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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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"En mathématiques, l'usage du terme modulo est différent même s'il est lié : il ne désigne pas une opération mais intervient pour caractériser une relation de congruence sur les entiers (et plus généralement pour d'autres congruences) et certains l'utilisent également pour désigner l'opération binaire. En informatique, l'opération modulo, ou opération mod, est une opération binaire qui associe à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne du premier par le second, le reste de la division de a par n (n ≠ 0) est noté a mod n. Le langages Excel utilise la définition mathématique de l'opération modulo s'écrivant MOD(a,n) et fonctionnant sur les nombres réels." extrait de l'article intitulé Modulo (opération) publié sur le site de Wikipedia. J'entend donc par le terme de modulo considéré la fonction et non pas seulement la relation de congruence ou l'opération binaire car la fonction modulo écrite "mod" est en fait la fonction qui à tout couple de nombre entiers associe un troisiemme nombre entier qui est "le reste de la division euclidienne du premier par le second". En mathématiques, on appelle ce type de relation entre deux variables une fonction lorsque chaque valeur de la variable indépendante est associée à une et une seule valeur de la variable dépendante.Or nous savons qu'une Variable aléatoire est un type de fonction qui associe un nombre réel à chaque élément de l’espace échantillonnal. Par example si l’espace échantillonnal est: {AAA, AAF, AAR...RGG GGG}; et si X représente le nombre d’échantillons de type R alors X(AAA)=0, X(AAF)=0, X(AAR)=1, ...X(ARR)=2, ... X(RRR)=3. On constate donc que si à un couple, ou un triplet etc. de valeurs est associé une seule valeur alors la définition d'une fonction comme un procédé qui permet d'associer à un nombre, un unique autre nombre appelé image sera satisfaite. Donc l'association à un couple de nombres d'un unique troisieme, "le reste de la division euclidienne du premier par le second" correspond bien à cette définition de fonction que nous notons:
mod(a,b)=c, signifiant a/b=q+c avec a,b,c,q appartenant à N l'ensemble des entiers naturels et a appelé le dividende, b appelé le diviseur, c appelé le reste et q appelé le quotient comme illustré par la figure ci dessous:
En utilisant la partie entière (définition mathématique) la fonction modulo peut être calculé en utilisant d'autres fonctions soit la fonction plancher notée ⌊x⌋ qui est le plus grand entier inférieur ou égal à x qui appliquée à l'expression de la fonction modulo donne: a mod b = a−⌊a/b⌋×b. L'opérateur mod retourne alors un nombre appelé le modulo ou résidu (le reste de la division euclidienne a/b) toujours compris entre 0 (inclus) et le diviseur b (exclu) et qui a le même signe que le diviseur b. Par exemple, 9 mod 4 = 9 − ⌊9/4⌋×4 = 9 − 2×4 = 1. Nous utiliserons la notation mod(a,b) équivalente à la notation a mod b pour mieux différencier la fonction modulo de la relation de congruence comprenant cette fonction modulo. En effet, si r est le reste de la division euclidienne de a par b, cette opération est double dans le cas d'une relation de congruence car r est le reste de la division euclidienne de a par b, et de la division de d par b. On peut donc exprimer que a et d, deux nombres dividendes, aussi appelés les "congrus modulo b", sont donc congruents modulo b, b étant le diviseur aussi appelé le "module", tandis que le reste noté r des deux divisions de a/b et d/b est identique et appelé "résidu ou modulo" dans la relation de congruence entre a et d, sous quatre formes :
a ≡ d (b) ;
a ≡ d [b] ;
a ≡ d (mod b) ;
a ≡d mod b (notation de Gauss).
La dernière est celle préconisée par la norme ISO/CEI 80000-2 de 2009.
