1': 1'A I' EXTENSION EN COMPRÉHENSION DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE EN LOGIQUE PROPOSITIONELLE ET EN LOGIQUE DU PREMIER ORDRE VÉRIFIANT L’ENSEMBLE DES AXIOMES D’UNE ALGÈBRE DE BOOLE

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Table de vérité de proposition logique classique avec TRUE ≡ vrai et FALSE≡ faux.

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"La logique est le fondement de la certitude de toutes les connaissances que nous acquérons." Leonhard Euler

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"Démonstrative, la science est de part en part logique. Mais « le logique », produit de la démonstration ne doit pas se confondre avec la logique, science historique qui correspond seulement à une partie du logique, coupée de son origine et élevée au rang de science indépendante des enchaînements déductifs par les logicistes" extrait de "La logique dans la science : Place et statut de la logique dans la philosophie de Jean Cavaillès: Revue d'histoire des sciences, tome 52, n°1, 1999. pp. 81-106;" de Sabatier Xavier. 

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La distinction entre extension et compréhension est introduite par la "Logique de Port-Royal" ("La Logique de Port-Royal est le nom habituellement donné à l'ouvrage d'Antoine Arnauld et Pierre Nicole, intitulé La Logique ou l'art de penser et publié pour la première fois en 1662, à Paris sans nom d’auteur." d'après Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne.) et portant sur les idées universelles : « J'appelle compréhension de l'idée les attributs qu'elle enferme en soi, et qu'on ne peut lui ôter sans la détruire, comme la compréhension de l'idée du triangle enferme extension, figure, trois lignes, trois angles, et l'égalité de ces trois angles à deux droits, etc. […]. J'appelle étendue (ou extension) de l'idée les sujets à qui cette idée convient, ce qu'on appelle aussi les inférieurs d'un terme général, qui à leur égard est appelé supérieur, comme l'idée du triangle en général s'étend à toutes les diverses espèces de triangles… »

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I) INTRODUCTION À LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:

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Dans notre introduction à ce tapuscrit nous avions montré que l'expression de la fonction caractéristique correspondait à celle de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance c'est-à-dire la fonction caractéristique de x appartenant à SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ-x)=1, notée:

1A: E→ {0,1}

• 1A(yᵢ-x)=1, si yᵢ-x=0 ∧ x ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ 

• 1A(yᵢ-x)=0, si  yᵢ-x≠0 ∧ x ∉ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ 

∀ yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R; ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x=xᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-xᵢ=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:

1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉     (1), et qu'elle était en fait une expression beaucoup plus élémentaire d'une fonction caractéristique au sens de moins particulière, donc d'une fonction caractéristique en général, que celle écrite précédemment, comme seule générale, car fondamentale et implicitement toujours d'appartenance, et qui est la définition et l'expression de la fonction caractéristique des valeurs nulles et non nulles des éléments de tout ensemble séquentiel et que j'ai appelé la fonction caractéristique de structures élémentaires, qui si elle est plus générale, elle reste encore implicitement seulement et non plus explicitement une fonction caractéristique d'appartenance d'un élément à une seule valeur précise (cette propriété est maintenant transposée aux seuls éléments du résultat de la fonction caractéristique, les éléments caractéristiques qui appartiennent à l'ensemble {0;1}, tandis que les éléments caractérisés n'appartiennent plus qu'à l'ensemble des éléments dont les valeurs sont encore précisément nulles, mais aussi et moins précisément non nulles). J'ai défini cette fonction caractéristique de structures élémentaires comme suit:

1A: SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

• 1A(yᵢ≠0)=0, si yᵢ=0 

• 1A(yᵢ≠0)=1, si yᵢ≠0. 

J'ai encore défini l'expression de cette fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments yᵢ de l'ensemble séquentiel SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞, de valeurs non nulles, noté 1A(yᵢ≠0)=1, comme suit:

∀ y=yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ y=yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

1A(yᵢ≠0)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉        (1)', et cette dernière expression résulte de l'application de  "l'extension en compréhension" à l'objet mathématique des fonctions caractéristiques, dont le concept correspond à l'ensemble des expressions de la fonction caractéristique, comprenant les deux expressions de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance, et de l'expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires, sachant qu'en paraphrasant Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne dans sa définition du terme d'extension, celle du concept d'un objet mathématique est constituée des choses auxquelles il s'applique, conjointement à sa compréhension, consistant en des propriétés impliquées par le concept de l'objet mathématique, et s'il s'agit du type de concept ou d'expression qu'un seul objet mathématique peut satisfaire à lui seul comme c'est le cas de l'extension de l'objet mathématique de la « fonction caractéristique » qui est l'ensemble de toutes les objets mathématiques qui sont des fonctions caractéristiques et comprenant donc les deux expressions précédentes de la fonction caractéristique et leurs propriétés induites. 

Ainsi donc, l'extension du concept d'objet mathématique de fonction caractéristique est seulement l'ensemble des objets qui répondent à la définition de cet objet mathématique. En effet, en logique, l'extensionalité, ou égalité extensionnelle fait référence aux principes qui jugent que les objets sont égaux s'ils ont les mêmes propriétés externes. Elle s'oppose au concept d'intentionnalité, qui s'intéresse à la question de savoir si les définitions internes des objets sont les mêmes. Par exemple, d'après Wikipédia, l'encyclopédie libre et en ligne "l'extension d'un énoncé entier, par opposition à un mot ou à une phrase, est définie (depuis « Du sens et de la référence » de Gottlob Frege) comme sa valeur de vérité", alors l'extension de l'expression de la fonction caractéristique est cette valeur de vérité numérique résultante de l'opération de cette fonction. 

Quant à la compréhension d'un concept, c'est l'ensemble des conditions que doit satisfaire un objet pour faire partie de son extension, c'est-à-dire que la compréhension correspond à la définition du concept. "En logique, la compréhension d'un objet est la totalité des intentions, c'est-à-dire des attributs, des caractères, des marques, des propriétés ou des qualités que possède l'objet, ou encore la totalité des intentions qui sont pertinentes au contexte d'une discussion donnée.. 

Ainsi, joindre l'extension à la compréhension d'un objet mathématique dans le terme de l'extension en compréhension de ce même objet, consiste à joindre la liste des objets d'un même ensemble à la liste des conditions qui sont leurs propriétés communes que satisfont ces objets en tant qu'ils appartiennent à cet ensemble. La distinction entre extension et compréhension est d'ailleurs introduite par la "Logique de Port-Royal" ("La Logique de Port-Royal est le nom habituellement donné à l'ouvrage d'Antoine Arnauld et Pierre Nicole, intitulé La Logique ou l'art de penser et publié pour la première fois en 1662, à Paris sans nom d’auteur." d'après Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne.) et portant sur les idées universelles : « J'appelle compréhension de l'idée les attributs qu'elle enferme en soi, et qu'on ne peut lui ôter sans la détruire, comme la compréhension de l'idée du triangle enferme extension, figure, trois lignes, trois angles, et l'égalité de ces trois angles à deux droits, etc. […]. J'appelle étendue (ou extension) de l'idée les sujets à qui cette idée convient, ce qu'on appelle aussi les inférieurs d'un terme général, qui à leur égard est appelé supérieur, comme l'idée du triangle en général s'étend à toutes les diverses espèces de triangles… »

Mais ma définition logique de "l'extension en compréhension" d'un objet mathématique est néanmoins conforme à la définition mathématique de l'extension d'un concept mathématique comme l'ensemble spécifié par ce concept, résultant d'une hypothèse implicite de la description d'un objet mathématique dont une caractérisation devient l'extension en compréhension. Les objets mathématiques que sont les fonctions caractéristiques sont les éléments d'un ensemble qui ont une relation d'équivalence, et un ensemble naturellement divisé en classes d'équivalence dont les éléments appartiennent à la même classe d'équivalence si, et seulement si, ils sont équivalents. Mais le processus d'extension en compréhension ne transformant jamais cette relation d'équivalence en relation d'égalité entre éléments de cet ensemble qui est alors un ensemble particulier aux propriétés spéciales, c'est-à-dire un "setoïd" dont la propriété est de préserver une différence entre l'égalité intentionnelle et une relation d'équivalence plus générale, permettant de joindre l'extension et la compréhension. 

Ce processus lui-même d'extension en compréhension ne transformant jamais cette relation d'équivalence en relation d'égalité entre éléments de cet ensemble "setoïd", s'applique aux éléments de l'ensemble des expressions algébriques logiques que sont les opérations booléennes d'opération unaire de la négation et les cinq opérations binaires de la conjonction, la disjonction inclusive, la disjonction exclusive, l'implication et l'équivalence, toutes ces opérations algébriques étant seulement équivalentes aux expressions algébriques numériquement calculables, c'est-à-dire les expressions algébriques utilisant les opérations arithmétiques incluant les opérations des fonctions modulo, plancher et plafond dont les résultats sont numériquement calculables. Nous expliciterons cette propriété tout au long de ce chapitre en évitant l'inéluctable aporie consistant à confondre la propriété de l'offuscation (une stratégie de gestion de l'information qui vise à obscurcir le sens qui peut être tiré d'un message) qui transforme une expression de forme élémentaire en une expression dont la forme est inutilement compliquée et qui ne sont plus qu'équivalente seulement que comme résultante d'une opération soit de la fonction modulo, plancher ou plafond, avec cette propriété des relations éléments de  cet ensemble "setoïd" ne transformant jamais cette relation d'équivalence en relation d'égalité entre éléments de ce même ensemble.

Donc, pour continuer au-delà des deux éléments appartenant à l'ensemble des objets mathématiques de fonctions caractéristiques, précédentes du processus "d'extension en compréhension", nous montrons donc maintenant dans ce nouveau chapitre que les valeurs de 0 et 1 du domaine d'arrivée d'une fonction caractéristique, si elles peuvent être équivalentes à celles du domaine d'arrivée des fonctions booléennes de la logique binaire booléenne, les expressions de l'algèbre booléenne, ce domaine d'arrivée de la fonction caractéristique peut être élargit à trois valeurs dans l'ensemble {0; 1/2; 1} correspondantes à celle de la logique ternaire puis éventuellement élargie à toutes valeurs entre 0 et 1 comme en logique floue, dont les variables prennent une valeur dans l’intervalle des nombres réels [0; 1]. Mais au-delà d'élargir le domaine d'arrivée de la fonction caractéristique en générale de ces valeurs dans l'ensemble {0;1}, puis dans l'ensemble {0; 1/2; 1}, et enfin aux valeurs de l'intervalle réel [0; 1], notre but est de montrer de nouvelles propriétés en logique floue en créant de nouvelles fonctions simples combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques qui soient des formules numériquement calculables de la logique floue améliorant son automatisation formelle numérique, c'est-à-dire en réduisant les étapes calculatoires liées aux conditions multiples en utilisant de nouvelles formes de calcul numérique logique révélant éventuellement de nouvelles propriétés logiques. 

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1) Définition de l'objet mathématique de la logique:

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"Un langage logique est défini par une syntaxe, c'est-à-dire un système de symboles et de règles pour les combiner sous forme de formules. De plus, une sémantique est associée au langage. Elle permet de l'interpréter, c'est-à-dire d'attacher à ces formules ainsi qu'aux symboles une signification. Un système de déduction permet de raisonner en construisant des démonstrations. La logique comprend classiquement : la logique des propositions (aussi appelée calcul des propositions); la logique des prédicats, qui contient des notations pour des entités avec des quantifications sur ces entités, auxquelles s'ajoute la logique combinatoire basée sur les notions de fonction et d'application, en lien avec le lambda calcul et la logique intuitionniste.

Syntaxes

La syntaxe de la logique des propositions est fondée sur des variables de propositions appelées également atomes que nous notons avec des lettres minuscules (p, q, r, s, etc.) Ces symboles représentent des propositions sur lesquelles on ne porte pas de jugement vis-à-vis de leur vérité : elles peuvent être soit vraies, soit fausses, mais on peut aussi ne rien vouloir dire sur leur statut. Ces variables sont combinées au moyen de connecteurs logiques qui sont, par exemple : 

• Le connecteur binaire disjonctif (ou), de symbole : ∨ ;

• Le connecteur binaire conjonctif (et), de symbole : ∧ ;

• Le connecteur binaire de l'implication, de symbole : → ;

• Le connecteur unaire ou monadique de la négation (non), de symbole : ¬.

Ces variables forment alors des formules complexes.

La syntaxe de la logique du deuxième ordre, contrairement à celle du premier ordre, considère : les termes : représentant les objets étudiés ; les formules : propriétés de ces objets étudiés. Dans la suite, nous noterons V l'ensemble des variables (x, y, z…), F l'ensemble des symboles de fonctions (f, g…) et P l'ensemble des symboles de prédicats (P, Q…). On dispose également d'une application dite d'arité m. La signification des formules fait l'objet de la sémantique et diffère selon le langage envisagé. En logique traditionnelle (appelée aussi logique classique ou logique du « tiers exclu »), une formule est soit vraie, soit fausse. Plus formellement, l'ensemble des valeurs de vérité est un ensemble B de deux booléens : le vrai et le faux. La signification des connecteurs est définie à l'aide de fonctions de booléens vers des booléens. Ces fonctions peuvent être représentées sous la forme de table de vérité.

La signification d'une formule dépend donc de la valeur de vérité de ses variables. On parle d'interprétation ou d'affectation. Toutefois, il est difficile, au sens de la complexité algorithmique, d'utiliser la sémantique pour décider si une formule est satisfaisante (ou non), voire valide (ou non). Il faudrait pour cela pouvoir énumérer toutes les interprétations qui sont exponentielles en nombre. Une alternative à la sémantique consiste à examiner les preuves bien formées et à considérer leurs conclusions. Cela se fait dans un système de déduction. Un système de déduction est un couple (A, R), où A est un ensemble de formules appelées axiomes et R un ensemble de règles d'inférence, c'est-à-dire de relations entre des ensembles de formules (les prémisses) et des formules (la conclusion). On appelle dérivation à partir d'un ensemble donné d'hypothèses une suite non vide de formules qui sont : soit des axiomes, soit des formules déduites des formules précédentes de la suite. Une démonstration d'une formule ϕ à partir d'un ensemble de formules Γ est une dérivation à partir de Γ dont la dernière formule est ϕ." Extrait de Wikipédia l'encyclopédie en ligne libre.

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"Un langage L est un ensemble de constantes, de fonctions, de prédicats et de variables. L'objet de recherche dans la théorie des modèles est des théories, donc des ensembles de formules. Un modèle est une structure sur L, qui satisfait les axiomes de la théorie en question. Il y a deux approches de recherche principales dans la théorie des modèles :

• 1) La compréhension d'une structure singulière, qu'on considère comme donnant la signification (par exemple (N,+,∗) ou (R,+,∗)).

• 2) L'enquête pour trouver des caractéristiques communes à un nombre de structures (par exemple des structures algébriques comme un anneau ou un corps).

Parmi les théorèmes importants en théorie des modèles, trois jouent un rôle principal, car ils donnent les conditions générales pour qu'une théorie ait un modèle :

• (i) Le théorème de compacité pour la logique du premier ordre (les formulations 1 et 2 sont équivalentes) :

• 1) Soit X⊨φ est une formule. Il existe un ensemble fini X fin ⊆ tel que X fin⊨φ

• 2) Si toute partie finie d'un ensemble de formules Γ a un modèle, alors Γ a un modèle.

• (ii) Le théorème de complétude de Gödel assure qu'en logique classique du premier ordre, la réciproque est vraie : toute théorie non contradictoire possède au moins un modèle. Il clôt des recherches qui remontent au théorème de Löwenheim-Skolem.

• (iii), qui énonce que toute théorie, dans un langage dénombrable du premier ordre, qui possède un modèle infini, possède aussi un modèle de n'importe quelle cardinalité infinie."

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2) Définition et notations des connecteurs de la logique

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• Connecteur 
• Nom pour les parties 
• Groupe verbal

Conjonction: 

• A et B 

• conjonctifs

• A et B sont conjoints

Disjonction: 

• Soit A ou B, soit les deux 

• disjonctifs 

• A et B sont disjoints

Négation:

•  Il n'est pas vrai que A

• negatum/negand 

• A est nié

Conditionnel:

•  Si A, alors B antécédent, 

• conséquent 

• B est impliqué par A

Biconditionnel 

• A si, et seulement si, B 

• équivalents 

• A et B sont équivalents

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ET	${\displaystyle A\wedge B}$, ${\displaystyle A\cdot B}$, ${\displaystyle AB}$, ,
ÉQUIVALENT	${\displaystyle A\equiv B}$ , ${\displaystyle A\iff B}$, ${\displaystyle A\leftrightharpoons B}$
IMPLIQUE	${\displaystyle A\Rightarrow B}$, ${\displaystyle A\supset B}$, ${\displaystyle A\to B}$
ET-NON	${\displaystyle A\overline{\wedge }B}$, ${\displaystyle A\uparrow B}$, ${\displaystyle A\mid B}$, ${\displaystyle \overline{A\cdot B}}$
NON ÉQUIVALENT	${\displaystyle A\not\equiv B}$ , ${\displaystyle A\nLeftrightarrow B}$, ${\displaystyle A\nleftrightarrow B}$
OU-NON	${\displaystyle A\overline{\vee }B}$, ${\displaystyle A\downarrow B}$, ${\displaystyle \overline{A+B}}$
NON	${\displaystyle \mathrm{\neg }A}$, ${\displaystyle -A}$, ${\displaystyle \overline{A}}$, ${\displaystyle \sim A}$
OU	${\displaystyle A\vee B}$, ${\displaystyle A+B}$, ${\displaystyle A\mid B}$, ${\displaystyle A\parallel B}$
NON-OU (XNOR; ET exclusif; Non XOR)	${\displaystyle A\text{XNOR}B}$ A⊙ B,
XOR (eXclusive OR; OU exclusif)	${\displaystyle A\underset{\_}{\vee }B}$, ${\displaystyle A\oplus B}$
CONVERSE	${\displaystyle A\Leftarrow B}$, ${\displaystyle A\subset B}$, ${\displaystyle A\leftarrow B}$

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II) LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE DE L'ALGÈBRE DE BOOLE ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:

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1) Traduction de la logique propositionnelle classique (bivalente) en la logique booléenne de l'algèbre de Boole:

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"La logique classique des propositions (ce qui est affirmé par une phrase déclarative) analyse les combinaisons de propositions du seul point de vue de la vérité et de la fausseté des propositions simples. Le mot bivalent signifie « ayant deux valeurs ». Les deux valeurs en question sont le vrai et le faux. Dans la logique des propositions classique, on ne reconnaît pas d'autre possibilité. C'est ce que les anciens logiciens appelaient la « loi du tiers exclu ». Une proposition sera donc considérée ou bien comme vraie, ou bien comme fausse. Une même proposition ne peut pas être vraie et fausse à la fois. Et elle ne pourra pas être ni vraie ni fausse. Même une proposition dont on ignore si elle est vraie ou si elle est fausse sera considérée comme devant être ou bien vraie ou bien fausse."

