78: 1'A XXXIV NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE EN ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES: Les opérations fondamentales de quantité, de concaténation, de déconcaténation, de rang et d'extraction des chiffres du nombre.

© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64 en France.

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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"Un chiffre est un signe d'écriture utilisé seul ou en combinaison pour représenter des nombres entiers. Dans un système de numération positionnel comme le système décimal, un petit nombre de chiffres suffit pour exprimer n'importe quelle valeur. Le nombre de chiffres du système est la base. Le système décimal, le plus courant des systèmes de numération, comporte dix chiffres représentant les nombres de zéro à neuf. L'écriture d'un nombre représente un nombre, c'est-à-dire une quantité alors qu'un chiffre ne représente pas de quantité. On distingue un nombre à un chiffre du chiffre qui est un simple signe. Les chiffres jouent par rapport aux nombres un rôle similaire à celui des lettres par rapport aux mots. À l'écrit, les nombres sont représentés par une juxtaposition de chiffres, de même que les mots sont représentés par une juxtaposition de lettres. "Extrait de Wikipédia, l'encyclopédie libre en ligne.

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I) LES OPÉRATIONS FONDAMENTALES EN ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES DU NOMBRE NON DÉCIMAL

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1) Définitions et expressions générales des opérations fondamentales et des notations fondamentales en arithmétique des chiffres qui font le nombre non décimal

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1.1.a Les deux opérations fondamentales de concaténation et de déconcaténation des chiffres du nombre non décimal

"La concaténation de deux nombres ou plus est le nombre formé par la concaténation de leurs chiffres. Par exemple, la concaténation de 1, 234 et 5678 est 12345678. La valeur du résultat dépend de la base numérique, qui est généralement comprise à partir du contexte. La formule de concaténation des nombres p et q en base b est:
p∥ q=pb^(l(q)) + q où l(q)= ⌊ logb q⌋ +1 est la longueur numérique de q en base b et ⌊ x⌋ est la fonction plancher." Extrait de l'article "Concaténation -- de Wolfram MathWorld"

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"Le terme concaténation désigne l'action de mettre bout à bout au moins deux chaînes de caractères ou de péricopes. Dans le contexte théorique des langages formels : on se donne un ensemble fini A, et on appelle A* l'ensemble des séquences d'éléments de A* ; la concaténation est alors la loi de composition interne sur A* qui aux séquences (a₁, a₂, aₘ,…) et (b₁, b₂, bₙ,…) où m et n sont des entiers naturels, associe la séquence (a₁, a₂, aₘ, b₁, b₂, bₙ,…). Dans le contexte pratique, pour deux ensembles de chaînes S1 et S2, la concaténation S1S2 consiste en toutes les chaînes de la forme vw où v est une chaîne de S1 et w est une chaîne de S2, ou formellement S1S2 = { vw : v ∈ S1, w ∈ S2 }. La concaténation d'un ensemble de chaînes et d'une seule chaîne, et vice versa, sont définies de manière similaire par S1w = { vw : v ∈ S1 } et vS2 = { vw : w ∈ S2 }. Dans ces définitions, la chaîne vw est la concaténation ordinaire des chaînes v et w. Par exemple, si U = { a, b, c, d, e, f, g, h }, et V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, alors UV désigne l'ensemble des éléments W= { a1, b2, c3, d4, e5, f6, g7, h8 } ", extrait des articles "Concaténation" en Français et en anglais de Wikipédia l'encyclopédie libre.

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"Formellement, dans le contexte théorique des langages formels : on se donne un ensemble fini Σ, et on appelle Σ⋆ l'ensemble des séquences d'éléments de Σ ; la concaténation est alors la loi de composition interne sur Σ⋆ qui aux séquences ( 1, 2,…, ) (a{1}, a{2},... ,a{m}) et ( 1, 2,…, ) (b{1}, b{2},....,b{n}), où m et n sont des entiers naturels, associe la séquence ( 1, 2,…, , 1, 2,…, ) ( a{1}, a{2},.....,a{m}, b{1}, b{2},.... , b{n}). Cette opération est associative et a un élément neutre qui est la séquence vide, donc elle dote Σ⋆ d'une structure algébrique de monoïde. De plus, ce monoïde ainsi que tous les monoïdes isomorphes à celui-ci est qualifié de libre, puisqu'un élément de Σ⋆ ne possède qu'une unique décomposition sous forme de produits d'éléments de Σ. En généralisant, on introduira la terminologie suivante : Si on se donne un monoïde libre, on appellera concaténation (notée souvent par un point ⋅ ou par rien) sa loi de composition interne, mot vide (noté ε) son élément neutre, mots ou chaînes de caractères ses éléments, alphabet (noté A ou Σ) son ensemble de générateurs libres, symboles, lettres ou caractères les éléments de l'alphabet. Dans cette terminologie, on appellera ce monoïde le langage des mots sur l'alphabet Σ (ou A …), que l'on note Σ⋆ (ou ⋆ A})."

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"Déconcaténer: De concaténer, avec le préfixe dé-. Verbe déconcaténer transitif 1er groupe
Faire revenir à l'état qui précédait une concaténation, reséparer." extrait de l'article déconcaténer de "Wiktionnaire, le dictionnaire libre et gratuit que tout le monde peut améliorer."

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Reprenant ce que nous avions écrit précédemment au chapitre 25 sur les opérations de terminaisons segmentales, nous réécrivons donc tout d'abord les définitions et les expressions des opérations de déconcaténation sur un seul nombre non décimal, c'est-à-dire que l'opération de déconcaténation des éléments d'un ensemble séquentiel qui sont des chiffres d'un nombre non décimal formé par une suite de nombres concaténée est définie comme l'opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments et qui est notée en général pour deux nombres non décimaux q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc une opération de déconcaténation qui est notée en générale q⫲w, ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w.

Mais plus précisément il existe deux types d'opérations de déconcaténation des chiffres d'un nombre, c'est à dire, des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres qui sont des chiffres d'un nombre formé par une suite de nombres concaténée: l'opération de la déconcaténation droite et de la déconcaténation gauche.

Tout d'abord, l'expression de l'opération de la déconcaténation dite droite des deux nombres non décimaux q et w qui sont concaténés formant le troisième nombre non décimal résultant de cette concaténation, soit qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité, est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions possibles de l'opération de déconcaténation droite, respectivement notées q⫲qw et w⫲qw, et définies toujours respectivement de la façon suivante:

q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre décimal w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1. (A1)
w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w; avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, sachant que si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1. (A1)'

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Pour illustrer les deux expressions ci dessus de l'opération de déconcaténation droite des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres, prenons l'exemple de la valeur des variables qw=794587856533 avec q=79 et w=4587856533, alors:

q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋ ↔ 79⫲794587856533=⌊794587856533/10^(l(4587856533))⌋=⌊794587856533/10^(⌊log(4587856533)⌋+1)⌋=79 (A1)

w⫲qw = qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw) - l(q)) ↔ 4587856533⫲794587856533 (A1)'=(A1')'

=794587856533 - ⌊794587856533 /10^(l(4587856533))⌋*10^(l(794587856533) -l(79))=794587856533 -⌊794587856533 /10^(l(4587856533))⌋*10^((⌊log(794587856533)⌋+1)-(⌊log(79)⌋+1))=4587856533. (A1')'

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Ensuite, l'expression de la déconcaténation dite gauche des deux nombres non décimaux q et w qui sont concaténés formant le troisième nombre non décimal résultant de cette concaténation, soit qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité, est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions possibles de l'opération de déconcaténation droite, respectivement notées identiquement à précédemment w⫲qw et q⫲qw, et définies toujours respectivement de la façon suivante:

w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋=w, avec l(q)=⌊log(q)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10; et si q=0, alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1. (A2)
q⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw)-l(w))=q, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, sachant que si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1. (A2)'

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Pour illustrer les deux expressions ci dessus de l'opération de déconcaténation gauche des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres, reprenons l'exemple de la valeur des variables qw=794587856533 avec q=7945878565, et w=33 alors:

w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋ ↔ 33⫲794587856533=⌊794587856533/10^(l(7945878565))⌋=⌊794587856533/10^(⌊log(7945878565)⌋+1)⌋=33 (A2)

q⫲qw = qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw) - l(w)) ↔ 7945878565 ⫲794587856533 (A2)'=(A2')'

=794587856533-⌊794587856533 /10^(l(7945878565))⌋*10^(l(794587856533) -l(33))=794587856533 -⌊794587856533 /10^(l(7945878565))⌋*10^((⌊log(794587856533)⌋+1)-(⌊log(33)⌋+1))=7945878565. (A2')'

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Remarquons que dans toutes les expressions précédentes, il est possible d'écrire seulement la quantité de chiffres que nous souhaitons déconcaténer sans écrire le nombre correspondant à cette quantité, c'est-à-dire en reprenant les exemples précédents et tout d'abord avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la gauche du nombre c'est-à-dire son rang du premier chiffre le plus élevé par rapport à son dernier chiffre des unités situé à la droite du nombre, donc de la façon suivante pour tout d'abord l'opération de déconcaténation droite (partant du ou des chiffre(s) le plus à gauche du nombre déconcaténé et en déconcaténant le ou les chiffres à sa droite) indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à gauche du nombre:

q⫲qw=⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋=⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋; avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10. (A3)
w⫲qw=qw-⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋*10^(l(qw)-n))=qw-⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋*10^(⌊log(qw)⌋+1-n)); avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10.  (A3)'
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A nouveau pour illustrer les deux expressions ci dessus de l'opération de déconcaténation droite des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres, reprenons encore l'exemple des valeurs de la variable qw=794587856533, avec q=794 et n=3, alors:

q⫲qw=⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋=⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋ ↔ 794⫲794587856533
=⌊794587856533 /10^(l(794587856533 )-3)⌋=⌊794587856533 /10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3)⌋=794;   (A3)

w⫲qw=qw-⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋*10^(l(qw)-n))=qw-⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋*10^(⌊log(qw)⌋+1-n)) ↔ 587856533⫲794587856533   (A3)'=(A3')'

=794587856533-⌊794587856533/10^(l(794587856533)-3)⌋*10^(l(794587856533)-3)) (A3')'=(A3'')'

=794587856533-⌊794587856533/10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3)*10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3))=587856533. (A3'')'

