44.1: 2'A XIII FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS ENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES: La fonction simple d'opération ensembliste séquentielle d'inclusion

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"Un diagramme d'Euler est un moyen de représentation schématique des ensembles et des relations en leur sein. La première utilisation des « cercles Eulériens » est communément attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783). Ils sont étroitement liés aux diagrammes de Venn. Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d'Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d'inclusion ou d'exclusion dans chacun des ensembles. Les diagrammes de Venn et d'Euler ont été incorporés à l'enseignement de la théorie des ensembles dans le cadre des mathématiques modernes dans les années 1960.

Les diagrammes d'Euler sont constitués de simples courbes fermées (habituellement des cercles) dans le plan qui représentent les ensembles. Les tailles ou formes des courbes ne sont pas importantes : la signification du diagramme est dans la façon dont les cercles se chevauchent. Les relations spatiales entre les régions délimitées par chaque courbe correspondent aux relations théoriques à ensembles (intersection, sous-ensembles et disjonction). Chaque courbe d'Euler divise le plan en deux régions ou « zones » : l'intérieur, ce qui représente symboliquement les éléments contenus dans l'ensemble, et l'extérieur, qui représente tous les éléments qui ne sont pas membres de l'ensemble. Les courbes dont les zones intérieures ne se coupent pas représentent des ensembles disjoints. Deux courbes dont les zones intérieures se croisent représentent des ensembles qui ont des éléments communs ; la zone à l'intérieur de deux courbes représente l'ensemble des éléments communs aux deux ensembles (l'intersection des ensembles). Une courbe qui est entièrement contenue à l'intérieur de la zone intérieure d'une autre représente un sous-ensemble de celle-ci.

Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d'Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d'inclusion ou d'exclusion dans chacun des ensembles. Les régions qui ne font pas partie de l'ensemble sont indiquées par la couleur noire, contrairement aux diagrammes d'Euler, où l'appartenance à l'ensemble est indiquée par le chevauchement ainsi que la couleur. Lorsque le nombre d'ensembles devient supérieur à 3, un diagramme de Venn devient visuellement complexe, en particulier par rapport au diagramme d'Euler correspondant."Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne.

"Soit trois ensembles :
A={1,2,5}
B={1,6}
C={4,7}
Les diagrammes de Venn et d'Euler de ces ensembles sont:

Diagramme de Venn

Diagramme d'Euler"Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne.

I) LES FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLE ÉLÉMENTAIRES:

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1.1.b) La fonction simple d'opération ensembliste séquentielle
d'inclusion :

"A est inclus dans B, noté A ⊂ B (ou A ⊆ B)."

Si {A} et {B} sont deux sous-ensembles de {X} alors {A} ⊆ {B} ⇔ 1A({A}) ≤ 1A({B})

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"En mathématiques, l’inclusion est une relation d'ordre entre ensembles. On dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sont aussi éléments de B. On dit dans ce cas que A est un sous-ensemble ou une partie de B, ou encore que B est sur ensemble de A. Cette relation n'est pas symétrique a priori, car il peut y avoir des éléments du deuxième ensemble qui n'appartiennent pas au premier. Plus précisément, il y a inclusion dans les deux sens entre deux ensembles si et seulement si ces deux ensembles sont égaux.

Soit deux ensembles A et B. Par définition, A est inclus (au sens large) dans B si tout élément de A est un élément de B, A est inclus (au sens strict) dans B si de plus A ≠ B. L'inclusion se note majoritairement avec le symbole « ⊂ » introduit par Schröder, même si d'autres auteurs réservent ce symbole à l'inclusion stricte (c'est-à-dire excluant le cas d'égalité). L'inclusion au sens large peut alors être notée avec le symbole « ⊆ » de Felix Hausdorff, par analogie avec les symboles de comparaison numériques. Pour lever l'ambiguïté, l'inclusion stricte peut aussi être notée « ⊊ », à ne pas confondre avec la négation de l'inclusion, qui se note « ⊄ » ou « ⊈ ». Tous ces symboles peuvent être réfléchis pour représenter les relations réciproques."Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne.

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"C est un sous-ensemble, mais pas un sous-ensemble strict de B."

"A est un sous-ensemble strict de B"
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En notation symbolique, l’inclusion au sens large est notée ⊆ ou ⊂ ; par définition (« ⇒ » désigne l'implication logique) :

A ⊆ B signifie ∀ x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ).

On peut aussi définir l'inclusion au sens large à partir de l'intersection ou de la réunion :

A ⊆ B si et seulement si A ∩ B = A ;
A ⊆ B si et seulement si A ∪ B = B.

L'inclusion au sens strict est la relation qui s'établit entre deux ensembles lorsque le premier inclut le second et non l'inverse. Elle est notée ⊂ qui est le symbole de l'inclusion stricte.

Un sous-ensemble A d'un ensemble E peut être défini par sa fonction caractéristique :

χA: E → { 0, 1 }, définie par : χA(x) vaut 1 si x est élément de A, et 0 sinon :
∀ x ∈ E [ χA(x)=1⇔ x∈ A ] et donc χA(x) étant à valeurs dans {0, 1}
∀ x ∈ E [ χA(x)=0 ⇔ x ∉ A ]
Réciproquement toute fonction χ de E dans {0, 1} définit un sous-ensemble de E qui est { x ∈ E | χ(x) = 1}. On a donc une correspondance bijective entre les sous-ensembles de E et les fonctions de E dans {0, 1}, c'est-à-dire entre P(E) et { 0, 1}^E.

L'ensemble vide est l'ensemble qui n'a pas d'éléments, et on le note Ø.

Proposition (ensemble vide). L'ensemble vide est sous-ensemble de tout ensemble, c'est-à-dire que pour tout ensemble A: ∅ ⊆ A"
Proposition (réflexivité). Tout ensemble est inclus dans lui-même, c'est-à-dire que pour tout ensemble A: A ⊆ A. On dit que l'inclusion est une relation réflexive". Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne.

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Rappelons tout d'abord ce que nous avons écrit au début du sous-titre précédent que "En théorie des ensembles classique, une partie A d'un ensemble U est usuellement associée à sa fonction caractéristique. Celle-ci s'applique sur les éléments y de U. Elle prend la valeur 0 si y n'appartient pas à A et 1 si y appartient à A", et donc si nous conserverons par convention cette définition de l'opération ensembliste séquentielle d'appartenance d'un élément à un ensemble ainsi que plus précisément cette définition sous la forme des nouvelles expressions arithmétiques dont il résulte des expressions numériques calculables de l'appartenance d'un seul élément comparé à un seul autre élément de cet ensemble puis comparé à tous les autres éléments de cet ensemble, alors intuitivement cette définition de l'opération ensembliste séquentielle d'appartenance nous permet de considérer que plusieurs opérations ensemblistes séquentielles d'appartenance de plusieurs éléments pourraient être considérées comme une combinaison linéaire correspondante à l'opération ensembliste séquentielle d'inclusion que l'on pourrait ainsi définir tout comme étant une série d'opérations ensembliste séquentielle d'appartenance de plusieurs éléments d'un ensemble à valeurs dans une suite de nombres, et finalement plus précisément donc l'opération ensembliste séquentielle d'inclusion pourrait être définie comme une opération ensembliste séquentielle exhaustive et simultanée d'appartenance de tous les éléments d'un ensemble de variables à valeur choisie à un autre ensemble d'éléments.

