42: 3A Les Nouvelles Fonctions Simples non indicatrices: Les fonctions simples de translations de mouvement séquentiels, de tri, de recherche, d'insertion, d'interversion, de répétition, d'inversion, de concaténation, d'incrémentation, de compression, de décompression

∴

Article de cette rubrique en cours de rédaction!

∴

"Une fonction caractéristique, ou fonction indicatrice, notée 1A, (conventionnellement la notation anglo-saxonne pour la fonction caractéristique de F est ₁F) est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble F d’un ensemble E est une fonction :

1F: E→ {0,1}

x↦ 1 si x ∈ F

0 si x ∉ F", Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

∴

"Forme d'une fonction simple: Formellement, une fonction simple est une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices d’ensembles mesurables. Plus précisément, soit (X, Σ) un espace mesurable. Soit A₁, ..., Aₙ ∈ Σ une suite d’ensembles mesurables disjoints, et soit a₁, ..., aₙ une suite de nombres réels ou complexes. Une fonction est simple si et seulement si elle est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques. Une fonction simple est une fonction numérique dont l'image est constituée d'un nombre fini de valeurs réelles (ou éventuellement complexes)".

"Les fonctions simples sont suffisamment « agréables » pour que leur utilisation facilite le raisonnement mathématique, la théorie et la preuve. Par exemple, les fonctions simples n’atteignent qu’un nombre fini de valeurs. Certains auteurs exigent également que des fonctions simples soient mesurables ; tel qu’ils sont utilisés dans la pratique, ils le sont invariablement. Un exemple de base d’une fonction simple est la fonction plancher sur l’intervalle semi-ouvert [1, 9[, dont les seules valeurs sont {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un exemple plus avancé est la fonction de Dirichlet sur la droite réelle, qui prend la valeur 1 si x est rationnel et 0 sinon. (Ainsi, le « simple » de « simple fonction » a un sens technique quelque peu en contradiction avec le langage courant.) Toutes les fonctions d’étape sont simples.

∴

"En théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par ℕ*. Une fonction arithmétique a est:

complètement additif si a(mn) = a(m) + a(n) pour tous les entiers naturels m et n ;
complètement multiplicatif si a(mn) = a(m)a(n) pour tous les entiers naturels m et n ;

Deux nombres entiers m et n sont dits premiers entre eux si leur plus grand commun diviseur est 1, c’est-à-dire s’il n’y a pas de nombre premier qui les divise tous les deux.

Alors une fonction arithmétique a est:

additif si a(mn) = a(m) + a(n) pour tous les nombres naturels premiers entre eux m et n ;
multiplicatif si a(mn) = a(m)a(n) pour tous les nombres naturels premiers entre eux m et n."

