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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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1A: E→ {0,1}
x↦ 1 si x ∈ A: 1A(x)=1
x↦0 si x ∉ A: 1A(x)=0", extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.
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III) APPLICATIONS EN THÉORIE DES NOMBRES DES NOUVELLES EXPRESSIONS DES FONCTIONS ECHELONS CARACTÉRISTIQUES
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La convolution de Dirichlet, encore appelée produit de convolution de Dirichlet ou produit de Dirichlet est une loi de composition interne définie sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, c'est-à-dire des fonctions définies sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans les nombres complexes
F l'ensemble des fonctions arithmétiques et, parmi celles-ci,
δ1 la fonction indicatrice du singleton {1} : δ1(1) = 1 et pour tout entier n > 1, δ1(n) = 0,
1 la fonction constante 1 : 1(n) = 1,
Id l'application identité : Id(n) = n.
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XXVI) FONCTION D'ÉCHELONS CARACTÉRISTIQUES DOUBLES
⁂"Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) introduisit le mot «fonction» vers 1692. Leibniz lui-même attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. - De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai."
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Nous considérons dans ce deuxième paragraphe qu'à la question de "pourquoi créer de nouvelles fonctions caractéristiques?", la deuxième réponse correspondante est que nos nouvelles formules précédentes ne sont pas applicables à toutes suites de nombre si l'on souhaite préserver la représentation graphique conventionnelle en forme générale d'échelon de ce fonctions, aussi une propriété de la représentation de ces fonctions par leur suite de nombres correspondante que nous utiliserons donc en supposant soit qu'il existe une suite de nombres restreinte correspondant au domaine de ces fonctions d'échelons définies par ces nouvelles formules qui s'appliqueraient donc sur ces suites de nombres particulières en préservant la représentation d'échelon de ces fonctions, en forme générale d'échelon; soit qu'il existe d'autres formules préservant la représentation en forme d'échelon de ces fonctions d'échelons. Nous explorerons donc la deuxième hypothèse pour éventuellement répondre à la première hypothèse.
Considérons pour illustrer nos propos l'exemple de la suite de nombre de l'ensemble des réels, SeqA={511; -0.177; -174; -0.571; 0; -1228.23; -959; 0; 0; -199; 1244; 1244; 1244.3; -1244;-1244;-1; 1244; 1244.3; 0.57; -1;0.82; 0.1217; 499.65; -168; 804.5; 0.73; -0.5; 0.5; 177; 1140.35; 1; 1067; -617; 570; 1; 839; 1; 754; 279; 1133;-20; 972}; et soit en général l'application des nouvelles formules des fonctions d'échelons précédemment définies à cette suite de nombres SeqA résultants dans une sous suite de nombres SeqA' définie et illustrée comme suit:
soit la fonction de Heaviside, H₁(x)=⌈(x+|x|)/(|2x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉): {0, si x<0; 1, si x≥0; SeqA'={1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1}.
soit la fonction d'échelon d'unité, u(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉: {1 si x >= 0; 0, si x<0 ; SeqA'={1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1}.
soit la fonction par convention de demi maximum de Heaviside H½(x)=1/2*(sgn(x)+1)=⌈x/(|x|+1)⌉-1/2*⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+1/2: {0, if x 0; 1/ 2, if x= 0; 1, if x > 0; SeqA'={1; 0; 0; 0; 1/2; 0; 0; 1/2; 1/2; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1}.
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Mais considérons la nouvelle fonction caractéristique que je décris comme étant "la fonction caractéristique de l'annulation d'intervalle de nombres de n'importe quelles suites de nombres" et dont la représentation est similaire à la représentation d'une fonction d'échelon unité, u(xₙ), elle-même similaire à la représentation de la fonction de Heaviside H₁(xₙ) et représentation définie comme celle de toute fonction qui est nulle sur toute la ligne réelle sauf pour un seul intervalle où elle est égale à une constante de valeur un, et donc une nouvelle fonction caractéristique de x de SeqA dont les éléments sont indicés par l'ensemble des nombres naturels N, le résultat de la fonction rang(xₙ) dont la formule exacte est donnée dans la rubrique dédiée aux fonctions de rang et intitulée "Rang", et la représentation de cette fonction de rang, que j'ai crée (sa formule fait l'objet d'une rubrique dédiée) et notée, rang(xₙ)=n, appliquée à notre exemple des éléments xₙ ∈ SeqA est la séquence N'⊂ N* avec N'={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42} et qui est définie comme suit:
1A: R→ {0,1}1A(rang(xₙ)=n)=0, si b>n=rang(xₙ),
1A(rang(xₙ)=n)=1, si a<=rang(xₙ)=n<=b,
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(a<=rang(xₙ)=n<=b)=H₁((|xₙ|+(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉))*-1*(1-((⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)|-1⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1)))) est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, a<b: 1A(rang(xₙ)=n)=(⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)-1|⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1); pour a=2 et b=5, la représentation de cette formule appliquée aux nombres de la suite SeqA correspond à la sous suite de nombres SeqA''={0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}. En comparaison, la représentation de la formule de la fonction de Heaviside H₁(xₙ)=⌈(xₙ+|xₙ|)/(|2xₙ|+1)⌉+(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉), ou bien encore la représentation de sa fonction équivalente, la fonction d'échelon d'unité u(xₙ)=(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉)+⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉ appliquées aux éléments xₙ de SeqA, par la même sous séquence SeqA'={1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1} ne correspond pas à la représentation de la formule de toute fonction qui est nulle sur toute la ligne réelle sauf