Mais il semble que cette définition de l'opération ensembliste séquentielle d'inclusion ne corresponde qu'à celle de "l'inclusion dans les deux sens entre deux ensembles si et seulement si ces deux ensembles sont égaux.", c'est-à-dire l'inclusion au sens large, "soit deux ensembles A et B. Par définition, A est inclus (au sens large) dans B si tout élément de A est un élément de B", alors il nous restera à décrire à quoi correspond l'opération ensembliste séquentielle d'inclusion au sens strict soit "A est inclus (au sens strict) dans B si de plus A ≠ B.", ce qui correspond à l'égalité de quelques éléments entre deux ensembles dont le nombre d'éléments sont différent ou bien que les éléments d'un ensemble sont compris dans les éléments d'un deuxième ensemble par une relation arithmétique entre les valeurs des éléments des deux ensembles, le cas par exemple d'une superposition de translation de mouvement séquentiel. Mais dans les deux cas de définition considérée de l'inclusion au sens large ou au sens strict, il sera possible d'utiliser l'expression de la fonction simple d'opération ensembliste séquentielle d'appartenance appliquée à un élément ou à plusieurs éléments simultanément d'un ensemble d'une suite de nombres. Or si nous savons éliminer les éléments répétés lorsque nous effectuons l'opération ensembliste séquentielle d'appartenance nous pourrions maintenant définir une expression permettant de déterminer cette appartenance de plusieurs éléments simultanément comme nous l'avons déjà fait pour tous les éléments de l'ensemble d'appartenance simultanément, mais appliqué à l'appartenance d'une seule valeur. Donc nous déterminerons d'abord l'expression (1) de la fonction simple de comparaison de taille d'éléments d'un ensemble d'une séquence de nombres, qui ne correspond pas seulement à l'expression de la fonction simple du cardinal d'un ensemble, mais aussi correspond à l'expression de la fonction simple de comparaison des valeurs d'index de position de terminaison de début et de fin de séquence de nombres permettant ainsi de déterminer quel type d'opération ensembliste séquentiel d'inclusion doit être appliquée, soit l'inclusion au sens large ou au sens strict. Ensuite nous déterminerons l'expression (2) de l'opération ensembliste séquentielle correspondant aux éléments d'un premier ensemble compris dans les éléments d'un deuxième ensemble par une relation arithmétique entre les valeurs des éléments des deux ensembles, dans le cas par exemple d'une superposition de translation de mouvement séquentiel. Ensuite nous finirons par déterminer l'expression (3)

d'interversion d'un ou de plusieurs éléments d'un ensemble d'une suite de nombres dans l'opération ensembliste séquentielle d'inclusion testant leur appartenance à un autre ensemble d'éléments d'une suite de nombre.

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"A est inclus dans B, noté A ⊂ B (ou A ⊆ B)."

Si {A} et {B} sont deux sous-ensembles de {X} alors {A} ⊆ {B} ⇔ 1A({A}) ≤ 1A({B})

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Pour déterminer "Si {A} et {B} sont deux sous-ensembles de {X} alors {A} ⊆ {B} ⇔ 1A({A}) ≤ 1A({B})", nous devons donc déterminer la première des trois expressions mentionnées ci-dessus, soit l'expression (1) de la fonction simple caractéristique de segmentations de l'ensemble des éléments par exemple algébriquement de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*, dont l'expression est notée 1A(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})), avec yᵢ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m;

k; r}) ↔ w=yᵢ ∨ z=yᵢ ∨ q=yᵢ ∨ d=yᵢ ∨ g=yᵢ ∨ j=yᵢ ∨ l=yᵢ ∨ m=yᵢ ∨ k=yᵢ ∨ r=yᵢ, et dont nous avons déjà écrit l'expression comme étant équivalente à la fonction caractéristique des valeurs non nulles de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) soit les éléments xᵢ=1 ou xᵢ=0 avec xᵢ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ↔ xᵢ ∈ ({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₐ₊₁; yᵢ₌ₚ] | xᵢ=

1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ xᵢ=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉=0 }), éléments de la séquence SeqAᵢ₌ₐ₊ₚ incluent dans les éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) qui est notée 1A(SeqAᵢ₌ₐ₊ₚ= ({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉})) =

(⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (1), alors nous devons encore déterminer les valeurs des variables a et p de l'expression (1), qui sont des valeurs correspondantes aux calculs numériques des expressions des deux fonctions simples d'index de terminaisons séquentielles, la première fonction étant notée INDEXINTERMFNL(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})), c'est-à-dire l'indexe de position de la terminaison de fin de la sous suite d'éléments de la séquence Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) tous de valeurs nulles (représentées par l'acronyme NL ajouté à INDEXINTERMF), donc une fonction donnant la valeur de la variable a de l'indexe interne de position du dernier élément à valeur nul précédent la série de valeurs nulles suivant la première valeur nulle de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ), et donc ici dans notre exemple algébrique, a=0; la deuxième fonction simple dont nous devons écrire l'expression est notée INDEXINTERMFNNL(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})), c'est-à-dire l'indexe de position de la terminaison de fin de la sous suite d'éléments de la séquence Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) tous de valeurs non nulles (représentées par l'acronyme NNL ajouté à INDEXINTERMF), donc une fonction donnant la valeur de la variable p de l'indexe interne de position du dernier élément à valeur non nul précédent la série d'éléments aussi à valeurs non nulles suivant la dernière valeur nulle de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ), et donc ici dans notre exemple algébrique, cette fonction à pour résultat la valeur p d'indexe interne de position du dernier élément à valeur non nul précédent la série de valeur non nulle suivant la dernière valeur nulle de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) suivant elle-même la première valeur nulle et début de la séquence de nombres, soit encore dans notre exemple algébrique, p=10, et dont l'expression de la fonction caractéristique de segmentations de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})

est 1A(SeqAᵢ₌ₚ₋ₐ₌ₚ = ({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}))=(⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) est 1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₀]))=(⌈|n/(0+10+1)-1|⌉-⌈n/(0+10+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) (1), représentée par la séquence, SeqAᵢ₌₁₀=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1). Or nous constatons que l'opération de sommation des valeurs des éléments de cette fonction caractéristique aussi une fonction simple ensembliste séquentielle, est en fait égale à la fonction ensembliste séquentielle de cardinalité après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], et que nous définissons donc comme l'expression du cardinal qui est la somme des éléments de cette fonction caractéristique de segmentations, qui sont définies de la façon suivante:

Soit toujours avec notre exemple algébriquement de yᵢ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})

⊆ R*, avec, ∀ xᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₐ₊ₚ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇; xᵢ₌₈; xᵢ₌₉; xᵢ₌₁₀) ⊆ {1} ↔ SeqAᵢ₌ₐ₊ₚ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉} ⊆ SeqXᵢ₌∞={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∨ xᵢ =1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉} avec ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌∞=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1; et avec a=card( SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ ⊆ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊ₚ; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ INDEX(xᵢ=0) < INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ de valeur 0 et dont l'indexe de position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ de valeur 1; avec p=card( SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ ⊆ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}), c'est-à-dire que la valeur de la variable p+a correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ de valeur 1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1 appartenant à SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ ⊆ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ), et de valeur d'indexe de position a+1.

Alors l'expression de la fonction simple du cardinal de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) correspondant à la somme des valeurs des éléments de la fonction simple de segmentation caractéristique de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*, et dont les deux paramètres principaux, a et p sont déterminés par le résultat du calcul l'expression de la fonction simple d'index de terminaison séquentielle du premier et dernier élément de l'ensemble d'une séquence de nombres et sont définies si nous connaissons l'expression de la fonction simple d'opération ensembliste séquentielle de cardinal comme étant égal à Card( Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) =({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) = Card( SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉})) ∪ Card( SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉})) =∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ]=p-a=p, (1), avec a=0 car il n'y a pas d'élément nul précédent le premier élément non nul de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ). Mais si nous ne connaissons pas nécessairement la valeur de p et la valeur de a, par contre nous connaissons éventuellement seulement la valeur algébrique et non pas numérique des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ⊆ R*, nous permettant néanmoins de réécrire l'expression (1) de la fonction simple de l'opération ensembliste séquentielle de cardinal de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) comme étant définie comme suit:

Card(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({y ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁<= y⋆*⋆xᵢ=y⋆*⋆1ᵢ=yₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ}))=⌈|wᵢ₌ₐ₊₁|/(|wᵢ₌ₐ₊₁|+1)⌉+⌈|zᵢ₌ₐ₊₂|/(|zᵢ₌ₐ₊₂|+1)⌉+⌈|qᵢ₌ₐ₊₃|/(|qᵢ₌ₐ₊₃|+1)⌉+⌈|dᵢ₌ₐ₊₄|/(|dᵢ₌ₐ₊₄|+1)⌉+

⌈|gᵢ₌ₐ₊₅|/(|gᵢ₌ₐ₊₅|+1)⌉+⌈|jᵢ₌ₐ₊₆|/(|jᵢ₌ₐ₊₆|+1)⌉+⌈|lᵢ₌ₐ₊₇|/(|lᵢ₌ₐ₊₇|+1)⌉+⌈|mᵢ₌ₐ₊₈|/(|mᵢ₌ₐ₊₈|+1)⌉+⌈|kᵢ₌ₐ₊₉|/(|kᵢ₌ₐ₊₉|+1)⌉+⌈|rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|/(|rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|+1)⌉=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10, avec les valeurs d'indice a=0, car il n'y a pas d'élément nul précédent le premier élément non nul de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) algébriquement égal à yᵢ=w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁, et p=10 la valeur d'indice xᵢ₌ₚ correspondant à l'indexe de position du dernier élément non nul de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) (3).

