordinaire, tel superman attifé de l'effet de son superlatif; et ce n'est pas non plus extraordinaire au sens des "histoires extraordinaires" d'Edgar Allan Poe, définie comme ce qui suscite l'étonnement par sa singularité et sa rareté, d'événements qui se produisent d'une manière imprévisible en dehors du cours ordinaire des choses, mais c'est extraordinaire au sens défini comme "Qui sort de la règle, de l'usage ordinaire, qui n'est pas courant, exceptionnel, inhabituel.", car les nouvelles fonctions caractéristiques simples non usuelles dont je créer les expressions sont en fait plutôt qu'indicatrice sur une carte au trésor mathématique imaginaire, beaucoup plus exceptionnellement utile comme outils de calcul sortant de l'usage ordinaire du calcul avec des séquences de nombres à valeurs dans {0;1}; mais aussi elles sont extraordinaires parce qu'elles sont au nombre de quatre seulement, mais elles sont toujours plus trois que quatre avec toujours l'une d'entre elles pouvant en être une autre; extraordinaires encore parce qu'elles sont constitutives de la trame fondamentale des combinaisons linéaires des fonctions simples et arithmétiques que nous abordons dans cet ouvrage et dans d'autres catégories au-delà de la première catégorie précédente des fonctions indicatrices d'échelons, de pentes et de pointes; enfin extraordinaires parce qu'elles ont toutes la même origine par extension, celle de la fonction indicatrice à l'origine illustrée et définie comme suit:
"Une fonction indicatrice est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite la caractéristique de l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E, et qui est notée 1A, (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule). Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité. Formellement, la fonction indicatrice d’un sous-ensemble A caractéristique d’un ensemble E est une fonction:

1A: E→ {0,1}

x↦ 1 si x ∈ A: 1A(x)=1

x↦ 0 si x ∉ A: 1A(x)=0", Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

Il est nécessaire avant même d'écrire la nomenclature de nos nouvelles fonctions caractéristiques simples non usuelles extraordinaires, soit leurs noms et leurs abréviations, dans notre catégorisation quadripartite correspondante à leurs noms, soit les quatre catégories générales de l'annulation, de la segmentation, de la terminaison, et de l'indexation, d'écrire leurs expressions de fonctions caractéristiques fondamentales pour montrer qu'elles sont en fait non seulement l'extension de l'expression de la fonction caractéristique d'appartenance ensembliste à l'origine, mais aussi que ces quatre expressions sont des extensions mutuelles réciproques allant de l'expression la plus simple vers la plus sophistiquée. Donc en finalité quatre sous-catégories que l'on peut organiser synthétiquement en les définissant comme suit:

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  1. 1 Les fonctions caractéristiques d'annulations d'un ou plusieurs éléments de l’ensemble des valeurs d'une suite de nombres quelconque:

La fonction caractéristique d'annulations d'un ou de plusieurs éléments successifs ou non appartenant à une suite de nombres notée SeqX, et notée génériquement, respectivement NULL([xₙ]), NULL([xₙ; xₐ]) et NULL([xₙ; xₐ] ∪ [xₖ; xₘ])  ou NULL([xₙ; xₐ] ∪ [xₖ]), correspondant à la fonction caractéristique d'annulations simples ou multiples symétriques, asymétrique, donc d'un ou de plusieurs éléments successifs appartenant à une suite de nombres notée SeqXₚ₊ₓ, et appelées respectivement:
  • FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES D'ANNULATIONS
  • FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES D'ANNULATIONS SYMÉTRIQUES
  • FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES D'ANNULATIONS ASYMÉTRIQUES
Donc si la première catégorie des fonctions indicatrices que j'appelle, "les fonctions caractéristiques d'annulations", est constituée de trois sous-catégories écrites ci-dessus, je la définis encore plus précisément de deux types, soit comme la fonction caractéristique d'annulations intérieures (dite annulation par les valeurs), d'un ou de plusieurs éléments préexistants d'une suite de nombres, signifiant qu'il est nécessaire d'utiliser précisément et seulement la valeur de l'élément que l'on choisit d'annulé; soit comme la fonction caractéristique d'annulations extérieures (dite annulation par les indexes) d'un ou de plusieurs éléments non préexistants d'une suite de nombres quelconques, signifiants qu'il n'est pas nécessaire d'utiliser précisément la valeur de l'élément que l'on choisit d'annulé et seulement la valeur de son indexe de position. Je définis généralement dans tous les cas des trois sous-catégories et des deux types comme la fonction caractéristique des éléments à valeurs nulles et non nulles de n'importe quelle suite de nombres, notée SeqXₚ₊ₓ, de la façon suivante:

a) L'expression de la fonction caractéristique d'annulations intérieures d'un ou de plusieurs éléments préexistants d'une suite de nombres est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}
  • 1A(x)=0, si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ 
  • 1A(x)=1, si x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ 
L'expression de cette fonction caractéristique notée 1A(x), de l'appartenance de x à l'ensemble noté SeqEᵢ₌ₙ₊∞ des éléments à valeur dans R, et devenant l'expression de la fonction d'annulation intérieure d'un seul élément notée NULL([x]) ↔1A([xᵢ])*xᵢ, est définie comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;....yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;...nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

1A(x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉   (A).


NULL( [x] ) ↔ 1A(x)*yᵢ=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉*yᵢ       (A₁).

Ou bien encore la fonction indicatrice inverse de la précédente correspondante à la fonction caractéristique d'annulations intérieures de plusieurs éléments préexistants d'une suite de nombres, est définie comme suit:

1A: R→ {0,1}:
  • 1A(x)=1, si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ 
  • 1A(x)=0, si x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ 
L'expression de cette fonction caractéristique notée 1-1A([x]) des éléments de la séquence de nombres SeqXₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, ...xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ), différents de x, et devenant l'expression de la fonction d'annulation intérieure de plusieurs éléments à valeur dans R, notée NULL( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] \ [x] ) ↔ (1-1A([x])) *yᵢ, est définie comme suit: 

∀ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;....yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;...nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:


1-1A(x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉         (B)

 NULL( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] \ [x] )  ↔  (1-1A(x))*yᵢ=(1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉)*yᵢ          (B₂)

∴
Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies, soit, SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;....yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;...nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, nous considérons l'exemple de SeqXᵢ₌₁₀=(511;177;174;571;152;1228; 959;60;555;199), et de x=199. Alors en remplaçant dans les expressions  (A) et (A₁), nous obtenons les expressions suivantes: 

NULL( [x] ) ↔ 1A([yᵢ])*yᵢ=(⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉)*yᵢ={(⌈|511-199|/(|511-199|+1)⌉)*511} ∪ {(⌈|177-199|/(|177-199|+1)⌉)*177} ∪ {(⌈|174-199|/(|174-199|+1)⌉)*174} ∪ {(⌈|571-199|/(|571-199|+1)⌉)*571} ∪ {(⌈|152-199|/(|152-199|+1)⌉)*152} ∪ {(⌈|1228-199|/(|1228-199|+1)⌉)*1228} ∪ {(⌈|959-199|/(|959-199|+1)⌉)*959} ∪ {(⌈|60-199|/(|60-199|+1)⌉)*60} ∪ {(⌈|555-199|/(|555-199|+1)⌉)*555} ∪ {(⌈|199-199|/(|199-199|+1)⌉)*199}={(1)*511} ∪ {(1)*177} ∪ {(1)*174} 
∪ {(1)*571} ∪ {(1)*152} ∪ {(1)*1228} ∪ {(1)*959} ∪ {(1)*60} ∪ {(1)*555} ∪ {(0)*199}={511} ∪ {177} ∪ {174} ∪ {571} ∪ {152} ∪ {1228} ∪ {959} ∪ {60} ∪ {555} ∪ {0}    (A₁), l'expression de la fonction d'annulation intérieure dont la représentation est la séquence SeqXᵢ₌₁₀=(511;177;174;571;152;1228; 959;60;555;0). 


b) L'expression de la fonction caractéristique d'annulations extérieures d'un ou de plusieurs éléments préexistants d'une suite de nombres est définie comme suit:

1A: R→ {0,1}:
  • 1A([xᵢ])=1 si xᵢ ≠xₚ  ↔ INDEX(xᵢ)≠INDEX(xₚ)≠p
  • 1A([xᵢ])=0 si xᵢ=xₚ ↔ INDEX(xᵢ)=INDEX(xₚ)=p
L'expression de cette fonction caractéristique notée 1A([xᵢ]) des éléments de la séquence de nombres SeqXₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃..xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ), dont les valeurs sont égales à la valeur de l'élément xₚ et  devenant l'expression de la fonction d'annulation extérieure d'un seul élément à valeur dans R et notée NULL([xₚ]) ↔1A([xᵢ])*xᵢ, est définie comme suit:

∀ xᵢ ∧ xₚ ∈ SeqXₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ) ⊂ R; ∀ n ∈ N*: 

1A([xᵢ])=⌈⌈ |n/p-1| ⌉/( ⌈ |n/p-1| ⌉+1)⌉                          (C)

NULL([xₚ]) ↔ 1A([xᵢ])*xᵢ=(⌈ ⌈ |n/p-1| ⌉/( ⌈ |n/p-1| ⌉+1) ⌉ )*xᵢ                         (C₁)

