75: 1'A XXXII NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE DU PGCD ET DU PPCM

∴

Article de cette rubrique en cours de rédaction!

∴

© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

∴

XXXIII) LES EXPRESSIONS NON SYSTÉMATIQUES OU PARTIELLEMENT SYSTÉMATIQUES DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND ÉQUIVALENTES À L’EXPRESSION DE LA RELATION DE PGCD

∴

La relation modulaire s'écrit avec le terme de a modulo b sachant que le modulo est abrégé dans la relation qui s'écrit a mod b. L'opérateur mod retourne alors un nombre appelé le modulo ou résidu (le reste de la division euclidienne a/b) toujours compris entre 0 (inclus) et le diviseur b (exclu) et qui a le même signe que le diviseur b. En général, a mod b=a−⌊a/b⌋×b. Par exemple, 9 mod 4 = 9 − ⌊9/4⌋×4 = 9 − 2×4 = 1. Nous utiliserons exceptionnelement ici la notation mod(a,b) équivalente à la notation a mod b pour mieux différencier la fonction modulo de la relation de congruence modulo comprenant cette opérateur modulo ou mod. Sa notation, mod(a,b)=a−⌊a/b⌋*b sera donc utilisée dans tous nos développements d'expressions mathématiques dans tous les sous titres des rubriques qui suivront consacrées au PPCM et au PGCD. Si nous utiliserons une notation différente de la notation conventionnelle a mod b  soit mod(a,b), c'est pour des raisons de lisibilité des formules, car la virgule délimitant l'espace de deux valeurs à l'intérieur d'une parenthèse est un repère pratique et nécessaire pour identifier l'ordre des membres dans les très longues expressions contenant ce type d'opérateur avec celui de la fonction plancher et de la fonction plafond. 

∴

1.1.a) Les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo équivalentes aux expressions non généralisables du PGCD

∴

Après un rappel de la notation de l'opérateur modulo non standard exceptionnellement adoptée en dessous du titre de notre rubrique, maintenant donc, et contrairement à la rubrique précédente qui est un exposé de la méthodologie utilisée pour systématiser les expressions du PGCD, c'est à dire, le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers non nuls c'est-à-dire le plus grand entier qui les divise simultanément  ici donc, dans cette nouvelle rubrique nous utilisons le calcul de chacune des expressions du PGCD et du PPCM sur un intervale donné afin de trouver une éventuellerépétition structurelle que nous exposerons dans le deuxiemme sous titre 1.1.b) après que nous ayons développé dans cette première partie l'expression du PGCD(a;b) soit le PGCD de deux nombres de l'ensemble N* que nous ferons varier pour le nombre a comme prenant l'ensemble de toutes les valeurs de N* tandis que le nombre b prendra les valeurs de 2 à 100 correspondant aux 99 formules non systématiques c'est-à-dire non généralisables d'expression des fonctions plancher, plafond et modulo équivalente à l'expression du PGCD. Nous écrivons maintenant ces expressions à deux variables a=n ∈ N*  et b, non généralisables de l'expression du PGCD en plusieurs points, compris entre 2 et 100 pour la variable b et variant sur l'ensemble N pour la variable a, soit:

• Si b= 2, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=(3-mod(n-1,b)+b*mod(n,b))        (1)

b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b     (1'). 

La représentation de l'expression (1'), avec b=2, soit PGCD(n,2) est Seqpgcd(n;2)=(1,2,1,2,1,2,1,2,1,21,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,21,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,21,2,1,2...).

• Si b=3, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b             (1'). 

La représentation de l'expression (1') avec b=3, soit l'expression du PGCD(n,3) est:

 Seqpgcd(n;3)=(1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,.).

• Si b=4, alors ∀ a=n ∈ N*:

 PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1      (2)

La représentation de l'expression (2), soit l'expression du PGCD(n,4) est:

 Seqpgcd(n;4)=(1,2,1,4,1,2,1,4,1,2,1,4,1,2,.).

• Si b=5, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b      (1').

La représentation de l'expression (1') avec b=5, soit l'expression du PGCD(n,5) est:

 Seqpgcd(n;5)=(1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,51,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,....).

• Si b= 6,  alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1       (2').

La représentation de l'expression (2'), soit l'expression du  PGCD(n,6) est:

 Seqpgcd(n;6)=(1,2,3,2,1,6,1,2,3,2,1,6,1,2,3,2,1,6,1,2,3,2,1,6,1,2,3,2,1,6,1,2,3,2,1,6,.).

• Si b=7, alors ∀ a=n ∈ N*:

 PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b        (1').

La représentation de l'expression (1') avec b=7, soit l'expression du PGCD(n,7) est:

 Seqpgcd(n;7)=(1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7...).

• Si b= 8, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=(5-mod(n-1,2)-2*mod(n,2)+(-mod(n,4)-mod(-n,4))/2)*(3-mod(n-1,2)-2*mod(n,2))/(((2-mod(n,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(b-mod(n,b)-mod(-n,b))/b)+(b-mod(n,b)-mod(-n,b))/b)        (3).

La représentation de l'expression (3), soit l'expression du PGCD(n,8) est:

 Seqpgcd(n;8)=(1,2,1,4,1,8,1,2,1,4,1,8,1,2,1,4,1,8,1,2,1,4,1,8,1,2,1,4,1,8,1,2,1,4,1,8,1,2,1,4,1,8,....).

• Si b=9, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1       (2').

La représentation de l'expression (2'), soit l'expression du PGCD(n,9) est:

 Seqpgcd(n;9)=(1,1,3,1,1,3,1,1,9,1,1,3,1,1,3,1,1,9,1,1,3,1,1,3,1,1,9,.1,1,3,1,1,3,1,1,9,1,1,3,1,1,3,1,...).

• Si b=10, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1       (2').

La représentation de l'expression (2'), soit l'expression du PGCD(n,10) est:

 Seqpgcd(n;10)=(1,2,1,2,5,2,1,2,1,10,1,2,1,2,5,2,1,2,1,10,1,2,1,2,5,2,1,2,1,10,1,2,1,2,5,2,1,2,1,10,....).

• Si b=11, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b              (1').   

La représentation de l'expression (1') avec b=11, soit l'expression du PGCD(n,11) est:

 Seqpgcd(n;11)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,1,1,1,1,1,1,..).

• Si b=12, alors ∀ a=n ∈ N*:

 PGCD(a,b)=(3-mod(n-1,2)-2*mod(n,2))*((6-mod(n+4,6)-mod(-n-4,6))/6+mod(1+mod(-n-1,6),(mod(-n-1,6)-mod(n+1,6)-6)/-2+(1-(mod(n+1,6)+mod(-n-1,6))/6)*6/2)+(6-mod(n,6)-mod(-n,6)))/(8-(8-1)*(mod(n+6,8)+mod(-n-6,8))/8-3/4*(8-(8-1)*(mod(n+6,8)+mod(-n-6,8))/(8-1)))-(24-mod(n+18,24)-mod(-n-18,24))/4-(24-mod(n+10,24)-mod(-n-10,24))/12-(24-mod(n+2,24)-mod(-n-2,24))/12         (4).

La représentation de l'expression (4) et ci-dessous (4'), soit l'expression du PGCD(n,12) est:

 Seqpgcd(n;12)=(1,2,3,4,1,6,1,4,3,2,1,12,1,2,3,4,1,6,1,4,3,2,1,12,1,2,3,4,1,6,1,4,3,2,1,12,....).

Remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement moins longue, soit:

Si b=12, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1-(((mod(mod(b-1, mod(b-1, b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1, n-⌈(n-b)/b⌉*b))-(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))*(mod(mod(b-1, mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))    (4')

• Si b= 13, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b           (1').   

La représentation de l'expression (1') avec b=13, soit l'expression du PGCD(n,13) est:

 Seqpgcd(n;13)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,13,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,13,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,13,..).

• Si b=14, alors ∀ a=n ∈ N*:

 PGCD(a,b)= PGCD(n,7)*PGCD(n,2)= (7-6*((mod(n,7)+mod(-n,7))/7)*((3-mod(n-1,2)+2*mod(n,2)))                                (5).  

La représentation de l'expression (5) et ci-dessous (5'), soit l'expression du PGCD(n,14) est:

 Seqpgcd(n;14)=(1,2,1,2,1,2,7, 2,1,2,1,2,1,14,1,2,1,2,1,2,7,2,1,2,1,2,1,14,....).

Remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, soit:

Si b=14, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1-(((mod(mod(b-1, mod(b-1, b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1, n-⌈(n-b)/b⌉*b))-(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))*(mod(mod(b-1, mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))               (5').

• Si b=15, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=pgcd(n,3)*pgcd(n,5)=(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b)*(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b)                                       (1')*(1')=(6).        

La représentation de l'expression (6) et ci-dessous (6'), soit l'expression du PGCD(n,15) est:

 Seqpgcd(n;15)=(1,1,3,1,5,3,1,1,3,5,1,3,1,1,15,1,1,3,1,5,3,1,1,3,5,1,3,1,1,15,1,1,3,1,5,3,1,1,3,

5,1,3,1,1,15,1,1,3,1,5,3,1,1,3,5,1,3,1,1,15..).

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, soit:

Si b=15, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1-(((mod(mod(b-1, mod(b-1, b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1, n-⌈(n-b)/b⌉*b))-(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))*(mod(mod(b-1, mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))           (6')=(5').

• Si b=16, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=PGCD(n,2³)+(2⁴-mod(n,2⁴)-mod(-n,2⁴))/2=(5-mod(n-1,2)-2*mod(n,2)+(-mod(n,4)-mod(-n,4))/2)*(3-mod(n-1,2)-2*mod(n,2))/(((2-mod(n,2)-mod(-n,2))/2+1)*(1-(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)+(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)+(2⁴-mod(n,2⁴)-mod(-n,2⁴))/2    (7).

La représentation de l'expression (7) et ci-dessous (7'), soit l'expression du PGCD(n,16) est:

 Seqpgcd(n;16)=(1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1,16,1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1,16,....).

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment, est comparativement moins longue, soit:

Si b=16, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1-(mod(n-⌈(n-b)/b⌉*b,mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1))    (7')

• Si b=17, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b   (1')

La représentation de l'expression (1') avec b=17 , soit l'expression du PGCD(n,17) est:

Seqpgcd(n;17)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,17,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,17,1,1,1,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,17,1,1..).