Remarquons que l'expression du cardinal de n'importe quel ensemble d'éléments d'une séquence de nombres non nuls après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], est définie comme suit:

1A: N→ {0, 1}:

1A(yₙ)=1, si yₙ ∈ Seq(AUA'ᵢ₌ₐ₊ₚ₊∞) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(AUA'ᵢ₌ₐ₊ₚ₊∞) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments yₙ≠0 de Seq(AUA'ᵢ₌ₐ₊ₚ₊∞) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ ) est définie comme suit:

∀ yᵢ₌ₙ ∈ Seq(AUA'ᵢ₌ₐ₊ₚ₊∞)=({wᵢ₌ₐ₊₁; z₌ₐ₊₂; q₌ₐ₊₃; dᵢ₌ₐ₊₄; gᵢ₌ₐ₊₅; jᵢ₌ₐ₊₆; lᵢ₌ₐ₊₇; mᵢ₌ₐ₊₈; kᵢ₌ₐ₊₉; rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ; ......ωᵢ₌∞}), avec w≠0, z≠0, q≠0, d≠0, g≠0, j≠0, l≠0, m≠0, k≠0, r≠0,...........ωᵢ₌∞≠0:

Card( Seq(AUA'ᵢ₌ₐ₊ₚ₊∞)=({wᵢ₌ₐ₊₁; z₌ₐ₊₂; q₌ₐ₊₃; dᵢ₌ₐ₊₄; gᵢ₌ₐ₊₅; jᵢ₌ₐ₊₆; lᵢ₌ₐ₊₇; mᵢ₌ₐ₊₈; kᵢ₌ₐ₊₉; rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ; ......ωᵢ₌∞})) =∑ n=1→n=∞: [(1A(yₙ))]=∑ n=1→n=∞: [(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉)] (4)

∴

Donc nous avons montré précédemment l'utilité des expressions des fonctions spéciales d'index de position interne que sont les fonctions d'index de terminaison de début et de fin de valeur nulle ou non nulle, c'est à dire de la première valeur non nulle ou de la dernière valeur nulle du début d'une séquence égale à la valeur de la variable a dans l'expression (1), ou de la dernière valeur non nulle toujours du début de séquence égale à la valeur de la variable p toujours dans l'expression (1), même si trivialement la valeur de l'indexe de position du premier élément non nul de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*, et donc la valeur de la valeur de la variable a de l'index de position précédent est égale à a=1-1, car nous devons néanmoins considérer le cas possible, que nous aborderons au paragraphe suivant, d'une autre séquence de nombres dont le premier élément est de valeur 0 suivit d'un grand nombre de valeurs aussi égales à 0, et donc nous devons écrire l'expression nous permettant de déterminer qu'elle est la valeur de l'indexe interne de position du premier élément non nul appartenant à Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) que nous avons notée comme une recombinaison lexicologique des deux notations de forme abréviatives de l'indexe de position interne INDEXINT et de l'indexe de terminaison de début, INDEXINTERMD, en une seule c'est-à-dire la notation INDEXINTERMDNNL, et pour ce faire soit [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] et yᵢ telle que yᵢ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁ <= yᵢ⋆*⋆xᵢ=y⋆*⋆1ᵢ =yₙ <= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ})) ⊆ R*, et soit l'indice ₙ de yₙ tel que ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*, alors l'opération de multiplication de la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle notée INDEXINTERMDNNL(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) par la valeur de l'index de position non interne correspond, soit nᵢ , correspond à la valeur a+1 d'indexe de position du premier élément à valeur non nul précédent la série de valeur nulle suivant la première valeur nulle de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ), et l'expression de la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle de début non nulle que j'ai notée INDEXINTERMDNNL(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})), est définie de la façon suivante:

∀ yᵢ₌ₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R* et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1:

INDEXINTERMDNNL(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) ↔

↔ INDEXINTERMDNNL(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁ <= yᵢ⋆*⋆xᵢ=yᵢ⋆*⋆1ᵢ=yₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ ∧ yᵢ≠0 ∧ yᵢ₋₁=0 ∨ yᵢ₋₁=∅ })

↔ INDEXINTERMDNNL( SeqAᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ xᵢ₋₁=0 ∨ xᵢ₋₁=∅})) (5)

(5) ↔ Ψ(yₙ) = ( ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ - ⌈ ( ( ( ∑ n=1→ n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )+1)⌉) (6), avec Ψ(yₙ) ⊆ {0;1}

Alors reprenant notre exemple algébrique précédent, Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*, la valeur de la variable d'indexe de position égale à a+1 du premier élément représenté par la variable w≠0, la première valeur non nulle de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ⊆ R*, est donnée par l'expression définie après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→n=x: [a(n)], définie comme suit:

∀ yᵢ₌ₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) ⊆ R*, et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1:

INDEX(yₙ)=a+1=∑ n=1→n=∞: [ ( Ψ(yₙ)*n ) ]=∑ n=1→n=∞: [ ( ( ( ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ - ⌈ ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→ n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )+1)⌉)) *n) ]

Donc dans notre exemple algébrique, les valeurs d'indice dans la définition par extension de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁ <= yᵢ⋆*⋆xᵢ=yᵢ⋆*⋆1ᵢ =yₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ}), sont a=0, car il n'y a pas d'élément nul précédent le premier élément non nul de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)), et donc que l'indexe de position du premier élément de la variable w est égale à 1, et de p=10, valeur de la variable dans (1) dont il nous reste à donner l'expression correspondant à la fonction ensembliste séquentielle de l'index de position de la dernière valeur non nulle d'une suite de nombres autre que par l'expression (4).

∴

Nous remarquons que cette dernière expression (6) comprend trois expressions de trois fonctions simples que nous définissons comme suit pour la première de ces trois expressions:

1A: N→ {0, 1}:

1A(yₙ)=1, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments yₙ≠0 de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ) est définie comme suit:

1A(yₙ)=⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ (6.1)

∴

Ensuite nous définissons la deuxième de ces trois expressions de trois fonctions simples comme suit:

1A: N→ {0, n}:

1A(yₙ)*nᵢ₌ₓ=INDEXINT(yₙ≠0), si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)*nᵢ₌ₓ=0, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique multipliée par n correspondante à l'indexe de position interne des éléments yₙ≠0 de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ≠0)*nᵢ₌ₓ, est définie comme suit:

1A(yₙ)*nᵢ₌ₓ=INDEXINT(yₙ≠0)=( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ (6.2).

∴

Puis pour la troisième de ces trois expressions de trois fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→{0, 1}:

1A(yₙ)=INDEXINT(yₙ≠0)=1, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ yₙ est le premier élément de valeur non nulle de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ).

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique d'indexe interne de position égale à 1, des éléments yₙ de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ)=INDEXINT(yₙ≠0)=1, est définie comme suit:

1A(yₙ)=INDEXINT(yₙ≠0)=1=⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ - ⌈ ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )+1)⌉ (6.3).

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment, considérons avec les valeurs d'indice

∴

*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )

∴∴

"A est inclus dans B, noté A ⊂ B (ou A ⊆ B)."