pour un seul intervalle où elle est égale à une constante de valeur un. C'est la raison pour laquelle nous avons du transformer la séquence de nombre SeqA par la formule suivante donnée précédemment: a(n)=(|xₙ|+(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉))*-1*(1-1A(a<=rang(xₙ)=n<=b))= (|xₙ|+(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉))*-1*(1-((⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)|-1⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1))) qui correspond à la représentation de la séquence donc transformée de SeqA que nous notons SeqTr(SeqA)={-511; -0.177; 0; 0; 0; -1228.23; -959; -1; -1; -199; -1244; -1244; -1244.3; -1244;-1244;1; -1244; -1244.3; -0.57; -1;-0.82; -1.1217; -499.65; -168; -804.5; -0.73;- 0.5; -0.5; -177; -1140.35; -1; -1067; -617; -570; -1; -839; -1; -754; -279; -1133; -20; -972}, et que nous pouvons décrire simplement comme l'ensemble des éléments de SeqA mis en valeur absolue et tous supérieures à 0 par l'ajout de la fonction caractéristique des éléments nuls de SeqA soit 1A(xₙ=0)=(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉) et l'ensemble des deux membres additionnés multipliés par la nouvelle fonction d'annulation négative définie par la notation et sa formule correspondante soit: pour a=2 et b=5, -1*(1-1A(a<=rang(xₙ)=n<=b))=-1*(1-((⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)|-1⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1))); cette nouvelle fonction d'annulation négative est représentée par la sous-séquence notée, -1*(1-1A(a<=rang(xₙ)=n<=b))={-1; -1; 0; 0; 0; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1;-1; -1; -1; -1; -1; -1; -1;-1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; 1; -1; -1; -1; -1; -1}.
Après avoir fait remarquer l'avantage de l'une de ces nouvelles fonctions caractéristiques de sa représentation plus conforme à celle de la fonction d'échelon d'unité ou de la fonction de Heaviside, nous remarquerons encore que la nouvelle fonction caractéristique 1A(rang(xₙ)), pour a=2 et b=5, si elle peut se généraliser pour toute valeurs de l'ensemble N des variables a et b de son expression donnée précédemment, elle le peut aussi par une nouvelle expression de cette fonction 1A(rang(xₙ)) dont la représentation est similaire à la représentation de la fonction de Heaviside et à la fonction unité, et qui est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, a<b: 1A(rang(xₙ)=n)=(⌈(|n/(a+b+1)-1|⌉-⌈(n/(a+b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)-1|⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1). Et de ce deuxième exemple qui peut sembler superflu, nous tirons pourtant encore la conclusion de l'avantage apportée par ces nouvelles fonctions dans la non-limitation de leurs expressions possibles à une seule expression.
Mais ce n'est pas bien sûr l'explication de la propriété de doubles caractéristique énoncés dans une partie du titre de cette sous rubrique de fonctions caractéristiques doubles que nous donnons donc maintenant et illustrons encore au prochain paragraphe: la fonction de Heaviside H₁(xₙ) comme explicitée précédemment sous entends le processus de transformation de la séquence par la nouvelle fonction caractéristique d'annulations, ayant la forme d'une fonction de Heaviside dont le domaine n'est plus R mais l'ensemble N des nombres éléments de la fonction de rang de la séquence SeqA à laquelle la fonction de Heaviside est appliquée originellement. Il s'agit d'une nouvelle fonction choisie arbitrairement quand aux valeurs successives annulées même si nous pouvons établir une pseudo règle d'annulation du nombre de valeurs correspondant au nombre de valeurs nulles dans la séquence d'origine, SeqA. Malgré cette tentative de règle, le choix des éléments annulées reste arbitraire et cette propriété de double caractéristique n'est donc pas suffisamment rigoureusement définie et justifiée ce que nous essaierons éventuellement de corriger dans le paragraphe suivant avec un autre exemple similaire à celui donné précédemment.
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Nous considérerons donc encore la nouvelle fonction caractéristique que je décris comme étant "la fonction caractéristique de l'annulation d'intervalle de nombres de n'importe quelles suites de nombres" et dont la représentation est similaire à la représentation de la fonction d'échelon, la fonction par convention de demi maximum de Heaviside, H½(xₙ), et donc une nouvelle fonction caractéristique de xₙ ∈ SeqA dont les éléments sont indicés par l'ensemble des nombres naturels N, et qui est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(rang(xₙ)=n)=0, si b>n=rang(xₙ),
1A(rang(xₙ)=n)=1/2, si rang(xₙ)=n=a
1A(rang(xₙ)=n)=1/2, si rang(xₙ)=n=b
1A(rang(xₙ)=n)=1, si a<rang(xₙ)=n<b,
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n) est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, a<b et b-a>2:
1A(a<rang(xₙ)=n<b)=(⌈(|n/(b+2)-1|⌉-⌈(n/(b+2)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)-1|⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1)*1/2+(⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/a-1|⌉-⌈(n/a⌉+1)*1/2+(⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(a+2)-1|⌉-⌈(n/(a+2)⌉+1); pour a=2 et b=5, la représentation de cette formule appliquée aux nombres de la suite SeqA correspond à la sous suite de nombres SeqA'''={0; 0; 1/2; 1; 1/2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0} et donc à la description d'une fonction f (x) continue par morceaux sur le segment [a, b] avec a=2 et b=5 et qui est la définition de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ). En comparaison, la représentation de la formule de H½(xₙ)=(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉)*1/2+⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉, appliquée aux nombres de la suite SeqA correspondant à la sous-suite de nombres SeqA'={1; 0; 0; 0; 1/2; 0; 0; 1/2; 1/2; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1} ne correspond pas à la description d'une fonction f (xₙ) continue par morceaux sur le segment [a, b] avec a=2 et b=5 qui correspondrait à la définition d'une fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ).
