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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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"Un chiffre est un signe d'écriture utilisé seul ou en combinaison pour représenter des nombres entiers. Dans un système de numération positionnel comme le système décimal, un petit nombre de chiffres suffit pour exprimer n'importe quelle valeur. Le nombre de chiffres du système est la base. Le système décimal, le plus courant des systèmes de numération, comporte dix chiffres représentant les nombres de zéro à neuf. L'écriture d'un nombre représente un nombre, c'est-à-dire une quantité alors qu'un chiffre ne représente pas de quantité. On distingue un nombre à un chiffre du chiffre qui est un simple signe. Les chiffres jouent par rapport aux nombres un rôle similaire à celui des lettres par rapport aux mots. À l'écrit, les nombres sont représentés par une juxtaposition de chiffres, de même que les mots sont représentés par une juxtaposition de lettres. "Extrait de Wikipédia, l'encyclopédie libre en ligne.
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I) DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE L'ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES DU NOMBRE NON DÉCIMAL
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1.1 Les trois types d'opérations qui font l'arithmétique des chiffres du nombre:
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"Si l'arithmétique est la science des nombres, des relations entre ces nombres, et des techniques permettant de les manipuler." alors l'arithmétique des chiffres du nombre peut être entièrement définie par ce que je définis comme ces trois types d'opérations ("un processus visant à obtenir un résultat à partir d'un ou plusieurs objets appelés opérandes") sur les chiffres du nombre, comme suit:
- les opérations fondamentales sur les chiffres du nombre que sont les opérations de concaténation et de déconcaténation, les opérations de rang des chiffres du nombre, et les opérations de distance de rang des chiffres du nombre.
- les opérations spéciales sur les chiffres d'un ou de plusieurs nombres que sont les opérations d'extraction d'un ou de plusieurs chiffres du nombre; les opérations de troncation d'un ou de plusieurs chiffres du nombre.
- les opérations élémentaires sur les chiffres d'un ou de plusieurs nombres qui sont définis d'après Wikipédia comme "les quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division) sont suivies par le carré, le cube et plus généralement les opérations puissance, la racine carrée, l'exponentiation, la factorielle… Plus généralement, beaucoup de fonctions peuvent être vues comme des opérations élémentaires, telles que la valeur absolue, la prise du logarithme ou de l'exponentielle, les fonctions trigonométriques… " différentes des opérations sur les nombres sachant que d'après Wikipédia que je paraphrase, "qu'une opération est un processus visant à obtenir un résultat à partir d'un ou plusieurs objets appelés opérandes et dont l'écriture d'une opération implique en général l'utilisation d'un symbole spécifique appelé opérateur". Si les opérations sur les nombres peuvent être définies comme de l'arithmétique des chiffres parce que toute opération sur les nombres est nécessairement une opération sur les chiffres, leur principale différence au-delà de l'effet de notation lexicale de l'arithmétique des chiffres du nombre par opposition à l'arithmétique des chiffres des nombres (pour indiquer que dans le premier cas il n'y a qu'un seul nombre sur lequel on effectue un des trois types d'opérations en arithmétiques des chiffres du nombre tandis que dans le deuxième cas il y a au moins deux nombres), tient au fait que les opérations élémentaires en arithmétique des chiffres du nombre correspondent toujours à des opérations internes sur les chiffres du nombre pouvant ensuite devenir des opérations externes sur les nombres et donc sur les chiffres de plusieurs nombres, mais uniquement ceux qui résulte préalablement de cette opération interne sur les chiffres du nombre.