Si {A} et {B} sont deux sous-ensembles de {X} alors {A} ⊆ {B} ⇔ 1A({A}) ≤ 1A({B})

∴∴

Or après avoir écrit précédemment avec l'expression (6) que pour p=10, valeur de la variable dans (1), il nous reste à donner l'expression correspondant à la fonction ensembliste séquentielle de l'index de position de la dernière valeur non nulle d'une suite de nombres qui soit une autre expression que l'expression (4), et c'est donc cette expression qui nous reste à écrire que nous écrivons maintenant en la définissant comme suit:

∀ yᵢ₌ₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*, et soit [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] et yᵢ telle que Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁ <= y⋆*⋆xᵢ=y⋆*⋆1ᵢ =yₙ <= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ})), et soit l'indice ₙ de yₙ tel que ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle finale non nulle que je définie ∀ yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) ⊆ R*, que je note INDEXINTERMFNNL(yₙ) ↔ INDEXINTERMFNNL(Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ))

et dont la valeur égale à 1 d'indexe interne de position du dernier élément à valeur non nul de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ), multipliée par la valeur de l'index de position de l'élément de la séquence de nombres de cette fonction simple, soit n ∈ N, correspond alors à la valeur de la variable d'indexe de position égale à p du même élément représenté par la variable w≠0 dans notre exemple algébrique précédent, dernier élément de la série de valeur non nulle suivant la première valeur non nulle de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ), soit toujours dans notre exemple algébrique l'élément représenté par la variable r≠0, est définie de la façon suivante:

1A: N→{0, 1}:

1A(yₙ)=1 ↔ 1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ)=1)=1, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ INDEXINTERMFNNL(yₙ)=1

1A(yₙ)=0 ↔ 1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ)=1)=0, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0 ∨ yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ INDEXINTERMFNNL(yₙ)>1

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ⊆ R* notée, 1A(yₙ)

↔ 1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ)=1) est définie comme suit:

1A(yₙ)↔INDEXINTERMFNNL(yₙ)=1 ↔

↔ INDEXINTERMFNNL( Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) ↔

↔ INDEXINTERMFNNL( Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁ <= y⋆*⋆xᵢ=y⋆*⋆1ᵢ= yₙ <= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ}) ↔

↔ INDEXINTERMFNNL( Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁ <= yᵢ⋆*⋆xᵢ=yᵢ⋆*⋆1ᵢ =yₙ <= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ ∧ yᵢ₋₁ ≠0 })) ↔

↔ INDEXINTERMFNNL( SeqAᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1 ∧ xᵢ₋₁=1})) ↔

↔ K(yₙ)=(⌈|E(yₙ)|)/(|E(yₙ)|+1)⌉-⌈(I(yₙ)-H(yₙ))/((I(yₙ)-H(yₙ))+1)⌉)*I(yₙ) (7) avec K(yₙ) ⊆ {0;1}

Alors reprenant notre exemple algébrique précédent, la valeur de la variable d'indexe de position égale à p le dernier élément représenté par la variable w≠0 de la série de valeur non nulle suivant la première valeur non nulle de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ⊆ R*, de l'élément représenté par la variable r≠0, est donnée par l'expression définie, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→n=x: [a(n)], comme suit:

∀ yᵢ₌ₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) ⊆ R*, et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1:

INDEX(yₙ)=p=∑ n=1→n=∞: [( K(yₙ)*n )]=∑ n=1→n=∞: [((⌈|E(yₙ)|)/(|E(yₙ)|+1)⌉-⌈(I(yₙ)-H(yₙ))/((I(yₙ)-H(yₙ))+1)⌉)*I(yₙ)*n )] (7)'

∴

Nous remarquons ensuite que cette dernière expression (7) de K(yₙ) n'est qu'algébrique et comprend cinq expressions algébriques de cinq fonctions simples, E(yₙ), E(yₙ)*n, F(yₙ), H(yₙ), I(yₙ), donc qu'il nous reste à donner leurs expressions numériques, ce que nous définissons donc avec tout d'abord la cinquième de ces cinq expressions, comme suit :

1A: N→ {0, 1}:

1A(yₙ)=1, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments yₙ de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ) est définie comme suit:

E(yₙ)=⌈ |yₙ| / (|yₙ|+1)⌉ (7.1)

∴

Ensuite nous définissons la deuxième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples de l'expression (7) comme suit:

1A: N→ {0, n}:

1A(yₙ)*n=n, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ )*n est définie comme suit:

1A(yₙ)*n=E(yₙ)*n=⌈ |yₙ| / ( |yₙ|+1)⌉*n (7.2)

Ensuite nous définissons la troisième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples de l'expression (7) comme suit:

1A: N→ {0, n}:

1A(yₙ)=INDEXINT(yₙ≠0)ₙ, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=INDEXINT(yₙ≠0)ₙ₋₁, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ)=INDEXINT(yₙ≠0) est définie comme suit:

1A(yₙ)=INDEXINT(yₙ≠0) ↔ F(yₙ)=| E(yₙ)*( ( ∑n=1→n=∞: [ (E(yₙ))i ] ) - E(yₙ)^2+1) + (n+E(yₙ)*n-( ∑ n=1→n=∞: [(E(yₙ) )i ] ))*(1-E(yₙ))-E(yₙ)*n | (7.3)

Ensuite nous définissons la quatrième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples de l'expression (7) comme suit:

1A: N→ {0, 1}:

1A(yₙ)=1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ)), si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ)=1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ)) est définie comme suit:

1A(yₙ)=1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ))=H(yₙ)=(F(yₙ₊₁)-F(yₙ))*E(yₙ) (7.4)

Ensuite nous définissons la cinquième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples de l'expression (7) comme suit:

1A: N→{0, 1}:

1A(yₙ)=INDEXINTERMFNNL(yₙ), si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0 ∨ INDEXINTERMFNNL(yₙ)=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ)=INDEXINTERMFNNL(yₙ) est définie comme suit:

1A(yₙ)=INDEXINTERMFNNL(yₙ)↔I(yₙ)= ( ∑ n=1→n=∞: [ (H(yₙ)+H(yₙ₊₁) )i ] - H(yₙ₊₁) )*H(yₙ) (7.5)

∴
Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment, considérons avec les valeurs d'indice

∴

*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )

∴∴∴

"A est inclus dans B, noté A ⊂ B (ou A ⊆ B)."

Si {A} et {B} sont deux sous-ensembles de {X} alors {A} ⊆ {B} ⇔ 1A({A}) ≤ 1A({B})

∴∴∴

Nous avons donné précédemment les expressions des valeurs des variables a et p correspondant aux index de positions spéciaux des éléments d'un ensemble de début et de fin de séquence de valeurs non nulles d'une séquence de nombres, alors nous considérons maintenant les éléments d'un nouvel ensemble, soit par exemple algébriquement, Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*,

d'éléments à valeurs nulles et non nulles, soit [0⋆*⋆xᵢ₌₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] et yᵢ ∈ Seq(U'Aᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [0⋆*⋆xᵢ₌₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] | 0⋆*⋆xᵢ₌₁ <= yᵢ⋆*⋆xᵢ=yᵢ⋆*⋆1ᵢ=yₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ})), et soit l'indice ᵢ₌ₙ de yᵢ₌ₙ tel que ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*. Or si d'après notre paragraphe précédent nous connaissons l'expression de la fonction simple d'opération ensembliste séquentielle du cardinal pour Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) alors, nous connaissons aussi l'expression de la fonction simple d'opération ensembliste séquentielle du cardinal notée Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})) ↔ Card( Seq(A'ᵢ₌ₚ)=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉})) ∪ Card( Seq(U'ᵢ₌ₐ)=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉})), et dont l'expression est égale à Card(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1) -1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))]=a+p (1), par contre nous ne connaissons pas la valeur de p c'est-à-dire la quantité de valeurs non nulles, et la valeur de a, c'est à dire la quantité de valeurs nulles et nous ne connaissons que seulement la valeur numérique égale à 0 des éléments de Seq(U'ᵢ₌ₐ), et la valeur algébrique non nulle des variables w≠0; z≠0; q≠0; d≠0; g≠0; j≠0; l≠0; m≠0; k≠0; r≠0, des éléments de Seq(A'ᵢ₌ₚ) ⊆ R*, nous permettant de réécrire l'expression de la fonction simple de l'opération ensembliste séquentielle de cardinal comme étant définis comme suit:

Soit yᵢ₌ₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*, avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₚ=( {xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇; xᵢ₌₈; xᵢ₌₉; xᵢ₌₁₀; xᵢ₌₁₁; xᵢ₌₁₂; x₌₁₃}) ⊆ SeqXᵢ₌ₚ=({1}) et avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₐ=({xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃})