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Ensuite pour l'opération de déconcaténation gauche encore avec n correspondant au nombre de chiffres "déconcaténés" en partant de la droite du nombre c'est-à-dire son rang du premier chiffre le moins élevé donc celui des unités par rapport à son dernier chiffre de rang le plus élevé situé à la gauche du nombre, donc de la façon suivante pour la déconcaténation gauche indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres "déconcaténés" en partant du premier chiffre situé à droite du nombre, le chiffre des unités:
w⫲qw=⌊qw/10^n⌋ (A4)
q⫲qw=qw-⌊qw/10^n⌋*10^n   (A4)'
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A nouveau pour illustrer les deux expressions ci dessus de l'opération de déconcaténation gauche des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres, reprenons encore l'exemple de la valeur des variables qw=794587856533 avec w=6533, et n=4, alors:

w⫲qw=⌊qw/10^n⌋ ↔ 6533⫲794587856533=⌊794587856533/10^4⌋=79458785; (A4)

q⫲qw=qw-⌊qw/10^n⌋*10^n ↔ 79458785⫲794587856533=794587856533-⌊794587856533/10^4⌋*10^4=6533 (A4)'

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1.1.b Les deux notations fondamentales du nombre et des chiffres du nombre non décimal
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La convention usuelle de notation mathématique est d'ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle: les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre y=(cₙ; cₙ₋₁; c ₙ₋₂;… c₁; c₀) dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients c compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre y s'écrit de la manière suivante:

y= cₙ*10^n + cₙ₋₁*10 ^(n-1) + cₙ₋₂*10^(n-2) +…+c₁*10^(1) + c₀*10^(0)       (A)

En général nous définissons les chiffres de n'importe quel nombre n ∈ N comme les éléments appartenant à l'ensemble séquentiel que je note DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), et plus spécifiquement les éléments que je note algébriquement q ∈ N* et w ∈ N chiffres d'un nombre noté qw, et dont la longueur numérique égale à 1, et dont le résultat de l'opération de leur concaténation d'expression générale notée, q∥w=q*b^(l(q)) + w=qw, (1) où l(q) est la notation de la longueur numérique en base b=10 d'expression l(q)=⌊log₁₀(q)⌋+1, (2) est un nombre noté qw; et/ou le résultat de l'opération de leur déconcaténation est deux nombres, sachant que l'opération de déconcaténation est définie comme l'opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments et qui est notée en général pour deux chiffres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc une opération de déconcaténation qui est notée q⫲w, alors l'expression de l'opération de déconcaténation droite ou gauche des deux chiffres q et w du nombre qw, résultant de la concaténation précédente des deux chiffres q et w quelque soit leurs valeurs de chiffres en valeur dans l'ensemble de10 chiffres que je note DNum(n)=( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw, qui sont définies de la façon suivante:

q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, (3) avec l(w)=⌊log₁₀(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base b=10, et si w=0 alors l(w)=⌊log₁₀(w+1)⌋+1 (2)'. Ici, dans notre illustration de la propriété des nombres particuliers que sont les chiffres, w est un nombre d'un seul chiffre donc un chiffre de longueur 1, donc l(w)=1.

w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, (3)' avec l(qw)=⌊log₁₀(qw)⌋+1 (2)'' qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base b=10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 (2) qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base b=10, et si q=0 alors l(q)=⌊log₁₀(q+1)⌋+1. Ici encore, dans notre illustration de la propriété des nombres particuliers que sont les chiffres, q est un nombre d'un seul chiffre donc un chiffre de longueur 1, donc l(q)=1, et qw est un nombre résultant de l'opération de concaténation de q et w donc un nombre de deux chiffres et l(qw)=2.

Maintenant, une fois défini ci-dessus le nombre qw obtenu par l'opération de concaténation des deux chiffres q et w, eux même correspondant au résultat de l'opération de déconcaténation de qw, alors nous pouvons définir plus précisément les chiffres n ∈ N que simplement car généralement définis comme les éléments appartenant à l'ensemble séquentiel que je note DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), d'un nombre quelconque noté y=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1) + xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2) + xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+ xᵢ₊₁*10^(1) + xᵢ₌₁*10^(0) (A)' où les coefficients c compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre y. avec les chiffres a, z, k, w de ce nombre noté algébriquement en général dnumₙ(xᵢ ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₐ(a; y); dnumₛ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=w; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇... xᵢ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9). Nous remarquons que dans la notation du chiffre xᵢ qui est sa représentation algébrique générale, dnumₙ(xᵢ; y), correspondante à un chiffre xᵢ du nombre y, nous écrivons toujours un indice "ₙ " correspondant à la valeur de la quantité de répétition du chiffre xᵢ , sachant que la valeur de l'indice n suit toujours la convention usuelle de notation mathématique qui est "d'ordonner la suite de tous chiffres représentant un nombre, par poids, ou puissance croissante de droite à gauche, et cette notation est dite positionnelle, car les chiffres notés en général dnumₙ(xᵢ ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=w; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇... xᵢ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), indiquent une valeur d'indice et une valeur de multiple de puissance de 10 dépendante de leur position par rapport aux autres chiffres a, z, k, w du nombre y=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1) + xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2) + xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+ xᵢ₊₁*10^(1) + xᵢ₌₁*10^(0) (A)', où les coefficients xᵢ compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre y. Par convention le sens de l'orientation de l'accroissement indiciel du chiffre est celui qui débute à la droite du nombre correspondant au chiffre des unités vers la gauche. La notation de "dnum" est une forme abrégée de l'expression en anglais "digit number", en hommage à M. le professeur Thayer Watkins de l'université d'état de San José en Californie et ses articles à propos de "Digit Sum Arithmetic" qui furent pour moi une inspiration en arithmétique des chiffres, m'incitant à développer mes propres recherches sui generis, donc sans reprendre le raisonnement ou les expressions algébriques et numériques qui lui sont personnelles. Mais le plus important concernant cette notation du chiffre d'un nombre, dnumₙ(xᵢ; y) est que l'indice n de la répétition du chiffre xᵢ du nombre y est dans cette notation, soit omis, soit égale à 0 si le chiffre xᵢ n'est pas répété parmi les chiffre du nombre y. Mais aussi, également important concernant cette notation est qu'elle est utile principalement pour le calcul de la fonction de rang d'un chiffre. En effet, rappelons que pour un nombre y composé de plusieurs chiffres xᵢ notés dnumₙ(xᵢ; y) possédant leur propre rang (ici le terme de rang signifie l'index de position et non pas au sens normal de rang c'est-à-dire la valeur du chiffre plus ou moins élevée par rapport à la valeur des autres chiffres) correspondant à la position du chiffre au sein du nombre déterminée en plaçant "le nombre dans le tableau de numération ou chaque chaque chiffre est placé dans une colonne du tableau de numération comme suit: "Les chiffres sont placés de droite à gauche (d'abord le chiffre des unités, puis le chiffre des dizaines…) dans un tableau de numération composé de 4 colonnes principales, soit les unités simples, les milliers, les millions et les milliards. Chaque colonne principale du tableau de numération est composée de 3 colonnes secondaires: les unités, les dizaines et les centaines. Chaque colonne du tableau de numération est associée à un rang. Le rang d'un chiffre est composé du nom de la colonne secondaire, suivi du nom de la colonne principale ( pour le détail et pour être précis sauf si un chiffre est situé dans la colonne secondaire des unités, le rang est uniquement composé du nom de la colonne principale; sauf si un chiffre est situé dans la colonne principale des unités, le rang est uniquement composé du nom de la colonne secondaire."

Néanmoins cette notation dnumₙ(xᵢ; y) du chiffre xᵢ d'un nombre y, est limitée quant à son usage, puisque nous ne l'utiliserons dans les pages qui suivent que si le calcul algébrique et numérique de nos expressions nécessite l'emploi de la valeur du rang d'un chiffre ou un chiffre individuel particulier sélectionné parmi tous les autres chiffres.

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1.2 Les deux opérations fondamentales de rang gauche et de rang droit des chiffres du nombre non décimal

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Donc si à chaque chiffre d'un nombre quelconque peut être associé à un nom qui décrit sa position, c'est-à-dire son rang comme les chiffres des unités, dizaines, centaines, milliers pour les nombres entiers, alors à ce rang j'associe aussi un numéro de rang de chiffre. Par exemple en prenant avec la fonction RNGᵣ de rang successif droit du chiffre x=7 noté

dnumₙ₌₂(7; 794587856533) du nombre y=794587856533, alors RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7; 794587856533))=1. La valeur de ce rang est toujours calculée en partant de la gauche du nombre vers sa droite, donc dans le sens contraire de la convention mathématique; et par son indice de position toujours calculé en partant de la droite du nombre c'est-à-dire du chiffre des unités vers la gauche c'est à dire contrairement à précédemment dans le sens à la convention mathématique. Nous verrons que l' autre notations indicielle l avec la précédente r, initiale des noms "left" et right" en anglais indiquant le sens de la valeur de position des chiffres correspondant au rang considéré, soit droit, donc l'indice r, soit gauche, donc l'indice l, qui sont en anglais du fait que parmi les notations indicielles existantes officiellement, l'indice g pour gauche et d pour droit sont inexistant. Nous remarquons que la représentation algébrique de cette fonction de rang droit du chiffre d'un nombre, qui je le rappelle correspond au rang commençant par le premier chiffre à gauche du nombre vers le dernier chiffre des unités à droite du nombre, est symbolisée par l'indice r pour "right" signifiant droit en anglais, sachant que pour une fonction de rang droit, en reprenant notre exemple de y=794587856533, alors 12 est le numéro de rang pour le chiffre du rang des unités, 11 est le numéro de rang pour le chiffre du rang des dizaines, 10 est le numéro de rang pour le chiffre du rang des centaines, etc...,est une notation par extension du rang du nom de la colonne dans lequel est situé le chiffre correspondant au rang du numéro de cette colonne allant de 1 à ⌊log₁₀(y)⌋+1=12, cette dernière étant l'expression (2) de la longueur numérique du nombre y en base 10. Inversement, toujours en considérant l'exemple de la fonction RNGₗ de rang successif gauche du chiffre x=7 noté dnumₙ₌₂(7;794587856533) du nombre y=794587856533, que je note RNGₗ(dnumₙ₌₂(7; 794587856533))=12, correspond au rang commençant par le premier chiffre des unités vers le dernier à gauche, ce qui est une notation que l'on peut décrire comme un mouvement algorithmique calculatoire symbolisé par l'indice l pour "left" signifiant gauche en anglais, ou 1 est le numéro de rang pour le chiffre du rang des unités, 2 est le numéro de rang pour le chiffre du rang des dizaines, 3 est le numéro de rang pour le chiffre du rang des centaines, etc. Une notation encore par extension du rang du nom de la colonne dans lequel est située le chiffre, correspondante au rang du numéro de cette colonne allant de 1 à ⌊log₁₀(y)⌋+1=12, cette dernière étant encore l'expression (2) de la longueur numérique du nombre y en base b=10.

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Donc après l'avoir introduite précédemment dans deux exemples notés RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7; 794587856533)) et RNGₗ(dnumₙ₌₂(7; 794587856533)), j'explicite maintenant la fonction de rang droit ou gauche du chiffre en général noté dnumₙ(xᵢ; y) ∈ N ∧ Dnum(y)=(dnumₙ(x; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…), qui sont les éléments de l'ensemble des chiffres du nombre y que je note et défini comme suit:

∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ a ∈ N*, avec xᵢ<=⌊log₁₀(y)⌋+1; ∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9):

si RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y))=n, alors, RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=l(y)-n+1 (4);

si RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=n, alors, RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y))=l(y)-n+1 (4)'.