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1.2 Les trois concepts impliquant un quatrième concept qui sont consubstantiels à l'arithmétique des chiffres du nombre:
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Je considère maintenant trois concepts ("un concept est un contenu de pensée, qui, lorsqu'il est appliqué à un objet, peut former une proposition") impliquant un quatrième concept qui sont consubstantiels à l'arithmétique des chiffres et que je définis comme suit:
- Le premier concept consubstantiel à l'arithmétique des chiffres du nombre est celui de chiffre:
Ceux que l'on appelle chiffres sont en fait 10 chiffres du système décimal qui est un système de numération de base dix employant une notation positionnelle et dix chiffres, allant de zéro à neuf, dont le tracé est indépendant de la valeur représentée et la représentation d'un nombre correspond à son développement décimal, ont une valeur de position indiquant la valeur du chiffre en fonction de sa position dans un nombre, et ont une valeur nominale représentant la valeur réelle du chiffre. Les chiffres sont comparables aux lettres des mots, c'est-à-dire que les chiffres ont une double valeur de signification comme les lettres ayant une triple valeur de signification, dont la première est la signification intuitive c'est-à-dire une signification extrinsèque du mot composé de plusieurs lettres de l'ensemble des lettres; la deuxième est signification analytique c'est-à-dire une signification intrinsèque de morphèmes et de phonèmes, qui ne sont pas des unités de sens perçu spontanément en tant que telles, c'est-à-dire ayant un sens par le résultat d’une analyse syntaxique: "Les morphèmes donnent des informations lexicales (radical, suffixe, préfixe…) ou grammaticales (marque du nombre, de la désinence, de la personne …). Et chaque lettre ou groupe de lettres peut correspondre à un phonème qui est la plus petite unité de sens que contient le mot".
- Le deuxième concept consubstantiel à l'arithmétique des chiffres du nombre est celui de base:
Une base est un nombre b non nul dont les puissances successives interviennent dans l'écriture de nombres dans la numération positionnelle utilisant ces puissances. Ce système de numération est alors désigné comme « de base b », les puissances de b définissant l'ordre de grandeur, aussi appelé le « poids », de chacune des positions occupées par les chiffres composant le nombre représenté. Les bases les plus utilisées sont celles où b est un entier naturel. Il existe également des systèmes utilisant des bases non entières.
- Le troisième concept consubstantiel à l'arithmétique des chiffres du nombre est celui de notation dite positionnelle des chiffres d'un nombre:
La notation positionnelle (ou notation de valeur de position, ou système numérique positionnel ) désigne généralement l'extension à n'importe quelle base du système décimal (Le mathématicien Archimède (vers 287-212 av. J.-C.) a inventé un système de position décimal ). Plus généralement, un système positionnel est un système numérique dans lequel la contribution d'un chiffre à la valeur d'un nombre est la valeur du chiffre multipliée par un facteur déterminé par la position du chiffre.
La convention usuelle de notation mathématique est d'ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle : les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre y=(cₙ; cₙ₋₁; c ₙ₋₂;… c₁; c₀) dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients c compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre y s'écrit de la manière suivante:
y= cₙ*10^n + cₙ₋₁*10 ^(n-1) + cₙ₋₂*10^(n-2) +…+c₁*10^(1) + c₀*10^(0) (A)
Le système décimal qui est un système de numération de base dix employant une notation positionnelle et dix chiffres, allant de zéro à neuf, dont le tracé est indépendant de la valeur représentée et la représentation d'un nombre correspond à son développement décimal. Ainsi les chiffres ont une valeur de position indiquant la valeur du chiffre en fonction de sa position dans un nombre; et une valeur nominale représente la valeur réelle du chiffre. Ces 10 chiffres de l'ensemble que je note Dn={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9}, sont comparables aux lettres des mots, c'est-à-dire que les chiffres sont comparables aux lettres des mots, c'est-à-dire que les chiffres ont une double valeur de signification comme les lettres ayant une triple valeur de signification, dont la première est la signification intuitive c'est-à-dire une signification extrinsèque du mot composé de plusieurs lettres de l'ensemble des lettres; la deuxième est signification analytique c'est-à-dire une signification intrinsèque de morphèmes et de phonèmes, qui ne sont pas des unités de sens perçu spontanément en tant que telles, c'est-à-dire ayant un sens par le résultat d’une analyse syntaxique: "Les morphèmes donnent des informations lexicales (radical, suffixe, préfixe…) ou grammaticales (marque du nombre, de la désinence, de la personne …). Et chaque lettre ou groupe de lettres peut correspondre à un phonème qui est la plus petite unité de sens que contient le mot".