⊆ SeqXᵢ₌ₐ=({0}) ; soit SeqAᵢ₌ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}) ⊆ SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=0= 1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ xᵢ =1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇; xᵢ₌₈; xᵢ₌₉; xᵢ₌₁₀; xᵢ₌₁₁; xᵢ₌₁₂; x₌₁₃) ⊆ SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ({0;1}) ↔ SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=0= 1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ xᵢ =1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0 =1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ INDEX(xᵢ=0) < INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 précédant tous strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}), c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1 et dont la position précède strictement le dernier élément de valeur 0, soit la valeur de la variable a; alors l'expression de la fonction simple du cardinal de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) correspondant à la somme des valeurs des éléments de la fonction simple caractéristique de segmentations caractéristique de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), avec w≠0, z≠0, q≠0, d≠0, g≠0, j≠0, l≠0, m≠0, k≠0, r≠0, et dont les deux paramètres principaux, a et p sont déterminés par le résultat du calcul l'expression de la fonction simple d'index de terminaison séquentielle du dernier élément de l'ensemble à valeur nulle ou non nulle d'une séquence de nombres et sont définies comme suit:

Soit yᵢ₌ₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*; et soit 1A(Seq(A'ᵢ₌ₚ)=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}) ⊆ SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∨ xᵢ =1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉})); et soit 1A(Seq(U'ᵢ₌ₐ)=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₚ=(xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇; xᵢ₌₈; xᵢ₌₉; xᵢ₌₁₀; xᵢ₌₁₁; xᵢ₌₁₂; x₌₁₃) ⊆ SeqXᵢ₌ₐ({0}), avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₐ=({xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃}) ⊆ SeqXᵢ₌ₐ=({0}), alors l'expression du cardinal de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) est définie de la façon suivante:

Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({ yₙ ∈ [0⋆*⋆xᵢ₌₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] | 0⋆*⋆xᵢ₌₁ <= yᵢ⋆*⋆xᵢ =yₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ}))=1-⌈|0⋆*⋆1ᵢ₌ₐ₊₁|/(|0⋆*⋆1ᵢ₌ₐ₊₁|+1)⌉+1-⌈|0⋆*⋆1ᵢ₌ₐ₊₂|/(|0⋆*⋆1ᵢ₌₊₂|+1)⌉+1-⌈|0⋆*⋆1ᵢ₌ₐ₊₃|/(|0⋆*⋆1ᵢ₌ₐ₊₃|+1)⌉

+⌈|wᵢ₌ₐ₊₁|/(|wᵢ₌ₐ₊₁|+1)⌉+⌈|zᵢ₌ₐ₊₂|/(|zᵢ₌ₐ₊₂|+1)⌉+⌈|qᵢ₌ₐ₊₃|/(|qᵢ₌ₐ₊₃|+1)⌉+⌈|dᵢ₌ₐ₊₄|/(|dᵢ₌ₐ₊₄|+1)⌉+⌈|gᵢ₌ₐ₊₅|/(|gᵢ₌ₐ₊₅|+1)⌉+⌈|jᵢ₌ₐ₊₆|/(|jᵢ₌ₐ₊₆|+1)⌉+⌈|lᵢ₌ₐ₊₇|/(|lᵢ₌ₐ₊₇|+1)⌉+⌈|mᵢ₌ₐ₊₈|/(|mᵢ₌ₐ₊₈|+1)⌉+⌈|kᵢ₌ₐ₊₉|/(|kᵢ₌ₐ₊₉|+1)⌉+⌈|rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|/(|rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|+1)⌉=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=13=a+p, avec les valeurs d'indice a=3, correspondant à la valeur de la fonction simple de cardinal d'éléments de valeurs nulles de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) notée Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉})); et p=10 correspondant à la valeur de la fonction simple de cardinal d'éléments de valeurs non nulles de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) notée Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉})).

Donc, pour synthétiser l'ensemble des expressions et de leurs équivalences constituant l'expression de la valeur de la fonction simple d'opération ensembliste séquentielle de cardinal noté dans notre exemple algébrique, Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ), et après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→ n=x: [a(n)], est définie comme suit:

Soit yᵢ₌ₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ), alors Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) = Card(SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}) (8) ↔ (8)'

Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) =Card(SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ) ∪ Card(SeqXᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=1=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉}) (8)' ↔ (8)''

Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) =(∑ n=1 → n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) + (∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) (8)''↔ (1)

Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1) -1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))]=a+p (1) ↔ (1)'''

Card(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) = Card(Seq(U'ᵢ₌ₐ₊ₚ) + Card(Seq(A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) = (∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1) -1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))]) + (∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))]) =a+p (1)''' ↔ (1)' & (1)''

Card(Seq(U'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1) -1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))]=a (1)'

Card(Seq(A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))]=p (1)''

∴Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment, considérons avec les valeurs d'indice

∴

*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )

∴

S'il nous reste donc à écrire l'expression donnant la valeur de la variable, a (1)' et p (1)'', dont nous montrerons éventuellement leur utilité à contribuer à la définition de l'opération ensembliste séquentielle d'inclusion, au-delà d'être de simples variables dans l'expression d'opération ensembliste séquentielle de cardinal, alors nous pouvons maintenant écrire deux expressions possibles donnant la valeur de la variable a correspondant à la valeur d'indexe de position du dernier élément de valeur nulle et au cardinal de valeur de 0 immédiatement précédent la sous séquence de valeurs non nulles dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), dont la première expression donne en fait la valeur de la variable a+1, et qui , après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→n=x: [a(n)], est définie comme suit:

Soit yᵢ₌ₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ), et soit l'opération arithmétique de multiplication de l'expression la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle notée INDEXINTERMDNNL( Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ))=INDEXINTERMDNNL(yₙ), par n ∈ N*, alors le résultat correspondant à la valeur de la variable a+1, égale à l'indexe de position du premier élément à valeur non nul précédent la série de valeur non nulle suivant la première valeur nulle de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), à pour expression:

INDEXINTERMDNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=INDEXINTERMDNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [0⋆*⋆xᵢ₌₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] | 0⋆*⋆xᵢ₌₁<= y⋆*⋆xᵢ=y⋆*⋆1ᵢ =yₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ}) (9) ↔ (9)'

INDEXINTERMDNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=INDEXINTERMDNNL(SeqA'ᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1})) (9)' ↔ (9)''

INDEXINTERMDNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=INDEXINTERMDNNL(yₙ)=( ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉-⌈ (((∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )+1)⌉)=1 (9)''

Alors l'opération arithmétique de multiplication de l'expression la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle notée INDEXINTERMDNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ))=INDEXINTERMDNNL(yₙ), par n ∈ N*, correspondant à la valeur de la variable a+1, de la façon suivante:

INDEXINTERMDNNL(yₙ)*n=INDEX(yₙ)=a+1 (10); avec les valeurs de yₙ et yₙ₋₁ de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)

telles que yₙ- yₙ₋₁ =yₙ; et avec les valeurs d'indice de yₙ égales à n=a+1=4 (car il y a 3 éléments nuls précédent le premier élément non nul de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ), et donc dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), INDEX(yₙ₌₄=wᵢ₌ₐ₊₁₌₃₊₁)=4.

∴

Cette avant-dernière expression (9)'' comprend trois expressions de trois fonctions simples que nous définissons comme suit pour la première de ces trois expressions:

1A: N→ {0,1}:

1A(yₙ)=1, si yₙ ∈ Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ) est définie comme suit:

1A(yₙ)=⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ (9.1)''

∴

Puis pour la deuxième de ces trois expressions de trois fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0, n}:

INDEXINT(yₙ≠0), si yₙ ∈ Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

INDEXINT(yₙ≠0)=0, si yₙ ∈ Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'indexe de position interne des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, INDEXINT(yₙ≠0), est définie comme suit:

INDEXINT(yₙ≠0)=( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ (9.2)''.

