29: 19'A VIII FONCTION CARACTÉRISTIQUE DE TERMINAISONS SEGMENTALES PREMIÈRES MULTIPLES SYMÉTRIQUES

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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 © "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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"Terminaison: Ce qui termine quelque chose met fin à quelque chose. Dans l'espace Partie terminale ou extrémité. Synonyme: bout". Extrait de l'article « terminaison », dans Trésor de la langue française informatisé, 2012.

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I) LA FONCTION DE TERMINAISON CARACTÉRISTIQUE 

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1.0) Définition générale de la fonction de Terminaison caractéristique et autres définitions connexes en général 

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Il est nécessaire avant même de commencer cette nouvelle catégorisation générale des fonctions indicatrices que nous écrirons dans les 9 titres qui vont suivre, de rappeler que la première catégorie élémentaire des fonctions indicatrices est celle que j'ai appelée, "les fonctions d'annulation caractéristiques", notée Nullval(xₙ₌ₚ) ↔1A(xₙ₌ₚ), 

et définie comme la fonction indicatrice caractéristique de la valeur nulle ou non nulle de n'importe quelle suite de nombres, et définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠xₙ₌ₚ  
• 1A(xₙ)=0 si xₙ=xₙ₌ₚ

L'expression de cette fonction caractéristique de la séquence de nombres Seq=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃..xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ..), est définie comme suit: 

∀ xₙ ∈ SeqX=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...) ∈ R, ∀ n ∈ N*, et soit Null Val(xₙ₌ₚ) ↔ 1A(xₙ₌ₚ): 

1A(xₙ₌ₚ)=⌈ ⌈ |n/p-1| ⌉/( ⌈ |n/p-1| ⌉+1) ⌉                          (a₁). 

Ou bien encore la fonction indicatrice inverse, soit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=1 si xₙ=xₙ₌ₚ
• 1A(xₙ)=0 si xₙ ≠xₙ₌ₚ

L'expression de cette fonction caractéristique de la séquence de nombres Seq=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, ...xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...), est définie comme suit: 

∀ xₙ ∈ SeqX=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...) ∈ R, ∀ n ∈ N*, et soit Nullval(xₙ≠ₚ) ↔ 1-1A(xₙ₌ₚ): 

1-1A(xₙ₌ₚ)=1- ⌈ ⌈ |n/p -1| ⌉/( ⌈ |n/p -1| ⌉+1) ⌉           (a₂).         

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Prenons un exemple, avec l'annulation de la quatrième valeur d'une suite de nombres représentée par SeqXₙ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...), en général et en particulier par SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,

174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244, 57,138, 250, 12171,499). Donc en remplaçant par les valeurs de  SeqAᵢ₌₂₃ dans l'expression précédente  (a₁), comme suit:

∀ n ∈ N*, et soit Nullval(xₙ₌₄) ↔ 1A(xₙ₌₄):

1A(xₙ₌₄)=⌈ ⌈ |n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1) ⌉ , dont la représentation est la séquence Seq(0;1)=(1;1;1;0;1;1;1;1;1;1......). Nous obtenons l'annulation de la quatrième valeur de SeqAᵢ₌₂₃, soit l'expression:

1A(xₙ₌₄)*SeqAᵢ₌₂₃=⌈ ⌈ |n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1) ⌉*xₙ,  de représentation SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,0,

152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244, 57,138, 250, 12171,499)

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Rappelons encore que la deuxième catégorie élémentaire des fonctions indicatrices dans cette nouvelle catégorisation générale tri partite des fonctions indicatrices, est celle que j'ai appelé "la fonction de segmentation caractéristique", notée: Sgmtval₍ₙ→ₙ₌ₚ₎↔1A(xₙ), et définie comme la fonction indicatrice de n'importe quelles suite de nombres qui sont caractéristiques d'un segment de valeurs supérieures, inférieures ou égales à une variable de position choisie, et définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=1, si xₙ<=p

• 1A(xₙ)=0, si xₙ>p

L'expression de cette fonction indicatrice des éléments xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ), est définie comme suit :

∀ xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ) ⊆  R, ∀ n ∈ N*, ∀ p ∈ N*, avec p=Card( Seq=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ)) , et Sgmtval(xₙ→ₙ₌ₚ) ↔1A(xₙ): 

1A(xₙ)=⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1                      (a₃).

Ou bien encore la fonction indicatrice inverse, soit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=0, si xₙ<=p

• 1A(xₙ)=1, si xₙ>p

L'expression de cette fonction indicatrice des éléments xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ), est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ) ⊆  R, ∀ n ∈ N*, ∀ p ∈ N*, avec p=Card( Seq=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ)), et Sgmtval(xₙ₌ₚ₊₁→ₙ₌∞) ↔1-1A(xₙ):

1-1A(xₙ)=1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)=⌈n/(p+1)⌉-⌈|n/(p+1)-1|⌉                 (a₄).

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Prenons un exemple, avec la segmentation caractéristique du segment de valeurs inférieures ou égales à la quatrième valeur d'une suite de nombres représentée par SeqXₙ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ...) en général et en particulier par SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,

555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244, 57,138, 250, 12171,499). Donc en remplaçant par les valeurs de  SeqAᵢ₌₂₃ dans l'expression précédente (a₃), comme suit:

∀ n ∈ N*, et avec p=4, soit Sgmtval(xₙ→ₙ₌₄) ↔ 1A(xₙ₌₄): 

1A(xₙ₌₄)=⌈|n/(4+1)-1|⌉-⌈n/(4+1)⌉+1= ⌈|n/5-1|⌉-⌈n/5⌉ +1, dont la représentation est la séquence Seq(0;1)=(1;1;1;1;0;0;0;0;0;0......). Nous obtenons la segmentation caractéristique de la quatrième valeur de SeqAᵢ₌₂₃, soit l'expression:

1A(xₙ₌₄)*SeqAᵢ₌₂₃=(⌈|n/5-1|⌉-⌈n/5⌉ +1)*xₙ, de représentation SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,0,0,0,0,0,

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).

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Donc, nous continuons dans ce nouveau titre notre catégorisation des fonctions indicatrices, en considérant la troisième catégorie élémentaire des fonctions indicatrices que nous appelons "la fonction de terminaison caractéristique", notée 1ATₙ(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) et définie comme la fonction indicatrice des nombres appartenant à la séquence notée  SeqXᵢ=(aₙ, bₙ₊₁, cₙ₊₂, dₙ₊₃, eₙ₊₄, fₙ₊₅,...), ∀ n ∈ N, avec a=0 ∨ a=1, b=0 ∨ b=1, c=0 ∨ c=1, d=0 ∨ d=1, e=0 ∨ e=1, f=0 ∨ f=1 qui sont caractéristiques des terminaisons soit de n'importe quelle autre fonction indicatrice notée 1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) dont les éléments sont les nombres appartenant à l'ensemble noté SeqX'ᵢ=(a'ₙ,b'ₙ₊₁,c'ₙ₊₂, d'ₙ₊₃,e'ₙ₊₄, f'ₙ₊₅,...), ∀ n ∈ N, avec a'=0 ∨ a'=1, b'=0 ∨ b'=1, c'=0 ∨ c'=1, d'=0 ∨ d'=1, e'=0 ∨ e'=1, f'=0 ∨ f'=1,.. et qui sont caractéristiques ou non des terminaisons de n'importe quelle autre séquence de nombres appartenant à l'ensemble noté  SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R. Nous définissons la terminaison d'une suite de nombres comme le dernier élément de toute suite de nombres et le dernier élément de toutes sous suites de nombres de cette suite de nombres, sachant qu'une sous suite de nombres étant elle-même définie comme des éléments successifs d'une suite de nombres qui se répètent structurellement, c'est à dire soit des éléments dont la valeur se répète au moins une fois, dans cette suite de nombres à laquelle ils appartiennent; ou des éléments partageant la même propriété les définissant fondamentalement comme appartenant à la même sous-classe.

