⁂
Article de cette rubrique en cours de rédaction!
⁂
⁂
Avertissement
Les chapitres que j'ai écrits sur l'arithmétique des chiffres et les bases n'ont absolument rien à voir avec la vidéo mathématique datée du 26 juillet 2022, publiée sur un site web populaire agrégateur de vidéos par "Michael maths" du Canada, intitulée "Inventing New Math: Operations on Digits with Digit Theory", et que je n'ai pas visionnée. Je n'ai pas lu non plus le livre de Karam Aloui intitulé "Fonction somme des chiffres: propriétés arithmétiques et combinatoires" publié le 21.10.2016 aux Éditions universitaires européennes. Donc «Toute ressemblance avec des expressions et des analyses mathématiques existantes ou ayant existé serait purement fortuite et ne pourrait être que le fruit d'une pure coïncidence »⁂⁂⁂
⁂
II) LES
OPÉRATIONS SPÉCIALES EN ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES DU NOMBRE
⁂
1) Définitions et expressions générales des opérations spéciales en arithmétique des chiffres qui refont ou défont le nombre:
⁂
Nous
avons écrit précédemment les expressions de l'opération d'extraction gauche ou
droite d'un seul chiffre d'un nombre, mais nous pouvons aussi écrire les
expressions de l'opération d'extraction gauche ou droite de plusieurs chiffres
consécutifs ou non et qui sont de deux types:
- Le premier type est équivalent à
l'expression d'une des étapes de l'opération de suite récurrente de
déconcaténation droite ou gauche que nous expliciterons dans un chapitre
consacré à cette opération de déconcaténation.
- Le deuxième type correspondant aux
opérations spéciales en arithmétique des chiffres du fait de leur
multiplicité qui ne permet pas de les organiser par extension, est
équivalent à l'expression de la déconcaténation partielle c'est-à-dire que
les chiffres xᵢ successifs extraits ne sont ni les premiers ni les
derniers chiffres du nombre y à l'ensemble séquentiel duquel ils
appartiennent. Cette déconcaténation partielle notée respectivement par le
symbole ⫳ est l'une des opérations principales en
arithmétiques des chiffres parmi d'autres que nous expliciterons encore
dans les chapitres qui suivront.
- w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋=w, avec l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
- q⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw)-l(w))=q, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
⁂
1.1 Les opérations
d'extraction gauche équivalente aux opérations de déconcaténation partielles de
plusieurs chiffres du nombre
⁂
L'expression de la déconcaténation partielle est notée q⫳w pour deux chiffres successifs des chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, mais au lieu du trait horizontal du milieu correspondant typographiquement à une biffure de l'opération de déconcaténation, nous écrivons en fait un trait ondulant au lieu d'être un trait droit comme pour le symbole algébrique opératoire de déconcaténation; ou bien encore qui est notée q⫵w pour trois chiffres successifs des chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés, etc. Elle correspond à une opération d'extraction droite ou gauche de plusieurs chiffres successifs d'un nombre qui ne sont ni sont premier chiffre celui des unités ni son dernier chiffre dont le rang est le plus élevé d'après la convention de notation mathématique.
⁂
1.1.a L'opération d'extraction gauche sans inversion et sans répétition de plusieurs chiffres du nombre qui sont successifs et répétés ou non
⁂
Donc après avoir explicité la notation et le mécanisme fondamental de l'opération de déconcaténation partielle comme celle de l'opération d'extraction de plusieurs chiffres consécutifs, nous écrivons maintenant son expression algébrique numériquement calculable équivalente à l'extraction droite ou gauche de plusieurs chiffres consécutifs d'un nombre noté algébriquement y ∈ N*, et représenté par l'ensemble séquentiel de la suite de nombres correspondant à tous les chiffres et dont la sous suite de nombres qui sont les chiffres extraits ou partiellement déconcaténés est notée dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₓ ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₘ(k; y); dnumᵧ(w; y)… dnumₒ(r; y)), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), où la notation de la sous suite de nombres qui sont les chiffres extraits correspondent dans l'ordre positionnel de la droite vers la gauche des chiffres du nombre y toujours à la quantité de répétition des chiffres extraits. L'expression de cette opération de déconcaténation multiple des chiffres successifs situés dans l'intervalle ouvert défini pour sa borne supérieure comme le chiffre du rang le plus élevé et pour sa borne inférieure comme le chiffre du rang le moins élevé et donc le chiffre des unités, DNum(y)=]xᵢ₌ₓ; xᵢ₌₁[ et correspondante ainsi à la définition d'une opération de déconcaténation partielle, est en fait la combinaison linéaire de plusieurs opérations d'extraction de chiffres successifs du même nombre. C'est-à-dire que l'opération d'extraction gauche d'une suite de chiffres successifs correspondante à un intervalle dont les valeurs sont choisies pour les variables xᵢ=[xᵢ₌ₙ ;xᵢ₌ₙ₊ₐ] de rangs gauches successifs d'un nombre y, correspondant aux éléments de l'ensemble séquentiel Seq(RNGS)ᵢ₌ₙ₊ₐ= (a-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)); a-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊₁ ; y)); a-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊₂ ; y)); a-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊₃ ; y));.…RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=(1; 2; 3;…a), dont je choisis la valeur de rang de chiffres successif gauche que je note RNGSₗ(dnumsₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=a, et dont la valeur résultante de cette nouvelle fonction de rang successif est celui du résultat de la fonction de distance entre chiffres successifs que je note DISTₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))=a.