• Si b=18, alors ∀ a=n ∈ N*:

 PGCD(a,b)=PGCD(n,3²)*PGCD(n,2)=(5-mod(n-1,2)-2*mod(n,2)+(-mod(n,4)-mod(-n,4))/2)*(3-mod(n-1,2)-2*mod(n,2))/(((2-mod(n,2)-mod(-n,2))/2+1)*(1-(8-mod(n,b)-mod(-n,8))/8)+(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)*(3-mod(n-1,2)+2*mod(n,2))        (8).

La représentation de l'expression (8) et ci-dessous (8'), soit l'expression du PGCD(n,18) est:

 Seqpgcd(n;18)=(1,2,3,2,1,6,1,2,9,2,1,6,1,2,3,2,1,18,1,2,3,2,1,6,1,2,9,2,1,6,1,2,3,2,1,18,1,2,3,2,1,6,1,

2,9,2,1,6,1,2,3,2,1,18...).

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, soit:

Si b=18, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1-(((mod(mod(b-1, mod(b-1, b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1, n-⌈(n-b)/b⌉*b))-(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))*(mod(mod(b-1, mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))       (8')=(6')=(5')

• Si b=19, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b       (1')

La représentation de l'expression (1') avec b=19, soit l'expression du PGCD(n,19) est:

 Seqpgcd(n;19)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,19,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,19,1,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,19..).

• Si b=20, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,5)*PGCD(n,2²)=(5-4*((mod(n,5)+mod(-n,5))/5)*(mod(3,mod(3,4+n-⌈n/4⌉*4)+1)+1)             (9).

La représentation de l'expression (9) et ci-dessous (9'), soit l'expression du PGCD(n,20) est:

 Seqpgcd(n;20)=(1,2,1,4,5,2,1,4,1,10,1,4,1,2,5,4,1,2,1,20,1,2,1,4,5,2,1,4,1,10,1,4,1,2,5,4,1,2,1,20,1,2,

1,4,5,2,1,4,1,10,1,4,1,2,5,4,1,2,1,20...).

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, soit:

Si b=20, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1-(((mod(mod(b-1, mod(b-1, b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1, n-⌈(n-b)/b⌉*b))-(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))*(mod(mod(b-1, mod(b-1,b+n-⌈n/b⌉*b)+1)+1,n-⌈(n-b)/b⌉*b)))       (9')=(8')=(6')=(5')

• Si b=21, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=PGCD(n,7)*PGCD(n,3)=(7-6*((mod(n,7)+mod(-a,7))/7)*(3-2*((mod(n,3)+mod(-n,3))/3)                      (10). 

La représentation de l'expression (10) et ci-dessous (10') avec b=21, soit l'expression du PGCD(n,21) est:

 Seqpgcd(n;21)=(1,1,3,1,1,3,7,1,3,1,1,3,1,7,3,1,1,3,1,1,21,1,1,3,1,1,3,7,1,3,1,1,3,1,7,3,1,1,3,1,1,21,1,1,

3,1,1,3,7,1,3,1,1,3,1,7,3,1,1,3,1,1,21...).

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, soit:

Si b=21, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,(b+n-⌈n/b⌉*b)+b-⌈b/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b))+1)+1-(mod(b-⌈(b-(b+n-⌈n/b⌉*b))/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b),mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,(b+n-⌈n/b⌉*b)+b-⌈b/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b))+1)+1))            (10').

• Si b=22, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=PGCD(n,11)*PGCD(n,2)=(11-10*((mod(n,11)+mod(-n,11))/11)*(2-1*((mod(n,2)+mod(-n,2))/2)          (11). 

La représentation de l'expression (11) et ci-dessous (11') avec b=22, soit l'expression du PGCD(n,22) est:

 Seqpgcd(n;22)=(1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,11,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,22,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,11,2,1,2,1,2,1,2,

1,2,1,22,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,11,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,22,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,11,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,22..).

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, soit:

Si b=22, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,(b+n-⌈n/b⌉*b)+b-⌈b/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b))+1)+1-(mod(b-⌈(b-(b+n-⌈n/b⌉*b))/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b),mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,(b+n-⌈n/b⌉*b)+b-⌈b/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b))+1)+1))           (11')=(10').

• Si b=23, alors ∀ a ∈ N, 

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b          (1)'

La représentation de l'expression (1)' avec b=23, soit l'expression du PGCD(n,23) est:

 Seqpgcd(n;23)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,23,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,

1,23,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,23,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,23,.).

• Si b=24, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,3)*PGCD(n,2³)=((b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b))*((5-mod(n-1,2)-2*mod(n,2)+(-mod(n,4)-mod(-n,4))/2)*(3-mod(n-1,2)-2*mod(n,2))/(((2-mod(n,2)-mod(-n,2))/2+1)*(1-(b-mod(n,b)-mod(-n,b))/b)+(b-mod(n,b)-mod(-n,b))/b))               (12). 

La représentation de l'expression (12) et ci-dessous (12)' avec b=24, soit l'expression du PGCD(n,24) est:

 Seqpgcd(n;24)=(1,1,3,1,1,3,7,1,3,1,1,3,1,7,3,1,1,3,1,1,21,1,1,3,1,1,3,7,1,3,1,1,3,1,7,3,1,1,3,1,1,21,1,1,

3,1,1,3,7,1,3,1,1,3,1,7,3,1,1,3,1,1,21...).

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, soit:

Si b=24, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,(b+n-⌈n/b⌉*b)+b-⌈b/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b))+1)+1-(mod(b-⌈(b-(b+n-⌈n/b⌉*b))/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b),mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,(b+n-⌈n/b⌉*b)+b-⌈b/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b))+1)+1))               (12)'=(11)'=(10)'.

• Si b=25, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=(5-4*((mod(n,5)+mod(-n,5))/5)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b)+b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/(b-1)     (13).

La représentation de l'expression (13), et ci-dessous (13)' avec b=25, soit l'expression du PGCD(n,25) est:

 Seqpgcd(n;25)=(1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,25,1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,

1,1,1,1,5,1,1,1,1,25,1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,5,1,1,1,1,25,...).

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, soit:

Si b=25, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,(b+n-⌈n/b⌉*b)+b-⌈b/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b))+1)+1-(mod(b-⌈(b-(b+n-⌈n/b⌉*b))/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b),mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,mod((b+n-⌈n/b⌉*b)-1,(b+n-⌈n/b⌉*b)+b-⌈b/(b+n-⌈n/b⌉*b)⌉*(b+n-⌈n/b⌉*b))+1)+1))               (13)'=(12)'=(11)'=(10)'.

• Si b=26, alors ∀ a=n ∈ N*

PGCD(a,b)=PGCD(n,2)*PGCD(n,13)=((2-1*((mod(n,2)+mod(-n,2))/2))*((13-12*((mod(n,13)+mod(-n,13))/13))    (14)

La représentation de l'expression (14),et ci-dessous (14)' et (14)'' avec b=26, soit l'expression du PGCD(n,26) est:

 Seqpgcd(n;26)=(1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,13,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,26,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,

13,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,26,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,13,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,26,......).

Remarquons qu'il est possible de généraliser l'expression (14) par l'expression de la multiplication de deux PGCD(a,b)*PGCD(a,b'), définie comme suit:

 ∀ a=n ∈ N*, ∀ b ≠ b' ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}:

 PGCD(a,b)*PGCD(a,b')=PGCD(a,b*b')=(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b)*(b'-(b'-1)*((mod(n,b')+mod(-n,b'))/b')      

  

Donc  ∀ a=n ∈ N*, pour b=2 et b'=13

PGCD(n,2)*PGCD(n,13)=PGCD(n,2*13)=(2-1*((mod(n,2)+mod(-n,2))/2)*(13-12*((mod(n,13)+mod(-n,13))/13)      (14)'.

• Si b=27, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=(3-(3-1)*(mod(n,3)+mod(-n,3))/3)*(mod(n,b)+mod(-n,b))/b+b-(b-1)*(mod(n,b)+mod(-n,b))/(b-1)+2*((9-mod(n,9)-mod(-n,9)))/3-2*((b-mod(n,b)-mod(-n,b)))/9      (15).

La représentation de l'expression (15), avec b=27, soit l'expression du PGCD(n,27) est:

 Seqpgcd(n;27)=(1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;

1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27.....).

• Si b=28, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,7)*PGCD(n,4)=(7-6*((mod(n,7)+mod(-n,7))/7)* (mod(3,mod(3,b+n-⌈n/4⌉*4)+1)+1)       (16)

La représentation de l'expression (16), avec b=28, soit l'expression du PGCD(n,28) est:

 Seqpgcd(n;28)=(1;2;1;4;1;2;7;4;1;2;1;4;1;14;1;4;1;2;1;4;7;2;1;4;1;2;1;28;1;2;1;4;1;2;7;4;1;2;1;4;1;14;

1;4;1;2;1;4;7;2;1;4;1;2;1;28;1;2;1;4;1;2;7;4;1;2;1;4;1;14;1;4;1;2;1;4;7;2;1;4;1;2;1;28;.....).

• Si b=29, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b      (1)'

La représentation de l'expression (1)' avec b=29, soit l'expression du PGCD(n,29) est:

 Seqpgcd(n;29)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,29,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,29,.).

• Si b=30, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(a,5)*PGCD(a,6)=(5-4*((mod(n,5)+mod(-n,5))/5)*(mod(5,mod(5,6+n-⌈n/6⌉ *6)+1)+1)                       (17).

La représentation de l'expression (17) avec b=30, soit l'expression du PGCD(n,30) est:

 Seqpgcd(n;30)=(1;2;3;2;5;6;1;2;3;10;1;6;1;2;15;2;1;6;1;10;3;2;1;6;5;2;3;2;1;30;1;2;3;2;5;6;1;2;3;

10;1;6;1;2;15;2;1;6;1;10;3;2;1;6;5;2;3;2;1;30;......) 

• Si b=31, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b           (1)'

La représentation de l'expression (1)' avec b=31, soit l'expression du PGCD(n,31) est:

 Seqpgcd(n;31)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,31,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,31.).

• Si b=32, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=PGCD(n,16)+(32-mod(n,32)-mod(-n,32))/2=(5-mod(n-1,2)-2*mod(n,2)+(-mod(n,4)-mod(-n,4))/2)*(3-mod(n-1,2)-2*mod(n,2))/(((2-mod(n,2)-mod(-n,2))/2+1)*(1-(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)+(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)+(2⁴-mod(n,2⁴)-mod(-n,2⁴))/2+(32-mod(n,32)-mod(-n,32))/2           (18).

