Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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Une forme symétrique (A) et une autre asymétrique (B) asymétrique: Qui n’est pas superposable à son image prise dans un miroir plan. Extrait de "Wiktionnaire", le dictionnaire libre.
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I) LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'ANNULATION ASYMÉTRIQUE
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1.1) La fonction caractéristique d'annulation asymétrique multiple particulière
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Nous développons maintenant, l'expression de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique multiple particulière, car si précédemment l'expression d'une fonction d'annulation caractéristique asymétrique multiple générale correspondait à une quantité de formes asymétriques multiples mais d'un seul type seulement, ce qui est un cas général et justifie le sous-titre précédent, cette fois ci la quantité de formes asymétriques est soit égale à deux, soit égale à trois, ce qui correspond bien à un cas particulier, justifiant ainsi le présent sous-titre.
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1.1.a) L'expression de la fonction caractéristique d'annulation asymétrique double
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Précédemment les segments de valeurs nulles et de valeurs non nulles, étaient disposés dans les exemples des représentations de leurs expressions correspondantes à la fonction d'annulation caractéristique asymétrique multiple tel que le résultat de l'opération sur les variables a-b n'était pas égal au nombre de valeurs nulles, tandis que nous considérons maintenant les expressions telles que le résultat de l'opération sur les variables a-b est égal au nombre de valeurs nulles, et nous développons donc ce type de fonction d'annulation caractéristique multiple qui est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A((mod(n-1,a)+1))=1, si b-a<(mod(n-1,a)+1)<=a
1A((mod(n-1,a)+1)=0, si b-a>=(mod(n-1,a)+1)>a
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=mod(n-1,a-1)+1 (1), peut se définir comme suit:
∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A((mod(n-1,a)+1))=1-⌊mod(mod(n,-a)+b-1,mod(-n, a)+b-1)/(2*(b-1))⌋ (2).
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Considérons l'exemple suivant de a=12 et b= 5, en remplaçant dans l'expression précédente (2) nous obtenons la définition de la fonction caractéristique précédente appliquée à nos valeurs comme suit:
Soit a=12 et b=5, ∀ n∈ N*: 1A((mod(n-1, 12)+1))=1-⌊mod(mod(n,-12)+5-1,mod(-n, 12)+5-1)/(2*(5-1))⌋ (2'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S'=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1.....); et nous observons la double asymétrie longue de la forme de cette représentation avec une série de deux segments asymétriques de valeur de 0 et de 1 de quantité respectivement égale à a-b=7 et b=5 pour chacune des valeurs de 0 et 1, et constitutif de la première et deuxième asymétrie respectivement.
La fonction d'annulation correspondante de SeqA noté Null(SeqA) illustrée par l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199
1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), correspond à une opération de multiplication de xₙ ∈ SeqA par l'expression (2') représentée par S'=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1.....), dont nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA suivante:
Null(SeqA)=xₙ*(1-⌊mod(mod(n,-12)+5-1,mod(-n, 12)+5-1)/(2*(5-1))⌋) (2"), représentée par la séquence notée SeqNull(SeqA) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,60,555,199,1244,1244,0,0,0,0,0,0,0,585, 742,1140,177,388,0,0,...).
