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Ensemble pertinent d'opérateurs de logique floue proposés
par A. Tserkovny
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La distinction entre extension et compréhension est introduite par la "Logique de Port-Royal" ("La Logique de Port-Royal est le nom habituellement donné à l'ouvrage d'Antoine Arnauld et Pierre Nicole, intitulé La Logique ou l'art de penser et publié pour la première fois en 1662, à Paris sans nom d’auteur." d'après Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne.) et portant sur les idées universelles : « J'appelle compréhension de l'idée les attributs qu'elle enferme en soi, et qu'on ne peut lui ôter sans la détruire, comme la compréhension de l'idée du triangle enferme extension, figure, trois lignes, trois angles, et l'égalité de ces trois angles à deux droits, etc. [...]. J'appelle étendue (ou extension) de l'idée les sujets à qui cette idée convient, ce qu'on appelle aussi les inférieurs d'un terme général, qui à leur égard est appelé supérieur, comme l'idée du triangle en général s'étend à toutes les diverses espèces de triangles… »
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I) LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE TERNAIRE DE LUCKASIEWICZ ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:
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1) La logique ternaire ou logique L3 de Lukasiewicz
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"Afin de généraliser la logique booléenne où on ne compte que deux valeurs de vérité, plusieurs systèmes de logiques trivaluées ont été proposés à partir de 1920, considérant le vrai (1 ou T), le faux (0, ⊥ ou F), et une troisième valeur généralement interprétée
comme «l'indéterminé» (1/2 ou I) ou le «possible», par Kleene, Lukasiewicz et Przymusinski."
comme «l'indéterminé» (1/2 ou I) ou le «possible», par Kleene, Lukasiewicz et Przymusinski."
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1)'Extension en compréhension de l'expression de la fonction caractéristique à la logique ternaire
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II) LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE FLOUE ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:
"En 1965, L. A. Zadeh ( un mathématicien, informaticien, ingénieur en électricité, chercheur en intelligence artificielle et professeur émérite en informatique iranien qui a travaillé à l'université de Californie à Berkeley.), après avoir déclaré que « Le plus souvent, les classes d’objets rencontrées dans le monde physique réel n’ont pas de critères d’appartenance précisément définis. » Si l’on suppose qu’il ne peut pas exister de critères d’appartenance précisément définis, la manière exacte dont la fonction d’appartenance devrait être obtenue est de toute façon hors de question.", a donné dans son article désormais célèbre la définition suivante :
"Un ensemble flou est une classe avec un continuum de degrés d'appartenance. Ainsi, un ensemble flou (classe) F dans un référentiel U est caractérisé par une fonction d'appartenance qui associe à chaque élément u ∈ U un nombre réel dans l'intervalle [0, 1]. La valeur de la fonction d'appartenance à l'élément u représente le « degré d'appartenance » de u dans F. Un ensemble flou F est ainsi défini comme une application
F : U → [0, 1], et c'est une sorte de généralisation de la fonction caractéristique traditionnelle d'un sous-ensemble A : U→ {0, 1}."
F : U → [0, 1], et c'est une sorte de généralisation de la fonction caractéristique traditionnelle d'un sous-ensemble A : U→ {0, 1}."
" Le concept d'appartenance est primordial dans la théorie des ensembles : il désigne le fait qu'un élément fasse partie ou non d'un ensemble. Par exemple, l'entier 7 appartient à l'ensemble {6; 7; 9} et l'entier 5 n'appartient pas à l'ensemble {6; 7; 9}. Une fonction d'appartenance (également appelée fonction indicatrice ou encore fonction caractéristique) est une fonction qui explicite l’appartenance ou non à un ensemble A. Exemple Soit F la fonction caractéristique de l'ensemble A= {6; 7; 9}, et x un entier quelconque :
𝐹(𝑥) = { 1si 𝑥 ∈ A; 0 si 𝑥 ∈ A
Cette notion d'appartenance est très importante pour notre cours, car la logique floue se base sur le concept d'appartenance floue. Cela signifie simplement que l'on peut appartenir par exemple à 0,8 à un ensemble, contrairement à la théorie des ensembles classiques où comme nous venons de le voir l'appartenance est soit 0 (n'appartient pas) ou 1(appartient). Remarque Comme la logique floue se base sur le concept d'appartenance floue qui prend des valeurs dans un intervalle [0,1], nous voyons dès maintenant le genre de problèmes auxquels nous allons faire face et que nous allons essayer de résoudre dans les prochaines sections : Comment définir par exemple une union si les appartenances ne sont pas clairement 0 ou 1 ?