∴

Après avoir dans ce début d'introduction donné la définition de la fonction caractéristique ou indicatrice en général, et son application par extension à la fonction de partie entière inférieure et la fonction de partie entière supérieure, nous allons développer dans une première partie, en considérant d'abord dans un premier et deuxième titre l’utilisation particulière de la fonction indicatrice appliquée à la caractéristique de la propriété de la divisibilité d’une suite de nombres entiers, les formules sui generis de nouvelles fonctions essentielles à l’étude des suites de nombres catégorisées dans la rubrique intitulée « Séries». En effet en développant d'abord le processus de caractérisation de la propriété de la divisibilité des éléments d’une séquence de nombres par la fonction indicatrice, nous obtenons des outils mathématiques fondamentaux pour manipuler les éléments de toutes suites de nombres, que nous décrivons généralement suivant leurs effets sur les suites de nombres, comme des processus quasi physiques sur des symboles, soit, le déplacement d’un ou de plusieurs éléments d’une suite de nombres avant ou après un nombre de cette même suite, en référence à l’indice n ∈ N de ce nombre; ou bien encore la répétition unique ou multiple d’un seul ou de plusieurs éléments de la suite de nombres notée SeqA; l’élimination avec ou sans annulations (donc « la compression » dans ce dernier cas) d’un seul ou de plusieurs éléments de la suite de nombres notée SeqA; ou l’insertion d’un ou de plusieurs nouveaux éléments successifs ou non et répétés ou non (donc l’insertion avec duplication simultanément) dans la suite de nombres notée SeqA et dans certain cas une opération équivalente à la concaténation d’un ou de plusieurs segments d’éléments d’une autre suite de nombres notée SeqB au début ou à la fin du segment de la suite de nombres dénotée SeqA; ou l’inversion de l’ordre d’un ou de plusieurs segments d’éléments de la suite de nombres notée SeqA; ou l’incrémentation et la décrémentation répétée à l’infini d’un ou de plusieurs éléments de la suite de nombres notée SeqA; le tri selon des critères de sélection choisis; l'annulation correspondant à la double segmentation d'une valeur unique nulle ou de plusieurs valeurs nulles successives ou non. Mais puisqu'il nous faut être plus précis pour manipuler les éléments de toutes suites de nombres que par ces descriptions de processus quasi physiques sur des symboles comme nous avons écrit précédemment, nous développerons donc de nouvelles fonctions que nous numérotons et catégorisons dans la rubrique générale correspondante à chaque titre sans pour autant que ce titre corresponde à l'intitulé exact de chaque fonction dont certaines seront regroupées sous un seul et même titre, donc soit toutes les nouvelles fonctions organisées dans l'ordre des chapitres suivants dont le titre correspond à une catégorie d'une fonction simple en générale notées comme suit:

FONCTIONS DE TRANSLATIONS DE MOUVEMENTS SÉQUENTIELS:

La fonction caractéristique de la fonction d'index de position séquentiel d'un seul élément, comme suit:

1A: N→ {0,1}

1A(INDEX( [xᵢ] ))=0, si p≠nᵢ*xᵢ₌ₚ ∧ nᵢ*xᵢ=0

1A(INDEX( [xᵢ] ))=1, si p=nᵢ*xᵢ₌ₚ ∧ n*xᵢ≠0

1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))=(⌈|n/(p+1)-1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)

Après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que:

(1)⇒INDEX([xᵢ₌ₚ])=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(p+1)-1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)*n) ]=p (1)'. Et nous remarquons encore que la valeur de la variable choisie p est aussi la valeur dans N* de l'index de position de xᵢ₌ₚ.

∴

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=| INDEX(xᵢ₌ₚ₊ₛ) - INDEX(xᵢ₌ₚ) |= | ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1) - (⌈|n/(a' +1)-1|⌉-⌈n/(a'+1)⌉+1))*n ) ] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n )] |=s; avec a'=a+s.

∴

1A: N→ {0,1},
1A(xᵢ)=0, si p+s≠nᵢ*xᵢ ∧ xᵢ=0
1A(xᵢ)=1, si p+s=nᵢ*xᵢ ∧ xᵢ=1
L'expression pour effectuer le calcul numérique de cette fonction caractéristique 1A(xᵢ) qui est une fonction équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel de l'élément xᵢ₌ₚ, et qui est notée TRANSLATION([xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ]⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1})), est:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))

∴

TRANSLATION( [xᵢ₌₁] ⋆⋆[xᵢ₌ₚ] )=((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))

∴

TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₑ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌ₑ₌₁] )=((⌈|n/(e+1)-1|⌉-⌈n/(e+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) = ((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))

∴

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₑ₌₀]⋆⋆[xᵢ₌ₑ₌₁] )=| INDEX( [xᵢ₌ₑ₌₁] )-INDEX( [xᵢ₌₀] ) | = | ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1) - (⌈|n/(0 +1)-1|⌉-⌈n/(0 +1)⌉+1))*n) ] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0 +1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))*n) ] | =0.

∴

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) = | INDEX([xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) - INDEX( [xᵢ₌ₚ] ) | =| ∑n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1) - (⌈|n/(a'+1)-1|⌉-⌈n/(a'+1)⌉+1))*n)] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a +1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) ] |=s; avec a'=a+s.