Après avoir fait remarquer l'avantage de l'une de ces nouvelles fonctions caractéristiques de sa représentation plus conforme à celle de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H½(xₙ), nous remarquerons encore que la nouvelle fonction caractéristique 1A(rang(xₙ)=n), pour a=2 et b=5, si elle peut se généraliser pour toute valeurs de l'ensemble N des variables a et b étant donnée la condition de a>b et de b-a>2, à la seule fin d'obtenir au moins une seule une valeur de 1 bornée par deux valeurs de 1/2, dans la représentation de son expression donnée précédemment, elle le peut aussi par une nouvelle expression de cette fonction 1A(rang(xₙ)) la représentation est similaire à la représentation de la fonction d'échelon, la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H½(xₙ), dont le détail de la composition d'expressions correspondantes à des fonctions caractéristiques de xₙ ∈ SeqA dont les éléments sont indicés par l'ensemble des nombres naturels N, est définie comme suit:
Soit la première nouvelle fonction caractéristique de la première partie de notre fonction générale composée:
1A: E→ {0,1}1A(rang(xₙ)=n=b-1)=0, si rang(xₙ)=n≠b-1
1A(rang(xₙ)=n=b-1)=1, si rang(xₙ)=n=b-1
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n=b-1) est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ c ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a<b et b-a>2:
1A(rang(xₙ)=b-1)=(⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(a+c)|-1⌉-⌈(n/(a+c)⌉+1) avec a<b, et a+c=b-1, donc 1A(rang(xₙ)=n=b-1)=(⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(b-1)|-1⌉-⌈(n/(b-1)⌉+1) (A); soit par exemple, en choisissant les valeurs des variables dans l'expression (A) tel que, a=8, c=-3, b=6 et donc a+c=b-1, soit 8-3=5, la représentation de l'expression (A) correspondante à la fonction caractéristique 1A(rang(xₙ)=n=b-1) est la sous séquence SN1={0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;.....}. Nous multiplions cette expression par 1/2 pour obtenir la valeur à la première borne inférieure de notre segment intervalle de valeurs toutes égales à 1 et correspondant en partie à la représentation de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ), soit 1/2*1A(rang(xₙ)=n=b-1)=((⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(b-1)|-1⌉-⌈(n/(b-1)⌉+1))*1/2 (B), représentée par la sous séquence SN1'={0; 0; 0; 0; 1/2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;.....}.
Nous recommençons les deux étapes du processus précédent pour obtenir la seconde la valeur à la deuxième borne inférieure de notre segment intervalle de valeurs toutes égales à 1 correspondant à la représentation de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ), soit la deuxième nouvelle fonction caractéristique composée définie comme suit :
1A: E→ {0,1}1A(rang(xₙ)=n=e-1)=0, si e-1≠rang(xₙ),
1A(rang(xₙ)=n=e-1)=1, si rang(xₙ)=e-1
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=e-1) est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ d ∈ N*, ∀ f ∈ N*, ∀ e ∈ N*, avec d<e et e-d>2:
1A(rang(xₙ)=n=e-1)=(⌈(|n/e-1|⌉-⌈(n/e⌉+1)-(⌈(|n/(d+f)|-1⌉-⌈(n/(d+f)⌉+1) avec d<e, et d+f=e-1 et e-b>=2, donc (⌈(|n/e-1|⌉-⌈(n/e⌉+1)-(⌈(|n/(e-1)|-1⌉-⌈(n/(e-1)⌉+1) (C); soit par exemple, en choisissant les valeurs des variables dans l'expression (A) tel que, d=5, f=5, e=11 et donc d+f=e-1, soit 5+5=10, la représentation de l'expression (C) correspondante à la fonction caractéristique 1A(rang(xₙ)=n=e-1) est la sous séquence SN2={0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0;.....}. Nous multiplions cette expression par 1/2 pour obtenir la valeur à la deuxième borne supérieure de notre segment intervalle de valeurs toutes égales à 1 et correspondant en partie à la représentation de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ), soit 1/2*1A(rang(xₙ)=n=e-1)=((⌈(|n/e-1|⌉-⌈(n/e⌉+1)-(⌈(|n/(e-1)|-1⌉-⌈(n/(e-1)⌉+1))*1/2 (D), représentée par la sous séquence SN2'={0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1/2; 0; 0; 0;.....}.
Soit la deuxième nouvelle fonction caractéristique de la troisième partie de notre fonction générale composée:
1A: E→ {0,1}1A(b-1<rang(xₙ)=n<e-1)=0, si b-1>=rang(xₙ)=n ou e-1<=rang(xₙ)=n
1A(b-1<rang(xₙ)=n<e-1)=1, si b-1<rang(xₙ)=n<e-1
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(b<rang(xₙ)=n<e) est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ e ∈ N*, ∀ g ∈ N*, ∀ h ∈ N*, avec g=b-1 et h=e-b-1: 1A(b<rang(xₙ)=n<e)=(⌈(|n/(g+h+1)-1|⌉-⌈(n/(g+h+1)⌉+1)-(⌈(|n/(g+1)-1|⌉-⌈(n/(g+1)⌉+1) (E); en reprenant les valeurs des variables données précédemment soit, b=6, e=11, nous obtenons les valeurs des variables g=b-1=6-1=5, et h=e-b-1=11-6-1=4 et en remplaçant dans l'expression (E), nous obtenons sa représentation correspondante à la fonction caractéristique 1A(b<rang(xₙ)=n<e), soit la sous séquence SN3={0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0;.....}.