Ou bien encore la fonction indicatrice inverse, soit:

1A: R→ {0,1}:
  • 1A([xᵢ])=1 si xᵢ=xₚ ↔ INDEX(xᵢ)=INDEX(xₚ)=p
  • 1A([xᵢ])=0 si xᵢ ≠xₚ ↔ INDEX(xᵢ)≠INDEX(xₚ)≠p
L'expression de cette fonction caractéristique notée 1-1A([xᵢ]) des éléments de la séquence de nombres SeqXₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, …xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ), différents de xₙ₌ₚ  devenant l'expression de la fonction d'annulation extérieure de plusieurs éléments à valeur dans R et notée NULL( [xₙ; xₚ₊ₓ] \ [xₚ] ) ↔ (1-1A([xᵢ])) *xᵢ, est définie comme suit: 

∀ xᵢ ∈ SeqXₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ) ∈ R; ∀ n ∈ N*: 

1-1A([xᵢ])=1- ⌈ ⌈ |n/p -1| ⌉/( ⌈ |n/p -1| ⌉+1) ⌉           (D)

 NULL( [xₙ; xₚ₊ₓ] \ [xₚ] ) ↔  (1-1A(xᵢ))*xᵢ=(1- ⌈ ⌈ |n/p -1| ⌉/( ⌈ |n/p -1| ⌉+1) ⌉)*xᵢ           (D₁)

∴

Prenons un exemple, avec l'annulation de la quatrième valeur d'une suite de nombres représentée par SeqXₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ), en général et en particulier par SeqXᵢ₌₂₃=(511;177;174;571;
152;1228;959;60;555;199;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;57;138;250;12171;499). Donc en remplaçant par les valeurs de SeqXᵢ₌₂₃ dans l'expression précédente  (a₁), comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ) ⊂ R; ∀ n ∈ N*; et soit 1A(xᵢ)=({ xᵢ ∈ SeqXₚ₊ₓ | xᵢ=xₙ₌₄→1A(xᵢ)=0 ∨ xᵢ≠xₙ₌₄→1A(xᵢ)=1}); et soit 1A([xᵢ])*xᵢ ↔ NULL([xₙ₌₄]); soit la fonction caractéristique d'annulation extérieure d'expression:

1A([xᵢ])=⌈ ⌈|n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1) ⌉, (a₁') dont la représentation est la séquence Seq{1;0}=(1;1;1;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1). 

Nous obtenons l'annulation de la valeur du quatrième élément de la suite de nombre SeqXᵢ₌₂₃, par la fonction caractéristique d'annulations extérieures, dont l'expression est:

NULL([xₙ₌₄])=1A([xᵢ])*xᵢ= ⌈ ⌈ |n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1) ⌉*xᵢ ={⌈ ⌈ |1/4 -1| ⌉/( ⌈ |1/4 -1| ⌉+1) ⌉*511} ∪ {⌈ ⌈ |2/4 -1| ⌉/( ⌈ |2/4 -1| ⌉+1) ⌉*177} ∪ {⌈ ⌈ |3/4 -1| ⌉/( ⌈ |3/4 -1| ⌉+1) ⌉*174} ∪ {⌈ ⌈ |4/4 -1| ⌉/( ⌈ |4/4 -1| ⌉+1) ⌉*571} ∪ {⌈ ⌈ |5/4 -1| ⌉/( ⌈ |5/4 -1| ⌉+1) ⌉*152} ∪ {⌈ ⌈ |6/4 -1| ⌉/( ⌈ |6/4 -1| ⌉+1) ⌉*1228} ∪ {⌈ ⌈ |7/4 -1| ⌉/( ⌈ |7/4 -1| ⌉+1) ⌉*959} ∪ {⌈ ⌈ |8/4 -1| ⌉/( ⌈ |8/4 -1| ⌉+1) ⌉*60} ∪ {⌈ ⌈ |9/4 -1| ⌉/( ⌈ |9/4 -1| ⌉+1) ⌉*555} ∪ {⌈ ⌈ |10/4 -1| ⌉/( ⌈ |10/4 -1| ⌉+1) ⌉*199} ∪ {⌈ ⌈ |11/4 -1| ⌉/( ⌈ |11/4 -1| ⌉+1) ⌉*1244} ∪ {⌈ ⌈ |12/4 -1| ⌉/( ⌈ |12/4 -1| ⌉+1) ⌉*1244} ∪ {⌈ ⌈ |13/4 -1| ⌉/( ⌈ |13/4 -1| ⌉+1) ⌉*1244} ∪ {⌈ ⌈ |14/4 -1| ⌉/( ⌈ |14/4 -1| ⌉+1) ⌉*1244} ∪ {⌈ ⌈ |15/4 -1| ⌉/( ⌈ |15/4 -1| ⌉+1) ⌉*1244} ∪ {⌈ ⌈ |16/4 -1| ⌉/( ⌈ |16/4 -1| ⌉+1) ⌉*1244} ∪ {⌈ ⌈ |17/4 -1| ⌉/( ⌈ |17/4 -1| ⌉+1) ⌉*1244} ∪ {⌈ ⌈ |18/4 -1| ⌉/( ⌈ |18/4 -1| ⌉+1) ⌉*1244} ∪ {⌈ ⌈ |19/4 -1| ⌉/( ⌈ |19/4 -1| ⌉+1) ⌉*57} ∪ {⌈ ⌈ |20/4 -1| ⌉/( ⌈ |20/4 -1| ⌉+1) ⌉*138} ∪ {⌈ ⌈ |21/4 -1| ⌉/( ⌈ |21/4 -1| ⌉+1) ⌉*250} ∪ {⌈ ⌈ |22/4 -1| ⌉/( ⌈ |22/4 -1| ⌉+1) ⌉*12171} ∪ {⌈ ⌈ |23/4 -1| ⌉/( ⌈ |23/4 -1| ⌉+1) ⌉*499}={1*511} ∪ {1*177} ∪ {1*174} ∪ {0*571} ∪ {1*152} ∪ {1*1228} ∪ {1*959} ∪ {1*60} ∪ {1*555} ∪ {1*199} ∪ {1*1244} ∪ {1*1244} ∪ {1*1244} ∪ {1*1244} ∪ {1*1244} ∪ {1*1244} ∪ {1*1244} ∪ {1*1244} ∪ {1*57} ∪ {1*138} ∪ {1*250} ∪ {1*12171} ∪ {1*499}={511} ∪ {177} ∪ {174} ∪ {0} ∪ {152} ∪ {1228} ∪ {959} ∪ {60} ∪ {555} ∪ {199} ∪ {1244} ∪ {1244} ∪ {1244} ∪ {1244} ∪ {1244} ∪ {1244} ∪ {1244} ∪ {1244} ∪ {57} ∪ {138} ∪ {250} ∪ {12171} ∪ {499}    (a₁')', dont la représentation est SeqX₌₂₃=(511;177;174; 0;152;1228;959;60;555;199;1244;1244;1244;1244;1244,1244; 1244,1244;
57;138;250;12171;499).

⁂

  1. 2 Les fonctions caractéristiques de segmentations et de sous segmentations de l’ensemble des valeurs d'une suite de nombres quelconque

⁂

 La fonction caractéristique de segmentations et de sous segmentations de plusieurs éléments successifs ou non, appartenant à une suite de nombres notée SeqXₚ, et notée génériquement, respectivement, SOUSGMT([xₙ]), SGMT( [xₙ; xₐ] ) et SOUSGMT( [xₙ; xₐ] ∪ [xₖ; xₘ] )  ou SOUSGMNT( [xₙ; xₐ] ∪ [xₖ] ), correspondant à la fonction caractéristique de segmentations ou de sous segmentations simples ou multiples, fondamentales, quasi fondamentales, quasi générales, générales et de segmentannulations, donc d'un ou de plusieurs éléments successifs appartenant à une suite de nombres notée SeqXₚ, et appelées respectivement: 
  • FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTATIONS ET DE SOUS SEGMENTATIONS FONDAMENTALES
  • FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTATIONS ET DE SOUS SEGMENTATIONS QUASI FONDAMENTALES
  • FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SOUS SEGMENTATIONS QUASI GÉNÉRALES ET DE SOUS SEGMENTATIONS GÉNÉRALES
  • FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTANNULATIONS
          Donc nous considérons dans cette nouvelle catégorisation générale quadripartite des fonctions indicatrices, la deuxième catégorie élémentaire des fonctions indicatrices que j'ai appelée "la fonction caractéristique de segmentations et de sous segmentations ", et que je définis généralement comme la fonction indicatrice de n'importe quels éléments d'une suite de nombres qui sont caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments de valeurs de fonction d'indexe de position supérieure, inférieure ou égale à une valeur variable de l'indexe de position choisie, et que je définis particulièrement comme suit:

          1A: R→ {0,1}:
          • 1A(xᵢ)=1, si INDEX(xᵢ)<=p
          • 1A(xᵢ)=0, si INDEX(xᵢ)>p
          L'expression de cette fonction indicatrice des valeurs d'index de position des éléments xᵢ ∈ SeqXₚ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ), inférieures ou égaux à la valeur de la variable p, notée 1A(xᵢ) et devenant 
          l'expression de la fonction de sous segmentation et notée SOUSGMT([xₙ₌₁; xₙ₌ₚ])↔1A(xᵢ)*xᵢ, est définie comme suit :