⁂⁂

Reprenons l'exemple précédent de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌₂(7;794587856533) et dnumₙ₌₁(7; 794587856533), alors:

RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y))=n ↔ RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7;794587856533))=1 ∨ RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533))=6. (4)

RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=n ↔ RNGₗ(dnumₙ₌₂(7; 794587856533))=12 ∨ RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533))=7. (4)'

Nous remarquons que la valeur de 12 dans l'expression (4)' correspond traditionnellement au rang des milliards du chiffre 7 et la valeur de 7 correspond au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple précédent du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). En remplaçant dans l'expression (1) la variable par les nombres choisis de notre exemple soit y=794587856533, nous obtenons l(794587856533)=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1=12.

Nous remarquons encore que pour le dernier des deux chiffres 7 appartenant au sous ensemble des chiffres répétés du nombre y=794587856533 noté dnumₙ₌₂(7;794587856533), et dont la valeur de rang positionnel de répétition est 2, en remplaçant dans l'expression (4) la variable par le nombre choisi de notre exemple soit y=794587856533, alors nous obtenons:

si RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y))=n alors RNGₗ(dnumₙ(x; y))=l(y)-n+1 ↔ si RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7;794587856533))=1 alors, RNGₗ(dnumₙ₌₂(7;794587856533)) =l(794587856533)-1+1=12-1+1=12.

Puis en remplaçant dans l'expression (4)' la variable par le nombre choisi de notre exemple soit y=794587856533, alors nous obtenons:

si RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=n, alors RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y))=l(y)-n+1 ↔ si RNGₗ(dnumₙ₌₂(7; 794587856533))=12, alors, RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7; 794587856533))=l(794587856533)-12+1=12-12+1=1.

Enfin nous remarquons encore que pour le premier des deux chiffres 7 appartenant au sous ensemble des chiffres répétés du nombre y=794587856533 noté dnumₙ₌₁(7;794587856533), et dont la valeur de rang positionnel de répétition est 1, en remplaçant dans l'expression (4) la variable par le nombre choisi de notre exemple soit y=794587856533, alors nous obtenons:

si RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y))=n, alors, RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=l(y)-n+1 ↔ si RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533))=6, alors, RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533))=l(794587856533)-6+1=12-6+1=7.

Puis en remplaçant dans l'expression (4)' la variable par le nombre choisi de notre exemple soit y=794587856533, alors nous obtenons:

si RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=n, alors RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y)=l(y)-n+1 ↔ si RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533))=7, alors, RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533))=l(794587856533) - 7+1=12 - 7+1=6.

⁂

Il nous faut maintenant élaborer les expressions non redondantes contrairement à celle des expressions (4) et (4)' précédemment définies et illustrées par les deux exemples correspondants ci-dessus, car elles requièrent de connaitre la valeur d'un des deux rangs droit ou gauche pour déterminer l'autre valeur de rang, alors qu'il nous faudrait l'expression du rang des chiffres du nombre en fonction seulement de la valeur du chiffre du nombre dont nous cherchons le rang. Donc nous écrivons les expressions correspondantes à chacune de ces deux fonctions de rang droit et gauche des chiffres successifs d'un nombre, formant une suite non récurrente et qui est respectivement notée, RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y)) et

RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y)). Notons que l'indice de répétition de la notation du chiffre dans cette nouvelle notation de la fonction de rang successif des chiffres d'un nombre, est une variable muette du fait que la fonction de rang n'est plus possiblement celle d'un seul chiffre, mais toujours celle d'un ensemble de chiffres, soit l'ensemble de tous les chiffres xᵢ du nombre y donc l'indice de répétition des chiffres n'est plus nécessaire puisque nous ne différencions plus les chiffres répétés comme d'ailleurs tous les autres chiffres.

Donc je commence par écrire l'expression de la suite récurrente du rang successif gauche des chiffres d'un nombre, correspondant à l'expression de la fonction de rang successif gauche des chiffres d'un nombre, en la définissant comme suit:

∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N*, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; ∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9):

RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=⌊ log₁₀(y mod(10^(⌊log₁₀(y)⌋-n+2))) ⌋+1 (4)' ↔ (4')'

RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=⌊ log₁₀(y) ⌋+2-n (4')'.

Puis j'écris l'expression de la suite non récurrente du rang successif droit des chiffres d'un nombre, correspondante à l'expression de la fonction de rang successif droit des chiffres d'un nombre en la définissant comme suit:

∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N*, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; ∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), alors:

RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y))=⌊log₁₀(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋+1-n)⌋)⌋+1 (4)'' ↔ (4')''

RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; y))=n (4')''.

⁂⁂

Reprenons l'exemple de y=794587856533 avec le chiffres dnumₙ₌₁(7; 794587856533) et dnumₙ₌₂(7;794587856533), puis remplaçons les variables par les valeurs correspondantes dans nos expressions précédentes en commençant par l'expression du rang gauche des chiffres du nombre y c'est-à-dire en partant de la droite du chiffre du rang des unités du premier chiffre du nombre pour aller vers la gauche du nombre jusqu'au dernier chiffre à gauche du nombre au rang le plus élevé, de la façon suivante:

∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N*, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; ∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), alors si y=794587856533; xᵢ=7: n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1=12; dnumₙ(xᵢ=7; y=794587856533) ∈ DNum(794587856533)=(dnumₙ₌₂(7; 794587856533); dnum(9; 794587856533); dnum(4; 794587856533); dnumₙ₌₃(5; 794587856533);

dnumₙ₌₂(8; 794587856533); dnumₙ₌₁(7; 794587856533); dnumₙ₌₁(8; 794587856533); dnumₙ₌₂(5; 794587856533); dnum(6; 794587856533); dnumₙ₌₁(5; 794587856533); dnumₙ₌₂(3; 794587856533); dnumₙ₌₁(3; 794587856533) )

RNGₗ(dnumₙ₌₁(7=xᵢ;794587856533))=RNGₗ(dnumₙ₌₂(7;794587856533))=⌊log₁₀(794587856533 mod(10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-n+2)))⌋+1 (4)' ↔ (4')'

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (4') correspondante à des variables n appartenant à l'ensemble des entiers naturels N* variant de n=1 à n=12, est Seq(RNGₗ(dnumₙ₌₁(7=xᵢ; 794587856533)))=Seq(RNGₗ(dnumₙ₌₂(7=xᵢ; 794587856533)))=(12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1).

RNGₗ(dnumₙ₌₁(7=xᵢ;794587856533))=RNGₗ(dnumₙ₌₂(7;794587856533))=⌊log₁₀(794587856533)⌋+2-n (4')'.

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (4')' correspondante à des variables n appartenant à l'ensemble des entiers naturels N* et variant de n=1 à n=12, est Seq(RNGₗ(dnumₙ₌₁(7=xᵢ; 794587856533)))=Seq(RNGₗ(dnumₙ₌₂(7=xᵢ; 794587856533)))=(12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1).

Ces deux représentations ensemblistes séquentielles précédentes s'interprètent respectivement comme suit:

Le rang gauche du premier chiffre 3 est égal à 1; puis le rang gauche du deuxième chiffre 3 est égal à 2, puis le rang gauche du quatrième chiffre 5 est égal à 3, etc.

Le rang gauche du premier chiffre 7 noté dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ) est égal à 7. Le rang gauche du deuxième chiffre 7 noté dnumₙ₌₂(7;794587856533) est égal à 12.

⁂

Reprenons encore l'exemple de y=794587856533 toujours avec les chiffres dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ) et dnumₙ₌₂(7;794587856533), puis remplaçons les variables correspondantes dans nos expressions précédentes en continuant par l'expression du rang droit des chiffres du nombre c'est-à-dire en commençant à gauche du nombre par le chiffre au rang le plus élevé et en allant vers la droite du nombre jusqu'au dernier chiffre le plus à droite du nombre et correspondant au rang des unités, de la façon suivante:

∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N*, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; ∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), alors si y=794587856533; xᵢ=7: n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1=12; dnumₙ(xᵢ=7; y=794587856533) ∈ DNum(794587856533)=(dnumₙ₌₂(7; 794587856533); dnum(9; 794587856533); dnum(4; 794587856533); dnumₙ₌₃(5; 794587856533); dnumₙ₌₂(8; 794587856533); dnumₙ₌₁(7; 794587856533); dnumₙ₌₁(8; 794587856533); dnumₙ₌₂(5; 794587856533); dnum(6; 794587856533); dnumₙ₌₁(5; 794587856533); dnumₙ₌₂(3; 794587856533); dnumₙ₌₁(3; 794587856533) ) alors:

RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7=xᵢ;794587856533))=RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7;794587856533))=⌊log₁₀(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-n)⌋)⌋+1 (4)'' ↔ (4')''

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (4)'' correspondante à des variables n appartenant à l'ensemble des entiers naturels N variant de n=1 à n=12, est Seq(RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7=xᵢ; 794587856533)))=Seq(RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7;794587856533)))=(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12).

RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7=xᵢ; 794587856533))=RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7;794587856533))=n (4')''.

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (4)'' correspondante à des variables n appartenant à l'ensemble des entiers naturels N variant de n=1 à n=12, est Seq(RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7=xᵢ; 794587856533)))=Seq(RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7;794587856533)))=(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12).

Ces deux représentations ensemblistes séquentielles précédentes s'interprètent comme suit:

Le rang droit du premier chiffre 3 est égal à 12; puis le rang droit du deuxième chiffre 3 est égal à 11, puis le rang gauche du quatrième chiffre 5 est égal à 10, etc..Le rang droit du premier chiffre 7 noté dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ) est égal à 1. Le rang droit du deuxième chiffre 7 noté dnumₙ₌₂(7;794587856533) est égal à 6.

⁂

Ensuite nous devons écrire les expressions ci-dessus (4)' ↔ (4')' et (4)'' ↔ (4')'',

en fonction de la variable choisie xᵢ correspondant à la valeur du chiffre xᵢ choisie d'un nombre quelconque y, c'est-à-dire qu'il nous faut donner l'expression du rang d'un chiffre et non plus l'expression de la suite de nombres correspondante à la suite de nombres du rang de tous les chiffres du nombre. Cette expression ne peut être que celle de la fonction d'appartenance ou non du chiffre choisi dans l'ensemble séquentiel des chiffres d'un nombre de N quelconque, car nous permettant d'éliminer les autres chiffres en formant un nouvel ensemble séquentiel de chiffres constitué exclusivement du chiffre choisi qui peut être répété donc résultant dans plusieurs éléments identiques dans notre nouvel ensemble séquentiel de chiffres égaux au chiffre choisi du nombre quelconque de N. Nous réécrivons donc l'expression de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance d'un élément x à valeur de nombre à l'ensemble séquentiel de la suite de nombres yᵢ notée 1A(yᵢ-x), et dont nous rappelons la définition que nous avons écrit dans notre introduction intitulée "Avant tout commencement", comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqE'ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R; ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x=xᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-xᵢ=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:

1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ (A)'↔ (A)''

1A(yᵢ-x) = ∪∩ (n=1→n=∞: [ (1-⌈|yᵢ₌ₙ-x|/(|yᵢ₌ₙ-x|+1)⌉)i ]) (A)''↔ (A)'''

1A(yᵢ-x)=(1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|+1)⌉)… ∪∩ (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞-x|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞ -x|+1)⌉) (A)'''.