Soit la troisième nouvelle fonction caractéristique de la quatrième et dernière partie de notre fonction générale composée telle que:
1A: E→ {0,1}1A(b-1<rang(xₙ)=n<e-1)=0, si b-1>rang(xₙ)=n ou e-1<rang(xₙ)=n
1A(b-1<rang(xₙ)=n<e-1)=1/2, si b-1=rang(xₙ)=n ou e-1=rang(xₙ)=n
1A(b-1<rang(xₙ)=n<e-1)=1, si b-1<rang(xₙ)=n<e-1
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(b-1<=rang(xₙ)=n<=e-1) est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ e ∈ N*, ∀ g ∈ N*, ∀ h ∈ N*, avec e-b>=2, g=b-1 et h=e-b-1: 1A(b-1<=rang(xₙ)=n<=e-1)=((⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(b-1)|-1⌉-⌈(n/(b-1)⌉+1))*1/2+((⌈(|n/e-1|⌉-⌈(n/e⌉+1)-(⌈(|n/(e-1)|-1⌉-⌈(n/(e-1)⌉+1))*1/2+(⌈(|n/(g+h+1)-1|⌉-⌈(n/(g+h+1)⌉+1)-(⌈(|n/(g+1)-1|⌉-⌈(n/(g+1)⌉+1) (F); en reprenant les valeurs des variables données précédemment soit, b=6, e=11, avec e-b>=2, 11-6=5>2, nous obtenons les valeurs des variables g=b-1=6-1=5, et h=e-b-1=11-6-1=4 et en remplaçant dans l'expression (F), nous obtenons sa représentation correspondante à la fonction caractéristique 1A(b<rang(xₙ)=n<e), soit la sous séquence SN4={0; 0; 0; 0; 1/2; 1; 1; 1; 1; 1/2; 0; 0; 0;.....}.
Nous pouvons encore simplifier cette expression (F) en diminuant le nombre de variables soit seulement les 2 variables g et h, soit la quatrième nouvelle fonction caractéristique de la quatrième et dernière partie bis de notre fonction générale composée telle que:
1A: E→ {0,1}1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1)=0, si g>rang(xₙ)=n ou g+h+1<rang(xₙ)=n
1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1)=1/2, si g=rang(xₙ)=n ou g+h+1=rang(xₙ)=n
1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1)=1, si g<rang(xₙ)=n<g+h+1
L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1) est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ g ∈ N*, ∀ h ∈ N*, avec g-h>=0 et g>=1 et h>=1:
1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1)=(⌈(|n/(g+h+1)-1|⌉-⌈(n/(g+h+1)⌉+1)-(⌈(|n/(g+1)-1|⌉-⌈(n/(g+1)⌉+1)+((⌈(|x/(g+1)-1|⌉-⌈(x/(g+1)⌉+1)-(⌈(|x/(g)-1|⌉-⌈(x/(g)⌉+1))+((⌈(|x/(g+h+2)-1|⌉-⌈(x/(g+h+2)⌉+1)-(⌈(|x/(g+h+1)-1|⌉-⌈(x/(g+h+1)⌉+1)) (G); en reprenant les valeurs des variables données précédemment soit, g=5, h=4, dans l'expression (G), nous obtenons sa représentation correspondante à la fonction caractéristique 1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1), soit la sous séquence SN4=SN5={0; 0; 0; 0; 1/2; 1; 1; 1; 1; 1/2; 0; 0; 0;.....}.
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∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ
III') APPLICATIONS EN THÉORIE DES NOMBRES DES NOUVELLES EXPRESSIONS DES FONCTIONS LINÉAIRES PAR MORCEAUX CARACTÉRISTIQUES
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"Les quantiles sont en statistiques et en théorie des probabilités les valeurs qui divisent un jeu de données en intervalles contenant le même nombre de données. Il y a donc un quantile de moins que le nombre de groupes créés. Ainsi les quartiles sont les trois quantiles qui divisent un ensemble de données en quatre groupes de taille égale. La médiane quant à elle est le quantile qui sépare le jeu de données en deux groupes de taille égale." Extrait de "Quantile" de "Wikipédia" l'encyclopédie libre.
"Le quartile est calculé en tant que 4-quartiles.
le 1er quartile est la donnée de la série qui sépare les 25 % inférieurs des données (notation Q1) ;
le 2e quartile est la donnée de la série qui sépare les 50 % inférieurs des données (notation Q2) ; il est également appelé médiane ;
le 3e quartile est la donnée de la série qui sépare les 75 % inférieurs des données (notation Q3) ;
Par extension : le 0e quartile est la donnée de la série qui sépare les 0 % inférieurs des données (notation Q0, c'est le minimum) et le 4e quartile est la donnée de la série qui sépare les 0 % supérieurs des inférieurs des données (notation Q4, c'est le maximum).