          ∀ xᵢ ∈ SeqXₚ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ) ⊆  R; ∀ n ∈ N*; ∀ p ∈ N*, avec p=Card( SeqXₚ=({xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ})) : 

          1A(xᵢ )=⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1                      (a₃)

          SOUSGMT([xₙ₌₁; xₙ₌ₚ]) ↔1A(xᵢ)*xᵢ=(⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)*xᵢ                 (a₃)'

          Ou bien encore la fonction indicatrice inverse, soit:

          1A: R→ {0,1}:
          • 1-1A(xᵢ)=0, si INDEX(xᵢ)<=p
          • 1-1A(xᵢ)=1, si INDEX(xᵢ)>p
          L'expression de cette fonction indicatrice des valeurs d'index de position des éléments xᵢ ∈ SeqXₚ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ), strictement supérieures à la valeur de la variable p, notée 1-1A(xᵢ) et devenant 
          l'expression de la fonction de sous segmentation notée SOUSGMT([xₙ₌ₚ₊₁; xₙ₌∞]) ↔ (1-1A(xᵢ))*xᵢ, est définie comme suit:

          ∀ xᵢ ∈ SeqXₚ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ) ⊆  R; ∀ n ∈ N*; ∀ p ∈ N*, avec p=Card( SeqXₚ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ)):

          1-1A(xᵢ)=1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)=⌈n/(p+1)⌉-⌈|n/(p+1)-1|⌉                 (a₄)

          SOUSGMT([xₙ₌ₚ₊₁; xₙ₌∞]) ↔ (1-1A(xᵢ))*xᵢ =(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) )*xᵢ = (⌈n/(p+1)⌉-⌈|n/(p+1)-1|⌉ )*xᵢ                (a₄)'
          ∴
          Prenons un exemple, avec la fonction caractéristique de sous segmentations des éléments du sous-ensemble d'une suite de nombres de valeurs d'indexe de positions inférieures ou égales à la valeur de l'indexe de position de la quatrième valeur d'une suite de nombres représentée en général par SeqXₙ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...), et en particulier dans notre exemple par SeqXᵢ₌₂₃=(511;177;174;571;
          152;1228;959;60;555;199;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;57;138; 250; 12171;499). Donc en remplaçant par les valeurs de SeqXᵢ₌₂₃ dans l'expression précédente (a₃), définie comme suit:

          ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌₂₃; ∀ n ∈ N*; et avec p=4, soit 1A(xₙ₌₄)*xᵢ ↔ SOUSGMT([xₙ₌₁;xₙ₌₄]): 

          1A(xₙ₌₄)=⌈|n/(4+1)-1|⌉-⌈n/(4+1)⌉+1= ⌈|n/5-1|⌉-⌈n/5⌉+1, dont la représentation est la séquence Seq{1;0}=(1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0). Nous obtenons l'expression de la fonction caractéristique de sous segmentations des éléments de SeqXᵢ₌₂₃ dont les valeurs d'indexe de position sont inférieures ou égaux à la valeur de la variable d'indexe de position p=4, donc le sous-ensemble des éléments de SeqXᵢ₌₂₃ dont les valeurs d'indexe précèdent la valeur d'indexe du quatrième élément de SeqAᵢ₌₂₃, en partant de la première valeur d'indexe de position égale à 1, soit l'expression:
          SOUSGMT([xₙ₌₁; xₙ₌₄) ↔ 1A(xₙ₌₄)*xᵢ =(⌈|n/5-1|⌉-⌈n/5⌉ +1)*xᵢ, expression dont la représentation est  SeqX'ᵢ₌₂₃=(511;177;174;571;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0).

          ⁂

          1. 3 Les fonctions caractéristiques de terminaisons premières et dernières de l’ensemble des valeurs d'une suite de nombres quelconque