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (A)''' est Seq(1A(yᵢ-x))=({(1-⌈|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|/(|yᵢ₌ₙ₌₁ -x|+1)⌉) ; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₁₌₂ -x|+1)⌉) ; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|/(|yᵢ₌ₙ₊₂₌₃ -x|+1)⌉);….; (1-⌈|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞-x|/(|yᵢ₌ₙ₊∞₌₁₊∞ -x|+1)⌉)}).

⁂

Mais devant toujours écrire les expressions (4)'↔ (4')' et (4)''↔ (4')'', en fonction de la variable choisie xᵢ correspondant à la valeur du chiffre choisie d'un nombre quelconque y de N en utilisant l'expression de cette fonction caractéristique fondamentale d'appartenance écrite précédemment sous sa forme d'une suite non récurrente (A)''',

nous devons pouvoir l'appliquer à un objet mathématique autre qu'un nombre quelconque y sous la forme du résultat d'une opération de concaténation totale de ces chiffres, xᵢ, alors nous devons donc définir l'objet mathématique de son application que nous créons donc comme étant l'expression représentée par un l'ensemble séquentiel des chiffres xᵢ de ce nombre quelconque y dont l'expression est définie comme suit:

∀ y ∈ N*; ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; ∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), alors:

a(y)=( (y mod a'(y)) -(y mod a'(y)₊₁))/a'(y)₊₁ (5) ↔ (5)' avec :

a'(y)=10^(⌊Log(y)⌋+1-(n-1))=10^(⌊Log(y)⌋+2-n) (5₁)

a'(y)₊₁=10^(⌊Log(y)⌋+1-(n₊₁-1))=10^(⌊Log(y)⌋+2-n₊₁) (5₁)'

⁂⁂

Donc reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec en général dnumₙ(xᵢ ; y) et en particulier dnumₓ(k; y), et si nous choisissons n=x=2 et k=7, alors dnumₓ₌₂(7; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ), et RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533))=6 ou RNGₗ(dnumₓ₌₂(7; 794587856533))=12, RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7, correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). Remplaçons les variables par les valeurs correspondantes dans nos expressions a(y), sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533 comme suit:

a(y)=( (y mod a'(y)) - (y mod a'(y)₊₁))/a'(y)₊₁ (5) ↔ (5)' avec :

a'(y)=10^(⌊Log(y)⌋+1-(n-1))=10^(⌊Log(y)⌋+2-n) (5₁)

a'(y)₊₁=10^(⌊Log(y)⌋+1-(n₊₁-1))=10^(⌊Log(y)⌋+2-n₊₁) (5₁)'

Nous obtenons:

a(794587856533)=( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) (5) avec :

a'(794587856533)=10^(⌊Log(794587856533)⌋+1-(n-1))=10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n) (5₁)

a'(794587856533)₊₁=10^(⌊Log(794587856533)⌋+1-(n₊₁-1))=10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) (5₁)'

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression (5) est Seqᵢ₌₁₂( a(794587856533))=(( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) )=7;

(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ) =9 ;

a(794587856533))=(( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) )=4;

(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5) ) =5;

a(794587856533))=(( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-6) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-6) )=8;

(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-7)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8) ) =7 ;

a(794587856533))=(( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9) )=8 ;

(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10) ) =5 ;

a(794587856533))=(( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11) )=6 ;

(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12) ) =5 ;

a(794587856533))=(( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-13) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-13) )=3 ;

(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-13)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-14) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-14) ) =3) (5) ↔ (5)'

Seqᵢ₌₁₂( a(794587856533))=(7; 9; 4; 5; 8; 7; 8; 5; 6; 5; 3; 3) (5)'

⁂

Puisque nous devons maintenant sélectionner la valeur du chiffre choisie parmi les valeurs des chiffres qui sont maintenant les éléments de l'ensemble séquentiel noté dans l'exemple précédent

Seqᵢ₌₁₂( a(794587856533))=(7; 9; 4; 5; 8; 7; 8; 5; 6; 5; 3; 3) résultant de l'expression de la transformation du chiffre y=794587856533 en un ensemble séquentiel des chiffres successifs de ce nombre, nous devons donc écrire l'expression de la fonction caractéristique d'appartenance de l'élément de l'ensemble séquentiel des chiffres du nombre y dont la valeur de chiffres est égale à celle que nous avons choisie et que nous notons algébriquement en général b(y) et que nous définissons comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), alors l'expression de l'opération de sélection d'un élément dans un ensemble séquentiel correspondante à la sélection d'un chiffre d'un nombre représenté par son ensemble séquentiel est :

b(y)=1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ (6)

⁂⁂

Donc reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec en général dnumₙ(xᵢ ; y) et en particulier dnumₓ(k; y), et si nous choisissons n=x=2 et k=7, alors dnumₓ₌₂(7; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ), et RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533))=6 ou RNGₗ(dnumₓ₌₂(7; 794587856533))=12, RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7,

correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). Alors nous remplaçons encore les variables correspondantes dans l'expression précédente (6), sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533 comme suit:

b(y)=1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ (6)

Sachant que nous choisissons le chiffre 7 du nombre y=794587856533 et tel que dnumₓ(k; y) ↔ dnumₙ₌₂(7; 794587856533) ∧ dnumₙ₌₁(7; 794587856533) nous obtenons:

b(y)=1-⌈ | ( ((794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) - dnum(7; 794587856533)|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) - dnum(7; 794587856533)|+1)⌉ (6)

Nous devons maintenant appliquer l'expression (6) à notre nouvel objet mathématique que sont les éléments de l'ensemble séquentiel noté Seqᵢ₌₁₂(a(794587856533))=(7; 9; 4; 5; 8; 7; 8; 5; 6; 5; 3; 3) (5)'. Nous obtenons ainsi la nouvelle représentation ensembliste séquentielle de cette application de (6) à (5)' que je note Seq(b(y=794587856533))) (6)' comme suit:

Seq(b(y=794587856533)))=( (1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ) -7|+1)⌉ )=1:

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ) -7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ) -7|+1)⌉ )=0;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ) -7|+1)⌉)=0 ;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5) ) -7|+1)⌉ )=0;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-6) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-6) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-5)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-6) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-6) ) -7|+1)⌉)=0 ;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-6)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-7) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-7) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-6)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-7) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-7) )-7|+1)⌉ )=1;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-7)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8) ) -7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-7)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8) ) -7|+1)⌉)=0 ;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-8)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9) )-7|+1)⌉)=0 ;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-9)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10) )-7|+1)⌉)=0 ;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11) ) -7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-10)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11) ) -7|+1)⌉)=0 ;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-11)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12) ) -7|+1)⌉)=0 ;

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-13) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-13) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-12)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-13) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-13) ) -7|+1)⌉)=0 ) (6)' ↔ (6)'

Seq(b(y=794587856533))) =(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6)'. Nous remarquons que nous avons obtenu la représentation de la fonction caractéristique d'appartenance de l'élément de l'ensemble séquentiel des chiffres du nombre y=794587856533 dont la valeur de chiffres est égale à 7, mais nous cherchons encore à écrire plus précisément les expressions de la fonction caractéristique d'appartenance non plus éventuellement des éléments répétés c'est à dire de même valeur, mais de l'unique élément correspondant soit au chiffre 7 noté dnumₙ₌₁(7; 794587856533), soit au chiffre 7 noté dnumₙ₌₂(7; 794587856533).

⁂

Donc pour différencier les éléments identiques d'un ensemble séquentiel caractérisé par l'expression de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance, par leur valeur d'indexe de position interne, c'est à dire les unes par rapport aux autres et non pas les valeurs d'indexe de position par rapport à la séquence de nombre N sur laquelle elles sont indexées, et qui correspond dans ce cas particulier aussi à leur valeur de rang, il nous faut utiliser l'expression de la fonction caractéristique d'indexation interne de ces mêmes élément, de la façon suivante après que les expressions obtenues par leur suite récurrente de sommation soient définies de deux manières:

soit comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant soit à une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres et qui est en général notée:

∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l'indice de l'étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d'un nouvel élément dans l'ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.

soit comme la somme totale des éléments que sont les nombres de la suite et qui n'est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l'indexe des éléments indexés sur N* d'un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n) , notée:

∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)).

Alors ayant maintenant définie l'opérateur sigma de deux façons, l'expression de la fonction caractéristique d'indexation interne de ces mêmes élément identiques d'un ensemble séquentiel caractérisé par l'expression de la fonction caractéristique fondamentale d'appartenance, est définie comme suit en utilisant l'opérateur sigma correspondant à une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres dont les éléments sont les chiffres d'un seul nombre noté y:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9):

c(y)=∑(n=1→n=∞: [(b(y))i])= ∑(n=1→n=∞: [ (1-⌈ |( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ ) i] ) (6)''

⁂⁂

Donc pour illustrer notre expression de la fonction caractéristique d'indexation interne nous reprenons encore le même exemple que précédemment du nombre y=794587856533 avec le chiffre noté en général dnumₙ(xᵢ ; y) et en particulier le chiffre de ce nombre noté dnumₓ(k; y), et son indexe de répétition égal à n=x=2, et le chiffre répété égal à k=7, alors nous obtenons dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533 ); RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=1, RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533))=6; RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=12 et RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7,

correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1=12 (1). Puis nous remplaçons encore les variables par les valeurs correspondantes dans l'expression précédente (6)'', sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533 comme suit:

c(y)=∑(n=1→n=∞: [b(y)i])= ∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (794587856533 mod a(y)) - (794587856533 mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (794587856533 mod a(y)) - (794587856533 mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]) (6)''↔ (6₁)''

Seq(c(y))=( (1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ) -7|+1)⌉ );

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ) -7|+1)⌉ ) + (1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ) -7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ) -7|+1)⌉ );

(1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-1)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2) ) -7|+1)⌉ ) + (1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ) -7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-2)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3) ) -7|+1)⌉ ) + (1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ) - 7|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-3)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-4) ) -7|+1)⌉) ;....) (6₂)''↔ (6₃)''