"En logique mathématique, une variable propositionnelle est un symbole qui désigne une proposition dans le calcul propositionnel, c'est une variable qui peut être remplacée par une proposition vraie ou fausse ou par une formule qui est elle-même composée de variables propositionnelles et donc qui peut prendre parfois la valeur vraie et parfois la valeur faux."

"L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s'intéresse à une approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d'opérateurs et de fonctions sur les variables logiques, ce qui permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle fut lancée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole. En mathématiques et en logique mathématique, l'algèbre booléenne est une branche de l'algèbre. Elle diffère de l'algèbre élémentaire de deux manières. Tout d'abord, les valeurs des variables sont les valeurs de vérité vraie et fausse, généralement qui sont respectivement notées 1 et 0, alors que dans l'algèbre élémentaire, les valeurs des variables sont des nombres. Ensuite, l'algèbre booléenne utilise des opérateurs logiques tels que la conjonction (et) notée ∧, la disjonction (ou) notée ∨ et la négation (non) notée ¬. L'algèbre élémentaire, quant à elle, utilise des opérateurs arithmétiques tels que l'addition, la multiplication, la soustraction et la division. L'algèbre booléenne est donc une manière formelle de décrire les opérations logiques de la même manière que l'algèbre élémentaire décrit les opérations numériques."

"Une algèbre de Boole est un ensemble d’au moins deux éléments, 0, 1, et trois opérations, complément (le complément de x est noté  ~x), somme (+) et produit (.), qui vérifient les axiomes suivants : 

1.  la somme est :  associative : x + (y + z) = (x + y) +z ; commutative : x + y = y + x; 0 est élément neutre de la somme : 0 + x = x.
2.  le produit est : associatif : x.(y . z) = (x . y).z ; commutatif : x . y = y . x; 1 est élément neutre du produit : 1. x = x.
3.  le produit est distributif sur la somme : x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
4. la somme est distributive sur le produit : x + (y . z) = (x + y) . (x + z). 
5. les lois de la négation : x + ~x = 1;  x . ~x = 0. 

"Une fonction booléenne f est une fonction dont les arguments et le résultat sont dans le domaine B = { 0; 1 },  f : Bⁿ → B.

"Une variable booléenne peut être utilisée pour contenir les valeurs entières 0 ou 1, la représentation des littéraux vrai ou faux."

"La logique propositionnelle vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole. Ainsi nous pouvons considérer la logique propositionnelle comme la plus petite algèbre de Boole, car elle contient deux éléments. De ce fait, nous pouvons utiliser les notations booléennes (plus condensées) en lieu et place des notations propositionnelles, comme indiqué dans la table de correspondance" donnée dans le tableau suivant:

Fonction booléenne	Notations	Formules équivalentes	Table de vérité
Proposition P	P		Q 0 1 P 0   0 0 1   1 1
Proposition Q	Q		Q 0 1 P 0   0 1 1   0 1
Négation de P	¬P ~P		Q 0 1 P 0   1 1 1   0 0
Négation de Q	¬Q ~Q		Q 0 1 P 0   1 0 1   1 0
Disjonction (OU)	P ${\displaystyle \vee }$ Q P + Q P OR Q	P ${\displaystyle \leftarrow }$ ¬Q ¬P → Q ¬P ↑ ¬Q	Q 0 1 P 0   0 1 1   1 1
Conjonction (ET)	P ${\displaystyle \wedge }$ Q P & Q P · Q P AND Q	P ${\displaystyle \nrightarrow }$¬Q ¬P ${\displaystyle \nleftarrow }$ Q ¬P ${\displaystyle \downarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0   0 0 1   0 1
Disjonction réciproque (NON-OU)	P ↓ Q P NOR Q	P ${\displaystyle \nleftarrow }$ ¬Q ¬P ${\displaystyle \nrightarrow }$ Q ¬P ${\displaystyle \wedge }$ ¬Q	Q 0 1 P 0   1 0 1   0 0
NON-ET	P ↑ Q P | Q P NAND Q	P → ¬Q ¬P ← Q ¬P ${\displaystyle \vee }$ ¬Q	Q 0 1 P 0   1 1 1   1 0
Contradiction	${\displaystyle \mathrm{\perp }}$ FALSE	P ${\displaystyle \wedge }$ ¬P	Q 0 1 P 0   0 0 1   0 0
Tautologie	${\displaystyle \mathrm{\top }}$ TRUE	P ${\displaystyle \vee }$ ¬P	Q 0 1 P 0   1 1 1   1 1
Implication	P → Q P ${\displaystyle \supset }$ Q	P ↑ ¬Q ¬P ${\displaystyle \vee }$ Q ¬P ← ¬Q	Q 0 1 P 0   1 1 1   0 1
Implication réciproque	P ${\displaystyle \leftarrow }$ Q P ${\displaystyle \subset }$ Q	P ${\displaystyle \vee }$ ¬Q ¬P ↑ Q ¬P → ¬Q	Q 0 1 P 0   1 0 1   1 1
Non implication	P ${\displaystyle \nrightarrow }$ Q P ${\displaystyle \not\supset }$ Q	P ${\displaystyle \wedge }$ ¬Q ¬P ↓ Q ¬P ${\displaystyle \nleftarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0   0 0 1   1 0
Non-implication réciproque	P ${\displaystyle \nleftarrow }$ Q P ${\displaystyle \not\subset }$ Q	P ↓ ¬Q ¬P ${\displaystyle \wedge }$ Q ¬P ${\displaystyle \nrightarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0   0 1 1   0 0
Équivalence	P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ Q P ≡ Q P ${\displaystyle \odot }$ Q P XNOR Q P IFF Q	P ${\displaystyle \nleftrightarrow }$ ¬Q ¬P ${\displaystyle \nleftrightarrow }$ Q ¬P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0   1 0 1   0 1
Disjonction exclusive (OU exclusif)	P ${\displaystyle \nleftrightarrow }$ Q P ${\displaystyle \not\equiv }$ Q P ${\displaystyle \oplus }$ Q P XOR Q	P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ¬Q ¬P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ Q ¬P ${\displaystyle \nleftrightarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0   0 1 1   1 0

Schéma récapitulatif des formules d'équivalences entre la logique bivalente classique et la logique bivalente booléenne d'après Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne.

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 1') Extension en compréhension de l'expression de la fonction caractéristique à l'algèbre de Boole

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a) De la logique propositionnelle à la logique booléenne:

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Si "une fonction booléenne f est une fonction dont les arguments et le résultat sont dans le domaine B = {0,1},  f : Bⁿ → B", alors par définition la fonction f : N → B : f(x) = x mod 2 n’est pas une fonction booléenne et pourtant son résultat ressemble à "une variable booléenne qui peut être utilisée pour contenir les valeurs entières 0 ou 1, la représentation des littéraux vrai ou faux." Or, si la logique propositionnelle vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole qui sont:

1. la somme est associative : x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ; commutative : x + y = y + x ; 0 est élément neutre de la somme : 0 + x = x; le produit est associatif : x.(y . z) = (x . y).z; commutatif : x . y = y . x ; 1 est élément neutre du produit : 1. x = x.
2. le produit est distributif sur la somme : x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
3. la somme est distributive sur le produit : x + (y . z) = (x + y) . (x + z).
4. les lois de la négation : x + ~x = 1; x .~x = 0.

Et que la logique propositionnelle est la plus petite algèbre de Boole, contenant deux éléments et donc que les notations booléennes plus condensées remplacent les notations propositionnelles. Néanmoins, la logique propositionnelle n’est pas l’unique algèbre de Boole et les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) qui mélangent des opérateurs booléens (∧,∨,¬,⊕,...) et des opérations arithmétiques traditionnelles sur des entiers (+,−,×,...) sont aussi un algèbre de Boole. 

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a)' Les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA):

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Les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) mélangent des opérateurs booléens (∧,∨,¬,⊕,...) et des opérations arithmétiques traditionnelles sur des entiers (+,−,×,...). Il ne s'agit pas néanmoins de la technique algorithmique de l'offuscation qui transforme une expression simple en une forme complexe avec des expressions inutilement compliquées pour composer des expressions arithmétiques booléennes mixtes comme par exemple "parmi de nombreuses équations d'identité impliquant l'addition et la soustraction combinées à des opérations logiques, les équations (1) et (2) peuvent être utilisées pour obscurcir p − q et p ⊕ q :

p − q ≡  p + ¬ q+1     (1)

p ⊕ q ≡ p ∨ q −p ∧ q     (2)  

"Zhou et al. (Yongxin Zhou, Alec Main, Yuan X. Gu, and Harold Johnson. Information Hiding in Software with Mixed Boolean-Arithmetic Transforms. In Proceedings of the 8th International Conference on Information Security Applications (WISA’07), 2007.) étendent le concept MBA existant à un modèle plus général appelé « algèbres arithmétiques booléennes », qui génère des identités MBA basées sur la définition formelle suivante:  

Une expression MBA est : ∑( i ∈ I ) aiei (x₁,..., xₙ) où ai est un coefficient constant, ei sont des expressions bit à bit des variables x₁,..., xₙ. aiei est appelé un terme dans l'expression MBA. L'expression x + y − x ∧ y−3(x ⊕  y) + 5, donne un exemple MBA plus complexe dans la définition ci-dessus. Le MBA comprend 5 termes : 

• x, y,
• −x ∧ y,
• −3(x ⊕  y), 
• et 5. 

Notez que si l'expression booléenne est vraie, le terme n'a que le coefficient, comme le dernier terme 5. 

Remarquons que toujours dans le but de réduire l'offuscation cette fois-ci sémantiquement de ma définition dans mon introduction du processus d'extension en compréhension de la fonction caractéristique ("L’offuscation, assombrissement, obscurcissement ou brouillage est une stratégie de gestion de l'information qui vise à obscurcir le sens qui peut être tiré d'un message. Cette stratégie peut être intentionnelle ou involontaire." d'après Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne), car ces expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA), illustrent le processus d'extension en compréhension ne transformant jamais la relation d'équivalence en relation d'égalité entre éléments de cet ensemble "setoïd", que sont les expressions arithmétiques booléennes et les opérateurs arithmétiques traditionnels sur des entiers, qui s'appliquent aux éléments de l'ensemble des expressions algébriques logiques que sont les opérations booléennes, car toutes ces opérations algébriques sont encore comme précédemment seulement équivalentes aux expressions numériques.

⁂⁂

a)''Les formules d'équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l'algèbre booléenne dans {0; 1}, l'ensemble des valeurs de variables logiques:

⁂

Mais si les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) sont une algèbre de Boole, alors pour élaborer les formules d'équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l'algèbre booléenne qui sont des formules  ("En logique et en mathématiques, une formule est une suite finie d'objets, dotée de propriétés particulières qui rendent possible la syntaxe dans tous ces domaines", d'après Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne.) de fonctions arithmétiques, ainsi que des formules de la fonction modulo en algèbre modulaire et les formules de la fonction plancher et plafond, nous écrivons tout d'abord les formules d'équivalence entre la fonction modulo en algèbre modulaire et les fonctions plancher et plafond, comme suit:

n mod(d) = n - d*⌊n/d⌋ = n-d*(⌈(n+1)/d⌉-1). 

Ainsi sachant que ces expressions arithmétiques booléennes mixtes résultantes, illustrent dans mon introduction l'élaboration du processus d'extension en compréhension ne transformant jamais la relation d'équivalence en relation d'égalité entre éléments de cet ensemble "setoïd" que sont les expressions arithmétiques booléennes et les opérateurs arithmétiques traditionnels sur des entiers, incluant les opérateurs des fonctions modulo, plancher ⌊ ⌋ et plafond ⌈ ⌉, qui s'appliquent aux éléments de l'ensemble des expressions algébriques logiques que sont les opérations booléennes, car toutes ces opérations algébriques sont encore comme précédemment seulement équivalentes aux expressions numériques, alors nous écrivons donc les formules d'équivalence entre celles de la logique propositionnelle et celles de la logique de l'algèbre booléenne dont les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) sont une algèbre, comme suit en représentant les tables de vérité montrant que la logique propositionnelle vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole avec les valeurs des variables logiques p et q appartenant à l'ensemble {0; 1} et correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle P ≡ vrai ≡1, P ≡ faux ≡ 0, Q ≡ vrai ≡1, et Q ≡ faux ≡ 0, c'est-à-dire :

Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente aux expressions algébriques des variables p et q égales à 1; ou faux (FALSE) équivalente aux expressions algébriques des variables, 1 - p,  et 1 - q, et égales à 0; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à 1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P est égale à 0; et table de vérité de la proposition logique notée Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à 1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à 0.

• P ≡ p=1, si P ≡ vrai ; P ≡ 1-p=0, si P ≡ faux. 

• Q ≡ q=1, si Q ≡ vrai ; Q ≡ 1-q=0, si Q ≡ faux.

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ∧ Q, et appelée la conjonction de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques P ∧ Q est vraie équivalente à leur expression de variables logiques est égale à 1, si les deux assertions sont vraies équivalente à leurs expressions de variables logiques P et Q sont égales à 1.

• P ∧ Q ≡ P*Q

• P ∧ Q ≡ P*Q mod(2)

• P ∧ Q ≡ P*Q - 2*⌊P*Q / 2⌋

• P ∧ Q ≡ P*Q - 2*(⌈(P*Q + 1) / 2 ⌉ - 1)

• P ∧ Q ≡ ⌈⌊P+Q⌋/(⌊P+Q⌋+1)⌉*P*Q - (1- ⌈| P + Q - 1 | /( | P + Q - 1 | + 1)⌉ )*P*Q

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ∨ Q et appelée disjonction non exclusive de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une de ces deux assertions est vraie, équivalente à son expression de variables logiques P ou Q est égale à 1. 

• P ∨ Q ≡ P + Q - P*Q

• P ∨ Q ≡ 1- (1 - P)*(1 - Q)

• P ∨ Q ≡ (1+ (P + 1)*(Q + 1)) mod (2)

• P ∨ Q ≡ (P + Q - P*Q) mod(2)

• P ∨ Q ≡ 1+ (P + 1)*(Q + 1) - 2*⌊(1 + (P + 1)*(Q + 1))/2⌋

• P ∨ Q ≡ P + Q - P*Q - 2*⌊(P + Q - P*Q) /2⌋

• P ∨ Q ≡ (1- ⌈⌊P + Q⌋⌉)*P*Q + ⌈⌊P + Q⌋/(⌊P + Q⌋+1)⌉

• P ∨ Q ≡ 1 + (P + 1)*(Q + 1) -2*(⌈(1 + (P + 1)*(Q + 1) + 1)/2⌉-1)

• P ∨ Q ≡ - P - Q + P*Q -2*( ⌈- P - Q + P*Q + 1) / 2⌉-1)

• P ∨ Q ≡1 - (1- P)*(1 - Q)-2*(⌈(1 - (1 - P)*(1- Q) + 1) / 2 ⌉ -1)

• P ∨ Q ≡ P + Q - P*Q - 2*(⌈ P + Q - P*Q + 1) / 2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ⊕ Q et appelée XOR (un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une et une seule des assertions est vraie, équivalente à son expression de variables logiques soit P soit Q est égale à 1.

• P ⊕ Q ≡ ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q )

• P ⊕ Q ≡ ( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q ) 

• P ⊕ Q ≡ P + Q - 2*P*Q

• P ⊕ Q ≡ (P + Q - P*Q)*(1 - P*Q)

• P ⊕ Q ≡ (P*(1 - Q)+((1 - P)*Q))-((P*(1 - Q)*((1- P)*Q))))

• P ⊕ Q ≡ P + Q - 2*P*Q mod(2)

• P ⊕ Q ≡ ( P + Q - P*Q)*(1- P*Q) mod(2)

• P ⊕ Q ≡ ( P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - ((P*(1- Q)*((1 - P)*Q)))) mod(2)

• P ⊕ Q ≡ P + Q - 2*P*Q - 2*⌊(P + Q - 2*P*Q)/2⌋

• P ⊕ Q ≡ (P + Q - P*Q)*(1 - P*Q) - 2*⌊((P + Q - P*Q)*(1 - P*Q))/2⌋

• P ⊕ Q ≡ ( P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1 - P)*Q))) - 2*⌊((P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - (( P*(1 - Q)*((1 - P)*Q))))/2⌋

⁂

Table de vérité de la proposition logique, notée P ↑ Q, et appelée ET-NON (NAND, en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une des assertions est fausse, équivalente à son expression de variables logiques P ou Q est égale à 0. 

• P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q )

• P ↑ Q ≡ ~ P ∨ ~ Q

• P ↑ Q ≡ ¬ P ∨ ¬ Q ≡ 1- P + 1- Q - (1 - P)*(1 - Q)

• P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q ) ≡ 1 - P*Q

• P ↑ Q ≡ ( -1*(P*Q mod(2)) - 1) mod (2)

• P ↑ Q ≡ (1 - P*Q) mod(2)

• P ↑ Q ≡ (-1*(P*Q) mod(2) - 1) mod(2)

• P ↑ Q ≡ (1 - P*Q - 1) mod(2)

• P ↑ Q ≡ 1 - P*Q - 2*⌊(1- P*Q)/2⌋

• P ↑ Q ≡ 1 - P + 1 - Q -  (1- P)*(1-Q) - 2*⌊(1- P + 1 - Q - (1 - P)*(1 - Q))/2⌋

• P ↑ Q ≡1 - P*Q - 2*(⌈(1 - P*Q + 1)/2⌉ - 1)

• P ↑ Q ≡ (1 - P) + (1 - Q) - (1- P)*(1- Q) - 2*(⌈((1 - P)+(1- Q)-(1- P)*(1 - Q)+1)/2⌉ -1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ↓ Q et appelée OU-NON (NOR en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques P ↓ Q est vraie équivalente à leur expression de variables logiques est égale à 1, seulement lorsque les deux assertions sont chacune fausse et équivalentes à leurs expressions de variables logiques respectives P et Q sont chacune égale à 0.

