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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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Qu'est-ce que le rang d'une séquence de nombres si ce n'est un nombre ordinal?:
"Le mot «rang» fait référence à plusieurs concepts connexes en mathématiques impliquant des graphiques, des groupes, des matrices, des formes quadratiques, des séquences, la théorie des ensembles, des statistiques et des tenseurs" et qui est définie en considérant tout d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence qui est "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a le rang 0 ou 1, l’élément suivant a le rang 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)" terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme.
Ainsi, "Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts: décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux cardinaux (zéro, un, deux, trois…) et ordinaux (zéroième, premier, deuxième, troisième…) et sont très semblables. Cependant, dans le cas infini, on est amené à distinguer nombre cardinal et nombre ordinal. Si la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure particulière, les ordinaux sont intimement liés à un ordre sur les éléments de cet ensemble, et plus précisément à un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné est un ensemble dans lequel toute partie non vide admet un plus petit élément. Le plus petit élément de l'ensemble peut être numéroté 0, le suivant 1, le suivant 2, etc., mais dès que l'ensemble est infini, une notation adaptée est nécessaire pour désigner judicieusement tous les éléments de l'ensemble. La théorie des ordinaux permet, entre autres, de donner un sens précis à cette numérotation heuristique des éléments d'un ensemble bien ordonné. On
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XI''') APPLICATIONS À LA THÉORIE DES NOMBRES DE LA FONCTION DE RANG CARACTERISTIQUE
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1.1.a) Application de la fonction de rang à l'expression algébrique de Séquences de nombres entiers: La séquence zéro" et la séquence de la fonction caractéristique de {0}
Ci-dessus est la page web de la représentation de la séquence nommée la séquence zéro, avec la nomenclature A00004, sur le site Web O.E.I.S que l'on pourrait en fait considérer comme la fonction indicatrice du rang de xₙ ∈ N*, la séquence des nombres entiers naturels positifs, soit la fonction caractéristique de la fonction rang(xₙ)=n, avec n ∈ N, définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
- 1A(rang(xₙ)=n)=0, si xₙ≠n ou n=1
- 1A(rang(xₙ)=n)=1, si xₙ=n et n≠1
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n) étant définie comme suit:
∀ xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N, 1A(rang(xₙ)=n)=⌊(xₙ/n+n-1)/xₙ⌋-⌊(n*xₙ+n-1)/xₙ⌋-n*⌊(n+1)/n⌋+2*n (1).
Donc par exemple pour x₂=2 la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₂=2)=n=2; tandis que pour x₁=1 la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₁=1)=0 représentée parla séquence {0,0,0,0,0,0,0,0,0…..}, répertoriée comme numéro de séquence "A000004" sur site Web O.E.I.S. , et définie comme "La séquence zéro" de la formule "a (n) = 0 pour tout entier n.".
Donc nous devons considérer que cette expression (1) est imparfaitement généralisée, c'est-à-dire généralisée pour toutes les valeurs de xₙ sans exception, soit pour xₙ₌₁=1, la fonction de rang correspondante devrait rang(xₙ₌₁)=n=1, représentée par la séquence {1,0,0,0,0,0,0,0,0…..}. Intuitivement nous pouvons généraliser l'expression (1) en ajoutant 1 de cette manière, soit la nouvelle fonction caractéristique de la fonction rang(xₙ)=n, avec n ∈ N, définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(rang(xₙ)=n)=0, si xₙ≠n
1A(rang(xₙ)=n)=1, si xₙ=n
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n) étant définie comme suit:
∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N, 1A(rang(xₙ)=n)=⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1) (2). Donc par exemple pour x₂ la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₂)=n=2; pourxₙ₌₁=1, la fonction de rang correspondante rang(xₙ₌₁)=n=1, est représentée par la séquence {1,0,0,0,0,0,0,0,0…..}, et selon la nomenclature du site web O.E.I.S., la séquence "A000007" correspondant à "La fonction caractéristique de {0}, a(n) = 0 ^ n", comme l'illustre la page web du site de l'O.E.I.S. ci-dessous:
Tandis que pour x₀ la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₀)=n=0 représentée par la séquence {0,0,0,0,0,0,0,0,0…..}, répertoriée comme numéro de séquence "A000004" sur le site web O.E.I.S. , et définie comme "La séquence zéro" de la formule "a(n)= 0 pour tout entier n." come illustré précédemment en haut de page.
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1.1.b) Application de la fonction de rang à l'expression algébrique de Séquences de nombres entiers: Number of connected 2-regular simple graphs on n vertices with girth at least x.