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Prenons un exemple parmi les fonctions indicatrices de terminaisons caractéristiques, de celles du type des fonctions de terminaisons caractéristiques multiples asymétriques, pour illustrer la fonction de terminaison caractéristique notée 1ATₙ₌ₓ(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) dont nous définissons les éléments comme suit: 

soit Seqᵢ₌₃₁A=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ₌₃₁})=(45,23,19,37,29,43,77,55,241,811,711,211,117,111,113,115,141,21,

381,165,107,103,109,193,189,161,173,177,81, 861,451, 961); soit la fonction indicatrice notée 1A(Seqᵢ₌₃₁A=({xₙ₌₁→ₙ₌₃₁}) des éléments de Seqᵢ₌₃₁A qui sont caractéristiques des nombres impairs ayant uniquement des chiffres des dizaines et des nombres impairs ayant seulement des chiffres des centaines, et dont les éléments caractéristiques appartiennent à l'ensemble {0;1}, et qui sont  représentés comme suit: 1A(SeqAᵢ₌₃₁=({xₙ₌₁→ₙ₌₃₁}) ↔ Seqᵢ₌₃₃({0;1})=(0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1) ↔ Seqᵢ₌₁₀({0})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) ∪ Seqᵢ₌₂₃({1})=(1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) ; alors la fonction de terminaison caractéristique asymétrique1ATₙ₌₃₃( Seqᵢ₌₃₃A=({xₙ₌₁→ₙ₌₃₃}) ) ↔ 1'A(1A(Seqᵢ₌₃₃A=({xₙ₌₁→ₙ₌₃₃}))) 

dont les éléments caractéristiques des terminaisons des segments de Seqᵢ₌₃₃({0;1}) appartenant aussi à l'ensemble{0;1}, est représentée comme suit:

 Seqᵢ₌₃₃({0;1})=(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1) ↔ 

Seqᵢ₌₂₉({0})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) ∪ Seqᵢ₌₄({1})=(1,1,1,1). 

Nous remarquons que les éléments en caractère gras dans la dernière représentation ci-dessus, soit le nombre 1 caractéristique de la terminaison des segments de sous suites de nombre 0 et/ou de la terminaison des segments de sous suites de nombre 1, de séquence Seqᵢ₌₃₃({0;1}) pour montrer que dans le cas d'une représentation asymétrique, soit une séquence dont la représentation comprend au moins deux sous suites différentes, alors la première terminaison est le dernier nombre de cette première sous suite de nombres 0 et 1, soit le nombre zéro correspondant à la terminaison caractéristique de valeurs 1 et correspondant à la valeur de Seqᵢ₌₃₃A=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ₌₃₃}) égale à 55; tandis que pour la deuxième sous suite de nombres 0 et 1, la valeur de terminaison caractéristique n'est pas le nombre 0, mais le nombre 1 de la sous suite de nombres du sous-ensemble de la séquence de nombres Seq=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,0), et correspondant à la valeur de la séquence notée Seqᵢ₌₃₃A=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ₌₃₃}) égale à 141; pour la troisième sous suite de nombres 0 et 1, la valeur de terminaison caractéristique aussi est  le nombre 1, de la sous suite de nombres du sous-ensemble de la séquence de nombres Seq=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0), et correspondant à la valeur de la séquence notée Seqᵢ₌₃₃A=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ₌₃₃}) égale à et 177, (ce que nous entendions précédemment ci-dessus par un segment homogène dans la forme de sa répétition, de mêmes quantités ou non de mêmes valeurs 1 et 0, et caractérisé par le nombre 1 résultat de la fonction de terminaison caractéristique multiple en cette valeur); puis dans la quatrième sous suite la valeur de terminaison caractéristique est identique à la valeur de la terminaison de la séquence totale, et qui est encore le nombre 1, de la sous suite de nombres du sous-ensemble de la séquence de nombres Seq=(0,1,1,1).

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Nous remarquons que si la notation entre crochets {...} est la notation universellement adoptée par les mathématiciens pour désigner des ensembles et que lorsqu’on énumère les éléments d’un ensemble leur ordre ne joue aucun rôle (par exemple, soit N₅ = {1,2,3,4,5}={5,3,1,4,2} et soit l’ensemble qui ne possède aucun élément est appelé ensemble vide et se note ∅), or en arithmétique séquentielle, définie en en général comme la Science qui a pour objet l'étude de la formation des suites de nombres, de leurs propriétés et des rapports qui existent entre elles, et définie en particulier comme l'algèbre (la résolution généralisant au moyen de formules de symboles et de variables des problèmes où les grandeurs sont représentées par des symboles avec des règles de manipulation de ces symboles et variables) sur les suites ordonnées d'éléments de séquences, qui sont soit des nombres entiers naturels, soit des nombres rationnels soit des nombres complexes, l'ordre des éléments joue un rôle essentiel, ce qui nous conduit à définir la notation entre parenthèses pour désigner les éléments ordonnés appartenant à une séquence qui n'est pas exactement un ensemble, mais peut être considéré comme un type d'ensemble particulier dont les éléments sont toujours ordonnés et répétés ou non ( d'après Wikipédia, "Une séquence est une collection énumérée d’objets dans laquelle les répétitions sont autorisées et l’ordre compte. Comme un ensemble, il contient des membres (également appelés éléments ou termes). Le nombre d’éléments (éventuellement infini) est appelé la longueur de la séquence. Contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l’ordre est important. Formellement, une suite peut être définie comme une fonction des entiers naturels (les positions des éléments dans la séquence") aux éléments à chaque position. La notion de séquence peut être généralisée à une famille indexée, définie comme une fonction d’un jeu d’index arbitraire.). Nous adoptons donc la notation entre parenthèses (...) comme la notation d'une séquence et la notation entre crochets {...} de ces éléments pour indiquer une opération sur les ensembles, c'est-à-dire une opération sur les ensembles particuliers que sont les singletons {...} dont le seul élément est celui d'un seul élément d'une séquence de nombres, ce qui nous permet de définir à la fois des opérations sur les séquences sui generis aux objets mathématiques que sont les séquences de nombres, et des opérations sur les ensembles d'éléments toujours ordonnés que sont les suites de nombres, en rappelant d'abord qu'une séquence qui est une collection énumérée d’objets dans laquelle les répétitions sont autorisées et l’ordre est important. Comme un ensemble, il contient des membres (également appelés éléments ou termes). Le nombre d’éléments (éventuellement infini) est appelé la longueur de la séquence. Contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l’ordre est important. Formellement, une séquence peut être définie comme signifiant en fait une suite définie comme "une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de {N}  dans E.". Donc des opérations définies sur les suites de nombres comme la somme et le produit direct de deux suites définies comme suit:

Soit SeqR l'ensemble des séquences de nombres réels, Seq(a,b) ⊆ SeqR, Seq(c,d) ⊆ SeqR, alors Seq(a,b) ⊗ Seq(c,d) à toujours {(Seq(a,b),Seq(c,d) ): a,b,c, d ∈ R} comme ensemble sous-jacent; Seq(a,b) ⊕ Seq(c,d) à toujours {(Seq(a,b), Seq(c,d)): a,b,c,d ∈ R} comme ensemble sous-jacent; Seq(a,b) ⊝ Seq(c,d) à toujours {(Seq(a,b), Seq(c,d)): a,b,c,d ∈ R} comme ensemble sous-jacent; Seq(a,b) ⊘ Seq(c,d) à toujours {(Seq(a,b), Seq(c,d)): a,b,c,d ∈ R} comme ensemble sous-jacent.

Et pour que le produit cartésien SeqR × SeqR soit une structure mathématique avec une opération dotée des propriétés d'associativité, de possession d'un élément identité et que chaque élément de l’ensemble possède un élément inverse, c'est à dire soit un groupe pour l'addition, la multiplication, la soustraction et la division, nous devons donc aussi dire définir les opérations d'addition ,de multiplication, de soustraction et de division, de ces éléments, soit: 

Seq(a,b)+Seq(c,d)=Seq(a+c,b+d);

Seq(a,b)*Seq(c,d)=Seq(a*c,b*d);

Seq(a,b)-Seq(c,d)=Seq(a-c,b-d); 

Seq(a,b)/Seq(c,d)=Seq(a/c,b/d).

Rappelons que par définition, soit SeqR un ensemble non vide munit de deux lois de

composition interne notée "*", "+","-" et "/", alors ( SeqR,* +*,+,-/) est un groupe si:

— La loi "*", "+", "-" et "/" sont associatives.

— La loi "*", "+", "-" et "/", admettent respectivement un élément neutre.

— Tout élément x * SeqR, x+SeqR, x-SeqR, x/SeqR, admettent respectivement un élément symétrique. Si de plus les lois, "*", "+", "-" et "/" sont commutatifs, on dit que ( SeqR,*,+,-/) est un groupe abélien.