• P ↓ Q ≡ ¬ (P ∨ Q)

• P ↓ Q ≡ ~P ∧ ~ Q

• P ↓ Q ≡ 1- P - Q + P*Q

• P ↓ Q ≡ (1- P)*(1 - Q)

• P ↓ Q ≡ 1 - Q - P*(1 - Q)

• P ↓ Q ≡ (1 - P - Q + P*Q) mod(2)

• P ↓ Q ≡ ((1 - P)*(1- Q) ) mod(2)

• P ↓ Q ≡ (1 - Q - P*(1 - Q)) mod(2)

• P ↓ Q ≡ (1- Q)+(1- Q)*P mod(2)

• P ↓ Q ≡ (1- Q - P*(1- Q)) -2*⌊(1 - Q - P*(1- Q))/ 2⌋

• P ↓ Q ≡ (1- P)*(1 - Q) - 2*⌊((1- P)*(1 - Q))/ 2⌋

•  P ↓ Q ≡ 1- P - Q + P*Q - 2*⌊(1- P - Q + P*Q )/ 2⌋

•  P ↓ Q ≡ 1-P-Q+P*Q - 2*(⌈(1- P - Q + P*Q +1)/2⌉-1)

• P ↓ Q ≡ (1-P)*(1-Q) - 2*(⌈((1 - P)*(1-Q)+1)/ 2⌉-1)

• P ↓ Q ≡ (1-Q-P*(1-Q)) - 2*(⌈(1 - Q - P*(1-Q)+1)/ 2⌉-1)

• P ↓ Q ≡ ((1-Q)+(1-Q)*P) - 2*(⌈(((1-Q)+(1-Q)*P)+1) / 2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique d'implication, notée P → Q, et qui est aussi notée, P ⊃ Q, de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques P → Q est fausse, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, exactement lorsque la première assertion appelée "l’impliquant" est vraie, équivalente à son expression de variables logiques P est égale à 1, et la seconde assertion appelée "l’impliquée" est fausse, équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à 0.

• P → Q ≡ ~ P ∨ Q

• P → Q ≡ 1 - P + P * Q

• P → Q ≡ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q

• P → Q ≡ (1 - P + P*Q) mod(2)

• P → Q ≡ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q mod(2)

• P → Q ≡ 1 - (1 - Q) + (1 - Q)*P mod(2)

• P → Q ≡ (1 - P + P*Q ) - ⌊(1 - P + P*Q ) / 2 ⌋

• P → Q ≡ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q) - 2*⌊((1 - P) + Q - (1 - P) * Q)/ 2⌋

• P → Q ≡ (1 - P + P*Q ) - 2*(⌈((1 - P + P*Q ) +1)/ 2 ⌉ - 1)

• P → Q ≡ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q) - 2*(⌈(((1 - P) + Q - (1 - P) * Q)+1)/ 2⌉ - 1)

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Table de vérité de la proposition logique d'implication réciproque, notée P ← Q, ou P ⊂ Q, de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques P ← Q, est fausse, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à 1, et la seconde assertion appelée l’impliquée est fausse équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à 0.

• P ← Q ≡ ~ Q ∨ P 

• P ← Q ≡ ¬ (~P ∧ Q ) 

• P ← Q ≡1 - Q + P*Q

• P ← Q ≡ (1 - Q) + P - (1 - Q)*P

• P ← Q ≡ (1 - Q + P*Q) mod(2)

• P ← Q ≡ (1 - Q) + P - P*Q mod(2)

• P ← Q ≡ (1 - Q + P*Q) - 2*⌊(1-Q + P*Q)/2⌋

• P ← Q ≡ (1 - Q) + P - P*Q) - 2*⌊((1-Q) + P - P*Q)/2⌋

• P ← Q ≡ 1 - (1 - P)*Q - 2*⌊(1 - (1 - P) * Q)/2⌋

• P ← Q ≡ (1 - Q + P*Q) - 2*(⌈((1-Q + P*Q)+1)/2⌉-1)

• P ← Q ≡ (1 - Q) + P - P*Q) - 2*(⌈(((1 - Q ) + P - P*Q)+1)/2⌉ - 1)

• P ← Q ≡ 1 - (1 - P)*Q - 2*(⌈(1 - (1 - P) * Q)+1)/2⌉ - 1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ⊄ Q, P  Q, appelée la non-implication réciproque qui est la négation de la réciproque de l'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions connectées équivalentes à leurs expressions de variables logiques P ⊄ Q est égale à 1, exactement lorsque la première assertion appelée "l’impliquant" est fausse, équivalente à son expression de variables logiques P est égale à 0, et la seconde assertion appelée "l’impliquée" est vraie, équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à 1.

•  P ⊄ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 - P)*Q

• P ⊄ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 - Q + P - (1 - Q ) * P) 

• P ⊄ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 - P)*Q mod (2)

• P ⊄ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ ( 1- (1 - Q + P - (1 - Q ) * P)) mod (2)

•  P ⊄ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ ( 1 - P )*Q - 2*⌊ ( 1 - P)*Q / 2 ⌋

•  P ⊄ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P) - 2*⌊ (1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P))/2 ⌋

•  P ⊄ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 - P)*Q - 2*(⌈((1 - P)*Q + 1)/2⌉-1)

•  P ⊄ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1 - (1 - Q + P - (1 - Q) * P) - 2*( ⌈ ((1 - (1 - Q + P - (1 - Q) * P)) + 1) /2 ⌉ -1 )

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Table de vérité de la proposition logique notée P ⊅ Q et appelée la non-implication matérielle, ou abjonction qui exprime la négation de l'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions connectées sont vraies et équivalentes à leurs expressions de variables logiques P ⊅ Q est égale à 1, exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à 1, et la seconde assertion appelée l’impliquée est fausse équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à 0. 

• P ⊅ Q  ≡ ¬ ( P → Q ) ≡  ¬ (~ P ∨ Q ) ≡ P ∧ ~ Q 

• P ⊅ Q  ≡ P - P*Q

• P ⊅ Q  ≡ (P - P*Q) mod 2

• P ⊅ Q  ≡ (P - P*Q) -2*⌊(P - P*Q)/2⌋

• P ⊅ Q  ≡ (P - P*Q) - 2*(⌈((P - P*Q) +1)/2⌉-1)

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Table de vérité de la proposition logique de la coïncidence, notée P ⊙ Q et appelée XNOR (la négation du OU exclusif noté XOR en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions logiquement connectées par XOR et équivalentes à leurs expressions de variables logiques P ⊙ Q est égale à 1 exactement lorsque les deux assertions sont identiques. 

• P ⊙ Q ≡ ¬ ( ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q ) )  

• P ⊙ Q ≡ ¬ (( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q )) 

• P ⊙ Q ≡ 1- (P + Q-2*P*Q)

• P ⊙ Q ≡ 1- (P + Q - P*Q)*(1-P*Q)

• P ⊙ Q ≡ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q)))

• P ⊙ Q ≡ (1- (P + Q -2*P*Q)) mod(2)

• P ⊙ Q ≡ (1- (P + Q - P*Q)*(1-P*Q)) mod(2)

• P ⊙ Q ≡ (1- (P*(1-Q) + ((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q)))) mod(2)

• P ⊙ Q ≡ (1- (P+Q-2*P*Q)) - 2*⌊(1-(P+Q-2*P*Q))/2⌋

• P ⊙ Q ≡ (1- (P+Q-P*Q)*(1-P*Q)) - 2*⌊(1-(P+Q-P*Q)*(1-P*Q))/2⌋

• P ⊙ Q ≡ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q))) - 2*⌊(1-(P*(1-Q)+((1-P)*Q))-((P*(1-Q)*((1-P)*Q))))/2⌋

• P ⊙ Q ≡ (1- (P+Q-2*P*Q)) - 2*(⌈((1-(P+Q-2*P*Q))+1)/2⌉-1)

• P ⊙ Q ≡ (1- (P+Q-P*Q)*(1-P*Q)) - 2*(⌈(1-(P+Q-P*Q)*(1-P*Q))+1)/2⌉-1)

• P ⊙ Q ≡ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q))) - 2*(⌈(1 - (P*(1 - Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1 - P)*Q))))+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique d'équivalence notée P ↔ Q, P ≡  Q, de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions connectées sont vraies et équivalentes à leurs expressions de variables logiques P ↔ Q est égale à 1, exactement lorsque les deux assertions sont soit toutes les deux vraies, équivalentes à leurs expressions respectives de variables logiques est égale à 1, soit toutes les deux fausses et équivalentes à leurs expressions respectives de variables logiques est égale à 0. 

• P ↔ Q ≡ ( P→Q ) ∧  (Q → P)

• P ↔ Q ≡ ( ~ P ∨ Q ) ∧ ( ~ Q ∨ P ) 

• P ↔ Q ≡ 1 - P - Q + 2*P*Q

• P ↔ Q ≡ (1 - P + P * Q)*( 1- Q + P*Q )

• P ↔ Q ≡ (1 - P - Q + 2*P*Q ) mod(2)

• P ↔ Q ≡ (1- P - Q + 2*P*Q) - 2*⌊(1- P - Q + 2*P*Q)/2⌋

• P ↔ Q ≡ ((1 - P + P * Q) * (1 - Q + P*Q)) - 2*⌊((1 - P + P * Q)*(1 - Q + P*Q))/2⌋

• P ↔ Q ≡ (1- P - Q + 2*P*Q ) - 2*(⌈((1- P - Q + 2*P*Q )+1)/2⌉-1)

• P ↔ Q ≡ ((1 - P + P * Q)*(1 - Q + P*Q)) - 2*(⌈(((1 - P + P * Q)*(1 - Q + P*Q)) + 1)/2⌉-1)

⁂⁂⁂

a)'''Les formules d'équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l'algèbre booléenne dans l'ensemble {-1; 1} transposé à {0; 1}, l'ensemble des valeurs des variables logiques :

⁂

 Nous reviendrons dans le chapitre suivant sur l'utilité d'avoir écrit précédemment les expressions d'équivalence entre les expressions des fonctions simples et les expressions des formules de l'algèbre de la logique booléenne, avec les valeurs des variables des propositions logiques P et Q appartenant à l'ensemble {0; 1} correspondantes aux valeurs des variables de logique propositionnelle, P ≡ vrai ≡1, et Q ≡ faux ≡ 0. Elle est notamment de simplifier le calcul de résolution propositionnelle, le calcul des séquents et le calcul des déductions naturelles. Néanmoins, nous montrons déjà maintenant dans ce nouveau sous-titre dédié cette utilité particulièrement essentielle de simplifier le processus de réécriture des formules logiques de l'algèbre booléenne équivalente à celles de la logique propositionnelle et dont les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) précédemment écrites sont un algèbre de Boole, en représentant les tables de vérité des formules logiques classiques montrant ainsi que la logique propositionnelle, qui est une logique classique vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole avec les valeurs des variables des propositions logiques P et Q appartenant à l'ensemble { -1; 1}, transposé à l'ensemble { 0; 1} et correspondante aux valeurs des variables des propositions logiques, P ≡ vrai ≡1; P ≡ Faux ≡ -1; Q ≡ Vrai ≡1 et Q ≡ faux ≡ -1.

Autrement dit, nous augmentons la part des expressions arithmétiques non booléennes dans les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) de partielles à totales avec des variables de la logique  propositionnelle formuliquement transformées en variables de propositions logiques booléennes équivalentes, c'est à dire soit les expressions des propositions logiques P ≡ ⌈ | P + 1 | / (| P + 1 |  + 1  ) ⌉ et Q ≡ ⌈ | Q +1 | / ( | Q + 1|+1) ⌉, correspondantes aux valeurs des variables de logique propositionnelle, P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ ≡ Vrai ≡1 et P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1 )⌉ ≡ Faux ≡ 0; Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | + 1) ⌉ ≡ Vrai ≡1 et Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | + 1) ⌉ ≡ Faux ≡ 0. Ces expressions arithmétiques booléennes mixtes totales correspondent à la transformation des valeurs de variables des propositions logiques appartenant à l'ensemble { -1; 1}, aux valeurs de variables des propositions logiques appartenant à l'ensemble { 0; 1} et dont les deux tables de vérité représentants cette transformation sont les suivantes :

Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à 1; ou faux (FALSE) équivalente à -1; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie et équivalente à son expression de variables logiques P est égale à 1; ou soit fausse et équivalente à son expression de variables logiques P est égale à -1; et table de vérité de la proposition logique notée Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à 1; ou soit fausse et équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à -1; avec P ∈ { -1; 1} et Q ∈ { -1; 1}.

• P ≡1, si P ≡ vrai ; P ≡ -1, si P ≡ faux. 

• Q ≡1, si Q ≡ vrai ; Q ≡ -1, si Q ≡ faux. 

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1) ⌉ d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à 1; ou faux (FALSE) équivalente à 0; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ est égale à 1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ est égale à 0; et table de vérité de la proposition logique Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | + 1) ⌉ d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à 1; ou faux (FALSE) équivalente à 0; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | + 1) ⌉ est égale à 1; ou soit, fausse équivalente à son expression de variables logiques  Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | + 1) ⌉ est égale à 0; avec P ∈ {-1; 1} et Q ∈ {-1; 1}.

• P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ ≡ 1, si P ≡ vrai ; P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ ≡ 0, si P ≡ faux. 

• Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ≡1, si Q ≡ vrai ; Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | + 1) ⌉ ≡ 0, si Q ≡ faux. 

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ∧ Q, et appelée la conjonction de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques P ∧ Q est vraie équivalente à leur expression de variables logiques est égale à 1, si les deux assertions sont vraies équivalente à leurs expressions de variables logiques P et Q sont égales à 1; avec P ∈ {-1; 1} et Q ∈ {-1; 1}; P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ et Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉.

• P ∧ Q ≡  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1) ⌉ * ⌈ | Q + 1|  / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉

• P ∧ Q ≡ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | + 1) ⌉ ) mod(2)

• P ∧ Q ≡ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P  + 1 | +1) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1) ⌉ ) - 2*⌊ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1) ⌉ * ⌈ | Q + 1| / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) / 2 ⌋

• P ∧ Q ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1| / ( | Q + 1| + 1)⌉ - 2*( ⌈ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1) ⌉ * ⌈ | Q + 1| / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + 1) / 2 ⌉ - 1 )

• P ∧ Q ≡ ⌈ ⌊ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1)⌉ + ⌈ | Q + 1| / ( | Q + 1 | +1) ⌉ ⌋ / ( ⌊ ⌈ | P + 1| / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1) ⌉ ⌋ + 1) ⌉* ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1| +1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1) ⌉ - (1- ⌈ | ⌈ | P + 1| / ( | P + 1| +1)⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1| +1 )⌉ - 1 | /( |  ⌈| P + 1| / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 )⌉ - 1 | + 1 ) ⌉ ) * ⌈ | P +1 | / ( | P + 1 | +1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ∨ Q et appelée disjonction non exclusive de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une de ces deux assertions est vraie, équivalente à son expression de variables logiques P ou Q est égale à 1; avec P ∈ { -1; 1} et Q ∈ { -1; 1}; P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ et Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉.

• P ∨ Q ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ +  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉

• P ∨ Q ≡ 1- (1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ ) * (1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ )

• P ∨ Q ≡ ( 1+ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + 1)*(⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + 1)) mod (2)

• P ∨ Q ≡ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉  + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) mod(2)

• P ∨ Q ≡ 1+ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉+ 1) * ( ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + 1) - 2*⌊(1 + ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + 1) * ( ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + 1)) / 2⌋

• P ∨ Q ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌊ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) / 2 ⌋

• P ∨ Q ≡ (1 - ⌈ ⌊ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ⌋ ⌉ ) * ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉+ ⌈ ⌊ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ⌋ / ( ⌊ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ⌋ +1)⌉

• P ∨ Q ≡ 1 + (⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + 1) * (⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + 1) -2*(⌈(1 + (⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + 1) * (⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + 1) + 1) / 2 ⌉-1)

• P ∨ Q ≡ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ -  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2*( ⌈ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ -  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + 1)/2⌉-1)

• P ∨ Q ≡1- (1- ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ ) * (1 -  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) -2*( ⌈(1 - (1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ ) * (1-  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) +1) / 2⌉ -1)

• P ∨ Q ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2*( ⌈ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉+1) / 2 ⌉ -1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ⊕ Q et appelée XOR (un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une et une seule des assertions est vraie, équivalente à son expression de variables logiques soit P soit Q est égale à 1; avec P ∈ { -1; 1} et Q ∈ { -1; 1}; P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ et Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉.

• P ⊕ Q ≡ ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q )

• P ⊕ Q ≡ ( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q ) 

• P ⊕ Q ≡  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2* ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉

• P ⊕ Q ≡ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) * (1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ )

• P ⊕ Q ≡ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ * ( 1 -  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) + ((1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉) * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)) - (( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*(1 -  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) * ( (1-  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ ) * ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉))))

• P ⊕ Q ≡  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2* ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ mod(2)

• P ⊕ Q ≡ ( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉) * (1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉) mod(2)

• P ⊕ Q ≡ (⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)+((1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉)*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)) - ((⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)*((1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉)*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)))) mod(2)

• P ⊕ Q ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌊(⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ )/2⌋

• P ⊕ Q ≡ (⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)*(1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉) - 2*⌊((⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉+ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)*(1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉))/2⌋

• P ⊕ Q ≡ (⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)+((1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉)*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)) - ((⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)*((1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉)*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉))) - 2*⌊((⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)+((1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉)*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)) - ((⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉*(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)*((1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉)*⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉))))/2⌋

⁂

Table de vérité de la proposition logique, notée P ↑ Q, et appelée ET-NON (NAND, en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à 1, ou faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à 0, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une des assertions est fausse, équivalente à son expression de variables logiques P ou Q est égale à 0; avec P ∈ { -1; 1} et Q ∈ { -1; 1}; P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ et Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉.

