Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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Une forme symétrique (A) et une autre asymétrique (B) asymétrique: Qui n’est pas superposable à son image prise dans un miroir plan. Extrait de "Wiktionnaire", le dictionnaire libre.
asymétrique: Qui n’est pas superposable à son image prise dans un miroir plan. Extrait de "Wiktionnaire", le dictionnaire libre.
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I) LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'ANNULATION ASYMÉTRIQUE
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Nous continuons notre exposé sur les fonctions d'annulation caractéristique représentées par des suites de nombres appartenant à l'ensemble {0,1}, et dont les deux premières valeurs au minimum de la représentation des éléments de la suite correspondante à cette fonction sont nulles par définition de la représentation d'une fonction caractéristique d'annulations, par celles dont les segments de valeurs correspondant aux sous suites de valeurs successives de 0 et de 1, sont, tous répétés régulièrement, c'est-à-dire qu'ils sont équidistants les uns des autres ou bien encore que leur quantité de valeur de 1 ou de 0 est respectivement constamment identique, à l'exception du premier segment de valeurs 1, par rapport à tous les autres, dont la quantité de valeurs 1 n'est pas identique aux autres segments de valeurs 1 égales ou non à la quantité des autres segments de valeurs 0, ce qui nous donne soit deux, trois, valeurs différentes de quantités de valeurs 1 ou 0 des sous suites ainsi segmentées répétitivement et alternativement. Ainsi puisque les segments correspondant aux deux types de sous suites de valeurs de 0 ou de 1, sont tous répétés régulièrement c'est-à-dire qu'ils sont équidistants les uns des autres ou bien encore que leur quantité respective de valeur de 1 ou de 0 est constamment identique, à l'exception d'un seul segment, c'est cette asymétrie même qui donne le nom général de cette forme que prend la représentation de ces types de suites de nombres appartenant au sous-ensemble {0,1} de segments alternés et répétés possiblement à l'infinie, et correspondant aux sous suites de valeurs 0 et 1, de la fonction "d'annulation caractéristique asymétrique". La définition du terme "asymétrique" extrait de "Wiktionnaire", le dictionnaire libre, est," Qui n’est pas superposable à son image prise dans un miroir plan", et appliquée à l'annulation caractéristique, signifie une forme de la représentation de la suite des éléments correspondant à la fonction d'annulation asymétrique par rapport à la forme de la représentation de la suite des éléments correspondant à la fonction d'annulation caractéristique symétrique, puisque toute fonction d'annulation caractéristique asymétrique en général est soit le résultat de la composition d'une fonction d'annulation caractéristique symétrique et d'une fonction d'annulation caractéristique simple et dans ce cas la fonction résultante est une fonction "d'annulation caractéristique asymétrique simple", car seulement une seule partie de sa représentation est asymétrique par rapport au reste de sa représentation puisque la plus grande partie de sa représentation est symétrique, soit celle de sa composition d'une fonction d'annulation caractéristique symétrique, par rapport à l'autre partie de sa représentation, soit celle de sa composition d'une fonction d'annulation simple qui est donc asymétrique par rapport à la plus grande partie symétrique de sa représentation; soit, ce que peut aussi être toute fonction d'annulation caractéristique asymétrique en général, le résultat de la composition de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique simples, et donc dans ce deuxième cas la fonction résultante est une fonction "d'annulation caractéristique asymétrique multiple", c'est-à-dire qu'aucune partie de sa représentation n'est symétrique par rapport au reste c'est à dire que sa représentation à plusieurs formes asymétriques.
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3.1) La fonction caractéristique d'annulation asymétrique simple
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Nous allons développer plus précisément l'expression de la fonction générale numérotée N° 00 et N° 00', et définie comme la fonction d'annulation caractéristique simple décalée d'un ou de plusieurs éléments successifs appartenant à une suite de nombres notée SeqA, et notée respectivement Nulldₙ(SeqA=xₙ) et Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA), avec dans un premier sous-titre l'obtention de la fonction d'annulation décalée par la composition d'une fonction d'insertion N° 13, la fonction d’insertion d’une ou d’un ensemble de valeurs successives ou non avant la première valeur ou après la dernière valeur ou entre ces deux valeurs de la séquence de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par la notation Insrtₙ(x)(SeqA) dont l’indice n ∈ {Seq N} correspond à la valeur du rang de la dernière valeur de SeqA après laquelle une seule valeur x est insérée, avec la fonction d'annulation caractéristique simple d'un ou de plusieurs éléments successifs, appartenant à une suite de nombres notée SeqA.