- Le quatrième concept implicitement consubstantiel à l'arithmétique des chiffres du nombre puisqu'il est consubstantiel aux trois autres concepts, est celui de nombre:
Un nombre quelconque est toujours le résultat d'une des deux ou des deux opérations spéciales en arithmétique des chiffres que sont l'opération de concaténation et l'opération de déconcaténation. Cette affirmation qui doit être mathématiquement prouvée constitue le théorème fondamental de l'arithmétique des chiffres du nombre que nous démontrerons en conclusion de ce chapitre parce qu'il n'est que l'application de ce que j'appelle la loi mathématique de concaténation déconcaténation caractéristique après la première loi mathématique de structure caractéristique définie dans notre introduction générale intitulée "Avant tout commencement".
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1.3. Le théorème fondamental de l'arithmétique des chiffres du nombre en application de la loi mathématique de concaténation déconcaténation caractéristique:
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Rappelons que nous avions écrit que l'élément neutre pour l'opération de la multiplication des fonctions caractéristiques et dont l'expression est définie comme suit:
∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, alors:
a(xᵢ)=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉) =1 (13). C'est cette dernière expression qui correspond au corolaire de ce que j'ai appelé dans mon introduction la loi mathématique de structure caractéristique que nous énonçons enfin comme suit:
- Tous les éléments d'une suite quelconque de nombre dans R d'un ensemble séquentiel de valeurs nulles et non nulles sont toujours caractérisables par l'expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires dont les éléments caractéristiques sont de valeurs dans {0;1} correspondantes aux valeurs nulles et non nulles des éléments caractérisés de cette suite de nombres d'un ensemble séquentiel.
Et son corolaire que nous énonçons en complément de notre énoncé de ce que j'ai appelé dans mon introduction la loi mathématique de structure caractéristique comme suit:
- La somme des deux expressions de la fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments de valeurs nulles et non nulles de cette suite de nombres d'un ensemble séquentiel est toujours égale à la suite de nombres d'un ensemble séquentiel correspondants à l'élément neutre pour l'opération de la multiplication des fonctions caractéristiques dont tous les éléments sont égaux à 1.
En fait si xᵢ ∈ R l'expression (13) correspond à l'expression d'une opération de concaténation et de déconcaténation inhérente à n'importe quelle suite de nombres, c'est-à-dire a(xᵢ)=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉ )=1 (13) correspond au résultat de l'opération de la concaténation des deux sous suite de nombres correspondants à la représentation des deux expressions
a(xᵢ)'=⌈|x|/(|x|+1)⌉ (13)', et a(xᵢ)''=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (13)'', qui sont les deux expressions respectivement de la fonction caractéristique de structures élémentaires qui est notée (A')'': 1A(xᵢ≠0)=⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, et de son inverse la fonction caractéristique de structures élémentaires inversées qui est notée (A')''': 1A(xᵢ=0)=1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, et qui elles-mêmes correspondent à l'expression de l'opération de la déconcaténation de l'expression (13) de l'ensemble séquentiel des éléments de valeur identique égale à 1 formant la suite de nombres correspondant à l'élément neutre pour l'opération de la multiplication des fonctions caractéristiques. La description précédente de cette double expression de ces deux opérations équivalentes à deux opérations de déconcaténation ou équivalentes à une opération de concaténation, en fait plus précisément décrite, mais en partie seulement, exactement de ce que j'appelle la loi mathématique de concaténation déconcaténation caractéristique, car il manque la description d'une seule expression d'une opération de concaténation et de déconcaténation correspondante au cas ou xᵢ ∈ R* puisque les deux expressions précédentes (13)' et (13)'' ne correspondent alors plus à une opération de concaténation déconcaténation si au moins un élément xᵢ =0 ou l'expression du résultat de l'application de n'importe quelle fonction caractéristique n'est pas égal à 0. Il nous faut donc définir de nouvelles expressions ce que nous faisons dans le deuxième titre suivant de ce chapitre d'introduction qui explicite les deux opérations fondamentales en arithmétique des chiffres du nombre.
