10: 1'A I FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'ANNULATION

 ©2012 Cédric Christian Bernard Gagneux

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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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I) LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'ANNULATION

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Donc, nous commençons dans ce nouveau titre notre catégorisation des fonctions indicatrices, en considérant que la première catégorie élémentaire des fonctions indicatrices est celle que j'ai appelée, "les fonctions d'annulation caractéristiques", notée Nullval(xₙ₌ₚ) ↔1A(xₙ₌ₚ), 

et définie comme la fonction indicatrice caractéristique de la valeur nulle ou non nulle de n'importe quelle suite de nombres, et définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠xₙ₌ₚ  
• 1A(xₙ)=0 si xₙ=xₙ₌ₚ

L'expression de cette fonction caractéristique de la séquence de nombres Seq=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃..xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ..), est définie comme suit: 

∀ xₙ ∈ SeqX=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...) ∈ R, ∀ n ∈ N*, et soit Null Val(xₙ₌ₚ) ↔ 1A(xₙ₌ₚ): 

1A(xₙ₌ₚ)=⌈ ⌈ |n/p-1| ⌉/( ⌈ |n/p-1| ⌉+1) ⌉                          (a₁). 

Ou bien encore la fonction indicatrice inverse, soit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=1 si xₙ=xₙ₌ₚ
• 1A(xₙ)=0 si xₙ ≠xₙ₌ₚ

L'expression de cette fonction caractéristique de la séquence de nombres Seq=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, ...xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...), est définie comme suit: 

∀ xₙ ∈ SeqX=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...) ∈ R, ∀ n ∈ N*, et soit Nullval(xₙ≠ₚ) ↔ 1-1A(xₙ₌ₚ): 

1-1A(xₙ₌ₚ)=1- ⌈ ⌈ |n/p -1| ⌉/( ⌈ |n/p -1| ⌉+1) ⌉           (a₂).         

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Prenons un exemple, avec l'annulation de la quatrième valeurs d'une suite de nombres représentée par SeqXₙ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...), en général et en particulier par SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,

174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244, 57,138, 250, 12171,499). Donc en remplaçant par les valeurs de  SeqAᵢ₌₂₃ dans l'expression précédente  (a₁), comme suit:

∀ n ∈ N*, et soit Nullval(xₙ₌₄) ↔ 1A(xₙ₌₄):

1A(xₙ₌₄)=⌈ ⌈ |n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1) ⌉ , dont la représentation est la séquence Seq(0;1)=(1;1;1;0;1;1;1;1;1;1...…). Nous obtenons l'annulation de la quatrième valeur de SeqAᵢ₌₂₃, soit l'expression:

1A(xₙ₌₄)*SeqAᵢ₌₂₃=⌈ ⌈ |n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1) ⌉*xₙ,  de représentation SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,0,

152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244, 57,138, 250, 12171,499)

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Toutes les fonctions caractéristiques qui sont en général des suites de nombre appartenant au sous-ensemble {0,1}, peuvent être assimilées à des fonctions d'annulation des valeurs des éléments de n'importe quelle suite de nombre de l'ensemble R, comprenant la suite de nombres du sous-ensemble {0,1} de la représentation d'une fonction caractéristique, car l'opération de multiplication de toutes fonctions caractéristiques avec n'importe quelle suite de nombre de l'ensemble R, ou du sous-ensemble {0,1} correspond à un processus d'annulation des valeurs de cette suite. Donc, si nous voulons créer la nomenclature d'une nouvelle fonction intitulée, la "fonction d'annulation caractéristique", il nous faut déterminer s'il existe une ou des propriétés particulières de certaines fonctions caractéristiques qui sont plus spécifiques à la fonction d'annulation que d'autres fonctions caractéristiques, et correspondant donc à cette nouvelle fonction.

Cette propriété plus significative d'une fonction caractéristique plus assimilable à une fonction d'annulation que d'autres est celle de la propriété de la relation de divisibilité notée b|a (tandis que le résultat de la division de a par b noté a/b), et exprimée par, "a est divisible par b", et signifiant que "b divise a", si et seulement si, la division euclidienne de a par b est exacte (c.-à-d. a pour reste 0). La relation de divisibilité qui par sa propriété de validité binaire, soit la relation de divisibilité entre a et b existe ou non, et une relation qui n'existe que dans deux cas soit a=b et b=x*a, est la plus assimilable au résultat d'une fonction caractéristique, car elle est composée de deux éléments d'une suite de nombres de valeurs 0 et 1 pouvant représenter cette relation de divisibilité comme existante ou non, c'est à dire que cette relation de divisibilité n'ayant en soi aucune valeur numérique binaire, car seules les valeurs numériques de a(n)=a/n (1), correspondent à la valeur numérique de la relation de divisibilité notée n|a, nous pouvons donc assigner une valeur numérique appartenant au sous-ensemble {0,1} de N, quantifiant cette relation existante ou non par les valeurs résultats de l'expression de la fonction caractéristique en général, soit la valeur de 0 correspondant au reste de la division euclidienne notée a(n)=a/n (1) signifiant donc une propriété de divisibilité existante comme définie précédemment; et soit la valeur de 1, correspondant au reste de la division euclidienne notée a(n)=a/n (1) et signifiant une propriété de divisibilité non existante. Nous devons maintenant déterminer quelle est la propriété spécifique de la fonction caractéristique de la relation de divisibilité par rapport à d'autres représentations possibles de la relation de divisibilité, afin de rendre plus spécifique encore cette propriété de la fonction caractéristique assimilable à une fonction d'annulation.

Ainsi la propriété de la divisibilité notée n|a, de la variable a, avec a ∈ N*, par n, ∀ n ∈ N*, peut avoir aussi l'expression particulière a/n-⌊a/n⌋=0 (2'), de l'expression générale a/n-⌊a/n⌋ (2); elle peut avoir aussi pour expression particulière, celle de l'expression particulière, mod(a,n)=0 (3'), de l'expression générale mod(a,n) (3), et dont les deux suites de nombres correspondant aux résultats de ces deux expressions particulières respectives sont proches de ceux d'une suite de nombres de valeurs du sous-ensemble {0;1} de l'ensemble N, d'une fonction caractéristique, si à la valeur de 0 est associé l'existence de la propriété de divisibilité n|a, soit l'expression a/n-⌊a/n⌋=0 (2'), ou mod(a,n)=0 (3'), correspondante à la division euclidienne de a par n, est exacte, représentée par la valeur du reste de la division a/n est égale à 0; tandis qu'à toutes autres valeurs non nulles, mais qui n'est pas la valeur 1 exclusivement comme le serait le résultat d'une fonction caractéristique, est associé la non existence de la propriété de divisibilité, soit la division euclidienne de a par n est non exacte, représentée par la valeur du reste de la division a/n qui n'est pas égal à 0. Donc la propriété spécifique recherchée précédemment est la binarité du résultat de l'expression d'une fonction caractéristique de la relation de divisibilité que toute autre expression de la relation de divisibilité ne possède pas, ce qui nous ramène donc à comparer à nouveau cette fonction caractéristique de la relation de divisibilité, par rapport à d'autres fonctions caractéristiques, dont nous allons maintenant comparer celle de la "fonction caractéristique fondamentale" de n'importe quelle valeur nulle d'un nombre xₙ de l'ensemble R, et définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}

• 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠0  

• 1A(xₙ)=0 si xₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'expression a(n)=xₙ  (0), est définie comme suit: 
∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (4); donc en replaçant xₙ dans (4) par les variables des expressions précédentes (2) et (3), soit a/n-⌊a/n⌋=xₙ ou mod(a,n)=xₙ, nous obtenons respectivement la première nouvelle définition de la fonction caractéristique fondamentale précédente (4) comme suit: 
 1A: E→ {0,1}

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=1, si a/n-⌊a/n⌋≠0

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=0, si a/n-⌊a/n⌋=0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'expression a(n)=a/n-⌊a/n⌋ (2), est définie comme suit: 
∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n)=⌈|a/n-⌊a/n⌋|/(|a/n-⌊a/n⌋|+1)⌉ (4'); et nous obtenons la deuxième définition correspondante de la fonction caractéristique précédente comme suit:
 1A: E→ {0,1}

