©2019 Cédric Christian Bernard Gagneux
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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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et non pas parce que ces valeurs de 0 étaient sous-jacentes à l'existence de l'ensemble considéré, c'est-à-dire non pas parce que les éléments de valeurs 0 sont constitutifs du sous-ensemble des éléments de tout ensemble comme l'ensemble vide en algèbre ensembliste. En effet, si nous considérons l'ensemble{xᵢ, yᵢ}, et que nous supprimions ces deux éléments l'un après l'autre alors l'ensemble {yᵢ} correspond à la suppression de l'élément xᵢ; {xᵢ} à l'élément yᵢ qui a été supprimé; et l'ensemble {} correspond à la suppression de tous les éléments de l'ensemble, soit des deux éléments xᵢ et yᵢ qui ont été supprimés et ce dernier ensemble{}, est appelé l’ensemble vide qui est un sous-ensemble de chaque ensemble, contrairement à {∅}, l’ensemble contenant l’élément de vide noté ∅ qui n’est pas l’ensemble vide, mais l'ensemble qui contient l'élément vide. On pourrait en effet considéré que l'augmentation du cardinal d'un ensemble résultant d'une opération d'insertion sans annulations, résulte d'une propriété de cet ensemble de nombre, c'est-à-dire que dans les opérations sur les séquences d'éléments dont les suites de nombres font partie alors l'ensemble contenant la valeur 0 serait équivalente à l'ensemble vide pour les ensembles, c'est-à-dire que sa propriété serait d'être un sous-ensemble notée {0} de chaque ensemble de nombres, avec soit la suite de nombres notée SeqAᵢ=(xᵢ; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆,; xᵢ₊₇...) à laquelle correspond la séquence de nombres notée SeqAᵢ=({xᵢ₌ₙ→ᵢ₌∞})=({xₙ}; {xₙ₊₁}; {xₙ₊₂}; {xₙ₊₃}; {xₙ₊₄}; {xₙ₊₅}; {xₙ₊₆}; {xₙ₊₇}...) , ∀ n ᵢ ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ R; et soit la notation de SeqAᵢ, l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (nᵢ l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de R); alors Seq0ᵢ=(0ₙ; 0ₙ₊₁; 0ₙ₊₂; 0ₙ₊₃; 0ₙ₊₄; 0ₙ₊₅; 0ₙ₊₆; 0ₙ₊₇...) ↔ Seq0ᵢ=({0ₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})=({0ₙ}; {0ₙ₊₁}; {0ₙ₊₂}; {0ₙ₊₃}; {0ₙ₊₄}; {0ₙ₊₅}; {0ₙ₊₆}; {0ₙ₊₇}...) ⊆ SeqAᵢ=({xᵢ₌ₙ→ᵢ₌ₙ₊∞})=({xₙ};{xₙ₊₁};{xₙ₊₂};{xₙ₊₃}; {xₙ₊₄}; {xₙ₊₅}; {xₙ₊₆}; {xₙ₊₇}...) , ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R. C'est ce qui confère à SeqAᵢ=(xₙ; xₙ₊₁; xₙ₊₂; xₙ₊₃; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇...) sa propriété d'être une suite de nombre. De même que l'élément du vide noté ∅, alors Seq∅ᵢ=(∅ₙ; ∅ₙ₊₁; ∅ₙ₊₂; ∅ₙ₊₃; ∅ₙ₊₄; ∅ₙ₊₅; ∅ₙ₊₆; ∅ₙ₊₇...) ↔ Seq∅ᵢ=({∅ₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})=
({∅ₙ};{∅ₙ₊₁}; {∅ₙ₊₂}; {∅ₙ₊₃}; {∅ₙ₊₄};{∅ₙ₊₅}; {∅ₙ₊₆}; {∅ₙ₊₇}...) ⊆ SeqAᵢ=({xᵢ₌ₙ→ᵢ₌ₙ₊∞})
= ({xₙ}; {xₙ₊₁};{xₙ₊₂};{xₙ₊₃};{xₙ₊₄}; {xₙ₊₅}; {xₙ₊₆}; {xₙ₊₇}...), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R. C'est ce qui confère à SeqAᵢ=({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) la propriété d'être une séquence d'éléments à valeur de nombres.