Pour illustrer l'application de la fonction caractéristique de rang(xₙ)=n, avec n ∈ N, d'expression (2) précédemment écrite, nous considérons la séquence dont la nomenclature est A185116, sur le site Web "O.E.I.S.", illustrée ci dessus et dont nous élaborons maintenant l'expression par la somme des expressions (2) de la fonction caractéristique de rang de xₙ précédemment définie, soit la somme de la fonction caractéristique de la fonction rang(xₙ)=n et de la fonction de rang(yₙ)=n , avec n ∈ N, définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1) + (∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=0, si yₙ≠n)))=0, si xₙ≠n=1 et yₙ=n<7
1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1) +(∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=1, si yₙ=n)))=1, si xₙ=n=1 et yₙ=n>=7
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(1A(rang(xₙ₌₁))+∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ≥7)=n≥7)) étant définie comme suit:
Soit xₙ₌₁=1, soit yₙ≥7, ∀ n ∈ N, 1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1)+∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ≥7)=n≥7))=
⌊((1+1)/(n+1)+n)/(1+1)⌋-⌊((n+1)*(1+1)+n)/(1+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)+(∑(n=7→n=∞:⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1))=⌊(2/(n+1)+n)/2⌋-⌊((n+1)*2+n)/2⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)+(∑(n=7→n=∞:⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)) (3).
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Nous généraliserons cette expression (3) en généralisant la somme des expressions (3) de la fonction de rang de xₙ et yₙ précédemment définie, soit premièrement l'expression de cette fonction caractéristique de 1A(∑(n=b → n=∞: 1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a)) définie comme suit:
∀ xₙ∈ N et xₙ≤a,∀ a ∈ N*,∀ n ∈ N, 1A(∑(n=1 → n ≤ a :1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a))=(∑(n=1→n≤a:⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)); soit deuxièmement l'expression de cette fonction caractéristique de 1A(∑(n=b → n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n ≥b)) définie comme suit:
∀ yₙ∈ N et yₙ≥b, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N, 1A(∑(n ≥b→ n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n≥ b))=(∑(n ≥b → n=∞:⌊((yₙ+1)/(n+1)+n)/(yₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(yₙ+1)+n)/(yₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)); donc nous obtenons la généralisation de l'expression (3) comme suit:
∀ xₙ∈ N et xₙ≤a, ∀ yₙ∈ N et yₙ≥b, ∀ a ∈ N*,∀ b ∈ N*, avec a<b et b-a>=2; ∀ n ∈ N, 1A(∑(n=1 → n ≤ a: 1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a)) + 1A(∑(n ≥b→ n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n≥ b))=(∑(n=1→n≤a:⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1))+(∑(n ≥b → n=∞:⌊((yₙ+1)/(n+1)+n)/(yₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(yₙ+1)+n)/(yₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)) (3').
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Nous simplifierons la généraliserons de cette expression (3) en simplifiant la somme des expressions (3') de la fonction de rang de xₙ et yₙ précédemment définie, soit premièrement l'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ≤a)) définie comme suit:
∀ xₙ∈ N et xₙ≤a,∀ a ∈ N*,∀ n ∈ N, 1A(∑(n=1 → n ≤ a: 1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a))=⌈n/(xₙ+1)⌉-⌈|n/(xₙ+1)-1|⌉+(1-(xₙ+1)mod(xₙ))*(1-(n+1)mod(n)); soit deuxièmement l'expression de cette fonction caractéristique de 1A(∑(n=b → n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n ≥b)) définie comme suit:
∀ yₙ∈ N et yₙ≥b, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N, 1A(∑(n ≥b→ n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n≥ b))=⌈n/(yₙ+1)⌉-⌈|n/(yₙ+1)-1|⌉+(1-(yₙ+1)mod(yₙ))*(1-(n+1)mod(n)); donc nous obtenons la simplification de la généralisation de l'expression (3') comme suit:
∀ xₙ∈ N et xₙ≤a, ∀ yₙ∈ N et yₙ≥b, ∀ a ∈ N*,∀ b ∈ N*, avec a<b et b-a>=2; ∀ n ∈ N, 1A(∑(n=1 → n ≤ a: 1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a)) + 1A(∑(n ≥b→ n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n≥ b))=⌈n/(xₙ+1)⌉-⌈|n/(xₙ+1)-1|⌉+(1-(xₙ+1)mod(xₙ))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(yₙ+1)⌉-⌈|n/(yₙ+1)-1|⌉+(1-(yₙ+1)mod(yₙ))*(1-(n+1)mod(n)) (4).