∴

Puis pour la troisième de ces trois expressions de trois fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→{0,1}:

1A(INDEXINTERMDNNL(yₙ))=1, si INDEXINTERMDNNL(yₙ)=1 ↔ yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ yₙ₊₁ - yₙ=yₙ₊₁ (le dernier terme de soustraction algébrique signifiant que yₙ est le premier élément de valeur non nulle de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)

1A(INDEXINTERMDNNL(yₙ))=0, si INDEXINTERMDNNL(yₙ)>1

L'expression de cette fonction caractéristique d'indexe de position interne de terminaison séquentielle égale à 1 des éléments yₙ de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée 1A(INDEXINTERMDNNL(yₙ)), est définie comme suit:

1A(INDEXINTERMDNNL(yₙ))=⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ - ⌈ ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+ ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )+1)⌉ (9.3)''

∴Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment, considérons avec les valeurs d'indice

∴

*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )

∴

Après avoir écrit précédemment la première des deux expressions possibles donnant la valeur a+1 correspondant à la valeur de l'indexe de position du premier élément de valeur non nul immédiatement après la sous séquence de valeurs nulles dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), nous pouvons maintenant écrire la deuxième expression qui donne en fait exactement la valeur de la variable a, c'est-à-dire la valeur de l'indexe de position du dernier élément de valeur nulle et correspondant aussi au cardinal de valeur de 0 immédiatement précédent la sous séquence de valeurs non nulles dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), et, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→n=x: [a(n)], qui est définie comme suit:

Soit yᵢ₌ₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ↔ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ₌ₙ ∈ [0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | 0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁ <= y⋆*⋆xᵢ=y⋆*⋆1ᵢ

= yᵢ₌ₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ})), et soit l'indice ₙ de yₙ tel que ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; soit l'expression la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle finale nulle, notée et définie par INDEXINTERMFNL(yₙ)=

INDEXINTERMFNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ))=INDEXINTERMFNL(Seq(U'A')ᵢ₌ₐ₊ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ xᵢ₌ₙ₊₁ - xᵢ₌ₙ=xᵢ₌ₙ₊₁=1 })); soit l'opération arithmétique de multiplication de l'expression de la fonction caractéristique de la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle finale nulle, et égale à 1, notée 1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1), par n ∈ N*, alors l'expression dont le résultat correspondant à la valeur de la variable a, égale à l'indexe de position du dernier élément à valeur nul précédent la première valeur non nulle w de la série de valeur non nulle de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), à pour expression:

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)*n=( ( ⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉ - ⌈(( ∑ n=1→n=∞: [ ((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉)+((⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)) )i ] - ((⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)) )*((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉)) -((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉)))/((( ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉))+((⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)) )i ] -((⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)) )*((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉))-((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉)))+1)⌉ ) * ( ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉))+((⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)))i ] - ((⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)) )*((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉)) + ( ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉))+((⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)) )i ] -((⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)) )*((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉)) ) *n (11)

Nous remarquons que dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), l'opération arithmétique de multiplication de l'expression de la fonction caractéristique de la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle finale nulle et égale à 1, notée 1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1), par n ∈ N*, correspondant à la valeur de la variable a, de la façon suivante:

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)*n=INDEX(1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)*yₙ)=a (11)'; avec les valeurs de yₙ et yₙ₊₁ de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) telles que yₙ₊₁ - yₙ=yₙ₊₁; et avec les valeurs d'indice de de yₙ égales à n=a=3 (car il y a 3 éléments nuls précédent le premier élément non nul de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)), et donc dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), INDEX(yₙ₌₃=0⋆*⋆1ᵢ₌₃)=3

Cette avant-dernière expression (11) comprend cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit pour la première de ces cinq expressions:

1A: N→ {0,1}:

1A(yₙ)=1, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ) est définie comme suit:

α(yₙ)=1A(yₙ)=⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ (11.1)

α(yₙ₊₁)=1A(yₙ₊₁)=⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ (11.1)'

∴

Puis pour la deuxième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0,1}:

1A( INDEXINTERMFNL(yₙ))=1, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0 ∧ yᵢ₌ₙ₊₁-yᵢ₌ₙ=
yᵢ₌ₙ₊₁

1A( INDEXINTERMFNL(yₙ))=0, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'indexe de position interne de terminaison finale nulle des derniers éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs nulles notée, 1A( INDEXINTERMFNL(yₙ)), est définie comme suit:

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ))=1A( INDEXINTERMFNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ xᵢ₌ₙ₊₁ - xᵢ₌ₙ=xᵢ₌ₙ₊₁=1}))) (11.2) ↔ (11.2)'

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ))=(⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉) (11.2)'↔ (11.2)''

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ))=βₙ(yₙ)=(⌈(α(yₙ)+α(yₙ₊₁))/(α(yₙ)+α(yₙ₊₁)+1)⌉-α(yₙ)) (11.2)''

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ₊₁))=β(yₙ₊₁)=1A(INDEXINTERMFNL(yₙ₊₁))=(⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉) (11.2)'↔ (11.2)''

β(yₙ₊₁)=(⌈(α(yₙ₊₁)+α(yₙ₊₂))/(α(yₙ₊₁)+α(yₙ₊₂)+1)⌉-α(yₙ₊₁)) (11.2)''

Puis pour la troisième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0, n}:

INDEXINTERMFNL(yₙ))=0, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ yᵢ₌ₙ₊₁-yᵢ₌ₙ≠yᵢ₌ₙ₊₁

INDEXINTERMFNL(yₙ))=n, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0 ∧ yᵢ₌ₙ₊₁-yᵢ₌ₙ=yᵢ₌ₙ₊₁

L'expression de cette fonction caractéristique de l'indexe de position interne de terminaison finale nulle des derniers éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs nulles notée, INDEXINTERMFNL(yₙ), est définie comme suit:

INDEXINTERMFNL(yₙ)=( ∑ n=1→n=∞: [ ((⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉) +(⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉) )i ] -(⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉) )*(⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉) (11.3)

INDEXINTERMFNL(yₙ)=W(yₙ)=(∑ n=1→n=∞: [ (β(yₙ)+β(yₙ₊₁))i] - β(yₙ₊₁))*β(yₙ) (11.3)'

Puis pour la quatrième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0, 1}:

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)=0, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∨ yₙ=0 ∧ INDEXINTERMFNL(yₙ) > 1

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)=1, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0 ∧ INDEXINTERMFNL(yₙ)=1

L'expression de cette fonction caractéristique de l'indexe de position interne de terminaison finale nulle des derniers éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs nulles, et égal à 1 et qui est notée,

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1), est définie comme suit:

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)=Vₙ=(α(yₙ) - ⌈(W(yₙ)- β(yₙ) )/((W(yₙ) - β(yₙ))+1)⌉)*W(yₙ)+W(yₙ) (11.3)

Puis pour la cinquième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0, n}:

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)=0, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∨ yₙ=0 ∧ INDEXINTERMFNL(yₙ) > 1

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)*n=1*n, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0 ∧ INDEXINTERMFNL(yₙ)=1

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)*n, est définie comme suit:

1A(INDEXINTERMFNL(yₙ)=1)*n=n*Vₙ=( (α(yₙ) - ⌈(W(yₙ)- β(yₙ) )/((W(yₙ) - β(yₙ))+1)⌉)*W(yₙ)+W(yₙ) )*n (11.4)

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment, considérons avec les valeurs d'indices

∴∴∴∴

"A est inclus dans B, noté A ⊂ B (ou A ⊆ B)."

Si {A} et {B} sont deux sous-ensembles de {X} alors {A} ⊆ {B} ⇔ 1A({A}) ≤ 1A({B})

∴∴∴∴

Après avoir écrit précédemment la première expression donnant la valeur a+1 correspondant à la valeur de l'indexe de position du premier élément de valeur non nul immédiatement après la sous séquence de valeurs nulles dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), et la deuxième expression qui donne en fait exactement la valeur de la variable a, c'est-à-dire la valeur de l'indexe de position du dernier élément de valeur nulle et correspondant aussi au cardinal de valeur de 0 immédiatement précédent la sous séquence de valeurs non nulles dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), il nous reste à définir la valeur de la variable p-a correspondant à l'index de position interne du dernier élément de valeur non nul précédé d'une suite de nombre également non nul, soit dans notre exemple algébrique la valeur de la fonction INDEXINT(rᵢ₌ₐ₊ₚ=yₙ≠0)=INDEX(rᵢ₌ₐ₊ₚ)-INDEX(0ᵢ₌ₐ₌₃)=a+p-a=p, et, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→n=x: [a(n)], qui est définie comme suit:

Soit yᵢ₌ₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ↔ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ₌ₙ ∈ [0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | 0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁ <= y⋆*⋆xᵢ=y⋆*⋆1ᵢ

= yᵢ₌ₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ})), et soit l'indice ₙ de yₙ tel que ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; soit l'expression la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle finale non nulle, notée et définie par INDEXINTERMFNNL(yₙ)=

INDEXINTERMFNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ))=INDEXINTERMFNNL(Seq(U'A')ᵢ₌ₐ₊ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ ∧ xᵢ₌ₙ₊₁ - xᵢ₌ₙ=xᵢ₌ₙ₊₁=1 })) et soit l'opération arithmétique de multiplication de l'expression de la fonction caractéristique de la fonction simple d'indexe interne de terminaison séquentielle finale non nulle, et égale à 1, notée 1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ)=1), par n ∈ N*, alors l'expression dont le résultat correspondant à la valeur de la variable a, égale à l'indexe de position du dernier élément à valeur non nul précédé de la sous suite d'éléments à valeur non nulle de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)