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Prenons un exemple, avec soit SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ↔ SeqAᵢ=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R; et soit la notation de SeqAᵢ, l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de R), soit la sous suite de nombres appartenant à l'ensemble des entiers naturels N*, que nous appelons indifféremment suite ou séquence et représentée comme suit: 

SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,

1244, 57,138, 250, 12171,499) ↔ SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}.

SeqAᵢ₌₇=(1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244)↔ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈} \ SeqAᵢ₌₁{xₙ₌₁₈}=

SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244}}.

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Par exemple pour effectuer l'opération de soustraction séquentielle entre la suite

SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,

1244, 57,138, 250, 12171,499) et la suite notée SeqAᵢ₌₇=(1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244)

nous devons en général représenter celles-ci sous leurs formes séquentielles développées et non plus sous leurs formes ensemblistes de singletons, et effectuer les opérations considérées entre éléments de même ordre dans chaque séquence, donc plus particulièrement l'opération d'addition séquentielle entre la séquence SeqAᵢ₌₇=(1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244) + Seq(0)ᵢ₌₂₃=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,1244,1244,

1244,1244,0,0,0,0,0,0).

Mais nous obtenons aussi cette même suite que précédemment résultant de l'opération de soustraction séquentielle, la soustraction des éléments de la suite SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,

152,1228, 959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,57,138, 250,12171,499) 

d' avec les éléments de la suite, SeqAᵢ₌₁₆=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,

1244,57,138,250,12171,499)= (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244, 0,0,0,0,0,0). La suite SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,0,0,0,0,0,0,0,1244,57,

138,250,12171,499), est obtenue par les deux opérations de multiplication séquentielle successives comme suit soit:

Seq{0}ᵢ₌₇=(0,0,0,0,0,0,0) * Seq{1}ᵢ₌₂₃=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)=(1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,0, 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1); puis, Seq{0}ᵢ₌₇=(0,0,0,0,0,0,0) * Seq{1}ᵢ₌₂₃=(1,1,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) *SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,

1244,1244,1244,1244,1244,1244,57,138,250,12171,499)=(511,177,174,571,152,1228,959,60,

555,199,0,0,0,0,0,0,0,1244,57,138,250,12171,499).

∴

Nous pouvons aussi effectuer des opérations sur les ensembles que sont aussi les séquences, soit la différence ensembliste notée, - de l'ensemble des éléments de la séquence SeqAᵢ₌₂₃={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}} d' avec l'ensemble des éléments de la séquence, SeqAᵢ₌₁₆={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}} ∪ SeqA{0}ᵢ₌₇={{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0})=({511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}, soit SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} - SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} \ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇} donnant la séquence SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}, car si A={a,b,c,d,e} et B={a,e,i,o,u}, alors A-B={b,c,d}; donc [SeqAᵢ₌₂₃={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}] - [SeqAᵢ₌₁₆ ∪ SeqA{0}ᵢ₌₇={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}] = SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244}}. 

La différence symétrique Δ de SeqAᵢ₌₂₃={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}} d'avec l'ensemble des éléments de la séquence, SeqAᵢ₌₁₆ ∪ SeqA{0}ᵢ₌₇={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}; soit [SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} - SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} \ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}] ∪ [SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} \ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇} - SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}], car si A={a,b,c,d,e} et B={a,e,i,o,u}, alors A Δ B={b,c,d} ∪ {i,o,u}={b,c,d,i,o,u}. Donc la différence symétrique Δ, de SeqAᵢ₌₂₃ d'avec SeqAᵢ₌₁₆ ∪ SeqA{0}ᵢ₌₇ est égale à SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244}} ∪ Seq{∅}ᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{∅},{∅},{∅},{∅},{{∅},{∅},{∅}}↔ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇} ∪ Seq{∅}ᵢ₌₇{∅=xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{∅},{1244},{∅},{1244},{∅},{1244},{∅},{1244},{∅},{1244},{∅},{1244}}.

∴

Notre conception dualiste des séquences et des ensembles n'est pas seulement intuitive ou arbitrairement établie pour son utilité calculatoire, car les fonctions indicatrices elles-mêmes caractéristiques de séquences de nombres, sont souvent utiles en théorie des ensembles puisqu'en général les opérations sur les ensembles correspondent aux opérations sur les fonctions indicatrices notées 1A(xₙ) que nous développerons ultérieurement dans notre titre "84: 6'A Nouvelles Expressions d'Algèbre Fonctionnelle Simple En Arithmétique Des Bases", mais que nous illustrons ici synthétiquement comme suit:

• Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} alors {E}⊆{F} ⇔ 1A({E}) ≤ 1A({F})
• Si le sous-ensemble {Ec} constitué de tous les éléments de {E} n'appartenant pas à {G}, est le complémentaire d'une partie {E} d'un ensemble {G}, alors 1A({Ec}) ⇔1−1A({E}), 
• Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} avec {E}∩{F}=∅, alors:

                        1A({E}∩{F})=min{1A({E}),1A({F})}=1A({E})*1A({F})

                        1A({E}∪{F})=max{A({E}),1A({F})}=1A({E})+1A({F})−1A({E})*1A({F}),

                        1A({E}-{F})=1A({E})-1A({F})

                        1A({E}△{F})=1A({E})+1A({F})−2*1A({E})*1A({F})

∴

Pour simplifier nos notations en une seule notation hybride ensembliste séquentielle, nous reprenons la notation précédente qui devient la dernière et troisième notation en remplaçant les crochets par des parenthèses comme suit:

SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,

1244,57,138, 250,12171,499) ↔ SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},

{57},{138},{250},{12171},{499}} ↔ SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃})=(511,177,174,571,152,1228,

959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,57,138, 250,12171,499).

SeqAᵢ₌₇=(1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244) ↔ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈} \ SeqAᵢ₌₁{xₙ₌₁₈}↔ 

SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244}}↔ 

SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) \ SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})=SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,

1244,1244,1244,1244,1244,1244,0,0,0,0,0,0).

∴

Nous devons maintenant définir la notation de SeqAᵢ l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de R); et dont la représentation de cette fonction de terminaison caractéristique (soit de forme simple, c'est-à-dire dont la terminaison caractéristique n'est que d'une seule valeur notée 1ATₙ₌₁(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) ↔ 

1'A(1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}))); de forme double, c'est-à-dire dont la terminaison caractéristique n'est que deux valeurs, notée 1ATₙ₌₂(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) ↔ 1'A(1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}))); ou de forme multiple, c'est-à-dire dont la terminaison caractéristique a de multiples valeurs, notée 1ATₙ₌ₓ(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) ↔1'A(1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})))), c'est-à-dire, caractérisant les éléments particuliers appartenant à Seq({0;1})ᵢ dont la position dans cette séquence correspond à la première et/ou la dernière valeur, c'est-à-dire respectivement positionnée au début ou à la fin d'un segment homogène dans la forme de sa répétition, d'une sous suite de valeurs successives uniformément égales à la même quantité de mêmes valeurs 1 et/ou 0. Nous allons dans un premier et deuxième sous-titre respectivement, 1.1 et 1.2, reprendre chacune des expressions respectivement des fonctions d'annulation caractéristique simple développées précédemment (I), et développer l'expression particulière de la fonction de terminaison caractéristique correspondante à chacune d'entre elles, avant de développer une expression générale donc synthétique de cette fonction de terminaison caractéristique applicable à toutes fonctions d'annulation caractéristique.

∴

 ∴

1.1) La fonction de Terminaison caractéristique simple équivalente à une seule fonction indicatrice: 1ATₙ₌₁(SeqAᵢ({xₙ→ₙ₌ᵢ})) ↔ 1'A(1A(SeqAᵢ({xₙ→ₙ₌ᵢ}))) 

∴

Pour définir l'expression générale ou systématique de cette fonction de terminaison caractéristique simple, c'est-à-dire dont la terminaison caractéristique n'est que d'une seule valeur, nous commençons par montrer que même si le résultat de la fonction d'annulation caractéristique simple est identique à celui de la fonction de Terminaison caractéristique simple, pourtant elle est structurellement différente de cette dernière. Ainsi donc pour le montrer, nous allons commencer par illustrer encore, mais différemment de ce que nous avons énoncé dans l'introduction de notre sous-titre, "I) LA FONCTION DE TERMINAISON CARACTÉRISTIQUE", en prenant l'exemple d'une autre séquence de nombres appartenant à l'ensemble noté SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R, et soit la notation de SeqAᵢ, l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de R), soit la sous séquence de nombres appartenant à l'ensemble des entiers naturels N*, et représentée comme suit: 

SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃})=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,

1244,1244,1244, 57,138, 250, 12171,499).