Rappelons que si nous adoptons donc la notation entre parenthèses (...) comme la notation d'une séquence et la notation entre crochets {...} de ces éléments pour indiquer une opération sur les ensembles, c'est-à-dire une opération sur les ensembles particuliers que sont les singletons {...} dont le seul élément est celui d'un seul élément d'une séquence de nombres, ce qui nous permet de définir à la fois des opérations sur les suites sui generis aux objets mathématiques que sont les suites de nombres, et des opérations sur les ensembles d'éléments toujours ordonnés que sont les séquences de nombres nous écrivons indifféremment pour des raisons pratiques le nom de suite ou de séquence toujours notée en abrégée SeqAᵢ, changeant la lettre en gardant toujours la même notation indicielle.
sur la pseudopropriété de l'ensemble des éléments d'une séquence dont le cardinal augmente qui serait dû au fait que la suite infinie de nombre 0 est contenue dans toute séquence, la présence d'une sous suite de nombres 0 qui semble avoir été insérer au début ou à la fin d'une sous suite de nombres différents de 0, en fait correspond à l'opération de la fonction de translation de mouvement, sans élimination et remplacement par 0 d'un quelconque nombre de cette suite et donc sans supposer de l'existence de cette pseudopropriété, qui est l'objet d'une hypothèse examinée à la rubrique suivante intitulée "68: 25'A XXVII FONCTION D'ANNULATION ET DE VIDE".
Dans le cas d'une opération par la fonction insertion, notée INSERT([xᵢ₋ₓ₋ₓ ]⋆⋆⋆⋆[xᵢ; xᵢ₊ₓ]=[xᵢ₋ₓ₋ₓ ;xᵢ₊ₓ]), on augmente le cardinal de cet ensemble de la même quantité d'éléments de valeurs nulles correspondant à la quantité d'éléments de valeurs non nulles insérés dans la séquence.
XVIII) LA FONCTION D'INSERTION D'UNE VALEUR OU PLUSIEURS VALEURS SUCCESSIVES OU NON DANS L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES
Cette nouvelle fonction d'insertion positionnelle est en fait une fonction générale correspondant à une catégorie générale comprenant plusieurs fonctions plus spécifiques soit, les nouvelles fonctions suivantes:
-N° 13, la fonction d’insertion d’une ou d’un ensemble de valeurs successives ou non avant la première valeur ou après la dernière valeur ou entre ces deux valeurs de la séquence de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par la notation Insrtₙ(x)(SeqA) dont l’indice n ∈ {Seq N} correspond à la valeur du rang de la dernière valeur de SeqA après laquelle une seule valeur x est insérée.
-N° 14, N° 14' et N° 15, N° 15', la fonction de compression et la fonction de décompression d’un sous-ensemble des valeurs de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Cmprsₓ(SeqA) d’un élément xₙ ∈ {Seq A} et Cmprs(Sgmt(SeqA)), Dcmprsₓ(SeqA) d’un élément xₙ ∈ {Seq A} et Dcmprs(Sgmt(SeqA)) sachant que nous définirons l’opération de compression d’une suite de nombres comme correspondant à l’élimination d’une ou de plusieurs valeurs de la suite de nombres notée SeqA sans annulations et l’opération de décompression comme correspondant à l’insertion d’une série de valeurs nulles entre deux ou plusieurs des valeurs de la suite de nombres notée SeqA;
-N° 12, la fonction de répétition d’une ou de plusieurs valeurs dans une suite de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par la notation Rptₓ(SeqA) d’un élément xₙ∈ {Seq A}.
8.1) La fonction composée de deux autres fonctions et équivalente à la fonction d'insertion d'une valeur nulle ou non nulle entre deux valeurs de la suite de nombres notée SeqA avec ou sans augmentation du nombre des valeurs de la séquence:
Nous allons donc dans le premier sous-titre développer le concept d'insertion sans augmentation du nombre des valeurs de la séquence, d'une valeur nulle entre deux valeurs de cette suite de nombres notée SeqA que nous définirons comme correspondant simultanément à la fonction N° 14 de compression en un point d'une suite de valeurs d'une séquence qui consiste à éliminer la valeur à compresser appartenant à cette suite de nombre, donc, notée Cmprsₓ(SeqA), fonction de compression d’un élément xₙ ∈ {Seq A}; et N°15, la fonction de décompression en un point d'une suite de valeurs d'une séquence qui consiste à insérer une valeur nulle entre deux valeurs de cette même séquence, donc notée Dcmprsₓ(SeqA), fonction de décompression d’un élément xₙ ∈ {Seq A}. Puis dans un deuxième sous-titre nous allons développer le concept d'insertion avec augmentation du nombre des valeurs de la séquence, d'une valeur nulle entre deux valeurs de cette suite de nombres notée SeqA que nous définirons comme correspondant simultanément à la fonction d'annulation d'une valeur et de concaténation de la valeur précédente son annulation. Ensuite dans un troisième sous-titre nous allons développer le concept d'insertion sans augmentation du nombre des valeurs de la séquence, d'une valeur non nulle entre deux valeurs de cette suite de nombres notée SeqA que nous définirons comme correspondant simultanément à la fonction de compression et de décompression comme au premier sous-titre. Enfin dans un quatrième sous-titre nous allons développer le concept d'insertion avec augmentation du nombre des valeurs de la séquence, d'une valeur non nulle entre deux valeurs de cette suite de nombres notée SeqA que nous définirons comme correspondant simultanément à la fonction d'annulation d'une valeur et de concaténation de la valeur précédente son annulation.