La logique floue repose sur la théorie des ensembles flous, qui ne sont d’autre qu’une généralisation de la théorie des ensembles classiques. Pour faire une métaphore en langage ensembliste, la théorie des ensembles classiques n'est qu'un sous -ensemble de la théorie des ensembles flous. Autrement, en logique Floue, un ensemble flou « A » dans un univers de discours « X » est défini par une fonction d’appartenance «μ » qui à tout élément « x » appartenant à « X », est associé un nombre «μ(x) » compris entre 0 et 1. Un ensemble flou A sur un univers de discours X est un ensemble de paires ordonnées :
1. A est tel que tout x en est membre à un degré entre 0;
1 2. A est entièrement caractérisé par sa fonction d’appartenance. Concrètement, A est un attribut qualitatif (valeur floue ou linguistique) que l’on associe avec les valeurs précises d’une variable numérique x
La fonction d'appartenance est l'équivalent de la fonction caractéristique d'un ensemble classique. La fonction d’appartenance mesure le degré avec lequel un élément x appartient à un ensemble flou A. Les fonctions d’appartenance peuvent avoir plusieurs formes. La forme de la fonction d'appartenance est choisie arbitrairement en suivant les conseils de l'expert ou en faisant des études statistiques : formes sigmoïde, tangente hyperbolique, exponentielle, gaussienne ou de toutes autres natures sont utilisables.
iii) Caractéristiques des ensembles flous Pour pouvoir définir les caractéristiques des ensembles flous, nous redéfinissons et étendons les caractéristiques usuelles des ensembles classiques. Les ensembles flous comportent un certain nombre de caractéristiques à prendre en considération. Soit un ensemble flou A de X et µA la fonction d'appartenance le caractérisant
a) Hauteur notée H(A) : C’est le plus fort degré avec lequel un élément de X appartient à A où :
H(A)={x ∈ A / μA(x)≠0}.
b) Noyau noté N(A) : C’est l’ensemble des points qui appartiennent intégralement à A : N(A) = {x/μA(x) = 1}. Par construction noy(A)⊂ sup(A).
c) Support noté Sup(A) : avec des degrés d’appartenances supérieur à zéro : S𝑢p (𝐴) = {𝑥 ∈ 𝑋/µ𝐴 (𝑥) > 0} "
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comme «l'indéterminé» (1/2 ou I) ou le «possible», par Kleene, Lukasiewicz et Przymusinski. Puis apparurent des systèmes avec un nombre fini de valeurs {0, 1/n, 2/n, … , (n-1)/n, 1} et enfin des systèmes à valeurs continues dans [0; 1]."
"La logique floue fonctionne avec les valeurs d'appartenance d'une manière qui imite la logique booléenne. À cette fin, des remplacements pour les opérateurs de base (« portes ») AND, OR, NOT doivent être disponibles. Il existe plusieurs façons d'y parvenir. Un remplacement courant est appelé opérateurs Zadeh :
Pour TRUE/1 et FALSE/0, les expressions floues produisent le même résultat que les expressions booléennes."
Boolean: AND(x, y) ⇔ Fuzzy: MIN(x, y)
Boolean: OR(x, y) ⇔ Fuzzy: MAX(x, y)
Boolean: NOT(x)⇔ Fuzzy: 1 – x
Pour TRUE/1 et FALSE/0, les expressions floues produisent le même résultat que les expressions booléennes."