Alors, la fonction d'extraction de tous les chiffres xᵢ du nombre y compris dans l'intervalle [xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ], que je note EXTRACTSₗ(dnumsₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))), est définie comme suit après que les expressions obtenues par leur sommation suite récurrente de sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant soit à une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres et qui est en général notée:
∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l'indice de l'étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d'un nouvel élément dans l'ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.
Soit à la somme totale des éléments que sont les nombres de la suite et qui n'est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l'indexe des éléments indexés sur N* d'un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée:
Donc après avoir défini la somme sigma en général nous écrivons et définissons l'expression de la fonction d'extraction de tous les chiffres xᵢ du nombre y compris dans l'intervalle [xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ], que je note EXTRACTSₗ(dnumsₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))), comme suit:
∀ a>0 ∈ N*; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n>0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1:
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=∑ (n=0→n=-a-1: [ ( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-n)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-n)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3-n)+2)*10^n )i]) + ( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+a)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+a)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3-a)+2)*10^a (12') ↔ (12)'
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))
=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-1) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3-1)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2 -2) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-2)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3-2 )+2)*10^2 …
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-a) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-a)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3-a )+2)*10^(a) (12)'
⁂⁂
∀ a>0 ∈ N*; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n>0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1:
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2)+2))-794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3)+2)
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2-1)+2) -794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3-1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3-1)+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; 794587856533))+2 -2) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; 794587856533))+3-2)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; 794587856533)) +3-2)+2)*10^2 …
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; 794587856533))+2-a) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; 794587856533))+3-a)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; 794587856533)) +3-a )+2)*10^(a) (12)' ↔ (12)''
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2)+2))-794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋-4+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3)+2)
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2-1)+2) -794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3-1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3-1)+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2 -2) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3-2)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3-2 )+2)*10^2…
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2 -3) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3-3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4 +3-3 )+2)*10^(3) (12)'' ↔ (12)'''
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=7856 (12)'''
La représentation séquentielle ensembliste des étapes des sommes successives de l'expression de l'opération de la fonction EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ;794587856533);
⁂
1.2. Les opérations spéciales
d'extraction gauche de plusieurs chiffres successifs et répétés ou non du
nombre
⁂
Remarquons que l'expression (12)' peut aussi se transformer en une expression (12)'' pour renverser les chiffres du nombre y par une opération spéciale de déconcaténation partielle gauche, mais aussi en une expression (12)''' pour déconcaténer des chiffres non successifs sans les inverser ou en les inversant, ou plus déconcaténer les mêmes chiffres plusieurs fois (12)'''', sans les inverser ou en les inversant (12)''''', et donc plusieurs opérations spéciales de déconcaténations partielles dont nous explicitons maintenant la première.
⁂
1.2.a L'opération spéciale d'extraction gauche avec inversion et sans répétition de plusieurs chiffres successifs du nombre
Donc nous écrivons
maintenant l'expression de la première pour renverser les chiffres
du nombre y par une opération spéciale de déconcaténation partielle gauche que
nous définissons comme suit après que les expressions obtenues par leur
sommation sérielle récurrente soient définies comme une suite de nombres, avec
l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant soit à une relation
de récurrence sur la somme d'une suite de nombres et qui est en général notée:
∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l'indice de l'étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d'un nouvel élément dans l'ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation. Soit à la somme totale des éléments que sont les nombres de la série et qui n'est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l'indexe des éléments indexés sur N* d'un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée:
∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)).
