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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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Qu'est-ce que l'index d'une élément d'une séquence de nombres si ce n'est un nombre ordinal?:
Rappelons d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence, soit que le rang est "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a le rang 0 ou 1, l’élément suivant a le rang 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)", terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme. Ainsi, "Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts: décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée". Ainsi, la fonction INDEX d'un élément d'une séquence renvoie une valeur ou une référence à une valeur provenant de la position de cet élément d'une suite d'un ensemble de nombres par rapport à d'autres éléments de cet ensemble et par rapport à la suite de nombres des entiers naturels N sur laquelle ils sont indexés.
Ainsi, la fonction INDEX d'un élément d'une séquence renvoie une valeur ou une référence à une valeur provenant de la position de cet élément d'une suite d'un ensemble de nombres.
La fonction RANG d'un élément d'une séquence renvoie une valeur correspondante au nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément.
Qu'est-ce que le rang d'un élément d'une séquence de nombres si ce n'est aussi un nombre ordinal?:
"Le mot «rang» fait référence à plusieurs concepts connexes en mathématiques impliquant des graphiques, des groupes, des matrices, des formes quadratiques, des séquences, la théorie des ensembles, des statistiques et des tenseurs", et qu'en considérant tout d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence, le rang est définie comme "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a le rang 0 ou 1, l’élément suivant a le rang 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)" terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme.
Ainsi, "Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts: décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux cardinaux (zéro, un, deux, trois…) et ordinaux (zéroième, premier, deuxième, troisième…) et sont très semblables. Cependant, dans le cas infini, on est amené à distinguer nombre cardinal et nombre ordinal. Si la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure particulière, les ordinaux sont intimement liés à un ordre sur les éléments de cet ensemble, et plus précisément à un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné est un ensemble dans lequel toute partie non vide admet un plus petit élément. Le plus petit élément de l'ensemble peut être numéroté 0, le suivant 1, le suivant 2, etc., mais dès que l'ensemble est infini, une notation adaptée est nécessaire pour désigner judicieusement tous les éléments de l'ensemble. La théorie des ordinaux permet, entre autres, de donner un sens précis à cette numérotation heuristique des éléments d'un ensemble bien ordonné. On peut imaginer une technique de « numérotation » des éléments de cet ensemble ordonné : On dira que (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), etc. occupent respectivement les positions 0, 1, 2, 3, etc. (1,0) est le plus petit élément se trouvant après une infinité d'éléments. On convient de noter ω sa position (1,1) est l'élément qui suit ω ; sa place sera indexée ω + 1, etc. (2,0) est le plus petit élément se trouvant après une double infinité d'éléments. Il occupe la position ω + ω, aussi notée ω₂. Plus généralement (n,0) occupe la place ωₙ.". Extrait de Wikipédia, l'encyclopédie libre.