La représentation de l'expression (18) avec b=32, soit l'expression du PGCD(n,32) est:

 Seqpgcd(n;32)=(1;2;1;4;1;2;1;8;1;2;1;4;1;2;1;16;1;2;1;4;1;2;1;8;1;2;1;4;1;2;1;32;1;2;1;4;1;2;1;8;1;

2;1;4;1;2;1;16;1;2;1;4;1;2;1;8;1;2;1;4;1;2;1;32;1;2;1;4;1;2;1;8;1;2;1;4;1;2;1;16;1;2;1;4;1;2;1;8;1;2;1;4;1;2;1;32;.....).

• Si b=33, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,3)*PGCD(n,11)=(3-2*((mod(n,3)+mod(-n,3))/3)*(11-10*((mod(n,11)+mod(-n,11))/11)            (19).

La représentation de l'expression (19) avec b=33, soit l'expression du PGCD(n,33) est: 

Seqpgcd(n;33)=(1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;11;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;33;1;1;3;1;1;3;1;1;3;

1;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;11;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;33.......)

• Si b=34, alors ∀ a=n ∈ N*:

 PGCD(a,b)=PGCD(n,2)*PGCD(n,17)=((2-1*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))*(17-16*((mod(a,17)+mod(-a,17))/17)                   (20)

La représentation de l'expression (20) avec b=34, soit l'expression du PGCD(n,34) est: 

Seqpgcd(n;34)=(1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;17;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;34;1;2;1;2;1;2;

1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;17;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;34;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;17;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;34;......).

• Si b=35, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=PGCD(n,5)*PGCD(n,7)=((5-4*((mod(n,5)+mod(-n,5))/5))*(7-6*((mod(n,7)+mod(-n,7))/7)                     (21)

La représentation de l'expression (21) avec b=35, soit l'expression du PGCD(n,35) est: 

Seqpgcd(n;35)=(1,1,1,1,5,1,7,1,1,5,1,1,1,7,5,1,1,1,1,5,7,1,1,1,5,1,1,7,1,5,1,1,1,1,35,1,1,1,1,5,1,7,1,1,5,

1,1,1,7,5,1,1,1,1,5,7,1,1,1,5,1,1,7,1,5,1,1,1,1,35.....).

• Si b=36, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD=(a,b)=PGCD(n,2²)*PGCD(n,3²)=(mod(3,mod(3,4+n-⌈n/4⌉*4)+1)+1)*(mod(8,mod(8,9+n-⌈n/9⌉*9)+1)+1)               (22)

La représentation de l'expression (22) avec b=36, soit l'expression du PGCD(n,36) est: 

Seqpgcd(n;36)=(1;2;3;4;1;6;1;4;9;2;1;12;1;2;3;4;1;18;1;4;3;2;1;12;1;2;9;4;1;6;1;4;3;2;1;36;1;2;3;4;1;6;

1;4;9;2;1;12;1;2;3;4;1;18;1;4;3;2;1;12;1;2;9;4;1;6;1;4;3;2;1;36;1;2;3;4;1;6;1;4;9;2;1;12;1;2;3;4;1;18;1;4;3;2;1;12;1;2;9;4;1;6;1;4;3;2;1;36.....).

• Si b=37, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b        (1)'

La représentation de l'expression (1)' avec b=37, soit l'expression du PGCD(n,37) est: 

Seqpgcd(n;37)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,37,1,1,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,37,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,37,.....).

• Si b=38, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,19)*PGCD(n,2)=((2-1*((mod(n,2)+mod(-n,2))/2))*(19-18*((mod(n,19)+mod(-n,19))/19)                         (23).

La représentation de l'expression (23) avec b=38, soit l'expression du PGCD(n,38) est: 

Seqpgcd(n;38)=(1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,19,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,38,1,2,1,2,1,2,

1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,19,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,38,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,19,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,38,...)

• Si b=39, alors ∀ a=n ∈ N*:  

PGCD(a,b)=PGCD(n;3*13)=PGCD(n;3)*PGCD(n;13)=(3-2*((mod(n,3)+mod(-n,3))/3) * (13-12*((mod(n,13)+mod(-n,13))/13 )                   (24)

 La représentation de l'expression (24) avec b=39, soit l'expression du PGCD(n,39) est: 

Seqpgcd(n;39)=(1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,13,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,13,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,39,,1,3,1,

1,3,1,1,3,1,1,3,13,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,13,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,39,,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,13,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,13,1,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,39,.....).

• Si b=40, alors ∀ a=n ∈ N*:  

 PGCD(a,b)=PGCD(n,5)*PGCD(n,8)= ((5-4*((mod(n,5)+mod(-n,5))/5))*((5-mod(n-1,2)-2*mod(n,2)+(-mod(n,4)-mod(-n,4))/2)*(3-mod(n-1,2)-2*mod(n2))/(((2-mod(n,2)-mod(-n,2))/2+1)*(1-(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)+(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)            (25)

La représentation de l'expression (25) avec b=40, soit l'expression du PGCD(n,40) est: 

Seqpgcd(n;40)=(1;2;1;4;5;2;1;8;1;10;1;4;1;2;5;8;1;2;1;20;1;2;1;8;5;2;1;4;1;10;1;8;1;2;5;

4;1;2;1;40;1;2;1;4;5;2;1;8;1;10;1;4;1;2;5;8;1;2;1;20;1;2;1;8;5;2;1;4;1;10;1;8;1;2;5;

4;1;2;1;40......)

• Si b=41, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b            (1)'

La représentation de l'expression (1)' avec b=41, soit l'expression du PGCD(n,41) est: 

Seqpgcd(n;41)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,41,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,41,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,41,...).

• Si b=42, alors ∀ a ∈ N, 

PGCD(a,b)=PGCD(n,7)*pgcd(n,6)=(7-6*((mod(n,7)+mod(-n,7))/7)*(mod(5,mod(5,6+n-ceil(n/6)*6)+1)+1)           (26)

La représentation de l'expression (26) avec b=42, soit l'expression du PGCD(n,42) est: 

Seqpgcd(n;42=(1;2;3;2;1;6;7;2;3;2;1;6;1;14;3;2;1;6;1;2;21;2;1;6;1;2;3;14;1;6;1;2;3;2;7;6;1;2;3;2;1;42;

1;2;3;2;1;6;7;2;3;2;1;6;1;14;3;2;1;6;1;2;21;2;1;6;1;2;3;14;1;6;1;2;3;2;7;6;1;2;3;2;1;42.....)

• Si b=43, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b        (1)'

La représentation de l'expression (1)' avec b=43, soit l'expression du PGCD(n,43) est: 

Seqpgcd(n;43)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,41,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,43,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,43...).

• Si b=44, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,11)*PGCD(n,4)=(11-10*((mod(n,11)+mod(-n,11))/11)*(mod(3,mod(3,4+n- ⌈n/4⌉*4)+1)+1)           (27)

La représentation de l'expression (27) avec b=44, soit l'expression du PGCD(n,44) est: 

Seqpgcd(n;44)=(1,2,1,4,1,2,1,4,1,2,11,4,1,2,1,4,1,2,1,4,1,22,1,4,1,2,1,4,1,2,1,4,11,2,1,4,1,2,1,4,1,2,1,

44,1,2,1,4,1,2,1,4,1,2,11,4,1,2,1,4,1,2,1,4,1,22,1,4,1,2,1,4,1,2,1,4,11,2,1,4,1,2,1,4,1,2,1,44.....)

• Si b=45, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=PGCD(n,9)*pgcd(n,5)=(mod(8,mod(8,8+n-⌈n/9⌉*9)+1)+1)*((5-4*((mod(n,5)+mod(-n,5))/5))                  (28)

La représentation de l'expression (28) avec b=45, soit l'expression du PGCD(n,45) est: 

Seqpgcd(n;45)=(1;1;3;1;5;3;1;1;9;5;1;3;1;1;15;1;1;9;1;5;3;1;1;3;5;1;9;1;1;15;1;1;3;1;5;9;1;1;3;5;1;3;1;

1;45,1;1;3;1;5;3;1;1;9;5;1;3;1;1;15;1;1;9;1;5;3;1;1;3;5;1;9;1;1;15;1;1;3;1;5;9;1;1;3;5;1;3;1;1;45.....).

• Si b=46, alors ∀ a=n ∈ N*:

 PGCD(a,b)=PGCD(n,23)*PGCD(n,2)=(23-22*((mod(n,23)+mod(-n,23))/23)*((2-1*((mod(n,2)+mod(-n,2))/2))             (29)

La représentation de l'expression (29) avec b=46, soit l'expression du PGCD(n,46) est: 

Seqpgcd(n;46)=(1;1;3;1;5;3;1;1;9;5;1;3;1;1;15;1;1;9;1;5;3;1;1;3;5;1;9;1;1;15;1;1;3;1;5;9;1;1;3;5;1;3;1;

1;45,1;1;3;1;5;3;1;1;9;5;1;3;1;1;15;1;1;9;1;5;3;1;1;3;5;1;9;1;1;15;1;1;3;1;5;9;1;1;3;5;1;3;1;1;45.....).

• Si b=47, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)= b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b        (1)'

La représentation de l'expression (1)' avec b=47, soit l'expression du PGCD(n,47) est: 

Seqpgcd(n;47)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,41,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,47,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,47...). 