• 1A(mod(a,n))=1, si mod(a,n)≠0

• 1A(mod(a,n))=0, si mod(a,n)=0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'expression a(n)=mod(a,n) (3), est définie comme suit: 
∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(a,n))=⌈|mod(a,n)|/(|mod(a,n)|+1)⌉ (4"), correspondant donc exactement à la représentation de la propriété existante ou non de la divisibilité de a par n, notée 1A(n|a), soit la valeur de 1 si la propriété de divisibilité n'existe pas, car la valeur de 1 symbolise un reste de la division euclidienne de a par n, a(n)=a/n (1) dont le reste est différent de 0; ou la valeur de 0 si cette propriété de divisibilité existe, car la valeur de 0 symbolise un reste de la division euclidienne de a par n, a/n (1) dont le reste est égal à 0. 
Pour encore rendre plus spécifique la propriété de la fonction caractéristique la plus assimilable à une fonction d'annulation nous devons considérer sa spécificité correspondant à sa précision c'est-à-dire à la quantité de valeurs annulées non plus de deux comme précédemment, mais d’une, car dans les deux expressions de fonctions caractéristiques précédentes (4') et (4"), leurs représentations sont communes à une seule représentation d'une suite de nombre de valeurs appartenant au sous-ensemble {0;1} de l'ensemble N, avec deux valeurs de 0 et une infinité de valeurs 1, donc il nous faut maintenant considérer une propriété encore plus spécifique de la propriété de la relation de la divisibilité elle-même, pour obtenir une propriété encore plus spécifique de la fonction caractéristique la plus assimilable à une fonction d'annulation. Cette propriété de divisibilité encore plus spécifique est celle de la propriété de la divisibilité réciproque, notée n|a ↔ a|n, dont la définition est, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ S ⊆ N*: a ∈ {S ⊆ N*: n|a})↔a ∈ {S ⊆ N*: a|n}; et qui correspondant à la fonction caractéristique définit comme suit:
 1A: E→ {0,1}

• 1A(a/n-n/a)=0 si a/n-n/a=0

• 1A(a/n-n/a)=1 si a/n-n/a≠0

L'expression de cette fonction caractéristique de a(n)=a/n-n/a (5), est définie comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n-n/a)=⌈|a/n-n/a|/(|a/n-n/a|+1)⌉ (6).
Nous obtenons l'expression d'une fonction caractéristique correspondante à cette propriété de divisibilité réciproque dont la représentation par une suite de nombres de valeurs du sous-ensemble {0;1} n'a plus qu'un seul élément de valeur égale à 0 correspondant au seul cas ou a/n-n/a=0 ce qui correspond à la spécificité recherchée de précision dans l'annulation, car seule la dernière expression (6) ne résultant que dans une seule valeur nulle, sera donc l'expression de la fonction caractéristique la plus spécifiquement correspondante à la fonction d'annulation d'une seule valeur des éléments aussi notés a de l'ensemble de la suite particulière de nombres notée SeqA et sous-ensemble de l'ensemble R, soit la fonction caractéristique d'annulation simple notée Nullsmpl1A({x} ⊆ N)*a=1A(a/n-n/a)*a. 
Par extension des éléments finaux de notre détermination de la fonction caractéristique d'annulations correspondant à la fonction caractéristique la plus spécifique possible, nous pouvons élaborer l'expression de la fonction d'annulation de plusieurs valeurs des éléments de la suite de nombres SeqA, soit la fonction caractéristique d'annulations simples multiples, notée Nullsmpl1A({a, b, c, d,...} ⊆ N)*a=1A(a/n-n/a+b/n-n/b+c/n-n/c +d/n-n/d)*a, une expression qui correspond à la composition de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique, définie comme suit:
 1A: E→ {0,1}

• 1A(a/n-n/a+b/n-n/b+c/n-n/c +d/n-n/d)=0 si a/n-n/a=0 ∧ b/n-n/b=0 ∧ c/n-n/c=0 ∧ d/n-n/d=0

• 1A(a/n-n/a+b/n-n/b+c/n-n/c +d/n-n/d)≠0 si a/n-n/a≠0 ∧ b/n-n/b≠0 ∧ c/n-n/c≠0 ∧ d/n-n/d≠0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'expression caractérisée, a(n)=a/n-n/a+b/n-n/b+c/n-n/c +d/n-n/d, (7), est définie comme suit:
∀ a ∈ R-{0}, ∀ b ∈ R-{0}, ∀ c ∈ R-{0}, ∀ d ∈ R-{0}, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n-n/a+b/n-n/b+c/n-n/c +d/n-n/d)=⌈|a/n-n/a+b/n-n/b+c/n-n/c +d/n-n/d|/(|a/n-n/a+b/n-n/b+c/n-n/c +d/n-n/d|+1)⌉ (8). 
Si la quantité de valeurs annulées doit être finie, ce que le terme de "simple" signifie surtout dans la fonction caractéristique d'annulation simple, nous développerons une expression équivalente synthétique de l'expression (8), parce que ce terme de "simple" signifie aussi que l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple est non composée de plusieurs expressions de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique, mais est une expression synthétique. 
∴
La question subsiste de comment justifier logiquement d'élargir à l'ensemble R, l'ensemble des nombres de N sur lequel nous avons élaboré notre processus précédant d'élaboration de l'équivalence de la fonction d'annulation caractéristique soit un nombre qui n'est plus restreint à l'ensemble des nombres entiers, ce qui est intuitivement répondue par la définition même du processus de la fonction d'annulation caractéristique simple appliquée à n'importe quelle valeur de rang xₙ, de l'élément a parmi les éléments de la suite de nombres SeqA ⊆ R, par l'opération de multiplication notée Nullsmpl1A({xₙ} ⊆ N)*a, un processus qui implique que toutes les expressions des fonctions caractéristiques obtenues de valeurs exclusivement appartenant au sous ensemble {0;1} de N, peuvent aussi être multipliées par les valeurs de n'importe quelle suite de nombres SeqA ⊆ R, ainsi que par les nombres entiers de la suite de nombres de l'ensemble N, correspondant en fait aux indices du rang des éléments de la suite de nombres de SeqA ⊆ R.
∴
Nous allons donc dans un premier sous-titre 1.1.a), élaborer premièrement l'expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple unique des nombres entiers de N", et par extension deuxièmement l'expression de la "la fonction d'annulation caractéristique simple unique de SeqA ⊆ R" donc d'un seul élément de rang égal à la valeur xₙ, parmi les éléments notés a, de la suite de nombres SeqA, qui est notée Nullsmpl1A({xₙ} ⊆ N)*a; avec cette première expression équivalente à la fonction caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque d'une seule variable par les valeurs d'une suite d'un ensemble de nombres, mais aussi qui est équivalente à la fonction inverse de la fonction caractéristique d'un singleton de n'importe quelle valeur; et dans le deuxième sous-titre 1.1.b) nous allons élaborer l'expression équivalente à celle de la fonction caractéristique de n'importe quel élément choisi d'une suite d'un ensemble de nombres. 
Ensuite dans un troisième sous-titre 1.2.a), nous allons élaborer premièrement l'expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple double des nombres entiers de N" donc par extension encore deuxièmement l'expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple double", donc deux des éléments de rang de valeur égale à xₙ et à yₙ, parmi les éléments, a de la suite de nombres SeqA, et notée Nullsmpl1A({xₙ, yₙ} ⊆ N)*a; avec cette première expression qui est d'abord équivalente à la fonction caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque d'une seule variable entière par les valeurs d'une suite d'un ensemble de nombres entiers, et comme précédemment qui est équivalente à la fonction inverse de la fonction caractéristique d'un doublon de n'importe quelle valeur entière; ensuite dans un quatrième et cinquième sous-titre, 1.2.b) et 1.2.c) nous allons élaborer l'expression non composée de deux expressions de deux fonctions d'annulation caractéristiques simples, mais qui est dite expression synthétique (un terme signifiant une expression non composée d'autre expression de fonction et donc correspondant à une fonction simple donc non composée par opposition à une expression non synthétique correspondant à une composition d'expression).
Dans un sixième sous-titre, 1.3.a) nous allons élaborer premièrement l'expression de "la fonction d'annulation simple multiple des nombres entiers de N" et par extension encore donc deuxièmement  l'expression de "la fonction d'annulation simple multiple" de plusieurs éléments successifs ou non, dont la valeur des rangs sont égaux à xₙ, yₙ, zₙ,...parmi les éléments a, de la suite de nombres SeqA, et notée Nullsmpl1A({xₙ, yₙ, zₙ,...} ⊆ N)*a;  avec cette première expression qui est d'abord équivalente à l'expression de la composition de fonctions d'annulation caractéristique simple unique, elle-même encore équivalente à la composition de plusieurs fonctions caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque d'une seule variable par les valeurs d'une suite d'un ensemble de nombres; tandis que dans un septième sous-titre 1.3.b), nous élaborerons comme précédemment au sous-titre 1.2.b et 1.2.c), l'expression synthétique de ces expressions composées du sous-titre précédent 1.3.a).

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1.1) La fonction caractéristique d'annulation simple 

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La fonction indicatrice du singleton xₙ, notée Sx={xₙ} est définie comme suit:
 1A: E→ {0,1}

• 1A(n-xₙ)=0, si n- xₙ=0

• et 1A(n-xₙ)=1, si n-xₙ≠0

On obtient l’expression de cette fonction indicatrice du singleton {xₙ}, noté Sx={xₙ}, c'est-à-dire la fonction caractéristique de a(n)=n-xₙ (9), défini comme suit:
 ∀ xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=(⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(xₙ-1)/n⌋/(⌊(xₙ-1)/n⌋+1))⌉) (10).