Ensuite, nous considérons cette autre fonction indicatrice de l'ensemble des nombres qui sont caractéristiques de la sous séquence des éléments répétés de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) excepté le dernier élément soit SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,0,0,0,0,0), et cette suite de nombres répétés sans le dernier élément répété est représentée par une sous séquence SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈} \ {xₙ₌₁₈}) ↔  SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,

1244,1244,1244,1244,0,0,0,0,0,0) ↔ SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,

1244,1244,1244,1244,1244,1244,0,0,0,0,0) - SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

0,1244, 0,0,0,0,0)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,0,0,0,0,0,0),

dont nous obtenons la fonction indicatrice correspondante à celle de la suite de nombres caractéristiques des éléments de SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}), définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}:

• 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})*n)=1, si SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})*n ≠0.

• 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})*n)=0, si SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})*n=0

L'expression de cette fonction indicatrice notée 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})), est définie comme suit:

Soit, Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁})) ↔ Ind(xₙ₌₁₁)=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ→ₙ₌₂₃}); soit Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈}))

 ↔ Ind(xₙ₌₁₈)=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ→ₙ₌₂₃}); soit n'(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})) =Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=7 

↔ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁)=18-11=7; ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}): 

a(n)=1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=1-⌈ ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))⌉+1)))*xₙ )  /  ( ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉       (1)  →  (2)

(2) ↔  a(n)=1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=1-⌈ ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁))⌉+1)))*xₙ   )  /   ( ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁))⌉+1)))*xₙ  )  +1)⌉  →  (3)

(3) ↔  a(n)=1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=1-⌈  (  ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁))⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₈))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₈))⌉+1)))*xₙ   )   /   (   ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁))⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₈))-1|⌉-⌈n/( Ind(xₙ₌₁₈))⌉+1)))*xₙ  ) +1)⌉    →  (4)

(4) ↔ a(n)=1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=1-⌈  ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ )  /  (   ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉   (5) ↔ (1)

L'expression  (5) ↔ (1) de la fonction indicatrice notée 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})), dont les éléments sont caractéristique des nombres de SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) qui sont répétés en excluant le dernier nombre répété, est représentée par Seq(1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,

0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0). 

∴

Maintenant nous considérons aussi cette autre fonction indicatrice qui est la fonction caractéristique inverse de la fonction caractéristique précédente 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})) et notée, 1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))) ↔ 1-1A(SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) \ {xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})) dont les éléments caractérisent la séquence, SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) \ {xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})=(511,177,174,571,152,

1228,959,60,555,199,0,0,0,0,0,0,0,1244,57,138,250,12171,499), dont nous obtenons l'expression de fonction indicatrice inverse définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}:

• 1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=0, si SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})≠0.

• 1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=1, si SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))=0

L'expression de cette fonction indicatrice de SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}), est définie comme suit:

Soit, Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁})) ↔ Ind(xₙ₌₁₁)=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); soit Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈}))

↔Ind(xₙ₌₁₈)=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); soit n'(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=Card'(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))

=7 ↔ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁)=18-11=7; et ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}): 

 (1') ↔ a(n)=1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=⌈ (((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))⌉+1)))*xₙ ) / ( ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+Card(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))⌉+1)))*xₙ )+1)⌉        →  (2')   

(2')  ↔ a(n)=1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=⌈ ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁))⌉+1)))*xₙ  )  / ( (((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1)⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁)-1+1+ Ind(xₙ₌₁₈)-Ind(xₙ₌₁₁))⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉      → (3') 

   (3')  ↔ a(n)=1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=⌈ ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁))⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₈))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₈))⌉+1)))*xₙ  ) / ( ( ((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₁))-1|⌉-⌈n/(Ind(xₙ₌₁₁))⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/(Ind(xₙ₌₁₈))-1|⌉-⌈n/( Ind(xₙ₌₁₈))⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉     →   (4')

(4') ↔ a(n)=1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=⌈  (  ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) / ( ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉    ↔    (1')

L'expression (4') ↔ (1') de la fonction indicatrice notée 1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})) 

caractéristique des nombres de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) soit la suite des nombres appartenant à SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}), qui ne sont pas répétés en excluant le dernier nombre répété, est représentée par Seq(1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,

1,1,1,1,1,1).

∴

Si nous connaissons le cardinal des éléments non nul de l'ensemble des éléments de la séquence 

SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) ↔ SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,

1244,1244,1244,1244,1244,57,138, 250,12171,499), soit n'( SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}))

=Card'(SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}))=23, ce n'est pas seulement parce que sa valeur correspond à l'indice i de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}), car ce n'est pas le cas lorsque des éléments de la séquence sont nuls et dans ce cas l'indice i de SeqAᵢ est supérieur à la valeur du cardinal; ou bien encore parce que nous connaissons aussi la valeur de la fonction Index qui est notée Ind(xₙ) de chaque élément ordonné de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ→ₙ₌₂₃}), et donc que nous connaissons nécessairement le cardinal de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) qui est égal à la valeur de l'index du dernier élément de l'ensemble des nombres de cette séquence, car à nouveau ce n'est pas le cas lorsque des éléments de la séquence sont nuls puisque cette valeur d'index sera supérieure à la valeur du cardinal; mais, c'est seulement que nous connaissons l'expression de ce cardinal notée n'( SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}))

=Card'( SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}))=23, et qui est égal à la somme des valeurs égales à 1,  caractérisant par la fonction indicatrice les éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) qui sont non nuls. En effet, sachant que l'expression de la fonction caractéristique fondamentale de toute séquence de nombres de valeurs non nulles, est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠0

• 1A(xₙ)=0 si xₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(xₙ) de l'expression a(n)=xₙ, est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈ |xₙ|/(|xₙ|+1) ⌉     (α).

Alors nous obtenons l'expression du cardinal spécial noté n'(X) ou Card'(X) du sous-ensemble de toutes les variables non nulles, xₙ de l'ensemble noté SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, 

xₙ₊₇...) ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ₊₁}), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R.

Dans la notation de SeqAᵢ, l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de R. Card'(X) ou n'(X) est définie comme suit, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqE dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [ a(n) ],  de cette séquence de nombres définie comme suit:

a(n)=n'(SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...xₙ₌ᵢ)=Card'(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}))=∑ n=1→n=∞: [ (1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})))i] =∑ n=1→n=∞: [ ⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ]       (β).

↔ Card'(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}))=∑ n=1→n=∞: [ ⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ]    (β').

Remarquons que si nous obtenons le cardinal des valeurs non nulles par les expressions  précédentes () et (), nous pouvons obtenir inversement le cardinal des valeurs nulles de l'ensemble des éléments de SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...xₙ₌ᵢ), noté n''SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) ↔  Card''(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})), et défini comme suit:

a(n)=n''(SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...xₙ₌ᵢ)=Card''(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}))=∑ n=1→n=∞: [ (1-1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})))i] =∑ n=1→n=∞: [ 1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ]       (γ).

↔ Card''(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}))=∑ n=1→n=∞: [ 1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ]    (γ').

∴

Mais nous remarquons surtout que le cardinal d'une séquence de nombres comme définit ci-dessus, c'est à dire déterminé par notre expression (β) comme égal à la quantité de valeurs non nulles de cette séquence, est en fait non conforme à la définition standard du cardinal d'un ensemble de nombres, et de surcroit le cardinal d'une séquence qui est définie normalement comme la somme des valeurs nulles et non nulles de cette même séquence et dont l'expression serait alors ce qu'elle devrait être définie comme suit:

a(n)=n(SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...xₙ₌ᵢ)) = Card(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) =
∑ n=1→n=∞: [ (1A(SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇....xₙ₌ᵢ.)))i + ∑ n=1→n=∞: [ (1-1A(SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇....xₙ₌ᵢ.)))i ] = ∑ n=1→n=∞: [ ⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ] + ∑ n=1→n=∞: [1- ⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ]          (δ)

↔ Card(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})=∑ n=1→n=∞: [⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ] + ∑ n=1→n=∞: [ 1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ]  (δ')

∴

Nous reprenons notre exemple de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}) et nous considérons le cardinal séquentiel  comme le cardinal spécial étant égal à la quantité de valeurs non nulles d'une séquence, et en remplaçant par les valeurs de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃})=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,

1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,57,138,250,12171,499) dans l'expression  (β'), nous obtenons Card'(SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃})=∑ n=1→n=23: [ ⌈ |xₙ|/(|xₙ|+1) ⌉ ] =23.  