Seq(c(y))=(1; 1+ 0; 1+0+0; 1+0+0+0; 1+0+0+0+0; 1+0+0+0+0+1; 1+0+0+0+0+1+0; 1+0+0

+0+0+1+0+0; 1+0+0+0+0+1+0+0+0; 1+0+0+0+0+1+0+0+0+0; 1+0+0+0+0+1+0+0+0+0+0; 1+0+0+0+0+1+0+0+0+0+0+0 ) (6₄)''↔ (6₅)''

Seq(c(y))=(1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2) (6₆)''

⁂

Nous devons ensuite créer l'expression dont la représentation est la suite de nombres des valeurs d'indexe interne à partir de la représentation ensembliste séquentielle précédente qui correspondent aux valeurs d'indexe du chiffre du nombre que nous recherchons et qui sont répétées ou non, ce que nous faisons en multipliant l'expression (6)'' notée c(y) correspondant à la suite de nombres équivalents à la valeur d'indexe interne des chiffres répétés ou non dont nous cherchons le rang de chiffre du nombre y, par l'expression (6) de la fonction caractéristique d'appartenance de l'élément de l'ensemble séquentiel des chiffres du nombre y dont la valeur de chiffres est égale à celle que nous avons choisie, et notée b(y). C'est-à-dire en finalité une expression notée d(y) du rang interne de l'élément choisie dont la valeur est répétée, est définie comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ

∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9):

d(y)=b(y)*c(y) (6)*(6)' ↔ (6)'''

d(y)=(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i])) (6)'''

⁂⁂

Donc pour illustrer l'expression d(y) en reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec en général dnumₙ(xᵢ ; y) et en particulier dnumₓ(k; y), et si nous choisissons n=x=2 et k=7, alors dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533 ); RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533))=6; RNGₗ(dnumₓ₌₂(7; 794587856533))=12, et RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7, correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donnée par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1=12 (1). Alors nous remplaçons encore les variables correspondantes et nous continuons par l'expression précédente (6)'', sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533 comme suit:

b(y)=1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) - dnum(7; 794587856533)|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) - (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) - dnum(7; 794587856533)|+1)⌉ (6)

c(y)=∑(n=1→n=∞: [b(y)i])= ∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (794587856533 mod a(y)) - (794587856533 mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (794587856533 mod a(y)) - (794587856533 mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]) (6)''

La représentation ensembliste séquentielle de l'expression du produit d(y)=b(y)*c(y) (6)* (6)'' est:

Seq(b(y=794587856533)))*Seq(c(y))=(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0) *(1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2)=(1*1; 0*1; 0*1; 0*1; 0*1; 1*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2 =(1; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6₆)''

⁂

Nous devons maintenant créer la suite de nombre dont les éléments sont tous caractéristiques de la valeur de la variable de rang de chiffre de l'élément répété choisie dnumₓ(k; y), multipliée par la quantité de répétition totale z qui n'est égale à la valeur de l'indice x de dnumₓ(k; y), correspondant seulement au rang de cette répétition si cette valeur x choisie est égale à la valeur maximale de rang et donc une opération que nous définissons comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9):

e(y)=b(y)*z=(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*z, (6)''' avec z égal à la valeur de la quantité totale de valeur répétée du chiffre choisie qui est noté en général sans son rang de répétition dnum(k; y) et dont la valeur d'indice x est égal au rang de la répétition dnumₓ(k; y) qui est la valeur de rang de répétition choisie du chiffre aussi choisie. Cette variable z permet de déterminer le choix de la valeur de la variable x<=z. D'autre part cette valeur z est égale à la somme totale des éléments de l'ensemble séquentiel correspondant à la représentation ensembliste séquentielle de l'expression (6) que j'ai notée précédemment b(y)=1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉. J'écris l'expression de cette somme totale après que les expressions obtenues par leur sommation suite récurrente de sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant:

soit à une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres et qui est en général notée:

∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l'indice de l'étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d'un nouvel élément dans l'ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.

soit à la somme totale des éléments que sont les nombres de la suite et qui n'est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l'indexe des éléments indexés sur N* d'un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée:

∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)).

Donc après avoir défini la somme sigma en général sous ces deux formes possibles la première de suite récurrente de sommation créant un nouvel ensemble séquentiel dont les éléments correspondent à chaque étape de la sommation; et la deuxième forme correspond à la somme de tous les éléments résultants dans un ensemble dont le cardinal est un seul élément et correspondant donc à un nombre égal à cette somme, nous écrivons et définissons l'expression de la valeur de la quantité totale de valeur répétée du chiffre choisi égale à la somme totale des éléments de l'ensemble séquentiel correspondant à la représentation ensembliste séquentielle de l'expression (6), comme suit:

∑ (n=1→n=l(y): [b(y)] ) (6)'''↔ (6)'''' ou l(y)=⌊log(y)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre y en base b=10, et si y=0 alors l(y)=⌊log₁₀(y+1)⌋+1.

∑ (n=1→n=l(y): [ 1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ ] ) (6)'''↔ (6)''''

⁂⁂

Donc reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec dnumₙ₌₂(7 ; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533 ), alors RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))=n et en particulier RNGᵣ(dnumₙ₌₂(7 ; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533))=6 ou RNGₗ(dnumₙ₌₂(7 ; 794587856533))=12, RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7, correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). Alors nous remplaçons encore les variables correspondantes dans notre expression précédente (6)''', sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533 égal à la quantité z de répétition de ce chiffre, car x est égal au rang maximum comme suit:

b(y)=1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) - dnumₓ₌₂(7; 794587856533)|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) -dnumₓ₌₂(7; 794587856533)|+1)⌉ (6)

z=2 (6₆)' ↔ (6₆)''

∑(n=1→n=l(794587856533): [b(794587856533)] ) (6₆)''↔ (6₆)''' ou l(794587856533)

=⌊log(794587856533)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre 794587856533 en base b=10, c'est-à-dire l(794587856533)=12.

∑ (n=1→n=12: [ 1-⌈|( (794587856533 mod a(794587856533)) - (794587856533 mod a(794587856533)₊₁))/a(794587856533)₊₁ - dnumₓ₌₂(7; 794587856533)|/(|( (794587856533 mod a(794587856533)) - (794587856533 mod a(794587856533)₊₁))/a(794587856533)₊₁ - dnumₓ₌₂(7; 794587856533)|+1)⌉ ] ) (6₆)'''↔ (6₆)''''

Nous simplifions le calcul de l'expression précédente simplement parce qu'il est équivalent à calculer la somme totale de tous les éléments de l'ensemble séquentiel

Seq(b(y=794587856533))) = (1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6₆)'''', et donc nous écrivons que ∑(n=1→n=l(794587856533): [b(794587856533)] ) =1+ 0+ 0+ 0+ 0+ 1+ 0+0+ 0+ 0+ 0+ 0=2.

Cette valeur de z correspond à la quantité de chiffres 7 répétée parmi les chiffres du nombre 794587856533 qui je le répète peut être différente de la valeur du rang choisie de la quantité de répétition du chiffre aussi choisi correspondant à la valeur d'indice de dnumₓ₌₂(7; 794587856533) et il faut faire attention à ne pas confondre les deux variables x et z.

Alors la représentation ensembliste séquentielle de l'expression du produit b(y)*z (6)*(6₆)' est:

Seq(b(y=794587856533)))*z=(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*z=(1*z; 0*z; 0*z; 0*z; 0*z; 1*z; 0*z; 0*z; 0*z; 0*z; 0*z; 0*z) (6)''' ↔ (6)'''

Seq(b(y=794587856533)))*Seq(x)=(2)=(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*2=(1*2; 0; 0; 0; 0; 1*2; 0; 0; 0; 0; 0; 0)= (2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6)'''

⁂

Ensuite il nous faut maintenant éliminer de la représentation ensembliste séquentielle précédente la valeur dont l'index de rang ne correspondant pas à la valeur de rang x de la répétition de la valeur de l'élément choisit par une opération que je définis comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9):

f(y)=|e(y)-d(y)|=|b(y)*x-d(y)|==|b(y)*x-b(y)*c(y) | |(6)'''- (6)''| ↔ (6)''''

|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))| (6)'''', avec la valeur de variable x égale à la valeur de l'indice de dnumₓ(k; y).

⁂⁂

Donc reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec en général dnumₙ(xᵢ ; y) et en particulier dnumₓ(k; y), et si nous choisissons n=x=2 et k=7, alors dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533 ), et RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533))=6 ou RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=12, RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7, correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). Alors nous remplaçons encore les variables correspondantes et nous continuons par l'expression précédente sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533, une valeur d'indexe de position interne correspondante à l'inverse du rang du chiffre qui est celui de la notation dite positionnelle des chiffres d'un nombre, c'est-à-dire ordonnée comme la suite de chiffres qui font le nombre par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche, et donc un indexe de position de quantité de répétition du chiffre choisie allant croissant de la gauche du nombre vers la droite du nombre; et sachant que le rang de la valeur de répétition du chiffre de l'élément répété choisi dnumₙ₌₂(7; 794587856533) et non pas dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ), dont la quantité de répétition est x=2 qui est égale à la valeur de l'indice x=2 de dnumₓ(k; y), soit dnumₙ₌₂(7 ; 794587856533), alors la valeur de l'indexe de position interne x=2 est bien située à droite de la valeur d'indexe de position 1. Mais plutôt que de remplacer par les valeurs des variables correspondantes dans le terme de droite de notre égalité dans l'expression précédente (6)'''', réécrite ci-dessous, alors plus simplement nous remplacerons par les représentations ensemblistes séquentielles dans le terme de gauche toujours de l'expression ci-dessous.

|f(y)=|e(y)-d(y)|=|b(y)*x-d(y)|=|b(y)*x-b(y)*c(y) | =(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))| |(6)'''- (6)''| ↔ (6)'''', avec la valeur de variable x égale à la valeur de l'indice de dnumₓ(k; y).