Dans le cas discret, on range les données par ordre croissant : s'il y a N valeurs :"le quartile zéro (minimum) est celui qui a le rang 1le premier quartile est celui qui a le rang (N)/4la deuxième quartile (médiane) est celui qui a le rang (2N+2)/4 que l'on simplifie en (N+1)/2le troisième quartile est celui qui a le rang (3N)/4le quatrième quartile est celui qui a le rang N." Extrait de "Quartile" de Wikipédia l'encyclopédie libre.
∴
Maxima et minima locaux et globaux pour cos(3πx)/x, 0,1≤ x ≤1,1
"Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression Maximo minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. La notion de majorant et de minorant : s'il existe, un élément de E est un majorant de A s'il est plus grand que tout élément de A ; s'il existe, un élément de E est un minorant de A s'il est plus petit que tout élément de A ; ainsi, les extremums (le maximum et le minimum) qui existent dans un ensemble E font partie (respectivement) des majorants et minorants de E dans lui-même. Dans un ensemble ordonné E, un élément d'une partie A est le plus grand élément, ou maximum de A, s'il appartient à A et est supérieur à tout autre élément de A. L'existence d'un maximum n'est en général pas assurée pour toute partie d'un ensemble ordonné. En revanche, s'il existe, un tel élément est unique (ce qui justifie l'emploi de l'article défini « le » dans la définition). De manière analogue, le plus petit élément ou minimum est, s'il existe, un élément de A inférieur à tout autre élément de A.
La notion de borne (borne supérieure, aussi appelée supremum, ou borne inférieure, aussi appelée infimum) : si elle existe, la borne supérieure de A est le plus petit de tous les majorants de A dans E (la borne supérieure de A est donc définie comme le minimum d'une certaine partie de E et son unicité est garantie mais pas son existence). A admet un maximum si et seulement si sa borne supérieure existe et appartient à A (et dans ce cas, elle est égale au maximum) ; et réciproquement pour la borne inférieure.
La notion d'élément extrémal (élément maximal ou élément minimal) également appelée borne inclusive : un élément de E est maximal dans A, s'il appartient à A, et n'est inférieur à aucun autre élément de A ; un élément de E est minimal dans A, s'il appartient à A, et n'est supérieur à aucun autre élément de A.
S'ils existent, les extremums (le maximum ou le minimum) d'un ensemble E, sont toujours des éléments extrémaux (bornes inclusives : élément maximal ou élément minimal) de E dans lui-même ; les notions d'extremum (le maximum et le minimum) et d'élément extrémal (un élément maximal ou un élément minimal) coïncident dans les ensembles munis d'un ordre total ; lorsque E est fini, il y a équivalence entre l'existence d'un unique élément extrémal (borne inclusives : élément maximal ou élément minimal) et l'existence d'un extremum (le maximum ou le minimum, chacun nécessairement unique avec un ordre total sur un ensemble fini).
Dans R, les fonctions minimum et maximum d'une paire peuvent s'exprimer à l'aide de valeurs absolues :min(x,y)=(x+y−|x−y|)/2,max(x,y)=(x+y+|x−y|)/2.
Le maximum global de x1/x se produit à x = e. Extrait de "Extremum" de Wikipédia l'encyclopédie libre.
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3.1) Les fonctions des plus grands ou des plus petits éléments d'une suite de nombres
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Une application du processus élaboré précédemment de systématisation de l'expression de la fonction linéaire par morceaux à toutes fonctions linéaires par morceaux dont l'expression générale est le résultat d'une opération arithmétique entre une ou plusieurs des expressions numérotées de (1) à (14'''), est l'expression de la fonction des plus grands éléments au maximum de toutes suites de nombres, ou bien la fonction des plus petits éléments au maximum de toutes suites de nombres, c'est-à-dire la liste des plus grands ou des plus petits éléments avec répétition de cette suite et dont le nombre de ces éléments est inférieure à une valeur que nous préciserons ultérieurement lors du processus de l'élaboration de l'expression de ces fonctions, et les deux fonctions du plus grand ou du plus petit élément de toutes suites de nombres, soit éventuellement, mais plus restrictivement, la liste du plus grand ou du plus petit élément avec répétition de cette suite de nombres, donc quatre fonctions notées respectivement:
Pgeltsmax(SeqA), Ppeltsmax(SeqA), Pgelt(SeqA) et Ppelt(SeqA) que nous définirons ultérieurement en écrivant la formule de leurs expressions respectives, car il nous faut d'abord exposer une sous application de ce même processus élaboré précédemment de systématisation de l'expression de la fonction linéaire par morceaux à toutes fonctions linéaires par morceaux, soit, l'application à toutes suites de nombres des "quantiles" qui sont définies "en statistiques et en théorie des probabilités les valeurs qui divisent un jeu de données en intervalles contenant le même nombre de données", et plus particulièrement si "les quartiles sont les trois quantiles qui divisent un ensemble de données en quatre groupes de taille égale dont la médiane quant à elle est le quantile qui sépare le jeu de données en deux groupes de taille égale", et que nous définirons donc par extension à toutes suites de nombres comme étant les valeurs des moyennes arithmétiques qui divisent une suite de nombres en intervalles contenant les éléments inférieurs ou égaux à ces valeurs de moyennes que nous considérerons être au nombre de quantité de 3, soit un concept similaire, car par extension à celui de ce nombre particulier encore définie en statistique et et en théorie des probabilités comme le "quartile" qui est "chacune des trois valeurs qui divisent les données triées en quatre parts égales, de sorte que chaque partie représente 1/4 de l'échantillon de population". Mais si dans le cas discret de la méthode de calcul des quartiles, les données sont rangées par ordre croissant, comme nous ne donnerons pas dans cette rubrique, mais dans une rubrique dédiée ultérieurement l'expression générale de cette nouvelle fonction de tri par ordre croissant des éléments de toutes suites de nombres, donc nous n'utiliserons pas les formules des expressions conventionnelles copiées au début de notre rubrique, mais nous utiliserons les expressions définies comme suit:
Soit la moyenne arithmétique d'une liste de nombres réels, c'est-à-dire la suite de nombres réels xₙ qui sont les éléments de la suite notée en général SeqA, cette moyenne arithmétique étant la somme des valeurs de la suite de nombres SeqA divisée par le nombre de valeurs de cette suite de nombres, notée μ et soit la fonction caractéristique définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(xₙ<=μ)=0, si xₙ>μ
1A(xₙ<=μ)=1, si xₙ<=μ
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(xₙ<=μ)=μ(xₙ), est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ ∈ R, avec μ=(∑n=1→n=∞: xₙ)/(∑n=1→n=∞: ₙ): μ(xₙ)=1A(xₙ<=μ)=1-⌈(⌈(xₙ-μ)/(|xₙ-μ|+1)⌉)+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)⌉+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉ (5).