Toujours en remplaçant par les valeurs de SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,

1244,1244,1244,1244,1244,0,0,0,0,0,0) dans l'expression (β'), nous obtenons

Card'(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=7; ainsi qu'en remplaçant toujours dans l'expression (β'), par les valeurs de SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,

1244,0,0,0,0,0), nous obtenons Card'(SeqAᵢ(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}))=8. 

∴

Ensuite grâce à l'expression de ce cardinal nous déterminerons l'index du premier élément répété appartenant à la sous séquence SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}), et de notation séquentielle SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁}) ↔ SeqAᵢ₌₁₁({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), ainsi que la valeur de l'index du dernier élément répété appartenant à la sous-séquence SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}), et de notation séquentielle SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})↔SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈}) =(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

1244,0,0,0,0,0). 

Rappelons d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence, soit que le rang est "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a le rang 0 ou 1, l’élément suivant a le rang 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)", terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme. Ainsi, "Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts: décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée". Ainsi, la fonction INDEX d'un élément d'une séquence renvoie une valeur ou une référence à une valeur provenant de la position de cet élément d'une suite d'un ensemble de nombres. La fonction RANG d'un élément d'une séquence renvoie une valeur correspondante au nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément.

Puis, nous remarquerons que pour déterminer la valeur de l'index du dernier élément répété appartenant à la sous séquence SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}), et de notation séquentielle SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})↔SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈}) =(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,0,0,0,0,0), soit en remplaçant par les valeurs précédentes dans l'expression (δ') et non (β'), nous obtenons cette valeur de l'index recherché et noté Index(SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈}))↔Ind(xₙ₌₁₈)=18. En effet, utiliser l'expression (β') omettant le nombre de valeurs 0 nous donnerait un index égal au cardinal des valeurs non nulles de l'ensemble des valeurs de xₙ₌₁=0 à xₙ₌₁₈=1244, soit la séquence notée SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,0,0,0,0,0), et soit 

Card'(SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈}))=1, valeur inférieure à la valeur réelle de l'index recherchée qui devrait en fait est égale à la somme du cardinal de la caractéristique des valeurs nulles et non nulles de l'ensemble des valeurs de xₙ₌₁=0 à xₙ₌₁₈=1244, noté SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈}), soit Card''(SeqAᵢ₌₁₀({xₙ₌₁→ₙ₌₁₀})) =17, la quantité de valeurs nulles de l'ensemble des éléments de cette sous-séquence; soit Card'(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})=1, la quantité de valeurs non nulles de l'ensemble des éléments de cette sous-séquence. La somme de ces deux cardinaux correspond en général exactement à la somme des deux expressions (β') et (γ'), dans l'expression générale (δ') soit, avec SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,

0,0,0,0,0):

Card(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})=∑ n=1→n=∞: [⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ] + ∑ n=1→n=∞: [ 1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ]; et en particulier dans notre exemple: 

Card(SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈})) =Card''(SeqAᵢ₌₁₀({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇})) + Card'(SeqAᵢ₌₁({ₙ₌₁₈}))  =

 ∑ n=1→n=∞: [1-⌈|xₙ₌₁→ₙ₌₁₀|/(|xₙ₌₁→ₙ₌₁₀|+1)⌉ ] + ∑ n=1→n=∞: [ ⌈|xₙ₌₁₈|/(|xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈|+1)⌉ ] = 17+1=18 ↔ Index(SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈}))↔Ind(xₙ₌₁₈)=18.

∴

Enfin, nous pouvons encore par la même méthode que précédemment déterminer l'index de cette autre valeur d'extrémité segmentale, correspondante au premier élément répété appartenant aussi à la sous séquence SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}), et de notation séquentielle SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁}) ↔ SeqAᵢ₌₁₁({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), soit en remplaçant par les valeurs précédentes  dans l'expression (δ') et non (β') nous obtenons cette valeur de l'index recherché et noté, Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁})) ↔ Ind(xₙ₌₁₁)=11. En effet, utiliser l'expression (β') omettant le nombre de valeurs 0 nous donnerait un index égal au cardinal des valeurs non nulles de l'ensemble des valeurs de xₙ₌₁=0 à xₙ₌₁₁=1244, noté SeqAᵢ₌₁₁({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁})

=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,0,0,0,0,0), soit la valeur de 1 inférieur à la valeur réelle de l'index recherché qui est égal à la somme du cardinal de la caractéristique des valeurs nulles et non nulles de l'ensemble des valeurs de xₙ₌₁=0 à xₙ₌₁₁=1244, noté SeqAᵢ₌₁₁({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), soit Card''(SeqAᵢ₌₁₀({xₙ₌₁→ₙ₌₁₀})) =10, la quantité de valeurs nulles de l'ensemble des éléments de cette sous-séquence; soit Card'(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁})=1, la quantité de valeurs non nulles de l'ensemble des éléments de cette sous-séquence. La somme de ces deux cardinaux correspond en général exactement à la somme des deux expressions (β') et (γ'), dans l'expression générale (δ') soit:

 Card(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})=∑ n=1→n=∞: [⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ] + ∑ n=1→n=∞: [ 1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ] et en particulier dans notre exemple:

 

Card(SeqAᵢ₌₁₁({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁}) = Card''(SeqAᵢ₌₁₀({xₙ₌₁→ₙ₌₁₀}))+Card'(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁})=

∑ n=1→n=∞: [ 1-⌈ |xₙ₌₁→ₙ₌₁₀| / (|xₙ₌₁→ₙ₌₁₀|+1)⌉ ] + ∑ n=1→n=∞: [ ⌈|xₙ₌₁₁|/( |xₙ₌₁₁|+1)⌉ ]=10 +1=11 ↔ Index(SeqAᵢ₌₁₁({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁})) ↔ Ind(xₙ₌₁₁)=11.

∴

Mais si nous n'avons fait précédemment que décrire ce qui correspond à la définition d'un algorithme, une suite d'étapes calculatoires permettant d'obtenir un résultat à partir d'éléments fournis en début de procédure, soit nullifier les éléments d'une suite de nombres, puis calculer la fonction caractéristique de la séquence modifiée, et enfin calculer la somme totale, des éléments de cette fonction caractéristique, il nous reste à déterminer l'expression systématique correspondant à cet algorithme, donc à ne plus choisir préalablement les éléments à nullifier en utilisant une expression pour les nullifier afin d'obtenir le résultat de la valeur d'index ou de cardinalité correspondant, mais à utiliser une expression systématique non redondante nous permettant d'obtenir ce même résultat. 

Nous commencerons donc par écrire intentionnellement cette expression de manière redondante puisque comprenant déjà dans sa formulation les valeurs recherchées pour ensuite éliminer toute redondance dans les applications de cette expression que nous illustrerons en théorie des nombres, au titre 28: 18'A VII'', intitulé "APPLICATIONS DE LA FONCTION DE TERMINAISON CARACTÉRISTIQUE SIMPLE AUX FONCTIONS ARITHMÉTIQUES DE LA DIVISIBILITÉ ET DE LA NON-DIVISIBILITÉ: n|a; n∤a.; b|a; b∤a; PGCD(a;b)." 

∴

Ainsi, connaissant la valeur des cardinaux et des index précédemment calculés, nous pouvons donc maintenant écrire à nouveau, mais différemment des deux expressions (1) et (1') précédemment écrites de représentation respective Seq(1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))

=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0), et Seq(1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))

=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1), les expressions correspondantes aux suites de nombres qui sont les éléments des fonctions indicatrices de représentation 

Seq(1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})))=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1), et 

Seq(1-1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})))=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0), définies 

respectivement comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1-1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}))=1, si SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ≠ 0;

• 1-1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})))=0, si SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) = 0.