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆ [xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(a'+1)-1|⌉-⌈n/(a'+1)⌉+1))

TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ] )=((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a +1)⌉+1))

Alors, TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) = QTTRANSLATION([xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ])/n -TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}))

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆ [xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=n*( TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) + TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) )

∴

La fonction caractéristique de la fonction d'index de plusieurs éléments successifs égaux à 1 appartenant à une séquence de nombres à valeur dans l'ensemble {0;1} est notée de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}

1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=0, si nᵢ*xᵢ>p ∨ nᵢ*xᵢ <=a

1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=1, si nᵢ*xᵢ <= p ∧ nᵢ*xᵢ >= a+1

L'expression de cette fonction caractéristique de la fonction d'index de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤ nᵢ*xᵢ ≤ a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est:

1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(p+1) -1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)

1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(a+a'+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+a'+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)

∴

Card( SeqAᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1})) =∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ]

∴

MOYNA( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ( ∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)*n) ] )

∴

INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ∑n=1→n=∞: [ ( | ( ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ) ] = a+1.

∴

INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ∑n=1→n=∞: [ ( | (((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) |* ((⌈|n/(p+1+1) -1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] = p+1.

∴

INDEX( [xᵢ₌ₐ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] )=∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1-1) -1|⌉-⌈n/(a+1-1)⌉+1)) ) ] = a.

∴

INDEX( [xᵢ₌ₚ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] )=∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - ( ⌈|n/(a+1+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] = p.

Ensuite l'expression de la fonction de quantification de translation de mouvement de plusieurs éléments de valeur 1, est notée de la façon suivante:

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ( | INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [ xᵢ₌ₐ ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | ) ∪ ( | INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [ xᵢ₌ₚ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | ) = ( | INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [ xᵢ₌ₐ ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | + | INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [ xᵢ₌ₚ ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | ) /2

Puis nous décomposons cette expression en sous-expressions comme suit:

a(n)=| INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [xᵢ₌ₐ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) |= | ∑n=1→n=∞: [ ( | ( ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ) ] - ∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1-1) -1|⌉-⌈n/(a+1-1)⌉+1)) ) ] | =a+1-a=1

a(n)=| INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [xᵢ₌ₚ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | = | ∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - ( ⌈|n/(a+1+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] - ∑n=1→n=∞: [ ( | (((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) |* ((⌈|n/(p+1+1) -1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] | = p+1-p=1

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ( | ∑n=1→n=∞: [ ( | ( ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) )] - ∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1-1) -1|⌉-⌈n/(a+1-1)⌉+1)) )] | - | ∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - ( ⌈|n/(a+1+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] - ∑n=1→n=∞: [ ( | (((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) |* ((⌈|n/(p+1+1) -1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] | )/2 = (a+1-a) - (p+1-p) = (1+1)/2

∴

CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ‖ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] ) = ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) + (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))=( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))

Ensuite nous effectuons l'opération d'annulation partielle des éléments de l'intervalle obtenue par l'opération de concaténation précédente [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ], soit avec [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0}) :

NULL( [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] ⋆⋆⋆ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] =[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) =( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) - ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) = (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)). Cette dernière expression est en fait équivalente à l'expression de translation que nous avons écrite précédemment informellement, TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]), soit:

NULL( [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] ⋆⋆⋆ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ↔ TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ↔ TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ).

∴

DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) - ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))= (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ↔ TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ])

∴

Donc, soit les éléments d'une séquence de nombres à valeurs dans un intervalle, dont l'opération de translation séquentielle par extension à l'opération de translation séquentielle sur les intervalles [xᵢ₌ₚ] et [xᵢ₌ₚ₊ₛ] ⊆ SeqXᵢ=( { xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} ) est notée par l'opérateur ⋆*⋆ avec la variable choisie q ∈ N* et i ∈ N*, la valeur de l'indice des éléments xᵢ ∈ SeqXᵢ , et définie comme suit:

1A: N*→ {0, N*}

1A([xᵢ₌ₚ₊ₛ])=0, si i ≠p+s

1A([xᵢ₌ₚ₊ₛ])=1, si i=p+s

La multiplication de l'expression de cette fonction caractéristique 1A([xᵢ₌ₚ₊ₛ]) par la variable q est équivalente à l'expression de la fonction de translation de q⋆*⋆xᵢ, notée TRANSLATION( [q*xᵢ₌ₚ]⋆*⋆[q*xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=TRANSLATION( [q⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q⋆*⋆xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) =TRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ] ) =TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q correspondante à l'expression de la fonction simple de translation de mouvement de la variable q⋆*⋆xᵢ de l'intervalle dégénéré, et est

∴

TRANSLATION( [q⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q*xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=TRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ])=TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*q

∴

QTTRANSLATION( [q ⋆*⋆ xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q ⋆*⋆ xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=QTRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ] ) =QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )= | INDEX([qᵢ₌ₚ₊ₛ])-INDEX([qᵢ₌ₚ]) |= | INDEX([xᵢ₌ₚ₊ₛ])-INDEX([xᵢ₌ₚ]) |= |∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1) - (⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*n ) ] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/p-1|⌉-⌈n/p⌉+1))*n )] |= |p+s-p|=s

∴

La fonction d'annulation de plusieurs valeurs successives dans une séquence de nombre soit N*, et de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}
1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=0, si a<n⋆*⋆xᵢ <s
1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=1, si n⋆*⋆xᵢ<=a ∨ n⋆*⋆xᵢ>=s
L'expression de cette fonction caractéristique 1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] ) de la non-appartenance de n⋆*⋆xᵢ à l'intervalle [a;s] que j'explicite comme suit, n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s]⇒ 1A(n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=1 et ∨ n⋆*⋆xᵢ ∈ [a;s]⇒ 1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=0, est

1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] ) = ( ⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)+(1- ((⌈|n/(a+s+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+s+1)⌉+1) )

1A: N→ {1; N*}
1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ )=1, si (a+s)-h ≠ n
1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ )=a+s, si (a+s)-h = n
L'expression de cette fonction caractéristique 1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ), c'est-à-dire la fonction caractéristique de n= a+s-h, est

1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ ) = | (⌈|n₊ₕ/(a+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊ₕ/(a+s+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+s+1)⌉+1)) + (1-((⌈|n₊ₕ/(a+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊ₕ/(a+s+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₁₊ₕ/(a+1)-1|⌉-⌈n₊₁₊ₕ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁₊ₕ/(a+s+1)-1|⌉-⌈n₊₁₊ₕ/(a+s+1)⌉+1))) -( ((⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+1)⌉+1))*n₊ₕ+(1-((⌈|n₊ₕ/(a+s+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+s+1)⌉+1)))*n₊ₕ) |-((⌈|n₊ₕ/(a+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |n₊ₕ/(a+s+1)-1| ⌉-⌈n₊ₕ/(a+s+1)⌉+1)))-1 |

L'expression de la fonction de translation séquentielle d'un élément d'une séquence d'éléments à valeur dans {1; N*}, est alors équivalente à

TRANSLATION( [(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀]⋆⋆[(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁)] )=TRANSLATION( [(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀]⋆⋆[(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁)] )=TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁)])*(a+s) =1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁) =| (⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)) +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)⌉+1))) -( ((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1))*nₕ₌₀ +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))*nₕ₌₀) |-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nₕ₌₀/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))-1 |

L'expression de la fonction simple de translation séquentielle de n'importe quel élément d'une séquence et dans n'importe quelle direction de translation soit de gauche vers la droite et de droite vers la gauche ( le début de la séquence ), nous redéfinissons l'expression précédente comme suit:

TRANSLATION( [(a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ]⋆⋆[(a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀)] )=TRANSLATION( [(a+s-e)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ]⋆⋆[(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀)] )=TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀)])*(a+s-e) =1A((a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀) = ( | (⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)) +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)⌉+1))) - ( ((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1))*nₕ₌₀ +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))*nₕ₌₀) |-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nₕ₌₀/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))-1 |) - ⌊ ( | (⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)) +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)⌉+1))) -( ((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1))*nₕ₌₀ +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))*nₕ₌₀) |-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nₕ₌₀/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))-1 | ) / (a+s) ⌋*e