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Dans sa revue de l'ouvrage du mathématicien logicien, Petr Hájek, intitulé "Metamathematics of fuzzy loglc". Trends in logic, vol. 4. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, and London, 1998", publiée dans "The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 6, No. 3 (Sep., 2000), 342-346", Francis Jeffrey Pelletier écrit "Au sens strict, la logique floue est une logique à valeurs infinies. Malgré la croyance de nombreux « logiciens flous populaires » selon laquelle Lotfi Zadeh aurait inventé la logique à valeurs infinies en 1965, elle a en fait été étudiée dans les années 1920 et 1930 par Łukasiewicz et Tarski et la logique floue est le développement de la quête historique des logiques à valeur infinie. Toutes les autres présentations de la logique floue commencent par une affirmation comme celle-ci : « Une lettre propositionnelle prend une valeur dans l'intervalle réel [0;1]. Une conjonction de phrases est la valeur minimale de ses conjonctures, tandis qu'une disjonction de phrases est la valeur maximale de ses disjonctures. Une négation est interprétée comme 1 moins la valeur de la composante non niée. » Hájek commence plutôt son exposé sémantique en décrivant une notion très générale d'une fonction de vérité conjonctive,⋆. Elle doit concorder avec la conjonction classique sur les valeurs 0 et 1; elle doit être commutative et associative ; elle doit être non décroissante par rapport aux deux arguments; (1⋆ x) = x et (0 ⋆ x) = 0; et elle doit être une fonction continue sur [0; l] dans [0;1]. La stratégie de Hájek consiste à développer une théorie sémantique pour une logique de base (LB) qui possède juste ce type de conjonction « faible », puis à ajouter diverses restrictions à l’opérateur conjonctif qui généreront une sémantique pour différentes logiques floues. Différentes manières d’ajouter des restrictions à cet opérateur donnent lieu à des « normes t » distinctes, comme les appelle Hájek. Trois restrictions différentes sont envisagées:
- Łukasiewicz : (x⋆ y) = max(0, x + y -1)
- Gödel : (x⋆ y) =min(x, y)
- Goguen : (x⋆ y)=x*y (produit de réels)
Selon ces définitions de la conjonction dans une logique floue, seule la logique de Gödel ressemble à la logique floue telle qu’elle est traditionnellement comprise. « Une lettre propositionnelle prend une valeur dans l’intervalle réel [0; 1]. Une conjonction de phrases est la valeur minimale de ses conjonctures, tandis qu’une disjonction de phrases est la valeur maximale de ses disjonctures. Une négation est interprétée comme 1 moins la valeur de la composante non niée. »
Étant donnée l'une de ces normes t, on peut définir une condition (sémantique), ⇒, comme son résidu de la manière suivante :
(x ⇒y) = le z maximal satisfaisant (x⋆ z)<= y.
En fonction des trois définitions différentes de ⋆ , nous avons trois conditionnelles différentes. Chaque conditionnelle donne la même valeur, à savoir 1, lorsque l'antécédent a une valeur de vérité égale ou inférieure à celle du conséquent, mais elles diffèrent dans les cas où l'antécédent est « plus vrai » que le conséquent :
Si x < y, alors (x⇒ y)=1, sinon :
- Łukasiewicz : (x ⇒ y) = 1- x + y
- Gödel : (x ⇒ y)= y
- Goguen : (x⇒ y) = y/x (division des réels)
Il y a eu et il y a toujours un désaccord dans la communauté de la logique floue sur la définition correcte de la conditionnelle, et nous voyons ici comment trois des conditions utilisées se révèlent être des conséquences du choix de la conjonction. Il existe d'autres suggestions courantes dans la littérature pour l'implication qui ne sont pas générées de cette façon ; certaines d'entre elles sont même simplement à 2 valeurs. Hájek utilise pour définir (—), un opérateur de négation sémantique : (—)x= df (x⇒ 0). Pour nos trois types différents de ⇒, cela donne deux négations :
Łukasiewicz : (—)x = 1 - x
Gödel : (—)x = 1, si x = 0 ; = 0 sinon
Goguen: (—)x = 1, if x = 0; = 0 sinon"
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1) Définitions de l'ensemble pertinent d'opérateurs de logique floue et de ces règles proposées par A. Tserkovny:
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Dans son article intitulé, "Une logique floue à norme t pour le raisonnement approximatif" publié par Dassault Systèmes, Boston, États-Unis. sous la référence, DOI : 10.4236/jsea.2017.107035", Alex Tserkovny écrit:
"Dans notre vie quotidienne, nous faisons souvent des inférences dont les antécédents et les conséquents contiennent des concepts flous. Une telle inférence ne peut pas être faite de manière adéquate par les méthodes qui sont basées soit sur la logique classique à deux valeurs, soit sur la logique à plusieurs valeurs. Afin de faire une telle inférence, Zadeh a suggéré une règle d'inférence appelée « règle compositionnelle d'inférence ». En utilisant cette règle d'inférence, lui, Mamdani, Mizumoto et al., R. Aliev et A. Tserkovny ont suggéré plusieurs méthodes de raisonnement flou dans lesquelles l'antécédent contient une proposition conditionnelle avec des concepts flous :
Ant 1 : Si x est P alors y est Q
Ant 2 : x est P'
---------------------------------- (1.1)
Cons : y est Q'.