L'expression de cette fonction caractéristique de (1-1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})) )*n, est définie comme suit:

Soit, Index(SeqAᵢ₌₁₁({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁})) ↔ Ind(xₙ₌₁₁)=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); soit Index(SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈}))

↔Ind(xₙ₌₁₈)=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); ∀ n ∈ N*: 

 

a(n)= 1-((⌈|n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1)-(⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1))       (2).

Puis pour la deuxième séquence de représentation, Seq(1-1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})))=(0,0,0,0,0,

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0), nous obtenons l'expression de la fonction indicatrice correspondante comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}))=1, si SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) = 0.

• 1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}))=0, si SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ≠ 0

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}), est définie comme suit:

Soit, Index(SeqAᵢ₌₁₁({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁})) ↔ Ind(xₙ₌₁₁)=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); soit Index(SeqAᵢ₌₁₈({xₙ₌₁→ₙ₌₁₈}))

↔Ind(xₙ₌₁₈)=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); ∀ n ∈ N*: 

a(n)= (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)        (2').

∴

Maintenant nous pouvons enfin réécrire en modifiant l'expression précédente (4')↔(1') de la fonction indicatrice notée 1-1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) \ SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})) ↔ 

1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})), soit a(n)=1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=⌈ ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) / ( ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉, avec xₙ ∈ SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}), et de représentation Seq(1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))) = (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1), en les définissants respectivement comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=0, si SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})≠0.

• 1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=1, si SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))=0

L'expression de cette fonction caractéristique de 1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})) est définie comme suit:

Soit, Ind(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁}))=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); soit Ind(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈}))=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); ∀ n ∈ N* et xₙ ∈ SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}): 

a(n)=1-((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1)-(⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1))         (1'') ↔ (4') ↔ (1') ↔  

a(n)=1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=⌈ ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) / ( ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉ .

∴

Nous pouvons aussi réécrire en modifiant l'expression précédente (5) ↔ (1), de la fonction indicatrice, notée 1A(SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) \ SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})) ↔1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})), soit a(n)=1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=1-⌈ ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ )  /  (  ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉, avec 

xₙ ∈ SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}), et de représentation Seq(1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))=(0,0,0,0,0,0,0,0,

0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0),

1A: E→ {0,1}:

• 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=1 si SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})=0

• 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=0, si SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))≠0.

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})) est définie comme suit:

Soit, Ind(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁}))=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}); soit Ind(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈}))=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ→ₙ₌₂₃}); ∀ n ∈ N* et xₙ ∈ SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}): 

a(n)=(⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1)-(⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)        (1''') ↔ (5) ↔ (1) ↔

a(n)=1-⌈ ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ )  /  (  ( ((⌈ |n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1))*xₙ+(1-((⌈ |n/18-1|⌉-⌈n/18⌉+1)))*xₙ ) +1)⌉

∴

Ensuite, nous ne généraliserons finalement à l'expression de toute fonction de terminaison simple, notre exemple particulier qu'après avoir avec les deux expressions précédentes écrit l'expression de la fonction de terminaison caractéristique simple notée 1ATₙ₌₁(SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}))↔ 

1'A(1A( SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}))) de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃})=(511,177,174,571,152,1228,959,60,

555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244, 57,138, 250, 12171,499), par l'opération de soustraction deux segments de suites de nombres 1 correspondant à deux fonctions indicatrices différentes et dont la quantité d'éléments est exactement égale, ou exactement inférieure d'un, ou exactement supérieur d'un, à la valeur de la fonction Index donnant la position de l'unique élément de la sous séquence de SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})) de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}), soit Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})) 

↔ Ind(xₙ₌₁₈)=18. 

Mais tout d'abord pour écrire l'expression de cette fonction de terminaison caractéristique simple 

1ATₙ₌₁(SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃})), nous effectuons l'opération de multiplication des nombres de la séquence des entiers naturels N*, notée SeqN*=(1,2,3,4,5, 6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,

16,17,18,19,20,21,22,23) d'expression a(n)=n, d'abord par les éléments de la fonction indicatrice inverse de la fonction indicatrice 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})), donc la fonction indicatrice inverse que nous avons noté 1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1), 

soit une opération de multiplication que nous notons a(n)=(1-1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇})))*n=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,0,0,0,0,0,0,18,19,20,21,22,23); puis par les éléments de la fonction indicatrice notée 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0), 

multiplié par n et notée 1A(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))*n=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,11,12,13,14,15,16,

17,0,0,0,0,0,0).

∴

Ensuite nous utiliserons un premier segment de valeurs correspondant à la suite de nombre des éléments de la fonction indicatrice définie comme suit, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→n=x: [a(n)]; Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₇})=Ind(xₙ₌₁₇)=17: 

1A: E→ {0,1}:

• 1A(SeqAᵢ₌₁₇({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇}))=1, si Index(SeqAᵢ₌₁₇({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇})) <=Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₇}))=17

• 1A(SeqAᵢ₌₁₇({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇}))=0, si Index(SeqAᵢ₌₁₇({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇})) >Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₇}))=17 

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(SeqAᵢ₌₁₇({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇})) est définie comme suit:

Soit n'(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=Card'(SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=7; soit, Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₁}))=

Ind(xₙ₌₁₁)=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}); soit Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈}))=Ind(xₙ₌₁₈)=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃({xₙ→ₙ₌₂₃}); ∀ n ∈ N*:

a(n)=1A(SeqAᵢ₌₁₇({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇}))=( ⌈(7-( ((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1) )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1) )i ] ) ) +(1- ( (⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) ) )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )i ] ) ))) / (7-( ((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )i ] ) ))+1)⌉ ) - ( ⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1 )       (3)

a(n)=1A(SeqAᵢ₌₁₇({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇}))=⌈|n /(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1         (3')↔(3)

La représentation des expressions (3)↔(3'), correspondant à la fonction indicatrice dont les éléments sont caractéristiques des nombres dont les index sont inférieurs à l'index du dernier nombre de la sous séquence de nombre répété SeqAᵢ₌₈({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) de la séquence 

SeqAᵢ₌₂₃({xₙ→ₙ₌₂₃}),soit Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₇})=Ind(xₙ₌₁₇)=17, est1A(SeqAᵢ₌₁₇({xₙ₌₁→ₙ₌₁₇}))

=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0).

∴

Nous déduisons de la séquence précédente l'opération de soustraction qui nous permet d'obtenir la fonction indicatrice du dernier élément répétée de la séquence SeqAᵢ₌₂₃({xₙ→ₙ₌₂₃}), notée 1A(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})), c'est-à-dire la séquence soustraite d'éléments de l'ensemble des nombres de la fonction indicatrice caractéristique des nombres dont les index sont inférieurs à l'index du premier nombre suivant immédiatement après le dernier nombre de la sous séquence de nombre répété, SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) de la séquence SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}), et notée 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})*n), dont la représentation est la suite de nombres de l'ensemble des éléments de la séquence Seq₂=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0). Cette fonction caractéristique notée 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) )*n) de représentation précédente est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ))* n)=1, si (1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ))*n <1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) )*n ∧ 1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) )*n ≠ 0;

• 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ))*n)=0, si (1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ))*n >1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) )*n ∧ 1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) )*n ≠ 0.

L'expression de cette fonction caractéristique de n*(1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) )), est définie comme suit:

Soit Ω'=Card(SeqAᵢ₌₇=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=7; soit Ω=Card(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}))=8; 

soit, Index(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₁}))=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}); soit Index(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈}))=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}); ∀ n ∈ N*:

a(n)=1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ) )*n)=( ⌈(8-( ((⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )i ] ) ))) / (8-( ((⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )i ] ) ))+1)⌉ ) - ( ⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1 )       (4)

a(n)=1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ) )*n)=⌈ |n/(17+2)-1|⌉-⌈n/(17+2)⌉+1        (4') ↔ (4)

Ainsi la représentation des expressions obtenues ci-dessus (4)↔(4'), correspond exactement comme nous l'avons écrit à la fonction indicatrice dont les éléments de l'ensemble des nombres dont les index sont inférieurs à l'index du premier nombre suivant immédiatement après le dernier nombre de la sous séquence de nombre répété SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) de la séquence SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}), et notée 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) )*n), soit comme précédemment la suite de nombres de l'ensemble des éléments de la séquence Seq₂=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,0,0,0,0,0). 