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1.1.a) l'expression de la fonction caractéristique d'annulation  simple unique équivalente à la fonction caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque et à la fonction inverse de la fonction caractéristique d'un singleton
∴
Soit, n un nombre appartenant à l’ensemble des nombres entiers N*=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10....); soit xₙ un nombre appartenant à l’ensemble des nombres entiers N=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10....); soit la partie entière (par défaut) inférieure de (xₙ+1)/n, notée ⌊(xₙ+1)/n⌋, et la partie entière supérieure de xₙ/n, notée ⌈xₙ/n⌉); soit la relation de divisibilité entre xₙ+1 et n, dont la notation est xₙ+1|n, ce qui signifie que xₙ+1 divise n, et la relation de divisibilité entre xₙ+1 et n, notée n|xₙ+1, signifiant que n divise xₙ+1; et soit la fonction caractéristique ou fonction indicatrice définie en particulier ici sur un ensemble E={(xₙ+1)/n; n/(xₙ+1)} qui explicite l’appartenance ou non au sous-ensemble A ⊆ E={(xₙ+1)/n=n/(xₙ+1)=1} de tout élément de E, et notée 1A, comme suit:
1A: E→ {0,1}

• 1A((xₙ+1)/n-n/(xₙ+1))=0, si (xₙ+1)/n-n/(xₙ+1)=0

• et 1A((xₙ+1)/n-n/(xₙ+1))=1, si (xₙ+1)/n-n/(xₙ+1)>0

On obtient l’expression de cette fonction caractéristique particulière de la relation de divisibilité réciproque définit par: ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ N: xₙ ∈ {A ⊆ E ⊆ N: n|xₙ+1})↔xₙ ∈ {A ⊆ E ⊆ N: xₙ+1|n}, donc l'expression de la fonction caractéristique de a(n)=(xₙ+1)/n-n/(xₙ+1), comme suit:
∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*: 1A((xₙ+1)/n-n/(xₙ+1))=1-(⌈(⌊(xₙ+1)/n⌋/(⌊(xₙ+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉)       (11), correspondante à l'expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple unique" d'un seul élément de N, et une expression qui si multipliée par les éléments a, de la suite de nombres SeqA ⊆ R, devient  une nouvelle expression équivalente à l'expression de la "fonction d'annulation caractéristique simple unique" donc d'un seul élément de rang de valeur égale à xₙ, parmi les éléments notés a, de la suite de nombres SeqA ⊆ R, et qui est une expression notée Nullsmpl1A({xₙ} ⊆ N)*a.

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Considérons l’exemple de la valeur particulière de la variable xₙ=0, et en remplaçant cette valeur x=0 dans l'expression (11), nous obtenons les seules valeurs de la fonction caractéristique appartenant au sous-ensemble {0,1} et que nous décomposons artificiellement dans un double processus suivant deux cas de la valeur de n ∈ N*:

• si n=1 et 0+1=1: 1A((0+1)/n-n/(0+1))=1-(⌈(⌊(0 +1)/1⌋/(⌊(0+1)/1⌋+1))⌉-⌈(⌊0/1⌋/(⌊0/1⌋+1))⌉)=1-(⌈(⌊1/1⌋/(⌊1/1⌋+1))⌉-⌈(⌊0⌋/(⌊0⌋+1))⌉)=1-(⌈1/2⌉-⌈0/1⌉ )=1-(1-0)=0 (11')

• si n>1, et 0+1=1: 1A((0+1)/n-n/(0+1))=1-(⌈(⌊(0+1)/n⌋/(⌊(0+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊0/n⌋/(⌊0/n⌋+1))⌉)=1-( ⌈(⌊1/n⌋/(⌊1/n⌋+1))⌉-⌈(⌊0⌋/(⌊0⌋+1))⌉)= 1-(⌈(⌊1/n⌋/(⌊1/n⌋+1))⌉)=1-0=1 (11")

Ces deux expressions (11') et (11") sont en fait simultanément exprimées en une seule expression (11) de la fonction caractéristique de la relation de la divisibilité réciproque notée, ∀ n ∈ N*, soit 0 ∈ N: 0 ∈ {A ⊆ E ⊆ N: n|0+1})↔ 0 ∈ {A ⊆ E ⊆ N: 0+1|n}, équivalente à l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple notée Nullsmpl1A({0+1} ⊆ N) et qui correspond aussi à l'expression de la fonction inverse de fonction indicatrice du singleton {1}, noté S1={1} et représentée par la suite de nombre, S{1}=(1,0,0,0,0,0,0,0,0....).
Si nous considérons maintenant l'exemple de la suite de nombres au rang indicé sur N, notée SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), dont la suite de nombre entier correspondant au rang des éléments de SeqA est l'ensemble N*, et si nous considérons l'expression (11') représentée par S=(0,1,1,1,1,1,1,1,1....), nous obtenons une représentation de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple unique de la valeur de rang égal à 1 de l'élément correspondant parmi les éléments notés a, de la suite de nombres SeqA, par l'opération de multiplication des éléments de cette suite S représentation de l'expression (11'), par les éléments notés a, de la suite de nombres SeqA, définie comme suit:
Soit xₙ=0, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({0+1} ⊆ N)*a=1-(⌈(⌊(0 +1)/1⌋/(⌊(0+1)/1⌋+1))⌉-⌈(⌊0/1⌋/(⌊0/1⌋+1))⌉)*a, dont la représentation est SeqA'=(0,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,106…).

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Correspondant à l'exemple précédent de la variable xₙ=0, la fonction indicatrice du singleton {1} noté S{1}={1} est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}

• 1A(n-1)=1, si n-1=0

• 1A(n-1)=0, si n-1≠0.

On obtient l’expression de cette fonction indicatrice particulière du singleton {1} noté S{1}={1} en remplaçant par la nouvelle valeur de la variable xₙ=0 dans l’expression, a(n)=⌈(⌊(xₙ+1)/n⌋/(⌊(xₙ+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉ (10), et nous obtenons une suite de deux valeurs (0,1) correspondant aux deux cas suivants de la valeur de n ∈ N*:

• si n=0+1=1, 1A(0+1)=⌈(⌊(0+1)/1⌋/(⌊(0+1)/1⌋+1))⌉-⌈(⌊0/1⌋/(⌊0/1⌋+1))⌉=⌈(⌊1/1⌋/(⌊1/1⌋+1))⌉-⌈(⌊0⌋/(⌊0⌋+1))⌉ =⌈1/2⌉-⌈0⌉=1-0=1 (10"')

• si n≠0+1=1, 1A(0+1))=1-(⌈(⌊(0+1)/n⌋/(⌊(0+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊0/n⌋/(⌊0/n⌋+1))⌉)=1-(⌈(⌊0/n⌋/(⌊0/n⌋+1))⌉-⌈(⌊0/n⌋/(⌊0/n⌋+1))⌉)=1-1=0 (10''")

Ces deux expressions (10"') et (10"'') sont en fait simultanément exprimées en une seule expression (10'') de la fonction caractéristique indicatrice particulière du singleton {1} noté S{1}={1} et représentée par la suite de nombres S{1}=(1,0,0,0,0,0,0,0,0....).

⁂

Considérons un autre exemple pour la valeur de la variable xₙ=5, en remplaçant dans l’expression (11), nous obtenons les seules valeurs de {0,1} que nous décomposons encore artificiellement dans un double processus suivant deux cas de la valeur de n ∈ N*:

• si n=5+1=6, 1A((5+1)/n-n/(5+1))=1-(⌈(⌊(5+1)/6⌋/(⌊(5+1)/6⌋+1))⌉-⌈(⌊5/6⌋/(⌊5/6⌋+1))⌉)=1-(⌈(⌊6/6⌋/(⌊6/6⌋+1))⌉-⌈(⌊0⌋/(⌊0⌋+1)) )=1-(⌈1/2⌉-⌈0⌉)=1-1=0 (11"')

• si n≠5+1=6, 1A((5+1)/n-n/(5+1))=1-(⌈(⌊(5+1)/n⌋/(⌊(5+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉)=1-(⌈(⌊6/n⌋/(⌊6/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉)=1-0=1 (11''")

Ces deux expressions (11") et (11") sont en fait simultanément exprimées en une seule expression (11) de la fonction caractéristique de la relation de la double divisibilité notée, ∀ n ∈ N*, ∀ 5 ∈ R: 5 ∈ {A ⊆ E ⊆ R: n|5+1})↔ 5 ∈ {A ⊆ E ⊆ R: 5+1|n}, équivalente à l'expression de la fonction d'annulation caractéristique Nullsmpl1A({xₙ+1=6} ⊆ N) et qui correspond aussi à l'expression inverse de l'expression de la fonction indicatrice du singleton {6}, noté S{6}={6} et représentée par la suite de nombres S{6}=(0,0,0,0,0,6,0,0,0..), car l'expression (11') est dans ce cas de xₙ=5, représentée par S'=(1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1..).