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Nous développons maintenant, une autre expression de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique multiple particulière, mais dont les segments de valeurs nulles et de valeurs non nulles, ne sont plus de quantités de valeurs respectives égale à a-b et égale à b, car cette fois ci les variables a et b sont telles que b=a+1, et dont l'expression de ce type de fonction est comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(mod(n-1,a+b-1)+1)=1, si (mod(n-1,a+b-1)+1)>=a
1A(mod(n-1,a+b-1)+1)=0, si (mod(n-1,a+b-1)+1)<a-1
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=mod(n-1,a+b-1)+1 (3), peut se définir comme suit:
∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A((mod(n-1,a+b-1)+1))=1-⌈((((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2)*n-((-mod(-(((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2)*n)-1,(((1+1/a*(mod(n₊₁+a-1,2*a)-mod(n₊₁-1,2*a)))/2)*n₊₁)*(((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2)*n)+1)+mod(-((1+1/a*(mod(n₊₁+a-1,2*a)-mod(n₊₁-1,2*a)))/2)*n₊₁-1,(((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2)*n)*(((1+1/a*(mod(n₊₁+a-1,2*a)-mod(n₊₁-1,2*a)))/2)*n₊₁)+1)+((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2))*n))/((((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2)*n-((-mod(-(((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2)*n)-1,(((1+1/a*(mod(n₊₁+a-1,2*a)-mod(n₊₁-1,2*a)))/2)*n₊₁)*(((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2)*n)+1)+mod(-((1+1/a*(mod(n₊₁+a-1,2*a)-mod(n₊₁-1,2*a)))/2)*n₊₁-1,(((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2)*n)*(((1+1/a*(mod(n₊₁+a-1,2*a)-mod(n₊₁-1,2*a)))/2)*n₊₁)+1)+((1+1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2))*n))+1)⌉ (4).
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Considérons l'exemple suivant des valeurs de a=10 et de b=11, et en remplaçant dans l'expression précédente (4) nous obtenons la définition de la fonction caractéristique précédente appliquée à nos valeurs comme suit:
Soit a=10 et b=11, ∀ n∈ N*: 1A((mod(n-1, 10+11-1)+1))=1-⌈((((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n-((-mod(-(((1+1/a*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)-1,(((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁)*(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)+1)+mod(-((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁-1,(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)*(((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁)+1)+((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2))*n))/((((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n-((-mod(-(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)-1,(((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*a)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁)*(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)+1)+mod(-((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁-1,(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)*(((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁)+1)+((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2))*n))+1)⌉ (4'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S''=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1.....); de même que précédemment la fonction d'annulation de SeqA, notée Null(SeqA) illustrée par l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199
1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), correspond à une opération de multiplication de xₙ ∈ SeqA par l'expression (4') représentée par S'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1.....), dont nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA suivante:
Null(SeqA)=xₙ*(1-⌈((((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n-((-mod(-(((1+1/a*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)-1,(((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁)*(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)+1)+mod(-((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁-1,(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)*(((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁)+1)+((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2))*n))/((((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n-((-mod(-(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)-1,(((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*a)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁)*(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)+1)+mod(-((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁-1,(((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2)*n)*(((1+1/10*(mod(n₊₁+10-1,2*10)-mod(n₊₁-1,2*10)))/2)*n₊₁)+1)+((1+1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2))*n))+1)⌉) (4"), représentée par la séquence notée SeqNull(SeqA) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,0,199,1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,16,804,0,0,0,0,0,0,0...).
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1.1.b) L'expression de la fonction caractéristique d'annulation asymétrique triple
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Dans l'expression que nous développerons d'une fonction caractéristique équivalente à la fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple, nous considèrerons, soit la première variable a=b+1 choisie déterminant le rang de la première valeur non annulée, et soit la deuxième variable b=a-1 choisie, déterminant le nombre de valeurs non annulées de n'importe quelle séquence de nombres, et qui est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A( ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) )=1, si ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)=01A(((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋))=0, si ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)≠0.
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) (5), peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋))=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6).
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Par exemple pour a=10 et b=9, cette fonction indicatrice peut se définir comme suit:
Soit a=10 et b=9, ∀ n∈ N*: 1A( ((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋-(n+1)/10+(n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋)*((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-9),mod(-n, 10)+(10-9))/(2*((10-9)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6'); elle est représentée par la suite de nombres S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1.....) et nous observons la triple asymétrie courte de la forme de cette représentation avec une première série longue seulement de deux segments symétriques de valeur de 0 et de 1 de quantité égale à b=9 pour chacune des valeurs de 0 et 1, et constitutif de la première symétrie dite courte, suivit d'une série de valeur 0 équidistant de a=10 donc suivit d'une série de valeur 1 de quantité égale à b=9, et constitutif de la deuxième et troisième asymétrie.