• P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q )

• P ↑ Q ≡ ~ P ∨ ~ Q

• P ↑ Q ≡ ¬ P ∨ ¬ Q ≡ 1- ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ + 1-  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - (1 - ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉)*(1 -  ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)

• P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q ) ≡ 1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉* ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉

• P ↑ Q ≡ ( -1*( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ *⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ mod(2)) - 1) mod (2)

• P ↑ Q ≡ ( 1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ *⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) mod(2)

• P ↑ Q ≡ ( -1*( ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ *⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) mod(2) - 1) mod(2)

• P ↑ Q ≡ (1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ *⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 1) mod(2)

• P ↑ Q ≡ 1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ *⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉- 2*⌊(1-  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ *⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉) / 2⌋

• P ↑ Q ≡ 1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉  + 1 - q -  (1-  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ ) * ( 1- ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) - 2*⌊ (1-  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉  + 1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - (1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ )*(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉)) / 2⌋

• P ↑ Q ≡ 1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ *⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ - 2*( ⌈ ( 1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ *⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ + 1 ) / 2⌉ - 1)

• P ↑ Q ≡ ( 1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ )+(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) - (1-  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ ) * (1- ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ ) - 2*( ⌈ ((1 -  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ ) + (1- ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉) - (1-  ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | + 1 ) ⌉ )*(1 - ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ )+1)/2⌉ -1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique OU-NON (NOR en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.) de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont fausses: P ↓ Q

• P ↓ Q ≡ ¬ (P ∨ Q)

• P ↓ Q ≡ ~P ∧ ~ Q

• P ↓ Q ≡ 1- P - Q + P*Q

• P ↓ Q ≡ (1- P)*(1 - Q)

• P ↓ Q ≡ 1 - Q - P*(1 - Q)

• P ↓ Q ≡ (1 - P - Q + P*Q) mod(2)

• P ↓ Q ≡ ((1 - P)*(1- Q) ) mod(2)

• P ↓ Q ≡ (1 - Q - P*(1 - Q)) mod(2)

• P ↓ Q ≡ (1- Q)+(1- Q)*P mod(2)

• P ↓ Q ≡ (1- Q - P*(1- Q)) -2*⌊(1 - Q - P*(1- Q))/ 2⌋

• P ↓ Q ≡ (1- P)*(1 - Q) - 2*⌊((1- P)*(1 - Q))/ 2⌋

• P ↓ Q ≡ 1- P - Q + P*Q - 2*⌊(1- P - Q + P*Q )/ 2⌋

• P ↓ Q ≡ 1-P-Q+P*Q - 2*(⌈(1- P - Q + P*Q +1)/2⌉-1)

• P ↓ Q ≡ (1-P)*(1-Q) - 2*(⌈((1 - P)*(1-Q)+1)/ 2⌉-1)

• P ↓ Q ≡ (1-Q-P*(1-Q)) - 2*(⌈(1 - Q - P*(1-Q)+1)/ 2⌉-1)

• P ↓ Q ≡ ((1-Q)+(1-Q)*P) - 2*(⌈(((1-Q)+(1-Q)*P)+1) / 2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique d'implication, notée P → Q, ou P ⊃ Q, de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont fausses exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est vraie et la seconde assertion appelée l’impliquée est fausse:

• P → Q ≡ ~ P ∨ Q

• P → Q ≡ 1 - P + P * Q

• P → Q ≡ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q

• P → Q ≡ (1 - P + P*Q) mod(2)

• P → Q ≡ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q mod(2)

• P → Q ≡ 1 - (1 - Q) + (1 - Q)*P mod(2)

• P → Q ≡ (1 - P + P*Q ) - ⌊(1 - P + P*Q ) / 2 ⌋

• P → Q ≡ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q) - 2*⌊((1 - P) + Q - (1 - P) * Q)/ 2⌋

• P → Q ≡ (1 - P + P*Q ) - 2*(⌈((1 - P + P*Q ) +1)/ 2 ⌉ - 1)

• P → Q ≡ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q) - 2*(⌈(((1 - P) + Q - (1 - P) * Q)+1)/ 2⌉ - 1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique d'implication réciproque de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont fausses exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est fausse et la seconde assertion appelée l’impliquée est vraie: P ← Q, ou P ⊂ Q.

• P ← Q ≡ ~ Q ∨ P 

• P ← Q ≡ ¬ (~P ∧ Q ) 

• P ← Q ≡1 - Q + P*Q

• P ← Q ≡ (1 - Q) + P - (1 - Q)*P

• P ← Q ≡ (1 - Q + P*Q) mod(2)

• P ← Q ≡ (1 - Q) + P - P*Q mod(2)

• P ← Q ≡ (1 - Q + P*Q) - 2*⌊(1- Q + P*Q)/2⌋

• P ← Q ≡ (1 - Q) + P - P*Q) - 2*⌊((1-Q) + P - P*Q)/2⌋

• P ← Q ≡ 1 - (1 - P)*Q - 2*⌊(1 - (1 - P) * Q)/2⌋

• P ← Q ≡ (1 - Q + P*Q) - 2*(⌈((1-Q + P*Q)+1)/2⌉-1)

• P ← Q ≡ (1 - Q) + P - P*Q) - 2*(⌈(((1 - Q ) + P - P*Q)+1)/2⌉ - 1)

• P ← Q ≡ 1 - (1 - P)*Q - 2*(⌈(1 - (1 - P) * Q)+1)/2⌉ - 1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique de la non-implication réciproque qui est la négation de la réciproque de l'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est fausse et la seconde assertion appelée l’impliquée est vraie: P ⊄ Q, P  Q.

• P ⊄ Q  ≡ ~P ∧ Q ≡ (1-P)*Q

• P ⊄ Q  ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 - Q + P - (1 - Q ) * P) 

• P ⊄ Q  ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 - P)*Q mod (2)

• P ⊄ Q  ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ ( 1- (1 - Q + P - (1 - Q ) * P)) mod (2)

• P ⊄ Q  ≡ ~P ∧ Q ≡ ( 1 - P )*Q - 2*⌊ ( 1 - P)*Q / 2 ⌋

• P ⊄ Q ≡ ¬(~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P) - 2*⌊ (1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P))/2 ⌋

• P ⊄ Q  ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 - P)*Q - 2*(⌈((1 - P)*Q + 1)/2⌉-1)

•  P ⊄ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1 - (1 - Q + P - (1 - Q) * P) - 2*( ⌈ ((1 - (1 - Q + P - (1 - Q) * P)) + 1) /2 ⌉ -1 )

⁂

Table de vérité de la proposition logique de la non-implication matérielle, ou abjonction qui exprime la négation de l'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est vraie et la seconde assertion appelée l’impliquée est fausse : P ⊅ Q 

• P ⊅ Q  ≡ ¬ ( P → Q ) ≡  ¬ (~ P ∨ Q ) ≡ P ∧ ~ Q 

• P ⊅ Q  ≡ P - P*Q

• P ⊅ Q  ≡ (P - P*Q) mod 2

• P ⊅ Q  ≡ (P - P*Q) -2*⌊(P - P*Q)/2⌋

• P ⊅ Q  ≡ (P - P*Q) - 2*(⌈((P - P*Q) +1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique de la coïncidence notée XNOR (la négation du OU exclusif noté XOR en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque les deux assertions sont identiques: P ⊙ Q. 

• P ⊙ Q ≡ ¬ ( ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q ) )  

• P ⊙ Q ≡ ¬ (( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q )) 

• P ⊙ Q ≡ 1- (P + Q-2*P*Q)

• P ⊙ Q ≡ 1- (P + Q - P*Q)*(1-P*Q)

• P ⊙ Q ≡ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q)))

• P ⊙ Q ≡ (1- (P + Q -2*P*Q)) mod(2)

• P ⊙ Q ≡ (1- (P + Q - P*Q)*(1-P*Q)) mod(2)

• P ⊙ Q ≡ (1- (P*(1-Q) + ((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q)))) mod(2)

• P ⊙ Q ≡ (1- (P+Q-2*P*Q)) - 2*⌊(1-(P+Q-2*P*Q))/2⌋

• P ⊙ Q ≡ (1- (P+Q-P*Q)*(1-P*Q)) - 2*⌊(1-(P+Q-P*Q)*(1-P*Q))/2⌋

• P ⊙ Q ≡ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q))) - 2*⌊(1-(P*(1-Q)+((1-P)*Q))-((P*(1-Q)*((1-P)*Q))))/2⌋

• P ⊙ Q ≡ (1- (P+Q-2*P*Q)) - 2*(⌈((1-(P+Q-2*P*Q))+1)/2⌉-1)

• P ⊙ Q ≡ (1- (P+Q-P*Q)*(1-P*Q)) - 2*(⌈(1-(P+Q-P*Q)*(1-P*Q))+1)/2⌉-1)

• P ⊙ Q ≡ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q))) - 2*(⌈(1 - (P*(1 - Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1 - P)*Q))))+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique d'équivalence de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque les deux assertions soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses: P ↔ Q, P ≡  Q. 

• P ↔ Q ≡ ( P→Q ) ∧  (Q → P)

• P ↔ Q ≡ ( ~ P ∨ Q ) ∧ ( ~ Q ∨ P ) 

• P ↔ Q ≡ 1 - P - Q + 2*P*Q

• P ↔ Q ≡ (1 - P + P * Q)*( 1- Q + P*Q )

• P ↔ Q ≡ (1 - P - Q + 2*P*Q ) mod (2)

• P ↔ Q ≡ (1- P - Q + 2*P*Q) - 2*⌊(1- P - Q + 2*P*Q)/2⌋

• P ↔ Q ≡ ((1 - P + P * Q) * (1 - Q + P*Q)) - 2*⌊((1 - P + P * Q)*(1 - Q + P*Q))/2⌋

• P ↔ Q ≡ (1- P - Q + 2*P*Q ) - 2*(⌈((1- P - Q + 2*P*Q )+1)/2⌉-1)

• P ↔ Q ≡ ((1 - P + P * Q)*(1 - Q + P*Q)) - 2*(⌈(((1 - P + P * Q)*(1 - Q + P*Q)) + 1)/2⌉-1)

⁂⁂⁂⁂

a)''''Les formules d'équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l'algèbre booléenne dans {-1; 1}, l'ensemble des valeurs des variables logiques:

⁂

 Nous reviendrons dans le chapitre suivant sur l'utilité d'écrire les expressions équivalentes des fonctions simples à celles de l'algèbre de la logique booléenne comprenant les valeurs des variables des propositions logiques P et Q appartenant à l'ensemble {0 ; 1} et correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle P ≡ vrai ≡1, et Q ≡ faux ≡ 0. Si cette utilité est principalement celle de simplifier le calcul de résolution propositionnelle, le calcul des séquents et le calcul des déductions naturelles, néanmoins nous allons montrer dans ce nouveau sous-titre dédié, l'utilité de cette transcription en expressions des fonctions simples des expressions des propositions logiques afin d'écrire des expressions d'équivalences entre les expressions de la logique propositionnelle et les expressions de la logique de l'algèbre booléenne dont notamment les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) sont un algèbre de Boole. Et en représentant les tables de vérité des propositions logiques transcrites en expressions arithmétiques des fonctions simples, nous montrerons que la logique propositionnelle vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole avec les valeurs des variables des propositions logiques P et Q appartenant à l'ensemble { -1; 1} et correspondantes aux valeurs des variables des propositions logiques, P ≡ vrai ≡1, P ≡ faux ≡ -1, Q ≡ vrai ≡1 et Q ≡ faux ≡ -1. Pourquoi cette démarche si ce n'est essentiellement pour amener les expressions de conversions universelles comme beaucoup plus pratique que de réécrire les tables de vérités de propositions logiques dont les variables appartiennent à un nouvel ensemble de valeurs. Nous utiliserons le symbole de la non-équivalence ≢ pour les expressions des propositions logique du sous titre précédent dont les variables sont valides dans l'ensemble {0; 1} auquel elles appartiennent  et qui ne sont plus valides  dans l'ensemble {-1;1} auquel elles appartiennent maintenant dans ce nouveau sous titre, mais que nous réécrivons néanmoins en signifiant leur non validité par leur disposition après l'astérisme (⁂), comme suit :

Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à 1; ou Faux (FALSE) équivalente à -1; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à 1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P est égale à -1; et table de vérité de la proposition logique notée Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à 1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à -1; avec P ∈ { -1; 1} et Q ∈ { -1; 1}.

• P ≡1, si P ≡ vrai ; P ≡ -1, si P ≡ faux. 

• Q ≡1, si Q ≡ vrai ; Q ≡ -1, si Q ≡ faux. 

⁂

Table de vérité de la proposition logique notée ~ P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à -1; ou Faux (FALSE) équivalente à 1; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques  ~ P est égale à -1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques  ~ P est égale à 1.

• ~ P ≡ -1*P

• ~ P ≡ 1 - 2*⌈ |P + 1| / ( | P + 1| + 1) ⌉

⁂

• ~ P ≢ 1-P

⁂

Table de vérité de la proposition logique Table de vérité de la proposition logique d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie quand l'assertion est de valeur fausse; soit fausse quand l'assertion est de valeur vraie: ~ Q

• ~ Q ≡ -1*Q

• ~ Q ≡ 1 - 2*⌈ |Q+1| / ( | Q+1| + 1) ⌉

⁂

• ~ Q ≢ 1 - Q

⁂

Table de vérité de la proposition logique de la conjonction de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies : P ∧ Q.

• P ∧ Q ≡ P*Q

• P ∧ Q ≡ ( P + Q + P*Q - 1)/2

• P ∧ Q ≡ 2*⌈ (P + Q - (1 - P)*(1 - Q)) / ( | P + Q - (1 - P)*(1 - Q) | + 1) - ⌊ | P + Q - (1 - P)*(1 - Q) | / ( | P + Q - (1 - P )*(1 - Q) | +1) ⌋ ⌉ - 1

⁂

• P ∧ Q ≢  ((P*Q) mod(2))*P*Q

• P ∧ Q ≢ P*Q mod(2)*((P + Q + P*Q-1)/2)

• P ∧ Q ≢ ⌈|P*Q| / (|P*Q| +1)

• P ∧ Q ≢ P*Q mod(2)

• P ∧ Q ≢  P*Q - 2*⌊P*Q/2⌋

• P ∧ Q ≢  P*Q - 2*(⌈(P*Q + 1)/2⌉ - 1)

• P ∧ Q ≢ ⌈⌊P+Q⌋/(⌊P+Q⌋+1)⌉*P*Q - (1- ⌈| P+Q - 1 | /( | P + Q - 1 | + 1)⌉ )*P*Q

⁂

Table de vérité de la proposition logique de disjonction non exclusive de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une de ces deux assertions est vraie: P ∨ Q. 

• P ∨ Q ≡ (1 + P + Q - P*Q)/2

• P ∨ Q ≡ 2*⌈ | P + Q | / (1 + | P + Q +1 | ) ⌉ - 1

• P ∨ Q ≡ -1*⌈-(1 - (1-P)*(1-Q))/ | (1 - (1-P)*(1-Q)) +1 |⌉ + ⌈(1 - (1-P)*(1-Q))/ | (1 - (1-P)*(1-Q)) +1 | ⌉

⁂

• P ∨ Q ≢ (1+ (P + 1)*(Q + 1)) mod(2)

• P ∨ Q ≢ (P + Q - P*Q) mod(2)

• P ∨ Q ≢ 1+ (P + 1)*(Q + 1) - 2*⌊(1 + (P + 1)*(Q + 1))/2⌋

• P ∨ Q ≢ P + Q - P*Q - 2*⌊(P + Q - P*Q) /2⌋

• P ∨ Q ≢ (1- ⌈⌊P + Q⌋⌉)*P*Q + ⌈⌊P + Q⌋/(⌊P + Q⌋+1)⌉

• P ∨ Q ≢ 1 + (P + 1)*(Q + 1) - 2*(⌈(1 + (P + 1)*(Q + 1) + 1)/2⌉-1)

• P ∨ Q ≢ - P - Q + P*Q - 2*(⌈ - P - Q + P*Q + 1)/2⌉-1)

• P ∨ Q ≢ 1- (1- P)*(1 - Q) - 2*(⌈(1 - (1 - P)*(1- Q)+1)/2⌉ -1)

• P ∨ Q ≢ P+Q - P*Q - 2*(⌈P+Q - P*Q+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique XOR (un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui est une façon d'affirmer qu'au moins une et une seul des assertions est vraie: P ⊕ Q.

• P ⊕ Q ≡ ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q )

• P ⊕ Q ≡ ( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q ) 

• P ⊕ Q ≡ -P*Q

• P ⊕ Q ≡ 2*⌈(P + Q - 2*P*Q)/(|P + Q - 2*P*Q |+1)-⌊ |P + Q - 2*P*Q | / ( | P + Q - 2*P*Q |+1)⌋⌉ - 1

• P ⊕ Q ≡ 1 - P+1 - Q - (1 - P)*(1 - Q) - 1

• P ⊕ Q ≡ (P + Q - P*Q)*(1 - P*Q) - 1

• P ⊕ Q ≡ (P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1- P)*Q))))

• P ⊕ Q ≡ 2*⌈ (P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1- P)*Q)))) /( | (P*(1 - Q)+((1 - P)*Q))-((P*(1 - Q)*((1- P)*Q)))) |+1) - ⌊ | (P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1- P)*Q)))) | / (| (P*(1 - Q)+((1 - P)*Q))-((P*(1 - Q)*((1- P)*Q)))) |+1) ⌋ ⌉-1

⁂

• P ⊕ Q ≢  P + Q - 2*P*Q

• P ⊕ Q  ≢  P + Q - 2*P*Q mod(2)

• P ⊕ Q ≢ (P + Q - P*Q)*(1 - P*Q) mod(2)

• P ⊕ Q  ≢  (P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1 - P)*Q)))) mod(2)

• P ⊕ Q  ≢  P + Q - 2*P*Q - 2*⌊(P + Q - 2*P*Q)/2⌋

• P ⊕ Q  ≢  (P + Q - P*Q)*(1 - P*Q) - 2*⌊((P + Q - P*Q)*(1 - P*Q))/2⌋

• P ⊕ Q  ≢  (P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1 - P)*Q))) - 2*⌊((P*(1 - Q)+((1 - P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1 - P)*Q))))/2⌋

⁂

Table de vérité de la proposition logique ET-NON (NAND en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.) de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une des assertions est fausse: P ↑ Q. 

• P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q )

• P ↑ Q ≡ ~ P ∨ ~ Q

• P ↑ Q ≡ (1- P - Q - P*Q)/2

• P ↑ Q ≡ -P*Q*(P+Q - P*Q+1)

• P ↑ Q ≡ 1 - P + 1 - Q - (1 - P)*(1 - Q) - (P + Q - P*Q + 1)/2

• P ↑ Q ≡ 1 - P*Q

⁂

• P ↑ Q ≢ ( -1*( P*Q MOD(2)) - 1) mod (2)

• P ↑ Q ≢ (1 - P*Q) mod(2)

• P ↑ Q ≢ (-1*(P*Q) mod(2) - 1) mod(2)

• P ↑ Q ≢ (- P*Q - 1) mod(2)

• P ↑ Q ≢ 1 - P*Q - 2*⌊(1- P*Q)/2⌋

• P ↑ Q ≢ 1 - P + 1 - Q - (1- P)*(1 - Q) - 2*⌊(1- P + 1 - Q - (1 - P)*(1 - Q))/2⌋

• P ↑ Q ≢ 1 - P*Q - 2*(⌈(1-P*Q+1)/2⌉-1)

• P ↑ Q ≢ (1 - P) + (1 - Q) - (1- P)*(1- Q) - 2*(⌈((1 - P) + (1- Q)-(1- P)*(1 - Q)+1)/2⌉ -1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique OU-NON (NOR en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.) de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont fausses: P ↓ Q.