=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), à pour expression:

INDEXINTERMFNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=INDEXINTERMDNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [0⋆*⋆xᵢ₌₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] | 0⋆*⋆xᵢ₌₁<= y⋆*⋆xᵢ=y⋆*⋆1ᵢ =yₙ<= r⋆*⋆xᵢ₌ₚ}) (12) ↔ (12)'

INDEXINTERMFNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=INDEXINTERMFNNL(SeqA'ᵢ₌ₐ₊ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1})) (12)' ↔ (12)''

INDEXINTERMFNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=INDEXINTERMFNNL(yₙ)=(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉-

α(yₙ)=⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉

α(yₙ₊₁)=⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉

α(yₙ₊₂)=⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉

M(yₙ)=| α(yₙ)*((∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ) )i ] )-α(yₙ)^2+1)+(n+n*α(yₙ) - (∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ) )i ] ) )*(1-α(yₙ))-n*α(yₙ) |

M(yₙ)= | ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ] ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉^2+1)+(n+⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n |

M(yₙ₊₁)=| α(yₙ₊₁)*((∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ₊₁) )i ] )-α(yₙ₊₁)^2+1)+(n₊₁+n₊₁*α(yₙ₊₁) - (∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ₊₁) )i ] ) )*(1- α(yₙ₊₁))-n₊₁*α(yₙ₊₁) |

M(yₙ₊₁)= | ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |

M(yₙ₊₂)=| α(yₙ₊₂)*((∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ₊₂) )i ] )-α(yₙ₊₂)^2+1)+(n₊₂+n₊₂*α(yₙ₊₂) - (∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ₊₂) )i ] ) )*(1- α(yₙ₊₂))-n₊₁*α(yₙ₊₂) |

M(yₙ₊₂)= | ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉^2+1)+(n₊₂+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂ |

N(yₙ)=(M(yₙ₊₁)-M(yₙ))*α(yₙ)

N(yₙ)=( | ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |-| ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ] ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉^2+1)+(n+⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n | )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉

N(yₙ₊₁)=(M(yₙ₊₂)-M(yₙ₊₁))*α(yₙ₊₁)

N(yₙ₊₁)=(| ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉^2+1)+(n₊₂+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂ |-| ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |)*⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉

L(yₙ)=((∑ n=1→n=∞:[(N(yₙ)+N(yₙ₊₁) )i ])-N(yₙ₊₁))*N(yₙ)

Q(yₙ)=(α(yₙ)-⌈(O(yₙ)-N(yₙ))/((O(yₙ)-N(yₙ))+1)⌉)*O(yₙ) (12)''

Alors l'opération arithmétique de multiplication de l'expression la fonction simple d'indexe interne de terminaison finale non nulle séquentielle notée INDEXINTERMFNNL(Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ))=

INDEXINTERMFNNL(yₙ), par n ∈ N*, nous permet d'obtenir la valeur de la variable a+p, dont nous déduirons la valeur de la variable p de la façon suivante:

INDEXINTERMFNNL(yₙ)*n-INDEXINTERMFNL(yₙ)*n=INDEX(rᵢ₌ₐ₊ₚ)-INDEX(0ᵢ₌ₐ₌₃)=INDEXINT(rᵢ₌ₐ₊ₚ=yₙ≠0)=a+p-a=p=13-3=10 (13); avec les valeurs de yₙ et yₙ₋₁ de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) telles que yₙ- yₙ₋₁ ≠yₙ; et avec les valeurs d'indice de yₙ égales à n=a+p=13 (car il y a 3 éléments nuls précédent le premier élément non nul de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ), et donc dans notre exemple algébrique de Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), INDEX(yₙ₌₁₃=rᵢ₌ₐ₊ₚ₌₃₊₁₀)=13.

∴

Cette avant-dernière expression (12)'' comprend cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit pour la première de ces cinq expressions:

1A: N→ {0,1}:

1A(yₙ)=1, si yₙ ∈ Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments yₙ de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, 1A(yₙ≠0) est définie comme suit:

α(yₙ)=1A(yₙ≠0)=⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ (12.1)''

α(yₙ₊₁)=1A(yₙ₊₁≠0)=⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ (12.1)'''

Puis pour la deuxième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0, n}:

INDEX(yₙ≠0)=1A(yₙ≠0)*n, si yₙ ∈ Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

INDEX(yₙ≠0)=1A(yₙ≠0)*0, si yₙ ∈ Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'indexe de position des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée, INDEX(yₙ), est définie comme suit:

INDEX(yₙ≠0)=α(yₙ)*n=1A(yₙ)*n=⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n (12.2)''

INDEX(yₙ₊₁≠0)=α(yₙ₊₁)*n=1A(yₙ₊₁)*n=⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ (12.2)'''

∴

Puis pour la troisième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→ {0, n}:

INDEXINTSEGMNT(yₙ=0)=1A(yₙ≠0)*INDEXINTERMFNL(yₙ)ₙ₋₁ , si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0

INDEXSEGMNTNL(yₙ=0)=1A(yₙ=0)*INDEXINT(yₙ=0)), si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'indexe segmental de position des éléments de Seq(UAᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs nulles notées, INDEXSEGMNT(yₙ=0), est définie comme suit:

INDEXSEGMNT(yₙ=0)=M(yₙ)=| α(yₙ)*((∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ) )i ] )-α(yₙ)^2+1)+(n+n*α(yₙ) - (∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ) )i ] ) )*(1-α(yₙ))-n*α(yₙ) | (12.3)''.

INDEXSEGMNT(yₙ=0)=M(yₙ)= | ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ] ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉^2+1)+(n+⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n | (12.3)''.

INDEXSEGMNT(yₙ₊₁=0)=M(yₙ₊₁)=| α(yₙ₊₁)*((∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ₊₁) )i ] )-α(yₙ₊₁)^2+1)+(n₊₁+n₊₁*α(yₙ₊₁) - (∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ₊₁) )i ] ) )*(1- α(yₙ₊₁))-n₊₁*α(yₙ₊₁) |

INDEXSEGMNT(yₙ₊₁=0)=M(yₙ₊₁)= | ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |

INDEXSEGMNT(yₙ₊₂=0)=M(yₙ₊₂)=| α(yₙ₊₂)*((∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ₊₂) )i ] )-α(yₙ₊₂)^2+1)+(n₊₂+n₊₂*α(yₙ₊₂) - (∑ n=1→n=∞: [ (α(yₙ₊₂) )i ] ) )*(1- α(yₙ₊₂))-n₊₁*α(yₙ₊₂) |

INDEXSEGMNT(yₙ₊₂=0)=M(yₙ₊₂)=| ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉^2+1)+(n₊₂+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂ |

∴

Puis pour la quatrième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→{0,1}:

1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ))=1, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ yₙ - yₙ₊₁=yₙ (le dernier terme de soustraction algébrique signifiant que yₙ est le dernier élément de valeur non nulle de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)

1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ))=0, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ yₙ - yₙ₊₁≠yₙ ∨ yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique d'indexe de position interne de terminaison séquentielle de fin des éléments yₙ de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée 1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ)), est définie comme suit:

1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ))=N(yₙ)=(M(yₙ₊₁)-M(yₙ))*α(yₙ) (12.4)''

1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ))=N(yₙ)=( | ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |-| ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ] ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉^2+1)+(n+⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n | )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉

1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ₊₁))=N(yₙ₊₁)=(M(yₙ₊₂)-M(yₙ₊₁))*α(yₙ₊₁)

1A(INDEXINTERMFNNL(yₙ₊₁))=N(yₙ₊₁)=(| ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉^2+1)+(n₊₂+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂ |-| ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |)*⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ (12.4)''

Puis pour la cinquième de ces cinq expressions de cinq fonctions simples que nous définissons comme suit:

1A: N→{0, n}:

1A(yₙ)=INDEXINTERMFNNL(yₙ), si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ yₙ - yₙ₊₁=yₙ (le dernier terme de soustraction algébrique signifiant que yₙ est le dernier élément de valeur non nulle de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)

1A(yₙ)=0, si yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ≠0 ∧ yₙ - yₙ₊₁≠yₙ ∨ yₙ ∈ Seq(U'A'ᵢ₌ₐ₊ₚ) ∧ yₙ=0