⁂

Considérons encore l'exemple précédent de la variable xₙ=5, la fonction indicatrice du singleton {6} noté S{6}={6} est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}

• 1A(n-5-1)=1, si n-5-1=0

• et 1A(n-5-1)=0, si n-5-1≠0.

On obtient l’expression de cette fonction indicatrice particulière du singleton {6} noté S{6}={6} en remplaçant par la nouvelle valeur de la variable xₙ=5 dans l’expression, a(n)=⌈(⌊(xₙ+1)/n⌋/(⌊(xₙ+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉ (10), et nous obtenons une suite de deux valeurs (0,1) correspondant aux deux cas suivants de la valeur de n ∈ N*:

• si n=5+1=6, 1A(n-5-1)=⌈(⌊(5+1)/6⌋/(⌊(5+1)/6⌋+1))⌉-⌈(⌊5/6⌋/(⌊5/6⌋+1))⌉=⌈(⌊6/6⌋/(⌊6/6⌋+1))⌉-⌈(⌊0⌋/(⌊0⌋+1)) ⌉=⌈1/2⌉-⌈0⌉=1-0=1 (10"')

• si n≠5+1=6, 1A(n-5-1))=1-(⌈(⌊(5+1)/n⌋/(⌊(5+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉)=1-(⌈(⌊6/n⌋/(⌊6/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉)=1-1=0 (10''")

Ces deux expressions (10"') et (10"'') sont en fait simultanément exprimées en une seule expression (10'') de la fonction caractéristique indicatrice particulière du singleton {6} noté S{6}={6} et représentée par la suite de nombres S{6}=(0,0,0,0,0,6,0,0,0....).

⁂

1.1.b) L'expression de la fonction caractéristique d'annulation simple unique équivalente à l'expression de la fonction caractéristique fondamentale d'un élément d'une suite de nombre

⁂

Dans notre processus d'élaboration de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple et unique équivalente à l'expression de la fonction caractéristique fondamentale de n'importe quelle valeur choisie d'une suite de nombres, nous commencerons par décrire le processus fondamental d'élaboration de l'expression de la fonction caractéristique du singleton équivalente à l'expression inverse de la fonction d'annulation caractéristique simple, qui correspond aux expressions développées dans notre exemple précédent de xₙ=5, que nous rappelons avoir défini telles que, ∀ n ∈ N*, si n<xₙ+1=6, 1A(6)=⌈(⌊(5+1)/n⌋/(⌊(5+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉=⌈(⌊6/n⌋/(⌊6/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉=1-1=0 (10'''); et ∀ n ∈ N*, si n>xₙ+1=6, 1A({6})=⌈(⌊(5+1)/n⌋/(⌊(5+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉=⌈(⌊6/n⌋/(⌊6/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉=0-0=0 (10''''); nous pouvons déduire de ces deux expressions particulières que la suite de nombres S=(0,0,0,0,0,1,0,0,0....), qui est la représentation de la fonction indicatrice particulière du singleton {6} correspondant à l’équation (10'), peut s'obtenir par l'opération de soustraction de deux expressions de deux suites de nombres soit la première représentée par S'(n<=6)=(1,1,1,1,1,1,0,0,0…), d’expression particulière a(n<=6)=⌈(⌊6/n⌋/(⌊6/n⌋+1))⌉ (12'), et d'expression générale, a(n)=⌈(⌊(xₙ+1)/n⌋/(⌊(xₙ+1)/n⌋+1))⌉ (12); et la seconde, représentée par S'(n<=5)=(1,1,1,1,1,0,0,0,0…), d’expression particulière  a(n<=5)=⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉ (13'), et d'expression générale a(n)=⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉ (13). Ces deux expressions particulières soustraites a(5<=n<=6)=⌈(⌊6/n⌋/(⌊6/n⌋+1))⌉-⌈(⌊5/n⌋/(⌊5/n⌋+1))⌉, correspondent aussi à deux expressions générales soustraites, a(n)=(⌈(⌊(xₙ+1)/n⌋/(⌊(xₙ+1)/n⌋+1))⌉)-⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉), soit la soustraction de (12) et (13). 

⁂

Nous continuons donc notre processus d'élaboration de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple et unique équivalente à l'expression de la fonction caractéristique fondamentale de n'importe quelle valeur choisie d'une suite de nombres, en remarquant que le processus fondamental de cette opération de soustraction entre ces deux expressions (12') et (13'), élaborer précédemment peut se simplifier par son équivalence à une élimination des valeurs non nulles du premier au cinquième rang dans une seule suite de nombres S=(1,1,1,1,1,1,0,0,0…) et dont l’équation est ⌈(⌊6/n⌋/(⌊6/n⌋+1))⌉ (12') correspondant premièrement à la soustraction des éléments de la suite de l’ensemble des nombres entiers N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10....} et de la variable xₙ=5, une opération d'expression particulière a(n)=n-5-1, et générale a(n)=n-xₙ-1, résultant dans la nouvelle représentation de la suite de nombres notée S"=(-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4….); et deuxièmement le processus fondamental de cette opération de soustraction entre ces deux expressions (12') et (13'), par la caractérisation des valeurs non nulles de S", par la valeur 0, et la caractérisation par la valeur 1, des valeurs nulles de S", un processus correspondant à celui de la fonction indicatrice générale de l'expression, a(n)=n-xₙ-1, définie comme suit:
1A: E→ {0,1}

• 1A(n-1-xₙ)=1, si n-1-xₙ=0

• et 1A(n-1-xₙ)=0, si n-1-xₙ≠0.

Cette fonction indicatrice particulière de la fonction caractérisée d’expression a(n)=n-1-xₙ, peut se définir par l’expression:
∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*, 1A(n-1-xₙ)=1-⌈|n-1-xₙ|/(|n-1-xₙ|+1)⌉ (14); cette expression générale du singleton {xₙ+1}, est aussi équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple unique, définie comme suit:
1A: E→ {0,1}

• 1A(n-1-xₙ)=0, si n-1-xₙ≠0

• et 1A(n-1-xₙ)=0, si n-1-xₙ=0

Cette fonction inverse de la fonction caractéristique précédente d'expression (14), est aussi une fonction indicatrice particulière de la fonction caractérisée d’expression a(n)= n-1-xₙ, est définie par l’expression:
∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*, 1A(n-1-xₙ)=⌈|n-1-xₙ|/(|n-1-xₙ|+1)⌉ (15), équivalente à l'expression de la "fonction d'annulation caractéristique simple unique" d'un seul élément de N, et une expression qui si multipliée par les éléments a, de la suite de nombres SeqA ⊆ R, devient  une nouvelle expression équivalente à l'expression de la "fonction d'annulation caractéristique simple unique" donc d'un seul élément de rang de valeur égale à xₙ, parmi les éléments notés a, de la suite de nombres SeqA ⊆ R, et qui est une expression notée Nullsmpl1A({xₙ} ⊆ N)*a.

⁂

Nous remarquons que la forme générale de cette expression (14), est similaire à celle de la "fonction caractéristique fondamentale de n'importe quelle valeur nulle d'un nombre entier xₙ ", définie comme suit:
∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (4); et si nous remplaçons dans l'expression (14) le terme |n-1-xₙ|=Xₓ, nous obtenons une nouvelle expression définie comme suit:
∀ Xₓ ∈ N*, ∀ xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(Xₙ)=⌈|Xₙ|/(|Xₙ|+1)⌉ (16), une expression de la "fonction caractéristique fondamentale de n'importe quelle valeur nulle d'un nombre entier Xₙ=|n-1-xₙ|", équivalente à l'expression de la "fonction d'annulation caractéristique simple unique" d'un seul élément de N, et une expression qui si multipliée par les éléments a de la suite de nombres SeqA ⊆ R, devient une nouvelle expression équivalente à l'expression de la "fonction d'annulation caractéristique simple unique" donc d'un seul élément de rang de valeur égale à Xₙ, parmi les éléments notés a, de la suite de nombres SeqA ⊆ R, et qui est une expression notée Nullsmpl1A({Xₙ} ⊆ N)*a.

⁂

1.2) La fonction caractéristique d'annulation simple double

⁂

Nous pouvons par extension de l'expression générale du singleton {xₙ+1}, définie précédemment comme suit:

∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*, 1A(n-1-xₙ)=1-⌈|n-1-xₙ|/(|n-1-xₙ|+1)⌉ (14), définir l’expression générale de la fonction indicatrice générale du singleton {xₙ} comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n-xₙ)=1, si n-xₙ=0
• et 1A(n-xₙ)=0, si n-xₙ≠0.

Cette fonction indicatrice particulière de la fonction caractérisée d’expression a(n)=n-xₙ, peut se définir par l’expression:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n-xₙ)=1-⌈(|n-xₙ|)/(|n-xₙ|+1)⌉ (17), et son expression inverse correspondant à la fonction caractéristique inverse en générale, notée 1-1A(n-xₙ)=⌈(|n-xₙ|)/(|n-xₙ|+1)⌉, est équivalente à l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple unique définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N*,∀ n ∈ N*: Nullsmp1A({xₙ} ⊆ N)=1-(1A(xₙ))=⌈|n-xₙ|/(|n-xₙ|+1)⌉ (18). 