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En remplaçant par les valeurs correspondantes dans l'expression (4) pour devenir la formule de la séquence A185116(n) définie sur site O.E.I.S., c'est à dire l'expression de la fonction caractéristique de 1A(1A(rang(xₙ₌₁))+∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ≥7)=n≥7)) définie comme suit, nous obtenons:
1A: E→ {0,1}1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1) + (∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=0, si yₙ≠n)))=0, si xₙ≠n=1 et yₙ=n<7
1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1) + (∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=1, si yₙ=n)))=1, si xₙ=n=1 et yₙ=n>=7
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(1A(rang(xₙ₌₁))+∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ≥7)=n≥7)) étant définie comme suit:
Soit xₙ₌₁=1 , soit yₙ≥7, ∀ n ∈ N, 1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1)+∑(n=7→n=∞:1A(rang(yₙ≥7)=n≥7))=⌈n/(1+1)⌉-⌈|n/(1+1)-1|⌉+(1-(1+1)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(7+1)⌉-⌈|n/(7+1)-1|⌉+(1-(7+1)mod(7))*(1-(n+1)mod(n))=⌈n/2⌉-⌈|n/2-1|⌉+(1-(2)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/8⌉-⌈|n/8-1|⌉+(1-(8)mod(7))*(1-(n+1)mod(n)) (5).
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Nous pouvons reprendre la simplification de la généralisation de l'expression (3') résultant dans l'expression (4) en définissant tout d'abord la nouvelle fonction caractéristique correspondant à l'expression de la séquence illustrée ci-dessus toujours d'après sa représentation sur le site web "O.E.I.S." et nomenclaturé A185115, comme suit:
1A: E→ {0,1}
- (1A(rang(xₙ₌₁)=1)+ (∑(n=6→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=0, si yₙ≠n)))=0, si xₙ≠n=1 et yₙ=n<6
- (1A(rang(xₙ₌₁)=1)+(∑(n=6→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=1, si yₙ=n)))=1, si xₙ=n=1 et yₙ=n>=6
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(1A(rang(xₙ₌₁))+∑(n=6→n=∞: 1A(rang(yₙ≥6)=n≥6)) étant définie comme suit:
∀ xₙ∈ N et xₙ≤a, ∀ yₙ∈ N et yₙ≥b, avec a=1 et b=6, avec 1<6 et 6-2>=2; ∀ n ∈ N, 1A(∑(n=1 → n ≤ 1: 1A(rang(xₙ≤1)=n≤ 1)) + 1A(∑(n ≥6→ n=∞: 1A(rang(yₙ≥6)=n≥ 6))=⌈n/(1+1)⌉-⌈|n/(1+1)-1|⌉+(1-(1+1)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(6+1)⌉-⌈|n/(6+1)-1|⌉+(1-(6+1)mod(6))*(1-(n+1)mod(n))= ⌈n/2⌉-⌈|n/2-1|⌉+(1-(2)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(7)⌉-⌈|n/(7)-1|⌉+(1-(7)mod(6))*(1-(n+1)mod(n)) (6).
Pour illustrer encore l'expression la généralisation de l'expression (3') résultant dans l'expression (4) nous considérons cette fois-ci une opération de soustraction entre deux expressions (4) pour des variable différentes dans une nouvelle fonction caractéristique correspondant à l'expression de la séquence illustrée ci-dessus toujours d'après sa représentation sur le site web "O.E.I.S." et numérotée A185015(n) = A185115(n)-A185116(n), et que nous définissons comme suit: :
1A: E→ {0,1}
- 1A(rang(xₙ₌₌₅)=n=5)=0, si xₙ≠n=5
- 1A(rang(xₙ₌₅)=n=5)=1, si xₙ=n=5
∀ xₙ ∈ N et xₙ≤a, ∀ yₙ ∈ N et yₙ≥b, avec a=1 et b=6, avec 1<6 et 6-2>=2; ∀ n ∈ N,
1A(∑(n=1→ n ≤ 1: 1A(rang(xₙ≤1)=n≤ 1))+1A(∑(n ≥6 → n=∞: 1A(rang(yₙ≥6)=n≥6))-1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1)+∑(n=7→n=∞:1A(rang(yₙ≥7)=n≥7))=(⌈n/2⌉-⌈|n/2-1|⌉+(1-(2)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(7)⌉-⌈|n/(7)-1|⌉+(1-(7)mod(6))*(1-(n+1)mod(n))) - (⌈n/2⌉-⌈|n/2-1|⌉+(1-(2)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/8⌉-⌈|n/8-1|⌉+(1-(8)mod(7))*(1-(n+1)mod(n)))=(⌈n/(7)⌉-⌈|n/(7)-1|⌉+(1-(7)mod(6))*(1-(n+1)mod(n)))-( ⌈n/8⌉-⌈|n/8-1|⌉+(1-(8)mod(7))*(1-(n+1)mod(n)))) (7)
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Cette nouvelle expression (7) peut encore se simplifier en la considérant équivalente en remplaçant par la valeur correspondante de 5 dans l'expression générale de fonction caractéristique de la fonction rang(xₙ)=n, avec n ∈ N, définie comme suit précédemment:
1A: E→ {0,1}1A(rang(xₙ)=n)=0, si xₙ≠n
1A(rang(xₙ)=n)=1, si xₙ=n
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n) étant définie comme suit:
∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N, 1A(rang(xₙ)=n)=⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1) (2).