Ces méthodes sont basées sur un opérateur d'implication dans diverses logiques floues. Afin de commencer à formuler un opérateur d'implication majeur de logique floue, nous proposons la fonction suivante comme partie de celui-ci :
𝐹₁(𝑝,𝑞)=¬𝑝⋅𝑞=(1−𝑝)⋅𝑞
Définition 1.
Une fonction d'implication est une fonction continue 𝐼 de [0;1]×[0;1] dans [0;1] telle que les propriétés suivantes soient respectées pour ∀𝑝,𝑝′,𝑞,𝑞′,𝑟 ∈ [0,1]:
(I1) Si 𝑝 ≤𝑝′ alors 𝐼(𝑝,𝑞)≥𝐼(𝑝′,𝑞);
(I2) Si 𝑞 ≤𝑞′ alors 𝐼(𝑝,𝑞)≤𝐼(𝑝,𝑞′);
(I3) 𝐼(0,𝑞)=1, (Principe de fausseté) ;
(I4) 𝐼(1,𝑞)≤𝑞 , (Principe de neutralité) ;
(I5) 𝐼(𝑝,𝐼(𝑞,𝑟))=𝐼(𝑞,𝐼(𝑝,𝑟)) , (Principe d'échange) ;
(I6) 𝐼(𝑝,𝑞)=𝐼(𝑛(𝑞),𝑛(𝑝)). (Principe de symétrie contra positive ), où 𝑛(.) est une négation, qui pourrait être définie pour 𝑛(𝑞) comme 𝑇(¬𝑄)=1−𝑇(𝑄).
Avant de prouver que 𝐼(𝑝,𝑞) défini comme 𝐼(𝑝,𝑞)={𝐹1(𝑝,𝑞),𝑝>𝑞;1,𝑝≤𝑞, et 𝐹1(𝑝,𝑞) est issu de satisfait les axiomes (I1)-(I6),
Dans son article intitulé, "Une logique floue à norme t pour le raisonnement approximatif" publié par Dassault Systèmes, Boston, États-Unis. sous la référence, DOI : 10.4236/jsea.2017.107035", Alex Tserkovny écrit:
"Dans notre vie quotidienne, nous faisons souvent des inférences dont les antécédents et les conséquents contiennent des concepts flous. Une telle inférence ne peut pas être faite de manière adéquate par les méthodes qui sont basées soit sur la logique classique à deux valeurs, soit sur la logique à plusieurs valeurs. Afin de faire une telle inférence, Zadeh a suggéré une règle d'inférence appelée « règle compositionnelle d'inférence ». En utilisant cette règle d'inférence, lui, Mamdani, Mizumoto et al., R. Aliev et A. Tserkovny ont suggéré plusieurs méthodes de raisonnement flou dans lesquelles l'antécédent contient une proposition conditionnelle avec des concepts flous :
Ant 1 : Si x est P alors y est Q
Ant 2 : x est P'
---------------------------------- (1.1)
Cons : y est Q'.