⁂

Après avoir redéfini les deux expressions précédentes pour plus de clarté dans l'élaboration, de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double, nous allons maintenant développer la même équivalence qu'au sous-titre précédent, mais appliqué au processus  d'annulation de deux valeurs.

⁂

1.2.a) l'expression composée de deux fonctions caractéristiques
d'annulation simple équivalente à l'expression de la fonction caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque de deux variables par les valeurs d'une suite d'un ensemble de nombres

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Si nous considérons la première équivalence, de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double avec la composition de deux expressions inverses de deux fonctions caractéristique de deux singletons donc {xₙ} et {yₙ} que nous pouvons définir comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A((n-xₙ)*(n-yₙ))=1, si (n-xₙ)*(n-yₙ)=0
• et 1A((n-xₙ)*(n-yₙ))=0, si (n-xₙ)*(n-yₙ)≠0.

Cette fonction indicatrice particulière de la fonction caractérisée d’expression a(n)=(n-xₙ)*(n-yₙ), peut se définir par l’expression:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A((n-xₙ)*(n-yₙ))=1-⌈|n-xₙ|*|n-yₙ|/(|n-xₙ|*|n-yₙ|+1)⌉ (19); cette expression est équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({xₙ, yₙ} ⊆ N)=1-1A((n-xₙ)*(n-yₙ))=⌈|n-xₙ|*|n-yₙ|/(|n-xₙ|*|n-yₙ|+1)⌉ (20).

⁂

Mais cette expression (19) est aussi équivalente à celle résultante de si nous considérons la première équivalence de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double avec la composition de deux expressions inverses de deux fonctions caractéristiques d'un singleton, que nous pouvons définir différemment de précédemment comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n-xₙ=0)=1 ∧ 1A(n-yₙ=0)=1, si n-xₙ=0 ∧ n-yₙ=0
• 1A(n-xₙ=0)=0 ∧ 1A(n-yₙ=0)=0, si n-xₙ≠0 ∧ n-yₙ≠0.

Cette fonction indicatrice particulière peut se définir par l’expression:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n-xₙ=0) ∪ 1A(n-yₙ=0)=1-⌈|n-xₙ|/(|n-xₙ|+1)⌉+1-⌈|n-yₙ|/(|n-yₙ|+1)⌉ (21); cette expression est équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({xₙ, yₙ} ⊆ N)=1-(1A(n-xₙ) ∪ 1A(n-yₙ))=⌈|n-xₙ|/(|n-xₙ|+1)⌉+⌈|n-yₙ|/(|n-yₙ|+1)⌉ (22).

⁂

Considérons l'exemple de la suite de nombres au rang indicé sur N, notée SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), dont la suite de nombre entier correspondant au rang des éléments de la suite de nombre de R notée SeqA est l'ensemble noté N*=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,....), et soit le singleton {xₙ=11} appartenant à N*, le singleton {yₙ=12} appartenant à N*, en remplaçant par xₙ=11 et yₙ=12 dans l'expression (19) nous obtenons la définition comme suit:

Soit xₙ=11, soit yₙ=12, ∀ n ∈ N*: 1A((n-11)*(n-12))=1-⌈|n-11|*|n-12|/(|n-11|*|n-12|+1)⌉ (19'), représentée par la suite de nombres, S'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0…); cette expression est équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double définie comme suit:

Soit xₙ=11, soit yₙ=12, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({11, 12} ⊆ N)=1-1A((n-11)*(n-12))=⌈|n-11|*|n-111|/(|n-12|*|n-12|+1)⌉ (20'), représentée par la suite de nombres S''=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1…). Si nous considérons à nouveau la suite de nombres au rang indicé sur N*, notée SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250,1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), par l'opération de multiplication des éléments a de SeqA par l'expression (19) et en remplaçant encore dans cette expression par les valeurs xₙ=11 et yₙ=12, nous obtenons la fonction d'annulation caractéristique de SeqA définie comme suit:

Soit xₙ=11, soit yₙ=12, ∀ a ∈ SeqA, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({1244, 1244} ⊆ SeqA)=(1-⌈|n-11|*|n-12|/(|n-11|*|n-12|+1)⌉)*a, dont la représentation est SeqA'=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,0,0,1244,57,138,250,1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…).

⁂

Considérons le même l'exemple que précédemment, la suite de nombres au rang indicé sur N, notée SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), dont la suite de nombre entier correspondant au rang des éléments de la suite de nombre de R notée SeqA est l'ensemble noté N*=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,....) et soit le singleton {xₙ=11} appartenant à N*, le singleton {yₙ=12} appartenant à N*, en remplaçant par xₙ=11 et yₙ=12 dans l'expression (21) nous obtenons la définition comme suit:

Soit xₙ=11, soit yₙ=12, ∀ n ∈ N*: 1A(n-11=0) ∪ 1A(n-12=0)=1-⌈|n-11|/(|n-11|+1)⌉+1-⌈|n-12|/(|n-12|+1)⌉ (21'), représentée par la suite de nombres S'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0…). L'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double est l'expression inverse de cette expression précédente définie comme suit:

Soit xₙ=11, soit yₙ=12, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({xₙ, yₙ} ⊆ N)=1-(1A(n-11=0) ∪ 1A(n-12=0)=1-⌈|n-11|/(|n-11|+1)⌉+1-⌈|n-12|/(|n-12|+1)⌉ (22'), représentée par la suite de nombres S''=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0…). Si nous considérons encore la suite de nombres au rang indicé sur N, notée SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250,1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), par l'opération de multiplication des éléments a de SeqA par l'expression (19) et en remplaçant encore dans cette expression par les valeurs xₙ=11 et yₙ=12, nous obtenons la fonction d'annulation caractéristique de SeqA définie comme suit: 

Soit xₙ=11, soit yₙ=12, ∀ a ∈ SeqA, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({1244, 1244} ⊆ SeqA)=(1-(⌈|n-11|/(|n-11|+1)⌉+1-⌈|n-12|/(|n-12|+1)⌉))*a, dont la représentation est SeqA'=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,0,0,1244,57,138,250,1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…).

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1.2.b) L'expression de la fonction caractéristique d'annulation simple de deux valeurs de variables, équivalente à l'agrégation d'expressions de la fonction caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque de ces deux valeurs de variables par les valeurs de la suite de l’ensemble des nombres entiers

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 Nous considérons d'abord l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double comme une expression composée de deux expressions de deux fonctions d'annulation caractéristiques simple, notées 1A((xₙ+1)/n-n/(xₙ+1)) ∪ 1A((yₙ+1)/n-n/(yₙ+1)) et équivalente à l'expression composée de deux expressions de deux fonctions indicatrices de la relation de divisibilité réciproque, pour deux variables différentes xₙ et yₙ appartenant à l’ensemble N*, soit 1A(xₙ+1|n)=1A(n|xₙ+1), notée xₙ+1|n ↔ n|xₙ+1, dont la définition est, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ N*: xₙ ∈ {S ⊆ N*: xₙ+1|n})↔xₙ ∈ {S ⊆ N*: n|xₙ+1}; et soit 1A(yₙ+1|n)=1A(n|yₙ+1), notée yₙ+1|n ↔ n|yₙ+1, dont la définition est, ∀ n ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*: yₙ ∈ {S ⊆ N*: yₙ+1|n})↔yₙ ∈ {S ⊆ N*: n|yₙ+1}, qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A((xₙ+1)/n-n/(xₙ+1))=1 ∧ 1A((yₙ+1)/n-n/(yₙ+1))=1, si (xₙ+1)/n-n/(xₙ+1)=0 ∧ (yₙ+1)/n-n/(yₙ+1)=0
• et 1A((xₙ+1)/n-n/(xₙ+1))=0 ∧ A((yₙ+1)/n-n/(yₙ+1))=0, si (xₙ+1)/n-n/(xₙ+1)≠ 0 ∧ (yₙ+1)/n-n/(yₙ+1)≠0

L'expression de cette fonction caractéristique composée de deux fonctions caractéristique de la relation de divisibilité réciproque de deux variables est définie comme suit:

∀ xₙ+1 ∈ N, ∀ yₙ+1 ∈ N, ∀ n ∈ N*: 1A((xₙ+1)/n-n/(xₙ+1)) ∪ 1A((yₙ+1)/n-n/(yₙ+1))=⌈(⌊(xₙ+1)/n⌋/(⌊(xₙ+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉+⌈(⌊(yₙ+1)/n⌋/(⌊(yₙ+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊yₙ/n⌋/(⌊yₙ/n⌋+1))⌉ (23); cette expression est équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({xₙ, yₙ} ⊆ N)=1-(1A((xₙ+1)/n-n/(xₙ+1)) ∪ 1A((yₙ+1)/n-n/(yₙ+1)))=1-(⌈(⌊(xₙ+1)/n⌋/(⌊(xₙ+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉+⌈(⌊(yₙ+1)/n⌋/(⌊(yₙ+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊yₙ/n⌋/(⌊yₙ/n⌋+1))⌉) (24).