• P ↓ Q ≡ ¬ (P ∨ Q)

• P ↓ Q ≡ ~P ∧ ~ Q

• P ↓ Q ≡ (P*Q - P - Q - 1)/2

• P ↓ Q ≡ (1- P - Q + P*Q)/2 - 1

• P ↓ Q ≡ 2*⌈(1- P - Q + P*Q) / ( (1- P - Q + P*Q) +1)⌉-1

• P ↓ Q ≡ (1- P)*(1 - Q)/2 - 1

• P ↓ Q ≡ 2*⌈(1- P)*(1 - Q) / ( (1- P)*(1 - Q) +1)⌉-1

• P ↓ Q ≡ (1 - Q - P*(1 - Q))/2-1

• P ↓ Q ≡ 2*⌈ (1 - Q - P*(1 - Q)) / ( (1 - Q - P*(1 - Q)) + 1)⌉-1

 

⁂

• P ↓ Q ≢  (1 - P - Q + P*Q) mod(2)

• P ↓ Q ≢ ((1 - P)*(1- Q) )mod(2)

• P ↓ Q ≢  (1 - Q - P*(1 - Q)) mod(2)

• P ↓ Q ≢  1- ( -1*(1- (P + Q - P*Q)) -1) ) mod(2)

• P ↓ Q ≢  (1- Q)+(1- Q)*P mod(2)

• P ↓ Q ≢  (1- Q - P*(1- Q)) -2*⌊(1 - Q - P*(1- Q))/ 2⌋

• P ↓ Q ≢  (1- P)*(1 - Q) - 2*⌊((1- P)*(1 - Q))/ 2⌋

•  P ↓ Q ≢  1- P - Q + P*Q - 2*⌊(1- P - Q + P*Q )/ 2⌋

•  P ↓ Q ≢  1 - P - Q + P*Q - 2*(⌈(1- P - Q + P*Q +1)/2⌉-1)

• P ↓ Q ≢  (1-P)*(1-Q) - 2*(⌈((1 - P)*(1-Q)+1)/ 2⌉-1)

• P ↓ Q ≢  (1-Q-P*(1-Q)) - 2*(⌈(1 - Q - P*(1-Q)+1)/ 2⌉-1)

• P ↓ Q ≢  ((1-Q)+(1-Q)*P) - 2*(⌈(((1-Q)+(1-Q)*P)+1) / 2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique d'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont fausses exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est vraie et la seconde assertion appelée l’impliquée est fausse: P → Q, ou, P ⊃ Q.  

• P → Q ≡ ~ P ∨ Q

• P → Q ≡ ((1+ Q) - (1 - Q) *P)/2

• P → Q ≡ (1- P + Q + P * Q)/2

• P → Q ≡ 2*⌈(1 - P + P * Q) / (|1 - P + P * Q| +1)⌉ -1

• P → Q ≡ 2*⌈((1-P) + Q - (1 - P) * Q) / ( | (1-P) + Q - (1 - P) * Q |+1)⌉ -1

⁂

• P → Q ≢ (1 - P + P*Q) mod(2)

• P → Q ≢ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q mod(2)

• P → Q ≢ 1 - (1 - Q) + (1 - Q)*P mod(2)

• P → Q ≢ (1 - P + P*Q ) - ⌊(1 - P + P*Q ) / 2 ;1)

• P → Q ≢ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q) - 2*⌊((1 - P) + Q - (1 - P) * Q)/ 2⌋

• P → Q ≢ (1 - P + P*Q ) - 2*(⌈((1 - P + P*Q ) +1)/ 2 ⌉ - 1)

• P → Q ≢ (1 - P) + Q - (1 - P) * Q) - 2*(⌈(((1 - P) + Q - (1 - P) * Q)+1)/ 2⌉ - 1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique d'implication réciproque de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont fausses exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est fausse et la seconde assertion appelée l’impliquée est vraie: P ← Q, ou, P ⊂ Q.

• P ← Q ≡ ~ Q ∨ P

• P ← Q ≡ ¬ (~P ∧ Q )

• P ← Q ≡ (1 + P - Q + P*Q)/2

• P ← Q ≡ ((1+Q) - (1- P)*Q)/2

• P ← Q ≡ 2*⌈(1 - Q + P*Q) / ( |1 - Q + P*Q| +1)⌉ -1

• P ← Q ≡ 2*⌈( (1 - Q) + P - P*Q) / ( | (1 - Q) + P - P*Q| +1) ⌉ - 1

• P ← Q ≡ 2*⌈((1- (1 - P) * Q) / ((1- (1 - P)*Q )+1)⌉ -1

• P ← Q ≡ 2*⌈(1 + Q -(1 - Q)*P) / (1 + Q - (1 - Q)*P +1)⌉ - 1

⁂

• P ← Q ≢ (1 - Q + P*Q) mod(2)

• P ← Q ≢ (1 - Q) + P - P*Q mod(2)

• P ← Q ≢ (1 - Q + P*Q) - 2*⌊(1-Q + P*Q)/2⌋

• P ← Q ≢ (1 - Q) + P - P*Q) - 2*⌊((1-Q) + P - P*Q)/2⌋

• P ← Q ≢ 1 - (1 - P)*Q - 2*⌊(1 - (1 - P) * Q)/2⌋

• P ← Q ≢ (1 - Q + P*Q) - 2*(⌈((1-Q + P*Q)+1)/2⌉-1)

• P ← Q ≢ (1 - Q) + P - P*Q) - 2*(⌈(((1-Q) + P - P*Q)+1)/2⌉-1)

• P ← Q ≢ 1 - (1 - P)*Q - 2*(⌈(1 - (1 - P) * Q)+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique de la non-implication réciproque qui est la négation de la réciproque de l'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est fausse et la seconde assertion appelée l’impliquée est vraie: P ⊄ Q, P  Q.

• P ⊄ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1-P)*Q

• P ⊄ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P)

• P ⊄ Q ≡ (Q - P - Q*P - 1)/2

• P ⊄ Q ≡ 2*⌈ (1 -P)*Q / ( | (1 - P)*Q | +1) - ⌊ | (1- P)*Q | / ( | (1- P)*Q | + 1) ⌋ ⌉ - 1

• P ⊄ Q ≡ 2*⌈ (1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P)) / ( | 1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P) | + 1) - ⌊ | 1 - (1 - Q + P - (1 - Q) * P) | / ( | 1 - (1 - Q + P - (1 - Q) * P) | +1) ⌋ ⌉ - 1

⁂

• P ⊄ Q ≢ ~P ∧ Q ≡ (1-P)*Q mod (2)

• P ⊄ Q ≢ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ (1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P)) mod (2)

• P ⊄ Q ≢ ~P ∧ Q ≡ (1-P)*Q-2*⌊(1-P)*Q/2⌋

• P ⊄ Q ≢ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P)-2*⌊ (1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P))/2 ⌋

• P ⊄ Q ≢ ~P ∧ Q ≡ ( 1 - P )*Q -2*(⌈ ( ( 1 - P )*Q +1 ) / 2 ⌉ - 1)

• P ⊄ Q ≢ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1 - (1 - Q + P - (1 - Q) * P) - 2*(⌈ ((1- (1 - Q + P - (1 - Q) * P )) +1) / 2⌉ -1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique de la non-implication matérielle, ou abjonction qui exprime la négation de l'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est vraie et la seconde assertion appelée l’impliquée est fausse : P ⊅ Q 

• P ⊅ Q  ≡ ¬ ( P → Q ) ≡  ¬ (~ P ∨ Q ) ≡ P ∧ ~ Q 

• P ⊅ Q  ≡ (P- Q - P*Q - 1) / 2

• P ⊅ Q  ≡ 2*⌈ ( P - P*Q ) / ( | P - P*Q | + 1) - ⌊ | P - P*Q | / ( | P - P*Q) | +1) ⌋ ⌉ -1

⁂

• P ⊅ Q  ≢  (P - P*Q) mod 2

• P ⊅ Q  ≢  (P*(1 - Q)) mod 2

• P ⊅ Q  ≢  (P - P*Q) -2*⌊(P - P*Q)/2⌋

• P ⊅ Q  ≢  P*(1 - Q) -2*⌊P*(1- Q)/2⌋

• P ⊅ Q  ≢  (P - P*Q) - 2*( ⌈ (( P - P*Q) + 1) /2 ⌉ - 1)

• P ⊅ Q  ≢  P*(1 - Q) - 2*(⌈ ( P*(1- Q) + 1) /2 ⌉ - 1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique de la coïncidence notée XNOR (la négation du OU exclusif noté XOR en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque les deux assertions sont identiques: P ⊙ Q. 

• P ⊙ Q ≡ ¬ ( ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q ) )

• P ⊙ Q ≡ ¬ (( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q ))

• P ⊙ Q ≡ P ↔ Q

• P ⊙ Q ≡ P*Q

• P ⊙ Q ≡ 1- (P + Q - 2*P*Q)

• P ⊙ Q ≡ 1- (P + Q - P*Q)*(1-P*Q)

• P ⊙ Q ≡ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q)))

⁂

• P ⊙ Q ≢ (1- (P + Q -2*P*Q)) mod(2)

• P ⊙ Q ≢ (1- (P + Q - P*Q)*(1-P*Q)) mod(2)

• P ⊙ Q ≢ (1- (P*(1-Q) + ((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q)))) mod(2)

• P ⊙ Q ≢ (1- (P+Q-2*P*Q)) - 2*⌊(1-(P+Q-2*P*Q))/2⌋

• P ⊙ Q ≢ (1- (P+Q-P*Q)*(1-P*Q)) - 2*⌊(1-(P+Q-P*Q)*(1-P*Q))/2⌋

• P ⊙ Q ≢ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q))) - 2*⌊(1-(P*(1-Q)+((1-P)*Q))-((P*(1-Q)*((1-P)*Q))))/2⌋

• P ⊙ Q ≢ (1- (P+Q-2*P*Q)) - 2*(⌈((1-(P+Q-2*P*Q))+1)/2⌉-1)

• P ⊙ Q ≢ (1- (P+Q-P*Q)*(1-P*Q)) - 2*(⌈(1-(P+Q-P*Q)*(1-P*Q))+1)/2⌉-1)

• P ⊙ Q ≢ 1- (P*(1-Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1-Q)*((1-P)*Q))) - 2*(⌈(1 - (P*(1 - Q)+((1-P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1 - P)*Q))))+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique d'équivalence de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque les deux assertions, soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses: P ↔ Q, P ≡  Q

• P ↔ Q ≡ ( P→Q ) ∧  (Q → P)

• P ↔ Q ≡ ( ~ P ∨ Q ) ∧ ( ~ Q ∨ P ) 

• P ↔ Q ≡ P*Q

• P ↔ Q ≡ 1 - ( P + Q - 2*P*Q)

• P ↔ Q ≡ 1- ( P + Q - P*Q)*(1 - P*Q)

• P ↔ Q ≡ 1 - ( P*(1 - Q) + ((1 - P)*Q)) - ((P*(1 - Q)*((1 - P)*Q)))

• P ↔ Q ≡ 2*⌈ (1 - P - Q + 2*P*Q) / ( | 1- P - Q + 2*P*Q | +1) - ⌊ | 1- P - Q + 2*P*Q | / ( | 1- P - Q + 2*P*Q | +1) ⌋ ⌉ -1

• P ↔ Q ≡ 2*⌈ ((1 - P + P * Q)*(1-Q + P*Q)) / ( | (1 - P + P * Q)*(1-Q + P*Q) | +1) - ⌊ | (1 - P + P * Q)*(1-Q + P*Q) | / ( | (1 - P + P * Q)*(1-Q + P*Q) | +1) ⌋ ⌉ -1


⁂

• P ↔ Q ≢ (1 - P - Q + 2*P*Q ) mod (2)

• P ↔ Q ≢ (1- P - Q + 2*P*Q) - 2*⌊(1- P - Q + 2*P*Q)/2⌋

• P ↔ Q ≢ ((1 - P + P * Q) * (1 - Q + P*Q)) - 2*⌊((1 - P + P * Q)*(1 - Q + P*Q))/2⌋

• P ↔ Q ≢  (1- P - Q + 2*P*Q ) - 2*(⌈((1- P - Q + 2*P*Q )+1)/2⌉-1)

• P ↔ Q ≢  ( (1 - P + P * Q ) * ( 1 - Q + P*Q)) - 2*( ⌈ (((1 - P + P * Q ) * (1 - Q + P*Q)) + 1) / 2⌉ - 1)

⁂⁂⁂⁂⁂

a)''''Les formules d'équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l'algèbre booléenne des valeurs de variables logiques dans l'ensemble {p; q}, puis transposé à {0; 1}, l'ensemble de ces mêmes variables logiques :

⁂

 En représentant précédemment les tables de vérité des propositions logiques classiques montrant ainsi que la logique propositionnelle, qui est une logique classique, vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole avec les valeurs des variables logiques que nous appelons maintenant p et q et appartenant à l'ensemble {-1; 1}, correspondante aux valeurs des variables des propositions logiques, P ≡ vrai ≡1, P ≡ faux ≡ -1, Q ≡ vrai ≡1 et Q ≡ faux ≡ -1,  puis par la transformation des expressions arithmétiques des fonctions simples transposées à l'ensemble {0; 1}, nous avons donné un exemple des tables de vérité et de leurs formules logiques correspondantes à d'autres valeurs que celles de l'ensemble {0;1} transposées à d'autres ensembles, mais nous n'avons pas systématisé les formules à n'importe quel ensemble de valeurs de variables et ce d'autant plus qu'avant cet exemple précédent de valeurs logiques appartenant à l'ensemble {-1; 1} nous avons simplifié cette systématisation possible avant même de l'avoir écrite avec des variables propositionnelles formuliquement transformées en variables propositionnelles équivalentes à P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1)⌉ et Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1| + 1) ⌉, correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle, P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1)⌉ ≡ Vrai ≡1; P ≡ ⌈ | P + 1 | / ( | P + 1 | +1)⌉ ≡ Faux ≡ 0; Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | + 1) ⌉ ≡ Vrai ≡1 et Q ≡ ⌈ | Q + 1 | / ( | Q + 1 | +1) ⌉ ≡ Faux ≡ 0, avec P et Q ∈ {p; q} ⊆ N. Ainsi, il parait donc plus simple de garder les mêmes formules logiques de variables logiques appartenant à l'ensemble ainsi généralisé par les fonctions simples, des valeurs de variables logiques {p; q} ⊂ N⁺ transposées à {0; 1} plutôt que de réécrire les formules différentes pour chaque nouvel ensemble de valeurs comme précédemment P ∈ {-1; 1} et P ∈ {-1; 1}. Nous généralisons donc cette première méthode de simplification de la transposition d'un ensemble {p; q} ⊂  N⁺ de valeurs de variables des propositions logiques P et Q, à l'ensemble {0; 1} des valeurs des variables des propositions logiques P et Q mais nous n' élaborons pas comme précédemment les expressions des opérations de leurs connecteurs logiques, puisque ce n'est que répéter la substitution par des expressions d'équivalence que nous avons schématiquement effectuée dans les sous-titres précédents, et nous écrivons maintenant cette première méthode de trois manières différentes comme suit:

1. Soit la transposition de l'ensemble {p; q} ⊂ N⁺ des valeurs de variables des propositions logiques P ∈ {p; -p} et Q ∈ {q; -q} à l'ensemble {0; 1} de valeurs de variables des propositions logiques P ∈ {0; 1} et Q ∈ {0; 1}, alors les tables de vérité des propositions logiques P et Q et leurs expressions de variables correspondantes sont comme suit:  

Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -p; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à p; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P est égale à -p; et table de vérité de la proposition logique Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à q; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à q; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques Q  est égale à -q; avec P ∈ {-p; p}, Q ∈ {-q; q} et {p; q}⊂ N⁺.

• P ≡ p, si P ≡ vrai ; P ≡ -p, si P ≡ faux. 

• Q ≡ q, si Q ≡ vrai ; Q ≡ -q, si Q ≡ faux. 

 Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -p; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P ≡ ⌈ | P / | P | +1 | / ( | P / | P | + 1 | +1) ⌉ est égale à 1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P ≡ ⌈ | ( P / | P | ) +1 | / ( | ( P / | P | ) + 1 | +1) ⌉ est égale à 0; et table de vérité de la proposition logique Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à q; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q≡ ⌈ | ( Q / | Q | ) +1 | / ( | ( Q / | Q | ) + 1 | +1 ) ⌉ est égale à 1; ou soit, fausse et équivalente à son expression de variables logiques  Q ≡ ⌈ | (Q / | Q | ) + 1 | / ( | (Q / | Q | ) + 1| +1) ⌉ est égale à 0; avec {p; q}⊂ N⁺, et P ∈ { -p; p} et Q ∈ { -q; q} équivalent à P ∈ {0; 1} et Q ∈ {0; 1}.

• P ≡ ⌈ | (P / | P | ) +1 | / ( | ( P / | P | ) + 1| +1) ⌉ ≡ 1, si P ≡ vrai ; P ≡ ⌈ | (P / | P | ) +1 | / ( | ( P / | P | ) + 1| +1) ⌉ ≡ 0, si P ≡ faux   (1).

• Q ≡ ⌈ | ( Q / | Q | ) +1 | / ( | ( Q / | Q | ) + 1| +1) ⌉ ≡ 1, si Q ≡ vrai ; Q ≡ ⌈ | ( Q / | Q | ) +1 | / ( | ( Q / | Q | ) + 1| +1) ⌉ ≡ 0, si Q ≡ faux     (2).

⁂

Illustrons les valeurs de variables logiques des expressions précédentes (1) et (2) en prenant l'exemple des valeurs de variables des propositions logiques P de p=3, et Q de q=2, exemple représenté dans les trois tables de vérité ci-dessus, puis réécrivons les expressions précédentes (1) et (2) comme suit:

• Si p = 3, alors P ≡ ⌈ | (3 / | 3 | ) +1 | / ( | ( 3/ | 3 | ) + 1 | +1) ⌉ ≡ 1, donc P ≡ vrai   (1)'.

• Si -p = -3, alors P ≡ ⌈ | ( -3 / | -3 | ) +1 | / ( | ( -3/ | -3 | ) + 1 | +1) ⌉ ≡ 1, donc P ≡ faux.   (1').

