89: 2'A XXXXIII NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE EN ARITHMÉTIQUE MODULAIRE: La congruence modulaire séquentielle

©2012 Cédric Christian Bernard Gagneux

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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"En mathématiques, l'usage du terme modulo est différent même s'il est lié : il ne désigne pas une opération mais intervient pour caractériser une relation de congruence sur les entiers (et plus généralement pour d'autres congruences) et certains l'utilisent également pour désigner l'opération binaire. En informatique, l'opération modulo, ou opération mod, est une opération binaire qui associe à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne du premier par le second, le reste de la division de a par n (n ≠ 0) est noté a mod n. Le langages Excel utilise la définition mathématique de l'opération modulo s'écrivant MOD(a,n) et fonctionnant sur les nombres réels." extrait de l'article intitulé Modulo (opération) publié sur le site de Wikipedia. J'entend donc par le terme de modulo considéré la fonction et non pas seulement la relation de congruence ou l'opération binaire car la fonction modulo écrite "mod" est en fait la fonction qui à tout couple de nombre entiers associe un troisiemme nombre entier qui est "le reste de la division euclidienne du premier par le second". En mathématiques, on appelle ce type de relation entre deux variables une fonction lorsque chaque valeur de la variable indépendante est associée à une et une seule valeur de la variable dépendante.Or nous savons qu'une Variable aléatoire est un type de fonction qui associe un nombre réel à chaque élément de l’espace échantillonnal. Par example si l’espace échantillonnal est: {AAA, AAF, AAR...RGG GGG}; et si X représente le nombre d’échantillons de type R alors X(AAA)=0, X(AAF)=0, X(AAR)=1, ...X(ARR)=2, ... X(RRR)=3. On constate donc que si à un couple, ou un triplet etc. de valeurs est associé une seule valeur alors la définition d'une fonction comme un procédé qui permet d'associer à un nombre, un unique autre nombre appelé image sera satisfaite. Donc l'association à un couple de nombres d'un unique troisieme, "le reste de la division euclidienne du premier par le second" correspond bien à cette définition de fonction que nous notons:


mod(a,b)=c, signifiant a/b=q+c avec a,b,c,q appartenant à N l'ensemble des entiers naturels et a appelé le dividende, b appelé le diviseur, c appelé le reste et q appelé le quotient comme illustré par la figure ci dessous:

En utilisant la partie entière (définition mathématique) la fonction modulo peut être calculé en utilisant d'autres fonctions soit la fonction plancher notée ⌊x⌋ qui est le plus grand entier inférieur ou égal à x qui appliquée à l'expression de la fonction modulo donne: a mod b = a−⌊a/b⌋×b. L'opérateur mod retourne alors un nombre appelé le modulo ou résidu (le reste de la division euclidienne a/b) toujours compris entre 0 (inclus) et le diviseur b (exclu) et qui a le même signe que le diviseur b. Par exemple, 9 mod 4 = 9 − ⌊9/4⌋×4 = 9 − 2×4 = 1. Nous utiliserons la notation mod(a,b) équivalente à la notation a mod b pour mieux différencier la fonction modulo de la relation de congruence comprenant cette fonction modulo. En effet, si r est le reste de la division euclidienne de a par b, cette opération est double dans le cas d'une relation de congruence car r est le reste de la division euclidienne de a par b, et de la division de d par b. On peut donc exprimer que a et d, deux nombres dividendes, aussi appelés les "congrus modulo b", sont donc congruents modulo b, b étant le diviseur aussi appelé le "module", tandis que le reste noté r des deux divisions de a/b et d/b est identique et appelé "résidu ou modulo" dans la relation de congruence entre a et d, sous quatre formes :

a ≡ d (b) ;

a ≡ d [b] ;

a ≡ d (mod b) ;

a ≡d mod b (notation de Gauss).

La dernière est celle préconisée par la norme ISO/CEI 80000-2 de 2009.

Toutes les notations se lisent « a est congru à d modulo b ». Par exemple soit a=29, d=13 et b=8 alors, 29 ≡ 13 (8) car 29– 13 = 16, multiple de 8, ou encore car 29 et 13 ont tous les deux 5 comme reste dans la division par 8.

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"L'origine de l'usage du terme de "Congruence" est datée de 1374 et son étymologie vient du latin classique d’époque impériale congruentia, « accord, conformité, convenance ». Lui-même du latin "congruens", Participe présent du verbe latin "congruo" (« converger, concorder »). Le mot a eu un regain d’usage au milieu XIXe grâce aux mathématiques plus particulièrement en Arithmétique ou la congruence est définie comme la relation entre deux nombres tels que leur différence est le multiple d'un troisième nombre. En arithmétique modulaire, la congruence signifie la relation entre deux nombres ayant le même reste lorsqu'il est divisé par un entier spécifié. Par extension en Algèbre la congruence est définie comme la relation entre deux éléments x et y d’un anneau ou d’un groupe tels que x-y appartienne, respectivement, à un idéal ou un sous-groupe. En Géométrie euclidienne le terme est un Anglicisme et la congruence est définie comme la relation entre figures planes semblables (homothétiques). En Géométrie riemannienne la congruence est l'ensemble des courbes intégrales associées à un champ de vecteurs.". Extrait de l'article "Congruence" de Wikipédia L'encyclopédie libre.

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"En algèbre abstraite, une relation de congruence (ou simplement de congruence) est une relation d'équivalence sur une structure algébrique (telle qu'un groupe, un anneau ou un espace vectoriel) qui est compatible avec la structure dans le sens où les opérations algébriques effectuées avec des éléments équivalents donneront éléments équivalents. Chaque relation de congruence a une structure de quotient correspondante, dont les éléments sont les classes d'équivalence (ou classes de congruence) pour la relation. L'exemple prototypique d'une relation de congruence est la congruence modulo n sur l'ensemble des entiers. Pour un entier positif donné n, deux entiers a et b sont appelés modulo congrus n, écrit a ≡ b (mod n), si a-b est divisible par n (ou de manière équivalente si a et b ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par n). Par exemple, 37 et 57 sont congrus modulo dix, 37 ≡ 57( mod10 ), car 37 − 57 = − 20 est un multiple de 10,  ou de manière équivalente puisque les deux nombres 37 et 57 ont le même reste de 7 lorsqu'ils sont divisés par dix.". Extrait de l'article "Congruence relation" de Wikipédia L'encyclopédie libre.

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"Modulo est un jargon mathématique qui a été introduit dans les mathématiques dans le livre Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss en 1801. Étant donné les entiers a, b et n, l'expression "a ≡ b (mod n)", prononcée "a est congru à b modulo n", signifie a - b est un multiple entier de n, ou de manière équivalente, a et b les deux partagent le même reste lorsqu'ils sont divisés par n. C'est l'ablatif latin de module, qui lui-même signifie « une petite mesure ».Gauss avait initialement prévu d'utiliser "modulo" comme suit : étant donné les entiers a, b et n, l'expression a ≡ b (mod n) (prononcé "a est congru à b modulo n") signifie a - b est un multiple entier de n , ou de manière équivalente, a et b laissent tous deux le même reste lorsqu'ils sont divisés par n . Par exemple:

13 est congru à 63 modulo 10 signifie que 13 − 63 est un multiple de 10 ( ce qui est équivalant à écrire que , 13 et 63 diffèrent d'un multiple de 10).