• Si b=48, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)=PGCD(n,2⁴)*PGCD(n,3)=(mod(16-1,mod(16-1,16+n-⌈n/16⌉*16)+1)+1-(mod(n-⌈(n-16⌉16)*16,mod(b-1,mod(16-1,16+n-⌈n/16⌉*16)+1)+1))) * (3-2*((mod(n,3)+mod(-n,3))/3)       (30)

PGCD(a,b)=((5-mod(n-1,2)-2*mod(n,2)+(-mod(n,4)-mod(-n,4))/2)*(3-mod(n-1,2)-2*mod(n,2))/(((2-mod(n,2)-mod(-n,2))/2+1)*(1-(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)+(8-mod(n,8)-mod(-n,8))/8)+(2⁴-mod(n,2⁴)-mod(-n,2⁴))/2)*(3-(2)*((mod(n,3)+mod(-n,3))/3))         (30')

La représentation des expressions (30) et (30') avec b=48, soit l'expression du PGCD(n,48) est: 

Seqpgcd(n;48)=(1;2;3;4;1;6;1;8;3;2;1;12;1;2;3;16;1;6;1;4;3;2;1;24;1;2;3;4;1;6;1;16;3;2;1;12;1;2;3;8;1;

6;1;4;3;2;1;48;1;2;3;4;1;6;1;8;3;2;1;12;1;2;3;16;1;6;1;4;3;2;1;24;1;2;3;4;1;6;1;16;3;2;1;12;1;2;3;8;1;

6;1;4;3;2;1;48;1;2;3;4;1;6;1;8;3;2;1;12;1;2;3;16;1;6;1;4;3;2;1;24;1;2;3;4;1;6;1;16;3;2;1;12;1;2;3;8;1;

6;1;4;3;2;1;48.....).

• Si b=49, alors ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,7)*PGCD(n,7)-6*(7-mod(a,7)-mod(-a,7))-(49-mod(a,49)-mod(-a,49))/7+(49-mod(a,49)-mod(-a,49))       (31)

PGCD(a,b)=(7-(6)*((mod(n,7)+mod(-n7))/7)*(7-(6)*((mod(n,7)+mod(-n,7))/7)-6*(7-mod(n,7)-mod(-n,7))-(49-mod(n,49)-mod(-n,49))/7+(49-mod(n,49)-mod(-n,49))        (31')

La représentation des expressions (31) et (31') avec b=49, soit l'expression du PGCD(n,49) est: 

Seqpgcd(n;49)=(1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;

1;1;1;1;1;1;49;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;

1;1;1;1;1;1;49;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;1;1;1;1;1;1;7;

1;1;1;1;1;1;49.....).

• Si b=50, alors ∀ a=n ∈ N*:  

pgcd(a,b)=PGCD(n,2)*PGCD(n,25)=((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))*((5-(5-1)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/25)+25-(24)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/(24))    (32)

La représentation des expressions (32) avec b=50, soit l'expression du PGCD(n,50) est: 

Seqpgcd(n;50)=(1;2;1;2;5;2;1;2;1;10;1;2;1;2;5;2;1;2;1;10;1;2;1;2;25;2;1;2;1;10;1;2;1;2;5;2;1;2;1;10

;1;2;1;2;5;2;1;2;1;50;1;2;1;2;5;2;1;2;1;10;1;2;1;2;5;2;1;2;1;10;1;2;1;2;25;2;1;2;1;10;1;2;1;2;5;2;1;2

;1;10;1;2;1;2;5;2;1;2;1;50;...)

• Si b=51, ∀ a=n ∈ N*: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,17)*PGCD(n,3)=(17-(16)*((mod(n,17)+mod(-n,17))/17)*(3-(2)*((mod(n,3)+mod(-n,3))/3)      (33)

La représentation des expressions (33) avec b=51, soit l'expression du PGCD(n,51) est: 

Seqpgcd(n;51)=(1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;17;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;17;1;3;1;1;3;1;1;3;1

;1;3;1;1;3;1;1;51;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;17;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;17;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;51;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;17;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;17;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;3;1;1;51.....)

• Si b=52, ∀ a=n ∈ N*: 

PGCDa,b)=PGCD(n,13)*PGCD(n,4)=((13-(13-1)*((mod(n,13)+mod(-n,13))/13))*((mod(3,mod(3,4+n-⌈n/4⌉*4)+1)+1))          (34).

La représentation des expressions (34) avec b=52, soit l'expression du PGCD(n,52) est: 

Seqpgcd(n;52)=(1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;13;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;26;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;13;4;1;2

;1;4;1;2;1;4;1;2;1;52;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;13;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;26;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;13;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;52....)

• Si b=53, alors ∀ a ∈ N, 

PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b     (1').

• Si b=54, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,27)*pgcd(a,2)=((3-(3-1)*(mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*(mod(a,27)+mod(-a,27))/27+27-(27-1)*(mod(a,27)+mod(-a,27))/(27-1)+2*((9-mod(a,9)-mod(-a,9)))/3-2*((27-mod(a,27)-mod(-a,27)))/9)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=55, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,11)*pgcd(a,5)=(11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=56, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,7)*pgcd(a,2³)=(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8))

• Si b=57, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,19)*pgcd(a,3)=(19-(18)*((mod(a,19)+mod(-a,19))/19)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)

• Si b=58, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,29)*pgcd(a,2)=(29-(28)*((mod(a,29)+mod(-a,29))/29)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=59, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=60, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,2²)*pgcd(a,5)*pgcd(a,3)=(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)*(5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)

• Si b=61, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=62, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,31)*pgcd(a,2)=(31-(30)*((mod(a,31)+mod(-a,31))/31)*(2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)=

• Si b=63, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,3²)*pgcd(a,7)=(mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1)*(7-(7-1)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)

• Si b=64, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,32)+(64-mod(a,64)-mod(-a,64))/2=(5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,b)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2+(32-mod(a,32)-mod(-a,32))/2 + (64-mod(a,64)-mod(-a,64))/2

• Si b=65, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,13)*pgcd(a,5)=((13-(13-1)*((mod(a,13)+mod(-a,13))/13))*((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5))

• Si b=66, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,11)*pgcd(a,3)*pgcd(a,2)=(11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=67, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=68, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,2²)*pgcd(a,17)=(17-(16)*((mod(a,17)+mod(-a,17))/17)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)

• Si b=69, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,23)*pgcd(a,3)=(23-(23-1)*((mod(a,23)+mod(-a,23))/23)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)

• Si b=70, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,10)*pgcd(a,7)=(mod(9,mod(9,10+a-ceil(a/10)*10)+1)+1)*(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)

• Si b=71, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=72, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=gcd(a,2³)*gcd(a,3²)=((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8))*(mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1)

• Si b=73, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=74, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,37)*pgcd(a,2)=(31-(30)*((mod(a,31)+mod(-a,31))/31)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=75, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,25)*pgcd(a,3)=((5-(5-1)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/25)+25-(24)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/(24))*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)

• Si b=76, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,19)*pgcd(a,2²)=(19-(18)*((mod(a,19)+mod(-a,19))/19)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)

• Si b=77, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,11)*pgcd(a,7)=(11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)

• Si b=78, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,39)*pgcd(a,2)=(39-(38)*((mod(a,39)+mod(-a,39))/39)*(2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)

• Si b=79, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=80, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,5)*pgcd(a,2⁴)=((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5))*((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2)

• Si b=81, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,3)*pgcd(a,3)-2*(3-mod(a,3)-mod(-a,3))+2*(81-mod(a,81)-mod(-a,81))/3-((9-mod(a,9)-mod(-a,9))/9)*-6-((27-mod(a,27)-mod(-a,27))/27)*-18=(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)-2*(3-mod(a,3)-mod(-a,3))+2*(81-mod(a,81)-mod(-a,81))/3-((9-mod(a,9)-mod(-a,9))/9)*-6-((27-mod(a,27)-mod(-a,27))/27)*-18. Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est cette fois-ci seulement comparativement plus concise, soit:

pgcd(a,b)=(mod(9-1,mod(9-1,9+a-ceil(a/9)*9)+1)+1)*(ceil(abs(a/(27)))-floor(a/(27))+(1-ceil(abs(a/(27)))-floor(a/(27)))*3+(1-ceil(abs(a/(81)))-floor(a/(81)))*6)

• Si b=82, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,41)*pgcd(a,2)=(41-(40)*((mod(a,41)+mod(-a,41))/41)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=83, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=84, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,7)*pgcd(a,3)*pgcd(a,2²)=(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)

• Si b=85, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,17)*pgcd(a,5)=(17-(16)*((mod(a,17)+mod(-a,17))/17)*(5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)

• Si b=86, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcda,43)*pgcd(a,2)=(43-(42)*((mod(a,43)+mod(-a,43))/43)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=87, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,29)*pgcd(a,3)=(29-(28)*((mod(a,29)+mod(-a,29))/29)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)

• Si b=88, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,11)*pgcd(a,2³)=(11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8))

• Si b=89, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=90, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,10)*pgcd(a,3²)=(mod(9,mod(9,10+a-ceil(a/10)*10)+1)+1)*(mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1)

• Si b=91, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,13)*pgcd(a,7)=((13-(12)*((mod(a,13)+mod(-a,13))/13))*(7-(7-1)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)

• Si b=92, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,23)*pgcd(a,2²)=(23-(22)*((mod(a,23)+mod(-a,23))/23)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)

• Si b=93, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,31)*pgcd(a,3)=(31-(30)*((mod(a,31)+mod(-a,31))/31)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)

• Si b=94, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,47)*pgcd(a,2)=(47-(46)*((mod(a,47)+mod(-a,47))/47)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=95, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,19)*pgcd(a,5)=(19-(18)*((mod(a,19)+mod(-a,19))/19)*((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5))

• Si b=96, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,2⁵)*PGCD(a,3)=((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2+(32-mod(a,32)-mod(-a,32))/2)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)

• Si b=97, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=b-(a-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b

• Si b=98, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,49)*pgcd(a,2)=((7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)-6*(7-mod(a,7)-mod(-a,7))-(49-mod(a,49)-mod(-a,49))/7+(49-mod(a,49)-mod(-a,49)))*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=99, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,11)*pgcd(a,3²)=(11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1)

• Si b=100, alors ∀ a ∈ N, pgcd(a,b)=pgcd(a,5²)*pgcd(a,2²)=(5-(5-1)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/25)+25-(25-1)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/(25-1)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)

⌈ ⌉ 

∴

1.1.b) Les expressions partiellement systématiques des fonctions plancher, plafond et modulo équivalentes aux expressions généralisées et quasi généralisées du PGCD du produit de nombres premiers

∴

"En théorie des nombres, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f(n) d'un entier positif n avec la propriété que f(1) = 1 et f(ab)=f(a)f(b) chaque fois que a et b sont premiers entre eux. Le PGCD est une fonction multiplicative au sens suivant: si a₁ et a₂ sont relativement premiers, alors pgcd(a₁⋅a₂, b) = pgcd(a₁, b)⋅ gcd(a₂, b). En mathématiques, on dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux, que a est premier avec b ou premier à1 b ou encore que a et b sont copremiers (ou encore étrangers) si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun. Des notations standard pour deux entiers a et b premiers entre eux sont : pgcd(a, b) = 1 ou a ∧ b = 1. Si a est premier avec b, a + bc est premier avec b quel que soit l'entier c. En effet, pgcd(b, a + bc) = pgcd(b, a). Si a est premier avec b, alors a + b est premier avec a et b" Extrait del'article intitulé "Fonction Multiplicative" publié sur Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne. 