• Si q = 2 alors Q ≡ ⌈ | ( 2 / | 2 | ) +1 | / ( | ( 2 / | 2 | ) + 1 | +1) ⌉ ≡ 1, donc Q ≡ vrai  (2)'.

• Si -q = -2 alors Q ≡ ⌈ | ( -2 / | -2 | ) +1 | / ( | (- 2 / |-2 | ) + 1 | +1) ⌉ ≡ 0; donc Q ≡ faux  (2').

⁂⁂

2. Soit la transposition de l'ensemble {p; q} ⊆ N⁺ des valeurs de variables des propositions logiques P ∈ {-q ; p} et Q ∈ {-q ; p}, à l'ensemble {0; 1} de valeurs de variables logiques P ∈ {0; 1} et Q ∈ {0; 1}, alors les tables de vérité des propositions logiques P et Q et leurs expressions de variables correspondantes sont comme suit: 

Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à p; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P est égale à -q; et table de vérité de la proposition logique Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE ) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à p; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques Q  est égale à -q; avec P ∈ {-q; p}, Q ∈ {-q; p} et {p; q}⊂ N⁺.

• P ≡ p, si P ≡ vrai ; P ≡ -q, si P ≡ faux. 

• Q ≡ p, si Q ≡ vrai ; Q ≡ -q, si Q ≡ faux. 

 Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P ≡ ⌈ | P / | P | +1 | / ( | P / | P | + 1 | +1) ⌉ est égale à 1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P ≡ ⌈ | ( P / | P | ) +1 | / ( | ( P / | P | ) + 1 | +1) ⌉ est égale à 0; et table de vérité de la proposition logique Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à p; ou Faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q≡ ⌈ | ( Q / | Q | ) +1 | / ( | ( Q / | Q | ) + 1 | +1 ) ⌉ est égale à 1; ou soit, fausse équivalente à son expression de variables logiques  Q ≡ ⌈ | (Q / | Q | ) + 1 | / ( | (Q / | Q | ) + 1| +1) ⌉ est égale à 0; avec{p; q}⊂ N⁺ et P ∈ {-q; p}, Q ∈ {-q; p} équivalent à P ∈ {0; 1} et Q ∈ {0; 1}.

• P ≡ ⌈ | P / | P | +1| / ( | P / | P | + 1| +1) ⌉              (1).

• Q ≡ ⌈ | Q / | Q | +1 | / ( | Q / | Q | + 1| +1) ⌉         (2).

⁂

Illustrons les valeurs de variables logiques de ces mêmes expressions précédentes (1) et (2) en prenant l'exemple des valeurs de variables des propositions logiques P de p=3 et de -q=-2 puis Q de p=3 et de q=-2, exemple représenté dans les trois tables de vérité ci-dessus, puis réécrivons les expressions précédentes (1) et (2) comme suit:

• Si p = 3, alors P ≡ ⌈ | (3 / | 3 | ) +1 | / ( | ( 3/ | 3 | ) + 1 | +1) ⌉ ≡ 1, donc P ≡ vrai   (1)''.

• Si -q = -2, alors P ≡ ⌈ | ( -2 / | -2 | ) +1 | / ( | ( -2/ | -2 | ) + 1 | +1) ⌉ ≡ 0, donc P ≡ faux.   (1'').

• Si p = 3 alors Q ≡ ⌈ | ( 3 / | 3 | ) +1 | / ( | (3 / | 3 | ) + 1 | +1) ⌉ ≡ 1, donc Q ≡ vrai  (2)''.

• Si -q = -2 alors Q ≡ ⌈ | ( -2 / | -2 | ) +1 | / ( | ( -2 / |-2 | ) + 1 | +1) ⌉ ≡ 0; donc Q ≡ faux  (2'').

⁂⁂⁂

3.Soit la transposition de l'ensemble {p; q} ⊆ N⁺ des valeurs de variables des propositions logiques P ∈ {q ; p} et Q ∈ {q ; p}, à l'ensemble {0; 1} de valeurs de variables logiques P ∈ {0; 1} et Q ∈ {0; 1}, alors les tables de vérité des propositions logiques P et Q et leurs expressions de variables correspondantes sont comme suit: 

Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à p; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P est égale à q; et table de vérité de la proposition logique Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à p; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques Q  est égale à q; avec P ∈ {q; p}, Q ∈ {q; p} et {p; q}⊂ N⁺.

• P ≡ p, si P ≡ vrai ; P ≡ q, si P ≡ faux. 

• Q ≡ p, si Q ≡ vrai ; Q ≡ q, si Q ≡ faux. 

 Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P ≡ ⌈ | P / | P | +1 | / ( | P / | P | + 1 | +1) ⌉ est égale à 1; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P ≡ ⌈ | ( P / | P | ) +1 | / ( | ( P / | P | ) + 1 | +1) ⌉ est égale à 0; et table de vérité de la proposition logique Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à p; ou Faux (FALSE) équivalente à q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q≡ ⌈ | ( Q / | Q | ) +1 | / ( | ( Q / | Q | ) + 1 | +1 ) ⌉ est égale à 1; ou soit, fausse et équivalente à son expression de variables logiques  Q ≡ ⌈ | (Q / | Q | ) + 1 | / ( | (Q / | Q | ) + 1| +1) ⌉ est égale à 0; avec {p; q}⊂ N⁺ et P ∈ { q; p}, Q ∈ { q; p} équivalent à P ∈ {0; 1} et Q ∈ {0; 1}.

Dans ce dernier cas pour écrire les formules logiques correspondantes à la table de vérité ci-dessus, nous ne pouvons plus utiliser seulement la fonction caractéristique comme précédemment, mais nous utilisons une fonction simple, combinaison linéaire de fonctions caractéristique comme suit: 

• P ≡ ⌈ | 1/2*( P + Q + | P - Q | - ( |1 - | 1/2*( P + Q + | P - Q | ) - Q | | + | 1- | 1/2*( P + Q + | P - Q | ) - P | | ) | / ( | 1/2*( P + Q +| P - Q | ) - ( | 1- | 1/2*( P + Q + | P - Q | ) - Q | | + |1 - | 1/2*( P + Q + | P - Q | ) - P | | ) | + 1) ⌉ *| 1 - | 1/2*( P + Q + | P - Q | ) - P | |          (1')'

• Q ≡ ⌈ |1/2*( P + Q + | P - Q | ) - ( | 1 - | 1/2*(P + Q + | P - Q | ) - Q | | + | 1 - |1/2*( P + Q + | P - Q | ) - P | | ) | / ( |1/2*( P + Q + | P - Q | ) - ( | 1 - | 1/2*( P + Q + | P - Q | ) - Q | | + | 1 - |1/2*( P + Q + | P - Q | ) - P | | )| +1) ⌉ * | 1 - |1/2*( P + Q + | P - Q | ) - Q | |      (2')'

⁂

Illustrons les valeurs de variables logiques des expressions précédentes (1')' et (2')' en prenant l'exemple des valeurs de variables des propositions logiques P de p=3 et de q=2 puis Q de p=3 et de q=2, exemple représenté dans les trois tables de vérité ci-dessus, puis réécrivons les expressions précédentes (1) et (2) comme suit:

• Si P ≡ p = 3 et Q ≡ p=3, alors P ≡ ⌈ | 1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | - ( |1 - | 1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) -3 | | + | 1- | 1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3 | | ) | / ( | 1/2*( 3 + 3 +| 3 - 3 | ) - ( | 1- | 1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3 | | + |1 - | 1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3 | | ) | + 1) ⌉ *| 1 - | 1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3 | |  ≡ 1, donc P ≡ vrai   (1')'.

• Si P ≡ p= 3 et Q ≡ q=2, alors P ≡ ⌈ | 1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | - ( |1 - | 1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 2 | | + | 1- | 1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 3 | | ) | / ( | 1/2*( 3 + 2 +| 3 - 2 | ) - ( | 1- | 1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 2 | | + |1 - | 1/2*( 3 +2 + | 3 - 2 | ) - 3| | ) | + 1) ⌉ *| 1 - | 1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 3 | |  ≡ 1, donc P ≡ vrai.   (1'')''.

• Si P ≡ q= 2 et Q ≡ p=3, alors P ≡ ⌈ | 1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | - ( |1 - | 1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | ) - 3 | | + | 1- | 1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | ) - 2 | | ) | / ( | 1/2*( 2 + 3+| 2 - 3 | ) - ( | 1- | 1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | ) - 3 | | + |1 - | 1/2*(2 + 3 + | 2 - 3| ) - 2 | | ) | + 1) ⌉ *| 1 - | 1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | ) - 2 | |  ≡ 0, donc P ≡ faux.   (1.1)'.

• Si P ≡ q= 2 et Q ≡ q=2, alors P ≡ ⌈ | 1/2*(2 + 2 + | 2 - 2 | - ( |1 - | 1/2*( 2 +2 + | 2- 2 | ) - 2 | | + | 1- | 1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2 | ) - 2 | | ) | / ( | 1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2 | ) - ( | 1- | 1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2| ) - 2 | | + |1 - | 1/2*( 2 + 2 + |2 - 2 | ) - 2 | | ) | + 1) ⌉ *| 1 - | 1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2 | ) - 2 | |  ≡ 0, donc P ≡ faux.   (1.1')''.

 

• Si Q ≡ p = 3 et P ≡ p = 3, alors Q ≡ ⌈ |1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - ( | 1 - | 1/2*(3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3 | | + | 1 - |1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3 | | ) | / ( |1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - ( | 1 - | 1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3| | + | 1 - |1/2*(3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3 | | )| +1) ⌉ * |1 - |1/2*( 3 + 3 + | 3 - 3 | ) - 3 | | ≡ 1, donc Q ≡ vrai  (2')'.

• Si Q ≡ p = 3 et P ≡ q = 2,  alors Q ≡ ⌈ |1/2*( 2 + 3+ | 2 - 3 | ) - ( | 1 - | 1/2*(2 + 3 + | 2 - 3 | ) - 3| | + | 1 - |1/2*( 2+3 + | 2 - 3| ) - 2| | ) | / ( |1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | ) - ( | 1 - | 1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | ) - 3 | | + | 1 - |1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | ) - 2 | | )| +1) ⌉ * |1 - |1/2*( 2 + 3 + | 2 - 3 | ) - 3 | | ≡ 1, donc Q ≡ vrai  (2'')''.

• Si Q ≡ q = 2 et P ≡ p = 3, alors Q ≡ ⌈ |1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - ( | 1 - | 1/2*(3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 2 | | + | 1 - |1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 3 | | ) | / ( |1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - ( | 1 - | 1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 2 | | + | 1 - |1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 3 | | )| +1) ⌉ * |1 - |1/2*( 3 + 2 + | 3 - 2 | ) - 2 | | ≡ 0, donc Q ≡ faux  (3')'.

• Si Q ≡ q = 2 et P ≡ q = 2,  alors Q ≡ ⌈ |1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2| ) - ( | 1 - | 1/2*( 2 + 2+ | 2 - 2 | ) - 2 | | + | 1 - |1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2 | ) - 2 | | ) | / ( | 1/2* ( 2 + 2 + | 2 - 2 | ) - ( | 1 - | 1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2 | ) - 2 | | + | 1 - | 1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2 | ) - 2 | | ) | +1) ⌉ * |1 - |1/2*( 2 + 2 + | 2 - 2 | ) - 2 | | ≡ 0, donc Q ≡ faux (3'')''.

⁂⁂⁂⁂

Nous généralisons maintenant nos tables de vérité et leurs formules correspondantes à n'importe quelles valeurs des variables logiques p et q appartenant à l'ensemble des entiers naturels positifs, soit {p ; q} ⊂ N⁺,  avec cette deuxième méthode de simplification de la transposition d'appartenance des valeurs des variables de logique propositionnelle à l'ensemble {p; q} ⊂ N⁺ à l'ensemble {0; 1}, mais différente de la première méthode, car la transposition conserve les valeurs des variables logiques dans l'ensemble {p; q} ⊂ N⁺, et si les expressions sont plus complexe que précédemment, mais apparemment seulement contrairement au principe de simplicité, ou principe de parcimonie, appelé rasoir d'Ockham et stipulant que les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité, car il s'agit comme je l'ai écrit dans mon introduction d'écrire de nouvelles propriété des expressions logiques qui ne se révèleront qu'après une réécriture plus complexe des expressions équivalentes précédentes. En effet, au-delà d'élargir le domaine d'arrivée de la fonction caractéristique en général de ces valeurs dans l'ensemble {0; 1}, puis dans l'ensemble {-1; 1}, et enfin dans l'ensemble N⁺, notre but est de montrer de nouvelles propriétés en logique booléenne en créant de nouvelles fonctions simples combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques qui soient des formules numériquement calculables de la logique booléenne  améliorant son automatisation formelle numérique, c'est-à-dire en réduisant les étapes calculatoires liées aux conditions multiples en utilisant de nouvelles formes de calcul numérique logique révélant éventuellement de nouvelles propriétés logiques booléennes en général et en particulier des équivalences entre ces connecteurs logiques qui n'apparaissent pas avec des variables logiques, p' et q' appartenant à l'ensemble {0; 1}, mais que néanmoins j'utilise dans l'expression de la distance | p | et |q |, entre les valeurs des variables {p'; q'} ∈ {0; 1} à l'origine, et les nouvelles variables p et q avec{p; q} ⊂ N⁺ comme suit, sachant que je distingue les expressions logiques non "Ockhamiènne", définies comme celles étant contraires au principe du rasoir d'Ockham du fait de leurs non-simplicités, des expressions logiques "Ockhamiènne", définies comme celles étant conformes au principe de simplicité du rasoir d'Ockham:

Table de vérité de la proposition logique notée P d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à p; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques P est égale à -q; et table de vérité de la proposition logique Q d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie ( TRUE ) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à p; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques Q  est égale à -q; avec P ∈ {-q; p}, Q ∈ {-q; p} et {q; p} ⊂ N⁺.

• P ≡ p, si P ≡ vrai ; P ≡ - q, si P ≡ faux; 

• Q ≡ p, si Q ≡ vrai ; Q ≡ - q, si Q ≡ faux.

⁂

Prenons un exemple, avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3 et écrivons les expressions correspondantes aux propositions logiques et leurs tables de vérité comme suit:

Table de vérité de la proposition logique P et de la proposition logique Q. avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3.

• P ≡ p = 5, si P ≡ vrai ; P ≡ q = -8, si P ≡ faux; 

• Q ≡ p = 5, si Q ≡ vrai ; Q ≡ q = -8, si Q ≡ faux.

⁂

Table de vérité de la proposition logique de la négation qui est un opérateur logique unaire servant à nier une proposition et notée ~P ( ou ¬ par ma convention pour au moins deux propositions logiques liées par un connecteur logique) d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques ~P est égale à p quand P est fausse ; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques ~P est égale à -q quand P est vraie; avec P ∈ {-q; p} et {q; p}⊂ N⁺.

• ~ P ≡ -1*P - ( | | q | - | p | | ) = p,  si ~ P ≡ vrai, et P ≡ faux ≡ -q;  (1')

• ~ P ≡ -1*P - ( | | q | - | p | | ) = -q, si ~ P ≡ faux, et P ≡ vrai ≡p.     (1')'.

⁂

Prenons un exemple, avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3 et écrivons les expressions correspondantes à la proposition logique ~ P et sa table de vérité comme suit:

Table de vérité de la proposition logique ~ P, avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | = 3.

•  ~ P ≡ -1*P - 3 = q = -8 et ~P ≡ Faux si P ≡ vrai et P ≡ 5,  

•  ~ P ≡ -1*P - 3 = p = 5, et ~P ≡ vrai si P ≡ faux et P ≡ -8.

⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique de la négation qui est un opérateur logique unaire servant à nier une proposition et notée ~Q ( ou ¬ par ma convention pour au moins deux propositions logiques liées par un connecteur logique) d'une assertion qui peut avoir la valeur vraie (TRUE) équivalente à p; ou faux (FALSE) équivalente à -q; et qui est une façon d'affirmer que l'assertion est soit vraie équivalente à son expression de variables logiques ~Q est égale à p quand Q est fausse ; ou soit fausse équivalente à son expression de variables logiques ~Q est égale à -q quand Q est vraie; avec Q ∈ {-q; p} et {q; p}⊂ N⁺.

• ~ Q ≡ -1*q - ( | | q | - | p | | ) = p, si ~ Q ≡ vrai et Q ≡ faux ≡ -q   (2')

• ~ Q ≡ -1*q - ( | | q | - | p | | ) = -q, si  ~ Q ≡ faux et Q ≡ vrai ≡p     (2')'.

⁂

Prenons un exemple, avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3 et écrivons les expressions correspondantes à la proposition logique ~ Q et sa table de vérité comme suit:

Table de vérité de la proposition logique ~ Q ≡ -1*Q - ( | | q | - | p | | ), avec p = 5, q = 8; | p | = 5, | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q  | - | p | | = 3.

•  ~ Q ≡ -1*Q - 3 = q = -8,  si ~ Q ≡ faux;

•  ~ Q ≡ -1*Q - 3= p = 5, si ~ Q ≡ vrai.

⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ∧ Q, et appelée la conjonction de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à p, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques notée P ∧ Q est vraie équivalente à leur expression de variables logiques est égale à p, si les deux assertions sont vraies équivalente à leurs expressions de variables logiques P et Q sont égales à p; avec P ∈ {-q; p}, Q ∈ {-q; p} et {q; p}⊂ N⁺.