La relation de congruence est une relation d'équivalence. La classe d'équivalence modulo n d'un entier a est l'ensemble de tous les entiers de la forme a+ kn, où k est un entier quelconque. Elle est appelée classe de congruence ou classe de résidus d'un modulo n, et peut être notée (a mod n), ā, ou [a] lorsque le module ʼn est connu à partir du contexte.

Chaque classe de résidus modulo n contient exactement un entier dans l'intervalle 0,..., n − 1. Ainsi, ces n entiers sont représentatifs de leurs classes de résidus respectives.

Il est généralement plus facile de travailler avec des entiers qu'avec des ensembles d'entiers; c'est-à-dire les représentants les plus souvent considérés, plutôt que leurs classes de résidus.

Par conséquent (a mod n) désigne généralement l'unique entier k tel que 0 < k < n et k = a (mod n); c'est ce qu'on appelle le résidu d'un modulo n. En particulier (a mod n) = (b mod n) équivaut à, a = b (mod n), expliquant pourquoi «=» est souvent utilisé à la place de "≡" dans ce contexte.". Extrait de l'article "Modulo" de Wikipédia L'encyclopédie libre.

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I) LA RELATION DE CONGRUENCE MODULAIRE  SÉQUENTIELLE ÉQUIVALENTE AUX EXPRESSIONS DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND

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1.a) Les expressions constitutives de la relation de congruence séquentielle d'ordre a>1 et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

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Ci-dessus est l'illustration de la séquence enregistrée sur le site de l'O.E.I.S., "The Online Encyclopedia of Integer Sequences", sous le numéro A047481 et intitulée "Numbers that are congruent to {0,2,5,7} mod 8" ou "nombres congrus et {0,2,5,7} modulo 8" qui va nous servir à développer la notion de congruence séquentielle, sachant que j'ai proposé pour cette séquence deux expressions définies comme suit:

 ∀ n ∈ N*, les nombres de la séquence notée SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,18,21,23,24,26,

29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,50,53,55.), et les nombres de la séquence Seq={0,2,5,7} congrus modulo 8, a pour expression:

 a(n)=(-1*((-1)^((n-1)/2-(-1)^n/4-1/4)))/2+2*(n-1)+1/2        (1), et

a(n)=cos(n*Pi/2)-1/2*cos((n-1)*Pi/2)-1/2*cos(n*Pi/2)+2*(n-1)+1/2      (2).

Mais ces deux expressions trigonométriques limitées à la concision et à la simplicité de circonstance sur le site de l'O.E.I.S., ne sont pas des expressions systématiques de cette congruence séquentielle dont nous avons déjà vu dans une autre rubrique intitulée, "73:4'A XXXI NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE DES EXPRESSIONS DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES: LA RELATION DE CONGRUENCE", l'expression trigonométrique systématique, et qu'il faut donc systématiser, ce qui donnera par application de la formule systématique l'expression non trigonométrique suivante:

a(n)=(⌈n/4⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7       (3'), une expression qui a bien pour représentation comme indiqué précédemment, la séquence SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,

50,53,55.).

Et cette expression (3)' n'est que l'application particulière de l'expression générale ou systématique (3) des nombres de la séquence, Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la  séquence, Seq={0, x, y, z, w...} congrus modulo b, avec cette particularité que le résidu de cette première séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} modulo b est égal aux nombres éléments de la deuxième séquence, soit {α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} mod b={0, x, y, z, w...}, exactement comme les résidus de la deuxième séquence Seq={0, x, y, z, w...} modulo b sont tous exactement égaux à {0, x, y, z, w...}, soit: {0, x, y, z, w...} mod b={0, x, y, z, w...}. 

Nous définirons donc cette expression systématique (3) en considérant tout d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence qui est "l'index auquel cette valeur apparait et qui correspond au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a le rang 0 ou 1, l’élément suivant a le rang 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)" terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme, comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ z ∈ N*, ∀ w ∈ N*.... ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({0,x,y,z,w...}), avec les nombres n=2,3,4 au numérateur dans les sous-expressions n-2, n-3, n-4, dans l'expression (3) qui correspondent à la position des nombres x,y,z, par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre 0 dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}; alors, les nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et les nombres de cette séquence Seq={0,x,y,z,w...} congrus modulo b, et dont la particularité est que les résidus des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} modulo b sont tous exactement égaux à {0, x, y, z, w...}, a pour expression:

a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z....... (3). 

Nous vérifions ensuite que l'expression (3) correspond à celle des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, congrus modulo b, en calculant l'expression définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ z ∈ N*, ∀ w ∈ N*,.... ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card(Seq={0, x, y, z, w...}), avec les nombres 2,3,4 au numérateur dans les sous-expressions n-2, n-3, n-4, dans l'expression (3) qui correspondent à la position des nombres x,y,z, par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre 0 dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}:

a(n)= ((⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z....) mod b      (4). La représentation de cette expression correspond à la représentation de la sous séquence répétée à l'infini, Seq={0,x,y,z,w...}, vérifiant donc ainsi que l'expression (3) correspond à celle des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} et des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...} congrus modulo b, conformément à la définition de la congruence séquentielle de Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}. Nous pouvons encore écrire deux autres expressions équivalentes à celle de l'expression (4) et qui sont:

a(n) = ((⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z....)-(⌈n/a⌉-1)*b                     (4').

a(n) = (1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z....)    (4'').

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Nous remarquons que la représentation des expressions (4), (4') et (4'') correspond à la séquence dont les éléments uniques x, y, z, w... constituent les éléments d'une sous séquence et qui sont répétés à l'infini, soit Seq={x,y,w,z.....,x,y,w,z,.....,x,y,w,z,.....}. Par exemple, si nous considérons comme précédemment, les nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et les nombres de la séquence Seq={0,2,5,7}, congrus modulo 8, correspondant à la séquence notée SeqA047481, d'expression a(n)=(⌈n/4⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7, et qui a pour représentation la séquence, SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,

18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,50,53,55....), alors la séquence correspondante à l'expression (4''), soit a(n)=(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7 a pour représentation la séquence, Seq(Seqcongr mod b)=(0,2,5,7,0,2,5,7,0,

2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,.), qui est visiblement une séquence constituée par la répétition à l'infini des éléments de la sous séquence Seq={0,2,5,7}.

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Avant de donner deux autres expressions de la séquence notée Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} dérivées des propriétés de l'expression (3), nous devons d'abord remarquer que l'expression (3) correspondant à l'expression de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, c'est-à-dire l'expression de la séquence des nombres {α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} et des nombres {0,x,y,z,w...}, congrus modulo b, est en fait composée des trois sous expressions, a₁(n)=⌈n/a⌉-1 (5'); a₂(n)=a₁(n)*b=(⌈n/a⌉-1)*b   (5''); et a₃(n)=(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z....)  (4''). Ainsi donc l'expression finale équivalente à l'expression (3) est le résultat d'une opération composition par addition de ces trois sous expressions correspondant à trois sous séquences distinctes est définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ z ∈ N*, ∀ w ∈ N*,.... ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({0, x, y, z, w...}):

a(n)= a₂(n)+a₃(n)=a₁(n)*b+a₃(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z...)          (5).