Donc après avoir défini la somme sigma en général sous ces deux formes possibles la première de suite récurrente de sommation créant un nouvel ensemble séquentiel dont les éléments correspondent à chaque étapes successive de la sommation; et la deuxième forme correspond à la somme de tous les éléments résultants dans un ensemble dont le cardinal est un seul élément et correspondant donc à un nombre égal à cette somme, nous écrivons et définissons maintenant l'expression de la fonction d'extraction de tous les chiffres xᵢ du nombre y compris dans l'intervalle [xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ], que je note EXTRACTSₗ(dnumsₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))), et que
nous opérons pour renverser les chiffres du nombre y par une opération spéciale de déconcaténation partielle gauche comme suit:
∀ a>0 ∈ N* ; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n>0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ; y))=n-a:
EXTRACTₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₐ ; y))=∑ (n=0→n=a: [ ( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+n)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+n)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3+n)+2)*10^n )i]) (12ₐ') ↔ (12')''
EXTRACTₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+1) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+1)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+2) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+2)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+2 ) +2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+a) +2) -y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+a)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+a )+2)*10^a (12')''
⁂⁂
Prenons
l'exemple de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌(6;794587856533),
RNGₗ(dnum(6ᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; et soit a=3, puis remplaçons les valeurs des variables correspondantes dans notre expression précédente (12)'''' de la manière suivante:
∀ a>0 ∈ N*; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1:
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁; 794587856533))
=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2)+2))-794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3)+2)
+(794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;
794587856533))+2+1)+2) -794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3+1)+2))) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3+1)
+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; 794587856533))+2+2) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; 794587856533))+3+2)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; 794587856533)) +3+2 )+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; 794587856533))+2 + 3) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; 794587856533))+3+a)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; 794587856533)) +3+ 3)+2)*10^3 (12)' ↔ (12)''
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ; 794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2)+2))-794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋-4+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3)+2)
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2+1)+2) -794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3+1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3+1)+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2 +3) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4 +3+3 )+2)*10^(3) (12)'' ↔ (12)'''
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ; 794587856533))=3356 (12)''', qui est l'inverse du nombre 6533 résultant d'une déconcaténation partielle droite ou gauche.
La représentation ensembliste séquentielle des étapes de calcul de la somme sigma de l'expression de l'opération de la fonction EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ;
794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ; 794587856533)) est Seq=(6; 56; 356; 3356).
⁂
1.2.b L'opération spéciale d'extraction gauche sans répétition et sans inversion de plusieurs chiffres non successifs du nombre
⁂
Donc encore parmi les opérations spéciales de déconcaténation partielles gauches, nous écrivons maintenant l'expression de l'opération pour déconcaténer des chiffres non successifs et non inversés nous notons EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)) et que nous définissons comme suit :
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ nᵢ>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=a:
EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₕ) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-aᵢ₌ₕ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₕ)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₘ) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-aᵢ₌ₘ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₘ)+2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₙ₊ₐ ) +2) -y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)*10^3 (12)'''
⁂⁂
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533)))=RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) - RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533))=a=6:
EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ;794587856533))+2)+2) )- 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2) *10^0
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2-3) +2) - 794587856533
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2 -5) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-5)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-5)+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; y))+2-6) +2) -794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-6)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-6)+2)*10^3 (12)'''
EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))=4576 (12)''', qui est aussi le résultat d'une reconcaténation partielle gauche des chiffres non successifs du nombre.