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3.1.a) L'expression de la fonction caractéristique d'annulation asymétrique équivalente à la composition de deux fonctions caractéristiques d'annulation simple
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La fonction d'annulation caractéristique asymétrique simple s'obtient intuitivement par le processus de composition de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique simple, dont nous avons développé précédemment dans la rubrique consacrée à la fonction d'annulation caractéristique simple, une de ces expressions possibles parmi d'autres correspondant au type de fonction caractéristique de valeurs 0 et 1, indexée par la suite de nombres N*, représentée par un segment de valeurs nulles du rang de valeur n=1 à n<= a+b, et que nous avons défini comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(n)=1, si n>a+b
1A(n)=0, si n<=a+b
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=|1-(⌈(n/(a+b+1)-1)⌉-⌈(n/(a+b+1)+1)⌉)|= 1-(⌈|(n/(a+b+1)-1)|⌉-⌈(n/(a+b+1)⌉+1) (24).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=7 et b=4, dans l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple (24), notre exemple est donc défini comme suit:
Soit a=7 et b=4, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=|1-(⌈(n/(7+4+1)-1)⌉-⌈(n/(7+4+1)+1)⌉)|=1-(⌈|(n/(a+b+1)-1)|⌉-⌈(n/(a+b+1)⌉+1) (24'); et cette dernière expression de la fonction d'annulation caractéristique simple est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, SeqS=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.....); la fonction d'annulation de segment de SeqA noté Null₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA) appliquée à l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,
1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067,…), dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, correspond donc à l'opération de multiplication de xₙ ∈ SeqA par l'expression (24') représentée par S, définie comme suit:
Soit a=7 et b=4; SeqS=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.....); SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067,...), ∀ n ∈ N*: Null₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA)=xₙ*(1-(⌈|(n/(7+4+1)-1)|⌉-⌈(n/(7+4+1)⌉+1)) représentée par la séquence notée SeqNull₍ₙ₌₁..ₙ₌₁₁₎(SeqA) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067....).
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Il devient donc encore plus intuitif d'après l'exemple précédent que l'opération d'addition de deux fonctions d'annulation caractéristique simple résulte dans une autre fonction d'annulation caractéristique simple et que l'opération d'addition résulte dans la simple superposition de deux fonctions d'annulation caractéristique simple, donc aucune des deux opérations ne correspond à la composition de deux fonctions d'annulation caractéristique simple équivalente à une fonction d'annulation caractéristique asymétrique; seule l'opération de soustraction de deux fonctions d'annulation caractéristique simples correspond à la composition de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique simples équivalentes à une fonction d'annulation caractéristique asymétrique, que nous pouvons définir comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(n)=1, si a<n<a+b
1A(n)=0, si n<=a ∨ n>a+b
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=-(⌈|(n/(a+1)-1)⌉-⌈|(n/(a+1)+1)⌉)+(⌈|(n/(a+b+1)-1)⌉-⌈|(n/(a+b+1)+1)⌉) (1).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=7 et b=4, dans l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple (24), notre exemple est donc défini comme suit:
Soit a=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=1-(⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1)=1-(⌈|(n/(7+1)-1)|⌉-⌈(n/(7+1)⌉+1) (24''); et cette dernière expression de la fonction d'annulation caractéristique simple est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, SeqS"=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.....); expression à laquelle nous allons soustraire l'expression (24') définie comme suit:
Soit a=7 , b=4, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=1-(⌈|(n/(a+b+1)-1)|⌉-⌈(n/(a+b+1)⌉+1)= 1-(⌈|(n/(7+4+1)-1)|⌉-⌈(n/(7+4+1)⌉+1) (24'); et cette dernière expression de la fonction d'annulation caractéristique simple est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, SeqS'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.....); cette opération de soustraction entre ces deux expressions correspond à l'expression (1) et en remplaçant par les valeurs de notre exemple dans cette expression nous obtenons la définition suivante de cette expression:
Soit a=7 , b=4, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=-(⌈|(n/(a+1)-1)⌉-⌈|(n/(a+1)+1)⌉)+(⌈|(n/(a+b+1)-1)⌉-⌈|(n/(a+b+1)+1)⌉)= -(⌈|(n/(7+1)-1)⌉-⌈|(n/(7+1)+1)⌉)+(⌈|(n/(7+4+1)-1)⌉-⌈|(n/(7+4+1)+1)⌉) (1').