⁂

1.2.c) l'expression synthétique de la fonction caractéristique d'annulation simple de deux valeurs, équivalente à l'expression de la fonction caractéristique de la relation de divisibilité réciproque de deux variables par les valeurs de la suite de l’ensemble des nombres entiers N

⁂

Nous développons maintenant l'expression synthétique de la fonction d'annulation caractéristique simple double, qui par définition, n'est pas une composition de plusieurs expressions de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique simple, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(xₙ/n-n/xₙ))=1 ∧ 1A(yₙ/n-n/yₙ)=1, si xₙ/n-n/xₙ=0 ∧ yₙ/n-n/yₙ=0
• et 1A(xₙ/n-n/xₙ)=0 ∧ A(yₙ/n-n/yₙ)=0, si xₙ/n-n/xₙ≠ 0 ∧ yₙ/n-n/yₙ≠0

L'expression de cette fonction caractéristique composée de deux fonctions caractéristique de la relation de divisibilité réciproque de deux variables est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N, ∀ yₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ/n-n/xₙ) ∪ 1A(yₙ/n-n/yₙ)=⌊((yₙ/(|(n-xₙ)|+1)+n-1)/yₙ)⌋-⌊(yₙ*n+n-1)/yₙ)⌋+n (25); cette expression de la fonction caractéristique deux relations de divisibilité réciproque pour deux variables différentes, xₙ et yₙ appartenant à l’ensemble N*, soit 1A(xₙ+1|n)=1A(n|xₙ+1), notée xₙ+1|n ↔ n|xₙ+1, dont la définition est, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ N*: xₙ ∈ {S ⊆ N*: xₙ+1|n})↔xₙ ∈ {S ⊆ N*: n|xₙ+1}; et soit 1A(yₙ+1|n)=1A(n|yₙ+1), notée yₙ+1|n ↔ n|yₙ+1, dont la définition est, ∀ n ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*: yₙ ∈ {S ⊆ N*: yₙ+1|n})↔yₙ ∈ {S ⊆ N*: n|yₙ+1}, est équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple double définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({xₙ, yₙ} ⊆ N)=1-(⌊((yₙ/(|(n-xₙ)|+1)+n-1)/yₙ)⌋-⌊(yₙ*n+n-1)/yₙ)⌋+n) (26);

⁂

Par exemple si xₙ=5 et yₙ=15, en remplaçant dans (25) nous obtenons l’expression de la fonction indicatrice de double divisibilité réciproque définie comme suit:

Soit x=5 et y=15, ∀ n ∈ N*: 1A(5/n-n/5) ∪ 1A(15/n-n/15)=⌊((15/(|(n-5)|+1)+n-1)/15)⌋-⌊(15*n+n-1)/15)⌋+n (25'), dont la représentation est S'=(0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,.).

En remplaçant par les variables x=5 et y=15 dans (26), la fonction d'annulation caractéristique simple double est définie comme suit :

Soit x=5, ∀ y=15, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({5, 15} ⊆ N)=1-(⌊((15/(|(n-5)|+1)+n-1)/15)⌋-⌊(15*n+n-1)/15)⌋+n) (26'), dont la représentation est S''=(1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,.). Si nous considérons maintenant l'expression (26') appliquée à la suite de nombres au rang indicé sur N*, notée SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250,1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), par l'opération de multiplication de l'expression (26') de la fonction d'annulation caractéristique des éléments de l'ensemble N dont le rang correspond aux éléments du sous-ensemble des singletons de N*, {Aᵢ}={{xₙ=5},{yₙ=15}}, par les éléments notés a, de la suite de nombres SeqA, nous obtenons:

Soit x=5, soit y=15, ∀ a ∈ SeqA⊆
 

, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({5, 15} ⊆ N*)*a=(1-(⌊((15/(|(n-5)|+1)+n-1)/15)⌋-⌊(15*n+n-1)/15)⌋+n))*a, dont la représentation est SeqA'=(511,177,174,571,0,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,0,250,1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…).

⁂

1.3) La fonction caractéristique d'annulation simple multiple

⁂

Continuant notre élaboration en général de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple et ses expressions équivalentes, soit l'expression de la fonction caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque de deux variables par les valeurs de la suite de l’ensemble des nombres entiers N, ou l'expression de la fonction inverse de la fonction indicatrice d'un singleton, elle-même équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction caractéristique fondamentale de n'importe quelle valeur d'un nombre entier Xₙ d'une suite de nombres, dans un premier processus d'élaboration de la composition d'expression puis dans un deuxième processus d'élaboration de l'expression synthétique correspondante, nous considérons cette fois-ci, l'application de ce processus à la fonction d'annulation caractéristique supérieur à deux annulations que nous qualifions de plusieurs annulations. 

⁂

1.3.a) L'expression de la fonction d'annulation multiple équivalente à l'agrégation des expressions de plusieurs fonctions caractéristiques d'annulation simple d'une seule valeur équivalente à l'expression de la fonction caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque de plusieurs variables par les valeurs de la suite de l’ensemble des nombres entiers N

⁂

Nous résumons et reprenons ce que nous avons défini précédemment, soit l'expression de la fonction indicatrice du singleton {xₙ} équivalente à la fonction caractéristique de n'importe quel nombre xₙ d'une suite de nombres d'un ensemble noté SeqA comme suit: 

∀ xₙ ∈ E, ∀ xₙ ∈ E: 1A(xₙ)=1-⌈|n-xₙ|/(|n-xₙ|+1)⌉ (17), et son expression inverse correspondant à la fonction caractéristique inverse, notée 1-1A(n-xₙ)=⌈(|n-xₙ|)/(|n-xₙ|+1)⌉, est équivalente à l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple unique définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N*,∀ n ∈ N*: Nullsmp1A({xₙ} ⊆ N)=1-(1A(xₙ))=⌈|n-xₙ|/(|n-xₙ|+1)⌉ (18). la "fonction caractéristique fondamentale de n'importe quelle valeur nulle d'un nombre entier xₙ ", définie comme suit:

∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (4); et si nous remplaçons dans l'expression (18) le terme |n-xₙ|=Xₓ, nous obtenons une nouvelle expression définie comme suit:

∀ Xₓ ∈ N*, ∀ xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(Xₙ)=⌈|Xₙ|/(|Xₙ|+1)⌉ (16), une expression de la "fonction caractéristique fondamentale de n'importe quelle valeur nulle d'un nombre entier Xₙ=|n-xₙ|", aussi équivalente à l'expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple " de la valeur xₙ de N, une expression qui multipliée par les valeurs a, d'une suite de nombres SeqA ⊆ R, est notée Nullsmpl1A( xₙ ⊆ N)*a et d'expression: Soit Xₙ=|n-xₙ|, a(n)=⌈|Xₙ|/(|Xₙ|+1)⌉*a.

⁂

Nous allons maintenant élaborer l'expression de la fonction d'annulation caractéristique multiple par extension de la définition de la fonction caractéristique simple de n'importe quel nombre nul d'une suite de nombre de R, noté xₙ, à celle de la définition de la fonction caractéristique double de n'importe quels nombres nuls notés xₙ et yₙ de R, comme la composition de deux fonctions indicatrices notées 1A(xₙ=0) ∪ 1A(yₙ=0), puis à celle de la définition de la fonction caractéristique multiple de n'importe quels nombres nuls xₙ, yₙ, zₙ, wₙ, αₙ et ωₙ, d'une suite de nombres d'un ensemble noté SeqA comme la composition de multiples fonctions indicatrices notée 1A(xₙ=0) ∪ 1A(yₙ=0) ∪ 1A(zₙ=0) ∪ 1A(wₙ=0)…∪ 1A(αₙ=0) …∪ 1A(ωₙ=0). Nous obtenons pour ces multiples fonctions indicatrices particulières, l’expression d'une somme de plusieurs expressions de plusieurs fonctions indicatrices simples:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊆ R, ∀ yₙ ∈ SeqA ⊆ R, ∀ zₙ ∈ SeqA ⊆ R, ∀ wₙ ∈ SeqA ⊆ R, ..∀ αₙ ∈ SeqA ⊆ R..∀ ωₙ ∈ SeqA ⊆ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ=0) ∪ 1A(yₙ=0) ∪ 1A(zₙ=0) ∪ 1A(wₙ=0)…∪ 1A(αₙ=0) …∪ 1A(ωₙ=0)=⌈(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|zₙ|/(|zₙ|+1)⌉+⌈|wₙ|/(|wₙ|+1)⌉+..⌈|αₙ|/(|αₙ|+1)⌉……+⌈|ωₙ|/(|ωₙ|+1)⌉) / (⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|zₙ|/(|zₙ|+1)⌉+⌈|wₙ|/(|wₙ|+1)⌉+..⌈|αₙ|/(|αₙ|+1)⌉……+⌈|ωₙ|/(|ωₙ|+1)⌉+1)⌉  (27), une expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple multiple" notée Nullsmpl1A({xₙ, yₙ, zₙ, wₙ,.. αₙ.. ωₙ} ∈ SeqA ⊆ R), et équivalente à l'expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple multiple" de plusieurs éléments variables, a, b, c, d....z, appartenant à N* correspondant au rang des valeurs respectives nuls de xₙ, yₙ, zₙ, wₙ, αₙ et ωₙ ∈ SeqA ⊆ R notée Nullsmpl1A({aₙ, bₙ, cₙ, dₙ,., eₙ, ..fₙ} ⊆ N) et d'expression: a(n)=(⌈(⌈|n-aₙ|/(|n-aₙ|+1)⌉+⌈|n-bₙ|/(|n-bₙ|+1)⌉+⌈|n-cₙ|/(|n-cₙ|+1)⌉+⌈|n-dₙ|/(|n-dₙ|+1)⌉+..⌈|n-eₙ|/(|n-eₙ|+1)⌉……+⌈|n-fₙ|/(|n-fₙ|+1)⌉) / (⌈(⌈|n-aₙ|/(|n-aₙ|+1)⌉+⌈|n-bₙ|/(|n-bₙ|+1)⌉+⌈|n-cₙ|/(|n-cₙ|+1)⌉+⌈|n-dₙ|/(|n-dₙ|+1)⌉+..⌈|n-eₙ|/(|n-eₙ|+1)⌉……+⌈|n-fₙ|/(|n-fₙ|+1)⌉+1)⌉) (28).