Nous multiplierons ensuite l'expression (5), donc la formule de la fonction caractéristique 1A(xₙ<=μ), par les valeurs de la suite de nombre SeqA, soit 1A(xₙ<=μ)*xₙ, dont l'expression est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ ∈ R, μ(xₙ)*xₙ=1A(xₙ<=μ)*xₙ=(1-⌈(⌈(xₙ-μ)/(|xₙ-μ|+1)⌉)+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)⌉+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)*xₙ (6).
Nous considérons maintenant l'expression inverse de la fonction caractéristique précédente, soit 1-1A(xₙ<=μ)=1A(xₙ>μ)=1-μ(xₙ), donc soit l'expression de la nouvelle fonction caractéristique définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(xₙ>μ)=0, si xₙ<=μ
1A(xₙ>μ)=1, si xₙ>μ
L'expression de cette fonction caractéristique 1-1A(xₙ<=μ)=1A(xₙ>μ)=1-μ(xₙ), est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ ∈ R, 1-μ(xₙ)=1-1A(xₙ<=μ)=1A(xₙ>μ)=⌈(⌈(xₙ-μ)/(|xₙ-μ|+1)⌉)+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)⌉-⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉ (7).
Comme précédemment nous multiplierons ensuite l'expression (7), donc la formule de la fonction caractéristique 1A(xₙ>μ), par les valeurs de la suite de nombre SeqA, soit 1A(xₙ>μ)*xₙ, dont l'expression est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ ∈ R, 1-μ(xₙ)=(1-1A(xₙ<=μ))*xₙ=1A(xₙ>μ)*xₙ=(⌈(⌈(xₙ-μ)/(|xₙ-μ|+1)⌉)+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)⌉-⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)*xₙ (8).
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Ensuite, soit les deux nouvelles moyennes arithmétiques μ₁=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)*xₙ)/(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)) et μ₂=(∑n=1→n=∞: (1-1A(xₙ<=μ))*xₙ )/(∑n=1→n=∞: 1-1A(xₙ<=μ)) et soit la première fonction caractéristique définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(xₙ<μ₁)=0, si xₙ>=μ₁
1A(xₙ<μ₁)=1, si xₙ<μ₁
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(xₙ<μ₁)=μ₁(xₙ), est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ₁ ∈ R, avec μ₁=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)*xₙ)/(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)):
μ₁(xₙ)=1A(xₙ<μ₁)=⌈(-xₙ+μ₁)/(|-xₙ+μ₁|+1)⌉ (9).
Nous multiplierons ensuite l'expression (9), donc la formule de la fonction caractéristique 1A(xₙ<μ₁), par les valeurs de la suite de nombre SeqA, soit 1A(xₙ<μ₁)*xₙ, dont l'expression est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ₁ ∈ R, avec μ₁=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)*xₙ)/(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)):
μ₁(xₙ)*xₙ=1A(xₙ<μ₁)*xₙ=(⌈(-xₙ+μ₁)/(|-xₙ+μ₁|+1)⌉)*xₙ (10), dont la représentation de cette expression est la sous suite de nombres notée Q₄ conceptuellement correspondant à notre définition précédente du dernier "quartile" d'une suite de nombres, un concept similaire à celui défini en statistique et et en théorie des probabilités comme le "quartile" qui est "chacune des trois valeurs qui divisent les données triées en quatre parts égales, de sorte que chaque partie représente 1/4 de l'échantillon de population", et cette dernière définition transposée à une sous suite de nombres devient chacune des quatre moyennes arithmétiques particulières qui divisent les données d'une suite de nombre en quatre parts autour de la première moyenne arithmétique.
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Nous considérons maintenant l'expression de la deuxième fonction caractéristique précédente, soit 1A(xₙ>=μ₂) donc soit l'expression de la nouvelle fonction caractéristique définie comme suit:
1A: E→ {0,1}1A(xₙ>=μ₂)=0, si xₙ<μ₂
1A(xₙ>=μ₂)=1, si xₙ>=μ₂
L'expression de cette fonction caractéristique 1A(xₙ>=μ₂)=μ₂(xₙ), est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ₂ ∈ R, avec μ₂=(∑n=1→n=∞: (1-1A(xₙ<=μ))*xₙ )/(∑n=1→n=∞: 1-1A(xₙ<=μ)):
μ₂(xₙ)=1A(xₙ>=μ₂)=1-⌈(-xₙ+μ₂)/(|-xₙ+μ₂|+1)⌉ (11).