Ces méthodes sont basées sur un opérateur d'implication dans diverses logiques floues. Afin de commencer à formuler un opérateur d'implication majeur de logique floue, nous proposons la fonction suivante comme partie de celui-ci :
𝐹₁(𝑝,𝑞)=¬𝑝⋅𝑞=(1−𝑝)⋅𝑞
Définition 1.
Une fonction d'implication est une fonction continue 𝐼 de [0;1]×[0;1] dans [0;1] telle que les propriétés suivantes soient respectées pour ∀𝑝,𝑝′,𝑞,𝑞′,𝑟 ∈ [0,1]:
(I1) Si 𝑝 ≤𝑝′ alors 𝐼(𝑝,𝑞)≥𝐼(𝑝′,𝑞);
(I2) Si 𝑞 ≤𝑞′ alors 𝐼(𝑝,𝑞)≤𝐼(𝑝,𝑞′);
(I3) 𝐼(0,𝑞)=1, (Principe de fausseté) ;
(I4) 𝐼(1,𝑞)≤𝑞 , (Principe de neutralité) ;
(I5) 𝐼(𝑝,𝐼(𝑞,𝑟))=𝐼(𝑞,𝐼(𝑝,𝑟)) , (Principe d'échange) ;
(I6) 𝐼(𝑝,𝑞)=𝐼(𝑛(𝑞),𝑛(𝑝)). (Principe de symétrie contra positive ), où 𝑛(.) est une négation, qui pourrait être définie pour 𝑛(𝑞) comme 𝑇(¬𝑄)=1−𝑇(𝑄).
Avant de prouver que 𝐼(𝑝,𝑞) défini comme 𝐼(𝑝,𝑞)={𝐹1(𝑝,𝑞),𝑝>𝑞;1,𝑝≤𝑞, et 𝐹1(𝑝,𝑞) est issu de satisfait les axiomes (I1)-(I6),
Pour illustrer sa logique floue, A. Tserkovny écrit, "Montrons quelques opérations de base dans la logique floue proposée. Désignons les valeurs de vérité de l'antécédent logique 𝑃 et du conséquent 𝑄 par 𝑇(𝑃)=𝑝 et 𝑇(𝑄)=𝑞 respectivement. Ensuite, l'ensemble pertinent des opérateurs de logique floue proposés est présenté dans le tableau ci-dessous. La logique floue proposée possède un opérateur d’implication qui satisfait le principe et les critères du « modus ponens » qui correspondent à l’intuition humaine. En d'autres termes, nous proposons un nouveau système à valeurs multiples, caractérisé par l'ensemble des opérations d'union de base ( ∪ ) et d'intersection ( ∩ ) avec complément pertinent, défini comme 𝑇(¬𝑃)=1−𝑇(𝑃) . De plus, les opérateurs ↓ et ↑ sont: "
Ensemble pertinent d'opérateurs de logique floue proposés
par A. Tserkovny
Rappelons aussi les règles logiques floues données par A. Tserkovny, que nous complétons éventuellement, comme suit:
"Afin de commencer à formuler un opérateur d'implication majeur de logique floue, nous proposons la fonction suivante comme partie de celui-ci :
𝐹₁(𝑝,𝑞 )= ¬𝑝*𝑞=( 1−𝑝 )*𝑞 (1)
Définition 1.