8.1.a) La fonction d'insertion d'une valeur nulle entre deux valeurs de la suite de nombres notée SeqA sans augmentation du nombre des valeurs de la séquence:
Nous utiliserons l'exemple d'un ensemble de valeurs xₙ, de SeqA définit comme suit: ∀ xₙ ∈ SeqA ⊆ R, soit:
SeqA=(511,-0.177,-174,-0.571,152,-1228.23,-959,60,555,-199,1244,1244,1244.3,1244,1244,-1,1244,
1244.3,0.57,-1,250,0.01217,499.65,0,804) et l'ensemble des valeurs n appartenant à l'ensemble des nombres naturels supérieurs à 0 correspondant au rang des valeurs de la suite de nombres SeqA, définit comme suit: ∀ n ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ xₙ ∈ SeqA ⊆ R, soit:
SeqIₙ=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25).
Nous procédons maintenant à l'élaboration de l'expression générale de la nouvelle fonction d'insertion d'une valeur nulle dans une suite de nombres SeqA, notée en général, Insrtₙ(x=0)(SeqA), car sans notation donnant l'indication de l'augmentation ou non du nombre des valeurs de la suite de nombre dans laquelle l'insertion d'une valeur nulle est faite, donc la fonction d'insertion d'une valeur nulle entre deux valeurs successives appartenant à une même suite de nombres, xₙ et xₙ₊₁, dont le rang est respectivement n et n+1 correspondant aux deux valeurs d'indices de la notation indicielle des valeurs xₙ et xₙ₊₁, et dans un premier cas nous considérerons n>=2, puis n=1 dans l'autre cas. Donc dans le premier cas, soit n=a avec a>=2, le rang de la valeur de l'élément xₐ ∈ {Seq A} que nous choisissons d'éliminer pour conserver la même valeur du nombre total des éléments de la suite de nombres SeqA, et soit n=p>=2 le rang de la valeur nulle insérée entre les deux valeurs successives xₙ et xₙ₊₁ avec pour effet de l'insertion de la valeur 0 que le rang de xₙ, donc le rang égal à n=p originellement avant insertion d'une valeur nulle, devient après l'insertion d'une valeur nulle le nouveau rang égal à n-1=p-1, ce qui justifie notre définition de la fonction de décompression au point xₙ car le rang de la valeur xₙ₊₁ reste identique à n+1, un processus que nous illustrerons avec les valeurs de notre exemple données précédemment, la formule de l'expression générale de cette fonction N° 15 de décompression, notée Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA) d’un élément xₚ ∈ {Seq A} et simultanément fonction N° 14 de compression, notée Cmprsₓ₌ₐ(SeqA) d’un élément xₐ ∈ {Seq A} dont la nouvelle fonction correspondante est notée Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA) définie comme suit:
∀ n ∧ a ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ xₐ ∧ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:
Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA)=xₙ*(1-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-(⌈n/(a+1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+xₙ₊₁*(1-(⌈|(n+1)/(a+1)-1|⌉-(⌈(n+1)/(a+1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))+xₙ*(⌈|n/(a+1)-1|⌉-(⌈n/(a+1)⌉-1)) (92).