La fonction d'annulation correspondante à cette fonction d'annulation caractéristique asymétrique de SeqA noté Null₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA) appliquée à l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,
1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067,…), dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, correspond donc à l'opération de multiplication de xₙ ∈ SeqA par l'expression (1') représentée par S, définie comme suit:
Soit a=7 et b=4, SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067,...), ∀ n ∈ N*: Null₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA)=xₙ*(-(⌈|(n/(a+1)-1)⌉-⌈|(n/(a+1)+1)⌉)+(⌈|(n/(a+b+1)-1)⌉-⌈|(n/(a+b+1)+1)⌉))=xₙ*(-(⌈|(n/(7+1)-1)⌉-⌈|(n/(7+1)+1)⌉)+(⌈|(n/(7+4+1)-1)⌉-⌈|(n/(7+4+1)+1)⌉)), représentée par la séquence notée SeqNull₍ₙ₌₁..ₙ₌₇₎(SeqA) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,60,555,199,1244,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,....).
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3.1.b) L'expression de la fonction caractéristique d'annulation asymétrique équivalente à l'agrégation d'une fonction
d'insertion et d'une fonction caractéristique d'annulation
simple
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Nous reprenons notre définition au tout début du sous-titre précédent de la fonction d'annulation simple dont l'expression correspond au type de fonction caractéristique de valeurs 0 et 1, indexée par la suite de nombres N*, représentée par un segment de valeurs nulles du rang de valeur n=1 à n<= a+b, d'expression générale définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(n)=1, si n>a+b
1A(n)=0, si n<=a+b
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=|1-(⌈(n/(a+b+1)-1)⌉-⌈(n/(a+b+1)+1)⌉)|= 1-(⌈|(n/(a+b+1)-1)|⌉-⌈(n/(a+b+1)⌉+1) (24).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=7 et b=4, dans l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple (24), notre exemple est donc défini comme suit:
Soit a=7 et b=4, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=|1-(⌈(n/(7+4+1)-1)⌉-⌈(n/(7+4+1)+1)⌉)|=1-(⌈|(n/(a+b+1)-1)|⌉-⌈(n/(a+b+1)⌉+1) (24'); et cette dernière expression de la fonction d'annulation caractéristique simple est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, SeqS=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.....); la fonction d'annulation de segment de SeqA noté Null₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA) appliquée à l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,
1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067,…), dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, correspond donc à l'opération de multiplication de xₙ ∈ SeqA par l'expression (24') représentée par S, définie comme suit:
Soit a=7 et b=4; SeqS=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.....); SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067,...), ∀ n ∈ N*: Null₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA)=xₙ*(1-(⌈|(n/(7+4+1)-1)|⌉-⌈(n/(7+4+1)⌉+1)) représentée par la séquence notée SeqNull₍ₙ₌₁..ₙ₌₁₁₎(SeqA) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067....).
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Donc considérant encore l'exemple des valeurs des variables a=7 et b=4, comme précédemment, l'expression caractéristique équivalente à l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple décalée s'obtient par un premier processus de décalage du segment de valeur nulle de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple précédente notée SeqS d'au moins d'une valeur de rang, correspondant à un déplacement vers la droite de la suite des nombres de SeqS, correspondant à l'indice n de la notation de cette fonction Nulldₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqS) et en remplaçant la valeur décalée par une valeur non nulle de 1, un processus correspondant à la fonction d'insertion, N° 13, la fonction d’insertion d’une ou d’un ensemble de valeurs successives ou non avant la première valeur ou après la dernière valeur ou entre ces deux valeurs de la séquence de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par la notation Insrtₙ(x)(SeqA) dont l’indice n ∈ {Seq N} correspond à la valeur du rang de la dernière valeur de SeqA après laquelle une seule valeur x est insérée, et que nous pouvons représenter donc par la séquence S'=(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1..), dans notre exemple des valeurs des variables, a=7 et b=4, et une représentation particulière de la fonction d'insertion dont l'expression générale de la fonction caractéristique d'insertions d'une autre fonction caractéristique correspondant au processus d'insertion avant la première valeur d'une suite de nombres de {0;1}, est équivalente à l'expression de la fonction caractéristique définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(n)=1, si a+b+c<n<=c
1A(n)=0, si c<n<=a+b+c
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:
Soit SeqS ⊆ {0,1}, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Insrtₙ₌c(x=1)(SeqS)=(⌈|(n/(c+1)-1)|⌉-⌈n/(c+1)⌉+1)+(1-((⌈|(n/(a+1+b+c)-1)|⌉-⌈n/(a+1+b+c)⌉+1))) (25).