Une fonction d'implication est une fonction continue 𝐼 de [0; 1]×[0; 1] dans [0; 1] telle que les propriétés suivantes soient respectées pour ∀ 𝑝, 𝑝′, 𝑞, 𝑞′, 𝑟 ∈ [0; 1] :
(I1) Si 𝑝 ≤ 𝑝′ alors 𝐼(𝑝,𝑞) ≥ 𝐼(𝑝′,𝑞);
(I2) Si 𝑞 ≤ 𝑞′ alors 𝐼(𝑝,𝑞) ≤ 𝐼(𝑝,𝑞′) ;
(I3) 𝐼(0,𝑞)=1, (Principe de fausseté) ;
(I4) 𝐼(1,𝑞) ≤ 𝑞 , (Principe de neutralité) ;
(I5) 𝐼(𝑝, 𝐼(𝑞,𝑟))=𝐼(𝑞,𝐼(𝑝,𝑟)), (Principe d'échange) ;
(I6) 𝐼(𝑝,𝑞)=𝐼(𝑛(𝑞),𝑛(𝑝)). (Principe de symétrie contra positive ), ou 𝑛(.) -est une négation, qui pourrait être définie pour 𝑛(𝑞) comme 𝑇(¬𝑄)=1−𝑇(𝑄)
.𝐼(𝑝,𝑞) défini comme 𝐼(𝑝,𝑞)={𝐹₁(𝑝,𝑞), si 𝑝 >𝑞; 1,si 𝑝 ≤ 𝑞, et 𝐹₁(𝑝,𝑞) est issu de (1) satisfait les axiomes (I1)-(I6).
Dans la logique floue proposée, l'opération de conjonction 𝐶𝑜𝑛𝑗(𝑝,𝑞)={𝑝*𝑞, si 𝑝 + 𝑞 >1; 0, si 𝑝 + 𝑞 ≤ 1 est une norme t si les conditions suivantes sont remplies:
1) Commutativité : 𝑝 ∧ 𝑞 = 𝑞 ∧ 𝑝
2) Associativité : (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 =𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
3) Monotonie : 𝑝 ≤ 𝑞, 𝑝 ∧ 𝑟 ≤ 𝑞 ∧ 𝑟
4) Neutralité : 1 ∧ 𝑝 =𝑝
5) Absorption 0 ∧ 𝑝 =0"
2) Associativité : (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 =𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
3) Monotonie : 𝑝 ≤ 𝑞, 𝑝 ∧ 𝑟 ≤ 𝑞 ∧ 𝑟
4) Neutralité : 1 ∧ 𝑝 =𝑝
5) Absorption 0 ∧ 𝑝 =0"
Ci dessus est illustrée la table des valeurs de l'opérateur implication de logique floue proposé par A. Tserkovny sachant que l'ensemble pertinent d'opérateurs de logique floue proposés par A. Tserkovny sont définis dans un système à valeurs multiples, qui est tout ou partie de l'intervalle réel ℜ=[0,1] l'ensemble V11={0; 0.1; 0.2;⋯; 0.9; 1} de 11 valeurs.
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1)' Extension en compréhension de l'expression de la fonction caractéristique à l'ensemble pertinent d'opérateurs de logique floue proposés par A. Tserkovny:
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Table des valeurs de l'opération logique avec l'opérateur logique appelé OU-NON ( NOR, Charles Sanders Pierce's Arrow), et redéfinie par A. Tserkovny en logique floue dans un système à valeurs multiples, appartenant à l'intervalle réel restreint à ℜ=[0,1], soit l'ensemble V₁₁={0; 0.1; 0.2;⋯; 0.9; 1} de 11 valeurs.
L'opération logique avec l'opérateur logique noté ↓ appelé OU-NON, est notée p ↓ q. Elle est aussi exprimée sous forme d'autres connecteurs logiques comme suit:
p ↓ q ≡ ¬ (p ∨ q ) ≡ ¬ p ∧ ¬ q
Puis, après avoir écrit sa définition par extension sous forme d'autres connecteurs logiques de conjonctions et disjonctions, nous écrivons ensuite les conditions d'exécution de cette opération logique notée p ↓ q parmi celles de l'ensemble pertinent d'opérations de logique appliquée à la logique floue selon la définition donnée par A. Tserkovny comme suit:
- ¬ p ≡ 1- p
- p ↓ q ≡ (1- p)*(1- q), si p + q <1;
- p ↓ q ≡ 0, si p + q >=1
Nous obtenons maintenant l'expression de l'opération d'une fonction simple, combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, de l'opération logique définie précédemment et notée p ↓ q comme suit:
p ↓ q ≡ ⌈⌊p + q⌋/(⌊p + q⌋+1)⌉+ (1-⌈⌊p + q⌋/(⌊p + q⌋+1)⌉)*(1- p)*(1- q) (0)
Table des valeurs de l'opération logique de disjonction logique et redéfinie par A. Tserkovny en logique floue dans un système à valeurs multiples, appartenant à l'intervalle réel restreint à ℜ=[0,1], soit l'ensemble V₁₁={0; 0.1; 0.2;⋯; 0.9; 1} de 11 valeurs.