∴

TRANSLATIONINCO( [1⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊₁; (a-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁ ]⋆⋆[ 1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ ₓ ] ) = TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ₓ ] ) = ( ⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋ ))

1A: N→ {0,1}:
1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] )=0, si xᵢ=0 ⇔ INDEX( [ xᵢ] ) > INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ) ⇒ xᵢ ∉ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]
1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] )=1, si xᵢ=1 ⇔ INDEX( [xᵢ₌₁] ) <= INDEX( [xᵢ] ) <= INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ) ⇒ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]
L'expression de cette fonction caractéristique d'intervalles de valeurs non nulles des éléments d'une séquence de nombres appartenant à l'intervalle des valeurs non nulles [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁], et défini comme le sous-ensemble de tous les éléments xᵢ de valeurs égales appartenant à un intervalle d'une séquence de nombres et tel que leurs indices soient 1≤ i ≤ 2*a-1, est

TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ₓ ] )= (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a)*(1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋ ))

expression de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments appartenant à l'intervalle [1; p] avec ∀ p ∈ N* et p >1 et xᵢ ∈ {0;1} de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}
1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=0, si xᵢ=0  ⇔ INDEX( [xᵢ] ) > INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ⇒ xᵢ ∉ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ]
1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁;  xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=1, si xᵢ=1 ⇔ INDEX( [xᵢ₌₁] ) <= INDEX( [xᵢ] ) <= INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ⇒ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ]
L'expression de cette fonction caractéristique de la fonction d'opération ensembliste d'appartenance et de non-appartenance à l'intervalle [xᵢ₌₁;  xᵢ₌ₐ₊ₚ]), défini comme le sous-ensemble de tous les nombres xᵢ égaux à 1 tels que la valeur de leur index de position i soit a+1≤ i ≤ a+ p, notée INDEX( [xᵢ₌₁] ) <= INDEX( [xᵢ] ) <= INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est

1A( xᵢ ∈ ([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ]))= (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))

TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] )*1A(xᵢ ∈ ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )) =
NULL( [0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]⋆*⋆[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]=[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ) =
DIFFSEQ([1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]⋆-⋆[xᵢ₌ₐ₊ₚ;xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁])=TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;
p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=(⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))

La fonction caractéristique de l'appartenance à l'intervalle des éléments translatés à valeurs non nulles dans N*, comme suit :

1A: N→{0,1}
1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )= 0, si xᵢ=0 ⇔ INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ) > INDEX( [xᵢ] ) ∨ INDEX( [xᵢ] ) > INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] )
1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=1, si xᵢ=1 ⇔ INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ) <= INDEX( [xᵢ] ) <= INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] )
L'expression de cette fonction caractéristique de l'appartenance à l'intervalle des éléments translatés à valeurs non nulles dans N* est:

1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )= (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )

Alors l'expression précédente nous permet d'obtenir la translation d'éléments successifs dont la première valeur est différente de la valeur 1 et égale à la valeur de la variable k+1 ∈ N* choisie, définie de la façon suivante:

∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ k ∈ N*:

TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k +
TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) =( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) ) )*k + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))

∴

la fonction d'annulation de plusieurs valeurs successives dans une séquence de nombre soit N*, et de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}
1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=0, si a < n⋆*⋆xᵢ < s
1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=1, si n⋆*⋆xᵢ <=a ∨ n⋆*⋆xᵢ >= s
L'expression de cette fonction caractéristique 1A( n⋆*⋆xᵢ ) de la non-appartenance de n⋆*⋆xᵢ à l'intervalle [a;s], que j'explicite comme suit, n⋆*⋆xᵢ ∉ [a; s] ⇒ 1A( n⋆*⋆xᵢ)=1, et ∨ n⋆*⋆xᵢ ∈ [a;s] ⇒ 1A( n⋆*⋆xᵢ )=0, est:

1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] ) = ( ⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)+(1- ((⌈|n/(a+s+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+s+1)⌉+1) )