Donc pour x₅ la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₅)=n=5, et en remplaçant par la valeur correspondante dans l'expression (2), nous obtenons la fonction caractéristique définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(rang(xₙ₌₅)=n=5)=0, si xₙ≠5
1A(rang(xₙ₌₅)=n=5)=1, si xₙ=5
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ₌₅)=n=5) étant définie comme suit:
Soit xₙ₌₅,∀ n ∈ N, 1A(rang(xₙ₌₅)=n=5)=⌊((5+1)/(n+1)+n)/(5+1)⌋-⌊((n+1)*(5+1)+n)/(5+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)=⌊(6/(n+1)+n)/6⌋-⌊((n+1)*6+n)/6⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1) (2')∼(7'), une expression représentée par la séquence {0,0,0,0,1,0,0,0,0…..}, et selon la nomenclature du site web "O.E.I.S.", la séquence A185015(n) correspondant à "La fonction caractéristique de 5" comme l'illustre la page web du site "O.E.I.S." ci-dessus.
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2.1.a) Application de la fonction de rang à l'expression algébrique de Séquences de nombres entiers: la transformation de Euler inversée
Number of partitions of n into parts >= 6.
Cette séquence illustré ci dessus dont la nomenclature est A185326, sur le site Web "O.E.I.S." est la transformation d'Euler de la séquence dont la nomenclature est A185116 sur le site Web "O.E.I.S." soit a(n) = A185226(n) + A185116(n)=A185326(n)
"La transformée d'Euler d'une séquence q est la suite de coefficients de x ^ n, n> 0, dans le développement de Product {n> 0} 1/ (1-x ^ n) ^ q (n). Le terme constant 1 est parfois considéré comme la partie zéro de la transformée d'Euler." Gus Wiseman, Oct 22 2018. Cette dernière séquence dont la nomenclature est A185116 sur le site Web "O.E.I.S."est donc l'inverse de la transformation de Euler nomenclaturée A185326. sur le site Web "O.E.I.S."
Number of disconnected 2-regular simple graphs on n vertices with girth at least 6.
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2.1.b) Application de la fonction de rang à l'expression algébrique de Séquences de nombres entiers: Number of partitions of n into parts >= x, with a(0)=1; for 0<n<x, a(n)=0; for n>=x , a(n)=1.
Number of partitions of n into parts >= 6.
Reprenons cette séquence illustrée ci dessus dont la nomenclature est A185326 sur le site Web "O.E.I.S." et qui est la transformation d'Euler de la séquence dont la nomenclature est A185116 toujours sur le site Web "O.E.I.S.", soit a(n) = A185226(n) + A185116(n)=A185326(n). Son expression est aussi donnée par la formule "a(n) = p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-6) + p(n-7) - p(n-8) - p(n-9) - p(n-10) + p(n-13) + p(n-14) - p(n-15) avec p(n) = A000041(n) qui est le nombre de partitions de n (les nombres de partition )."
"Rappelons qu'en théorie des nombres et en combinatoire , une partition d'un entier positif n , également appelée partition d'entiers , est une manière d'écrire n comme une somme d'entiers positifs. Deux sommes qui ne diffèrent que par l'ordre de leurs sommations sont considérées comme la même partition. (Si l'ordre compte, la somme devient une composition.) Par exemple, 4 peut être partitionné de cinq manières distinctes :
The seven partitions of 5 are:
- 5
- 4 + 1
- 3 + 2
- 3 + 1 + 1
- 2 + 2 + 1
- 2 + 1 + 1 + 1
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1
En théorie des nombres et en informatique , le problème de partition , ou partitionnement des nombres , consiste à décider si un multi-ensemble donné S d'entiers positifs peut être partitionné en deux sous-ensembles S1 et S2 de sorte que la somme des nombres dans S1 soit égale à la somme de les nombres en S2. Étant donné S = {3,1,1,2,2,1}, une solution valide au problème de partition est les deux ensembles S1 = {1,1,1,2} et S2 = {2,3}. Les deux ensembles totalisent 5 et ils partitionnent S. Notez que cette solution n'est pas unique. S1 = {3,1,1} et S2 = {2,2,1} est une autre solution.
Tous les multi-ensembles d'entiers positifs n'ont pas une partition en deux sous-ensembles de somme égale. Un exemple d'un tel ensemble est S = {2,5}." translated from HandWiki Partition (number theory)
∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