⁂

Si nous considérons que les variables précédentes appartiennent à l'ensemble SeqA définie par SeqAᵢ=(xₙ, yₙ, zₙ , wₙ,..,αₙ..ωₙ), et soit la notation de SeqAᵢ l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur du rang de ces variables dans la séquence de nombres de R), nous obtenons pour ces multiples fonctions indicatrices particulières, l’expression d'une somme sigma de plusieurs expressions de plusieurs fonctions indicatrices simples:

∀ xₙ ∈ SeqAᵢ ⊆ R, ∀ yₙ ∈ SeqAᵢ ⊆ R, ∀ zₙ ∈ SeqAᵢ ⊆ R, ∀ wₙ ∈ SeqAᵢ ⊆ R, ..∀ αₙ ∈ SeqAᵢ ⊆ R..∀ ωₙ ∈ SeqAᵢ ⊆ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ=0) ∪ 1A(yₙ=0) ∪ 1A(zₙ=0) ∪ 1A(wₙ=0)…∪ 1A(αₙ=0) …∪ 1A(ωₙ=0)=1A(SeqAᵢ=0)=⌈(∑((i=1)→(i=∞): ⌈|SeqAᵢ|/(|SeqAᵢ|+1)⌉)/((∑((i=1)→(i=∞): ⌈|SeqAᵢ|/(|SeqAᵢ|+1)⌉)+1)⌉ (27'), une expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple multiple" notée Nullsmpl1A(SeqAᵢ ∈ SeqA ⊆ R), et équivalente à l'expression de "la fonction d'annulation caractéristique simple multiple" de plusieurs éléments variables, a, b, c, d....z appartenant à SeqNᵢ ⊆N*, correspondant au rang des valeurs respectives nulles de xₙ, yₙ, zₙ, wₙ, αₙ et ωₙ ∈ SeqA ⊆ R notée Nullsmpl1A(Nᵢ ∈ SeqNᵢ ⊆ N*) et d'expression: 1A(n-Nᵢ)=(⌈(∑((i=1)→(i=∞): ⌈|n-Nᵢ|/(|n-Nᵢ|+1)⌉)/((∑((i=1)→(i=∞): ⌈|n-Nᵢ|/(|n-Nᵢ|+1)⌉)+1)⌉)*  (28').

⁂

Nous considérons maintenant l'extension du processus fondamental d'élaboration de l'expression de la fonction caractéristique de deux singletons équivalente à l'expression inverse de la fonction d'annulation caractéristique simple double, à la composition de plusieurs expressions de plusieurs fonctions caractéristiques de plusieurs singletons équivalentes à l'expression inverse de la fonction d'annulation caractéristique simple multiple, définies en général sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de tout élément de E, et l’appartenance ou non à un sous-ensemble A₂ de E de tout élément de E, etc., donc en général l’appartenance ou non à un sous-ensemble Aₙ de E de tout élément de E, dont une expression particulière de la fonction indicatrice particulière de la double relation de divisibilité réciproque pour une infinité de variables toutes différentes, xₙ, yₙ, zₙ, wₙ, … αₙ,… ωₙ, appartenant à l’ensemble E est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(xₙ|n)=1A(n|xₙ)=1 ∧ 1A(yₙ|n)=1A(n|yₙ)=1 ∧ 1A(zₙ|n)=1A(n|zₙ)=1 ∧ 1A(wₙ|n)= 1A(n|wₙ) ∧ 1A(αₙ|n)=1A(n|αₙ)…∧ 1A(ωₙ|n)= 1A(n|ωₙ)=1, si xₙ/n=n/xₙ=yₙ/n=n/yₙ=zₙ/n=n/zₙ=wₙ/n=n/wₙ=αₙ/n=n/αₙ… ω/n=n/ω=1;
• 1A(xₙ|n)=1A(n|xₙ)=1 ∧ 1A(yₙ|n)=1A(n|yₙ)=1 ∧1A(zₙ|n)=1A(n|zₙ)=1 ∧ 1A(wₙ|n)= 1A(n|wₙ) ∧ 1A(αₙ|n)=1A(n|αₙ)…∧ 1A(ωₙ|n)=1A(n|ωₙ)=0, si xₙ/n≠n/xₙ≠yₙ/n≠n/yₙ≠zₙ/n≠n/zₙ≠wₙ/n≠n/wₙ≠αₙ/n≠n/αₙ… ω/n≠n/ω≠1;

Nous obtenons pour ces multiples expressions de plusieurs fonctions indicatrices de plusieurs singletons, l’expression d'une somme de plusieurs expressions de plusieurs fonctions indicatrice de plusieurs singletons, définie comme suit: 

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ zₙ ∈ N*, ∀ wₙ ∈ N*,..∀ αₙ ∈ N*..∀ ωₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ|n) ∪ 1A(yₙ|n) ∪ 1A(zₙ|n) ∪ 1A(wₙ|n) ∪ 1A(αₙ|n)… ∪ 1A(ωₙ|n)=1A(n|xₙ) ∪ 1A(n|yₙ) ∪ 1A(n|zₙ) ∪ 1A(n|wₙ) ∪ 1A(n|αₙ)… 1A(n|ωₙ)=⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(xₙ-1)/n⌋/(⌊(xₙ-1)/n⌋+1))⌉+⌈(⌊yₙ/n⌋/(⌊yₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(yₙ-1)/n⌋/(⌊(yₙ-1)/n⌋+1))⌉+⌈(⌊zₙ/n⌋/(⌊zₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(zₙ-1)/n⌋/(⌊(zₙ-1)/n⌋+1))⌉+⌈(⌊wₙ/n⌋/(⌊wₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(wₙ-1)/n⌋/(⌊(wₙ-1)/n⌋+1))⌉+⌈(⌊αₙ/n⌋/(⌊αₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(αₙ-1)/n⌋/(⌊(αₙ-1)/n⌋+1))⌉……⌈(⌊ωₙ/n⌋/(⌊ωₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(ωₙ-1)/n⌋/(⌊(ωₙ-1)/n⌋+1))⌉ (29), une expression équivalente à l'expression inverse de "la fonction d'annulation caractéristique simple multiple" notée Nullsmpl1A({xₙ, yₙ, zₙ, wₙ,..,αₙ..ωₙ} ⊆ N) et d'expression: a(n)=(1-(⌈(⌊xₙ/n⌋/(⌊xₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(xₙ-1)/n⌋/(⌊(xₙ-1)/n⌋+1))⌉+⌈(⌊yₙ/n⌋/(⌊yₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(yₙ-1)/n⌋/(⌊(yₙ-1)/n⌋+1))⌉+⌈(⌊zₙ/n⌋/(⌊zₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(zₙ-1)/n⌋/(⌊(zₙ-1)/n⌋+1))⌉+⌈(⌊wₙ/n⌋/(⌊wₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(wₙ-1)/n⌋/(⌊(wₙ-1)/n⌋+1))⌉+⌈(⌊αₙ/n⌋/(⌊αₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(αₙ-1)/n⌋/(⌊(αₙ-1)/n⌋+1))⌉……⌈(⌊ωₙ/n⌋/(⌊ωₙ/n⌋+1))⌉-⌈(⌊(ωₙ-1)/n⌋/(⌊(ωₙ-1)/n⌋+1))⌉)) (30).