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Prenons encore l'exemple des nombres de la séquence SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,

18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,50,53,55....), et les nombres de la de la séquence,  Seq={0,2,5,7}, congrus modulo 8, d'expression a(n)=(⌈n/4⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7, avec a=Card({0, x=2, y=5, z=7)=4 et b=8, alors l'expression (5') , soit, a₁(n)=⌈n/a⌉-1=⌈n/4⌉-1, a pour représentation la séquence Seqa₁(n)=(0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,....); tandis que l'expression (5'') a pour expression en application à notre exemple, a₂(n)=a₁(n)*b=(⌈n/a⌉-1)*b= (⌈n/4⌉-1)*8, et a pour représentation la séquence suivante: Seqa₂(n)=( 0,0,0,0,8,8,8,8,16,16,16,16,24,24,24,24,32,32,32,

32,40,40,40,40...); enfin, la dernière et troisième expression qui compose l'expression (3) des nombres de la séquence SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,18,21,23,24,26,29,31,32,34,

37,39,40,42,45,47,48,50,53,55....), et des nombres de la séquence, Seq= {0,2,5,7}, congrus modulo 8, est en fait l'expression qui correspond à la sous séquence répétée de {0,2,5,7} et qui est la représentation correspondante à l'expression de la vérification de la congruence séquentielle de SeqA047481, définie comme les nombres de la séquence SeqA047481 =(0,2,5,7,8,10,13,15,16,

18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,50,53,55....), et les nombres de la séquence Seq= {0,2,5,7} congrus modulo 8, et dont une vérification de la congruence se fait par le calcul de l'expression a(n)= SeqA047481 mod 8 =((⌈n/4⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7)  mod 8, c'est-à-dire une expression modulaire en fait équivalente à l'expression a₃(n)=(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7,  (4''), et qui a pour représentation Seqa₃(n)=Seq(Seqcongr mod b)(0,2,5,7,0,

2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,0,2,5,7,....).

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Ensuite, nous obtenons une première et nouvelle expression des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} et des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, congrus modulo b, en modifiant le dénominateur, a=Card({0,x,y,z,w...}), de la sous expression a₂(n)=a₁(n)*b composant l'expression (5), soit a(n)=a₁(n)*b+a₃(n), et remplaçant a par une variable de valeur a', et définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ z ∈ N*, ∀ w ∈ N*,.... ∀ b ∈ N*, ∀ a' ∈ Z*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({0,x,y,z,w...}), avec les nombres 2,3,4 au numérateur dans les sous-expressions n-2, n-3, n-4, dans l'expression (3) qui correspondent à la position des nombres x,y,z, par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre 0 dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}:

a(n)=(⌈n/a'⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z..)          (6). 

Cette autre et nouvelle expression (6) de l'expression (3) de Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, est dérivée des propriétés de l'expression (5) et plus particulièrement de a₂(n)=a₁(n)*b=(⌈n/a⌉-1)*b parce que la valeur de la variable a' détermine la longueur du segment de la répétition de multiple croissant de b ainsi que l'appartenance  à Z* c'est-à-dire soit à l'ensemble des nombres entiers positifs ou à l'ensemble des nombres entiers négatifs des nombres de l'ensemble {α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} et des nombres de l'ensemble{0,x,y,z,w...} congrus modulo b. 

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Pour illustrer l'expression (6) ci-dessus, prenons encore l'exemple des nombres de la séquence SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,50,

53,55.....),  et des nombres de la séquence Seq={0,2,5,7} congrus modulo 8, et d'expression a(n)=(⌈n/4⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7, donc avec a=Card({0, x=2, y=5, z=7)=4 et b=8, et a'=3; en remplaçant dans l'expression (6) nous obtenons a(n)=(⌈n/3⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7, une autre expression des nombres de la séquence, SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,

13,15,16,18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,50,53,55.....),  et des nombres de la séquence Seq={0,2,5,7} congrus modulo 8, et dont la représentation est la séquence:

Seqcongra'=(0,2,5,15,8,10,21,23,16,26,29,31,32,34,37,47,40,42,53,55,48,58,61,63,64,66,69,79,

72,74,85,87,80,90,93,95,96). 

∴

Puis, nous obtenons la deuxième et nouvelle expression des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, congrus modulo b, en modifiant non plus le dénominateur comme précédemment, mais en modifiant le numérateur n, dans la sous expression a₂(n)=a₁(n)*b composant l'expression (5), soit a(n)=a₁(n)*b+a₃(n), et en remplaçant n par une variable de valeur |n-k|, et une modification qui est définie comme suit:

 ∀ k ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ z ∈ N*, ∀ w ∈ N*,.... ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({0, x, y, z, w...}), avec les nombres 2,3,4 au numérateur dans les sous-expressions n-2, n-3, n-4, dans l'expression (3) qui correspondent à la position des nombres x,y,z, par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre 0 dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}:

a(n)=(⌈|n-k|/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z..)        (7).  

∴

Pour illustrer l'expression (7) ci-dessus, prenons encore l'exemple des nombres de la séquence, SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,

48,50,53,55.....), et des nombres de la séquence Seq={0,2,5,7}, congrus modulo 8, et d'expression a(n)=(⌈n/4⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7, donc avec a=Card({0, x=2, y=5, z=7)=4 et b=8, et k=1; en remplaçant dans l'expression (7) nous obtenons a(n)=(⌈(n-1)/4⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7, une autre expression des nombres de la séquence SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,50,

53,55.....), et des nombres de la séquence Seq={0,2,5,7}, congrus modulo 8, et dont la représentation est la séquence, Seqcongr=(-8,2,5,7,0,10,13,15,8,18,21,23,16,26,29,31,24,34,37,

39,32,42,45,47,40,50,53,55,48,58,61,63,56). 

∴

1.b) Le cas particulier des expressions constitutives de la relation de congruence séquentielle d'ordre 1 et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

∴

Si nous avons donc précédemment écrit l'expression (3) des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, congrus modulo b, soit a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z..., avec a=Card({0,x,y,z,w...}), il faut remarquer que j'ai créé le terme de "congruence séquentielle d'ordre a", avec a la valeur du cardinal de l'ensemble {0,x,y,z,w...}, pour indiquer qu'il nous faut connaitre la valeur de ce cardinal pour calculer cette expression (3). En effet lorsque cette valeur a du cardinal de cet ensemble est égale à 1 alors si les expressions déterminées précédemment s'appliquent, elles se simplifient aussi par une autre expression (3''), ne s'appliquant pas pour la valeur a>1 du cardinal de cet ensemble {0,x,y,z,w...}. En effet pour a=1, l'expression (3) est définie comme précédemment comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({y})=1, et avec le nombre 1 correspondant à la position de l'élément dans la suite de nombres de l'ensemble considéré, ici {y}, au numérateur dans les sous expressions n-1, dans l'expression (3) qui correspond à la position du nombre y par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={y}:

a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-1)/a|⌉-⌊|n-1|/a⌋))*y=(n-1)*b+(1-(|n-1|-|n-1|))*y = (n-1)*b+y     (3'). 