          ⁂

           Les fonctions caractéristiques de la troisième catégorie élémentaire des fonctions indicatrices sont celles que j'appelle "les fonctions caractéristiques d'indexe interne de terminaisons segmentales 
           premières nulles et non nulles; et les fonctions caractéristiques d'indexe interne de terminaisons segmentales dernières nulles et non nulles", notées génériquement INDEXINTERMDNL(yₙ), INDEXINTERMDNNL(yₙ), ou INDEXINTERMFNL(yₙ), 
          INDEXINTERMFNNL(yₙ).Nous définissons la terminaison segmentale d'une suite de nombres comme les premiers ou les derniers éléments nuls ou non nuls de toute sous suite de nombres, sachant qu'une sous suite de nombres étant elle-même définie comme des éléments successifs partageant la même propriété les définissant fondamentalement comme appartenant à la même sous-classe, et plus particulièrement d'être de valeurs non nulles ou d'être de valeurs nulles, et soit d'être de valeur de sous indexe de position encore appelée indexe interne de position égale à 1, correspondant à la fonction caractéristique d'indexe interne de terminaison nulle ou non nulle première ou dernière simple; ou soit d'être de valeur de sous indexe de position encore appelée indexe interne de position égale à n ∈ N* , correspondant à la fonction caractéristique d'indexe interne de terminaison nulle ou non nulle première ou dernière multiple. Je distingue ainsi huit sous-catégories de la quatrième catégorie générale des fonctions caractéristiques d'indexe interne de terminaisons segmentales 
          premières et dernières, que j'écris comme suit:
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXE INTERNE DE TERMINAISON SEGMENTALE PREMIÈRE SIMPLE NULLE 
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXE INTERNE DE TERMINAISON SEGMENTALE PREMIÈRE SIMPLE NON NULLE 
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXE INTERNE DE TERMINAISONS SEGMENTALES PREMIÈRES MULTIPLES NULLES 
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXE INTERNE DE TERMINAISONS SEGMENTALES PREMIÈRES MULTIPLES NON NULLES 
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXE INTERNE DE TERMINAISON SEGMENTALE DERNIÈRE SIMPLE NULLE 
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXE INTERNE DE TERMINAISON SEGMENTALE DERNIÈRE SIMPLE NON NULLE 
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXE INTERNE DE TERMINAISONS SEGMENTALES DERNIÈRES MULTIPLES NULLES 
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXE INTERNE DE TERMINAISONS SEGMENTALES DERNIÈRES MULTIPLES NON NULLES 

          ⁂

          1. 4 Les fonctions caractéristiques d'indexations et de sous indexations de l’ensemble des valeurs d'une suite de nombres quelconque

          ⁂

           Les fonctions caractéristiques de la quatrième catégorie élémentaire des fonctions indicatrices sont celles que j'appelle "les fonctions caractéristiques d'indexations et de sous indexations ", et que je définis généralement comme la fonction indicatrice de n'importe quels éléments d'une suite de nombres qui sont caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments de valeurs résultantes de la fonction d'indexe de position, ces deux derniers termes que je définis conceptuellement en rappelant d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence, soit que la position est "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a l'index 0 ou 1, l’élément suivant a l'index 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)", terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme. Ainsi, "Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts: décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée". Ainsi, la fonction INDEX d'un élément d'une séquence renvoie une valeur ou une référence à une valeur provenant de la position de cet élément d'une suite d'un ensemble de nombres par rapport à d'autres éléments de cet ensemble et par rapport à la suite de nombres des entiers naturels N sur laquelle ils sont indexés. Ainsi, la fonction INDEX d'un élément d'une séquence renvoie une valeur ou une référence à une valeur provenant de la position de cet élément d'une suite d'un ensemble de nombres. La fonction RANG d'un élément d'une séquence renvoie une valeur correspondante au nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément.
          Donc la fonction caractéristique d'indexations et de sous indexations de plusieurs éléments successifs ou non, appartenant à une suite de nombres notée SeqXₚ, et notée génériquement, respectivement, 
          INDEX([xₙ]), INDEX( [xₙ.; xₐ] ), INDEX( [xₙ.; xₐ] ∪ [xₖ; xₘ] ), INDEX( [xₙ; xₐ] ∪ [xₖ] ), et SOUSINDEX([xₙ]), SOUSINDEX( [xₙ; xₐ] ), SOUSINDEX( [xₙ; xₐ] ∪ [xₖ; xₘ] ), SOUSINDEX( [xₙ; xₐ] ∪ [xₖ] ), correspondant à la fonction caractéristique d'indexations ou de sous indexations simples ou multiple, donc d'un ou de plusieurs éléments successifs appartenant à une suite de nombres notée SeqXₚ, est appelée respectivement: 
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXATIONS ET DE SOUS INDEXATIONS SIMPLES
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXATIONS ET DE SOUS INDEXATIONS MULTIPLES
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXATIONS ET DE SOUS INDEXATIONS MULTIPLES SYMÉTRIQUES
          • FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'INDEXATIONS ET DE SOUS INDEXATIONS MULTIPLES ASYMÉTRIQUES
          Donc nous considérons dans cette nouvelle catégorisation générale quadripartite des fonctions indicatrices, la quatrième catégorie élémentaire des fonctions indicatrices que j'ai appelée "la fonction caractéristique d'indexations et de sous indexation", et que je définis généralement comme la fonction indicatrice de n'importe quels éléments d'une suite de nombres SeqEᵢ₌ₙ₊∞ qui sont caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments de l'ensemble N. Les valeurs de position des éléments de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ sont alors soient supérieures, soient inférieures ou soient égales à une valeur variable d'indexe de position choisie dans l'ensemble N, généralement n=1 ou n=0. Elles sont représentées par la notation indicielle ₙ, avec n ∈ N* signifiant que l’ordre des valeurs des éléments appartenant à SeqEᵢ₌ₙ₊∞ correspond à l’ordre des valeurs de la suite des nombres de l’ensemble N*, c'est-à-dire INDEX(y)=n ↔ yₙ,. 