∴

La fonction caractéristique de (a+s)⋆*⋆xᵢ₌=a+s, c'est-à-dire la fonction caractéristique de la valeur de l'index de position de la dernière valeur 0 de la sous séquence de valeurs toutes identique à 0, de la séquence dont l'expression est (4):

1A: N→ {1; N*}
1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ )=1, si n⋆*⋆xᵢ ≠ (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ
1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ )=a+s, si n⋆*⋆xᵢ= (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ
L'expression de cette fonction caractéristique 1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ) est

1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ)= | (⌈|nᵢ₌₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+s+1)⌉+1)) + (1-((⌈|nᵢ₌₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₌₁₊₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁₊₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₁₊₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁₊₁/(a+s+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ₌₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+1)⌉+1))*nᵢ₌₁+(1-((⌈|nᵢ₌₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+s+1)⌉+1)))*nᵢ₌₁) |-((⌈|nᵢ₌₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ₌₁/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+s+1)⌉+1)))-1 |

∴

∀ m ∈ N* avec m correspondant à la quantité d'éléments translatés:

TRANSLATION( [(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀; (a+s+m)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ]⋆⋆[(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₘ; (a+s+m)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀] )=TRANSLATION( [(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀; (a + s + m)ᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ]⋆⋆[(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₘ; (a+s+m)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀] )=|(⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+s+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1))*nᵢ+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))*nᵢ) |-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))-1 |

Donc nous remarquons qu'il nous suffit de soustraire à la valeur de variables choisie appartenant à [a+s; a+s+m-1], l'intervalle de valeurs inférieures à a+s et à a+s+m-1, donc soit la variable e correspondant à la valeur soustraite des éléments translatés et donc appartenant à l'intervalle [a+s-e; a+s+m-1-e], pour obtenir la translation de mouvement de plusieurs éléments à valeurs appartenant à l'intervalle [a+s-e; a+s+m-1-e] dans la direction de translation de gauche à droite. Donc pour obtenir cette expression de la fonction simple de translation séquentielle de n'importe quel élément d'une séquence et dans n'importe quelle direction de translation soit de gauche vers la droite et de droite vers la gauche (le début de la séquence), nous redéfinissons l'expression précédente, comme suit:

TRANSLATION( [(a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ; (a+s+m-1-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ₋₁₋ₑ)]⋆⋆[(a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₘ; (a+s+m-1-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ)]) =TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ; 1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ₋₁₋ₑ]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ;1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ])*(a+s+m-e) = ( |(⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+s+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1))*nᵢ+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))*nᵢ) |-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))-1 | ) - ⌊ ( |(⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+s+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1))*nᵢ+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))*nᵢ) |-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))-1 | ) / (a+s) ⌋*e

∴

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] ) ∪

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ] )=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))

∴

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞ )

Soit a, s, v, p ∈ N* et les indices notés ₐ ₛ ᵥ ₚ , (a)

Soit la quantité d'expressions de translation de mouvement séquentiel pour chaque élément translaté j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ]) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ]) )] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + (( ⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))) ]= (a')

Soit t=⌈ (p+p+s+1+ p+s+a+1) / j ⌉, et r=⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) /j ⌉ (a'')

Soit l'indice t noté ₜ (a''')

Soit l'indice r noté ᵣ (a''')

alors, TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ] ))=TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] )=(( ⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1)-(⌈|n/r-1|⌉-⌈n/r⌉+1)) (4)

TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] )=(( ⌈|n / (⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j⌉+1)⌉+1)-(⌈| n / ⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j ⌉ -1|⌉-⌈n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j ⌉⌉+1)) (4)'↔(4)

TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] ))=(( ⌈|n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] )⌉+1)⌉+1)-(⌈|n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] ) ⌉-1|⌉-⌈n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] ) ⌉⌉+1))

∴

Alors nous pouvons effectuer trois opérations de translations de mouvements séquentiels en considérant l'exemple algébrique noté de la façon suivante, ∀ q , q', q'' ∈ N*:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] )*q' ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ ])*q''= ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*q + ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1))*q' + ((⌈|n/(p+s+a+1+x+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+x+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+x)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+x)⌉+1))*q''