En remplaçant donc par les représentations séquentielles des variables correspondantes:

si f(y)=|e(y)-d(y)|=|b(y)*x-d(y)|=|b(y)*x-b(y)*c(y) | et b(y)=1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) - dnum(7; 794587856533)|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) - dnum(7; 794587856533)|+1)⌉ (6);

et, c(y)=∑(n=1→n=∞: [b(y)i])= ∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (794587856533 mod a(y)) - (794587856533 mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (794587856533 mod a(y)) - (794587856533 mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]) (6)'';

et, la représentation ensembliste séquentielle de l'expression du produit d(y)=b(y)*c(y) (6)* (6)'', est:

Seq(b(y=794587856533)))*Seq(c(y)) =(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0) *(1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2)= (1*1; 0*1; 0*1; 0*1; 0*1; 1*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2) =(1; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6₆)'';

et, la représentation ensembliste séquentielle de l'expression du produit b(y)*x (6)*(6₆)' est:

Seq(b(y=794587856533)))*x =(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*x=(1*x; 0*x; 0*x; 0*x; 0*x; 1*x; 0*x; 0*x; 0*x; 0*x; 0*x; 0*x) (6)''' ↔ (6)''';

Seq(b(y=794587856533)))*2=(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*2=(1*3; 0; 0; 0; 0; 1*2; 0; 0; 0; 0; 0; 0)= (2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6)'''.

alors la représentation ensembliste séquentielle de l'expression f(y)=|e(y)-d(y)|=|b(y)*x-d(y)|=| b(y)*x-b(y)*c(y)| est:

Seq(f(y))=Seq(|b(y)*x-b(y)*c(y)|) =Seq(b(y=794587856533)))*2 -Seq(b(y=794587856533))) *Seq(c(y))=(2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0)-(1; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0) =(|2-1|; 0; 0; 0; 0; |2-2|; 0; 0; 0; 0; 0; 0)=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

⁂

Or puisque la valeur de la quantité de répétition du chiffre choisie pourrait être plus grande que 2, alors la caractérisation par la valeur de 1 ne pourrait ne pas être obtenue sans l'application de la fonction caractéristique à la représentation ensembliste séquentielle de l'expression précédente, |(6)'''- (6)''|↔ (6)'''', que j'ai noté f(y)=|e(y)-d(y)|=|b(y)*x-d(y)|=|b(y)*x-b(y)*c(y) | =|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))|, avec la valeur de variable x égale à la valeur de l'indice de dnumₓ(k; y). Ainsi donc l'expression de la fonction caractéristique de f(y) est définie comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9):

g(y)=⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉= ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ (7)

⁂⁂

Donc reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec en général dnumₙ(xᵢ ; y) ↔ dnumₓ(k; y), et si nous choisissons n=x=2 et k=7, alors dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533 ), et RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533))=6 ou RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=12,

RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7, correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). Alors nous remplaçons encore les variables correspondantes dans l'expression précédente (7), sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533 comme suit:

g(y)=⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉

si f(y)=|e(y)-d(y)|=|b(y)*x-d(y)|=|b(y)*x-b(y)*c(y) |

et b(y)=1-⌈|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) - dnum(7; 794587856533)|/(|( ( (794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n)) -(794587856533 mod (10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ))/(10^(⌊Log(794587856533)⌋+2-n₊₁) ) -dnum(7; 794587856533)|+1)⌉ (6);

et, c(y)=∑(n=1→n=∞: [b(y)i])= ∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (794587856533 mod a(y)) - (794587856533 mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (794587856533 mod a(y)) - (794587856533 mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]) (6)'';

et, la représentation ensembliste séquentielle de l'expression du produit d(y)=b(y)*c(y) (6)* (6)'' est:

Seq(b(y=794587856533)))*Seq(c(y)) =(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0) *(1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2)= (1*1; 0*1; 0*1; 0*1; 0*1; 1*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2; 0*2) =(1; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6₆)'';

et, la représentation ensembliste séquentielle de l'expression du produit b(y)*x (6)*(6₆)' est:

Seq(b(y=794587856533)))*x =(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*x=(1*x; 0*x; 0*x; 0*x; 0*x; 1*x; 0*x; 0*x; 0*x; 0*x; 0*x; 0*x) (6)''' ↔ (6)''';

Seq(b(y=794587856533)))*2=(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*2=(1*3; 0; 0; 0; 0; 1*2; 0; 0; 0; 0; 0; 0)= (2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6)'''

et la représentation ensembliste séquentielle de l'expression f(y)=|e(y)-d(y)|=|b(y)*x-d(y)|=| b(y)*x-b(y)*c(y)| est:

Seq(f(y))=Seq(| b(y)*x-b(y)*c(y)| )=Seq(b(y=794587856533)))*2-Seq(b(y=794587856533)))*Seq(c(y))=(2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0)-(1; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0) =(|2-1|; 0; 0; 0; 0; |2-2|; 0; 0; 0; 0; 0; 0)=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0);

alors la représentation séquentielle ensembliste de g(y)=⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉ est:

Seq(g(y))=(⌈|f(y)=1|/(|f(y)=1|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉;

⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉; ⌈|f(y)=0|/(|f(y)=0|+1)⌉)=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

Le résultat de la représentation séquentielle ensembliste Seq(g(y))=Seq(f(y)) pourrait faire que ce dernier calcul de la fonction caractéristique de f(y) pourrait être redondant, mais il n'en est rien comme nous l'avons expliqué ci-dessus, mais nous pouvons aussi le montrer par un exemple comme suit:

Soit le nouveau nombre y=797787856573 et soit dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ), dnumₙ₌₂(7; 794587856533), dnumₙ₌₂(7; 794587856533), dnumₙ₌₃(7; 794587856533), dnumₙ₌₄(7; 794587856533), dnumₙ₌₅(7; 794587856533), alors l'avant-dernière représentation ensembliste séquentielle Seq(f(y)')=Seq(| b'(y)*x-b(y)'*c(y)'|)

=Seq(b(y)'=797787856573)))*2-Seq(b(y)'=797787856573)))*Seq(c(y)')=(2; 0; 2; 2; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0)-(1; 0; 2; 3; 0; 4; 0; 0; 0; 0; 5; 0) =(|2-1|; 0; |2-2|; |2-3|; 0; |2-4|; 0; 0; 0; 0;|2-5|; 0)=(1; 0; 0; 1; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 3; 0). Cette dernière expression doit donc être caractérisée pour obtenir l'ensemble séquentiel des éléments caractéristiques des valeurs d'indexe interne de position de 7 dont le rang de la quantité de répétition du chiffre 7 est différent de 2. C'est-à-dire Seq(g(y)')=(⌈|f(y)'=1|/(|f(y)'=1|+1)⌉; ⌈|f(y)'=0|/(|f(y)'=0|+1)⌉; ⌈|f(y)'=0|/(|f(y)'=0|+1)⌉;

⌈|f(y)'=1|/(|f(y)=1|+1)⌉; ⌈|f(y)'=0|/(|f(y)'=0|+1)⌉; ⌈|f(y)'=2|/(|f(y)'=2|+1)⌉; ⌈|f(y)'=0|/(|f(y)'=0|+1)⌉; ⌈|f(y)'=0|/(|f(y)'=0|+1)⌉; ⌈|f(y)'=0|/(|f(y)'=0|+1)⌉; ⌈|f(y)'=0|/(|f(y)'=0|+1)⌉; ⌈|f(y)'=3|/(|f(y)'=3|+1)⌉; ⌈|f(y)'=0|/(|f(y)'=0|+1)⌉)=(1; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0).

⁂

Il nous faut donc maintenant écrire l'expression de la fonction caractéristique quasiment inverse de celle des éléments caractéristiques des valeurs d'indexe interne de position du chiffre y choisi dont le rang de la quantité de répétition choisie de ce chiffre choisi est différent de valeur de rang de la quantité de répétition. C'est donc un processus d'écriture de cette expression de la fonction caractéristique quasiment inverse à la précédente, g(y)=⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉, mais qui n'est pas néanmoins égale à 1- g(y)=1-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉ ≠ h(y), que nous définissons maintenant comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9):

h(y)=b(y)-g(y)=b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉= ( 1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ ) - ( ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ ) (7)'

⁂⁂

Donc reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec en général dnumₙ(xᵢ ; y) et en particulier dnumₓ(k; y), et si nous choisissons n=x=2 et k=7, alors dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533 ), et RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533))=6 ou RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=12, RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7, correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). Alors nous remplaçons encore les variables correspondantes dans l'expression précédente (7)', sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533 comme suit:

Mais plutôt que de remplacer par les valeurs des variables correspondantes dans le terme de droite de notre égalité dans l'expression précédente (7)', réécrite ci-dessous, alors plus simplement nous remplacerons par les représentations ensemblistes séquentielles dans le terme de gauche toujours de l'expression ci-dessous.

h(y)=b(y)-g(y)=b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉= ( 1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ ) - ( ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ ) (7)'

Si h(y)=b(y)-g(y)=b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉ ,

et Seq(b(y=794587856533))) =(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (6)',

et Seq(g(y))=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) alors,

Seq(h(y)=b(y)-g(y)=b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉ )=Seq(b(y=794587856533)))-Seq(g(y))=(1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)-(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)=(1-1; 0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-0; 0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 0-0)=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

⁂

Maintenant que précédemment nous avons effectué l'opération d'élimination des valeurs caractéristique d'indexe de position, une opération correspondante à celle de l'opération de sélection d'une seule valeur caractéristique d'indexe de position choisie, il nous reste encore à écrire l'expression de cet indexe de position correspondant au rang du chiffre choisi (et éventuellement du rang de sa valeur de quantité de répétition) du nombre y tout simplement en multipliant la valeur de la fonction caractéristique précédemment obtenue dans l'expression (7)' notée h(y)=b(y)-g(y)=b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉, par la valeur de la fonction d'indexe de position, notée INDEX(xᵢ), d'une quelconque suite de nombres appartenant aux à l'ensemble des valeurs d'indexe de position, une opération de multiplication que je note par h(y)*n=INDEX(xᵢ)=RNGᵣ(dnum(xᵢ ; y))=n. C'est-à-dire que nous multiplions maintenant l'expression précédente (7)' notée h(y)=b(y)-g(y)=b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉ par l'expression de la fonction de suite récurrente d'indexe de position de tous les éléments d'une quelconque suite de nombre, c'est-à-dire l'expression INDEX(xᵢ)=RNGᵣ(dnum(xᵢ ; y))=n, pour obtenir la valeur individuelle d'indexe de position correspondante au rang droit de la valeur choisie du chiffre dnumₓ(k ; y) et de son rang de quantité de répétition correspondant à la valeur d'indice x, du nombre y de la manière suivante:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9) alors si nous choisissons le chiffre dnumₓ(k ; y):

i(y)=h(y)*RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y)) = (b(y)-g(y))*RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y )) = (b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGᵣ(dnumₙ( xᵢ ; y )), (8₁) ↔ (8₂)

i(y)=h(y)*RNGᵣ(dnumₓ(k ; y))=(b(y)-g(y))*RNGᵣ(dnumₓ(k ; y ))=(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGᵣ(dnumₓ( k ; y )), (8₂) ↔ (8)

i(y)=( (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ ) - ( ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ ) ) * n (8)

Tandis qu'en multipliant l'expression précédente (7)' notée h(y)=b(y)-g(y)=b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉ par l'expression de la fonction de suite récurrente d'indexe de position inversée, notée INDEXINV(xᵢ), d'une quelconque suite de nombres appartenant à l'ensemble des valeurs d'indexe de position inversée, ce que je note par h(y)*(⌊log₁₀(y)⌋+2-n)=INDEXINV(xᵢ)=RNGₗ(dnum(xᵢ ; y))=(⌊log₁₀(y)⌋+2-n). C'est-à-dire que nous multiplions maintenant l'expression précédente (7)' que j'ai notée h(y)=b(y)-g(y)=b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉, par l'expression de la fonction de suite récurrente d'indexe de position inversée de tous les éléments d'une quelconque suite de nombre, c'est-à-dire, l'expression INDEXINV(xᵢ)

