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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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I) LES FONCTIONS ÉCHELONS COMBINAISONS LINÉAIRES DE FONCTIONS INDICATRICES
"Un exemple de fonctions échelon (le graphique rouge). Dans cette fonction, chaque sous fonction constante avec une valeur de fonction α i (i = 0, 1, 2, …) est définie par un intervalle Ai et les intervalles sont distingués par des points x j (j = 1, 2, …). Cette fonction d’échelon particulière est continue à droite."
Une fonction sur les nombres réels est appelée fonction échelon ou étagée, ou en escalier (ou "step function" en anglais), si elle peut être écrite comme "une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices d’intervalles". De manière informelle, une fonction échelon est "une fonction constante par intervalles n’ayant qu’un nombre fini d'intervalles".
Une fonction constante est un exemple trivial de fonction échelon. Alors il n’y a qu’un seul intervalle. La fonction de signe sgn(x), qui vaut −1 pour les nombres négatifs et +1 pour les nombres positifs, est la fonction échelon non constante la plus simple. La fonction rectangulaire, la fonction d’échelon la plus simple. "La fonction de Heaviside H(x), qui vaut 0 pour les nombres négatifs et 1 pour les nombres positifs, est équivalente à la fonction signe, jusqu’à un décalage et une échelle d’intervalle H=(sgn +1/2). La fonction rectangulaire, la fonction normalisée du wagon ou box car, est utilisée pour modéliser une impulsion unitaire".
Les propriétés générales et principales des fonctions échelons sont que la somme et le produit de deux fonctions échelons est à nouveau une fonction échelon, et que le produit d’une fonction échelon avec un nombre est aussi une fonction échelon. En tant que telles, les fonctions échelons forment une algèbre sur les nombres réels. Rappelons que par définition, "une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×), telle que soit K un corps de base de A, et soit A un espace vectoriel sur K muni d’une opération binaire supplémentaire de A × A vers A, notée ici · ( L’opération binaire est souvent appelée multiplication dans A, c’est-à-dire que si x et y sont deux éléments quelconques de A, alors x · y est un élément de A que l’on appelle le produit de x et y) on écrit que:
(A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
la loi × est bilinéaire.
Alors A est une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, si les identités suivantes sont valables pour tous les éléments x, y, z dans A , et tous les éléments (souvent appelés scalaires) a et b dans K :
Distributivité droite : (x + y) · z = x · Z + Y · z
Distributivité gauche : z · (x + y) = z · x + z · y
Compatibilité avec les scalaires : (ax) · (par) = (ab) (x · y).
Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.
Ces trois axiomes sont une autre façon de dire que l’opération binaire est bilinéaire.
Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : A → B telle que ∀x, y ∈ A, ∀a ∈ K, f(x × y) = f(x) × f(y) et f(x + ay) = f(x) + af(y)."
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1.1) Les fonctions d'échelons caractéristiques simples combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques signes
1.Echelon: XIIe siècle. Dérivé d'échelle. Chacune des traverses de bois ou de métal qui servent de degrés dans une échelle. Poser le pied sur le premier, sur le dernier échelon. Monter, gravir les échelons. Passer, sauter un échelon. Descendre un ou plusieurs échelons. Par anal. Chacun des crampons de fer scellés dans un mur, dans une paroi, pour en permettre l'escalade.
2. Etage: Partie d'un édifice comprise entre deux divisions horizontales, planchers ou voûtes, et dans laquelle sont généralement disposées des pièces formant un ou plusieurs appartements.
Subdivision d'une époque géologique. Étage de végétation, association caractéristique d'espèces végétales réparties sur le flanc d'une montagne en fonction de l'altitude, de l'exposition et des conditions climatiques. L'étage du chêne vert. L'étage des conifères. - MINES. Niveau où sont creusées les galeries d'exploitation. - ÉLECTRON. Groupe d'éléments assurant conjointement une fonction déterminée dans un appareil. Étage amplificateur. Étage déphaseur. Étage changeur de fréquence. - ASTRONAUTIQUE. Dans un engin spatial, partie autonome et séparable qui assure certaines fonctions pendant une phase déterminée du vol. Fusée à trois étages.
3.Escalier: XVIe siècle. Emprunté du provençal escalier, issu du bas latin "scalarium", dérivé de scala, « échelle, escalier ». Suite de degrés, de marches, permettant de passer d'un niveau à un autre. Fig. Avoir l'esprit de l'escalier, trouver trop tard l'argument, la réplique qu'il aurait fallu dire.
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Après avoir rapporté la signification par la définition des termes synonymes d'échelon, d'étages, et d'escalier, nous considérons dans ce premier sous-titre, pourquoi créer de nouvelles fonctions caractéristiques, dont le nom est ici fonction d'échelon caractéristique, la réponse est d'abord dans ces fonctions d'échelon dont il nous faut donner l'expression manquante, ce qui laisse à penser qu'elles ont été imparfaitement décrites et que peut être leurs noms ne correspondraient pas à leur fonction même celles portant le nom de leur inventeur comme la fonction de Heaviside et que comme l'écrit Philip E. B. Jourdai dans "De la nature des mathématiques", Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)), lui-même introduisit le mot «fonction» vers 1692 et attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation.". Si bien que plus modestement j'ai choisi de les catégoriser sans changer leurs noms, néanmoins de les nommer toutes du seul nom de cette catégorie unique d'échelon caractéristique qui signifie donc qu'elles ont la propriété d'être des échelons pour décrire en englobant à la fois les deux concepts l'étage et d'escalier pour aboutir à cet étage, et qu'elles sont des fonctions caractéristiques, et dont l'expression est une combinaison linéaire de fonctions indicatrices ce que j'écris maintenant en commençant par la fonction signe.La fonction signe définie généralement comme: ∀ xₙ ∈ R, sgn(x ):{−1 si x<0; 0 si x=0; 1 si x >0, est une combinaison linéaire ("c'est à dire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes.") de trois fonctions indicatrices qui sont, 1A(x<0), 1A(x=0) et 1A(x>0). Ainsi dans ce premier sous titre après avoir définie la fonction signe, nous définirons toutes les fonction suivantes comme aussi des combinaisons linéaires de ces trois fonction et donc comme des transformations de la fonction signe elle même.