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Mais la fonction d'annulation caractéristique simple décalée ne correspond pas à la fonction précédente d'insertion d'expression générale (25) parce qu'elle ne correspond qu'à la première partie du processus de l'élaboration de cette fonction d'annulation caractéristique simple décalée, et parce que cette fonction d'insertion n'est pas conforme à notre définition d'une fonction d'annulation caractéristique en général qui est sa représentation par une suite de nombres dont les valeurs appartiennent à l'ensemble {0;1} avec au moins la première valeur égale à 0; donc ayant développé les deux parties du processus d'élaboration de la fonction d'annulation caractéristique simple décalée, nous pouvons maintenant définir l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple décalée de SeqS comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(n)=1, si c<n<=a+b+c
1A(n)=0, si a+b+c<n<=c
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:
Soit SeqS ⊆ {0,1}, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqS)=1-Insrtₙ₌₁(x=1)(SeqS)=1-(⌈|(n/(c+1)-1)|⌉-⌈n/(c+1)⌉+1)+(1-((⌈|(n/(a+1+b+c)-1)|⌉-⌈n/(a+1+b+c)⌉+1)))=⌈n/(c+1)⌉-⌈|(n/(c+1)-1)|⌉+⌈|(n/(a+1+b+c)-1)|⌉-⌈n/(a+1+b+c)⌉ (26).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=7 et b=4, dans l'expression de la fonction d'annulation caractéristique simple (24), et reprenant notre exemple précédent du processus simultané de décalage de la première valeur nulle et de l'insertion d'une valeur de 1, correspondant à la fonction d'insertion, et représenté par la séquence S'=(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1..), l'expression de la fonction caractéristique correspondant à notre exemple est donc définie comme suit:
Soit a=7 , b=4, c=1, ∀ n∈ N*: 1A(n)=Insrtₙ₌₁(x=1)(1A(SeqA))=(⌈|(n/(1+1)-1)|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)+(1-((⌈|(n/(7+1+4+1)-1)|⌉-⌈n/(7+1+4+1)⌉+1))) (25'); notre exemple des mêmes valeurs de variable remplaçant dans l'expression (26) est donc défini comme suit:
Soit a=7 , b=4, c=1, ∀ n∈ N*: 1A(n): 1A(n)=Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqS)=1-Insrtₙ₌₁(x=1)(SeqS)=1-((⌈|(n/(1+1)-1)|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)+(1-((⌈|(n/(7+1+4+1)-1)|⌉-⌈n/(7+1+4+1)⌉+1))))=⌈n/(1+1)⌉-⌈|(n/(1+1)-1)|⌉+⌈|(n/(7+1+4+1)-1)|⌉-⌈n/(7+1+4+1)⌉ (26'), dont la représentation est S''=(0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0..).
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Nous pouvons donc appliquer cette exemple de fonction d'annulation caractéristique simple décalée pour "annuler" la suite de nombres de R notée SeqA dont la représentation est SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), et dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, et soit xₙ ∈ SeqA que nous multiplions par l'expression (26') représentée par S", et nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation caractéristique décalée des valeurs de SeqA Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA)=xₙ*(1-((⌈|(n/(1+1)-1)|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)+(1-((⌈|(n/(7+1+4+1)-1)|⌉-⌈n/(7+1+4+1)⌉+1)))))=⌈n/(1+1)⌉-⌈|(n/(1+1)-1)|⌉+⌈|(n/(7+1+4+1)-1)|⌉-⌈n/(7+1+4+1)⌉ représentée par la séquence notée SeqNulld(Sgmtval(SeqA)) ou SeqA'=(0,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0…).