          Mais aussi nous considérons encore la quatrième catégorie élémentaire des fonctions indicatrices que j'ai appelé "la fonction caractéristique d'indexations et de sous indexation", que je définis encore généralement comme la fonction indicatrice de n'importe quels éléments d'une suite de nombres SeqEᵢ₌ₙ₊∞ qui sont caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments de l'ensemble R, alors les valeurs de position des éléments de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ sont soient supérieures, soient inférieures ou soient égales à une valeur variable d'indexe de position choisie dans l'ensemble R. Elles sont représentées par la notation indicielle ₓ dont l’indice x ∈ R signifie que l’ordre des valeurs de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ correspond à l’ordonnancement des valeurs d’un sous-ensemble de valeurs xₙ ∈ R, c’est-à-dire d’ordonnancement des éléments de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ selon un certain critère de relation entre les éléments d’un sous-ensemble de valeurs xₙ ∈ R, autre que la relation entre les éléments d'indice n, c'est-à-dire INDEX(x)=n ↔ xₙ, mais les relations INDEX(yₓ) ↔yₓ ; INDEX(yₓ+1) ↔ yₓ₊₁ et INDEX(y)=yₓ≠ nₓ.

          Enfin nous considérons encore la quatrième catégorie élémentaire des fonctions indicatrices que j'ai appelées "la fonction caractéristique d'indexations et de sous indexation", que je définis encore généralement de deux types soit, comme la fonction caractéristique d'indexations par la détermination d'une valeur d'indexe d'un élément préexistant d'une suite de nombres; soit comme la fonction caractéristique d'indexations par la création d'une valeur d'indexe d'un élément non préexistant d'une suite de nombres quelconques; soit comme la fonction caractéristique de la création de plusieurs valeurs d'indexe de plusieurs éléments non préexistants d'une suite de nombres quelconques.

          a) L'expression de la fonction caractéristique d'indexations par détermination d'un indexe de position d'un seul élément est définie comme suit:

          1A: E→ {0,1}
          • 1A(x)=1, si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ 
          • 1A(x)=0, si x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ 
          L'expression de cette fonction caractéristique notée 1A(x) de x appartenant à SeqEᵢ₌ₙ₊∞ est encore définie tout d'abord comme suit:

          ∀ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;....yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;...nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

          1A(x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉       (A)'.

          Après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→ n=x: [a(n)], nous remarquons que:

          INDEX([x])=∑ n=1→ n=∞: [ (1A(x)*n) ]=∑ n=1→n=∞: [((1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉)*n)]         (A)''

          ⁂

          Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies, soit, SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;....yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;...nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, nous considérons l'exemple de SeqXᵢ₌₁₀=(511;177;174;571;152;1228; 959;60;555;199), et de x=199. Alors en remplaçant dans les expressions  (A)' et (A)'', nous obtenons les expressions suivantes: 

          1A(INDEX( [yᵢ₌₁₀]=[x]=[199] ))*n=(1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉)*n={(1-⌈|511-199|/(|511-199|+1)⌉)*1} ∪ {(1-⌈|177-199|/(|177-199|+1)⌉)*2} ∪ {(1-⌈|174-199|/(|174-199|+1)⌉)*3} ∪ {(1-⌈|571-199|/(|571-199|+1)⌉)*4} ∪ {(1-⌈|152-199|/(|152-199|+1)⌉)*5} ∪ {(1-⌈|1228-199|/(|1228-199|+1)⌉)*6} ∪ {(1-⌈|959-199|/(|959-199|+1)⌉)*7} ∪ {(1-⌈|60-199|/(|60-199|+1)⌉)*8} ∪ {(1-⌈|555-199|/(|555-199|+1)⌉)*9} ∪ {(1-⌈|199-199|/(|199-199|+1)⌉)*10}={(0)*1} ∪ {(1-1)*2} ∪ {(1-1)*3} ∪ {(1-1)*4} ∪ {(1-1)*5} ∪ {(1-1)*6} ∪ {(1-1)*7} ∪ {(1-1)*8} ∪ {(1-1)*9} ∪ {(1-0)*10}={0*1} ∪ {0*2} ∪ {0*3} ∪ {0*4} ∪ {0*5} ∪ {0*6}∪ {0*7} ∪ {0*8} ∪ {0*9} ∪ {1*10}={0} ∪ {0} ∪ {0} ∪ {0} ∪ {0} ∪ {0}∪ {0} ∪ {0} ∪ {0} ∪ {10}      (A')' dont la représentation est la séquence SeqXᵢ₌₁₀=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;10). 