∴

Ce que partiellement systématique signifie est la systémation de l'expression du PGCD sur un ensemble restreint du domaine de définition de la relation de PGCD. Donc en organisant notre centaine d'exemples précédents nous pouvons observer une premiére forme de systématisation dont d'autres formes généralisées seront dérivées. En effet si b est un nombre premier dont l'ensemble des nombres premiers est noté P, alors l'expression du PGCD est définie comme suit: 

Si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)= b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b              (1)'.

Nous avons aussi remarqué pour le cas par exemple du PGCD(n;14) et du PGCD(n;26) qu'il est possible de généraliser l'expression de la multiplication de deux PGCD(a,b)*PGCD(a,b'), dans nos exemples respectivement PGCD(n;2)*PGCD(n;7) et PGCD(n;2)*PGCD(n;13), par l'expression définie comme suit:

 ∀ a=n ∈ N*, ∀ b ≠ b' ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}:

PGCD(a,b)*PGCD(a,b')=(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b)*(b'-(b'-1)*((mod(n,b')+mod(-n,b'))/b')  (2)

 

PGCD(a,b*b')=(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b) * (b'-(b'-1)*((mod(n,b')+mod(-n,b'))/b' )    (2)'

Remarquons que nous pouvons généraliser l'expression de la multiplication de deux PGCD à trois PGCD(a,b)*PGCD(a,b')*PGCD(a,b''), sur le même modèle multiplicatif d'expressions du PGCD de plusieurs nombres premiers tous différent que précédement, et donc avec l'expression définie comme suit:

 ∀ a=n ∈ N*, ∀ b ≠b' ≠b'' ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}:

PGCD(a,b)*PGCD(a,b')*PGCD(a,b'')=(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b) * (b'-(b'-1)*((mod(n,b')+mod(-n,b'))/b' )  * (b''-(b''-1)*((mod(n,b'')+mod(-n,b''))/b'' )                    (3).

PGCD(a,b*b'*b'')=(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b) * (b'-(b'-1)*((mod(n,b')+mod(-n,b'))/b' )  * (b''-(b''-1)*((mod(n,b'')+mod(-n,b''))/b'' )                                        (3').

Maintenant il nous faut considérer encore le cas particulier de la systématisation partielle de l'expression du PGCD(a;b), soit le PGCD(a,b*b'), ou b=b' ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, c'est à dire le PGCD(a;b²) dont les expressions sont définies comme suit:

Si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a;b²)=(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b) + ( 1-⌈a/b²-⌊a/b²⌋⌉ ) * (b²-b) * b         (4).

PGCD(a;b²)=(1-⌈a/b²-⌊a/b²⌋⌉)*b*( (b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b) )  +  (b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b)  - ( 1-⌈a/b²-⌊a/b²⌋⌉  )              (4)'.

PGCD(a;b²)=(b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b) * (b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b )  - ( (1-⌈n/b-⌊n/b⌋⌉ ) - (1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉)  )*(b²-b)               (4)''.

Si nous remarquons que le PGCD(a;b)²≠PGCD(a;b²)   (5), nous pouvons aussi remarquer que si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, alors ∀ a=n ∈ N*:

 PGCD(a;b)² / PGCD(a;b²) =  PGCD(n;b²)-(1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉)*b²    (6),  et donc que:

PGCD(a;b)² =PGCD(n;b²)²-(PGCD(n;b²)*(1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉)*b²)       (6)'.

Maintenant que nous avons déterminé l'expression du PGCD(a;b²), il nous faut ensuite encore considérer le cas particulier de la systématisation partielle de l'expression du PGCD(a,b), soit le PGCD(a;b²*b') ou b≠b' ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, dont l'expression est définie comme suit:

Si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(n; b²*b')=(b'-(b'-1)*(mod(n;b')+mod(-n;b'))/b')*((b-(b-1)*(mod(n;b)+mod(-n;b))/b)+(1-⌈(n/b²-⌊n/b²⌋)⌉)*(b³-b))         (7).

Si nous remarquons encore que le PGCD(a;b²*b')≠PGCD(a;b²)*PGCD(a;b')   (8), nous pouvons aussi remarquer que:  

( PGCD(a;b)*PGCD(a;b)*PGCD(a;b') ) / PGCD(a;b²*b')=PGCD(n;b²*b')-(1-⌈n/b'-⌊a/b'⌋⌉)*(b'-1) - (1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉)*(b²-1)      (9),  et donc que:

PGCD(a;b)*PGCD(a;b)*PGCD(a;b') =PGCD(n;b²*b')²-PGCD(n;b²*b')*(-(1-⌈n/b'-⌊n/b'⌋⌉)*(b'-1) - (1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉)*(b²-1) )       (9').

Puisque nous avons déterminé l'expression du PGCD(a;b²*b'), il nous faut ensuite encore considérer le cas particulier de la systématisation partielle de l'expression du PGCD(a,b), soit le PGCD(a;b²*b) ou b=b' ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, c'est à dire le PGCD(a;b³) dont l'expression est définie comme suit:

Si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(n;b³)=(1-⌈n/b³-⌊n/b³⌋⌉)*(b³-(b³-1)*((mod(n,b³)+mod(-n,b³))/b³) + ( 1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉ )*(b²-(b²-1)*((mod(n,b²)+mod(-n,b²))/b² ) + (1-⌈n/b-⌊n/b⌋⌉) * (b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) - (1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉)*b - (1-⌈n/b³-⌊n/b³⌋⌉)*b² + ⌈n/b-⌊n/b⌋⌉     (10).

Si nous remarquons encore que le PGCD(a;b³)≠PGCD(a;b)*PGCD(a;b)*PGCD(a;b)    (11), nous pouvons aussi remarquer que:  

( PGCD(a;b)*PGCD(a;b)*PGCD(a;b) ) / PGCD(a;b³)= PGCD(a;b)*PGCD(a;b)*(⌈n/b²-⌊a/b²⌋⌉) + (1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉)*b      (12),  et donc que:

PGCD(a;b)*PGCD(a;b)*PGCD(a;b) =PGCD(n;b³)*PGCD(a;b)*PGCD(a;b)*(⌈n/b²-⌊a/b²⌋⌉) + PGCD(n;b³)*(1-⌈n/b²-⌊n/b²⌋⌉)*b        (12)'.

∴

1.1.c) Application des expressions partiellement systématiques des fonctions plancher, plafond et modulo équivalentes aux expressions généralisées et quasi généralisées du PGCD aux expressions des nombres premiers et des nombres composés et de leurs fonctions caractéristiques respectives:

∴

Dans ce sous-titre je souhaite écrire l'expression sui generis des nombres premiers P ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}; et des nombres composés N* \ P= {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40,42,44,45,46,48,49,50....}, sachant qu'un nombre composé est "un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même. Par définition, chaque entier plus grand que 1 est donc soit un nombre premier, soit un nombre composé, et les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Autre définition : un nombre composé est le produit d'au moins deux nombres premiers qu'ils soient distincts ou identiques"; et de leurs fonctions caractéristiques respectives, en utilisant la seule expression systématique du PGCD que nous avons déterminé précédemment, définie comme suit:

Si b est un nombre premier dont l'ensemble des nombres premiers est noté P, alors l'expression du PGCD est définie comme suit: 

Si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, alors ∀ a=n ∈ N*:

PGCD(a,b)= b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b              (1)'.

Pour déterminer cette expression sui generis des nombres premiers et implicitement des nombres composites, nous allons maintenant utiliser l'expression de la fonction caractéristique de toute séquence de nombres Seqxₙ=(x₀,x₁,x₂,x₄,x₅...) définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(x)=1, si |x|>=1
• 1A(x)=0, si |x|<1

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {1;0}, peut se définir comme suit:

∀ x ∈ Seqxₙ=(x₀,x₁,x₂,x₄,x₅...) ⊂ N*: a(x)=1A(x)=⌈|x|/(|x|+1)⌉      (2).

Donc, si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, et ∀ n ∈ N* alors a(n)=1 ∨ a(n)=0, avec a(n) correspondant à l'expression ci-dessous:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a(n))=1, si b ∈ P
• 1A(a(n))=0, si b ∉ P

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {1;0}, (2)', en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, ai est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série ; n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), peut se définir ensuite comme suit:

∀ n ∈ Seqnₓ=(n₀,n₁,n₂,n₄,n₅...) ⊂ N*: 

a(n)=1A(n)= ( 1- ( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) )- ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈ |n/b-1| ⌉ / (⌈ |n/b-1| ⌉+1)) ⌉ )      (3).  

Si nous multiplions cette expression (3) correspondant à la fonction indicatrice des nombres caractéristiques de la séquence des nombres premiers en un seul point, par la valeur choisie de la variable b alors nous obtenons l'expression d'un nombre premier, c'est-à-dire l'expression de la primalité d'un nombre définie comme suit:

 si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, et ∀ n ∈ N* alors a(n)=b avec a(n) correspondant à l'expression ci-dessous:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a(n))*b=b, si b ∈ P
• 1A(a(n))*b=0, si b ∉ P

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {b;0}, en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, ai est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série ; n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), peut se définir ensuite comme suit:

∀ nₓ ∈ Seqnₓ=(n₀,n₁,n₂,n₄,n₅...) ⊂ N*: 

a(n)=1A(n)*b= ( 1- ( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) )- ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈|n/b-1|⌉ / (⌈ |n/b-1|⌉+1))⌉ )*b      (3)'.  

∴

Illustrons ces expressions précédentes en prenant une première valeur de b=7, et donc en rappelant tout d'abord que la représentation de l'expression (1') avec b=7, soit l'expression du PGCD(n,7) est:

 Seqpgcd(n;7)=(1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7...). Ensuite la représentation de l'expression a(n)=∑n=1→n=∞: PGCD(n,b),  avec b=7 est Seq∑=(1,2,3,4,5,6,13...); puis celle de l'expression de a(n)= ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b est Seq'∑=(1,2,3,4,5,6,13...). La représentation de l'expression (2), soit a(n)=1A(b)=⌈|n|/(|n|+1)⌉ est:

 Seq=(0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0........). Enfin la représentation de l'expression (3), 

soit a(n)=1A(n)= ( 1- ( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) )- ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈ |n/b-1| ⌉ / (⌈ |n/b-1| ⌉+1)) ⌉ ), est Seq=(0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0........) et donc celle de l'expression (3)' est Seq(0;0;0;0;0;0;7;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;...). 