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3.1.c) L'expression synthétique de la fonction caractéristique
d'annulation asymétrique simple
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Dans ce sous-titre nous constatons simplement que le processus d'élaboration de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique peut maintenant se simplifier sans passer par les deux étapes décrites précédemment donc sans utiliser le processus de composition de la fonction d'annulation caractéristique simple décalée (26) avec la fonction d'annulation caractéristique simple (24) si l'on souhaite maintenant n'obtenir plus que l'expression de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique "simple" signifiant cette simplification même et signifiant aussi que la représentation de cette fonction annulation caractéristique asymétrique n'a seulement que deux forme asymétriques correspondants aux deux segments de valeur 0, et que nous pouvons définir comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(n)=1, si c<n<=a+b+c
1A(n)=0, si a+b+c<n<=c
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:
Soit SeqS ⊆ {0,1}, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqS ⊆ {0,1})=1-(⌈|(n/(c+1)-1)|⌉-⌈n/(c+1)⌉+1)+(1-((⌈|(n/(a+1+b+c)-1)|⌉-⌈n/(a+1+b+c)⌉+1)))=⌈n/(c+1)⌉-⌈|(n/(c+1)-1)|⌉+⌈|(n/(a+1+b+c)-1)|⌉-⌈n/(a+1+b+c)⌉ (26).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=10 et b=7, c=5, l'expression de la fonction d'annulation caractéristique décalée correspondant à notre exemple, est donc définie comme suit:
Soit a=10 , b=7, c=5, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqS ⊆ {0,1})=⌈n/(5+1)⌉-⌈|(n/(5+1)-1)|⌉+⌈|(n/(10+1+7+5)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7+5)⌉ (26'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S"=(0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.....); la fonction d'annulation caractéristique décalée appliquée à la SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199
1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), et noté Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA) est illustrée par l'exemple de la représentation de SeqA dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, et soit xₙ ∈ SeqA multiplié par l'expression (26') représentée par S", nous obtenons l'expression de la fonction caractéristique d'annulation décalée multipliée par les valeurs de SeqA qui est définie comme suit:
Soit a=10 , b=7, c=5, ∀ n ∈ N*: SeqA*Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqS ⊆ {0,1})=xₙ*(⌈n/(5+1)⌉-⌈|(n/(5+1)-1)|⌉+⌈|(n/(10+1+7+5)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7+5)⌉) représentée par la séquence notée SeqA'=(0,0,0,0,0,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,16,804,585, 742,0,0,0,0,0…).
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3.2) La fonction caractéristique d'annulation asymétrique multiple générale
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Dans ce deuxième sous-titre général, nous allons changer notre modèle précédemment développé d'élaboration de l'expression de la fonction caractéristique d'annulations asymétriques simples d'éléments d'une suite de nombre, soit du processus de composition de fonction équivalente au processus de généralisation de l'expression donc synthétique, car ne nécessitant plus ce processus de composition, pour appliquer en quelque sorte un modèle inverse à l'élaboration de l'expression de la fonction caractéristique d'annulations asymétriques multiples d'éléments d'une suite de nombre, et le terme de multiple désigne une grande quantité finie ou une quantité infinie de formes symétriques de la représentation de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique; en effet nous commençons par monter que cette fonction correspond à des cas particuliers de valeurs de fonction d'annulation symétrique puis nous différencions définitivement cette fonction d'annulation symétrique de la fonction d'annulation asymétrique en développant une expression "sui generis" de cette dernière; mais ensuite nous montrons comment cette expression sui generis même est en fait le résultat d'un processus de composition d'expression équivalente à cette fonction d'annulation asymétrique.