Toutes les notations se lisent « a est congru à d modulo b ». Par exemple soit a=29, d=13 et b=8 alors, 29 ≡ 13 (8) car 29– 13 = 16, multiple de 8, ou encore car 29 et 13 ont tous les deux 5 comme reste dans la division par 8.
mod(a,b)=c, signifiant a/b=q+c avec a,b,c,q appartenant à N l'ensemble des entiers naturels et a appelé le dividende, b appelé le diviseur, c appelé le reste et q appelé le quotient comme illustré par la figure ci dessous:
a ≡ d (b) ;
a ≡ d [b] ;
a ≡ d (mod b) ;
a ≡d mod b (notation de Gauss).
La dernière est celle préconisée par la norme ISO/CEI 80000-2 de 2009.
Toutes les notations se lisent « a est congru à d modulo b ». Par exemple soit a=29, d=13 et b=8 alors, 29 ≡ 13 (8) car 29– 13 = 16, multiple de 8, ou encore car 29 et 13 ont tous les deux 5 comme reste dans la division par 8.
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L'origine de l'usage du terme de "Congruence" est datée de 1374 et son ethymologie vient du latin classique d’époque impériale congruentia, « accord, conformité, convenance ». Lui-même du latin congruens, Participe présent du verbe latin congruo (« converger, concorder »). Le mot a eu un regain d’usage au milieu XIXe grâce aux mathématiques plus particulièrement en Arithmétique ou la congruence est définie comme la relation entre deux nombres tels que leur différence est le multiple d'un troisième nombre. En arithmétique modulaire, la congruence signifie la relation entre deux nombres ayant le même reste lorsqu'il est divisé par un entier spécifié. Par extension en Algèbre la congruence est définie comme la relation entre deux éléments x et y d’un anneau ou d’un groupe tels que x-y appartienne, respectivement, à un idéal ou un sous-groupe. En Géométrie Euclidienne le terme est un Anglicisme et la congruence est définie comme la relation entre figures planes semblables (homothétiques). En Géométrie Riemannienne la congruence est l'ensemble des courbes intégrales associées à un champ de vecteurs.
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En algèbre abstraite, une relation de congruence (ou simplement de congruence) est une relation d'équivalence sur une structure algébrique (telle qu'un groupe , un anneau ou un espace vectoriel) qui est compatible avec la structure dans le sens où les opérations algébriques effectuées avec des éléments équivalents donneront éléments équivalents. Chaque relation de congruence a une structure de quotient correspondante, dont les éléments sont les classes d'équivalence (ou classes de congruence) pour la relation.L'exemple prototypique d'une relation de congruence est la congruence modulo n sur l'ensemble des entiers.Pour un entier positif donné n, deux entiers a et b sont appelés modulo congrus n, écrit a ≡ b (mod n), si a-b est divisible par n (ou de manière équivalente si a et b ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par n). Par exemple, 37 et 57 sont congrus modulo dix, 37 ≡ 57( mod10 ), car 37 − 57 = − 20 est un multiple de 10, ou de manière équivalente puisque les deux nombres 37 et 57 ont le meme reste de 7 lorsqu'ils sont divisés par dix
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13 est congru à 63 modulo 10 signifie que 13 − 63 est un multiple de 10 (équiv., 13 et 63 diffèrent d'un multiple de 10).
La relation de congruence est une relation d'équivalence. La classe d'équivalence modulo n d'un entier a est l'ensemble de tous les entiers de la forme a+ kn, où k est un entier quelconque. Elle est appelée classe de congruence ou classe de résidus d'un modulo n, et peut être notée (a mod n), ā, ou [a] lorsque le module ʼn est connu à partir du contexte.
Chaque classe de résidus modulo n contient exactement un entier dans l'intervalle 0,..., n − 1. Ainsi, ces n entiers sont représentatifs de leurs classes de résidus respectives.
Il est généralement plus facile de travailler avec des entiers qu'avec des ensembles d'entiers; c'est-à-dire les représentants les plus souvent considérés, plutôt que leurs classes de résidus.
Par conséquent (a mod n) désigne généralement l'unique entier k tel que 0 < k < n et k = a (mod n); C'est ce qu'on appelle le résidu d'un modulo n. En particulier (a mod n) = (b mod n) équivaut à a = b (mod n), et cela explique pourquoi «=» est souvent utilisé à la place de "≡" dans ce contexte.