∴

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞ )

Soit a, s, v, p ∈ N* et les indices notés ₐ, ₛ, ᵥ, ₚ (b)

Soit la quantité d'expressions de translation de mouvement séquentiel pour chaque élément translaté j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ]) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + (( ⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] (b')

Soit t=⌈ (p+p+s+1+ p+s+a+1) / j ⌉, et r=⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) /j ⌉ (b'')

Soit l'indice t noté ₜ (b''')

Soit r l'indice noté ᵣ (b''')

alors, TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] )*q' ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ] )*q'')=TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] )=(( ⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1)-(⌈|n/r-1|⌉-⌈n/r⌉+1))*(q+q'+q'')/j (5)

TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] )*(q+q'+q'')/j =((( ⌈|n / (⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j⌉+1)⌉+1)-(⌈| n / ⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j ⌉ -1|⌉-⌈n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j ⌉⌉+1)))*(q+q'+q'')/j (5)'↔(5)

TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] ))*(q+q'+q'')/j =( (( ⌈|n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] )⌉+1)⌉+1)-(⌈|n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1) - (⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] ) ⌉-1|⌉-⌈n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] ) ⌉⌉+1)) ) *(q+q'+q'')/j (5)''↔ (5)'↔(5).

∴

TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞, dont l'expression est définie comme suit:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₜ] ) = ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) + ((⌈|n/(e+1)-1|⌉-⌈n/(e+1)⌉+1) - (⌈|n/(v+1) -1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)) + ((⌈|n/(t+1)-1|⌉-⌈n/(t+1)⌉+1) - (⌈|n/(s+1) -1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1))

∴

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞ )

Soit x, x+1, a+1, p, m, h, v, e, o, k, s, t ∈ N* et les indices notés: ₓ, ₓ₊₅, ₐ₊₁, ₚ, ₘ, ₕ, ᵥ, ₑ, ₒ, ₖ, ₛ, ₜ (c)

Soit la quantité d'expressions de translation de mouvement séquentiel pour chaque élément translaté j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌ₘ ]⋆⋆[ xᵢ₌ᵥ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] (c1)' ↔ j'=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ]) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ₑ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₖ]⋆⋆[xᵢ₌ₜ]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/p-1|⌉-⌈n/p⌉+1))+ ((⌈|n/(e+1)-1|⌉-⌈n/(e+1)⌉+1)-(⌈|n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)) + (( ⌈|n/(t+1)-1|⌉-⌈n/(t+1)⌉+1)-(⌈|n/t-1|⌉-⌈n/t⌉+1)) )] (c2')

Soit β=⌈ (a+1+v+s) / j ⌉, et r=⌈ (p+e+t) /j ⌉ (c'')

Soit β ∈ N*, et l'indice β noté ᵦ (c''')

Soit r ∈ N*, et l'indice noté ᵣ (c'''')

Soit γ=⌈ (x+m+o) / j ⌉, et φ=⌈ (x+1+h+k) /j ⌉ (c''''')

Soit γ ∈ N*, et l'indice γ noté ᵧ (c''''')

Soit φ ∈ N*, et l'indice noté ᵩ (c''''')

Alors, TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₜ] ) = TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] ) = ((⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1))= ((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1)) (14)''

TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] )= ((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] )⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) i ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈ |n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) + ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1))

∴

TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞, dont l'expression est définie comme suit:

TRANSLATION( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₓ; (k+p)⋆*⋆xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;(k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] )

∪ TRANSLATION([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ₘ;(k'+e)⋆*⋆xᵢ₌ₕ]⋆⋆[(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁;(k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )

∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₒ ; (k''+t)⋆*⋆ xᵢ₌ₖ ] ⋆⋆ [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁ ; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ) =1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) +1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵥ₊₁; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )*k' + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; e⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )

+1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )*k'' + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; t⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )

TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=

( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) ) )*k + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) + ( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) ) )*k' + (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) + ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) ) )*k'' + (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋))

∴

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞ )

Soit x, x+1, a+1, p, m, h, v, e, o, k, s, t ∈ N* et les indices notés: ₓ, ₓ₊₅, ₐ₊₁, ₚ, ₘ, ₕ, ᵥ, ₑ, ₒ, ₖ, ₛ, ₜ (c)

Soit la quantité d'expressions de translation de mouvement séquentiel pour chaque élément translaté j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌ₘ ]⋆⋆[ xᵢ₌ᵥ₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1+1)-1|⌉-⌈n/(v+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1+1)-1|⌉-⌈n/(s+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)) ) ] (c1)' ↔ j'=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊ₚ]) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊ₑ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₖ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊ₜ]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+p)-1|⌉-⌈n/(a+p)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+e+1)-1|⌉-⌈n/(v+e+1)⌉+1)-(⌈|n/(v+e)-1|⌉-⌈n/(v+e)⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+t+1)-1|⌉-⌈n/(s+t+1)⌉+1)-(⌈|n/(s+t)-1|⌉-⌈n/(s+t)⌉+1)) ) ] (c2')

Soit β=⌈ (a+1+v+s) / j ⌉, et r=⌈ (p+e+t) /j ⌉ (c'')

Soit β ∈ N*, et l'indice β noté ᵦ (c''')

Soit r ∈ N*, et l'indice noté ᵣ (c'''')

Soit γ=⌈ (x+m+o) / j ⌉, et φ=⌈ (x+1+h+k) /j ⌉ (c''''')

Soit γ ∈ N*, et l'indice γ noté ᵧ (c''''')

Soit φ ∈ N*, et l'indice noté ᵩ (c''''')

Alors, TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) = TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) * ⌈ ( ( ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] )

∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))] )/j ) ⌉ + ( ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ᵥ₊ₑ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))) i ] ) * TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) - TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) (16)' ↔ (16)

TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) = TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ]⋆⋆[xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] ) * ⌈ ( ( ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))] )/j ) ⌉ + ( ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ]⋆⋆[xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] )) i ] ) * TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ]⋆⋆[xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] ) - TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ]⋆⋆[xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] ) (16)'' ↔ (16)' ↔ (16)

TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))] )/j ) ⌉ + ( ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1))) i ] ) * ( (⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1) ) - ( (⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1) ) (16)''' ↔ (16)'' ↔ (16)' ↔ (16)

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))=((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1)) * ⌈((∑n=1→n=∞: [(TRANSLATIONR

( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))] )/j ) ⌉ + ( ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1)) ) i ] ) * ((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1)) - ((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1)) (16)'''↔(16)'''↔ (16)''↔(16)'↔(16)

= ((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1)) * ⌈ ( ∑ n=1→n=∞:[( ( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) ) )*k + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) + ( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) ) )*k' + (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) + ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) ) )*k'' + (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋))] ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉ +

( ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / ( ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1))) i ] )) *

((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1)) -

FONCTIONS SIMPLES DE TRI SÉQUENTIEL

∴

FONCTIONS SIMPLES D'INSERTION SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES D'INTERVERSION SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES DE RÉPÉTITION SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES D'ÉLIMINATION PAR COMPRESSION SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES D'ÉLIMINATION PAR DECOMPRESSION SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES DE CONCATÉNATION SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES D'INVERSION SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES D'INCRÉMENTATION LINÉAIRE SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES DE RECHERCHE EXACTE OU APPROCHEE SÉQUENTIELLE

∴

FONCTIONS SIMPLES DE RECHERCHE AUX EXTRÉMITÉS SEGMENTALES SÉQUENTIELLES

∴

FONCTIONS SIMPLES D'ANNULATION ET FONCTIONS VIDE SÉQUENTIEL

ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE

Table des Matières

42: 3A Les Nouvelles Fonctions Simples non indicatrices: Les fonctions simples de translations de mouvement séquentiels, de tri, de recherche, d'insertion, d'interversion, de répétition, d'inversion, de concaténation, d'incrémentation, de compression, de décompression

∴

Article de cette rubrique en cours de rédaction!

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