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3.2.a) L'expression de la fonction caractéristique d'annulation asymétrique équivalente à certains cas particuliers de la fonction caractéristique d'annulation symétrique
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"Considérons l'ensemble 𝔸={𝑎,𝑏,𝑐 }, pour se référer à "l'ensemble 𝔸 à l'exclusion de l'élément 𝑎", sa notation est , 𝔸-{𝑎} ou 𝔸∖{𝑎}, et correspond à la définition de la différence entre deux ensembles". Extrait de "Math Stack Exchange"
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Au sous-titre général précédent de ce troisième chapitre, nous avons développé la fonction d'annulation caractéristique asymétrique équivalente soit, à la composition de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique simple décalée, soit à la composition d'une fonction d'annulation caractéristique simple et décalée, que nous avons catégorisées comme de forme de sa représentation ayant une asymétrique finie, c'est-à-dire de quantité finie d'asymétries par rapport à celle que nous développons maintenant comme de formes de sa représentation d'asymétrie infinie, c'est-à-dire de quantité infinie d'asymétrie, de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique dont nous développons tout d'abord l'expression équivalente à l'expression de la fonction d'annulation caractéristique symétrique pour des cas particuliers des valeurs de ses variables a et b, donc une première fonction d'annulation caractéristique symétrique équivalente à une fonction d'annulation caractéristique asymétrique que nous pouvons définir comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(mod(n-1,a+b)+1)=1, si mod(n-1,a+b)+1>a ∨ mod(n-1,a+b)+1>b
1A(mod(n-1,a+b)+1)=0, si mod(n-1,a+b)+1<a ∨ mod(n-1,a+b)+1<b
Cette fonction indicatrice particulière de la fonction a(n)=mod(n-1,a+b)+1 peut se définir comme suit:
Soit a=b, ∀ a ∈ N*− {1} ∨ ∀ b ∈ N*− {1}, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1,a+b)+1)=1-⌈mod(mod(n,-(a+b))+(b-1),mod(-n,(a+b))+(b-1))/(2*(b-1))⌉ (27).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=5 et b=5, l'expression de la fonction d'annulation caractéristique symétrique correspondant à notre exemple est donc définie comme suit:
Soit a=5 et b=5, ∀ n∈ N*: 1A(n)=1-⌈mod(mod(n,-(5+5))+(5-1),mod(-n,(5+5))+(5-1))/(2*(5-1))⌉(27'); et cette dernière expression de la fonction d'annulation caractéristique symétrique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1.....); la fonction d'annulation de SeqA noté Null(SeqA) illustrée par l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,
1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,16,804,585,742,1140,177,388,1091,1067…), dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, et soit xₙ ∈ SeqA, est obtenue par l'opération de multiplication de xₙ ∈ SeqA avec l'expression (27') représentée par S; nous obtenons donc l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA notée Null(SeqA)=xₙ*(1-(⌈(mod(mod(n,-(5+5))+(5-1),mod(-n,(5+5))+(5-1))/(2*(5-1))⌉) représentée par la séquence notée SeqNull(Sgmtval(SeqA)) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,1228,959,60,555,199,0,0,0,0,0,250,1217,499,16,804,0,0,0,0,0,1091,1067…).
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Nous remarquons ensuite que la fonction d'annulation caractéristique symétrique dont nous venons de donner un exemple précédemment correspondant à une fonction d'annulation caractéristique asymétrique dans le cas ou les valeurs des variables a et b ne sont plus égaux comme précédemment, nous obtenons une nouvelle fonction d'annulation caractéristique asymétrique par extension de la définition précédente comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(mod(n-1,a+b)+1)=1, si mod(n-1,a+b)+1>b
1A(mod(n-1,a+b)+1)=0, si mod(n-1,a+b)+1<b
Cette nouvelle fonction indicatrice particulière de la fonction d'expression a(n)=mod(n-1,a+b)+1, peut se définir comme suit:
Soit a>b , ∀ a ∈ N*− {1}, ∀ b ∈ N*− {1}, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1,a+b)+1)=1-⌈mod(mod(n,-(a+b))+(b-1),mod(-n,(a+b))+(b-1))/(2*(b-1))⌉ (28).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=5 et b=3, l'expression de la fonction d'annulation caractéristique correspondant à notre exemple est donc définie comme suit:
Soit a=5 et b=3, ∀ n∈ N*: 1A(n)=1-⌈mod(mod(n,-(5+3))+(3-1),mod(-n,(5+3))+(3-1))/(2*(3-1))⌉(28'); et cette dernière expression de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0....); la fonction d'annulation de segment de SeqA notée Null(SeqA) est illustrée par l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199
1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,16,804,585,742,1140,177,388,1091,1067…), dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, et soit xₙ ∈ SeqA multiplié par l'expression (28'') représentée par S', nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA notée Null(SeqA)=xₙ*(1-⌈mod(mod(n,-(5+3))+(3-1),mod(-n,(5+3))+(3-1))/(2*(3-1))⌉) représentée par la séquence notée SeqNull(SeqA) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,1228,959,60,0,0,
0,0,0,57,138,250,0,0,0,0,0,742,1140,177,0,0,0,0,0…).
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3.2.b) La fonction caractéristique d'annulation asymétrique non équivalente à certains cas particuliers de la fonction caractéristique d'annulation symétrique
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"Sui generis est une expression latine qui signifie" de son propre genre, dans une classe à part", donc "unique". Plus couramment, sui generis caractérise un effet intrinsèquement lié à une chose". Extrait de Wikipédia, l'Encyclopédie libre.