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Illustrons les expressions algébriques correspondant au contenu calculatoire de la démonstration constructive de la loi de structure caractéristique, en remplaçant dans les conditions de si yᵢ=f(xᵢ); et ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁;.….ᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;…..yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, avec les deux exemples de suites de nombres soit SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0) et SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), alors:
L'application de la loi mathématique de structure caractéristique à SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ permet d'obtenir une première représentation ensembliste séquentielle de la sous structure de données qui est celle de la non-nullité des valeurs des éléments de l'ensemble séquentiel des grandeurs d’intensité xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont l’expression algébrique numériquement calculable est représentée comme suit:
- La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (A')'', notée
- La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (A')'', notée
1A(yᵢᵢ≠0)=⌈|y|/(|y|+1)⌉ est Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅)≠0)=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1).
L'application de ce que j'ai appelé dans mon introduction la loi mathématique de structure caractéristique aux ensembles séquentiels SeqEᵢ₌₁₅ et SeqE'ᵢ₌₁₅ permet d'obtenir encore une deuxième représentation ensembliste séquentielle de la sous structure des données qui est celle de de la nullité des valeurs des éléments de l'ensemble séquentiel des grandeurs d’intensité xᵢ ∈ SeqEᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=0; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=0; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=0; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=0; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 0), et yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌₁₅=( yᵢ₌ₙ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊₁=0.24; yᵢ₌ₙ₊₂=0.3; yᵢ₌ₙ₊₃=-4; yᵢ₌ₙ₊₄=12555; yᵢ₌ₙ₊₅=0.163; yᵢ₌ₙ₊₆=0; yᵢ₌ₙ₊₇=21; yᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; yᵢ₌ₙ₊₉=325; yᵢ₌ₙ₊₁₀=0; yᵢ₌ₙ₊₁₁= 2103; yᵢ₌ₙ₊₁₂= 40; yᵢ₌ₙ₊₁₃= 0; yᵢ₌ₙ₊₁₄= -0.444), et dont l’expression algébrique numériquement calculable est représentée comme suit:
- La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (A')''', notée 1A(xᵢ=0) =1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ est Seq(1-1A(SeqEᵢ₌₁₅)=0)=(0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1).
- La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (A')''', notée 1A(yᵢ=0)=1-⌈|y|/(|y|+1)⌉ est Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅)=0)=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0).
Alors l'expression (13) qui est égale à 1A(xᵢ=0)+1A(xᵢ≠0)=a(xᵢ)=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉) =1 à pour représentation ensembliste séquentielle en remplaçant les valeurs des variables précédentes comme suit:
Seq(1-1A(SeqEᵢ₌₁₅) =0) + Seq(1A(SeqEᵢ₌₁₅) ≠0) =(0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1) + (1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0) = (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)
et Seq(1-1A(SeqE'ᵢ₌₁₅) =0) + Seq(1A(SeqE'ᵢ₌₁₅) ≠0)= (0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1) + (1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0) = (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)
Ces deux représentations ensemblistes séquentielles correspondent à l'expression d'une opération de concaténation et de déconcaténation inhérente à n'importe quelle suite de de nombres, d'après ce que j'appelle la loi mathématique de concaténation déconcaténation
caractéristique, c'est-à-dire pour l'expression de la fonction caractéristique équivalente à une opération de concaténation a(xᵢ)=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉)=1 (13), sa représentation ensembliste séquentielle est Seq(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈|x|/(|x|+1)⌉) = (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1), et Seq(1-⌈|y|/(|y|+1)⌉+⌈|y|/(|y|+1)⌉)= (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1); et pour l'opération de la concaténation en deux sous suite de nombres qui correspondent à la représentation des deux expressions a(xᵢ)'=⌈|x|/(|x|+1)⌉ (13)', et a(xᵢ)''=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (13)'', leurs représentations ensemblistes séquentielles sont Seq(1A(⌈|x|/(|x|+1)⌉)=(1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0) et Seq(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ )=(0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1), ainsi que Seq(⌈|y|/(|y|+1)⌉)=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1) et Seq(1-⌈|y|/(|y|+1)⌉)=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0).