L'expression de cette fonction d'indexe de position interne de terminaison séquentielle de fin des éléments yₙ de Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ) de valeurs non nulles notée 1A(yₙ)=INDEXINTERMFNNL(yₙ), est définie comme suit:

INDEXINTERMFNNL(yₙ)=L(yₙ)=((∑ n=1→n=∞:[(N(yₙ)+N(yₙ₊₁) )i ])-N(yₙ₊₁))*N(yₙ) (12.5)''

INDEXINTERMFNNL(yₙ)=L(yₙ)=((∑ n=1→n=∞:[((M(yₙ₊₁)-M(yₙ))*α(yₙ) + (M(yₙ₊₂)-M(yₙ₊₁))*α(yₙ₊₁) )i ])-((M(yₙ₊₂)-M(yₙ₊₁))*α(yₙ₊₁)))*((M(yₙ₊₁)-M(yₙ))*α(yₙ)) (12.5)''

INDEXINTERMFNNL(yₙ)=L(yₙ)=((∑ n=1→n=∞:[( (( | ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |-| ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ] ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉^2+1)+(n+⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n | )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉) + ((| ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉^2+1)+(n₊₂+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂ |-| ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |)*⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ ) )i ])- ( (| ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉^2+1)+(n₊₂+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉*n₊₂ |-| ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |)*⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ ) * (( | ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]) - ⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉^2+1)+(n₊₁+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉ )-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉*n₊₁ |-| ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*( (∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ] ) - ⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉^2+1)+(n+⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n-(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )i ]))*(1-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉ )-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉*n | )*⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉) (12.5)''

∴

1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment, considérons avec les valeurs d'indices

∴

(CEILING(ABS([w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ])/(ABS([w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ])+1);1)-CEILING((Wₙ-Vₙ)/((Wₙ-Vₙ)+1);1))*Wₙ+Wₙ

1A(INDEXINTERMF(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r})))

↔ 1A(INDEXINTERMF(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({yᵢ ∈ [0*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ] | 0*xᵢ₌ₐ₊₁ <= y*xᵢ=y*1ᵢ <= r*xᵢ₌ₚ})) ↔

1A( INDEXINTERMF(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1})))=

Vₙ=(⌈(⌈|yₙ |/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)/(⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉+⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ|/(|yₙ|+1)⌉)

Vₙ₊₁=(⌈(⌈|yₙ₊₁ |/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉)/(⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉+⌈|yₙ₊₂|/(|yₙ₊₂|+1)⌉+1)⌉-⌈|yₙ₊₁|/(|yₙ₊₁|+1)⌉)

INDEXINTERMF(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}))=Wₙ=( ∑ n=1→n=∞: [ (Vₙ+Vₙ₊₁ )i ] -Vₙ₊₁ )*Vₙ

INDEXINTERMF(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0; 0; 0; w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}))=1

↔(CEILING(ABS([w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ])/(ABS([w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ])+1);1)-CEILING((Wₙ-Vₙ)/((Wₙ-Vₙ)+1);1))*Wₙ+Wₙ=1

1A(INDEXINTERMD(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ))*[w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ]=(1-⌈⌈|n/1-1|⌉/(⌈|n/1-1|⌉+1)⌉)*[w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ]=w

1A(INDEXINTERMF(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ))*[w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ]=(1-⌈⌈|n/p-1|⌉/(⌈|n/p-1|⌉+1)⌉)*[w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ]=r

INDEXINTERMD(Seq(A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0;0;0;w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}\{w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}))=INDEXINTERMD(SeqA'ᵢ₌ₐ₊ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0}))=

INDEXINTERMD(Seq(A'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0;0;0;w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}))=

INDEXINTERMD(SeqA'ᵢ₌ₐ₊ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=(1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ - ⌈ ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+1- ⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -1+⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )*(1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉) - 1+⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+1- ⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -1+⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )*(1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉) - 1+⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ) +1) ⌉ )*n

1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉

( ∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+1- ⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -1+⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )*(1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)

1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ - ⌈ ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+1- ⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -1+⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )*(1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉) - 1+⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+1- ⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )i ] -1+⌈|xₙ₊₁|/(|xₙ₊₁|+1)⌉ )*(1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉) - 1+⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ) +1) ⌉

INDEXINTERMF(Seq(UA'ᵢ₌ₚ₋ₐ)=({0;0;0;w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}))=

INDEXINTERMF(SeqA'ᵢ₌ₐ₊ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=

1A(INDEXINTERMD(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ))*[0*xᵢ₌₁;r*xᵢ₌ₚ]=(1-⌈⌈|n/1-1|⌉/(⌈|n/1-1|⌉+1)⌉)*[0*xᵢ₌₁; r*xᵢ₌ₚ]=0

1A(INDEXINTERMF(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ))*[0*xᵢ₌₁; r*xᵢ₌ₚ]=(1-⌈⌈|n/p-1|⌉/(⌈|n/p-1|⌉+1)⌉)*[0*xᵢ₌₁; r*xᵢ₌ₚ]=0

1A(Seq(UA'ᵢ₌ₐ₊ₚ)=({0;0;0;w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}))=1A(SeqA'ᵢ₌ₚ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=(⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (1)''

Soit prenons par exemple algébriquement Seq(UAᵢ₌ₚ)=({s; t; u; v; α; β; γ; δ; ε; ζ}) ⊆ {0}; et soit 1A(SeqAᵢ₌ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=0}) ⊆ SeqXᵢ₌∞=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₚ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇; xᵢ₌₈; xᵢ₌₉; xᵢ₌₁₀) ⊆ {0} ↔ SeqXᵢ₌ₚ{0}, alors l'expression du cardinal de Seq(UAᵢ₌ₚ) est définie de la façon suivante:

Card(Seq(UAᵢ₌ₚ)=({y ∈ [s*xᵢ₌ₐ; ζ*xᵢ₌ₚ] | s*xᵢ₌ₐ<= y*xᵢ=y*0ᵢ <= ζ*xᵢ₌ₚ}))=1-⌈|sᵢ₌ₐ₊₁|/(|sᵢ₌ₐ₊₁|+1)⌉+1-⌈|tᵢ₌ₐ₊₂|/(|tᵢ₌₊₂|+1)⌉+1-⌈|uᵢ₌ₐ₊₃|/(|uᵢ₌ₐ₊₃|+1)⌉+1-⌈|vᵢ₌ₐ₊₄|/(|vᵢ₌ₐ₊₄|+1)⌉+1-⌈|αᵢ₌ₐ₊₅|/(|αᵢ₌ₐ₊₅|+1)⌉+1-⌈|βᵢ₌ₐ₊₆|/(|βᵢ₌ₐ₊₆|+1)⌉+1-⌈|γᵢ₌ₐ₊₇|/(|γᵢ₌ₐ₊₇|+1)⌉+1-⌈|δᵢ₌ₐ₊₈|/(|δᵢ₌ₐ₊₈|+1)⌉+1-⌈|εᵢ₌ₐ₊₉|/(|εᵢ₌ₐ₊₉|+1)⌉+1-⌈| ζᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|/(| ζᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|+1)⌉=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10 avec les valeurs d'indice a=0 et p=10. (4).

∴

*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )
1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ

Kₙ=(⌈|Eₙ|)/(|Eₙ|+1)⌉-⌈(Iₙ-Hₙ)/((Iₙ-Hₙ)+1)⌉)*Iₙ

∧ yᵢ≠0 ∧ yᵢ₋₁=0 ∨ yᵢ₋₁=∅ ∧ xᵢ₋₁=0
∴
⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ
1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ

1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment, considérons avec les valeurs d'indices

ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE

Table des Matières

44.1: 2'A XIII FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS ENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES: La fonction simple d'opération ensembliste séquentielle d'inclusion

∴

∴

I) LES FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLE ÉLÉMENTAIRES:

∴

1.1.b) La fonction simple d'opération ensembliste séquentielle
d'inclusion :

∴

Table des Matières

44.1: 2'A XIII FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS ENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES: La fonction simple d'opération ensembliste séquentielle d'inclusion

∴

∴

I) LES FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLE ÉLÉMENTAIRES:

∴

1.1.b) La fonction simple d'opération ensembliste séquentielled'inclusion :

∴

1.1.b) La fonction simple d'opération ensembliste séquentielle
d'inclusion :