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Il existe des expressions de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique qui ne correspondent pas à des cas particuliers d'expressions de la fonction d'annulation caractéristique symétrique, qui sont donc qualifiées de "sui generis", c'est-à-dire, quelles que soient les valeurs des variables de ces expressions elles sont toujours uniquement celles de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique, telle que celle dont nous définissons maintenant l'expression comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(mod(n-1,a+b)+1)=1, si mod(n-1,a+b)+1>a-b
1A(mod(n-1,a+b)+1)=0, si mod(n-1,a+b)+1<=a-b
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultants de la fonction caractérisée dont l'expression est a(n)=mod(n-1,a+b)+1, peut se définir comme suit:
Soit a>=3 ∧ b>=2 ∧ a>b, ∧ a≠2*b, ∀ a ∈ N*- {1,2}, ∀ b ∈ N*- {1}, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1,a+b)+1)=1-⌊mod(mod(n,-a)+b-1,mod(-n, a)+b-1)/(2*(b-1))⌋ (29).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=10 et b=4, l'expression de la fonction caractéristique correspondant à notre exemple est donc définie comme suit:
Soit a=10 et b=4, ∀ n∈ N*: 1A(n)=1-⌊mod(mod(n,-10)+4-1,mod(-n, 10)+4-1)/(2*(4-1))⌋ (29'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,....); la fonction d'annulation de segment de SeqA noté Null(SeqA) est illustrée par l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199
1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, et soit xₙ ∈ SeqA multiplié par l'expression (29') représentée par S, nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA Null(SeqA)=xₙ*(1-⌊mod(mod(n,-10)+4-1,mod(-n, 10)+4-1)/(2*(4-1))⌋) représentée par la séquence notée SeqNull(Sgmtval(SeqA)) ou SeqA'=(00,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,57,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,388,1091,1067…).
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Dans le cas ou a=b, mais en respectant la condition précédente de a>=3 ∧ b>=2, dans la définition de la formule de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique égale à l'expression a(n)=⌊mod(mod(n,-a)+b-1,mod(-n, a)+b-1)/(2*(b-1))⌋, celle-ci est toujours nulle et donc sa représentation sera toujours de forme asymétrique dans le cas de a>=b ce qui justifie sa qualification d'expression "sui generis".
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3.2.c) la fonction caractéristique d'annulation asymétrique équivalente à la composition de la fonction caractéristique
d'annulation asymétrique sui generis et la fonction
caractéristique d'annulation simple
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Une autre expression de ce type de fonction d'annulation caractéristique asymétrique encore qualifiée de "sui generis", c'est-à-dire, quelles que soit les valeurs données aux variables de son expression nous obtiendront toujours une fonction d'annulation caractéristique asymétrique, est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(n)=1, si 0<(mod(n, a)+1)*⌈(⌊n/a⌋)/(⌊n/a⌋+1)⌉<=a-b
1A(n)=0, si (mod(n, a)+1)*⌈(⌊n/a⌋)/(⌊n/a⌋+1)⌉>(a-b) ∨ (mod(n, a)+1)*⌈(⌊n/a⌋)/(⌊n/a⌋+1)⌉=0
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l'expression est a(n)=(mod(n, a)+1)*⌈(⌊n/a⌋)/(⌊n/a⌋+1)⌉, peut se définir comme suit:
Soit a>2 ∧ b>=1 ∧ a>b ∧ a-b>1, ∀ a ∈ N*- {1}, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=(⌊mod(mod(n,-a)+b, mod(-n, a)+b)/(2*b))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (30).
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Prenons par exemple les valeurs des variables a=10 et b=4, l'expression de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique correspondant à notre exemple est donc définie comme suit:
Soit a=10 et b=4, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=(⌊mod(mod(n,-10)+4, mod(-n, 10)+4)/(2*4))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉)*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (30'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,....); l'expression de fonction d'annulation de SeqA noté Null(SeqA) avec l'exemple de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199
1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), dont les valeurs sont indexées par les valeurs de la suite de nombre, N, correspond à la multiplication de xₙ ∈ SeqA, avec les valeurs de l'expression (30') représentée par S, notée Null(SeqA)=xₙ*(⌊mod(mod(n,-10)+4-1,mod(-n, 10)+4-1)/(2*(4-1))⌋) et représentée par la séquence notée SeqNull(SeqA) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,199,1244,1244,1244,57,138,0,0,0,0,804,585, 742,1140,177,388,0,0,0,0…).
₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