© "Tous droits réservés" - 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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"L’annulation est un processus mathématique utilisé pour supprimer des sous-expressions d’une expression mathématique, lorsque cette suppression ne modifie pas le sens ou la valeur de l’expression car les sous-expressions ont des effets égaux et opposés."
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"En mathématiques, le mot null (de l’allemand : null signifiant « zéro », qui vient du latin : nullus signifiant « aucun ») est souvent associé au concept de zéro ou au concept de rien. Il est utilisé dans des contextes variés allant de « avoir zéro membre dans un ensemble » (par exemple, un ensemble nul) à « avoir une valeur de zéro » (par exemple, un vecteur nul)."
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≪ L'ensemble vide peut être noté d'un O barré, à savoir ∅ ou simplement { }, qui est une paire d'accolades ne contenant qu'une espace, pour représenter un ensemble qui ne contient rien. La notation ∅ a été introduite par André Weil, dans le cadre de l'institution de notations par le groupe Bourbaki. Von Neumann dans son article de 1923, qui est l'une des premières références qui l'aborde, le note O. Propriétés pour tout ensemble A : l'ensemble vide est un sous-ensemble de A : ∅ ⊂ A; l'union de A avec l'ensemble vide est A : ∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A, soit : l'ensemble vide est neutre pour la réunion; l'intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide : ∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅, soit : l'ensemble vide est absorbant pour l'intersection; le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même : A ⊂ ∅ ⇔ A = ∅, donc l'ensemble des parties de l'ensemble vide est un singleton, dont l'élément est l'ensemble vide : P(∅)={∅}; le produit cartésien de A par l'ensemble vide est vide : A × ∅ = ∅ × A = ∅, soit : l'ensemble vide est absorbant pour le produit cartésien; si A est non vide, l'ensemble des applications de A dans l'ensemble vide est vide : A ≠ ∅ ⇒ ∅A = ∅ ; l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans A est un singleton, dont l'élément est l'« application vide de ∅ dans A » (de graphe ∅). Si on la note ∅A, on a donc : A∅ = {∅A}. Par exemple, {0, 1}∅ = {∅; {0, 1}}, ce qui est cohérent avec l'égalité P(∅ )={∅ } ci-dessus.≫ Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.
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≪ En mathématiques, la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun nombre. Sa valeur numérique est par convention égale à zéro. Ce fait est particulièrement utile en mathématiques et en particulier en algèbre. Un cas simple et bien connu est a + 0 = a. L'addition de zéro à un nombre quelconque donne toujours comme résultat ce nombre, parce que nous avons ajouté zéro copie de a, c'est-à-dire rien. Plus généralement, étant donné une opération d'addition sur une certaine collection d'objets, la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun objet de l'ensemble. Elle est généralement définie comme étant égale à l'élément neutre quand ce dernier existe pour l'opération donnée. Le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun nombre. Sa valeur numérique vaut par convention un. Ce fait est utile en algèbre et dans l'étude des séries entières. Deux exemples fréquents sont a0 = 1 (tout nombre élevé à la puissance zéro donne un) et 0! = 1 (factorielle de zéro vaut un). Plus généralement, étant donné une opération de multiplication sur une certaine collection d'objets, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun objet de l'ensemble. Il est généralement défini comme étant égal à l'élément neutre quand ce dernier existe pour l'opération donnée.≫
Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.
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I) LA DIFFERENCE ENTRE LA FONCTION D'ANNULATION DE L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES ET LA FONCTION DE VIDE
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dans le cas d'une opération par la fonction d'annulation, notée NULL([xᵢ]⋆⋆⋆[xᵢ;xᵢ₊ₓ]=[xᵢ₊₁;xₓ]), on élimine des valeurs non nulles remplacées par 0 pour préserver le cardinal de l'ensemble dans lequel l'opération d'annulation a été effectuée.∴
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X) LA FONCTION DE VIDE CARACTERISTIQUE DE L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES
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La nouvelle fonction N° 20, la fonction Nbrelt(SeqA) dont on obtient son expression correspondante à la somme sigma de sa fonction caractéristique définie comme suit:
1A: S→ {0,1}
1A(∅∉ S={SeqA} ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ≠∅;
et 1A(∅ ∉ S={SeqA} ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ=∅, (par définition le symbole ∅ correspondant à la notation de l'ensemble vide représente un ensemble qui ne contient rien), et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(Nbrelt(SeqA)) est, sachant que la définition de la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun nombre dont sa valeur numérique est par convention égale à zéro, et donc après avoir donné la définition de Eₙ , soit, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R, Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉ (82):
∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R: 1A(Nbrelt(SeqA))=⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉ (83); donc nous obtenons la valeur du nombre d'éléments de SeqA correspondant au résultat de la fonction notée Nbrelt(SeqA) égale à la somme sigma des éléments prenant la valeur de 0 ou 1 de sa fonction caractéristique soit:
Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R : Nbrelt(SeqA)=∑[n=1→∞]: ⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉ (84).
∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ
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≪ L'ensemble vide peut être noté d'un O barré, à savoir ∅ ou simplement { }, qui est une paire d'accolades ne contenant qu'une espace, pour représenter un ensemble qui ne contient rien. La notation ∅ a été introduite par André Weil, dans le cadre de l'institution de notations par le groupe Bourbaki. Von Neumann dans son article de 1923, qui est l'une des premières références qui l'aborde, le note O. Propriétés pour tout ensemble A :
l'ensemble vide est un sous-ensemble de A : ∅ ⊂ A; l'union de A avec l'ensemble vide est A : ∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A, soit : l'ensemble vide est neutre pour la réunion; l'intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide : ∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅, soit : l'ensemble vide est absorbant pour l'intersection; le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même : A ⊂ ∅ ⇔ A = ∅, donc l'ensemble des parties de l'ensemble vide est un singleton, dont l'élément est l'ensemble vide : P(∅)={∅ }; le produit cartésien de A par l'ensemble vide est vide : A × ∅ = ∅ × A = ∅ , soit : l'ensemble vide est absorbant pour le produit cartésien; si A est non vide, l'ensemble des applications de A dans l'ensemble vide est vide : A ≠ ∅ ⇒ ∅ A = ∅ ; l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans A est un singleton, dont l'élément est l'« application vide de ∅ dans A » (de graphe ∅). Si on la note ∅A, on a donc : A∅ = {∅ A}. Par exemple, {0, 1}∅ = {∅ ;{0, 1}}, ce qui est cohérent avec l'égalité P(∅ )={∅ } ci-dessus.≫ Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.
La nouvelle fonction N° 20, la fonction Nbrelt(SeqA) dont on obtient son expression correspondante à la somme sigma de sa fonction caractéristique définie comme suit:
1A: S→ {0,1}
1A(∅∉ S={SeqA} ∧ xₙ∈ S={SeqA})=1, si xₙ≠∅;
et 1A(∅∉ S={SeqA} ∧ xₙ∈ S={SeqA})=1, si xₙ=∅, (par définition le symbole ∅ correspondant à la notation de l'ensemble vide représente un ensemble qui ne contient rien), et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(Nbrelt(SeqA)) est, sachant que la définition de la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun nombre dont sa valeur numérique est par convention égale à zéro, et donc après avoir donné la définition de Eₙ, soit, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ∈ S ⊆ R, Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉(82):
∀ n ∈ N*, ∀ xₙ∈ S ⊆ R: 1A(Nbrelt(SeqA))=⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉(83); donc nous obtenons la valeur du nombre d'éléments de SeqA correspondant au résultat de la fonction notée Nbrelt(SeqA) égale à la somme sigma des éléments prenant la valeur de 0 ou 1 de sa fonction caractéristique soit:
Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ∈ S ⊆ R : Nbrelt(SeqA)=∑[n=1→∞]: ⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉(84).
∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊₋₌₍₎ₐₑₒₓₔₕₖₗₘₙₚₛₜⱼ
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≪ En mathématiques, la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun nombre. Sa valeur numérique est par convention égale à zéro. Ce fait est particulièrement utile en mathématiques et en particulier en algèbre. Un cas simple et bien connu est a + 0 = a. L'addition de zéro à un nombre quelconque donne toujours comme résultat ce nombre, parce que nous avons ajouté zéro copie de a, c'est-à-dire rien. Plus généralement, étant donné une opération d'addition sur une certaine collection d'objets, la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun objet de l'ensemble. Elle est généralement définie comme étant égale à l'élément neutre quand ce dernier existe pour l'opération donnée. Le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun nombre. Sa valeur numérique vaut par convention un. Ce fait est utile en algèbre et dans l'étude des séries entières. Deux exemples fréquents sont a0 = 1 (tout nombre élevé à la puissance zéro donne un) et 0! = 1 (factorielle de zéro vaut un). Plus généralement, étant donné une opération de multiplication sur une certaine collection d'objets, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun objet de l'ensemble. Il est généralement défini comme étant égal à l'élément neutre quand ce dernier existe pour l'opération donnée.≫ Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.∴
II) LA FONCTION VIDE DE L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES
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La nouvelle fonction N° 20, la fonction Nbrelt(SeqA) dont on obtient son expression correspondante à la somme sigma de sa fonction caractéristique définie comme suit:
1A: S→ {0,1}
1A(∅∉ S={SeqA} ∧ xₙ∈ S={SeqA})=1, si xₙ≠∅;
et 1A(∅∉ S={SeqA} ∧ xₙ∈ S={SeqA})=1, si xₙ=∅, (par définition le symbole ∅ correspondant à la notation de l'ensemble vide représente un ensemble qui ne contient rien), et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(Nbrelt(SeqA)) est, sachant que la définition de la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun nombre dont sa valeur numérique est par convention égale à zéro, et donc après avoir donné la définition de Eₙ, soit, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ∈ S ⊆ R, Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉(82):
∀ n ∈ N*, ∀ xₙ∈ S ⊆ R: 1A(Nbrelt(SeqA))=⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉(83); donc nous obtenons la valeur du nombre d'éléments de SeqA correspondant au résultat de la fonction notée Nbrelt(SeqA) égale à la somme sigma des éléments prenant la valeur de 0 ou 1 de sa fonction caractéristique soit:
Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ∈ S ⊆ R : Nbrelt(SeqA)=∑[n=1→∞]: ⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉(84).
∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊₋₌₍₎ₐₑₒₓₔₕₖₗₘₙₚₛₜⱼ