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ∧ Q sont comme suit:

•  P*Q

• Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p  | + | q | ) )

• ~ P  ≡ -1*P - ( | | q | - | p | | ) 

• 1- 2*Y ≡ ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1| +1)⌉

• 1- 2 * Y ≡ 1 -2*⌈ ( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ 

• P ∨ Q ≡ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ | -1*P + 1 | / ( | -1*P + 1| + 1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) )

• | p | + | q |

• 2 - ⌈ ( P ∧ Q ) / ( P ∧ Q +1 ) ⌉ ≡ (1- ( ⌈ (2 - ⌈ (P + 1) /( | P + 1 | +1) ⌉ -⌈ (Q +1) / ( | Q +1 | +1) ⌉) / ( 2 - ⌈ (P + 1) / ( | P + 1 | +1)⌉ - ⌈ ( Q +1 ) / ( | Q +1 | +1) ⌉ + 1) ⌉ ))

• 2 - ⌈ ( P ∧ Q ) / ( P ∧ Q + 1) ⌉ ≡ 2 - ⌈ ( ( p*q ) / (P ∨ Q) ) / (  ( p*q ) / ( P ∨ Q ) ) ⌉ 

• P ∨ Q ≡ ( | p | + | q | ) - ( p - | p | )*( q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*p - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ | -1*p + 1 ) / (| -1*p + 1 ) + 1| ⌉ -2*⌈ ( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ )   

Les expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique P ∧ Q sont comme suit :

• P ∧ Q ≡ P*Q / ( Z + (~ P) *( 1 - 2*Y ) )          (1)

• P ∧ Q ≡ P*Q / ( P ∨ Q )           (1)'

• P ∧ Q ≡ ( | p | + | q | ) * ( 2 - ⌈ ( P ∧ Q ) / ( P ∧ Q +1 ) ⌉ )      (1a)

Les expressions non "Ockhamiènnes" correspondantes au développement des expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique P ∧ Q est comme suit :

• P ∧ Q ≡ ( P*Q ) / ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ )) = p, si  P ≡ vrai ≡ p, et si Q ≡ vrai ≡ p.                 (1')  & (1')'

• P ∧ Q ≡ ( P*Q ) / ( ( | p  | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) = -q, si P ≡ faux ≡ -q, et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ faux ≡ -q, et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ vrai ≡ p, et si Q ≡ faux ≡ -q.                    (1')'' & (1')''

• P ∧ Q ≡ ( | p | + | q | ) * ( 1 - ( ⌈ ( 2 - ⌈ ( P + 1 ) / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ -⌈ ( Q +1 )  /  ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ )  / ( 2 - ⌈ ( P+1 ) / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ -⌈ ( Q +1 )  /  ( | Q + 1 | + 1 ) ⌉ + 1 ) ⌉ )) - | q | = p, si  P ≡ vrai ≡ p, et si Q ≡ vrai ≡ p.            (1a')

• P ∧ Q ≡( | p | + | q | ) * ( 1 - ( ⌈ ( 2 - ⌈ ( P + 1 ) / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ -⌈ ( Q +1 )  /  ( | Q + 1 | +1 ) ⌉ )  / ( 2 - ⌈ ( P+1 ) / ( | P + 1 | +1 ) ⌉ -⌈ ( Q +1 )  /  ( | Q + 1 | + 1 ) ⌉ + 1 ) ⌉ )) - | q | = -q, si P ≡ faux ≡ -q, et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ faux ≡ -q, et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ vrai ≡ p, et si Q ≡ faux ≡ -q.               (1a')'

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P ∧ Q est la suivante :

• P ∧ Q ≡ - | q | + ( P + | q | )  * ( Q + | q | ) / ( | p  | + | q | )                (1'')'

⁂

Prenons un exemple, avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3 et écrivons la table de vérité des expressions correspondantes aux propositions logiques P et Q 

Table de vérité de la proposition logique P et de la proposition logique Q. avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3.

Ensuite, P et Q sont connectées par l'opérateur logique binaire en une proposition logique notée P ∧ Q dont la table de vérité comme suit:

Table de vérité de la proposition logique P ∧ Q , avec p = 5, q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | = 3.

• P ∧ Q ≡ (P*Q) / ( 13  - ( P - 5 ) * ( Q - 8) / 13 + ( -1*P - 3 ) * ( ⌈ | -1*P + 1|  / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) /( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ ) ) = 5, si P ≡ vrai ≡ 5, et si Q ≡ vrai ≡ 5.                 (1')

• P ∧ Q ≡ (P*Q) / (13 - ( P - 5) * (Q - 8) /13 + ( -1*P - 3 ) * ( ⌈ | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| + 1 ) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P+ 1 | + 1 ) ⌉ ) ) = -8, si P ≡ faux ≡ -8, et/ou si Q ≡ faux ≡ -8;                    (1')'

⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique de disjonction non exclusive de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une de ces deux assertions est vraie: P ∨ Q. 

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ∨ Q sont comme suit:

• ~ P  ≡ -1*P - ( | | q | - | p | | ) 

•  1 - Y = ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉

• Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) )

L'expression "Ockhamiènne" première de la proposition logique P ∨ Q est comme suit :

• P ∨ Q ≡ ( Z + (~ P ) ) * ( 1 - Y)     (2)

L'expression non "Ockhamiènne" correspondante au développement de l'expression "Ockhamiènne" première:

• P ∨ Q ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) = p, si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q ; ou si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vrai ≡ p.           (2')

• P ∨ Q ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P+ 1 | +1 ) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ ) = - q, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q.           (2')'

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P ∨ Q est la suivante :

• P ∨ Q ≡ | p | - ( P - | p | ) * ( P - | p | ) / ( | p | + | q | )     (2'a')

⁂⁂

Remarquons que des expressions logiques non "Ockhamiènne" précédentes nous remarquons les propriétés suivantes de P ∧ Q, P ∨ Q et p*q :

• P ∧ Q ≡ (P*Q) / (P ∨ Q) ≡ P*Q / ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | )*( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 |  + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ ) .        (2')''

•  P  ∧  Q ≡  ( | p | + | q | )* (1- ( ⌈ (2- ⌈ (P+1) /( |P+1| +1)⌉ -⌈ (Q +1)  /  ( |Q +1| +1) ⌉)  / (2- ⌈ (P+1) / ( |P+1| +1)⌉ -⌈ (Q +1)  /  ( |Q +1| +1) ⌉ + 1) ⌉ )) - |q|  

• P ∨ Q ≡ (P*Q) / (P ∧ Q) ≡ ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | )*( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) .       (2')''

⁂

Remarquons encore que nous utilisons précédemment dans les deux expression de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ∧ Q et P ∨ Q, l'expression logique mixte B des fonctions caractéristiques Y; 1- Y; et 1- 2*Y dont les tables de vérités des expressions des variables des propositions logiques mixtes correspondantes sont comme suit: 

Table de vérité de la proposition logique mixte d'expression -1*P

•  -1*P = -5, si P ≡ vrai ≡p = 5;  

• -1*P = 8, si P ≡ q= -8, si P ≡ faux.

Table de vérité de la proposition logique mixte d'expression 1-Y ≡ ⌈  | -1*P + 1 |  / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1| +1)⌉

•  1 - Y  ≡  ⌈ | -1*P + 1| / ( | -1*P + 1 |+ 1)  ⌉ -2*⌈( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ -1*P = 1, si  -1*P = -5, si P ≡ vrai ≡ p = 5

• 1 - Y  ≡  ⌈ | -1*P+1 | / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ -1*P = -1, si -1*P=8, si P ≡ faux ≡ -q= -8.

Table de vérité de la proposition logique ~ P ≡ -1*P - ( | | q | - | p | | )

Table de vérité de la proposition logique mixte 1 - Y ≡ 1 - ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p| | ) + 1) / ( | -1*P- ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1 ) ⌉ 

Table de vérité de la proposition logique mixte Y ≡ ⌈ (-1*P- ( | | q | - | p | |  ) + 1) / ( | -1*P- ( | | q | - | p | | ) + 1 | +1 ) ⌉

⁂

Prenons un exemple, avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3 et écrivons la table de vérité des expressions correspondantes aux propositions logiques P et Q 

Table de vérité de la proposition logique P et de la proposition logique Q. avec p = 5; q = 8,; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3.

Ensuite, P et Q sont connectées par l'opérateur logique binaire en une proposition logique notée P ∨ Q dont la table de vérité comme suit:

Table de vérité de la proposition logique P ∨ Q avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | = 13 et | | q | - | p | | =3.

• P ∨ Q ≡ ( 13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13 + ( -1*P - 3) * ( ⌈ | -1*P + 1 | / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*p + 1| +1) ⌉ ) = 5, si P ≡ vrai ≡5 et si Q ≡ vrai ≡ 5; ou si P ≡ vrai ≡ 5 et si Q ≡ faux ≡ -8 ; ou si P ≡ faux ≡ -8 et si Q ≡ vrai ≡ 5.           (2')

• P ∨ Q ≡ ( 13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13 + ( -1*P - 3) * ( ⌈ | -1*P + 1 | / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ ) = -8, si P ≡ faux ≡ -8 et si Q ≡ faux ≡ -8.           (2')'

⁂⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique ET-NON (NAND en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.) de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou faux, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une des assertions est fausse: P ↑ Q. 

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ↑ Q sont comme suit:

•  | Q | 

• -1*Z ≡  -1*( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ))

• K ≡ 3 - 2*⌈ ( P ∨ Q ) / ( P ∨ Q + 1)⌉ ≡ 3 -2* ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ ) )

• L ≡ 3 - 2*⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q + 1) ⌉ ≡ 3 - 2* ( ( P*Q ) / ( ( | p  | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) )

Les expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique P ↑ Q sont comme suit:

• P ↑ Q ≡  ( -1*Z + K*| Q | ) * L         (3)

• P ↑ Q ≡ ( -1*( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) ) + ( 3 - 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | ) * ( 3 - 2*⌈ ( P ∧ Q ) / ( P ∧ Q +1) ⌉ )     (3')

L'expression non "Ockhamiènne" correspondante au développement de l'expression "Ockhamiènne" première:

•  P ↑ Q ≡  ( -1*( | p | + | q | ) - ( P - | p | )*( Q - | q | ) / ( | p | + | q | )) + ( 3 - 2*⌈ (( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | +1 )⌉ -2*⌈( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ )) / ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ -2*⌈( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 - 2*⌈ ( (P*Q) / ( (| p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q |) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ (| -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) ) / ( (P*Q) / ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) +1) ⌉ ) = -q, si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p.       (3'). 

• P ↑ Q ≡  ( -1*( | p | + | q | ) - ( P - | p | )*( Q - | q | ) / ( | p | + | q | )) + ( 3 - 2*⌈ (( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1|) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ )) / ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ -2*⌈( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 - 2*⌈ (( P*Q ) / ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1|+1) ⌉) ) ) / ( (P*Q) / ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q |) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) )*( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) ) +1) ⌉ ) = p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q; si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vrai ≡ p, ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q.         (3')''

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P ↑ Q est la suivante :

• P ↑ Q ≡  | p | - ( P + | q | ) * ( Q + | q | ) / ( | p | + | q | )        (3'a')

⁂

Nous remarquons que dans les deux cas précédents d'expression non "Ockhamiènne" des variables logiques  (3')' et (3'')', l'atome logique mixte | Q | a pour table de valeurs des variables celle comme suit:

 Table de valeurs des variables de l'atome logique mixte | Q |

⁂

Table de valeurs de la proposition logique mixte Z dont l'expression des variables arithmétiques correspond à l'expression fondamentale d'équivalence entre expressions des variables arithmétiques des propositions logiques P ∧ Q et P ∨ Q:  Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ).

⁂

Prenons un exemple, avec p = 5; q = 8; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3 et écrivons la table de vérité des expressions correspondantes aux propositions logiques P et Q 

Table de vérité de la proposition logique P et de la proposition logique Q. avec p = 5; q = 8,; | p | = 5; | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3.

Ensuite, P et Q sont connectées par l'opérateur logique binaire en une proposition logique notée P ↑ Q  dont la table de vérité comme suit:

Table de vérité de la proposition logique P ↑ Q  avec p = 5, q = 8; | p | = 5, | q | = 8; | p | + | q | =13 et | | q | - | p | | =3.

• P ↑ Q ≡ ( -1*( 13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13)  + ( 3 - 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 - 2*⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) = -8, si P ≡ vrai ≡ 5 et si Q ≡ vrai ≡ 5.     (3')

• P ↑ Q ≡ ( -1*(13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13) + ( 3 - 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 - 2*⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) = 5, si P ≡ faux ≡ -8 et si Q ≡ faux ≡ -8; si P ≡ faux ≡ -8 et si Q ≡ vrai ≡ 5, ou si P ≡ vrai ≡ 5 et si Q ≡ faux ≡ -8.   (3'')

•  P ↑ Q ≡  ( -1*(13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13) + ( 3 - 2*⌈ ((13  - ( P -5 ) * ( Q - 8 ) / 13  + ( -1*P -  3) * ( ⌈ | -1*P + 1 | / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ )) / ( 13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13 + ( -1*P - 3) * ( ⌈ | -1*P + 1| / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ -2*⌈( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 |+1 ) ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 - 2*⌈ ((P*Q) / ( 13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13 + ( -1*P - 3 ) * ( ⌈ | -1*P + 1| / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) /( | -1*P + 1| +1)⌉) ) ) / ( (P*Q) / ( 13 - ( P - 5) * (Q - 8 ) /13 + ( -1*P - 3 ) * ( ⌈ | -1*P + 1| / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1|+1) ⌉ ) ) +1) ⌉ ) = -8, si P ≡ vrai ≡ 5 et si Q ≡ vrai ≡ 5.    (3')'

• P ↑ Q ≡  ( -1*( 13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13) + ( 3 - 2*⌈ (13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13 + ( -1*P - 3) * ( ⌈ | -1*P + 1| / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ )) / ( 13 - (P - 5) * ( Q - 8 ) /13 + ( -1*P - 3) * ( ⌈ | -1*P + 1 | / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ -2*⌈( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1|+1) ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 - 2*⌈ ((P*Q) / ( 13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) / 13 + ( -1*P - 3 ) * ( ⌈ | -1*P + 1 | / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉) ) ) / ( (P*Q) / ( 13 - ( P - 5) * ( Q - 8 ) /13+ ( -1*P - 3 ) * ( ⌈ | -1*P + 1| / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ -2*⌈ (-1*P +1) / ( | -1*P + 1 |+1) ⌉) ) +1) ⌉ ) = 5, si P ≡ faux ≡ -8 et si Q ≡ faux ≡ -8; si P ≡ faux ≡ -8 et si Q ≡ vrai ≡ 5, ou si P ≡ vrai ≡ 5 et si Q ≡ faux ≡ -8.       (3'')'

Nous remarquons que dans les deux cas précédents d'expression des variables logiques, (3')' et (3'')', la proposition logique mixte | Q | a pour table de valeurs des variables celle comme suit:

 Table de valeurs des variables de l'atome logique mixte | Q |, avec p = 5, q = 8.

Table de valeurs de la proposition logique mixte Z dont l'expression des variables arithmétiques correspond à l'expression fondamentale d'équivalence entre expressions des variables arithmétiques des propositions logiques (P ∧ Q) et (P ∨ Q): Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ).

⁂⁂⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ⊕ Q et appelée XOR (un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune soit la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à p, soit la valeur Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, et qui est une façon d'affirmer qu'au moins une et une seule des assertions est vraie, équivalente à son expression de variables logiques soit P, soit Q est égale à p.

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ⊕ Q sont comme suit:

• Q' ≡ Q* ( 1- ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1) / ( |  -1*P - ( | |q | - | p| | ) +1 | + 1) ⌉ ) + ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | )+1) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1) ⌉ * ( P + | | q | - | p | | )

• -L ≡ -3 + 2* ⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ = -3 + 2* ( ( P*Q ) / ( ( | p  | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) )

• Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | )

Les expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique P ⊕ Q sont comme suit:

• P ⊕ Q ≡ ( Z - (-L * Q' ) ) *L                        (4)

• P ⊕ Q ≡ (  ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * (Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) ) - ( ( Q* (1 - ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | |) + 1 ) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) | + 1 ) ⌉ ) + ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 ) | + 1) ⌉ * ( P + | | q | - | p | | )) * ( -3 + 2* ⌈ ( P ∧ Q ) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) )  ) * ( -3 + 2* ⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ )        (4')

L'expression non "Ockhamiènne" correspondante au développement de l'expression "Ockhamiènne" première est la suivante:

• P ⊕ Q ≡ (  ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * (Q - | q | ) / ( | p  | + | q | ) ) - ( ( Q* (1 - ⌈ (-1*P - (  | | q | - | p | | ) + 1 ) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) | + 1 ) ⌉ ) + ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p  | | ) + 1) / ( | (-1*P - ( | | q | - | p | |) + 1 ) | + 1) ⌉ * ( P + | | q | - | p | | )) * ( -3 + 2* ( ( P*Q ) / ( ( | p  | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) )) )  ) * ( -3 + 2* ( ( P*Q ) / ( ( | p  | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) ) ) = -q, si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q  (4)'. 
• 
  

• P ⊕ Q ≡ (  ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) ) - ( ( Q * (1- ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 ) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1) | +1 ) ⌉ ) + ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | | ) +1) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1) | + 1) ⌉ * ( P + | | q | - | p | | )) * ( -3 + 2* ( ( P*Q ) / ( ( | p  | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) )) )  ) * (  - 3 + 2* ( ( P*Q ) / ( ( | p  | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ -2*⌈ ( -1*P +1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) ) ) ) = p, si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vraie ≡ p.     (4)''. 

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P ⊕ Q est la suivante:

• P ⊕ Q ≡ | p | - ( ( P + | q | ) * ( Q + | q | ) + (P - | p | ) * ( Q - | p | ) ) / ( | p | + | q | )    (4'a')

⁂

Table de vérité de la proposition logique Q' l' une des expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ⊕ Q. 

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique notée P ↓ Q et appelée OU-NON (NOR en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à p, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques P ↓ Q est vraie équivalente à leur expression de variables logiques est égale à p, seulement lorsque les deux assertions sont chacune fausse et équivalentes à leurs expressions de variables logiques respectives P et Q sont chacune égale à -q.

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ↓ Q sont comme suit:

• Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | )

• ~ P ≡ -1*P - ( | | q | - | p | | )

•  | p |

•  -1*| q |

• | | q | - | p | | 

• E ≡ ⌈ ( | 1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | -1 ) / ( | 1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | ) ⌉

• 1- E ≡1- ⌈( | 1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | -1) / ( | 1 - |1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | )

• Y ≡ ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p| | ) + 1) / ( | (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1)| + 1) ⌉

Les expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique  P ↓ Q sont comme suit :

• P ↓ Q ≡ (1 - E) * (~ P ) + -1*| q |*E         (5)

• P ↓ Q ≡ -1*( Z + Y* | | q | - | p | | - | p | )         (5')

Les expressions non "Ockhamiènnes" correspondantes au développement des expressions "Ockhamiènnes" premières  de la proposition logique  P ↓ Q sont les suivantes:

• P ↓ Q ≡ ( 1 - ⌈ ( |1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | -1 ) / ( | 1 - | 1/2*( P + Q + | p -  q | ) - P | | ) ⌉ ) * ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) + ⌈ ( | 1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | -1 ) / ( |1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | ) ⌉ * ( -1 * | q | ) = p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q;     (5). 

• P ↓ Q ≡ ( 1 - ⌈ ( |1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | -1 ) / ( | 1 - | 1/2*( P + Q + | p -  q | ) - P | | ) ⌉ ) * ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) + ⌈ ( | 1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | -1 ) / ( |1 - | 1/2*( P + Q + | p - q | ) - P | | ) ⌉ * ( -1 * | q | ) = -q, si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q;  ou si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vraie ≡ p.    (5)'. 