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Ainsi n'importe quelle suite de nombre que nous notons SeqA multipliée par cette fonction caractéristique sera modifiée par l'annulation des valeurs de cette suite SeqA dont le rang est égal au rang des valeurs nulles de la fonction caractéristique, ce qui correspond au processus de la fonction d'annulation de segment de SeqA noté Null(SeqA) avec SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499, 16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), correspond à une opération de multiplication de xₙ ∈ SeqA par l'expression (6') représentée par S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1.....), dont nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA, comme suit:
Null(SeqA)=xₙ*(⌊mod(mod(n,-10)+(10-9),mod(-n, 10)+(10-9))/(2*((10-9)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) représentée par la séquence notée SeqNull(SeqA) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,199,1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,0,804,585,742,1140,177,388,1091,1067).
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Au-delà du cas particulier précédent des variables a=b+1, de la fonction caractéristique d'annulation asymétrique triple, nous considérons maintenant le cas de la valeur des variables a et b telles que a>b+1, et nous obtenons cette fois ci encore le rang de la première valeur non annulée égale à la valeur de la variable a, donc inversement le nombre de valeurs annulées dans un premier segment de valeur de la séquence représentant la fonction caractéristique égale à a-1, tandis que le nombre de valeurs annulées après le premier segment de valeur non annulée suivant ce premier segment de valeurs annulées au nombre de a-1, est maintenant égale à a-b, mais l'expression de la fonction caractérisée donnée précédemment comme étant a(n)=((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) (5) est maintenant changée, et la nouvelle expression de la fonction caractérisée qui remplace aussi la précédente pour le cas de a=b+1 est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉)=1, si (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉<b ∨ (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉=a
1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉)=0, si b<=(mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉<a ∨ (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉=0
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultants de la fonction caractérisée dont l'expression est a(n)=(mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉ (7) supérieurs ou égaux à b ou strictement inférieurs à b, peut se définir comme suit:
Soit a>b+1, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, 1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉)=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6). La formule de l'expression de la fonction caractéristique restant donc inchangée.
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Prenons un nouvel exemple soit les valeurs des variables a=10 et b=7, en remplaçant dans l'expression de la fonction caractérisée on obtient a(n)=(mod(n-1, 10)+1)*⌈⌊n/10⌋/(⌊n/10⌋+1)⌉
(7'), représentée par la séquence Seq(mod(n-1, 10)+1)*⌈⌊n/10⌋/(⌊n/10⌋+1)⌉)=SeqB=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
10,1,2,3...); l'expression de la fonction caractéristique correspondant à notre exemple est donc définie comme suit:
Soit a=10 et b=7, ∀ n ∈ N*: 1A( ((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋-(n+1)/10+(n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋)*((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-7),mod(-n,10)+(10-7))/(2*((10-7)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1.....); de même que précédemment la fonction d'annulation de segment de SeqA, noté Null(Sgmtval(SeqA)) illustrée par l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199
1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), correspond à une opération de multiplication de xₙ ∈ SeqA par l'expression (6') représentée par S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1.....), dont nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA comme suit:
Null(Sgmtval(SeqA))=xₙ*(⌊mod(mod(n,-10)+(10-7), mod(-n, 10)+(10-7))/(2*((10-7)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) représentée par la séquence notée SeqNull(Sgmtval(SeqA)) ou SeqA''= (0,0,0,0,0,0,0,0,0,199,1244,1244,1244,57,138,250,0,0,0,804,585, 742,1140,177,388,1091,0…).
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Nous remarquerons que pour développer l'expression particulière de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple, pour les valeurs de variables telles que a>b +1, une définition utilisant les variables a et b plus visiblement car plus simple et mettant en valeur les deux variables mieux que précédemment est comme suit:
1A: E→ {0,1}1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=1, si 0<(mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)<=b1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=0, si (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)>b ∨ (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)=0.
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)) (8), peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6). L'expression obtenue de cette nouvelle fonction caractérisée reste donc inchangée.
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a(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)⌉-⌈n/(a+1)[|⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+b)-1)|⌉-⌈n/(a+1+b)⌉+1)))
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