=RNGₗ(dnum(xᵢ ; y))=⌊log₁₀(y)⌋+2-n, pour obtenir la valeur individuelle d'indexe de position correspondante au rang gauche de la valeur choisie du chiffre dnumₓ(k ; y) et de son rang de quantité de répétition correspondant à la valeur d'indice x, du nombre y de la manière suivante:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), alors si nous choisissons le chiffre dnumₓ(k ; y) ∈ DNum(y) :

i(y)'=h(y)*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=(b(y)-g(y))*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))=(b(y) -⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y)) (8₁)' ↔ (8₂)'

i(y)'=h(y)*RNGₗ(dnumₓ(k ; y))=(b(y)-g(y))*RNGₗ(dnumₓ(k ; y))=(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGₗ(dnumₓ(k ; y)), (8₂)' ↔ (8)'

i(y)'= ( (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ ) - ( ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ ) ) * (⌊log₁₀(y)⌋+2-n) (8)'

⁂⁂

Donc reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec en général dnumₙ(xᵢ ; y) et en particulier dnumₓ(k; y), et si nous choisissons n=x=2 et k=7, alors dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533 ), et RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533))=6 ou RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=12, RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7, correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). Alors nous remplaçons encore les variables correspondantes dans l'expression précédente (8) et (8)', sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533, mais plutôt que de remplacer par les valeurs des variables correspondantes dans le terme de droite de notre égalité dans l'expression précédente (8) réécrite ci-dessous, alors plus simplement nous remplacerons par les représentations ensemblistes séquentielles dans le terme de gauche toujours de l'expression ci-dessous définie comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), alors si nous choisissons le chiffre dnumₓ(k ; y) ∈ DNum(y) :

i(y)=h(y)*RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))=(b(y)-g(y))*RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))=(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y)), (8₁) ↔ (8₂)

i(y)=( (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ ) - ( ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ ) ) * n (8₂)

Si nous écrivons i(y)=h(y)*RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))=(b(y)-g(y))*RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))=(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y)), avec (dnumₓ(k ; y)=dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533);

et RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))=n;

et Seq(dnumₙ(xᵢ ; y)))=(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12) ;

et Seq(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)=Seq(h(y)=Seq(b(y)-g(y))=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0);

alors Seq(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*n=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12)=(1*0; 2*0; 3*0; 4*0; 5*0; 6*1; 7*0; 8*0; 9*0; 10*0; 11*0; 12*0). Donc Seq(RNGᵣ(dnumₓ(k ; y))=RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=(0; 0; 0; 0; 0; 6; 0; 0; 0; 0; 0; 0)(8₃).

Mais aussi plutôt que de remplacer par les valeurs des variables correspondantes dans le terme de droite de notre égalité dans l'expression précédente (8)' réécrite ci-dessous, alors plus simplement nous remplacerons par les représentations ensemblistes séquentielles dans le terme de gauche toujours de l'expression ci-dessous définie comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), alors si nous choisissons le chiffre dnumₓ(k ; y) ∈ DNum(y) :

i(y)'=h(y)*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=(b(y)-g(y))*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))=(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y)) (8₁)' ↔ (8₂)'

i(y)'= ( (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ ) - ( ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ ) ) * (⌊log₁₀(y)⌋+2-n) (8₂)'

Si nous écrivons que i(y)'=h(y)*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=(b(y)-g(y))*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))=(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y)) et dnumₓ(k ; y)=dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533);

et RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y) )= (⌊log₁₀(y)⌋+2-n);

et Seq(dnumₙ(xᵢ; y) ))=(12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1);

et Seq(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)=Seq(h(y)=Seq(b(y)-g(y))=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0);

alors Seq(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*(⌊log₁₀(y)⌋+2-n)=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*(12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1)=(12*0; 11*0; 10*0; 9*0; 8*0; 7*1; 6*0; 5*0; 4*0; 3*0; 2*0; 1*0)=(0; 0; 0; 0; 0; 7; 0; 0; 0; 0; 0; 0), donc Seq(RNGₗ(dnumₓ(k ; y))=RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533)))=(0; 0; 0; 0; 0; 7; 0; 0; 0; 0; 0; 0). (8₃)'.

⁂

Enfin nous voulons maintenant écrire non plus comme précédemment la séquence du rang du chiffre dont nous avons choisi la valeur et la quantité de répétition et que nous avons noté en général dnumₓ(k ; y), mais écrire l'expression de la valeur du rang droit du chiffre choisi qui est égale à la somme des éléments de la suite des valeurs caractéristique de ce rang c'est-à-dire à la somme des éléments de valeurs dans {0; n} appartenant aux ensembles séquentiels écrits précédemment, d'expression (8₃) et que nous définissons comme suit après que les expressions obtenues par leur sommation suite récurrente de sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant:

soit à une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres et qui est en général notée:

∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l'indice de l'étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d'un nouvel élément dans l'ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.

soit à la somme totale des éléments que sont les nombres de la suite et qui n'est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l'indexe des éléments indexés sur N* d'un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée:

∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)).

Donc après avoir défini la somme sigma en général sous ces deux formes possibles la première de suite récurrente de sommation créant un nouvel ensemble séquentiel dont les éléments correspondent à chaque étapes de la sommation; et la deuxième forme correspond à la somme de tous les éléments résultants dans un ensemble dont le cardinal est un seul élément et correspondant donc à un nombre égal à cette somme, nous écrivons et définissons l'expression du rang de la valeur du chiffre choisie du nombre y comme correspondante à l'expression de cette deuxième forme de somation que nous qualifions de totale soit la somme totale des éléments de la représentation ensembliste séquentielle de l'expression précédente (8), c'est-à-dire la somme totale des éléments de la suite des valeurs caractéristique de ce rang multiplié par n et des éléments de valeurs dans {0; n} appartenant aux ensembles séquentiels écrits précédemment, d'expression (8)

et qui sont définis comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9):

j(y)=∑(n=1→n=∞: [ i'(y)] )=∑(n=1→n=∞: [ ( (b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGᵣ(dnum(xᵢ; y)) )]) (9) ↔ (9')

j(y)=∑(n=1→n=∞: [i'(y)])= ∑(n=1→n=∞: [ ( ( (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ ) - ( ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k ; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ ) ) * n ) ] ) (9')

Puis pour l'expression du rang gauche, l'expression de la valeur du rang droit ou gauche du chiffre choisi qui est égale à la somme totale des éléments de la suite des valeurs caractéristique de ce rang multiplié par ⌊log₁₀(y)⌋+2-n) ), c'est-à-dire à la somme totale des éléments de valeurs dans {0; n} appartenant aux ensembles séquentiels écrits précédemment, d'expression (8₃)' et que nous définissons comme suit:

j(y)'=∑(n=1→n=∞: [ i(y)] )=∑(n=1→n=∞: [ ( (b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGₗ(dnum(xᵢ; y)) )]) (9)' ↔ (9')'

j(y)'=∑(n=1→n=∞: [ i(y)] )=∑(n=1→n=∞: [ ( ( (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ ) - ( ⌈ |(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))|/(|(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )*x - (1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) -(y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉) * (∑(n=1→n=∞: [(1-⌈|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|/(|( (y mod a(y)) - (y mod a(y)₊₁))/a(y)₊₁ - dnumₓ(k; y)|+1)⌉ )i]))| +1)⌉ ) ) * (⌊log₁₀(y)⌋+2-n) ) ] ) (9')'

⁂⁂

Donc reprenant le même exemple que précédemment de y=794587856533 avec en général dnumₙ(xᵢ ; y) et en particulier dnumₓ(k; y), et si nous choisissons n=x=2 et k=7, alors dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533) et dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533 ), et RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=1, et RNGᵣ(dnumₙ₌₁(7 ; 794587856533))=6 ou RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=12, RNGₗ(dnumₙ₌₁(7; 794587856533 ))=7, correspondant au rang des milliards du chiffre 7 et au rang des millions du chiffre 7, dans l'exemple du nombre y=794587856533. Le nombre de chiffres de y=794587856533, c'est-à-dire sa longueur numérique en base b=10 est donné par l'expression l(y)=⌊log₁₀(y)⌋+1 (1). Alors nous remplaçons encore les variables correspondantes dans l'expression précédente (9) et (9)', sachant que nous avons choisi la valeur de rang de répétition, égale à 2 du chiffre 7 du nombre 794587856533, mais plutôt que de remplacer par les valeurs des variables correspondantes dans le terme de droite de notre égalité dans l'expression précédente (9), alors plus simplement nous remplacerons par les représentations ensemblistes séquentielles dans le terme de gauche toujours de l'expression ci-dessous définie comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), alors si nous choisissons le chiffre dnumₓ(k ; y) ∈ DNum(y):

Si nous écrivons que j(y)=∑(n=1→n=∞: [ i'(y)i] )=∑(n=1→n=∞: [ ( (b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGᵣ(dnum(xᵢ; y)) )]), avec (dnumₓ(k ; y)=dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533);

et Seq(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*n=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12)=(1*0; 2*0; 3*0; 4*0; 5*0; 6*1; 7*0; 8*0; 9*0; 10*0; 11*0; 12*0)=(0; 0; 0; 0; 0; 6; 0; 0; 0; 0; 0; 0) donc Seq(RNGᵣ(dnumₓ(k ; y))=RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=(0; 0; 0; 0; 0; 6; 0; 0; 0; 0; 0; 0); alors:

∑(n=1→n=∞: [((b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGᵣ(dnum(xᵢ; y)))])=0+0+0+0+0+6+0+0+0+0+0

+0=6. Donc RNGᵣ(dnumₓ₌₂(7; 794587856533))=6.

Et toujours plutôt que de remplacer par les valeurs des variables correspondantes dans le terme de droite de notre égalité dans l'expression précédente (9)', alors plus simplement nous remplacerons par les représentations ensemblistes séquentielles dans le terme de gauche toujours de l'expression ci-dessous définie comme suit:

∀ dnumₙ(xᵢ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), alors si nous choisissons le chiffre dnumₓ(k ; y) ∈ DNum(y) :

Si nous écrivons que j(y)'=∑(n=1→n=∞: [ i(y)] )=∑(n=1→n=∞: [ ( (b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGₗ(dnum(xᵢ; y)) )]), et dnumₓ(k ; y)=dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533);

et Seq(b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*(⌊log₁₀(y)⌋+2-n)=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0)*(12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1)=(12*0; 11*0; 10*0; 9*0; 8*0; 7*1; 6*0; 5*0; 4*0; 3*0; 2*0; 1*0)=(0; 0; 0; 0; 0; 7; 0; 0; 0; 0; 0; 0), donc Seq(RNGₗ(dnumₓ(k ; y))=RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=(0; 0; 0; 0; 0; 7; 0; 0; 0; 0; 0; 0), alors:

∑(n=1→n=∞: [((b(y)-⌈|f(y)|/(|f(y)|+1)⌉)*RNGₗ(dnum(xᵢ; y)))])=0+0+0+0+0+7+0+0+0+0+

0+0=7. Donc RNGₗ(dnumₓ₌₂(7 ; 794587856533))=7.