8.1.b) La fonction d'insertion d'une valeur nulle entre deux valeurs de la suite de nombres notée SeqA avec augmentation du nombre des valeurs de la séquence:
Mais une formulation différente de la précédente expression de la nouvelle fonction d'insertion d'une valeur nulle dans une suite de nombres SeqA, et toujours notée de même que précédemment, en générale, Insrtₙ(x=0)(SeqA), car toujours sans notation donnant l'indication de l'augmentation ou non du nombre des valeurs de la suite de nombre dans laquelle l'insertion d'une valeur nulle est faite, peut aussi s'obtenir par un processus d'annulation d'une seule valeur de la suite de nombres SeqA, dont nous donnerons l'expression correspondante à la fonction N° 11 et N°11' la fonction d'annulation d'un ou de plusieurs éléments successifs ou non, appartenant à une suite de nombres notée SeqA, et notée respectivement Nullₙ(SeqA=xₙ) et Nullₙ(sgmntval(SeqA)), ce qui donc ne correspond plus à un processus simultané de décompression et de compression, mais constitue un processus d'insertion ressemblant au précédent puisque la compression est très proche d'un processus d'annulation donc il nous faut maintenant développer l'expression de la fonction d'insertion qui ne correspond plus à une compression et une décompression simultanément, mais simultanément à une annulation et à une concaténation soit l'insertion d'une seule ou de plusieurs valeurs successives nulles ou non nulles après la dernière valeur de la suite de nombres SeqA donc nécessairement avec augmentation du nombre de valeurs de la suite de nombres de SeqA dont la nouvelle fonction correspondante est notée Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)&Cctnteₓₚ(SeqA), avec n=p>=2, le rang de la valeur de l'élément xₚ ∈ {Seq A} que nous choisissons d'éliminer sans pour autant insérer une valeur nulle, mais qui conserve la valeur du nombre total des éléments de la suite de nombres SeqA, et avec ce rang n=p>=2 qui est aussi le même que le rang de la valeur annulée entre les deux valeurs successives xₙ et xₙ₊₁, définie comme suit en deux temps:
∀ n ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:
Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)=xₙ*(1-(⌈|n/(p/2)-1|⌉-(⌈n/(p/2)⌉-1)))*(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+xₙ*(1-(⌈|(n+1)/(p/2-1)-1|⌉-(⌈(n+1)/(p/2-1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))+xₙ*(⌈|n/(p/2)-1|⌉-(⌈n/(p/2)⌉-1)) (93).
Il va donc maintenant falloir concaténer la valeur annulée de la suite de nombre de notre séquence notée SeqA et donc augmenter le nombre de valeurs de la suite de nombres de SeqA. Comme pour l'expression de la nouvelle fonction notée Drnelt(SeqA), nous savons désormais que le nombre total de valeurs de la suite de nombres SeqA qui est le résultat de la nouvelle fonction N° 20, la fonction Nbrelt(SeqA) dont on obtient son expression correspondante à la somme sigma de sa fonction caractéristique définie comme suit:
1A: S→ {0,1}
1A(∅∉ S={SeqA} ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ≠∅;
et 1A(∅ ∉ S={SeqA} ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ=∅, (par définition le symbole ∅ correspondant à la notation de l'ensemble vide représente un ensemble qui ne contient rien), et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(Nbrelt(SeqA)) est, sachant que la définition de la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun nombre dont sa valeur numérique est par convention égale à zéro, et donc après avoir donné la définition de Eₙ , soit, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R, Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉ (82):
∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R: 1A(Nbrelt(SeqA))=⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉ (83); donc nous obtenons la valeur du nombre d'éléments de SeqA correspondant au résultat de la fonction notée Nbrelt(SeqA) égale à la somme sigma des éléments prenant la valeur de 0 ou 1 de sa fonction caractéristique soit:
Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R : Nbrelt(SeqA)=∑[n=1→∞]: ⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉ (84).
Après avoir écrit la formule de l'expression de la fonction du nombre d'éléments de la suite de nombres SeqA, maintenant nous pouvons enfin donner la formule de l'expression de la nouvelle fonction notée Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)&Cctnteₓₚ(SeqA), soit:
∀ n ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:
Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)&Cctnteₓₚ(SeqA)=xₙ*(1-(⌈|n/(p/2)-1|⌉-(⌈n/(p/2)⌉-1)))*(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+xₙ*(1-(⌈|(n+1)/(p/2-1)-1|⌉-(⌈(n+1)/(p/2-1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))+xₙ*(⌈|n/(p/2)-1|⌉-(⌈n/(p/2)⌉-1))+xₚ*(1-(⌈|n/(Nbrelt(SeqA)+1)-1|⌉-(⌈n/(Nbrelt(SeqA)+1)⌉-1)))-(1-(⌈|n/((Nbrelt(SeqA)+2)-1|⌉-(⌈n/(Nbrelt(SeqA)+2)⌉-1))) (94)
8.1.c)La fonction d'insertion d'une valeur non nulle entre deux valeurs de la suite de nombres notée SeqA sans augmentation du nombre des valeurs de la séquence:
Nous continuons le développement de la formule précédente en élaborant maintenant l'expression de la formule de la fonction d'insertion d'une valeur non nulle, jₚ≠0 ∈ R, notée Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA), en modifiant la formule précédente (92), de la nouvelle fonction d'insertion d'une valeur nulle notée Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA) avec élimination donc compression de la valeur xₐ dont le rang est égal à la valeur a,par une opération d'addition comme suit, soit, Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA)+1A(Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA)=0)*jₚ, dont en particulier cette dernière fonction caractéristique dans le dernier membre de cette expression est définie comme suit:
1A: S'={SeqA'}→ {0,1}
1A(xₙ' ∈ S'={SeqA}' ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ'=0 ∈ S'={SeqA}' ∧ xₙ=0 ∉ S={SeqA};
et 1A(xₙ' ∈ S'={SeqA}' ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ'≠0 ∈ S'={SeqA}' ∧ xₙ≠0 ∈ S={SeqA};
et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:
∀ n ∧ n' ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:
1A(Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA)=0)=(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))-(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1))) (95).