1.1.a) La fonction d'échelon caractéristique signe: sgn(x)
Le graphe ci-dessus de la fonction signe, ou signum y=sgn(x), montre qu'elle est constante par intervalle et n'est pas continue en 0.
∀ xₙ ∈ R, sgn(x ): {−1 si x<0; 0 si x=0; 1 si x >0 (1)
ou bien encore:
x ∈ R, sgn(x): {0 si x=0; x/|x| ou |x|/x si x≠0 (1)
Mais pour x=0 la fonction signe n'est pas définie par son expression donnée précédemment, soit x/|x| ou |x|/x, puisque la division par zéro est indéterminée, et donc il nous faut une expression qui soit pratique, car utilisable quelque soit la valeur de x et qui est donc défini pour x ∈ R en général et en particulier pour x=0, donc soit la fonction indicatrice définie comme suit:
1A: R→ {-1;0;1}:
- 1A(|x |/x )=1A(xₙ /|xₙ |)=- 1 si x <0, ou x /|x |<0, ou |x |/x <0
- 1A(|x |/x )=1A(x /|x |)=0 si x =0
- 1A(|x |/x )=1A(x /|x |)=1 si x >0, ou x /|x |>0, ou |x |/x >0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(|x |/x )=1A(x /|x|)=sgn(x ), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
sgn(x)=1A(|x |/x)=1A(x /|x |)=2*⌈x /(|x |+1)⌉-⌈|x |/(|x |+1)⌉ (1').
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SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(511;-0,177;-174; -0,571; 0; -1228,23; -959; 0; 0; -199;
1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168)
dont la fonction sign(x)=2*⌈x /(|x |+1)⌉-⌈|x |/(|x |+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}), de représentation Seq({-1;0;1})= (1;-1;-1;-1;0;-1;-1; 0;0;-1;1;1;1;-1;-1;-1;1;1;1;-1;1;1;1;-1), et montrons par cet exemple les étapes qui aboutissent à l'expression (1') ci-dessus. Considérons pour obtenir l'expression finale de la fonction signe que cette fonction indicatrice est composée de trois autres fonctions indicatrices, et soit la première fonction indicatrice composante qui est la fonction indicatrice des éléments caractéristiques de notre séquence considérés dans notre exemple qui sont nuls soit:
1A: R→ {0,1}:
- 1A(x)=1, si x=0
- 1A(x)=0 si x≠0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x) est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A (x)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (2); et donc en remplaçant dans notre exemple par les valeurs de SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(511;-0,177;-174; -0,571; 0; -1228,23; -959; 0; 0; -199;
1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168) nous obtenons la représentation suivante 1A'(SeqAᵢ₌₂₄)=(0,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168) nous obtenons la représentation suivante 1A'(SeqAᵢ₌₂₄)=(0,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0).
Soit la deuxième fonction indicatrice composante qui est la fonction indicatrice des éléments caractéristiques de notre séquence considérés dans notre exemple qui sont supérieurs à 0, et qui est définie comme suit:
1A: R→ {0,1}:
- 1A(x)=1, si x>0
- 1A(x)=0 si x<=0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x) est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A(x)=⌈x/(|x|+1)⌉ (3); et donc en remplaçant dans notre exemple par les valeurs de SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(511;-0,177;-174; -0,571; 0; -1228,23; -959; 0; 0; -199; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168) , nous obtenons la représentation suivante 1A''(SeqAᵢ₌₂₄)=(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0
,1,1,1,1).
Soit la troisième fonction indicatrice composante qui est la fonction indicatrice des éléments caractéristiques de notre séquence considérés dans notre exemple qui sont inférieurs à 0, et qui est définie comme suit:
1A: R→ {0,1}:
- 1A(x)=1, si x<0
- 1A(x)=0 si x>=0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x) est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A(x)=⌈|x|/(|x|+1)⌉ -⌈x/(|x|+1)⌉ (4); et donc en remplaçant dans notre exemple par les valeurs de SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(511;-0,177;-174; -0,571; 0; -1228,23; -959; 0; 0; -199;
1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168) nous obtenons la représentation suivante 1A'''(SeqAᵢ₌₂₄)=(0,1,1,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,
0,1).
Donc, nous pouvons utiliser les trois expressions précédentes (2), (3) et (4), qui sont les fonctions de composition de la fonction signe définie comme suit:
a(n)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉- ⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉=1-2*⌈|x|/(|x|+1)⌉+2*⌈x/(|x|+1)⌉ (1'') ↔ (2)+(3)-(4); et donc en remplaçant dans notre exemple par les valeurs de SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(511;-0,177;-174; -0,571; 0; -1228,23; -959; 0; 0; -199;
1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168) , nous obtenons la représentation suivante, 1A''''(SeqAᵢ₌₂₄)=(1;-1;-1;-1;1;-1;-1; 1;1;-1;1;1;1;-1;-1;-1;1;1;
1;-1;1;1;1;-1), qui n'est pas exactement la même représentation que celle de la fonction signe écrite précédemment, car les valeurs indéterminées de 0/0 de sign(x)=|x|/x = x /|x|, avec
x ∈ SeqAᵢ₌₂₄ et correspondantes aux valeurs de 0 de SeqAᵢ₌₂₄ sont en fait représentées par 1 au lieu de 0, contrairement à la deuxième des trois conditions de la définition de la fonction signe comme une fonction indicatrice, mais une condition qui pourrait être changée ce qui pourrait éventuellement constituer une deuxième nouvelle expression possible de la fonction signe, soit la fonction indicatrice définie comme suit:
1A: R→ {-1;0;1}:
- 1A(|x |/x )=1A(x /|x |)= -1 si x <0, ou x /|x |<0, ou |x |/x <0
- 1A(|x |/x )=1A(x /|x |)=0 si x=1
- 1A(|x |/x )=1A(x /|x |)=1 si xₙ >0, ou x / |x |>0, ou |x |/x >0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=sgn(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
sgn(x)=1A(|x |/x )=1A(x /|x |)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉- ⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉=1-2*⌈|x|/(|x|+1)⌉+2*⌈x/(|x|+1)⌉ (1'') ↔ (2)+(3)-(4).