Considérons maintenant un contre-exemple toujours pour illustrer les expressions précédentes en prenant une deuxième valeur de b=10, et donc en rappelant tout d'abord que la représentation de l'expression avec b=10 du PGCD(n,b) est:

 Seqpgcd(n;10)=(1,2,1,2,5,2,1,2,1,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,1,2,1,2,5,2,1,2,1,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,1,2,1,

2,5,2,1,2,1,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,...); et qu'elle n'est plus égale comme dans le cas de notre exemple précédent de b=7, à l'expression (1)' pour b=10, soit a(n)= b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b et donc pour b=10, a(n)=10-(9)*((mod(n,9)+mod(-n,10))/10 dont la représentation est Seq=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,1,1,1,1,.......). 

Ensuite la représentation de l'expression a(n)=∑n=1→n=∞: PGCD(n,b),  avec b=10 est Seq∑=(1,3,4,6,11,13,14,16,17,27,...); puis celle de l'expression de a(n) ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b, avec b=10 est Seq'∑=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,20,21,22,...). La représentation de l'expression (2), soit a(n)=1A(b)=⌈|n|/(|n|+1)⌉ pour b=10 est Seq=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;

0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1........). Enfin la représentation de l'expression (3), soit a(n)=1A(n)= ( 1- ( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) )- ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈ |n/b-1| ⌉ / (⌈ |n/b-1| ⌉+1)) ⌉ ), est pour b=10, Seq=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;...), et donc celle de l'expression (3)' est Seq(0;0;0;0;0;0;0;0;0;10;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0........). 

∴

Donc maintenant nous pouvons déduire l'expression  de la fonction indicatrice d'un nombre composé ainsi que l'expression de tout nombre composé toujours en un seul point en considérant comme précédemment que si b ∈ N*\P={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40,42,44,45,46,

48,49,50....}, et ∀ n ∈ N* alors a(n)=1 ∨ a(n)=0, avec a(n) correspondant à l'expression ci-dessous:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a(n))=1, si b ∈ N*\P
• 1A(a(n))=0, si b ∉ N*\P

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {1;0},  (2)'' peut en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)_i ], où i représente l'indice de sommation, a_i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série ; n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), se définir ensuite comme suit:

∀ nₓ ∈ Seqnₓ=(n₀,n₁,n₂,n₄,n₅...) ⊂ N*: 

a(n)=1A(n)=(( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - (∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈ |n/b-1| ⌉ / (⌈ |n/b-1| ⌉+1)) ⌉ )      (4).  

Si nous multiplions cette expression (4) correspondant à la fonction indicatrice des nombres caractéristiques de la séquence des nombres composés en un seul point, par la valeur choisie de la variable b alors nous obtenons l'expression d'un nombre composé, c'est-à-dire l'expression d'un nombre définie comme suit:

 si b ∈ N\P={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40,42,44,45,46,48,49,50....}, et ∀ n ∈ N* alors a(n)=b avec a(n) correspondant à l'expression ci-dessous:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a(n))*b=b, si b ∈ N*\P
• 1A(a(n))*b=0, si b ∉ N*\P

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {b;0}, en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, ai est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série ; n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), peut se définir ensuite comme suit:

∀ n ∈ Seqnₓ=(n₀,n₁,n₂,n₄,n₅...) ⊂ N*: 

a(n)=1A(n)*b=(  ( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) )- ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈|n/b-1|⌉ / (⌈ |n/b-1|⌉+1))⌉ )*b      (4)'.  

∴

Ces expressions précédentes sont en fait l'expression de la caractéristique d'un nombre premier ou composé et l'expression de ce même nombre premier ou composé en un seul point donné par la valeur choisie de la variable b. Nous devons maintenant écrire l'expression en tous points d'une séquence de nombres c'est-à-dire quelque soit la valeur de b choisie sur l'ensemble des nombres entiers de la séquence N* donc les expressions des deux fonctions indicatrices caractéristiques de la séquence des nombres premiers et de la séquence des nombres composés, ainsi que les deux expressions mêmes de la séquence de ces nombres premiers et de ces nombres composés par extension de nos deux expressions (3) et (4). Ces expressions sont trivialement obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)_i ], où i représente l'indice de sommation, a_i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série ; n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), et ici tout d'abord la somme de la suite des expressions (3) définie comme suit:

Si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, et ∀ n ∈ N* alors a(n)=1 ∨ a(n)=0, avec a(n) correspondant à l'expression ci-dessous:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a(n))=1, si b ∈ P
• 1A(a(n))=0, si b ∉ P

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {1;0},    (2)' peut se définir comme suit:

∀ n ∈ Seqnₓ=(n₀,n₁,n₂,n₄,n₅...) ⊂ N*, ∀ p(n) ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}: 

a(n)=∑ n=1→n=∞: [1A(p(n))]_i =∑ n=1→n=∞: [ (1- ( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) )- ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈ |n/b-1| ⌉ / (⌈ |n/b-1| ⌉+1)) ⌉ ) ]i     (3)'', correspondant à l'expression de la fonction indicatrice de la séquence caractéristique des nombres premiers avec ∑ 1A(n)_i =1 si n est premier sinon ∑ 1A(n)_i =0, c'est-à-dire, une fonction indicatrice qui est référencée A010051 sur le site de L'O.E.I.S. (The Online Encyclopedia of Integer Sequences), et dont la représentation séquentielle est:

 SeqA010051=(0;1;1;0;1;0;1;0;0;0;1;0;1;0;0;0;1;0;1;0;0;0;10;0;0;0;0;1;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;0;

1;0;1;0;0;0;1;0;0;0;0;0;1 ....).

Puis, si nous multiplions cette dernière expression (3)'' par la variable b dont les valeurs correspondent à la suite de l'ensemble des nombres de N*, nous obtenons la séquence des nombres de la fonction caractéristique de nombres premiers multipliés par N, les nombres naturels qui est référencée A061397=A000027*A010051 sur le site de L'O.E.I.S. The Online Encyclopedia of Integer Sequences), c'est-à-dire la séquence définie comme suit:

Si b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, et ∀ n ∈ N* alors a(n)=1 ∨ a(n)=0, avec a(n) correspondant à l'expression ci-dessous:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a(n))=1, si b ∈ P
• 1A(a(n))=0, si b ∉ P

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {1;0},    (2)' peut se définir comme suit:

∀ n ∈ Seqnₓ=(n₀,n₁,n₂,n₄,n₅...) ⊂ N*, ∀ p(n) ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}: 

a(n)=∑ n=1→n=∞: [1A(p(n))*b]_i =∑ n=1→n=∞: [ (1-( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) )- ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈ |n/b-1| ⌉ / (⌈ |n/b-1| ⌉+1))⌉ )* b ]_i    (3)'',  correspondant à l'expression des nombres de la fonction caractéristique de nombres premiers multipliés par N, les nombres naturels, référencée A061397 sur le site de l'O.E.I.S. et dont la représentation séquentielle est:

 SeqA061397=(0;2;3;0;5;0;7;0;0;0;11;0;13;0;0;0;17;0;19;0;0;0;23;0;0;0;0;0;29;0;31;0;0;0;0;0;37;0;0;0;

41;0;43;0;0;0;47;0;0;0;0;0;53 ....).

∴

Donc maintenant nous pouvons déduire des expressions précédentes l'expression  de la fonction indicatrice d'un nombre composé ainsi que l'expression de tout nombre composé toujours en une séquence de points cette fois ci et non plus en un seul point, en considérant comme précédemment que si b ∈ N*\P={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40,42,44,45,46, 48,49,50....}, et ∀ n ∈ N* alors a(n)=1 ∨ a(n)=0, avec a(n) correspondant à l'expression ci-dessous:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a(n))=1, si b ∈ N*\P
• 1A(a(n))=0, si b ∉ N*\P

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {1;0},  (2)'' peut se définir comme suit:

∀ nₓ ∈ Seqnₓ=(n₀,n₁,n₂,n₄,n₅...) ⊂ N*, ∀ c(n) ∈ N \ P={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40,42,44,45,46,48,49,50....}:

a(n)=∑n=1→n=∞: [1A(c(n))]_i = ∑ n=1→n=∞: [  ( ( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - (∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈ |n/b-1| ⌉ / (⌈ |n/b-1| ⌉+1)) ⌉ )  ]_i      (4)'', correspondant à l'expression de la fonction indicatrice de la séquence caractéristique des nombres composés avec ∑ 1A(n)_i =1 si n est un nombre composé, sinon ∑ 1A(n)_i =0, c'est à dire une fonction indicatrice de la séquence caractéristique des nombres composés qui est référencée A066247sur le site de L'O.E.I.S. (The Online Encyclopedia of Integer Sequences), et dont la représentation séquentielle est:

SeqA066247=(0;0;0;1;0;1;0;1;1;1;0;1;0;1;1;1;0;1;0;1;1;1;0;1;1;1;1;1;0;1;0;1;1;1;1;1;0;1;1;1;0;1;0

;1;1;1;0;1....).

Si nous multiplions cette expression (4)'' correspondant à la fonction indicatrice de la séquence caractéristique des nombres composés, par les valeurs de la variable b qui sont celles de la séquence des nombres de N*, alors nous obtenons l'expression d'une séquence de nombres composés, qui est définie comme suit:

 Si b ∈ N \ P={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40,42,44,45,46,48,49,50....}, et ∀ n ∈ N* alors a(n)=b avec a(n) correspondant à l'expression ci-dessous:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a(n))*b=b, si b ∈ N*\P
• 1A(a(n))*b=0, si b ∉ N*\P

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ {b;0}, peut se définir comme suit:

∀ n ∈ Seqnₓ=(n₀,n₁,n₂,n₄,n₅...) ⊂ N*, ∀ c(n) ∈ N \ P={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40,42,44,45,46,48,49,50....}: 

a(n)=∑ n=1→n=∞: [(1A(c(n))*b)]i=∑ n=1→n=∞: [( ( ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) ) - ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) ) / ( ( ∑n=1→n=∞: PGCD(n,b) )- ( ∑n=1→n=∞: b-(b-1)*((mod(n,b)+mod(-n,b))/b ) +1) ) ) *(1-⌈ (⌈|n/b-1|⌉ / (⌈ |n/b-1|⌉+1))⌉ )*b ]_i      (4)''', correspondant à l'expression des nombres de la fonction caractéristique de nombres composés multipliés par N, les nombres naturels, dont la représentation séquentielle est:

 SeqA066247*A000027=(0;2;3;0;5;0;7;0;0;0;11;0;13;0;0;0;17;0;19;0;0;0;23;0;0;0;0;0;29;

0;31;0;0;0;0;0;37;0;0;0;41;0;43;0;0;0;47;0;0;0;0;0;53 ....). 