⁂⁂⁂

1.3 Les deux opérations fondamentales d'extraction droite ou gauche d'un chiffre du nombre non décimal

⁂

Ensuite ayant donné l'expression de la fonction du rang droit ou gauche d'un seul chiffre choisi parmi tous ceux d'un nombre écrit sous la forme d'un ensemble séquentiel de chiffres, nous écrivons maintenant l'expression inverse de la précédente soit l'expression de la fonction d'extraction d'un seul chiffre correspondant à un rang choisi que l'on souhaite extraire pour obtenir le chiffre correspondant à ce rang choisi. Donc si nous considérons un nombre noté algébriquement y est représentée par l'ensemble séquentiel de la suite de nombres correspondant à tous les chiffres xᵢ ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), alors l'opération d'extraction gauche (correspondante à une valeur choisie de la variable v' de la fonction de rang gauche) ou droite (correspondante à une valeur choisie de la variable v de la fonction de rang droite ) d'un seul chiffre dnumₙ(xᵢ ; y) d'un nombre y, dont je choisis la valeur soit de rang droit noté RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))=v, soit de rang gauche notée RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))=v', que je note EXTRACTₗ(dnumₙ(xᵢ ; y)), et EXTRACTᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y)), est respectivement définie comme suit:

∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, alors:

EXTRACTₗ(dnumₙ(xᵢ; y); RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))=(y mod(10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+2)+2))-y mod(10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2))) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2) (10);

EXTRACTᵣ(dnumₙ(xᵢ; y); RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y)))=⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))+1)⌋-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))+2)⌋*10 (11).

⁂⁂

Prenons l'exemple de y=794587856533 avec la valeur de la variable v=4 de la fonction de rang droit notée RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ ; y))=v, puis remplaçons par cette valeur choisie dans notre expression précédente (11) pour déterminer la valeur du chiffre correspondant à ce rang droit de valeur de variable v=4, en calculant l'expression de la fonction d'extraction du chiffre de rang droit égal à v=4 du nombre y égal à 794587856533, par une opération que je note de la façon suivante:

EXTRACTᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄; 794587856533) ; RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄ ; 794587856533))) (11) ↔ (11)'

a(y)=⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄ ;794587856533))+1⌋ -⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2⌋*10 (11)'↔(11)''

a(y)=⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1⌋-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋ - 4+2⌋*10 (11)'' ↔ (11)'''

a(y)=5 (11)''', signifiant que ce chiffre noté dnum₂(5=xᵢ₌₄; 794587856533) correspond à la valeur de la fonction de rang de chiffre notée RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄; 794587856533))=v=4

⁂⁂

Puis nous reprenons encore l'exemple précédent de y=794587856533, mais avec la valeur de la variable v=4 cette fois-ci de la fonction de rang gauche notée RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))=v',

puis remplaçons par cette valeur choisie dans notre expression précédente (10) pour déterminer la valeur du chiffre correspondant à ce rang gauche de valeur de variable v'=4, en calculant l'expression de la fonction d'extraction du chiffre de rang gauche égal à v'=4 du nombre y égal à 794587856533, par une opération que je note de la façon suivante:

EXTRACTₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄; 794587856533) ; RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄ ; 794587856533))) (10) ↔ (10)'

a(y)=(794587856533 mod(10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+2)+2))-794587856533 mod(10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2))) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2) (10)' ↔ (10)''

a(y)=(794587856533 mod(10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2)+2))-794587856533 mod(10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3)+2))) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3)+2) (10)'' ↔ (10)'''

a(y)=6 (10)''', signifiant que ce chiffre noté dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533) correspond à la valeur de la fonction de rang de chiffre notée RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))=v'=4

⁂

Par anticipation sur le sujet du prochain titre que sont les opérations spéciales en arithmétique des chiffres qui refont ou défont le nombre, nous remarquons que si nous créons l'opération de distance de rang entre les chiffres que nous notons distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))→RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₛ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₛ ; y))=s; et distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))→RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₕ ; y)))=RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) -RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₕ ; y))=h, alors nous pouvons obtenir la valeur du chiffre dont le rang est égal à cette distance du rang de ce chiffre à celle du rang du chiffre de valeur extraite précédemment dans les expressions (10) et (11) par une opération d'"extraction translation" droite ou gauche que nous définissons et notons de la façon suivante:

∀ s ∈ N*; ∀ h ∈ N*; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec |s|+n <=⌊log₁₀(y)⌋+1 ∧ |h|+n <=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))→RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₛ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₛ ; y))=s; et distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))→RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₕ ; y)))=RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) -RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₕ ; y))=h, alors:

EXTRACTRANSLₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₛ ; y); RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) →RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₛ ; y)))=(y mod(10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+2-s)+2))-y mod(10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-s)+2))) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-s)+2) (12);

EXTRACTRANSLᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₕ ; y); RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₕ ; y)))=⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1-h ⌋-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋-RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-h⌋*10 (13).

⁂⁂

Reprenons l'exemple précédent de y=794587856533 avec la valeur de la variable v=4 de la fonction de rang droit notée RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ ₄; y))=v, et soit la distance droite de rang de chiffre depuis la position donnée par la fonction de rang de ce chiffre que je note

distᵣ(RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533)))

= RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) - RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=h= 3, puis remplaçons par cette valeur choisie dans notre expression précédente (13) pour déterminer la valeur du chiffre du nombre y égal à 794587856533 et correspondante à cette fonction d'extraction translation de rang droit, de la façon suivante:

EXTRACTRANSLTᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃;794587856533); RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))) (13) ↔ (13)'

a(y)=⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ;794587856533))+1-h⌋ -⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2-h⌋*10 (13)'↔(13)''

a(y)=⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1-3⌋-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2-3⌋*10 (13)'' ↔ (13)'''

a(y)=8 (13)''', ce qui signifie que ce chiffre noté dnum₁(8=xᵢ₌₄₊₃; 794587856533) correspond à la valeur de la fonction d'extraction translation de chiffres notée EXTRACTRANSLTᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533) ; RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ;794587856533)))=8 ; et la fonction distance de rang de chiffres qui est notée

distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGᵣ(dnumₙ(8=xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533)))=3; et la fonction de rang droit du chiffre extrait translaté 8 est RNGᵣ(dnum₂(8=xᵢ₌₇ ; 794587856533))=7.

Nous remarquons dans notre exemple précédent que la valeur de la distance de translation h= 3 est positive ce qui indique le sens de la translation du chiffre translaté vers la droite de ce même chiffre résultant dans le nouveau chiffre de translation dont le rang est situé à droite du chiffre translaté. Inversement donc si la valeur de h avait été négative alors le sens de la translation aurait été du chiffre translaté vers la gauche de ce même chiffre résultant dans le nouveau chiffre de translation dont le rang est situé à gauche du chiffre translaté. L'indice de rang correspondant à cette valeur de translation est toujours du même signe que le signe de la valeur de translation.

⁂⁂

Ensuite nous reprenons l'exemple de y=794587856533 avec la valeur de la variable v'=4 du rang gauche noté RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))=v', et soit la distance gauche de rang gauche de chiffre depuis la position donnée par la fonction de rang gauche de ce chiffre que je note distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))) = RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄ ; 794587856533)) - RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))= s=3, puis remplaçons par cette valeur choisie dans notre expression précédente (12) pour déterminer la valeur du chiffre du nombre y égal à 794587856533 correspondantes à cette fonction d'extraction translation de rang gauche, de la façon suivante:

EXTRACTRANSLₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ;794587856533); RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))

→ RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))) (12) ↔ (12)'

a(y)=(794587856533 mod(10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+2-s)+2))-794587856533 mod(10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3-s)+2))) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3-s)+2)

a(y)=(794587856533 mod(10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2-3)+2))-794587856533 mod(10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3-3)+2))) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3-3)+2) (12)'' ↔ (12)'''

a(y)=7 (12)''', ce qui signifie que ce chiffre noté dnum₁(7=xᵢ₌₄₊₃;794587856533)

correspond à la valeur de la fonction d'extraction translation de chiffres que je note EXTRACTRANSLTₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ;794587856533); RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌₄₊₃ ;794587856533)))=7 ; et la fonction distance de rang de chiffres que je note distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum₁(7=xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533)))=-3; et qui correspond à la valeur de la fonction de rang gauche de chiffre du nombre que je note RNGₗ(dnum₁(7=xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=7.

Nous remarquons encore dans notre exemple précédent que la valeur de la distance de translation s=3 est positive ce qui indique le sens de la translation du chiffre translaté vers la gauche de ce même chiffre résultant dans le nouveau chiffre de translation dont le rang est situé à gauche du chiffre translaté. Inversement donc si la valeur de s avait été négative alors le sens de la translation aurait été du chiffre translaté vers la droite de ce même chiffre résultant dans le nouveau chiffre de translation dont le rang est situé à droite du chiffre translaté. L'indice de rang correspondant à cette valeur de translation est toujours du même signe que celui de la valeur de translation.

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Après ces deux exemples et pour revenir aux généralités concernant les notations et les expressions de ces deux nouvelles fonctions d'extraction du chiffre d'un nombre et d'extraction translation, nous remarquons que l'expression de la distance entre les chiffres est indicée par les lettres l et r pour gauche et droite, car le sens de déplacement de rang des chiffres est opposé qu'il soit dans l'ordre positionnel de la droite vers la gauche des chiffres du nombre y, ou qu'il soit l'inverse de l'ordre positionnel et donc de la gauche vers la droite des chiffres du nombre y. Cette indicielle droite gauche correspond aussi au fait que l'expression de la distance entre les chiffres n'est pas en valeur absolue: si la valeur de la distance du rang des chiffres est négative dans les deux cas droit et gauche cela signifie que la valeur du rang droit ou gauche du deuxième chiffre est supérieure à la valeur de rang du premier et inversement si la valeur de la distance du rang des chiffres est positive dans les deux cas droit et gauche. C'est cette expression de l'opération de distance entre les chiffres que nous utiliserons de la même manière que nous avons inséré sa valeur égale à h est h dans les expressions (12) et (13) pour écrire les expressions des opérations spéciales sur les chiffres du nombre que sont les opérations de déconcaténation partielles, dans notre prochain titre.