L'opération de disjonction logique est notée p ∨ q dont nous écrivons ensuite les conditions d'exécution parmi d'autres appartenant à l'ensemble pertinent d'opérations de logique floue définies par A. Tserkovny comme suit:
- p ∨ q ≡ p*q, si p + q < 1;
- p ∨ q ≡ 1, si p + q >= 1.
Puis nous obtenons l'expression de l'opération d'une fonction simple, combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, de l'opération logique de disjonction p ∨ q comme suit:
p ∨ q ≡ ⌈⌊p + q⌋/(⌊p + q⌋ + 1)⌉ + (1- ⌈⌊p + q⌋⌉)*p*q (1)
(1)
Table des valeurs de l'opération logique de conjonction et redéfinie par A. Tserkovny en logique floue dans un système à valeurs multiples, appartenant à l'intervalle réel restreint à ℜ=[0,1], soit l'ensemble V₁₁={0; 0.1; 0.2;⋯; 0.9; 1} de 11 valeurs.
L'opération de conjonction logique est notée p ∧ q dont nous écrivons maintenant les conditions d'exécution parmi d'autres appartenant à l'ensemble pertinent d'opérations de logique floue définies par A. Tserkovny comme suit:
- p ∧ q ≡ p*q, si p + q >1;
- p ∧ q ≡ 0, si p + q <=1.
Puis nous obtenons l'expression de l'opération d'une fonction simple, combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, de l'opération logique de conjonction p ∧ q comme suit:
p ∧ q ≡ ⌈⌊p+q⌋/(⌊p+q⌋+1)⌉*p*q -(1-⌈|p+q-1|/(|p+q-1|+1)⌉)*p*q (2)
p ∧ q ≡ p*q-2*(⌈(p*q+1)/2⌉-1) * ( ⌈⌊p+q⌋/(⌊p+q⌋+1)⌉-1+⌈|p+q-1|/(|p+q-1|+1)⌉ ) (2')
Table des valeurs de l'opération logique avec l'opérateur ET-NON (NAND, Sheffer stroke), et redéfinie par A. Tserkovny en logique floue dans un système à valeurs multiples, appartenant à l'intervalle réel restreint à ℜ=[0,1], soit l'ensemble V₁₁={0; 0.1; 0.2;⋯; 0.9; 1} de 11 valeurs.
L'opération logique avec l'opérateur logique noté ↑ et appelé ET-NON, est notée p ↑ q. Elle est aussi exprimée sous forme d'autres connecteurs logiques comme suit:
Puis, après avoir écrit sa définition par extension sous forme d'autres connecteurs logiques de conjonctions et disjonctions, nous écrivons ensuite les conditions d'exécution de cette opération logique notée p ↑ q, parmi celles de l'ensemble pertinent d'opérations de logique appliquée à la logique floue selon la définition donnée par A. Tserkovny comme suit:
- ¬ p ≡ 1- p
- p ↑ q ≡ (1 - p)*(1 - q), si p + q >1
- p ↑ q ≡ 1, si p + q <=1
Nous obtenons maintenant l'expression de l'opération d'une fonction simple, combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, de l'opération logique définie précédemment et notée p ↑ q comme suit:
p ↑ q ≡ ⌈⌊p + q⌋/(⌊p + q⌋ + 1)⌉*(1- p)*(1- q) - (1- ⌈|p + q - 1|/(|p + q - 1|+1)⌉)*(1 - p)*(1 - q)
Table des valeurs de l'opération logique d'implication et redéfinie par A. Tserkovny en logique floue dans un système à valeurs multiples, appartenant à l'intervalle réel restreint à ℜ=[0,1], soit l'ensemble V₁₁={0; 0.1; 0.2;⋯; 0.9; 1} de 11 valeurs.