Comme précédemment nous multiplierons ensuite l'expression (11), donc la formule de la fonction caractéristique 1A(xₙ>=μ₂), par les valeurs de la suite de nombre SeqA, soit 1A(xₙ>=μ₂)*xₙ, dont l'expression est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ₂ ∈ R, avec μ₂=(∑n=1→n=∞: (1-1A(xₙ<=μ))*xₙ )/(∑n=1→n=∞: 1-1A(xₙ<=μ)):
(μ₂(xₙ))*xₙ=(1A(xₙ>=μ₂))*xₙ=1A(xₙ>=μ₂)*xₙ=(1-⌈(-xₙ+μ₂)/(|-xₙ+μ₂|+1)⌉)*xₙ (12), dont la représentation de cette expression est la sous suite de nombres notée Q₁ conceptuellement correspondant à notre définition précédente du premier "quartile" d'une suite de nombres, un concept similaire à celui défini en statistique et et en théorie des probabilités comme le "quartile" qui est "chacune des trois valeurs qui divisent les données triées en quatre parts égales, de sorte que chaque partie représente 1/4 de l'échantillon de population", et cette dernière définition transposée à une sous suite de nombres devient chacune des quatre moyennes arithmétiques particulières qui divisent les données d'une suite de nombres en quatre parts autour de la première moyenne arithmétique.
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Soit la fonction caractéristique définie comme suit:
1A': E→ {0,1}1A'(xₙ<=μ)=0, si xₙ>μ
1A'(xₙ<=μ)=1, si xₙ<=μ
L'expression de cette fonction caractéristique 1A'(xₙ<=μ)=μ(xₙ), est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ ∈ R avec μ=(∑n=1→n=∞: xₙ)/(∑n=1→n=∞: ₙ); ∀ μ₁ ∈ R, avec μ₁=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)*xₙ)/(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)):
μ'(xₙ)=1A'(xₙ<=μ)=1-⌈(⌈(xₙ-μ)/(|xₙ-μ|+1)⌉)+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)⌉+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉-⌈(-xₙ+μ₁)/(|-xₙ+μ₁|+1)⌉ (13).
Nous multiplierons ensuite l'expression (13), donc la formule de la fonction caractéristique 1A'(xₙ<=μ), par les valeurs de la suite de nombre SeqA, soit 1A'(xₙ<=μ)*xₙ, dont l'expression est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ ∈ R, avec μ=(∑n=1→n=∞: xₙ)/(∑n=1→n=∞: ₙ); ∀ μ₁ ∈ R, avec μ₁=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)*xₙ)/(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)):
μ'(xₙ)*xₙ=1A'(xₙ<=μ)*xₙ=(1-⌈(⌈(xₙ-μ)/(|xₙ-μ|+1)⌉)+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)⌉+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉-⌈(-xₙ+μ₁)/(|-xₙ+μ₁|+1)⌉)*xₙ (14), dont la représentation de cette expression est la sous suite de nombres notée Q₃, conceptuellement correspondant à notre définition précédente du troisième "quartile" d'une suite de nombres, un concept similaire à celui défini en statistique et et en théorie des probabilités comme le "quartile" qui est "chacune des trois valeurs qui divisent les données triées en quatre parts égales, de sorte que chaque partie représente 1/4 de l'échantillon de population", et cette dernière définition transposée à une sous suite de nombres devient chacune des quatre moyennes arithmétiques particulières qui divisent les données d'une suite de nombre en quatre parts autour de la première moyenne arithmétique.
⁂
Soit la fonction caractéristique définie comme suit:
1A': E→ {0,1}1A'(xₙ<=μ₂)=0, si xₙ>μ₂
1A'(xₙ<=μ₂)=1, si xₙ<=μ₂
L'expression de cette fonction caractéristique 1A'(xₙ<=μ₂)=μ'₂(xₙ), est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ μ ∈ R avec μ=(∑n=1→n=∞: xₙ)/(∑n=1→n=∞: ₙ); ∀ μ₁ ∈ R, avec μ₁=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)*xₙ)/(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)); ∀ μ₂ ∈ R, avec μ₂=(∑n=1→n=∞: (1-1A(xₙ<=μ))*xₙ )/(∑n=1→n=∞: 1-1A(xₙ<=μ)):
μ'₂(xₙ)=1A'(xₙ<=μ₂)=1-(1A(xₙ>=μ₂)+1A(xₙ<μ₁)+1A'(xₙ<=μ)) =⌈(|xₙ|+1)/(|xₙ|+1)⌉ - ( (1-⌈(⌈(xₙ-μ)/(|xₙ-μ|+1)⌉)+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)⌉+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉-⌈(-xₙ+μ₁)/(|-xₙ+μ₁|+1)⌉) + ⌈(-xₙ+μ₁)/(|-xₙ+μ₁|+1)⌉ + 1-⌈(-xₙ+μ₂)/(|-xₙ+μ₂|+1)⌉ ) (15).