Mais surtout pour a=1, donc la congruence séquentielle d'ordre 1, alors cette nouvelle expression des nombres de la séquence, Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la séquence, Seq={y}, congrus modulo b, (3'') devient possible, soit: 

a(n)=y-b*(n-1)              (3"). 

∴

Illustrons maintenant ces expressions (3') et (3''), en choisissant b=8, a=1, y=5, qui seront les valeurs des nombres de la première de ces deux expressions en général, des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la séquence Seq={y}, congrus modulo b,  et en particulier les deux expressions des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et du nombre de la séquence Seq={5}, congrus modulo 8, qui appliquées à l'expression (3'), soit a(n)=(⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-1)/1|⌉-⌊|n-1|/1⌋))*5=(n-1)*8+(1-(|n-1|-|n-1|))*5 = (n-1)*8+5, font que cette dernière expression de la congruence séquentielle aura pour représentation:  

Seqcongr=(5,13,21,29,37,45,53,61,69,77,85,93,101,109,117,125,133,141,149,157,165,173,181,

189,197,205,213...). Pour vérifier la relation de congruence entre les nombres de cette séquence et 5 modulo 8, nous effectuons le calcul de ((n-1)*8+5) mod 8, dont le résultat est représenté par une séquence de nombres égaux à 5 pour tout n>0.

Puis, en choisissant encore comme précédemment, b=8, a=1, y=5, qui seront les valeurs des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et du nombre de la séquence Seq={5}, congrus modulo 8, appliquées à l'expression (3''), soit a(n)=5-8*(n-1), cette dernière expression de la congruence séquentielle aura pour représentation:

Seqcongr=(5,-3,-11,-19,-27,-35,-43,-51,-59,-67,-75,-83,-91,-99,-107,-115,-123,-131,-139,-147,

-155..). Encore une fois pour vérifier la relation de congruence entre les nombres de cette séquence et 5 modulo 8, nous effectuons le calcul de (5-8*(n-1)) mod 8, dont le résultat est représenté par une séquence de nombres égaux à 5 pour tout n>0.

∴

La question que nous nous posons maintenant est celle de quelle est la différence entre l'expression de la séquence de nombres congrus à {y}modulo b et la séquence de nombres congrus à {0,y}modulo b.

Remarquons encore que cela ne revient pas comme précédemment à ne conserver dans l'expression (3) qu'une seule des trois sous expressions qui la composent pour obtenir l'expression a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-1)/a|⌉-⌊|n-1|/a⌋))*y=(n-1)*b+(1-(|n-1|-|n-1|))*y = (n-1)*b+y     (3'), car en fait il faut considérer que la nouvelle position de y n'est plus 1, mais 2 dans l'ensemble {0,y}, et a, le cardinal de {0,y}, n'est plus égal à 1 le cardinal de{y}, mais a=2, le nouveau cardinal de {0,y} et que cette nouvelle expression de la séquence des nombres congrus à {0,y}modulo b est définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({0, y})=2, et avec le nombre 2 au numérateur dans les sous expressions n-2, dans l'expression (11) qui correspondent à la position du nombre y par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre 0 dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,y}, la séquence des nombres congrus à {0,y} mod b, soit Seqcongr0y, a pour expression:

a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*y=(⌈n/2⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/2|⌉-⌊|n-2|/2⌋))*y       (11). 

Ainsi donc, cette différence d'expression (11) avec (3') répond à notre question du début de ce sous-paragraphe. Considérons maintenant encore un exemple avec comme précédemment quelques-unes des valeurs de l'expression de la SeqA04748, qui sont les valeurs de la séquence des nombres congrus à {0,2,5,7} modulo 8, soit b=8, a=2, et y=5, appliquées à l'expression (11) donnant l'expression (11') de la séquence de nombres congrus à {0,5} modulo 8, a(n)=(⌈n/2⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/2|⌉-⌊|n-2|/2⌋))*5, dont la représentation est la séquence Seqcongr=(0,5,8,13,16,21,24,29,32,37,40,45,48,53,56,61,64,69,72,77,80,85....). 

Nous remarquerons que lorsque l'on vérifie la congruence de cette séquence Seqcongr en remplaçant son expression (11') dans l'expression de a(n)=((⌈n/2⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/2|⌉-⌊|n-2|/2⌋))*5) mod 8, nous obtenons la séquence suivante, Seq=(0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,

0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,.). Son expression est celle de la fonction indicatrice caractéristique des nombres n de N* multiples de 2,et produits de la constante y=5, soit l'expression (10), a(n)=1A(a*n)*y=(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉)*y, et en remplaçant avec a=2, devient a'(n)=1A(2*n)*y=(1-⌈n/2-⌊n/2⌋⌉)*y, dont la représentation est comme précédemment pour l'expression de a(n)=((⌈n/2⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/2|⌉-⌊|n-2|/2⌋))*5) mod 8, comme suit: 

Seq=(0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5,0,5...).

∴

II) PROPRIÉTÉS DE LA RELATION DE CONGRUENCE SÉQUENTIELLE ÉQUIVALENTE AUX EXPRESSIONS DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND

∴

1.a) Les expressions constitutives du système à valeur séquentielle {x;y;z;k;l;m;n;...} et variable fixe, a, congrues modulo b, et de mêmes résidus d'unique valeur c, et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

∴

Dans cette première sous partie de notre deuxième sous-titre, consacrée aux propriétés de la relation de congruence séquentielle, nous considérons la propriété que nous déterminerons en répondant à la question de quelle est l'expression de la valeur de la variable, p, appartenant à une séquence de nombres {x;y;z;k;l;m;n;...}, tel que p, l'ensemble de tous ces nombres et la variable fixe, a, soient congrues modulo b, et en donnant le même résidu unique, c, telle que p soit égale au résidu, c, de cette même congruence, c'est-à-dire sachant que, a mod b=c, et{x;y;z;k;l;m;n;...}mod b=c, s'il existe un entier p ∈{x;y;z;k;l;m;n;...} ⊂ N*, tel que {x;y;z;k;l;m;n;...}≡ a (mod b) avec a mod b=c=p et avec {x;y;z;k;l;m;n;...}mod b=c=p. En particulier dans le cas de notre séquence spéciale de nombres {x;y;z;k;l;m;n;...} et, a, qui sont congrus modulo b, c'est-à-dire avec {x;y;z;k;l;m;n;...} mod b=a mod b=c   (1), nous considérons encore l'autre propriété de la congruence séquentielle que nous déterminerons aussi en donnant l'expression répondant à quelle est l'expression du rang de p en termes de position dans la séquence {x;y;z;k;l;m;n;...}. Rappelons tout d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence, soit que le rang est "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a le rang 0 ou 1, l’élément suivant a le rang 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)", terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme. Ainsi, "Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts: décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Ainsi, la fonction INDEX d'un élément d'une séquence renvoie une valeur ou une référence à une valeur provenant de la position de cet élément d'une suite d'un ensemble de nombres. La fonction RANG d'un élément d'une séquence renvoie une valeur correspondante au nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément. Ensuite nous définissons l'expression de la séquence de nombres {x;y;z;k;l;m;n;...}, tel que l'ensemble de tous ces nombres et la variable fixe choisie, a, soient congrus modulo b (aussi une variable fixe choisit), et de même résidu unique, c, selon plusieurs cas possibles suivants le signe de a et b, et donc soit premièrement comme suit:

Soit la valeur absolue ou module d'un nombre réel a, ou b, noté |a| ou |b| définie comme étant la valeur non négative de a ou b, quel que soit son signe, et plus particulièrement appliquée à notre méthode, l'expression définie comme suit:

Soit a mod b=c, ∀ n ∈ N*, ∀ c ∈ Z, ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b>0:

a(n)=a-b*(n-1)=a+b*(⌊a/b⌋-n+1)-b*⌊a/b⌋      (1)  

Nous vérifions bien que l'expression (1) est celle de la séquence de nombres appartenant à l'ensemble des nombres de Z appelé la séquence, Seqcongr, dont les éléments sont tous avec a, congrus modulo b, et dont la congruence à la propriété particulière que leur résidu est identique à c, c'est-à-dire que, a-b*(n-1) mod b=c, et a+b*(⌊a/b⌋-n+1)-b*⌊a/b⌋ mod b=c, sachant que, a mod b=c. Cette séquence a pour propriété qu'il existe une valeur appartenant à l'ensemble de ces éléments qui soit égale à l'unique résidu de la congruence des nombres de cette séquence et la valeur choisie, a, congrus modulo b. Pour déterminer cette valeur nous utilisons la fonction indicatrice caractéristique de cette unique valeur égale au résidu identique pour toutes les valeurs de cette séquence et a modulo b, et qui est définie comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b>0:

a(n)=| ( ⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉ +1-|⌊ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌋ +⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉|-⌈(a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ +1-|⌊ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌋ +⌈ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉| ) -2*( ⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉ -⌈ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ ) |      (4)   

Puis si nous multiplions cette expression (4) de la fonction indicatrice de cette valeur unique égale au résidu par l'expression de cette séquence nous obtenons l'expression nous donnant sa valeur, expression définie comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b>0:

a(n)=| ( ⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉ +1-|⌊ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌋ +⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉|-⌈(a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ +1-|⌊ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌋ +⌈ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉| ) -2*( ⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉ -⌈ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ ) | *  (a-b*(n-1))        (5) ↔  (4)*(1).    

Afin d'obtenir l'indexe de cette valeur correspondant à l'expression de la fonction INDEX qui donne l'indice de position de cette valeur suivant l'échelle ordonnée des entiers de la séquence N* nous utilisons encore la fonction indicatrice de cette fonction INDEX caractéristique de la position de cette valeur unique pour cette séquence particulière, Seqcongr, dont les éléments sont tous avec a, congrus modulo b, et dont la congruence à la propriété particulière que leur résidu est identique à c, c'est-à-dire que, a-b*(n-1) mod b=c, et a+b*(⌊a/b⌋-n+1)-b*⌊a/b⌋ mod b=c, et qui seulement pour cette séquence, est définie en deux parties comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b>0:

a(n)=⌈(a-b*(n-1)) / (|a-b*(n-1)|+1)⌉ +1-| ⌊ (a-b*(n-1)) / (|a-b*(n-1)|+1)⌋+⌈ (a-b*(n-1)) /(| a-b*(n-1)|+1)⌉ |       (6)

Puis en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), et 
nous obtenons l'expression (7) et deuxième partie de cette fonction INDEX, définie comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b>0:

a(n)=( ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i] ) * (4)= ( ∑ n=1→n=∞: [ ( ⌈ (a-b*(n-1)) / (|a-b*(n-1)|+1)⌉ +1-| ⌊ (a-b*(n-1)) / (|a-b*(n-1)|+1)⌋+⌈ (a-b*(n-1)) /(| a-b*(n-1)|+1)⌉ |  )i ]) *  (| ( ⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉ +1-|⌊ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌋ + ⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉|-⌈(a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ +1-|⌊ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌋ +⌈ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉| ) -2*( ⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉ -⌈ (a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ ) | )            (7), avec a(n)i=( ⌈ (a-b*(n-1)) / (|a-b*(n-1)|+1)⌉ +1-| ⌊ (a-b*(n-1)) / (|a-b*(n-1)|+1)⌋+⌈ (a-b*(n-1)) /(| a-b*(n-1)|+1)⌉ | )i ↔ (6).

Nous pouvons encore remarquer que cette valeur unique égal au résidu et élément de cette séquence des nombres qui avec a sont tous congrus modulo b et de mêmes résidus, correspond trivialement et visuellement seulement à un point d'inflexion dans cette séquence que cette valeur divise en deux parties. 

∴

Nous répétons maintenant la même méthode que précédemment pour obtenir l'ensemble des  résultats similaires correspondant aux différents cas du signe de a et b, avec soit la valeur absolue ou module d'un nombre réel a, ou b, noté |a|, ou |b| définie comme étant la valeur non négative de  a, ou b, quel que soit son signe, et plus particulièrement appliquée à notre méthode, l'expression définie comme suit:

Soit a mod b=c, ∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b<0:

a(n)=a-b*(n-1)=a+b*(⌊a/b⌋-n+1)-b*⌊a/b⌋      (1) 

Nous vérifions bien sûr que l'expression (1) est comme précédemment celle de la séquence de nombres appartenant à l'ensemble des nombres de Z appelé la séquence, Seqcongr, dont les éléments sont tous avec a, congrus modulo b, et dont la congruence à la propriété particulière que leur résidu est identique à c, c'est-à-dire que, a-b*(n-1) mod b=c, et a+b*(⌊a/b⌋-n+1)-b*⌊a/b⌋ mod b=c, sachant que, a mod b=c. Cette séquence a pour propriété qu'il existe une valeur appartenant à l'ensemble de ces éléments, telle qu'elle soit égale à la valeur unique, car identique au résidu de la congruence des nombres de cette séquence et la valeur choisie, a, congrus modulo b. Pour déterminer cette valeur nous utilisons la fonction indicatrice caractéristique de cette unique valeur égale au résidu identique pour toutes les valeurs de cette séquence et a modulo b, et qui est définie comme suit:

Soit a mod b=c, ∀ n ∈ N*, ∀ c ∈ Z, ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b<0:

a(n)=⌈(a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ -⌈(a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉                  (8)

Puis si nous multiplions encore cette expression (8) de la fonction indicatrice de cette valeur unique égale au résidu par l'expression de cette séquence nous obtenons l'expression nous donnant sa valeur et qui est définie comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b<0:

a(n)=(⌈(a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ -⌈(a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉ )*(a-b*(n-1))      (9)