⁂
1.2.c L'opération spéciale d'extraction gauche sans répétition et avec inversion de plusieurs chiffres non successifs du nombre
⁂
Donc encore parmi les opérations spéciales de déconcaténation partielles gauches, nous écrivons maintenant l'expression de l'opération pour déconcaténer des chiffres non successifs et en les inversant nous notons EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)) et que nous définissons comme suit :
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=a:
EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₕ) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+aᵢ₌ₕ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₕ)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₘ) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3+aᵢ₌ₘ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₘ)+2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₙ₋ₐ ) +2) -y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3+aᵢ₌ₙ₋ₐ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₙ₋ₐ)+2)*10^3 (12)'''
⁂⁂
Reprenons l'exemple du nombre
y=794587856533 avec le chiffre noté dnum(6=xᵢ₌₄ ;
794587856533)=6 et RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; dnum(5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533)=4 et RNGₗ(dnum(5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533)=3; et soit a=1, aᵢ₌ₕ=
3,
aᵢ₌ₘ=5, puis nous remplaçons les valeurs des variables correspondantes dans notre expression précédente (12)''' de la manière suivante:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum(5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533)))=RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) - RNGₗ(dnum(5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533))=1:
EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ;794587856533))+2)+2) )- 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3)+2) *10^0
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ;794587856533))+2+3) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533)) +3+3)+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; y))+2+5) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3+5)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533)) +3+5)+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ;794587856533))+2+1) +2) -794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3+1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533)) + 3+1)+2)*10^3 (12)'''
EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁ ; 794587856533))=5336 (12)''', qui est aussi le résultat d'une reconcaténation partielle gauche des chiffres non successifs du nombre.
La
représentation ensembliste séquentielle des étapes de calcul de la
somme des expressions intermédiaires de l'expression de l'opération de la
fonction EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ
(6=xᵢ₌₄ →5=xᵢ₌₄₋₁ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁ ; 794587856533)) est Seq=(6; 36; 336; 5336 ).
⁂
1.2.d L'opération spéciale d'extraction gauche sans répétition et avec à la fois non-inversion majeure et inversion mineure de plusieurs chiffres non successifs du nombre
⁂
Donc encore parmi les opérations spéciales de
déconcaténation partielles gauches, nous écrivons maintenant l'expression de
l'opération pour déconcaténer des chiffres non successifs et à la fois
plus non inversés et moins inversés que nous notons:
EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)) et que nous définissons comme suit:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=a:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ nᵢ>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=a:
EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))
( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₕ) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-aᵢ₌ₕ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₕ)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₘ) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3+aᵢ₌ₘ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₘ)+2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₙ₊ₐ ) +2) -y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)*10^3 (12₁₂)'''
⁂
Prenons encore l'exemple du nombre y=794587856533
avec le chiffre noté dnum(6=xᵢ₌₄ ;
794587856533)=6 et RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533)=4 et RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆;
794587856533)=10; et soit a=6, aᵢ₌ₕ=
3,
aᵢ₌ₘ=3, puis nous remplaçons les valeurs des variables correspondantes dans notre expression précédente (12₁₂)''' de la manière suivante:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533)))=RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) - RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))=a=6:
EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ
(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533)) =( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ;794587856533)) +2)+2) ) - 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3)+2) *10^0
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +2-3) +2) - 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-3)+2)*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2+3) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3+3)+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; y))+2-6) +2) -794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-6)+2))) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-6)+2)*10^3 (12₁₂)'''
EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ;794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ →4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))=4376 (12₁₂)''', qui est aussi le résultat d'une reconcaténation partielle gauche et droite des chiffres non successifs du nombre.
La
représentation ensembliste séquentielle des étapes des expressions
intermédiaires de l'expression de l'opération de la fonction EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂
→ 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))
est Seq=(6;
76; 376; 4376).
⁂
1.2.e L'opération spéciale d'extraction gauche sans répétition et avec à la fois inversion majeure et non-inversion mineure de plusieurs chiffres non successifs du nombre
⁂
Donc
encore parmi les opérations spéciales de déconcaténation partielles gauches,
nous écrivons maintenant l'expression de l'opération pour déconcaténer des
chiffres non successifs et à la fois plus inversés et
moins non inversés que nous notons
EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)) et que nous définissons comme suit :
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=a:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ nᵢ>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=a:
EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=
( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₕ) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-aᵢ₌ₕ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₕ)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₘ) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3+aᵢ₌ₘ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₘ)+2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₙ₊ₐ ) +2) -y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)*10^3 (12₁₂)'''
⁂⁂
Prenons encore l'exemple du nombre y=794587856533 avec le chiffre noté dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)=6 et RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533)=4 et RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533)=10; et soit a=6, aᵢ₌ₕ= 3, aᵢ₌ₘ=3, puis nous remplaçons les valeurs des variables correspondantes dans notre expression précédente (12₁₂)''' de la manière suivante:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533)))=RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) - RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))=a=6:
EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ
(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533)) =( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ;794587856533)) +2)+2) ) - 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3)+2) *10^0
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +2-3) +2) - 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-3)+2)*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2+3) +2) - 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3+3)+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; y))+2-6) +2) -794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-6)+2))) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-6)+2)*10^3 (12₁₂)'''
EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ;794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ →4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))=4376 (12₁₂)''', qui est aussi le résultat d'une reconcaténation partielle gauche et droite des chiffres non successifs du nombre.