Donc l'expression de cette nouvelle fonction d'insertion notée Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA)+1A(Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA)=0)*jₚ, correspond aussi à la nouvelle fonction N° 13 représentée par la notation Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA) et dont la définition est:
∀ n ∧ a ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ jₚ ∈ R, ∀ xₐ ∧ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:
Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA)=Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA)+jₚ*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))-(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1))) (96); et en remplaçant par la formule de l'expression de la fonction Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA) nous obtenons:
Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA)=xₙ*(1-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-(⌈n/(a+1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+jₚ*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))-(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+xₙ₊₁*(1-(⌈|(n+1)/(a+1)-1|⌉-(⌈(n+1)/(a+1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))+xₙ*(⌈|n/(a+1)-1|⌉-(⌈n/(a+1)⌉-1)) (96').
8.1.d)La fonction d'insertion d'une valeur non nulle entre deux valeurs de la suite de nombres notée SeqA avec augmentation du nombre des valeurs de la séquence:
En utilisant l'autre expression développée sous-titre 1.a), une formulation différente de l'expression précédente peut aussi s'obtenir par la formule (94) correspondant à l'expression de la fonction notée Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)&Cctnteₓₚ(SeqA), dont nous remplacerons la valeur nulle au rang p résultant de cette fonction par la valeur choisie jₚ, et dont nous définirons la nouvelle fonction aussi dénotée Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA) comme suit:
∀ n ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:
Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA)=
Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)&Cctnteₓₚ(SeqA)+1A(Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)&Cctnteₓₚ(SeqA)=0)*jₚ (97); dont en particulier cette dernière fonction caractéristique dans le dernier membre de cette expression est définie comme suit:
1A: S'={SeqA'}→ {0,1}
1A(xₙ' ∈ S'={SeqA}' ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ'=0 ∈ S'={SeqA}' ∧ xₙ=0 ∉ S={SeqA};
et 1A(xₙ' ∈ S'={SeqA}' ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ'≠0 ∈ S'={SeqA}' ∧ xₙ≠0 ∈ S={SeqA};
et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:
∀ n ∧ n' ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:
1A(Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)&Cctnteₓₚ(SeqA)=0)=(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))-(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1))) (95').
Donc cette nouvelle expression de cette nouvelle fonction d'insertion notée Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA) est définie comme suit:
∀ n ∧ a ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ jₚ ∈ R, ∀ xₐ ∧ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:
Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA)=Nullₙ₌ₚ(SeqA=xₚ)&Cctnteₓₚ(SeqA)+jₚ*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))-(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1))) (97');
et en remplaçant par la formule de l'expression de la fonction Nullₙ(SeqA=xₚ)&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA) nous obtenons:
Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA)=xₙ*(1-(⌈|n/(p/2)-1|⌉-(⌈n/(p/2)⌉-1)))*(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+jₚ*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))-(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+xₙ*(1-(⌈|(n+1)/(p/2-1)-1|⌉-(⌈(n+1)/(p/2-1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))+xₙ*(⌈|n/(p/2)-1|⌉-(⌈n/(p/2)⌉-1)) +xₚ*(1-(⌈|n/(Nbrelt(SeqA)+1)-1|⌉-(⌈n/(Nbrelt(SeqA)+1)⌉-1)))-(1-(⌈|n/((Nbrelt(SeqA)+2)-1|⌉-(⌈n/(Nbrelt(SeqA)+2)⌉-1))) (97'') que je ne simplifie toujours pas intentionnellement en laissant en gras la fonction Nbrelt(SeqA) non développée quant à son expression formulée précédemment.