Afin d'obtenir encore comme précédemment l'indexe de cette valeur correspondant à l'expression de la fonction INDEX donnant l'indice de position de cette valeur suivant l'échelle ordonnée des entiers de la séquence N* nous utilisons encore la fonction indicatrice de cette fonction INDEX caractéristique de la position de cette valeur unique pour cette séquence particulière, Seqcongr, dont les éléments sont tous avec a, congrus modulo b, et dont la congruence à la propriété particulière que leur résidu est identique à c, c'est-à-dire que, a-b*(n-1) mod b=c, et a+b*(⌊a/b⌋-n+1)-b*⌊a/b⌋ mod b=c, sachant que, a mod b=c, et qui seulement pour cette séquence, est définie en deux parties comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b<0:

a(n)=1-⌈(a-b*(n-1)) /(|a-b*(n-1)|+1)⌉         (10)

a(n)=⌈ (|⌊ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌋+⌈(a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉|-⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉+(⌈(a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ -⌈(a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1) ⌉ ))  / ((|⌊ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌋+⌈(a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉|-⌈ (a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉+(⌈(a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ -⌈(a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1) ⌉ )+1) ⌉          (10) '

Puis toujours comme précédemment en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), nous obtenons la deuxième partie de l'expression de la fonction INDEX définie comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b<0:

a(n)= ( ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i] ) * (8) =( ∑ n=1→n=∞: [ ( 1-⌈(a-b*(n-1)) /(|a-b*(n-1)|+1)⌉ )i ] )* (⌈(a-b*n)/(|a-b*n|+1)⌉ -⌈(a-b*(n-1))/(|a-b*(n-1)|+1)⌉ )       (10),  avec a(n)i=( 1-⌈(a-b*(n-1)) /(|a-b*(n-1)|+1)⌉ )i ↔ (11).

∴

Nous répétons maintenant encore la même méthode que précédemment pour obtenir l'ensemble des résultats similaires correspondant aux différents cas du signe de a et b, avec soit la valeur absolue ou module d'un nombre réel a, ou b, noté |a|, ou |b| définie comme étant la valeur non négative de a, ou b, quel que soit son signe, et plus particulièrement appliquée à notre méthode, l'expression définie comme suit:

Soit a mod b=c, ∀ n ∈ N*, ∀ c ∈ Z, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b<0:

a(n)=a+b*(n-1)=a-b*(⌈a/b⌉-n+1)-b*⌊a/b⌋        (2)

a(n)=a+b*(n-2)         (2)'

Nous vérifions bien sûr que l'expression (2) est comme précédemment celle de la séquence de nombres appartenant à l'ensemble des nombres de Z appelé la séquence, Seqcongr, dont les éléments sont tous avec a, congrus modulo b, et dont la congruence à la propriété particulière que leur résidu est identique à c, c'est-à-dire que, a+b*(n-1) mod b=c, et a-b*(⌈a/b⌉-n+1)-b*⌊a/b⌋  mod b=c, sachant que, a mod b=c. Cette séquence a pour propriété qu'il existe une valeur appartenant à l'ensemble de ces éléments et telle qu'elle soit égale à la valeur unique, car identique au résidu de la congruence des nombres de cette séquence et la valeur choisie, a, congrus modulo b. Pour déterminer cette valeur nous utilisons la fonction indicatrice caractéristique de cette unique valeur égale au résidu identique pour toutes les valeurs de cette séquence et a modulo b, et qui est définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b<0:

 a(n)=⌈(a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1)⌉+1- | ⌊(a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1)⌋ + ⌈ (a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1) ⌉ | - ⌈ (a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉+1-| ⌊ (a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌋ +⌈(a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉ |-(1-⌊ (a+b*(n-2)) / ( | a+b*(n-2) |+1)⌋ +⌈(a+b*(n-2)) /( |a+b*(n-2)|+1)⌉ | )-(1-⌈ | a+b*(n-1) | / ( | a+b*(n-1) | +1) ⌉ )                                      (12)      

Puis si nous multiplions encore cette expression (12) de la fonction indicatrice de cette valeur unique égale au résidu par l'expression de cette séquence nous obtenons l'expression nous donnant sa valeur et qui est définie comme suit:    

∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b<0:

                                            

a(n)=(  ⌈(a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1)⌉+1- |  ⌊(a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1)⌋ + ⌈ (a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1) ⌉ | - ⌈ (a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉+1-| ⌊ (a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌋ +⌈(a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉ |-(1-⌊ (a+b*(n-2)) / ( | a+b*(n-2) |+1)⌋ +⌈(a+b*(n-2)) /( |a+b*(n-2)|+1)⌉ | )-(1-⌈ | a+b*(n-1) | / ( | a+b*(n-1) | +1) ⌉ ) ) *  ( a+b*(n-1) )                     (13) ↔ (12)*(2) .

Afin d'obtenir encore comme précédemment l'indexe de cette valeur correspondant à l'expression de la fonction INDEX donnant l'indice de position de cette valeur suivant l'échelle ordonnée des entiers de la séquence N* nous utilisons encore la fonction indicatrice de cette fonction INDEX caractéristique de la position de cette valeur unique pour cette séquence particulière, Seqcongr, dont les éléments sont tous avec a, congrus modulo b, et dont la congruence à la propriété particulière que leur résidu est identique à c, c'est-à-dire que, a+b*(n-1) mod b=c, et a-b*(⌈a/b⌉-n+1)-b*⌊a/b⌋  mod b=c, sachant que, a mod b=c, et qui seulement pour cette séquence, est définie en deux parties comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec a>0 et b<0:

a(n)=⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉                (14)

Puis toujours comme précédemment en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), nous obtenons la deuxième partie de l'expression de la fonction INDEX définie comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N* , ∀ b ∈ Z*, a>0 et b<0: 

a(n)=( ∑ n=1→n=∞: [a(n)i] ) * (12)=( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉ )i ] ) * ( ⌈(a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1)⌉+1- | ⌊(a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1)⌋ + ⌈ (a+b*(n-2)) / (|a+b*(n-2)|+1) ⌉ | - ⌈ (a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉+1-| ⌊ (a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌋ +⌈(a+b*(n-1)) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉ |-(1-⌊ (a+b*(n-2)) / ( | a+b*(n-2) |+1)⌋ +⌈(a+b*(n-2)) /( |a+b*(n-2)|+1)⌉ | )-(1-⌈ | a+b*(n-1) | / ( | a+b*(n-1) | +1) ⌉ ))         (15), avec a(n)i=(⌈(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉ )i ↔ (14).