Nous multiplierons ensuite l'expression (15), donc la formule de la fonction caractéristique 1A'(xₙ<=μ₂), par les valeurs de la suite de nombre SeqA, soit 1A'(xₙ<=μ₂)*xₙ, dont l'expression est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ Sn ∈ N, avec le nombre de valeurs de SeqA, Sn=(∑n=1→n=∞: ₙ); ∀ μ ∈ R, avec μ=(∑n=1→n=∞: xₙ)/(∑n=1→n=∞: ₙ); ∀ μ₁ ∈ R, avec μ₁=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)*xₙ)/(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ<=μ)); ∀ μ₂ ∈ R, avec μ₂=(∑n=1→n=∞: (1-1A(xₙ<=μ))*xₙ )/(∑n=1→n=∞: 1-1A(xₙ<=μ)):
μ'₂(xₙ)*xₙ=1A'(xₙ<=μ₂)*xₙ=(1-(1A(xₙ>=μ₂)+1A(xₙ<μ₁)+1A'(xₙ<=μ)))*xₙ=(⌈(|xₙ|+1)/(|xₙ|+1)⌉ -( (1-⌈(⌈(xₙ-μ)/(|xₙ-μ|+1)⌉)+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉)⌉+⌈(-xₙ+μ)/(|-xₙ+μ|+1)⌉-⌈(-xₙ+μ₁)/(|-xₙ+μ₁|+1)⌉) + ⌈(-xₙ+μ₁)/(|-xₙ+μ₁|+1)⌉ + 1-⌈(-xₙ+μ₂)/(|-xₙ+μ₂|+1)⌉ ))*xₙ (16), dont la représentation de cette expression est la sous suite de nombres notée Q2, conceptuellement correspondant à notre définition précédente du deuxième "quartile" d'une suite de nombres, un concept similaire à celui défini en statistique et et en théorie des probabilités comme le "quartile" qui est "chacune des trois valeurs qui divisent les données triées en quatre parts égales, de sorte que chaque partie représente 1/4 de l'échantillon de population", et cette dernière définition transposée à une sous suite de nombres devient chacune des quatre moyennes arithmétiques particulières qui divisent les données d'une suite de nombre en quatre parts autour de la première moyenne arithmétique.
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Finalement, nous obtenons la formule de l'expression des fonctions notées respectivement, Pgeltsmax(SeqA), Ppeltsmax(SeqA), par un processus d'itération de l'ensemble des fonctions caractéristiques utilisées précédemment pour obtenir les sous suites Q₁>Q₂>Q₃>Q₄, un processus d'itération étant définie en mathématiques comme se référant au processus d'itération d'une fonction, c'est-à-dire, appliquer une fonction à plusieurs reprises, en utilisant la même itération à la sortie qu'à l'entrée, mais que nous n'appliquerons plus sur le domaine de l'ensemble des éléments appartenant à la suite de nombres notée en général SeqA symbolisant toutes suites de nombres, mais sur le domaine de l'ensemble des éléments appartenant à la sous suite de nombres de SeqA notée Q1 qui devient donc comme SeqA précédemment subdivisée en 4 quartiles correspondants aux sous suites de nombres de SeqA Q'₁>Q'₂> Q'₃>Q'₄, avec Q'₁ la sous suite de nombres de SeqA correspondant au résultat de l'ensemble des éléments de la fonction Pgeltsmax(SeqA), et sur le domaine de l'ensemble des éléments appartenant à la sous suite de nombres de SeqA notée Q₄, qui devient donc aussi comme SeqA précédemment subdivisée en 4 quartiles correspondants aux sous suites de nombres de SeqA, Q''₄<Q''₃<Q''₂<Q''₁
avec Q''₄ la sous suite de nombres de SeqA correspondant au résultat de l'ensemble des éléments de la fonction Ppeltsmax(SeqA).
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Enfin, ayant maintenant élaboré le processus général de l'expression de ces deux fonctions Pgeltsmax(SeqA) et Ppeltsmax(SeqA), nous pouvons comme nous l'avions précédemment écrit au tout début de cette rubrique, préciser quel est le nombre minimal des éléments de cette liste des plus grands ou des plus petits éléments avec répétition de cette suite de nombres résultants de l'application des ces deux fonctions à la suite de nombres notée SeqA dont le nombre de leurs éléments respectif est inférieur à une valeur égale au nombre d'éléments de la sous suite résultante de l'avant-dernière itération du processus décrit ci-dessus avant l'obtention d'une sous suite de nombres "quartile" dont l'unique élément éventuellement avec répétition correspond au plus grand ou au plus petit élément de la suite de nombre SeqA, soit le résultat des fonctions Pgelt(SeqA) et Ppelt(SeqA).
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3.2) Les fonctions du plus grand ou plus petit élément d'une suite de nombres
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"Un z-score est le nombre d’écarts types par rapport à la moyenne d’un point d’information. Quoi qu’il en soit, il s’agit en fait d’une proportion du nombre d’écarts-types en dessous ou au-dessus de la population que représente un score brut. Un score z est autrement appelé un score standard et peut très bien être placé sur un coude de dispersion ordinaire. Les scores Z s’étendent de – 3 écarts types (qui tomberaient à l’extrême gauche du coude d’appropriation ordinaire) jusqu’à + 3 écarts types (qui tomberaient à la droite la plus éloignée du coude de dispersion ordinaire). Pour utiliser un score z, il faut connaître la moyenne μ et en outre l’écart type de la population σ.", extrait de "Qu’est-ce qu’un Z-Score ?" de "l'équipe de La Science Des Données" .
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∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