          Ensuite en remplaçant aussi dans (A)'', avec n=10, l'indice de l'élément yᵢ₌₁₀ dont la valeur de 199 est égale à la valeur choisie de la variable x soit 199, nous obtenons l'expression suivante:

          INDEX( [yᵢ₌₁₀]=[x]=[199] ) = ∑ n=1→ n=∞: [(1A(INDEX( [yᵢ₌₁₀]=[x]=[199] ))*10)]=∑ n=1→n=∞: [((1-⌈|yᵢ-199|/(|yᵢ-199|+1)⌉)*n)] =(1-⌈|511-199|/(|511-199|+1)⌉)*1 + (1-⌈|177-199|/(|177-199|+1)⌉)*2 + (1-⌈|174-199|/(|174-199|+1)⌉)*3 + (1-⌈|571-199|/(|571-199|+1)⌉)*4 + (1-⌈|152-199|/(|152-199|+1)⌉)*5 + (1-⌈|1228-199|/(|1228-199|+1)⌉)*6 + (1-⌈|959-199|/(|959-199|+1)⌉)*7 + (1-⌈|60-199|/(|60-199|+1)⌉)*8 + (1-⌈|555-199|/(|555-199|+1)⌉)*9 + (1-⌈|199-199|/(|199-199|+1)⌉)*10= (1-1)*1+(1-1)*2+(1-1)*3+(1-1)*4+(1-1)*5+(1-1)*6+(1-1)*7+(1-1)*8+(1-1)*9+(1-0)*10= 0*1+0*2+0*3+0*4+0*5+0*6+0*7
          +0*8+0*9+1*10=10.      (A'')''

          ⁂

          a') L'expression de la fonction caractéristique d'indexations par création d'indexe de position d'un seul élément est définie comme suit:

          ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=( xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, et correspondantes à la définition de la fonction caractéristique de la fonction d'index de position séquentiel d'un seul élément, comme suit:

          1A: N→ {0,1}
          • 1A(INDEX( [xᵢ₌ₚ] ))=0, si p≠nᵢ*xᵢ
          • 1A(INDEX( [xᵢ₌ₚ] ))=1, si p=nᵢ*xᵢ₌ₚ
          L'expression de cette fonction caractéristique 1A(INDEX(xᵢ₌ₚ)) de la fonction d'index de xᵢ₌ₚ notée INDEX(xᵢ₌ₚ)=p, formulée pour un calcul numérique est encore définie tout d'abord comme suit:

          ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N* avec a <= p ; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX([xᵢ=0])>INDEX([xᵢ=1] )}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; et avec p=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a:

          1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))=(⌈|n/(p+1)-1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)        (1)

          Après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que:

          INDEX( [xᵢ₌ₚ] )=∑n=1→n=∞:[1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*n)]=∑n=1→n=∞: [((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n)]                    (2).

          ⁂


          Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies soit, ∀ xₙ ∈ SeqXₙ=(xₙ₌₁, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ {0;1}↔ SeqXₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1}); ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N avec a<=p, nous considérons l'exemple de SeqAᵢ₌₂₄=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₄] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) ⊆ {0;1}); de a=0, et p=1. Alors, en remplaçant dans les expressions (1) et (2), nous obtenons les expressions suivantes: 

          1A(INDEX( [xₙ₌₁] ))=((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), (1)', dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌₂₄ (1; 0; 0; 0;0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0, 0)  

          INDEX( [xᵢ₌₁] )=∑n=1→n=∞:[1A(INDEX([xᵢ₌₁]))*n)]=∑n=1→n=∞: [((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))*n)] =1   (2)'

          Ensuite, en prenant un nouvel exemple de valeurs a=2 et p+s=3, puis en replaçant à nouveau dans l'expression (1) et (2), nous obtenons les expressions suivantes: 

           1A(INDEX([xₙ₌₃] ))=((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)), (1')' dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌₂₄=(0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0).   


          INDEX([xₙ₌₃])=∑n=1→n=∞:[1A(INDEX([xᵢ₌₃]))*n)]=∑n=1→n=∞: [((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n)] =3   (2')'




          ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