La
représentation ensembliste séquentielle des étapes des expressions
intermédiaires de l'expression de l'opération de la fonction EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂
→ 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))
est Seq=(6; 76; 376; 4376).
∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ
⁂
1.2.f L'opération spéciale d'extraction gauche avec répétition sans inversion de plusieurs chiffres non successifs du nombre
⁂
distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ; y))=a:
EXTRACTₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3)+2)
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-1) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2 -2) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b )+2)*10^2 …
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+a) +2) -y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b )+2)*10^(-a+1) (12)''''
⁂
Prenons
un exemple
⁂
1.2.g L'opération spéciale
d'extraction gauche sans inversion et avec répétition de plusieurs
chiffres non successifs du nombre
⁂
1.1.h L'opération
spéciale d'extraction gauche avec inversion et répétition de plusieurs
chiffres non successifs du nombre
⁂
Puis toujours parmi les quatre opérations spéciales de déconcaténation partielle gauche, nous écrivons maintenant l'expression de la quatrième que nous définissons pour déconcaténer les mêmes chiffres plusieurs fois en les inversant comme suit:
distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ; y))=a:
EXTRACTₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )- y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3)+2)
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-1) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2 -2) +2) - y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b )+2)*10^2 …
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+a) +2) -y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b )+2)*10^(-a+1) (12)''''
⁂⁂⁂⁂⁂⁂
1.3 Les opérations
d'extraction droite de plusieurs chiffres successifs du nombre
⁂
Nous rappelons que y=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1) + xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2) + xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+ xᵢ₊₁*10^(1) + xᵢ₌₁*10^(0) (A)' où les coefficients c compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre y. avec les chiffres a, z, k, w de ce nombre noté algébriquement en général ∀ dnumₙ(xᵢ ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₐ(a; y); dnumₛ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=w; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇... xᵢ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9). Nous rappelons encore que l'expression de cette opération de déconcaténation multiple des chiffres successifs dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₚ ; y) situés dans l'intervalle ouvert défini pour sa borne supérieure comme le chiffre du rang le plus élevé DNum(y)=]xᵢ₌ₓ; xᵢ₌₁[ et pour sa borne inférieure comme le chiffre du rang le moins élevé et donc le chiffre des unités, et correspondante ainsi à la définition d'une opération de déconcaténation partielle, est en fait la combinaison linéaire de plusieurs opérations d'extraction de chiffres successifs du même nombre. C'est à dire que l'opération d'extraction droite (correspondante à un intervalle de valeurs choisies des variables résultats de la fonction de rang droit RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) et RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y))) d'un nombre y, dont je choisis la valeur de rang de chiffres successifs droits notés
⁂
1.3.a L'opération d'extraction droite sans inversion et sans répétition de plusieurs chiffres du nombre qui sont successifs et répétés ou non
⁂
∀ m ∈ N⁺; ∀ y ∈ N*⁺, ∀ xᵢ ∈ N⁺, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, et distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y)))=distᵣ(RNGᵣ(dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y)))=RNGᵣ(dnumₐₑ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y) -RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)))=m, alors:
⁂⁂
EXTRACTᵣ(dnum₂₁(5=xᵢ₌₄→7=xᵢ₌₄₊₂; 794587856533) ; RNGᵣ(dnum₁(7=xᵢ₌₄₊₂ ; 794587856533)) - RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533))) (13)'↔(13')'
a(y)=⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ;794587856533))+1-2⌋ -⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2⌋*10^(2+1) (13')'↔(13'')'
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1-2⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2⌋*10^(2+1) (13'')'↔(13''')'
a(y)=587 (13''')'
⁂
1.2 Les opérations
spéciales d'extraction droite de plusieurs chiffres successifs et non
successifs du nombre
⁂
1.2.a Les opérations spéciales d'extraction droite sans répétition et avec inversion de plusieurs chiffres successifs répétés ou non du nombre
∀ p ∈ N* et p>0; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, et distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₚ ; y)))=distᵣ(RNGᵣ(dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₚ ; y)))=RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₚ ; y)) -RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))=p; et avec RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₚ ; y))= ( …n-p; n-p-1; n-p-2; …n), alors:
EXTRACTᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ-ₚ ; y); RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ-ₚ ; y)))=⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1⌋-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+p⌋*10^(p+1) (13)''.