⁂

Si nous considérons que les variables précédentes appartiennent à l'ensemble N définie par Nᵢ=(xₙ, yₙ, zₙ , wₙ,..,αₙ..ωₙ), et soit la notation de Nᵢ de l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur du rang de ces variables dans la séquence de nombres de N*), nous obtenons pour ces multiples fonctions indicatrices particulières, l’expression d'une sommation de plusieurs expressions de plusieurs fonctions indicatrices simples:

∀ xₙ ∈ N* ∧ xₙ ∈ Nᵢ, ∀ yₙ ∈ Nᵢ ∧ yₙ ∈ N* , ∀ zₙ ∈ Nᵢ ∧ zₙ ∈ N* , ∀ wₙ ∈ Nᵢ ∧ wₙ ∈ N*,.. ∀ αₙ ∈ Nᵢ ∧ αₙ ∈ N*, ..∀ ωₙ ∈ Nᵢ ∧ ωₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ|n) ∪ 1A(yₙ|n) ∪ 1A(zₙ|n) ∪ 1A(wₙ|n) ∪ 1A(αₙ|n)… ∪ 1A(ωₙ|n)=1A(n|xₙ) ∪ 1A(n|yₙ) ∪ 1A(n|zₙ) ∪ 1A(n|wₙ) ∪ 1A(n|αₙ)… 1A(n|ωₙ)=1A(Nᵢ|n) ∪ 1A(Nᵢ|n)=

∑((i=1)→(i=∞): ⌈(⌊(Nᵢ+1)/n⌋/(⌊(Nᵢ+1)/n⌋+1))⌉-⌈(⌊Nᵢ/n⌋/(⌊Nᵢ/n⌋+1))⌉) (29'), une expression équivalente à l'expression inverse de "la fonction d'annulation caractéristique simple multiple" notée Nullsmpl1A({xₙ, yₙ, zₙ, wₙ,..,αₙ..ωₙ} ⊆ N) et d'expression: a(n)=(1-(∑((i=1)→(i=∞): ⌈(⌊(Nᵢ+1)/n⌋/(⌊(Nᵢ +1)/n⌋ +1))⌉-⌈(⌊ANᵢ/n⌋/(⌊Nᵢ/n⌋+1))⌉)) (30').

⁂

1.3.b) L'expression synthétique de la fonction caractéristique d'annulation simple de plusieurs valeurs équivalente à l'expression de la fonction caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque de plusieurs variables par les valeurs de la suite de l’ensemble des nombres entiers N

⁂

Nous obtenons cette expression synthétique de l'expression inverse de la fonction caractéristique inverse de la fonction d'annulation caractéristique multiple, si nous reconsidérons sa première équivalence, avec la composition de plusieurs expressions de plusieurs fonctions caractéristique de plusieurs singletons donc soit {xₙ},{yₙ},{zₙ},{wₙ}..{ωₙ}, que nous avons définie précédemment (29) et (29') que pouvons redéfinir comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A((n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ))=1, si (n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ)=0
• 1A((n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ))=0, si (n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ)≠0.

Cette fonction indicatrice particulière de la fonction caractérisée d’expression a(n)=(n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ), peut se définir par l’expression:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ zₙ ∈ N*, ∀ wₙ ∈ N*, ..∀ ωₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1-1A((n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ))=1-⌈(|n-xₙ|*|n-yₙ|*|n-zₙ|*|n-wₙ|*|n-wₙ|..*|(n-ωₙ|)/(|n-xₙ|*|n-yₙ|*|n-zₙ|*|n-wₙ|*|n-wₙ|*..|n-ωₙ|+1)⌉ (30); cette expression est équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple multiple définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ zₙ ∈ N*, ∀ wₙ ∈ N*, ..∀ ωₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({xₙ, yₙ, zₙ, wₙ,..ωₙ} ⊆ N)=1-(1A((n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ)))=⌈(|n-xₙ|*|n-yₙ|*|n-zₙ|*|n-wₙ|*|n-wₙ|..*|(n-ωₙ|)/(|n-xₙ|*|n-yₙ|*|n-zₙ|*|n-wₙ|*|n-wₙ|*..|n-ωₙ|+1)⌉ (31).

⁂

Par exemple, soit la suite de nombres SeqA=(511,-0.177,-174,-0.571,152,-1228.23,-959,60,555, -199,1244,1244,1244.3,1244,1244,-1,1244,1244.3,0.57,-1,250,0.01217,499.65,0,804,....), et soit le sous-ensemble de N* des singletons noté SeqNᵢ={{xₙ=5},{yₙ=10},{zₙ=16},{wₙ=20}..{ωₙ=21}}, nous obtenons en remplaçant par les variables correspondantes dans l’expression (30), l’expression particulière de la fonction caractéristique de plusieurs singletons définie comme suit:

Soit xₙ=5, yₙ=10, zₙ=16, wₙ=20, ωₙ=21, ∀ n ∈ N*: 1A((n-5)*(n-10)*(n-16)*(n-20)*(n-21))=1-⌈(|n-5|*|n-10|*|n-16|*|n-20|*|(n-21|)/(|n-5|*|n-yₙ|*|n-10|*|n-16|*|n-20|*|n-21|+1)⌉ (30') représentée par la suite de nombres S=(0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,..). Cette expression est équivalente à l'expression inverse de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple multiple définie comme suit:

Soit xₙ=5, yₙ=10, zₙ=16, wₙ=20, ωₙ=21, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({5, 10, 16, 20, 21} ⊆ N)=1-(1A((n-5)*(n-10)*(n-16)*(n-20)*(n-21)))=1-⌈(|n-xₙ|*|n-yₙ|*|n-zₙ|*|n-wₙ|*|n-wₙ|..*|(n-ωₙ|)/(|n-xₙ|*|n-yₙ|*|n-zₙ|*|n-wₙ|*|n-wₙ|*..|n-ωₙ|+1)⌉ (31'). Considérons maintenant cette dernière expression (31') appliquée à la suite de nombres au rang indicé sur N, notée SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), par l'opération de multiplication de l'expression inverse de la fonction caractéristique des éléments du sous-ensemble de N* des singletons SeqNᵢ={{xₙ=5},{yₙ=10},{zₙ=16},{wₙ=20}..{ωₙ=21}}, par les éléments notés a, de la suite de nombres SeqA , nous obtenons comme suit: 

Soit xₙ=5, yₙ=10, zₙ=16, wₙ=20, ωₙ=21, ∀ n ∈ N*: Nullsmpl1A({5, 10, 16, 20, 21} ⊆ N)*a=(1-(⌊((15/(|(n-5)|+1)+n-1)/15)⌋-⌊(15*n+n-1)/15)⌋+n))*a, dont la représentation est SeqA'=(511,177,174,571,0,1228,959,60,555,0,1244,1244,1244,57,138,0,1217,499,16,0,0, 742,1140,177,388,1091,1067…).

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Si nous considérons que les variables précédentes appartiennent à l'ensemble N* définie par avec {Nᵢ}={{xₙ},{yₙ},{zₙ},{wₙ}..{ωₙ}}, et soit la notation de Nᵢ, l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble de singletons (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur du rang de ces variables dans la séquence de nombres de N), nous obtenons pour ces multiples fonctions indicatrices particulières, l’expression d'une multiplicative de plusieurs expressions de plusieurs fonctions indicatrices simples de plusieurs singletons:

∀ xₙ ∈ N* ∧ xₙ ∈ SeqNᵢ, ∀ yₙ ∈ SeqAᵢ ∧ yₙ ∈ N* , ∀ zₙ ∈ Nᵢ ∧ zₙ ∈ N* , ∀ wₙ ∈ Nᵢ ∧ wₙ ∈ N*,.. ∀ αₙ ∈ Nᵢ ∧ αₙ ∈ N*, ..∀ ωₙ ∈ Nᵢ ∧ ωₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ|n) ∪ 1A(yₙ|n) ∪ 1A(zₙ|n) ∪ 1A(wₙ|n) ∪ 1A(αₙ|n)… ∪ 1A(ωₙ|n)=1A(n|xₙ) ∪ 1A(n|yₙ) ∪ 1A(n|zₙ) ∪ 1A(n|wₙ) ∪ 1A(n|αₙ)… 1A(n|ωₙ)=1A(Nᵢ|n) ∪ 1A(Nᵢ|n)=1-⌈(∏Nᵢ((i=1)→(i=∞):|n -Nᵢ|))/((∏Nᵢ((i=1)→(i=∞):|n -Nᵢ |)+1)⌉ (32), une expression inverse de "la fonction d'annulation caractéristique simple multiple", notée Nullsmpl1A({Nᵢ}={{xₙ},{yₙ},{zₙ},{wₙ}..{ωₙ}} ⊆ N*) et d'expression a(n)=⌈(∏Nᵢ((i=1)→(i=∞):|n -Nᵢ|))/((∏Nᵢ((i=1)→(i=∞):|n -Nᵢ |)+1)⌉ (33).

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