Mais, pour obtenir la même représentation que précédemment de l'expression (1') de la fonction signe il nous suffit de retirer l'une des fonctions de composition de l'expression précédente (1'') ↔ (2)+(3)-(4), de la fonction signe, soit l'expression (2) de la première fonction composante de la fonction signe et qui est la fonction indicatrice des éléments caractéristiques de SeqAᵢ₌₂₄, qui sont nulle et d'expression 1-⌈|x|/(|x|+1)⌉, comme suit:
sgn(x)=1A(|x |/x )=1A(x /|x|)=1-2*⌈|x|/(|x|+1)⌉+2*⌈x/(|x|+1)⌉-1+⌈|x|/(|xₙ+1)⌉ = 2*⌈x /(|x |+1)⌉-⌈|x |/(|x |+1)⌉ (1')
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1.1.b) La fonction d'échelon caractéristique d'unité ou indicatrice de 1: ε(x)
Le graphe ci-dessus représentant la fonction ε(x)=y montre qu'elle est constante par intervalle et n'est pas continue en 0.
Ensuite et encore dans la catégorie des fonctions d'échelons caractéristiques, nous considérons la fonction d'unité, ε(x), ou "fonction indicatrice de 1", soit la fonction caractéristique définie comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(x)=0, si x≠1
- 1A(x)=1, si x=1
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
ε(x)=1A(x)=1-⌈(|x-1|)/(|x|+1)⌉ (5).
∴
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par
SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(1;-0,177;-174; -0,571; 0; -1228,23; -959; 0; 0; -199; 1244; 1; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168)
dans la fonction ε(x)=1-⌈(|x-1|)/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).
⁂
Nous remarquerons que l'expression (2) de la fonction indicatrice des valeurs nulles d'une suite de nombres quelconques, et qui est notée a(n)=1A (x)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ et l'expression (5), a(n)=ε(x)=1A(x)=1-⌈(|x-1|)/(|x|+1)⌉, semblent être généralisable sous la forme ∀ n ∈ N*, a(n)=1-⌈(|x-n|)/(|x|+1)⌉, qui serait donc, la "fonction indicatrice de α", soit la fonction caractéristique définie comme suit:
1A: R→ {λₙ,1}
- 1A(x)=λₙ ≠1, si x≠α
- 1A(x)=1, si x=α
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ λₙ ∈ N* \{1} et λₙ= 1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉, ∀ α ∈ N*:
1A(x)=1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ (5').
⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄})↔SeqAᵢ₌₂₄=(1;-0,177;-174;-0,571;10;-1228,23;-959;0;0;-199;1244;
1;1244,3;-1244;-1244;-1;1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168), dans l'expression (5') ↔ a(n)=1-⌈(|x-10|)/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}), et soit α=10, est représentée comme suit:
Seq(1-⌈( |x-10| )/( |x|+1)⌉)=(-4;-8;-1;-6; 1;-1;-1;-9; -9;-1;0;-4;0;-1;-1;-5; 0; 0;-6;-5;-5;-8;0;-1).
⁂
Nous obtiendrons ensuite l'expression d'une fonction indicatrice plus restreinte sur son ensemble d'arrivée {0;1} au lieu de {λₙ,1}, et donc de représentation usuelle Seq({0;1})=(0,0,0,0,1,0,0,0,0
,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), dont nous pouvons écrire l'expression systématique de la "fonction indicatrice de α", soit la fonction caractéristique de compositions des fonctions indicatrices, d'expression (2), la fonction indicatrice des éléments caractéristiques de la séquence de nombres ayant pour expression a(n)=1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉, qui sont nuls et d'expression 1-⌈|x|/(|x|+1)⌉; et (3), la fonction indicatrice des éléments caractéristiques de la séquence de nombres dont l'expression est, a(n)=1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉, qui sont supérieurs à 0, et donc une fonction indicatrice de composition qui est définie comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉)=0, si x≠α
- 1A(1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉)=1, si x=α
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*, ∀ α ∈ N*, ∀ X ∈ N avec X=1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ :
1A(1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉)=⌈|X|/(|X|+1)⌉ -⌈|X|/(|X|+1)⌉+⌈X/(|X|+1)⌉ =⌈|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |/(|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |+1)⌉ -⌈|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |/(|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |+1)⌉+⌈(1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ )/(|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |+1)⌉ (6')↔ (2)+(3)
⁂
Nous répétons ce que nous avions exactement écrit précédemment, soit que pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...)
⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔
SeqAᵢ₌₂₄=(1;-0,177;-174;-0,571;10;-1228,23;-959;0;0;-199;1244; 1;1244,3;-1244;-1244;-1;
1244;1244,3;0,57;-1;0,82;0,1217;499,65;-168), dans l'expression (5') ↔ a(n)=1-⌈(|x-10|)/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}), et soit α=10, est représentée comme suit:
Seq(1-⌈( |x-10| )/( |x|+1)⌉)=(-4;-8;-1;-6; 1;-1;-1;-9; -9;-1;0;-4;0;-1;-1;-5; 0; 0;-6;-5;-5;-8;0;-1). Puis en remplaçant par les éléments de la séquence précédente, Seq(1-⌈( |x-10| )/( |x|+1)⌉) dans
l'expression (6') ↔ 1A(1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉)=⌈|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |/(|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |+1)⌉ -⌈|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |/(|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |+1)⌉+⌈(1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ )/(|1-⌈(|x-α|)/(|x|+1)⌉ |+1)⌉ nous obtenons la représentation usuelle de (6'), soit Seq({0;1})=(0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).