Mais cette équivalence avec des opérations de concaténation déconcaténation que l'on observe dans ces représentations ensemblistes séquentielles de la combinaison des fonctions caractéristiques n'est possible uniquement parce qu'elles ont au moins un élément de la suite de nombres caractérisés dont la valeur est 0, ou un élément dont la valeur de la fonction caractéristique est 0 puisqu'il est possible de créer des expressions de fonctions caractéristiques dont la valeur caractéristique de 0 n'est pas nécessairement le résultat du fait que l'élément caractérisé d'une suite de nombre est égal à 0. Sinon sans cette valeur de 0 d'au moins un des éléments de la suite de nombres caractérisés ou de l'ensemble séquentiel de s éléments de la fonction caractéristique appliquée à cette suite de nombre, alors nous n'obtiendrions plus que les expressions de fonctions caractéristiques correspondant à l'élément nul (plus exactement la suite de nombre élément nul pour les opérations de fonctions caractéristiques sur les éléments des ensembles séquentiels ) et à l'élément neutre (plus exactement la suite de nombres éléments neutres pour les opérations de fonctions caractéristiques sur les éléments des ensembles séquentiels) pour les opérations sur les fonctions caractéristiques, et une opération non pas de concaténation mais d'addition de ces deux éléments nul et neutre. Prenons encore un exemple avec la suite de nombre SeqAᵢ₌₁₅=(xᵢ₌ₙ₌₁=1; xᵢ₌ₙ₊₁=1; xᵢ₌ₙ₊₂=0.3; xᵢ₌ₙ₊₃=-4; xᵢ₌ₙ₊₄=12555; xᵢ₌ₙ₊₅=1; xᵢ₌ₙ₊₆=-11; xᵢ₌ₙ₊₇=1; xᵢ₌ₙ₊₈=-0.53; xᵢ₌ₙ₊₉=1; xᵢ₌ₙ₊₁₀=-502.34; xᵢ₌ₙ₊₁₁= 1; xᵢ₌ₙ₊₁₂= 1; xᵢ₌ₙ₊₁₃=1; xᵢ₌ₙ₊₁₄= 1) avec Seq(1A(⌈|x|/(|x|+1)⌉)=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1) et Seq(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ )=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).
Ces deux représentations précédentes par un autre exemple de cette double expression (A')'', (A')''' de ces deux opérations équivalentes à deux opérations de déconcaténation ou équivalentes à une seule opération de concaténation, en l'absence de valeur de 0 ne sont plus équivalentes ni à des opérations de concaténation ni à des opérations de concaténation. Il nous faut donc déterminer les expressions des nouvelles opérations de concaténation et déconcaténation sachant que nous retiendrons néanmoins l'expression de ces fonctions caractéristiques précédemment pour leur propriété unique de concaténation et déconcaténation d'une série de chiffres commençant par 0, ce que les nouvelles expressions des opérations de concaténation et déconcaténation que nous écrivons dans le deuxième titre suivant de ce chapitre d'introduction ne peuvent pas effectuer étant limitée par leur expression à ne pas concaténer un 0 avant le premier chiffre de rang le plus élevé en notation positionnelle de n'importe quel nombre. Donc deux types d'opérations seront nécessaires pour l'application de ce que j'appelle la loi mathématique de concaténation déconcaténation caractéristique:
- Les deux expressions de la fonction caractéristique de structures élémentaires d'éléments de valeurs nulles et non nulles correspondant à l'application de ce que j'ai appelé la loi mathématique de structure caractéristique.
- Les deux opérations de concaténation et de déconcaténation correspondants à l'application de ce que j'appelle la loi mathématique de concaténation déconcaténation caractéristique.
