62: 19'A XXIII FONCTION SIMPLE D'INCRÉMENTATION LINÉAIRE

©2019 Cédric Christian Bernard Gagneux

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"La linéarité est un critère déterminant l'aptitude d'un système à avoir une réponse proche d'une droite. La linéarité correspond à une situations de proportionnalité constante entre deux variables Il ne faut pas confondre linéarité et proportionnalité. En effet la proportionnalité est un cas particulier de la linéarité. Deux suites de nombres sont proportionnelles quand en multipliant (ou en divisant) par une même constante non nulle les termes de l'une on obtient les termes de l'autre. Le facteur constant entre l'une et l'autre de ces suites est appelé coefficient de proportionnalité. Dans une expression mathématique, un coefficient est un nombre (ou un symbole représentant un nombre) qui vient en facteur d'une variable ou d'une fonction d'une ou plusieurs variables. Ensuite intervient la notion de relation linéaire qui définit les relations de type Y=F(X), où F est une application linéaire. Les facteurs de non linéarité sont en général les puissances non nulles et non unitaires (yⁿ, n différent de 0 et 1). Le concept de linéarité s'est ensuite étendu pour désigner un rapport de dépendance très simple entre plusieurs variables : la variable y dépend linéairement des variables x₁,...,xₙ, ou on dit encore qu'elle s'exprime comme combinaison linéaire de ces variables, quand il existe des constantes a₁,...,aₙ telles qu'on ait la relation: "y=a₁x₁+....+aₙxₙ". Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.

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I) LA FONCTION D'INCREMENTATION LINEAIRE  D'UN SEUL ELEMENT DE L’ENSEMBLE D'UNE SUITE DE NOMBRES

[b|a]=1-ceil(a/b-floor(a/b))

monorank([b|a])=(1-(ceil(a/b,1)-floor(a/b,1)))*ceil(a/b,1)

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II) LA FONCTION D'INCREMENTATION LINEAIRE DE PLUSIEURS ELEMENTS SUCCESSIFS DE L’ENSEMBLE D'UNE SUITE DE NOMBRES

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Maintenant nous considérons le cas particulier de l'expression de la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments d'une séquence appartenant à l'ensemble {0;1} depuis la position d'index de valeur égale à 1, c'est à dire la position d'index du premier élément d'une séquence qui est situé à la position dite à l'origine, qui reste fixe depuis cette position et qui ainsi n'est qu'une translation de mouvement séquentiel fixe et donc n'est qu'un mouvement incrémentation des éléments d'une séquence ce qui correspondant donc à une fonction simple d'incréméntation et simultanément correspond à une fonction caractéristique d'incrémentation depuis le dernier élément de la sous séquence d'élément et que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(INDEX( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ))=0, si n*xᵢ > p  ∨  n*xᵢ<=a

• 1A(INDEX( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ))=1, si 1<= n*xᵢ >= a-1

L'expression de cette fonction caractéristique de la fonction d'index de [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]  l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux tels que 1≤ n*xᵢ ≤ 2*a-1, notée INDEX( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ), est définie comme suit:

∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ⊆ {0;1}, ∀ x ∈ SeqXᵢ=({xᵢ₌ₐ₊₁→ᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁}) ⊆ SeqAᵢ({xᵢ₌ₙ→ᵢ₌ₙ₊∞}) ⊆ {0;1}; et ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, a>=3:

1A(INDEX( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ))=(1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋))               (7).

Une autre expression équivalente à (7) permettant de déterminer ultérieurement l'expression de la d'incrémentation de mouvement d'éléments d'une séquence de la droite vers la gauche est:

1A(INDEX( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ))=⌈|n/(a+1)-1|⌉ -⌈n/(a+1)⌉+1       (7').

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