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1.1.c) La fonction d'échelon caractéristique rectangulaire : rect(x) ou Π(x)
Rectangular function with a=1
1A: R→ {0;1/2;1}
- 1A(|x|)=0, si |x|>1/2,
- 1A(|x|)=1/2, si |x|=1/2,
- 1A(|x|)=1, si |x|<1/2;
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(|x|)=rect(x)=Π(x), dont la formule est inexistante et que nous devons donc créer comme suit, est:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A(|x|)=rect(x)=Π(x)=1A(|x|)=rect(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2 (10)
Remarquons que nous obtenons l'expression (10) avec les opérations sur d'autres expressions de fonctions indicatrices composant la fonction rectangulaire qui n'est donc qu'une fonction indicatrice composée, et qu'ils nous semble pertinent de détailler ici ces fonctions de composition de la la fonction composée qui est la fonction rectangulaire, pour éventuellement donner plus facilement la deuxième expression de la fonction rectangulaire que nous définirons ultérieurement différemment de celle-ci dessus, mais surtout pour donner une expression étendue de la fonction rectangulaire à n'importe quelles valeurs d'encadrement et non plus les valeurs de -1/2 et 1/2. Donc soit la première fonction indicatrice définie comme suit :
1A: R→ {0,1}
- 1A₁(x)=0, si x<= -1/2
- 1A₁(x)=1, si x> -1/2
L'expression de cette fonction caractéristique 1A₁(x), la première fonction de composition caractéristique de la fonction composée rect(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A₁(x)=⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉ (11)
Puis, soit la deuxième fonction indicatrice de composition de la fonction composée rect(x), qui est définie comme suit :
1A: R→ {0,1}
- 1A₂(x)=0, si x>= 1/2
- 1A₂(x)=1, si x< 1/2
L'expression de cette fonction caractéristique 1A₂(x), la deuxième fonction de composition caractéristique de la fonction composée rect(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A₂(x)=⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉ (12)
Puis, soit la troisième fonction indicatrice de composition de la fonction composée rect(x), qui est définie comme suit :
1A: R→ {0,1}
- 1A₃(x)=0, si x≠1/2
- 1A₃(x)=1, si x= 1/2
L'expression de cette fonction caractéristique 1A₃(x), la troisième fonction de composition caractéristique de la fonction composée rect(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A₃(x)=1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉ (13)
Puis, soit la quatrième fonction indicatrice de composition de la fonction composée rect(x), qui est définie comme suit :
1A: R→ {0,1}
- 1A₄(x)=0, si x≠-1/2
- 1A₄(x)=1, si x= -1/2
L'expression de cette fonction caractéristique 1A₄(x), la quatrième fonction de composition caractéristique de la fonction composée rect(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A₄(x)=1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉ (14)
Puis, soit la cinquième fonction indicatrice de composition de la fonction composée rect(x), qui est définie comme suit :
1A: R→ {0,1}
- 1A₅(x)=0, si |x|>1/2
- 1A₅(x)=1, si |x|<1/2
L'expression de cette fonction caractéristique 1A₅(x), la cinquième fonction de composition caractéristique de la fonction composée rect(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A₅(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉| (15)
1A₅(x)=1-|1A₁(x) ∘1A₂(x)| (15')↔(15)
Puis, soit la sixième fonction indicatrice de composition de la fonction composée rect(x), qui est définie comme suit:
1A: R→ {0;1/2;1}
- 1A(|x|)=0, si |x|>1/2,
- 1A(|x|)=1/2, si |x|=1/2,
- 1A(|x|)=1, si |x|<1/2;
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A₆(x), la sixième fonction de composition caractéristique de la fonction composée rect(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
rect'(x)=Π'(x)= 1A₆(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2 (16)
Cette dernière expression de la fonction de composition caractéristique qui est l'expression elle-même de la fonction rectangulaire, mais aussi qui est la fonction composée rectangulaire elle-même comme suit:
1A₅(x) ∘1A₃(x)*1/2∘1A₄(x)*1/2=1-|1A₁(x) ∘1A₂(x)| ∘1A₃(x)*1/2∘1A₄(x)*1/2 (16)'↔(10)
⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée parSeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}) ↔ SeqAᵢ₌₁₄=(511; 0; 0,9; 1; 152; 1228; 959; 0,5; 555; 0,5; 0,5; 1; 0,5; 0,2) dans la fonction rect(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}), qui est représentée par Seq({0; 0,5; 1})=(0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0,5; 0; 0,5; 0,5; 0; 0,5; 1).
⁂
Mais il existe aussi une autre définition de cette fonction rectangulaire si nous considérons la définition de l'article en français de Wikipédia intitulé, "Fonction porte" et qui est la traduction de l'article en anglais ci-dessus intitulé "Rectangular function", alors l'expression de la fonction porte ou rectangulaire, rect'(x) ou Π'(x), soit la fonction caractéristique est définie comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(|x|)=0, si |x|>1/2
- 1A(|x|)=1, si |x|<=1/2
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*
1A'(|x|)=rect'(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉) (17)
Cette dernière expression de la fonction caractéristique de composition qui est l'expression modifiée de la fonction rectangulaire avec le remplacement de la valeur de la fonction caractéristique 1/2 pour x=1/2 ou -1/2 est la fonction composée rectangulaire modifiée elle même comme suit:
1A₅(x) ∘1A₃(x)∘1A₄(x)=1-|1A₁(x) ∘ 1A₂(x)| ∘1A₃(x)∘1A₄(x) (17)'↔(17)
∴
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,
xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par
SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}) ↔ SeqAᵢ₌₁₄=(511; 0; 0,9; 1; 152; 1228; 959; 0,5; 555; 0,5; 0,5; 1; 0,5; 0,2) dans la fonction rect'(x)=Π'(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1).
SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}) ↔ SeqAᵢ₌₁₄=(511; 0; 0,9; 1; 152; 1228; 959; 0,5; 555; 0,5; 0,5; 1; 0,5; 0,2) dans la fonction rect'(x)=Π'(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₁₄({xₙ₌₁→ₙ₌₁₄}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1).