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II) LES OPÉRATIONS GÉNÉRALES DE L'ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES DU NOMBRE NON DÉCIMAL
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1.1 Les deux opérations fondamentales sur les chiffres du nombre qui fondent l'arithmétique des chiffres du nombre:
"La concaténation de deux nombres ou plus est le nombre formé par la concaténation de leurs chiffres. Par exemple, la concaténation de 1, 234 et 5678 est 12345678. La valeur du résultat dépend de la base numérique, qui est généralement comprise à partir du contexte. La formule de concaténation des nombres p et q en base b est: p∥ q=pb^(l(q)) + q où l(q)= ⌊ logb q⌋ +1 est la longueur numérique de q en base b et ⌊ x⌋ est la fonction plancher." Extrait de l'article "Concaténation -- de Wolfram MathWorld"
"La concaténation de deux nombres ou plus est le nombre formé par la concaténation de leurs chiffres. Par exemple, la concaténation de 1, 234 et 5678 est 12345678. La valeur du résultat dépend de la base numérique, qui est généralement comprise à partir du contexte. La formule de concaténation des nombres p et q en base b est:
p∥ q=pb^(l(q)) + q où l(q)= ⌊ logb q⌋ +1 est la longueur numérique de q en base b et ⌊ x⌋ est la fonction plancher." Extrait de l'article "Concaténation -- de Wolfram MathWorld"
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"Déconcaténer: De concaténer, avec le préfixe dé-. Verbe déconcaténer transitif 1er groupe signifiant faire revenir à l'état qui précédait une concaténation, reséparer." Extrait de l'article déconcaténer de "Wiktionnaire, le dictionnaire libre et gratuit que tout le monde peut améliorer."
"Déconcaténer: De concaténer, avec le préfixe dé-. Verbe déconcaténer transitif 1er groupe signifiant faire revenir à l'état qui précédait une concaténation, reséparer." Extrait de l'article déconcaténer de "Wiktionnaire, le dictionnaire libre et gratuit que tout le monde peut améliorer."
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En général nous définissons les chiffres de n'importe quel nombre r ∈ R comme les éléments appartenant à l'ensemble séquentiel que je note DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), et plus spécifiquement les éléments que je note algébriquement q ∈ N* et w ∈ N chiffres d'un nombre noté qw, et dont la longueur numérique égale à 1, et dont le résultat de l'opération de leur concaténation d'expression générale notée, q∥w=q*b^(l(q)) + w=qw, (1) où l(q) est la notation de la longueur numérique en base b=10 d'expression l(q)=⌊log₁₀(q)⌋+1 (2) est un nombre noté qw; et/ou le résultat de l'opération de leur déconcaténation est deux nombres, sachant que l'opération de déconcaténation est définie comme l'opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments et qui est notée en général pour deux chiffres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc une opération de déconcaténation qui est notée q⫲w, alors l'expression de l'opération de déconcaténation droite ou gauche des deux chiffres q et w du nombre qw, résultant de la concaténation précédente des deux chiffres q et w quelque soit leurs valeurs de chiffres en valeur dans l'ensemble de10 chiffres que je note DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9) est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions générales (plus particulièrement nous différencierons l'opération de déconcaténation droite et l'opération de déconcaténation gauche par leurs expressions que nous définirons alors au chapitre 78 suivant ) de l'opération de déconcaténation q⫲qw et w⫲qw, qui sont définies de la façon suivante:
- q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, (3) avec l(w)=⌊log₁₀(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base b=10, et si w=0 alors l(w)=⌊log₁₀(w+1)⌋+1 (2)'. Ici, dans notre illustration de la propriété des nombres particuliers que sont les chiffres, w est un nombre d'un seul chiffre donc un chiffre de longueur 1, donc l(w)=1.
- w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, (3)' avec l(qw)=⌊log₁₀(qw)⌋+1 (2)'' qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base b=10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 (2) qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base b=10, et si q=0 alors l(q)=⌊log₁₀(q+1)⌋+1. Ici encore, dans notre illustration de la propriété des nombres particuliers que sont les chiffres, q est un nombre d'un seul chiffre donc un chiffre de longueur 1, donc l(q)=1, et qw est un nombre résultant de l'opération de concaténation de q et w donc un nombre de deux chiffres et l(qw)=2.
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1.2 Les deux opérations ensemblistes qui fondent l'arithmétique des chiffres du nombre:
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N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ H ⊂ O.Les symboles sont les notations standard pour les ensembles de naturels, entiers, rationnels, réels ou nombres complexes, quaternions et octonions. (Ces derniers sont également connus comme octaves et nombres de Cayley).
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