∴

Ensuite, nous effectuons la soustraction des expressions (3) de (4) ou (3') de (4'), pour obtenir en finalité l'expression recherchée de la fonction indicatrice du dernier élément répété de la séquence SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}), notée 1A(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈})), soit une opération et son résultat, l'expression de cette fonction indicatrice définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

•  1A(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈}))=1, si 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ))* n)=1 ∧ 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈})) )*n)=0

• 1A(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈}))=0, si 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ))* n)=1 ∧ 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})  \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈})) )*n)=1 ∨ 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ))*n)=0 ∧ 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈})))*n)=0

L'expression de cette fonction indicatrice 1A(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈}), est définie comme suit:

Soit Ω'=Card(SeqAᵢ₌₇=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=7; soit Ω=Card(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) )=8; 

soit, Index(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₁}))=11, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃={xₙ→ₙ₌₂₃}; soit Index(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈}))=18, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ₌₂₃={xₙ→ₙ₌₂₃}; ∀ n ∈ N*:

a(n)=1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) ) )*n) - 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})  \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈})) )*n) = ( ⌈(8-( ((⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )i ] ) ))) / (8-( ((⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )i ] ) ))+1)⌉ ) - ( ⌈ |n/(18+1)-1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1 ) - ( ⌈(7-( ((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )i ] ) ))) / (7-( ((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ |n/11-1| ⌉-⌈n/11⌉+1) )  )i ] ) ))+1)⌉ ) - ( ⌈ |n/(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1) - (⌈ | n/11-1|⌉-⌈n/11⌉+1 )    (5) 

a(n)=1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈})) )*n) - 1A((1-1A(SeqAᵢ₌₈=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈})) )*n) =⌈ |n/(17+2)-1|⌉-⌈n/(17+2)⌉+1 - ( ⌈|n /(17+1)-1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1)   (5') 

La représentation des expressions équivalentes (5) et (5'), de la fonction indicatrice du dernier élément répété de la séquence SeqAᵢ₌₂₃={xₙ→ₙ₌₂₃}, notée 1A(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈})), est la séquence Seq'{0;1}=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0). 

Avant même de continuer notre exemple précédent par la généralisation des expressions écrites pour cet exemple, il nous faut remarquer que la longueur de l'expression (3), (4) et (5) par rapport à l'expression (3'), (4') et (5'), semble ne pas justifier l'écriture et l'utilisation de trois premières expressions, mais leur utilité est avérée dans le cas ou nous ne connaissons pas la valeur de l'index de position de l'élément dans un ensemble dont nous cherchons l'expression de la fonction de terminaison caractéristique, une utilité donc que nous l'illustrerons après un exemple pour déterminer l'expression systématique du plus grand dénominateur commun de deux nombres, dans le sous-titre "1.3) La fonction de Terminaison caractéristique multiple équivalente à une composition de multiples fonctions indicatrices".

∴

Nous allons maintenant généraliser cette expression précédente de la fonction indicatrice du dernier élément répétée de la séquence SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}), notée 1A(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈})) à n'importe quelle valeur de séquence de nombres, c'est-à-dire à la séquence de nombres appartenant à l'ensemble noté SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R, et soit la notation de SeqAᵢ, l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de R).notée 1ATₙ(SeqAᵢ=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) et définie comme la fonction indicatrice double, notée 1'A(1A(SeqAᵢ=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}))) ↔1ATₙ(SeqAᵢ=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})), dont les éléments sont les nombres appartenant à l'ensemble noté Seq'{0;1}=(a'ₙ , b'ₙ₊₁, c'ₙ₊₂, d'ₙ₊₃,e'ₙ₊₄, f'ₙ₊₅,...), ∀ n ∈ N*, avec a'=0 ∨ a'=1, b'=0 ∨ b'=1, c'=0 ∨ c'=1, d'=0 ∨ d'=1, e'=0 ∨ e'=1, f'=0 ∨ f'=1, qui sont caractéristiques de n'importe quelle autre fonction indicatrice notée 1A(SeqAᵢ=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) dont les éléments sont les nombres appartenant à l'ensemble noté Seq{0;1}=(aₙ, bₙ₊₁, cₙ₊₂, dₙ₊₃, eₙ₊₄, fₙ₊₅,...),  ∀ n ∈ N*, avec a=0 ∨ a=1, b=0 ∨ b=1, c=0 ∨ c=1, d=0 ∨ d=1, e=0 ∨ e=1, f=0 ∨ f=1, qui sont aussi caractéristiques d'une autre séquence de nombres appartenant à l'ensemble noté SeqAᵢ.

La première expression qu'il est possible d'écrire correspond à l'expression de la fonction indicatrice de n'importe quel élément de l'ensemble SeqAᵢ elle-même correspondant effectivement à la fonction d'annulation caractéristique comme nous l'avons constaté avec l'expression (5') ci-dessus, et qui est donc aussi généralisable et reconnaissable comme l'expression correspondant à la fonction notée Nullval(xₙ₌ₚ) ↔1A(xₙ₌ₚ), et définie comme la fonction indicatrice de n'importe quelles suites de nombres et caractéristique de la valeur nulle de ces nombres, et définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠xₙ₌ₚ
• 1A(xₙ)=0 si xₙ=xₙ₌ₚ

L'expression de cette fonction caractéristique de la suite de nombres S={xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...}, est définie comme suit: 

∀ x ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃) ∈ R, ∀ n ∈ N*, et soit Nullval(xₙ₌ₚ) ↔ 1A(xₙ₌ₚ): 

1A(xₙ₌ₚ)=1-⌈ ⌈ |n/p -1| ⌉/( ⌈ |n/p -1| ⌉+1) ⌉   (a₁).  

Ou bien encore la fonction indicatrice inverse, soit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A(xₙ)=0 si xₙ ≠xₙ₌ₚ  
• 1A(xₙ)=1 si xₙ=xₙ₌ₚ

L'expression de cette fonction caractéristique de la suite de nombres S={xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...}, est définie comme suit: 

∀ x ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃) ∈ R, ∀ n ∈ N*, et soit Nullval(xₙ≠ₚ) ↔ 1-1A(xₙ₌ₚ): 

1-1A(xₙ₌ₚ)=⌈ ⌈ |n/p-1| ⌉/( ⌈ |n/p-1| ⌉+1) ⌉     (a₂).

Seule, l'expression (a₁) est celle de la fonction indicatrice d'annulation caractéristique qui est équivalente à l'expression (5') sous sa forme généralisée comme suit:

Soit Index(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ}))=p, la valeur de l'index de l'élément xₙ₌ₚ en dernière position dans une sous séquence choisie de la suite de nombres éléments de l'ensemble représenté par la séquence, SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ}); et ∀ n ∈ N*:

1'A(1A(SeqAₙ₌ₚ)) ↔ 1ATₙ₌₁(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ}))=1A(xₙ₌ₚ)=⌈|n/(p +1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1-(⌈|n /p-1|⌉-⌈n/p⌉+1)              (5') ↔ (a₁)

1'A(1A(SeqAₙ={xₙ₌ₚ})) ↔1ATₙ₌₁(SeqAᵢ₌₁={xₙ₌ₚ}))=1A(xₙ₌ₚ)=1-⌈⌈|n/p -1|⌉/(⌈|n/p-1|⌉+1)⌉     (a₁)↔(5').  

∴

Nous généralisons maintenant les expressions de notre exemple, (3), (4) et (5) utilisées dans les opérations de soustraction segmentale successive, et dont la première opération de soustraction correspond à l'expression de cette fonction caractéristique de 

n*(1-1A(SeqAᵢ₌ₚ=({xₙ₌₁→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ}))), qui est définie comme suit:

Soit Card'(SeqAᵢ₌q-₁=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ₋₁}))=q-1; Soit, Index(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₑ}))=e, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ}); 

soit, Index(SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ}))=p, la valeur de l'index du dernier élément sélectionné dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}); ∀ x ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,...xₙ₌ₑ....xₙ₌ₚ₋₁, xₙ₌ₚ , xₙ₌∞) ⊆ R, ∀ n ∈ N*:

1A: E→ {0,1}:

• 1A((1-1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ}) ) )*n)=1, si (1-1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ}) ) )*n <1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ}) ) )*n ∧ 1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ})))*n ≠ 0;

• 1A((1-1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁={xₙ₌ₚ} ) )*n)=0, si (1-1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ})))*n >1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ})))*n ∧ 1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ})))*n ≠ 0;

L'expression de la fonction caractéristique 1A((1-1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ})) )*n), est définie comme suit:

a(n)=1A((1-1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ})) )*n)=( ⌈(q-1-( ((⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )i ] ) ))) / (q-1-( ((⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )i ] ) ))+1)⌉ ) - ( ⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1 )       (3)

La représentation des expressions généralisées (3)↔(3'), correspondant à la fonction indicatrice dont les éléments sont caractéristiques des nombres dont les index sont inférieurs à l'index du dernier nombre de la sous séquence du nombre sélectionné, SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) de la séquence SeqAᵢ=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}), et notée 1A((1-1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ})))*n), est la suite de nombres de l'ensemble des éléments de la séquence SeqX=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...1,1,1,1,1,1,1,1,

..0,0,0,0,0,0...,0,0,0,0,0,0,0,0,0...) avec, Ω=Card(SeqAᵢ₌ₑ=({xₙ₌₁→ₙ₌ₑ}))=e; Ω'=Card(SeqAᵢ₌q₋₁=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ₋₁})) =q-1; Ω+Ω'= Ω''=e+q-1; Card(SeqAᵢ₌ₚ₋₁=({xₙ₌₁→ₙ₌ₚ₋₁}))=e+q-2= Card(SeqX₁).