∴

Nous répétons maintenant encore la même méthode que précédemment pour obtenir l'ensemble des résultats similaires correspondant aux différents cas du signe de a et b, avec soit la valeur absolue ou module d'un nombre réel a, ou b, noté |a|, ou |b| définie comme étant la valeur non négative de a, ou b, quel que soit son signe, et plus particulièrement appliquée à notre méthode, l'expression définie comme suit:

Soit a mod b=c, ∀ n ∈ N*, ∀ c ∈ Z, ∀ a ∈ N*,  ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b>0:

a(n)=a+b*(n-1)=a-b*(-⌈a/b⌉-n+1)+b*⌊a/b⌋      (3)

a(n)=a+b*(n-2)         (3)'

Nous vérifions bien sûr que l'expression (3) est comme précédemment celle de la séquence de nombres appartenant à l'ensemble des nombres de Z appelé la séquence, Seqcongr, dont les éléments sont tous avec a, congrus modulo b, et dont la congruence à la propriété particulière que leur résidu est identique à c, c'est-à-dire que, a+b*(n-1) mod b=c, et a-b*(-⌈a/b⌉-n+1)+b*⌊a/b⌋  mod b=c, sachant que, a mod b=c. Cette séquence a pour propriété qu'il existe une valeur appartenant à l'ensemble de ces éléments, telle qu'elle soit égale à la valeur unique, car identique au résidu de la congruence des nombres de cette séquence et la valeur choisie, a, congrus modulo b. Pour déterminer cette valeur nous utilisons la fonction indicatrice caractéristique de cette unique valeur égale au résidu identique pour toutes les valeurs de cette séquence et a modulo b, et qui est définie comme suit:

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b>0:

a(n)=(| ( ⌈(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉+1-|⌊ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉|-⌈(a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1) ⌉ +1-| ⌊ (a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1)⌋+⌈ (a+b*(n-1) ) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉ | )  - 2*(⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉ - ⌈ (a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1)⌉ ) |) *(|⌊(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉ 
|-⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉ )        (16)

Puis si nous multiplions encore cette expression (16) de la fonction indicatrice de cette valeur unique égale au résidu par l'expression de cette séquence nous obtenons l'expression nous donnant sa valeur et qui est définie comme suit:   

 

∀ n ∈ N*,  ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b>0:

a(n)=( (| ( ⌈(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉+1-|⌊ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉|-⌈(a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1) ⌉ +1-| ⌊ (a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1)⌋+⌈ (a+b*(n-1) ) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉ | )  - 2*(⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉ - ⌈ (a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1)⌉ ) |) *(|⌊(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉ 
|-⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉ )  ) * ( a+b*(n-1) )       (17) ↔ (16)*(3) 

Afin d'obtenir encore comme précédemment l'indexe de cette valeur correspondant à l'expression de la fonction INDEX donnant l'indice de position de cette valeur suivant l'échelle ordonnée des entiers de la séquence N* nous utilisons encore la fonction indicatrice de cette fonction INDEX caractéristique de la position de cette valeur unique pour cette séquence particulière, Seqcongr, dont les éléments sont tous avec a, congrus modulo b, et dont la congruence à la propriété particulière que leur résidu est identique à c, c'est-à-dire que, a+b*(n-1) mod b=c, et a-b*(-⌈a/b⌉-n+1)+b*⌊a/b⌋ mod b=c, sachant que, a mod b=c, et qui seulement pour cette séquence, est définie en deux parties comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec a<0 et b>0:

a(n)=| ⌊(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉ | - ⌈(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉       (18)

Puis toujours comme précédemment en définissant tout d'abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞ : [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.), nous obtenons la deuxième partie de l'expression de la fonction INDEX définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*,  a<0 et b>0:

a(n)=( ∑ n=1→n=∞: [a(n)i])*(16)= ( ∑ n=1→n=∞: [ ( | ⌊(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉ |- ⌈(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉   )i ] ) *  ((| ( ⌈(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉+1-|⌊ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉|-⌈(a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1) ⌉ +1-| ⌊ (a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1)⌋+⌈ (a+b*(n-1) ) / (|a+b*(n-1)|+1)⌉ | )  - 2*(⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉ - ⌈ (a+b*(n-1) )/(|a+b*(n-1)|+1)⌉ ) |) *(|⌊(a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉ |-⌈ (a+b*(n-2) )/(|a+b*(n-2)|+1)⌉ ))               (19), avec a(n)i=(| ⌊(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1)⌋+⌈(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉ |- ⌈(a+b*(n-2))/(|a+b*(n-2)|+1) ⌉  )i ↔ (18).

∴

L'utilité de cette exposition de la propriété de la congruence séquentielle est qu'elle est constitutive dune des étapes principales dans le calcul de l'expression systématique d'un inverse multiplicatif modulaire en une séquence de nombres comme nous allons le montrer dans le sous-titre suivant.

∴

2.b) Les expressions de l'inverse multiplicatif modulaire d'un entier relatif, A, pour la multiplication modulo b, et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

∴

Cette deuxième sous partie est consacrée à l'une des propriétés de la relation de congruence non séquentielle étendue à la relation de congruence séquentielle, soit l'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre b toujours défini comme suit: 

∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ N*, ∀ b ∈ Z*,  A⁻¹ est l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, si a(n)=A⁻¹ →(A*A⁻¹) ≡ 1(mod b) ↔ A*A⁻¹ mod b=1     (0), signifiant que l'inverse multiplicatif modulaire d’un entier A est un entier A⁻¹ tel que le produit A*A⁻¹ est congru à 1 modulo b, et que si cet entier A⁻¹ existe alors PGCD(A, b)=1. 

Cette propriété d'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre b, en arithmétique modulaire est similaire à celle de l'inverse en arithmétique non modulaire. En effet, si tous les nombres réels autres que 0 ont un inverse et que multiplier un nombre A par l'inverse 1/A équivaut à diviser par A, avec A*(1/A)=1, l'opération de division n'est pas définie en arithmétique modulaire, mais il existe néanmoins l'inverse modulaire noté A⁻¹ tel que, A*A⁻¹ mod b=1, mais avec A⁻¹≠(1/A), donc seulement une équivalence de notation sinon avec A⁻¹=(1/A), entre inverse en arithmétique modulaire et inverse en arithmétique non modulaire, car nous avons l'égalité A*A⁻¹ mod b=1 ↔ 1 mod b=1 ≢  A*A⁻¹ =1 ↔ A*1/A=1. Néanmoins, si lorsque A*x ≡ 1 (mod b), a une solution, elle est souvent notée ainsi, A⁻¹, cela peut être considéré comme un abus de notation puisque cet inverse pourrait être interprété à tort comme l'inverse de A (qui, contrairement à l'inverse multiplicatif modulaire, n'est pas un entier sauf lorsque a vaut 1 ou -1). Ainsi, l'inverse de A modulo b existe, si et seulement si A et b sont premiers entre eux, c'est-à-dire si le PGCD(A, b)=1, ou bien encore que seuls les nombres premiers avec b qui sont les nombres qui ne partagent aucun facteur premier avec b ont un inverse modulaire (mod b). Si cet inverse existe, l'opération de division par A modulo b équivaut à la multiplication par son inverse modulaire de A (mod b) qui est A⁻¹, avec (A* A⁻¹ ) ≡ 1 (mod b) ou de manière équivalente (A* A⁻¹ ) mod b=1.