∴

Nous pourrions aussi considérer que pour éviter la juxtaposition d'un trop grand nombre d'expressions comprenant les valeurs de la variable b égale à n nombre de la séquence des nombres entiers N* non nuls, il nous faudra donc éliminer la redondance de l'expression de PGCD que nous utilisons dans nos deux expressions (3) et (4) et donc écrire l'expression du PGCD de tous nombres composés comme nous l'avons déjà écrit pour l'expression (1)' des nombres premiers, ce que nous allons donc faire dans le sous-titre suivant.

∴

1.1.d) Les expressions partiellement systématiques des fonctions plancher, plafond et modulo équivalentes aux expressions généralisées et quasi généralisées du PGCD du produit de nombres composés

∴

Ici je rappelle d'abord que les nombres composés sont notés entre autre, N \ P= {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40,42,44,45,46,48,49,50....}, 

sachant qu'un nombre composé est "un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même. Par définition, chaque entier plus grand que 1 est donc soit un nombre premier, soit un nombre composé, et les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Autre définition : un nombre composé est le produit d'au moins deux nombres premiers qu'ils soient distincts ou identiques. Une manière de classer les nombres composés consiste à compter le nombre de facteurs premiers. Un nombre composé avec deux facteurs premiers est un nombre semi-premier ou un nombre 2-presque premier (les facteurs n'ont pas besoin d'être distincts, par conséquent, les carrés de nombres premiers sont inclus). Un nombre composé avec trois facteurs premiers distincts est un nombre sphénique. Dans quelques applications, il est nécessaire de différencier les nombres composés d'un nombre impair 2x + 1 de facteurs premiers distincts de ceux composés d'un nombre pair 2x de facteurs premiers distincts. Pour ce dernier cas μ(n)=(−1)²ˣ=1 (où μ est la fonction de Möbius), tandis que pour le cas précédent μ(n)=(−1)²ˣ⁺¹=-1. Par exemple, si x = 0 : μ(1) = 1 et pour tout nombre premier p, μ(p) = –1. Pour un nombre n avec un ou plus de nombres premiers répétés, μ(n) = 0. Une autre manière de les classer consiste à compter le nombre de diviseurs. Tous les nombres composés ont au moins trois diviseurs. Dans le cas du carré d'un nombre premier p, ces diviseurs sont 1, p et p². Un nombre n qui possède plus de diviseurs qu'un x < n quelconque est un nombre hautement composé (bien que les deux premiers de ces nombres soient 1 et 2).", d'aprés l'article intitulé " Nombre composé" publié sur le site de Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne. 

∴

Ensuite,

∴

XXXIV) LES EXPRESSIONS DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND ÉQUIVALENTES À L'EXPRESSION DE LA RELATION PPCM

∴

1.1.a) Les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo équivalentes aux expressions non généralisables de la relation de PPCM:  

∴

Donc ayant écrit précédemment les expressions à deux variables a et b, non généralisables de la fonction PGCD en plusieurs points, compris entre 2 et 100 pour la variable b et variant sur l'ensemble N des nombres entiers naturels pour la variable a, toujours comme précédemment utilisant la fonction modulo et sa notation, mod(a,b)=a−⌊a/b⌋*b, et sachant que dès que l'un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur correspondant à la fonction PGCD par l'expression suivante PPCM(a,b)=|ab|/PGCD(a,b) (0), nous réécrivons en utilisant cette égalité (0) les expressions transformées en divisant le produit des deux variables |ab| par le PGCD, soit les expressions pour la variable b variant sur l'ensemble N* des nombres entiers naturels pour la variable a en plusieurs points, compris entre 2 et 100. Toujours comme précédemment si ces expressions de la fonction PPCM sont non généralisables, mais il pourrait cependant se dégager de leurs formes diverses des expressions généralisables sur des intervalles de nombres dont on pourra éventuellement en déduire une forme généralisable pour n'importe quel nombre. Nous obtenons donc les expressions du PPCM comme suit:

• Si b= 2, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/((3-mod(a-1,b)+b*mod(a,b))=b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b). 

Remarquons que si b est un nombre premier dont l'ensemble des nombres premiers est noté P, alors l'expression de la relation de PPCM est définie comme suit: 

Si b ∈ P, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)= |ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b).

• Si b= 3, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b) . 

• Si b= 4, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1)

• Si b= 5, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b) 

• Si b= 6,  alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1)

• Si b= 7, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b) 

• Si b= 8, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(b-mod(a,b)-mod(-a,b))/b)+(b-mod(a,b)-mod(-a,b))/b))

• Si b= 9, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1)

• Si b= 10, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1)

• Si b= 11, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b) 

• Si b= 12, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/((3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))*((6-mod(a+4,6)-mod(-a-4,6))/6+mod(1+mod(-a-1,6),(mod(-a-1,6)-mod(a+1,6)-6)/-2+(1-(mod(a+1,6)+mod(-a-1,6))/6)*6/2)+(6-mod(a,6)-mod(-a,6)))/(8-(8-1)*(mod(a+6,8)+mod(-a-6,8))/8-3/4*(8-(8-1)*(mod(a+6,8)+mod(-a-6,8))/(8-1)))-(24-mod(a+18,24)-mod(-a-18,24))/4-(24-mod(a+10,24)-mod(-a-10,24))/12-(24-mod(a+2,24)-mod(-a-2,24))/12)

• Si b= 13, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b) 

• Si b=14, alors ∀ a ∈ N,PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,7)*PGCD(a,2))=|ab|/((7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*((3-mod(a-1,2)+2*mod(a,2)))). 

Remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, mais surtout n'est pas définie sur tout l'ensemble N, soit:

Si b=14, alors ∀ a >13 et a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1-(((mod(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1,a-ceil((a-b)/b)*b))-(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1,a-ceil((a-b)/b)*b)))*(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1,a-ceil((a-b)/b)*b))))

• Si b=15, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,3)*PGCD(a,5))=|ab|/((b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)*(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b )). 

Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est comparativement plus longue, mais surtout n'est pas définit sur tout l'ensemble N, soit:

Si b=15, alors ∀ a >14 et a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1-(((mod(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1,a-ceil((a-b)/b)*b))-(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1,a-ceil((a-b)/b)*b)))*(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+a-ceil(a/b)*b)+1)+1,a-ceil((a-b)/b)*b))))

• Si b=16, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,2³)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2)=|ab|/((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2)

• Si b=17, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=18, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,3²)*PGCD(a,2))=|ab|/((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,b)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)*(3-mod(a-1,2)+2*mod(a,2)))

• Si b=19, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(a-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=20, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,5)*PGCD(a,2²))=|ab|/((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1))

• Si b=21, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,7)*PGCD(a,3))=|ab|/((7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)). Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est cette fois-ci seulement comparativement encore plus longue, soit:

PPCM(a,b)=|ab|/(mod((21+a-ceil(a/21)*21)-1,mod((21+a-ceil(a/21)*21)-1,(21+a-ceil(a/21)*21)+21-ceil(21/(21+a-ceil(a/21)*21))*(21+a-ceil(a/21)*21))+1)+1-(mod(21-ceil((21-(21+a-ceil(a/21)*21))/(21+a-ceil(a/21)*21))*(21+a-ceil(a/21)*21),mod((21+a-ceil(a/21)*21)-1,mod((21+a-ceil(a/21)*21)-1,(21+a-ceil(a/21)*21)+21-ceil(21/(21+a-ceil(a/21)*21))*(21+a-ceil(a/21)*21))+1)+1)))

• Si b=22, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,11)*PGCD(a,2))=|ab|/((11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)). Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est cette fois-ci seulement comparativement encore plus longue, soit:

PPCM(a,b)=|ab|/(mod((22+a-ceil(a/22)*22)-1,mod((22+a-ceil(a/22)*22)-1,(22+a-ceil(a/22)*22)+22-ceil(22/(22+a-ceil(a/22)*22))*(22+a-ceil(a/22)*22))+1)+1-(mod(22-ceil((22-(22+a-ceil(a/22)*22))/(22+a-ceil(a/22)*22))*(22+a-ceil(a/22)*22),mod((22+a-ceil(a/22)*22)-1,mod((22+a-ceil(a/22)*22)-1,(22+a-ceil(a/22)*22)+22-ceil(22/(22+a-ceil(a/22)*22))*(22+a-ceil(a/22)*22))+1)+1)))

• Si b=23, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=24, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,3)*PGCD(a,2³))=|ab|/(((b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b))*((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(b-mod(a,b)-mod(-a,b))/b)+(b-mod(a,b)-mod(-a,b))/b))). Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est cette fois-ci seulement comparativement encore plus longue, soit:

PPCM(a,b)=|ab|/(mod((24+a-ceil(a/24)*24)-1,mod((24+a-ceil(a/24)*24)-1,(24+a-ceil(a/24)*24)+24-ceil(24/(24+a-ceil(a/24)*24))*(24+a-ceil(a/24)*24))+1)+1-(mod(24-ceil((24-(24+a-ceil(a/24)*24))/(24+a-ceil(a/24)*24))*(24+a-ceil(a/24)*24),mod((24+a-ceil(a/24)*24)-1,mod((24+a-ceil(a/24)*24)-1,(24+a-ceil(a/24)*24)+24-ceil(24/(24+a-ceil(a/24)*24))*(24+a-ceil(a/24)*24))+1)+1)))

• Si b=25, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/((5-(5-1)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)+b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/(b-1))