• P ↓ Q ≡ -1*( ( | p  | + | q |  ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p  | + | q | ) + ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | (-1*P - ( | | q | - | p | | ) +1 ) |+1) ⌉ * ( | | p | - | q | | ) - | p | )   = p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q;     (5')   

• P ↓ Q ≡ -1*( ( | p  | + | q |  ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p  | + | q | ) + ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1 ) | +1) ⌉ * ( | | p | - | q | | ) - | p | ) = -q, si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q;  ou si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vraie ≡ p.   (5')'

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P ↓ Q est comme suit:

•  P ↓ Q ≡ - | q | + ( P - | p | ) * ( Q - | p | ) / ( | p | + | q | )        (5'a')

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique de la coïncidence, notée P ⊙ Q et appelée XNOR (la négation du OU exclusif noté XOR en anglais et un opérateur logique de l'algèbre de Boole et par extension un connecteur binaire de logique propositionnelle.), de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à p, ou faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions logiquement connectées par XOR est vrai équivalente à leurs expressions de variables logiques P ⊙ Q égale à p exactement lorsque les deux assertions sont identiques. 

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ⊙ Q sont comme suit:

• P * Q

• | p |

• | q |

• Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | )

• 2 - ⌈ ( P ∨ Q ) / ( P ∨ Q + 1) ⌉ ≡ 

• ~ P ≡ -1*P - ( | | q | - | p | | ) 

• ≡ ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2* ⌈ ( -1*P + 1)  / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉

Les expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique  P ⊙ Q sont comme suit :

• P ⊙ Q ≡ ( P ∧ Q )*( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉) + (⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ - 1) * | p |

• P ⊙ Q ≡ P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) )   * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p |

Les expressions non "Ockhamiènnes" correspondantes au développement des expressions "Ockhamiènnes" premières  de la proposition logique P ⊙ Q sont comme suit :

• P ⊙ Q ≡ P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) )   * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p | = p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p.   (6')   

• P ⊙ Q ≡ P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) )   * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p | = -q, ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q; si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vraie ≡ p.   (6')'

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P ⊙ Q est comme suit :

• P ⊙ Q ≡ - | q | + ( ( P + | q | ) * ( Q + | q | ) + ( P - | p | ) * ( Q - | p | ) ) / ( | p | + | q | )  (6'a')

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique d'implication, notée P → Q, et qui est aussi notée, P ⊃ Q, de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à p, ou Faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques P → Q est fausse, équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, exactement lorsque la première assertion appelée "l’impliquant" est vraie, équivalente à son expression de variables logiques P est égale à p, et la seconde assertion appelée "l’impliquée" est fausse, équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à -q.

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P → Q sont comme suit:

• ~ P ≡ -1*P - ( | | q | -  | p | |  )

• Y ≡ ⌈ (~ P + 1) / ( | ~ P + 1 | + 1) ⌉ ≡ ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1) ⌉

•  1-Y ≡ 1-⌈ (~ P + 1) / ( | ~ P + 1 | + 1) ⌉ ≡ 1- ⌈ ( -1*P - ( | | q  | - | p | | ) + 1) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1 | +1 ) ⌉ 

• 1 - 2*Y ≡ 1 - 2*⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 ) / ( |  -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1) ⌉

• J ≡ ( ( 1 - Y) * Q) + ( Y * ( P + | | q | - | p | | ) ) ≡ Q*(1- ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1 ) ⌉ ) + ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1 ) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | +1 ) ⌉ * ( P + | | q | - | p | | ) 

• P ⊙ Q ≡ ( P ∧ Q )*( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉) + (⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ - 1) * | p |

• P ↑ Q ≡ ( -1*( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) ) + ( 3 - 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | ) * ( 3 - 2*⌈ ( P ∧ Q ) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) 

Les expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique P → Q sont comme suit :

• P → Q ≡ J * (1 - 2*Y ) ≡ ( ( 1 - Y ) * Q ) + ( Y * ( P + | | q | - | p | | ) ) * ( 1 - 2*Y ) ≡ ( ( 1 - Y ) * Q) + (Y * ( P + | | q | - | p | | ) ) * (1 -2*⌈ (~ P + 1) / ( | ~ P + 1 | + 1) ⌉ )      (7)

• P → Q ≡ ( P ⊙ Q )* ( 1 - Y ) + ( P ↑ Q )*Y         (7')

Les expressions non "Ockhamiènnes" correspondantes au développement des expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique P → Q sont comme suit :

• P → Q ≡ ( Q*(1- ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | +1) ⌉ ) + ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1 ) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | +1 ) ⌉ * ( P + | | q | - | p | | ) ) * (1 -2*⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 ) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) | + 1) ⌉ ) = p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vraie ≡ p.              (7)'   

• P → Q ≡ ( Q*(1- ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | +1) ⌉ ) + ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1 ) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | +1 ) ⌉ * ( P + | | q | - | p | | ) ) * (1 -2*⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 ) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) | + 1) ⌉ ) = -q, ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q.           (7)''

• P → Q ≡ ( 1- ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1) ⌉ ) * P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) ) * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p |    +    ( ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1) ⌉ ) * P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) )   * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p | = p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vraie ≡ p.          (7')

• P → Q ≡ ( 1- ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1) ⌉ ) * P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) ) * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p |    +    ( ⌈ (-1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1 | + 1) ⌉ ) * P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) )   * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p | = -q, ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q.   (7')'

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P → Q est comme suit :

• P → Q ≡ | p | + ( P + | q | ) * ( Q - | p | ) / ( | p | + | q | )         (7'a')

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique d'implication réciproque, notée P ← Q, ou P ⊂ Q, de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à p, ou faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions de leurs expressions de variables logiques P ← Q, est fausse, équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est vraie équivalente à son expression de variables logiques P est égale à p, et la seconde assertion appelée l’impliquée est fausse équivalente à son expression de variables logiques Q est égale à -q.

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ← Q sont comme suit:

• P ∨ Q ≡ ( Z + (~ P ) ) * ( 1 - Y)  ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ )

• Y ≡  ⌈ (~ P + 1) / ( | ~ P + 1 | + 1) ⌉ ≡  ⌈ ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) + 1) / ( | -1*P - ( | | q | - | p | | ) +1 | + 1) ⌉ 

• ~ P ≡ -1*P - ( | | q | -  | p | |  )

• ⌈ ( P ∨ Q ) / ( P ∨ Q +1 ) ⌉ ≡ ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) +1) ⌉ 

• ( ⌈ ( P ∨ Q ) / ( P ∨ Q +1 ) ⌉ - 1 ) * | p | ≡ ( ( ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) +1) ⌉ ) - 1 )  * | p | 

• ( ( 1 - ⌈ ~ P ⌉ ) - ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ )) * | q | ≡  ( 1- ⌈( -1*P - ( | q | + | p | )+1) / ( | -1*P - ( | | q | + | p | | ) +1| +1)⌉  - 2+ ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) +1) ⌉ ) * | q | 

• Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | )

• (P ⊙ Q) ≡ ( P ∧ Q )*( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉) + (⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ - 1)*| p |

• (P ↓ Q) ≡ P ↓ Q ≡ -1*( Z + Y* | | q | - | p | | - | p | )  

Les expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique P ← Q  sont comme suit :

• P ← Q ≡ ( ( P ∨ Q ) * (1 - Y ) )  + ( ( 1 - Y ) - ( 2 - ⌈ ( P ∨ Q ) / ( P ∨ Q +1) ⌉) ) * | q | + ( ⌈ ( P ∨ Q ) / ( P ∨ Q +1 ) ⌉ - 1 ) * | p |        (8)

• (P ∨ Q) * (1-Y) + (P ⊙ Q)*Y ≡ ( Z + (~ P ) )*( 1 - Y) * ( 1 - Y)  +  Y*( P ∧ Q )*( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉) + (⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ - 1)*| p |                (8')

• (P ∨ Q) * (1-Y) + (P ↓ Q)*Y ≡ ( Z + (~ P ) )*( 1 - Y) * ( 1 - Y)  + -1*( Z + Y* | | q | - | p | | - | p | ) *Y        (8')

Les expressions non "Ockhamiènnes" correspondantes au développement des expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique P ← Q sont comme suit :

• P ← Q ≡ ( ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) ) * (1 - ⌈ ~ P ⌉ ) )  + ( ( 1 - ⌈ ~ P ⌉ ) - 2+ ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) +1) ⌉) ) * | q | + (  ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1)⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1 | + 1 ) ⌉ ) +1) ⌉ - 1 ) * | p | ≡  p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ vraie ≡ p, et si Q ≡ faux ≡ -q .                          (8)

• P ← Q ≡ ( ( ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) ) * (1 - ⌈ ~ P ⌉ ) )  + ( ( 1 - ⌈ ~ P ⌉ ) - 2+ ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) +1) ⌉) ) * | q | + (  ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | | q | - | p | | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1)⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1)⌉ ) +1) ⌉ - 1 ) * | p | ≡ -q, si P ≡faux ≡ -q et si Q ≡ vrai ≡ p.                                           (8)'

• P ← Q ≡ ( Z + (~ P ) )*( 1 - Y) * ( 1 - Y)  +  Y*( P ∧ Q )*( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉) + (⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ - 1)*| p |  ≡  p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ vraie ≡ p, et si Q ≡ faux ≡ -q .   (8')

• P ← Q ≡ ( Z + (~ P ) )*( 1 - Y) * ( 1 - Y)  +  Y*( P ∧ Q )*( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉) + (⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ - 1)*| p |  ≡ -q, si P ≡faux ≡ -q et si Q ≡ vrai ≡ p.     (8')

• P ← Q ≡ ( Z + (~ P ) )*( 1 - Y) * ( 1 - Y)  + -1*( Z + Y* | | q | - | p | | - | p | ) *Y  ≡  p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p; ou si P ≡ vraie ≡ p, et si Q ≡ faux ≡ -q .        (8'')

• P ← Q ≡ ( Z + (~ P ) )*( 1 - Y) * ( 1 - Y)  + -1*( Z + Y* | | q | - | p | | - | p | ) *Y  ≡ -q, si P ≡faux ≡ -q et si Q ≡ vrai ≡ p.       (8'')

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P ← Q est comme suit :

• P ← Q ≡  | p | + ( P - | p | ) * ( Q + | q | ) /  ( | p | + | q | )    (8'a')

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique de la non-implication réciproque qui est la négation de la réciproque de l'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est fausse et la seconde assertion appelée l’impliquée est vraie: P ⊄ Q, P  Q.

Les deux principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ⊄ Q sont comme suit:

• ~ P ≡ -1*P - ( | q - p | )

•   ⌈ ( P ∨ Q ) / ( P ∨ Q +1 ) ⌉ ≡  ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | q | - | p | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | q | - | p | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) +1) ⌉ 

Les expressions non "Ockhamiènne" de la proposition logique P ⊄ Q sont comme suit :

• P ⊄ Q ≡ ( -1*P - ( | q | + | p | ) )*( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + | q |*( 1 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ )

• P ⊄ Q ≡ ( -1*P - ( | q | + | p | ) ) * ( 2 - ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | q | - | p | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 ) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | q | - | p | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉ ) +1) ⌉ )  + | q |*( 1 - ⌈ (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | q | - | p | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) )  / (  ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | ) + (-1*P - ( | q | - | p | )) * ( ⌈ ( | -1*P + 1| ) / ( | -1*P + 1| +1) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1) / ( | -1*P + 1| + 1) ⌉ ) +1) ⌉ )

L'expression "Ockhamiènne" de la proposition logique de la non-implication réciproque notée P ⊄ Q est la suivante:

• P ⊄ Q ≡  - | q  | - ( P - | p | )*( Q + | q | ) / ( | p | + | q | )

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

Table de vérité de la proposition logique de la non-implication matérielle, ou abjonction qui exprime la négation de l'implication de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie ou Faux, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions sont vraies exactement lorsque la première assertion appelée l’impliquant est vraie et la seconde assertion appelée l’impliquée est fausse : P ⊅ Q 

L'expression "Ockhamiènne" de la proposition logique de la non-implication matérielle, ou abjonction qui exprime la négation de l'implication notée P ⊅ Q est la suivante:

• P ⊅ Q ≡ - | q | - ( P + | q | )*( Q - | p | ) / ( | p | + |q | )

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Table de vérité de la proposition logique d'équivalence notée P ↔ Q, ou P ≡ Q, de deux assertions qui peuvent avoir chacune la valeur vraie, équivalente à son expression de variables logiques est égale à p, ou faux équivalente à son expression de variables logiques est égale à -q, et qui est une façon d'affirmer que les deux assertions connectées sont vraies et équivalentes à leurs expressions de variables logiques P ↔ Q est égale à p, exactement lorsque les deux assertions sont soit toutes les deux vraies, équivalentes à leurs expressions respectives de variables logiques est égale à p, soit toutes les deux fausses et équivalentes à leurs expressions respectives de variables logiques est égale à -q.

Les principales expressions de variables logiques combinées dans l'expression de la proposition logique P ↔  Q sont comme suit:

• P * Q

• | p |

• | q |

• Z ≡ ( | p | + | q | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q | ) / ( | p | + | q | )

• 2 - ⌈ ( P ∨ Q ) / ( P ∨ Q + 1) ⌉ ≡ 

• ~ P ≡ -1*P - ( | | q | - | p | | ) 

• ≡ ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2* ⌈ ( -1*P + 1)  / ( | -1*P + 1 | + 1) ⌉

Les expressions "Ockhamiènnes" premières de la proposition logique  P ↔  Q sont comme suit :

• P ↔ Q ≡ ( P ∧ Q )*( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉) + (⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ - 1) * | p | (11)

• P ↔ Q ≡ P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) )   * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p |         (11)

Les expressions non "Ockhamiènnes" correspondantes au développement des expressions "Ockhamiènnes" premières  de la proposition logique P ↔  Q sont comme suit :

• P ↔ Q ≡ P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) )   * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p | = p, si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ faux ≡ -q; ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ vrai ≡ p.   (11')   

• P ↔ Q ≡ P*Q / ( ( | p | + | q  | ) - ( P - | p | ) * ( Q - | q |  ) / ( | p | + | q  | ) + ( -1*P - ( | | q | - | p | | ) ) * ( ⌈ ( | -1*P + 1 | ) / ( | -1*P + 1 | +1 ) ⌉ - 2*⌈ ( -1*P + 1 )  / ( | -1*P + 1 | +1) ⌉ ) )   * ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) + ( 2 - ⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | p | = -q, ou si P ≡ vrai ≡ p et si Q ≡ faux ≡ -q; si P ≡ faux ≡ -q et si Q ≡ vraie ≡ p.   (11')'

L'expression "Ockhamiènne" secondaire, car son expression n'est pas celle d'une fonction simple combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais correspondante à une nouvelle expression sui generis de la proposition logique P ↔  Q est comme suit :

• P ↔ Q ≡ - | q | + ( ( P + | q | ) * ( Q + | q | ) + ( P - | p | ) * ( Q - | p | ) ) / ( | p | + | q | )       (11'a')

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((P → Q) → P) → P

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¬ (~  P) → P

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P ∨ ¬ P

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¬  ( P ∧ Q )  ↔  ~   P ∨ ~ Q 

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

 

¬  ( P ∨ Q )  ↔  ~  P ∧ ~  Q 

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(~  P → P) →P

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(¬ (P  → Q) ) → P V ~ Q

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P V (P → Q)

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(P → Q) V (Q →R)

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(P → (Q→R)) → ((P→Q) → (P→R))

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*"En logique mathématique, une formule atomique ou atome est une formule qui ne contient pas de sous - formules propres. La structure d'une formule atomique dépend de la logique considérée, p. ex. en logique des propositions, les formules atomiques sont les variables propositionnelles. Les atomes sont les formules les plus simples dans un système logique et servent à construire les formules les plus générales. Ainsi, les formules bien formées dans un système logique sont définies récursivement, en donnant les règles pour créer des formules bien formées à partir d'autres formules bien formées, les formules atomiques servant de point de départ à la construction récursive. À partir des formules atomiques, on crée, dans les logiques où il existe une négation, des formules très simples qui sont appelées des littéraux ; ce sont soit des formules atomiques, soit des négations de formules atomiques. Ainsi, si les formules s'écrivent a et la négation s'écrit ¬, les littéraux sont soit a, soit ¬a." d'après l'article de Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne intitulé, "Formule atomique".

• 
  

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ÈÉ ⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋

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Une norme triangulaire (abréviation t-norm) est une opération binaire T sur l'intervalle [0,1] satisfaisant les conditions suivantes :

T(x,y)=T(y,x) (commutativité)

T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z) (associativité)

y≤z⟹T(x,y)≤T(x,z) (monotonie)

T(x,1)=x (élément neutre 1)

p ∧ V ⇔ p (Identité) p ∨ F ⇔ p (Identité) p ∨ V ⇔ V (Domination) p ∧ F ⇔ F (Domination) p ∨ p ⇔ p (Idempotence) p ∧ p ⇔ p (Idempotence) ¬(¬p) ⇔ p (Loi de la double négation) p ∧ q ⇔ q ∧ p (Commutativité) p ∨ q ⇔ q ∨ p (Commutativité) ((p ∨ q) ∨ r) ⇔ (p ∨ (q ∨ r)) (Associativité) ((p ∧ q) ∧ r) ⇔ (p ∧ (q ∧ r)) (Associativité) (p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))) (Distributivité) (p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))) (Distributivité) ¬(p ∧ q) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q)) (Loi de De Morgan) ¬(p ∨ q) ⇔ ((¬p) ∧ (¬q) (Loi de De Morgan)

p ⇒ (p ∨ q) (Addition) p ∧ q ⇒ p (Simplification) [p ∧ (p → q)] ⇒ p (Modus ponens) [¬q ∧ (p → q)] ⇒ q ∧ p (Modus tollens) [(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r) (Syllogisme par hypothèse) [(p ∨ q) ∧ ¬q] ⇒ p (Syllogisme disjonctif)

on peut composer des règles d’inférences, et obtenir d’autre règles d’inférence.

Une autre règle d’inférence : (q ∧ (¬p → ¬q)) ⇒ p. Proof. On combine (¬p → ¬q) ⇔ (q → p) avec modus ponens (q ∧ (¬p → ¬q)) ⇔ (q ∧ (q → p)) ⇒ p. 

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*( Code des couleurs:  1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ;  2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs     3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ;  4= symbole des opérateurs les plus intérieurs  ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )

⁺⁺⁺⁺

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