⁂
1.2) Les fonctions d'échelons caractéristiques de Heaviside
La fonction H(x) de Heaviside
1.2.a) La fonction d'échelon caractéristique de Heaviside: H₁(x)
Nous restons toujours dans la catégorie des fonctions d'échelons caractéristiques, mais nous changeons seulement de sous titre pour indiquer que nous changeons de type de fonctions homogènement non systématiquement équivalente, pour une nouvelle fonction équivalente à toutes les autres fonctions échelons caractéristiques, et sous ce sous titre général et les 11 sous titres suivants, nous considérons la fonction de Heaviside, notée H(x), qui est définie généralement comme la "fonction indicatrice de positivité sur l'ensemble des réels R" et donc la fonction H discontinue en 0 prenant la valeur 1 pour tous les réels strictement positifs et la valeur 0 pour les réels strictement négatifs. Donc la fonction échelon caractéristique de Heaviside la fonction caractéristique d'expression H(x)=(x+|x|)/(2*x) (22), qui n'est pas définie pour x=0 et que l'on note conventionnellement H(0)↑, (le symbole↑ signifiant "est non définie pour 0"), est représentée comme suit:1A: R→ {0,1}
- 1A(x)= (x+|x|)/(2*x)=0, si x<0
- 1A(x)=(x+|x|)/(2*x)↑, est non définie si x=0
- 1A(x)=(x+|x|)/(2*x)=1, si x>0
Ainsi, comme précédemment pour les fonctions échelons caractéristiques non définies en 0, nous devons recréer pour cette fonction de Heaviside une expression de cette fonction échelon caractéristique définie en 0, en adoptant la convention de H(0)=0, ou H(0)=1/2 ou H(0)=1, ("Certains auteurs donnent H(0)=0, d'autres H(0)=1, mais la valeur H(0)=0,5 est souvent utilisée, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique".) que nous définissons donc comme suit en adoptant la convention de H(0)=1:
1A: R→ {0; 1}
- 1A(x)=0, si x<0
- 1A(x)=1, si x>=0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x)=H(x) est notée H₁(x) pour la différencier de H(x), car contrairement à H(x) elle est définie pour x=0 avec H₁(0)=1; et elle est définie comme suit:
∀ x ∈ R; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)
=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement positifs, 1A(x>0)=⌈x/(|x|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A(x=0)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ :
H₁(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉ (23)
H₁(x)=1/2*(sgn(x)+1)+1/2*1A(x=0)=⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1 (23)
H₁(x)=1/2*(sgn(x)+1)+1/2*1A(x=0)=⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1 (23)
H₁(x)=sgn(x)-1A(x>0)+1=⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉ +1 (23)
H₁(x)=1A(x>0)+1A(x=0)=1A(x>=0)=⌈x/(|x|+1)⌉ +1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (23)
H₁(x)=(x+|x|)/(2*x+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ) (24)
1A: R→ {0,1}:
- 1A(x)=1, si x=0
- 1A(x)=0 si x≠0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x) est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A (x)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (2). C'est cette dernière expression qui nous permet de transformer la seule expression donnée pour la fonction de Heaviside soit H(x)=(x+|x|)/(2*x) qui est non définit au dénominateur pour x=0 en une nouvelle expression modifiée au dénominateur pour obtenir la valeur de H₁(x)=1 pour x=0.
⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,
xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁})
↔ SeqAᵢ₌₂₁=(511;-0,177;-174;-0,571;0;-1228,23;-959;0;0;-199;1244;1244;1244,3;-1244;-1244;
-1;1244;1244,3;0,57;-1;0,82) dans la fonction H₁(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;1;0;0;1;1;0;1;1;1;0;0;0;1;1;1;
0;1).
⁂
1.2.b) La fonction d'échelon caractéristique de Heaviside: H₀(x)
Ensuite toujours parmi ces fonctions d'échelons caractéristiques du type de la fonction de Heaviside, nous considérons à nouveau la fonction de Heaviside, H(x), "fonction indicatrice de positivité sur l'ensemble des réels R", dont l'expression donnée pour x≠0, H(x)=(x+|x|)/(2*x), n'est pas définie pour x=0, et que l'on note conventionnellement H(0)↑. Ainsi, comme précédemment pour les fonctions échelons caractéristiques non définies en 0, nous devons recréer pour cette fonction de Heaviside une expression de cette fonction échelon caractéristique définie en 0 en adoptant la convention possible parmi les trois de H(0)=0, ou H(0)=1/2 ou H(0)=1, soit la fonction caractéristique définie comme suit en adoptant la convention de H(0)=0:
1A: R→ {0,1}
- 1A(x)=0, si x<=0
- 1A(x)=1, si x>0
∀ x ∈ R; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)
=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres supérieurs ou égaux à 0, u(x)=1A(x>0)+1A(x=0)=⌈x/(|x|+1)⌉+(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉); soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement négatifs, 1A(x<0)=⌈|x|/(|x|+1)⌉ -⌈x/(|x|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A(x=0)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉:
H₀(x)=1/2*(sgn(x)+1)-1/2*1A(x=0) +1/2=⌈x/(|x|+1)⌉ (25);
H₀(x)=sgn(x)-u(x)+1=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉-1+⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+1=⌈x/(|x|+1)⌉ (24).
H₀(x)=1-1A(x<0)-1A(x=0)=⌈x/(|x|+1)⌉ (25).
H₀(x)=( (x+|x|)/(2*x+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ) )*⌈|x|/(|x|+1)⌉ (26)
1A: R→ {0,1}:
- 1A(x)=1, si x=0
- 1A(x)=0 si x≠0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x=0) est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A (x)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (2). C'est cette dernière expression qui nous permet de transformer la seule expression donnée pour la fonction de Heaviside soit H(x)=(x+|x|)/(2*x) qui est non définit au dénominateur pour x=0 en une nouvelle expression modifiée au dénominateur pour éliminer cette non définition pour x=0, puis multiplier par 1-1A (x=0)=⌈|x|/(|x|+1)⌉ pour obtenir la valeur de H₀(x)=0 pour x=0.
∴
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,
xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁})
↔ SeqAᵢ₌₂₁=(511;-0,177;-174;-0,571;0;-1228,23;-959;0;0;-199;1244;1244;1244,3;-1244;-1244;
-1;1244;1244,3;0,57;-1;0,82) dans la fonction H₁(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;0;0;0;1;1;1;
0;1).