• Si b=26, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,13)*PGCD(a,2))=|ab|/(((13-(13-1)*((mod(a,13)+mod(-a,13))/13))*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=27, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/((3-(3-1)*(mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*(mod(a,b)+mod(-a,b))/b+b-(b-1)*(mod(a,b)+mod(-a,b))/(b-1)+2*((9-mod(a,9)-mod(-a,9)))/3-2*((b-mod(a,b)-mod(-a,b)))/9)

• Si b=28, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,7)*PGCD(a,4))=|ab|/((7-(7-1)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)* (mod(3,mod(3,b+a-ceil(a/4)*4)+1)+1))

• Si b=29, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=30, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,5)*PGCD(a,6))=|ab|/((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*(mod(5,mod(5,6+a-ceil(a/6)*6)+1)+1))

• Si b=31, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=32, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,16)+(32-mod(a,32)-mod(-a,32))/2)=|ab|/((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2+(32-mod(a,32)-mod(-a,32))/2)

• Si b=33, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,3)*PGCD(a,11))=|ab|/((3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*(11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11))

• Si b=34, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,2)*PGCD(a,17))=|ab|/(((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))*(17-(16)*((mod(a,17)+mod(-a,17))/17))

• Si b=35, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,5)*PGCD(a,7))=|ab|/(((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5))*(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7))

• Si b=36, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,2²)*PGCD(a,3²))=|ab|/((mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)*(mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1))

• Si b=37, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=38, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,19)*PGCD(a,2))=|ab|/(((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))*(19-(18)*((mod(a,19)+mod(-a,19))/19))

• Si b=39, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=40, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,5)*PGCD(a,8))=|ab|/( ((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5))*((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8))

• Si b=41, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=42, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,7)*PGCD(a,6))=|ab|/((7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*(mod(5,mod(5,6+a-ceil(a/6)*6)+1)+1))

• Si b=43, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=44, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,11)*PGCD(a,4))=|ab|/((11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1))

• Si b=45, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,9)*PGCD(a,5)=|ab|/((mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1)*((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5))))

• Si b=46, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,23)*PGCD(a,2))=|ab|/((23-(22)*((mod(a,23)+mod(-a,23))/23)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=47, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=48, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,2⁴)*PGCD(a,3))=|ab|/(((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3))

• Si b=49, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,7)*PGCD(a,7)-6*(7-mod(a,7)-mod(-a,7))-(49-mod(a,49)-mod(-a,49))/7+(49-mod(a,49)-mod(-a,49))) = |ab|/((7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)-6*(7-mod(a,7)-mod(-a,7))-(49-mod(a,49)-mod(-a,49))/7+(49-mod(a,49)-mod(-a,49)))

• Si b=50, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,2)*PGCD(a,25))=|ab|/(((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))*((5-(5-1)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/25)+25-(24)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/(24)))

• Si b=51, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,17)*PGCD(a,3))=|ab|/((17-(16)*((mod(a,17)+mod(-a,17))/17)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3))

• Si b=52, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,13)*PGCD(a,4))=|ab|/(((13-(13-1)*((mod(a,13)+mod(-a,13))/13))*((mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)))

• Si b=53, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=54, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,27)*PGCD(a,2))=|ab|/(((3-(3-1)*(mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*(mod(a,27)+mod(-a,27))/27+27-(27-1)*(mod(a,27)+mod(-a,27))/(27-1)+2*((9-mod(a,9)-mod(-a,9)))/3-2*((27-mod(a,27)-mod(-a,27)))/9)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=55, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,11)*PGCD(a,5))=|ab|/((11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=56, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,7)*PGCD(a,2³))=|ab|/((7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)))

• Si b=57, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,19)*PGCD(a,3))=|ab|/((19-(18)*((mod(a,19)+mod(-a,19))/19)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3))

• Si b=58, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,29)*PGCD(a,2))=|ab|/((29-(28)*((mod(a,29)+mod(-a,29))/29)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=59, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=60, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,2²)*PGCD(a,5)*PGCD(a,3))= |ab|/((mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1)*(5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3))
• Si b=61, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=62, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,31)*PGCD(a,2))=|ab|/((31-(30)*((mod(a,31)+mod(-a,31))/31)*(2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=63, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,3²)*PGCD(a,7))=|ab|/((mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1)*(7-(7-1)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7))

• Si b=64, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,32)+(64-mod(a,64)-mod(-a,64))/2)=|ab|/((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,b)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2+(32-mod(a,32)-mod(-a,32))/2 + (64-mod(a,64)-mod(-a,64))/2)

• Si b=65, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,13)*PGCD(a,5))=|ab|/(((13-(13-1)*((mod(a,13)+mod(-a,13))/13))*((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)))

• Si b=66, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,11)*PGCD(a,3)*PGCD(a,2))=|ab|/((11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=67, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=68, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,2²)*PGCD(a,17))=PPCM(a,b)=|ab|/((17-(16)*((mod(a,17)+mod(-a,17))/17)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1))

• Si b=69, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,23)*PGCD(a,3)=|ab|/((23-(23-1)*((mod(a,23)+mod(-a,23))/23)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)))

• Si b=70, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,10)*PGCD(a,7))=|ab|/((mod(9,mod(9,10+a-ceil(a/10)*10)+1)+1)*(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7))

• Si b=71, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=72, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(gcd(a,2³)*gcd(a,3²))=|ab|/(((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8))*(mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1))

• Si b=73, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=74, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,37)*PGCD(a,2))=|ab|/((31-(30)*((mod(a,31)+mod(-a,31))/31)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=75, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,25)*PGCD(a,3))=|ab|/(((5-(5-1)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/25)+25-(24)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/(24))*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3))

• Si b=76, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,19)*PGCD(a,2²))=|ab|/((19-(18)*((mod(a,19)+mod(-a,19))/19)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1))

• Si b=77, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,11)*PGCD(a,7))=|ab|/((11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7))

• Si b=78, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,39)*PGCD(a,2))=|ab|/((39-(38)*((mod(a,39)+mod(-a,39))/39)*(2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2))

• Si b=79, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=80, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,5)*PGCD(a,2⁴))=|ab|/(((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5))*((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2))

• Si b=81, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,3)*PGCD(a,3)-2*(3-mod(a,3)-mod(-a,3))+2*(81-mod(a,81)-mod(-a,81))/3-((9-mod(a,9)-mod(-a,9))/9)*-6-((27-mod(a,27)-mod(-a,27))/27)*-18=(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)-2*(3-mod(a,3)-mod(-a,3))+2*(81-mod(a,81)-mod(-a,81))/3-((9-mod(a,9)-mod(-a,9))/9)*-6-((27-mod(a,27)-mod(-a,27))/27)*-18). Comme précédemment remarquons que l'expression alternative sans utiliser la multiplication de PGCD et leurs expressions correspondantes écrites précédemment est cette fois-ci seulement comparativement plus concise, soit:

PPCM(a,b)=|ab|/((mod(9-1,mod(9-1,9+a-ceil(a/9)*9)+1)+1)*(ceil(abs(a/(27)))-floor(a/(27))+(1-ceil(abs(a/(27)))-floor(a/(27)))*3+(1-ceil(abs(a/(81)))-floor(a/(81)))*6))

• Si b=82, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,41)*PGCD(a,2))=|ab|/((41-(40)*((mod(a,41)+mod(-a,41))/41)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=83, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=84, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,7)*PGCD(a,3)*PGCD(a,2²))=|ab|/((7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1))

• Si b=85, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,17)*PGCD(a,5))=|ab|/((17-(16)*((mod(a,17)+mod(-a,17))/17)*(5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5))

• Si b=86, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,43)*PGCD(a,2))=|ab|/((43-(42)*((mod(a,43)+mod(-a,43))/43)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=87, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,29)*PGCD(a,3))=|ab|/((29-(28)*((mod(a,29)+mod(-a,29))/29)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3))

• Si b=88, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,11)*PGCD(a,2³))=|ab|/((11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)))

• Si b=89, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(b-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=90, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,10)*PGCD(a,3²))=|ab|/((mod(9,mod(9,10+a-ceil(a/10)*10)+1)+1)*(mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1))

• Si b=91, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,13)*PGCD(a,7))=|ab|/(((13-(12)*((mod(a,13)+mod(-a,13))/13))*(7-(7-1)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7))

• Si b=92, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,23)*PGCD(a,2²))=|ab|/((23-(22)*((mod(a,23)+mod(-a,23))/23)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1))

• Si b=93, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,31)*PGCD(a,3))=|ab|/((31-(30)*((mod(a,31)+mod(-a,31))/31)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3))

• Si b=94, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,47)*PGCD(a,2))=|ab|/((47-(46)*((mod(a,47)+mod(-a,47))/47)*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=95, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,19)*PGCD(a,5))=|ab|/((19-(18)*((mod(a,19)+mod(-a,19))/19)*((5-(4)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)))

• Si b=96, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,2⁵)*PGCD(a,3))=|ab|/(((5-mod(a-1,2)-2*mod(a,2)+(-mod(a,4)-mod(-a,4))/2)*(3-mod(a-1,2)-2*mod(a,2))/(((2-mod(a,2)-mod(-a,2))/2+1)*(1-(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(8-mod(a,8)-mod(-a,8))/8)+(2⁴-mod(a,2⁴)-mod(-a,2⁴))/2+(32-mod(a,32)-mod(-a,32))/2)*(3-(2)*((mod(a,3)+mod(-a,3))/3))

• Si b=97, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(b-(a-1)*((mod(a,b)+mod(-a,b))/b)

• Si b=98, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,49)*PGCD(a,2))=|ab|/(((7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)*(7-(6)*((mod(a,7)+mod(-a,7))/7)-6*(7-mod(a,7)-mod(-a,7))-(49-mod(a,49)-mod(-a,49))/7+(49-mod(a,49)-mod(-a,49)))*((2-(1)*((mod(a,2)+mod(-a,2))/2)))

• Si b=99, alors ∀ a ∈ N, PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,11)*PGCD(a,3²))=|ab|/((11-(10)*((mod(a,11)+mod(-a,11))/11)*(mod(8,mod(8,8+a-ceil(a/9)*9)+1)+1))

• Si b=100, alors ∀ a ∈ N,  PPCM(a,b)=|ab|/(PGCD(a,5²)*PGCD(a,2²))=|ab|/((5-(5-1)*((mod(a,5)+mod(-a,5))/5)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/25)+25-(25-1)*((mod(a,25)+mod(-a,25))/(25-1)*(mod(3,mod(3,4+a-ceil(a/4)*4)+1)+1))
• 
  

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