L'opération de conjonction logique est notée p → q dont nous écrivons maintenant les conditions d'exécution parmi d'autres appartenant à l'ensemble pertinent d'opérations de logique floue définies par A. Tserkovny comme suit:
- p → q ≡ (1- p)*q, si p > q
- p → q ≡ 1 si p <= q
Puis nous obtenons l'expression de l'opération d'une fonction simple, combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, de l'opération logique d'implication p → q comme suit:
p → q ≡ ⌈ (|(1-⌈(p/(q+1-⌈(q/(p+1))/((q/(p+1))+1)⌉)/((p/(q+1))+1)⌉ )| - 1+⌈(p/(q+1))/((p/(q+1))+1)⌉) ) / ((|(1-⌈(p/(q+1-⌈(q/(p+1))/((q/(p+1))+1)⌉)/((p/(q+1))+1)⌉ )| - 1+⌈(p/(q+1))/((p/(q+1))+1)⌉) )+1) ⌉ *(1-p)*q + 1- ⌈ (|(1-⌈(p/(q+1-⌈(q/(p+1))/((q/(p+1))+1)⌉)/((p/(q+1))+1)⌉ )| - 1+⌈(p/(q+1))/((p/(q+1))+1)⌉) ) / ((|(1-⌈(p/(q+1-⌈(q/(p+1))/((q/(p+1))+1)⌉)/((p/(q+1))+1)⌉ )| - 1+⌈(p/(q+1))/((p/(q+1))+1)⌉) )+1) ⌉ - 1+ ⌈(q/(p+1))/((q/(p+1))+1)⌉ + (1-⌈(p/(q+1))/((p/(q+1))+1)⌉) * ( 1-⌈(p/(q+1))/((p/(q+1))+1)⌉)*2-⌈(q/(p+1))/((q/(p+1))+1)⌉ ) - 1+⌈ (p/(q+1))/((p/(q+1))+1) ⌉
Table des valeurs de l'opération logique notée ¬ p ∨ q, et équivalente à l'opération logique d'implication et redéfinie par A. Tserkovny en logique floue dans un système à valeurs multiples, appartenant à l'intervalle réel restreint à ℜ=[0,1], soit l'ensemble V₁₁={0; 0.1; 0.2;⋯; 0.9; 1} de 11 valeurs.
L'opération logique d'implication notée p → q est aussi exprimée sous forme d'autres connecteurs logiques de disjonction et de conjonction, comme suit:
p → q ≡ ¬ p ∨ q ≡ ¬ (p ∧ ¬q)
Puis, après avoir écrit sa définition par extension sous forme d'autres connecteurs logiques de conjonctions et disjonctions, nous écrivons ensuite les conditions d'exécution de cette opération logique d'implication notée p → q ≡ (¬ p) ∨ q, parmi celles de l'ensemble pertinent d'opérations de logique appliquée à la logique floue selon la définition donnée par A. Tserkovny comme suit:
- ¬ p ≡ 1- p
- p → q ≡ (¬ p) ∨ q ≡ (1- p)*q, si 1- p + q <1
- p → q ≡ (¬ p) ∨ q ≡ 1 si p + q >= 1
Nous obtenons maintenant l'expression de l'opération d'une fonction simple, combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, de l'opération logique définie précédemment et notée p → q ≡ (¬ p) ∨ q comme suit:
p → q ≡ (¬ p) ∨ q ≡ ⌈⌊1 - p + q⌋/(⌊1- p + q⌋+1)⌉ + (1-⌈⌊1- p + q⌋⌉)*(1 - p)*q
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ÈÉ⁂⁂⁂
Une norme triangulaire (abréviation t-norm) est une opération binaire T sur l'intervalle [0,1] satisfaisant les conditions suivantes :
T(x,y)=T(y,x) (commutativité)
T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z) (associativité)
y≤z⟹T(x,y)≤T(x,z) (monotonie)
T(x,1)=x (élément neutre 1)
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*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )
∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