⁂
1.2.c) La fonction d'échelon caractéristique de demi maximums de Heaviside: H½(x)
La fonction H½(x) de Heaviside
1A: R→ {0,1}
- 1A(x)=0, si x<0
- 1A(x)=1/2, si x=0
- 1A(x)=1, si x>0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x)=H½(x), la fonction de demi maximum de Heaviside notée H½(x) pour la différencier de H(x), car contrairement à H(x), H½(x) est définie pour x=0, avec H½(0)=1/2; et elle est définie comme suit:
∀ x ∈ R; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres supérieurs ou égaux à 0, u(x)=1A(x>0)+1A(x=0)=⌈x/(|x|+1)⌉+(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉):
H½(x)=1/2*(sgn(x)+1)=⌈x/(|x|+1)⌉-1/2*⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+1/2 (27)
H½(x)=1A(x>0)+1/2*1A(x=0)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉ (27).
H½(x)=((x+|x|)/(2*x+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ ) )-(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*1/2 (28)
1A: R→ {0,1}:
- 1A(x)=1, si x=0
- 1A(x)=0 si x≠0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x) est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*:
1A (x)=1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (2). C'est cette dernière expression qui nous permet de transformer la seule expression donnée pour la fonction de Heaviside soit H(x)=(x+|x|)/(2*x) qui est non définit au dénominateur pour x=0 en une nouvelle expression modifiée au dénominateur pour éliminer cette non définition pour x=0, puis dont nous soustrayons de la valeur de 1, la valeur de 1/2, résultat de l'expression (1-1A(x=0))*1/2=(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)*1/2, pour obtenir en finalité la valeur de H½(x)=1/2 pour x=0.
⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,
xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁})
↔ SeqAᵢ₌₂₁=(511;-0,177;-174;-0,571;0;-1228,23;-959; 0; 0;-199;1244;1244;1244,3;-1244;-1244;
-1;1244;1244,3;0,57;-1;0,82) dans la fonction H½(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0; 0,5 ;1}) = (1; 0; 0; 0; 0,5; 0; 0; 0,5; 0,5; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1;1;1;0;1).
⁂
1.2.d) La fonction d'échelon caractéristique wagon ou "boxcar": boxcar₁(x)
"Représentation graphique d’une fonction de wagon" Extrait de Wikipédia l'Encyclopédie libre
1A: R→ {0; 1}
L'expression de cette fonction indicatrice 1A(x-a)=H(x-a) est notée H₁(x-a) pour la différencier de H(x-a), car contrairement à H(x-a) elle est définie pour x-a=0 avec H₁(0)=1; et elle est définie comme suit:
∀ x ∈ R; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x-a)=1A(|x-a|/(x-a))=1A((x-a)/|x-a|)=2*⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-⌈|x-a|/(|x-a|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement positifs, 1A((x-a)>0)=⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A((x-a)=0)=1-⌈|x-a|/(|x-a|+1)⌉ :
a(n)=H₁(x-a)=1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉ (23').
Ensuite encore dans le but d'élaborer l'expression de la fonction boxcar₁(x)=c'*(H₁(x-a)-H₁(x-b)), et en particulier H₁(x-b), soit la deuxième fonction indicatrice définie comme suit:
1A: R→ {0; 1}
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x-b)=H(x-b) est notée H₁(x-b) pour la différencier de H(x-b), car contrairement à H(x-b) elle est définie pour x=0 avec H₁(0)=1; et elle est définie comme suit:
∀ x ∈ R; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x-b)=1A(|x-b|/(x-b))=1A((x-b)/|x-b|)=2*⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉-⌈|x-b|/(|x-b|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement positifs, 1A((x-b)>0)=⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A((x-b)=0)=1-⌈|x-b|/(|x-b|+1)⌉:
H₁(x-b)=1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉ (23'')
1A: R→ {0; 1}
L'expression de cette fonction indicatrice de 1A(x-a)-1A(x-b)=H₁(x-a)-H₁(x-b) est définie comme suit:
∀ x ∈ R; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x-a)=1A(|x-a|/(x-a))=1A((x-a)/|x-a|)=2*⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-⌈|x-a|/(|x-a|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement positifs, 1A((x-a)>0)=⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A((x-a)=0)=1-⌈|x-a|/(|x-a|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x-b)=1A(|x-b|/(x-b))=1A((x-b)/|x-b|)=2*⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉-⌈|x-b|/(|x-b|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement positifs, 1A((x-b)>0)=⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A((x-b)=0)=1-⌈|x-b|/(|x-b|+1)⌉:
H₁(x-a)-H₀₁(x-b)=1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-(1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉) (29)
Nous pouvons maintenant finalement déterminer l'expression de la fonction boxcar₁(x)=c'*(H₁(x-a)-H₁(x-b)), en considérant la quatrième fonction indicatrice finalement équivalente à la fonction wagon ou "boxcar" égale à zéro sauf pour un seul intervalle où elle est égale à une constante c', et notée boxcar₁(x)=c'*(H₁(x-a)-H₁(x-b)), et qui est définie comme suit:
1A: R→ {0; 1}
L'expression de cette fonction indicatrice de (1A(x-a)-1A(x-b))*c'=(H₁(x-a)-H₁(x-b))*c', est définie comme suit:
∀ x ∈ R; ∀ c' ∈ R; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x-a)=1A(|x-a|/(x-a))=1A((x-a)/|x-a|)=2*⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-⌈|x-a|/(|x-a|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement positifs, 1A((x-a)>0)=⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A((x-a)=0)=1-⌈|x-a|/(|x-a|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice signum, sgn(x-b)=1A(|x-b|/(x-b))=1A((x-b)/|x-b|)=2*⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉-⌈|x-b|/(|x-b|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres strictement positifs, 1A((x-b)>0)=⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉; soit l'expression de la fonction indicatrice des nombres égaux à zéro, 1A((x-b)=0)=1-⌈|x-b|/(|x-b|+1)⌉; soit l'expression (27) donnée précédemment généralement pour x, H₁(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉, que j'écrit en particulier pour x-a et x-b H₁(x-a)-H₁(x-b), donc H₁(x-a)-H₁(x-b)=((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-((1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉), et donc en multipliant cette expression par la constante c', nous obtenons l'expression de la fonction wagon ou boxcar, qui est définie comme suit:
boxcar₁(x)=c'*(H₁(x-a)-H₁(x-b))=c'*(1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-(1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉) ) (29').
⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,
xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁})
↔ SeqAᵢ₌₂₁=(511;-0,177;-174;-0,571;0;-1228,23;-959; 0; 0;-199;1244;1244;1244,3;-1244;-1244;
-1;1244;1244,3;0,57;-1;0,82) dans la première fonction H₁(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1;1;1;0;1).; puis dans la deuxième fonction H₁(x-a)=1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉, avec a=5, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1
-1;1244;1244,3;0,57;-1;0,82) dans la première fonction H₁(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1;1;1;0;1).; puis dans la deuxième fonction H₁(x-a)=1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉, avec a=5, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1
;0;0;0;1;1;0;0;0); puis dans la troisième fonction H₁(x-b)=1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉, avec b=2, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;
1;1;1;0;0;0;1;1;0;0;0); puis dans la quatrième fonction c*(H₁(x-a)-H₁(x-b))=c*((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-(1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)), avec a=5, b=2, c=8, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0
;0).
⁂
1.2.e) La fonction d'échelon caractéristique de demi maximums wagon ou "boxcar": boxcar½(x)
Ensuite, toujours parmi ces fonctions d'échelons, nous considérons à nouveau la fonction par convention de demi maximum wagon ou "boxcar" égale à zéro sauf pour un seul intervalle et à ces deux bornes qui sont égales à la valeur de 1/2 et égale à une constante c dans cet intervalle, dont la formule est boxcar½(x)=c*(H½(x-a)-H½(x-b)); donc soit la fonction caractéristique définie comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=0, si x-a<0 et x-b<0
- 1A(((x-a+|x-a|)/(2(x-a))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=1/2, si x-a=0 et x-b=0
- 1A(((x-a+|x-a|)/(2(x-a))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=1, si x-a>0 et x-b>0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=H½(x-a)-H½(x-b) dont la formule donnée précédemment généralement pour x, H½(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉ qui peut donc être aussi écrite pour x-a et x-b en général et en particulier pour H½(x-a)-H½(x-b) comme suit, est:
∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*:
H½(x-a)-H½(x-b)=((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉)*1/2+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-((1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉)*1/2+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉) (25); donc en multipliant cette expression par la constante, c, nous obtenons l'expression de la fonction par convention de demi maximum boxcar, définie comme suit:
∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ N*:
boxcar½(x)=c*(H½(x-a)-H½(x-b))=c*(((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉)*1/2+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-((1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉)*1/2+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)) (26).
⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,
xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁})
↔ SeqAᵢ₌₂₁=(511;-0,177;-174;-0,571;0;-1228,23;-959; 0; 0;-199;1244;1244;1244,3;-1244;-1244;
-1;1244;1244,3;0,57;-1;0,82) dans la première fonction H₁(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1;1;1;0;1).; puis dans la deuxième fonction H₁(x-a)=1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉, avec a=5, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1
-1;1244;1244,3;0,57;-1;0,82) dans la première fonction H₁(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1;1;1;0;1).; puis dans la deuxième fonction H₁(x-a)=1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉, avec a=5, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1
;0;0;0;1;1;0;0;0); puis dans la troisième fonction H₁(x-b)=1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉, avec b=2, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1;0;0;0;0;0;0;0
;0;0;1;1;1;0;0;0;1;1;0;0;0); puis dans la quatrième fonction c*(H₁(x-a)-H₁(x-b))=((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-(1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉))*c, avec a=5, b=2, c=8, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₁({xₙ₌₁→ₙ₌₂₁}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0
;0;0;0).
1.2.f) La fonction d'échelon caractéristique de wagons ou "boxcar" zéro: boxcar₀(x)
.png)
Représentation graphique d’une fonction de wagon
1A: R→ {0,1}
- 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=0, si x-a<=0 et x-b<=0
- 1A(((x-a+|x-a|)/(2(x-a))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=1, si x-a>0 et x-b>0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=H₀(x-a)-H₀(x-b) dont la formule donnée précédemment généralement pour x, H₀(x)=⌈x/(|x|+1)⌉, que j'écris pour x-a et x-b en général et en particulier pour H₀(x-a)-H₀(x-b) comme suit:
∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*:
H₀(x-a)-H₀(x-b)=(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉) (27); donc en multipliant cette expression par la constante c', nous obtenons l'expression de la fonction wagon ou boxcar, qui est définie comme suit:
∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ N*:
boxcar₀(x)=c''*(H₀(x-a)-H₀(x-b))=c''*((⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)) (28).
⁂
1.2.g) La fonction d'échelon caractéristique d'impulsion unité
Fonction impulsion-unité 
⁂
1.2.h La fonction d'échelon caractéristique de Heaviside rectangulaire
L'expression de la fonction porte ou rectangulaire, rect(x) ou Π(x), soit la fonction caractéristique est définie comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(|x|)=0, si |x|>1/2
- 1A(|x|)=1, si |x|<=1/2
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*
1A(|x|)=rect(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉) (10)'
⁂
1.3) Les fonctions d'échelons caractéristiques d'unité d'impulsion
1.3.a) La fonction d'échelon caractéristique d'unité d'impulsion ou indicatrice de 0: δ(x)
"La fonction δ de Dirac" représentée par le graphe ci-dessus, "peut être informellement considérée comme une fonction qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et elle est utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une grande pointe étroite".
Ensuite et toujours dans la catégorie des fonctions d'échelons caractéristiques, nous considérons la fonction d'unité d'impulsion, la fonction δ de Dirac δ(x), ou "fonction indicatrice de 0", soit la fonction indicatrice dont l'expression est inexistante et que nous devons donc créer et définir comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(x)=0, si x≠0
- 1A(x)=1, si x=0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x=0)=δ(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:
δ(x)=1A(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉ (2);
δ(x)=1-|sgn(x)|=1-|⌈2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉| (2')↔(2).
∴
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par
SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(1;-0,177;-174; -0,571; 10; -1228,23; -959; 0; 0; -199; 1244; 1; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168), dans la fonction
δ(x)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}), qui est représentée par Seq({0;1})=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).
⁂
1.3.b) La fonction d'échelon caractéristique d'unité positive: u(x)
Ci-dessus est le graphe de la fonction d'unité positive, u(x).
1A: R→ {0,1}
- 1A(x)=0, si x < 0
- 1A(x)=1, si x >= 0
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:
1A(x)=u(x)=1/2*(sgn(x)+1)+1/2*1A(x=0)=1/2*(2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+1)+1/2*(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)=⌈x/(|x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉) (7);
1A(x)=u(x)=⌈(1/2*(sgn(x)+1))/(1/2*(sgn(x)+1)+1)⌉=⌈(1/2*(x/|x|+1))/(1/2*(x/|x|+1)+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉ (7');
1A(x)=u(x)=1A(x>0)+1A(x=0)=⌈x/(|x|+1)⌉+(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉) (7).
⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,
xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par
SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(1;-0,177;-174; -0,571; 10; -1228,23; -959; 0; 0; -199; 1244; 1; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168) dans la fonction u(x)=⌈x/(|x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉), ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0).
⁂
1.3.c) La fonction d'échelon caractéristique d'unité positive non nulle: u'(x)
Ensuite toujours parmi ces fonctions d'échelons caractéristiques et complétant l'expression précédente, nous considérons la fonction que je crée pour différencier et préciser l'expression de la fonction u(x) précédemment, et que j'appelle la fonction d'unité positive strictement supérieure à 0, notée u'(x) ou "fonction indicatrice de positivité non nulle", dont l'expression est inexistante et que nous devons donc créer suivant la fonction caractéristique définie comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(x)=0, si x<=0
- 1A(x)=1, si x>0
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(x)=u'(x), est définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:
1A(x)=u'(x)=1A(x>0)=⌈x/(|x|+1)⌉ (8)
1A(x)=u'(x)=2*(1A(x>0))-⌈(1/2*(x/|x|+1))/(1/2*(x/|x|+1)+1)⌉=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈(1/2*(x/|x|+1))/(1/2*(x/|x|+1)+1)⌉ (9)
1A(x)=u'(x)=sgn(x)-u(x)+1=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉- ⌈x/(|x|+1)⌉-(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉) +1=⌈x/(|x|+1)⌉ (8)
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R, ∀ n ∈ N*; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:
1A(x)=u'(x)=1A(x>0)=⌈x/(|x|+1)⌉ (8)
1A(x)=u'(x)=2*(1A(x>0))-⌈(1/2*(x/|x|+1))/(1/2*(x/|x|+1)+1)⌉=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈(1/2*(x/|x|+1))/(1/2*(x/|x|+1)+1)⌉ (9)
1A(x)=u'(x)=sgn(x)-u(x)+1=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉- ⌈x/(|x|+1)⌉-(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉) +1=⌈x/(|x|+1)⌉ (8)
1A(x)=u'(x)=1/2*sgn(x)-1/2*1A(x=0)+1/2=⌈x/(|x|+1)⌉-1/2*⌈|x|/(|x|+1)⌉+1/2*⌈|x|/(|x|+1)⌉=⌈x/(|x|+1)⌉ (8)
1A(x)=u'(x)= -1A(x<0)-1A(x=0)+1= -⌈|x|/(|x|+1)⌉+⌈x/(|x|+1)⌉ -1+⌈|x|/(|x|+1)⌉ +1=⌈x/(|x|+1)⌉ (8)
⁂
Pour remplacer par les valeurs correspondantes aux variables de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ R, considérons l'exemple de la séquence représentée par
SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}) ↔ SeqAᵢ₌₂₄=(1;-0,177;-174; -0,571; 10; -1228,23; -959; 0; 0; -199; 1244; 1; 1244,3; -1244; -1244; -1; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 0,1217; 499,65;-168) dans la fonction u'(x)=⌈x/(|x|+1)⌉, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌₂₄({xₙ₌₁→ₙ₌₂₄}), qui est représentée par Seq({0;1})=(1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0).
⁂
1.4) Les fonctions d'échelons caractéristiques multiples
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1.4.a) La fonction d'échelon caractéristique de partie entière par défaut, ou partie entière inférieure:
Représentation graphique en escalier de la fonction « partie entière » inférieure.
"La fonction plancher |_x_|, également appelée la plus grande fonction entière ou valeur entière (Spanier et Oldham, 1987), donne le plus grand entier inférieur ou égal à x. Le nom et le symbole de la fonction plancher ont été inventés par K. E. Iverson (Graham et al., 1994). La fonction floor est la fonction qui prend en entrée un nombre réel x, et donne en sortie le plus grand entier inférieur ou égal à x, noté ⌊x⌋ ou floor(x).
Par exemple, pour le sol : ⌊2,4⌋ = 2, ⌊−2,4⌋ = −3
Historiquement, le plancher de x a été – et est toujours – appelé la partie intégrale ou la partie entière de x, souvent notée [x] (ainsi qu’une variété d’autres notations).Cependant, le même terme, partie entière, est également utilisé pour la troncature vers zéro, ce qui diffère de la fonction plancher pour les nombres négatifs.
Pour n un entier, ⌊n⌋ = ⌈n⌉ = [n] = n."
1.4.b) La fonction d'échelon caractéristique de partie entière supérieure:
Représentation graphique en escalier de la fonction « partie entière » supérieure.
"De même, la fonction plafond fait correspondre x au plus petit entier supérieur ou égal à x, noté ⌈x⌉ ou ceil(x).
et pour le plafond : ⌈2,4⌉ = 3 et ⌈−2,4⌉ = −2."
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II) LES NOUVELLES FONCTIONS
ÉCHELONS COMBINAISONS LINÉAIRES DE FONCTIONS INDICATRICES D'INTERVALLES
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Fonction : caractéristique d’annulation d’intervalle équivalente à une fonction de pas unitaire définie comme toute fonction qui est nulle sur toute la droite réelle à l’exception d’un seul intervalle où elle est égale à une constante de valeur un.