∴

Nous déduisons de la séquence précédente l'opération de soustraction qui nous permet d'obtenir la fonction indicatrice du dernier élément sélectionné de la séquence SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ}) notée 1A( SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌ₚ})), c'est-à-dire la séquence soustraite d'éléments de l'ensemble des nombres de la fonction indicatrice caractéristique des nombres dont les index sont inférieurs à l'index du premier nombre suivant immédiatement après le dernier nombre de la sous séquence de nombre sélectionné, SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) de la séquence SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ}), et notée 1A((1-1A(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))*n), dont la représentation est la suite de nombres de l'ensemble des éléments de la séquence SeqX₂=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,.....1,1,1,1,1,1,1,1,1....0,0,0,0,0,0...,0,0,0,0,0,0,0,0,0....), avec, 

Ω=Card(SeqAᵢ₌ₑ=({xₙ₌₁→ₙ₌ₑ}))=e ; Ω'''=Card(SeqAᵢ₌q=({xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))=q ; Ω+Ω'''= Ω''''= e+q ; 

Card(SeqAᵢ₌ₚ=({xₙ₌₁→ₙ₌ₚ})) )=p=e+q-1=Card(SeqX₂).

Cette fonction caractéristique notée 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))*n) de représentation précédente est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

• 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))* n)=1, si (1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))*n <1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})*n ∧ 1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})*n ≠ 0;

• 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))*n)=0, si (1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))*n >1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})*n ∧ 1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})*n ≠ 0.

L'expression de cette fonction caractéristique de n*(1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})), est définie comme suit:

Soit Ω'=Card(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ₋₁})=q-1; soit Ω=Card(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})=q ; soit, 

Index(SeqAₙ={xₙ₌ₑ})=e, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ; soit Index(SeqAₙ={xₙ₌ₚ})=p, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ ∀ n ∈ N*:

a(n)=1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) )*n)=( ⌈(q-( ((⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1) )i ] ) )+(1- ( (⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )i ] ) ))) / (q-( ((⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) ) )i ] ) ))+1)⌉ ) - ( ⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1 )       (4)

∴

Ensuite, nous effectuons la soustraction des expressions (3) de (4) pour obtenir en finalité l'expression recherchée de la fonction indicatrice du dernier élément sélectionné de la séquence SeqAᵢ, notée 1A(SeqAₙ={xₙ₌ₚ}), soit une opération et son résultat, l'expression de cette fonction indicatrice définie comme suit:

1A: E→ {0,1}:

•  1A(SeqAₙ={xₙ₌ₚ})=1, si 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))* n)=1 ∧ 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ} \ SeqAₙ={xₙ₌ₚ}) )*n)=0

• 1A(SeqAₙ={xₙ₌ₚ})=0, si 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))* n)=1 ∧ 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ} \ SeqAₙ={xₙ₌ₚ}) )*n)=1 ∨ 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}))* n)=0 ∧ 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ} \ SeqAₙ={xₙ₌ₚ}) )*n)=0

L'expression de cette fonction indicatrice 1A(SeqAₙ={xₙ₌ₚ}), est définie comme suit:

Soit Ω'=Card(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ₋₁})=q-1; soit Ω=Card(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ})=q ; soit, 

Index(SeqAₙ={xₙ₌ₑ})=e, la valeur de l'index du premier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ; soit Index(SeqAₙ={xₙ₌ₚ})=p, la valeur de l'index du dernier élément répété dans la suite de nombres éléments de SeqAᵢ ∀ n ∈ N*:

a(n)=1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ}) )*n) - 1A((1-1A(SeqAₙ={xₙ₌ₑ→ₙ₌ₚ} \ SeqAₙ={xₙ₌ₚ}) )*n) = ( ⌈(q-( ((⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1) )i ] ) )+(1- ( (⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )i ] ) ))) / (q-( ((⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) ) )i ] ) ))+1)⌉ ) - ( ⌈ |n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1 )   -  ( ⌈(q-1-( ((⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )i ] ) ))) / (q-1-( ((⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (  ((⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)   )i ] )   )+(1- ( (⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )*(n-( ∑ n=1→n=∞: [ (1- ( (⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ |n/e-1| ⌉-⌈n/e⌉+1) )  )i ] ) ))+1)⌉ ) - ( ⌈ |n/(p-1+1)-1|⌉-⌈n/(p-1+1)⌉+1) - (⌈ | n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1 )  (5) ↔(4)-(3)

notée 1ATₙ(1A(SeqAᵢ)) et définie comme la fonction indicatrice double, notée 1'A(1A(SeqAᵢ)) ↔1ATₙ(1A(SeqAᵢ)), dont les éléments sont les nombres appartenant à l'ensemble noté Seq'{0;1}=(a'ₙ , b'ₙ₊₁, c'ₙ₊₂, d'ₙ₊₃,e'ₙ₊₄, f'ₙ₊₅,...), ∀ n ∈ N*, avec a'=0 ∨ a'=1, b'=0 ∨ b'=1, c'=0 ∨ c'=1, d'=0 ∨ d'=1, e'=0 ∨ e'=1, f'=0 ∨ f'=1, qui sont caractéristiques de n'importe quelle autre fonction indicatrice notée 1A(SeqAᵢ) dont les éléments sont les nombres appartenant à l'ensemble noté Seq{0;1}=(aₙ, bₙ₊₁, cₙ₊₂, dₙ₊₃, eₙ₊₄, fₙ₊₅,...),  ∀ n ∈ N*, avec a=0 ∨ a=1, b=0 ∨ b=1, c=0 ∨ c=1, d=0 ∨ d=1, e=0 ∨ e=1, f=0 ∨ f=1, qui sont aussi caractéristiques d'une autre séquence de nombres appartenant à l'ensemble noté SeqAᵢ

∴

1.2) La fonction de Terminaison caractéristique double équivalente à une composition de deux fonctions indicatrices: 1ATₙ₌₂(1A(SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ})) ↔ 1'A(1A(SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ}))) ∪ 1''A(1A(SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ})))

∴

1.3) La fonction de Terminaison caractéristique multiple équivalente à une composition de multiples fonctions indicatrices: 1ATₙ₌ₓ(1A(SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ})) ↔ 1'A(1A(SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ}))) ∪ 1''A(1A(SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ})))  ∪ 1'''A(1A(SeqAᵢ=({xₙ→ₙ₌ᵢ}))) ....

∴

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ 

1A(SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈}))=1-1A(SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}) \ SeqAᵢ₌₇=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ 

→ₙ₌ₚ ₍ₙ→ₙ₌ₚ₎⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ 

(S={xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ} ⊆ R)  avec la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d'éléments de la séquence représentée par la suite de nombre xₙ ∈ S=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃...xₙ₌ₐ..xₙ₌ₚ).

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ  ) a(n)=∑ n=1→n=∞: [ ()i ]=∑ n=1→n=∞: [ ( )i ] =∑ n=1→n=∞: [ ( )i ]

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ 

1A(SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}) \ SeqAᵢ₌₁=({xₙ₌₁₈}))=1-1A(SeqAᵢ₌₂₃=({xₙ→ₙ₌₂₃}) \ SeqAᵢ₌₇=({xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}))=

∴

SeqAᵢ₌₁₀({xₙ₌₁→ₙ₌₁₁})=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244),

  ∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ 

∴