⁂⁂
Prenons
l'exemple de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌₂(5;794587856533),
RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; p=2, puis remplaçons les variables correspondantes dans notre expression précédente (13)'' de la façon suivante:
EXTRACTᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄→9=xᵢ₌₄₋₂; 794587856533) ; RNGᵣ(dnum(9=xᵢ₌₄₋₂ ; 794587856533)) - RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533))) (13)''↔(13')''
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2+2⌋*10^(2+1) (13')''↔(13'')''
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2+2⌋*10^(2+1) (13'')''↔(13''')''
⁂
1.2.b Les
opérations spéciales d'extraction droite sans répétition, avec inversion et
élimination de plusieurs chiffres successifs répétés ou non du nombre
⁂
∀ m >0 et m ∈ N* avec n > m; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, et distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₘ ; y)))=distᵣ(RNGᵣ(dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₘ ; y)))=RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) - RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₘ ; y))=n-m, et avec RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y))= (m; n₁-m; n₂-m; …; n), alors:
EXTRACTELIMᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₘ ; y) ∗-∗ dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₋₁→xᵢ₌ₙ₋ₘ₊₁ ; y) ;
RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₘ; y)) - RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₋₁→xᵢ₌ₙ₋ₘ₊₁; y)))=(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1⌋)*10-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2⌋*100 +(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1+m⌋)-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+m⌋ *10 (13)'''.
⁂
EXTRACTELIMᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄→9=xᵢ₌₄₋₂; 794587856533) ∗-∗ dnum(4=xᵢ₌₄₋₁→4=xᵢ₌₄₋₂₊₁ ;794587856533) ; RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄→9=xᵢ₌₄₋₂ ; 794587856533)) -RNGᵣ(dnum(4=xᵢ₌₄₋₁→4=xᵢ₌₄₋₂₊₁;794587856533))) (13)'''↔(13')'''
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1⌋)*10-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2⌋*100 +(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1+2⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2+2⌋ *10 (13')'''↔(13'')'''
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1⌋)*10-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2⌋*100 +(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1+2⌋) -⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2+2⌋*10 (13'')'''↔(13''')'''
a(y)=59 (13''')'''
⁂
1.2.c Les opérations spéciales d'extraction droite sans répétition, sans inversion et avec élimination de plusieurs chiffres successifs répétés ou non du nombre
⁂
∀ m >0 et m ∈ N* ; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, et
EXTRACTELIMᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₘ₋₁ ; y) ∗-∗ dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₊₁→xᵢ₌ₙ₊ₘ₋₁ ; y) ; RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y)) - RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₊₁→xᵢ₌ₙ₊ₘ₋₁; y)))=(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1⌋)*10-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2⌋*100 +(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1-m⌋)-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-m⌋ *10 (13)''''.
⁂
Prenons l'exemple de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌₂(5;794587856533) et dnum₁(7; 794587856533), RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; m=2, puis remplaçons les variables correspondantes dans notre expression précédente (13)'''' de la façon suivante:
EXTRACTELIMᵣ(dnum₂₂₂(5=xᵢ₌₄→7=xᵢ₌₄₊₂; 794587856533) ∗-∗ dnum₂(8=xᵢ₌₄₊₁→8=xᵢ₌₄₊₂₋₁ ;794587856533) ; RNGᵣ(dnum₂₂₂(5=xᵢ₌₄→7=xᵢ₌₄₊₂ ; 794587856533)) - RNGᵣ(dnum₂₂(8=xᵢ₌ₙ₊₁→7=xᵢ₌₄₊₂₋₁ ; 794587856533))) (13)''''↔(13')''''
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1⌋)*10-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2⌋*100 +(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1-2⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2-2⌋ *10 (13')''''↔(13'')''''
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1⌋)*10-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2⌋*100 +(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1-2⌋) -⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2-2⌋*10 (13'')''''↔(13''')''''
a(y)=57 (13''')''''
⁂⁂⁂