∴

Donc nous considérons maintenant dans tout ce que nous écrirons par la suite, la définition inorthodoxe de l'inverse multiplicatif modulaire c'est-à-dire sans la restriction du domaine de définition de départ et d'arrivée de la fonction en théorie des nombres ("En théorie des nombres, une fonction arithmétique, arithmétique ou théorique des nombres est pour la plupart des auteurs toute fonction f(n) dont le domaine est constitué des entiers positifs et dont l'étendue est un sous-ensemble des nombres complexes. Ainsi en d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par ℕ*.") d'inverse multiplicatif modulaire, c'est-à-dire que nous considérons les entiers négatifs et les entiers positifs, mais aussi les nombres rationnels s'exprimant comme le quotient de deux entiers relatifs que l'on écrit sous forme de fractions notées a/b où a, le numérateur, est un entier relatif et b, le dénominateur, est un entier relatif non nul. Graduellement, je restreindrais au fil de ce sous-titre les domaines de départ et d' arrivée non conforme à la définition soit,  ∀ A ∈ Z, A⁻¹ est l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, si (A* A⁻¹ ) ≡ 1 (mod b) ou de manière équivalente (A* A⁻¹ ) mod b=1, avec A⁻¹ ∈ R; jusqu'à obtenir un algorithme rigoureusement défini en théorie des nombres de l'inverse multiplicatif modulaire, soit, ∀ A ∈ Z, A⁻¹ est l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, si (A* A⁻¹ ) ≡ 1 (mod b) ou de manière équivalente (A* A⁻¹ ) mod b=1, avec A⁻¹ ∈  Z; et l'inverse de A modulo b existe, si et seulement si A et b sont premiers entre eux, c'est-à-dire si le PGCD(A, b)=1, ou bien encore que seuls les nombres premiers avec b qui sont les nombres qui ne partagent aucun facteur premier avec b ont un inverse modulaire (mod b).

∴

Nous connaissons déjà l'expression équivalente aux expressions de ce qui sont appelées  en théorie des nombres les fonctions plancher, plafond et modulo, de cet inverse A⁻¹ multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre b, puisque nous avons écrit cette expression dans la rubrique intitulée, "88: 1'A XXXXII NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE EN ARITHMÉTIQUE MODULAIRE: La congruence non séquentielle". Mais nous avons seulement écrit l'expression d'équivalence modulaire de cet inverse A⁻¹ multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo b, pour deux nombres donnés A et b, et non pas pour une suite de nombres donnés, et pour écrire l'expression équivalente systématique de A⁻¹≠1/A, soit l'inverse multiplicatif modulaire d'un entier relatif A pour la multiplication modulo b, avec A*A⁻¹ le nombre appartenant à une séquence de nombres congrus b modulo 1, soit A*A⁻¹ ∈ {x;y;z;k;l;m;n;...} ⊂ Z*, et satisfaisant l'expression (0), A*A⁻¹ ≡ 1(mod b), nous nous intéresserons tout d'abord aux nombres de la séquence {x;y;z;k;l;m;n;...}, et 1 qui sont congrus modulo b, que nous appellerons Seqcongres1={x; y; z; k; l; m; n;...} ∈ Z*, un sous-ensemble des entiers relatifs et dont le résidu est systématiquement 1. Or nous avions précédemment écrit au Titre I) intitulé "LA RELATION DE CONGRUENCE SÉQUENTIELLE ÉQUIVALENTE AUX EXPRESSIONS DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND", et au sous-titre 1.b) intitulé "Le cas particulier des expressions constitutives de la relation de congruence séquentielle d'ordre 1 et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo",  l'expression (3') et (3'') de Seqcongr{y}, la séquence de nombres et A, la valeur de la variable choisie dans l'expression A mod b, congrus modulo b, avec a'=Card({y})=1, étais définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* , ∀ a' ∈ N* avec a'=Card({y})=1, et avec le nombre 1 correspondant à la position de l'élément dans la suite de nombre de l'ensemble considéré, ici {y}, au numérateur dans les sous expressions n-1, dans l'expression (3) qui correspond à la position du nombre y par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={y}. Or dans le cas particulier de a=1 et y=1, avec a'=1, la séquence des nombres Seqcongr{y=1} et 1 congrus modulo b, a pour expression:

a(n)=(⌈n/a'⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-1)/a'|⌉-⌊|n-1|/a'⌋))*y=(n-1)*b+(1-(|n-1|-|n-1|))*y = (n-1)*b+y=(n-1)*b+1     (3'). 

Mais surtout pour a'=1, donc la congruence séquentielle d'ordre 1, alors cette nouvelle expression (3'') devient possible pour a'=1, soit: 

a(n)=y-b*(n-1)=1- b*(n-1).             (3''). 

Donc nous obtenons deux expressions modulaires ayant le même résidu 1 modulo b, et dont la définition est comme suit:

a(n)=1- b*(n-1) mod b    (2),  et 

a(n)=(n-1)*b+1    (2'). 

Maintenant ces deux dernières expressions précédentes nous permettent d'écrire la première expression de la séquence de nombres inverses multiplicatifs modulaire d'un entier relatif A pour la multiplication modulo b, avec A*A⁻¹ le nombre appartenant à une séquence de nombres congrus b modulo 1, soit A*A⁻¹ ∈ {x;y;z;k;l;m;n;...} ⊂ Z*, et satisfaisant l'expression (0), A*A⁻¹ ≡ 1(mod b), définie comme suit:

a(n)=A*A⁻¹ mod b =1 → A=1- b*(n-1) ∧ A⁻¹ = (n-1)*b+1∨ A=(n-1)*b+1 ∧ A⁻¹=1- b*(n-1)     (2'')

a(n)=A*A⁻¹ mod b =1  ↔ (1- b*(n-1) )*((n-1)*b+1) mod b =1      (2''')

∴

 Prenons un exemple pour illustrer l'expression précédente (2)'' correspondant la séquence d'inverse

∴

Considérons à nouveau ce que nous avions écrit au Titre I) intitulé "LA RELATION DE CONGRUENCE SÉQUENTIELLE ÉQUIVALENTE AUX EXPRESSIONS DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND", mais cette fois-ci, au sous-titre 1.a) intitulé "Les expressions constitutives du système à valeur séquentielle {x; y; z; k; l; m; n ;} et variable fixe, a, congrues modulo b, et de mêmes résidus d'unique valeur c, et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo", soit l'expression (3), a(n)=a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z.... et remarquons que si nous conservons de l'expression (3), qu'une seule des sous expressions qui la compose et plus particulièrement celle qui correspondant à une seule valeur comme précédemment celle de y de ce sous-ensemble {0,x,y,z,w...}, avec l'expression (3) toujours définie comme précédemment, soit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ z ∈ N*, ∀ w ∈ N*,.... ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({0, x, y, z, w...}), avec les nombres 2,3,4 au numérateur dans les sous-expressions n-2, n-3, n-4, dans l'expression (3) qui correspondent à la position des nombres x,y,z, par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre 0 dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, l'expression (3) des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...} modulo b, est définie comme suit:

a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z....(3) 

Par exemple en ne gardant dans l'expression (3) que la sous expression contenant la variable y d'index 3, c'est-à-dire, a(n)=(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y, et la sous expression générique du modulo b quelle que soit les variables de l'ensemble {0,x,y,z,w...}, mais modifiée avec le réel cardinal de l'ensemble considéré soit, card({y})=a'=1 remplaçant le cardinal de a=Card({0, x, y, z, w...}), c'est-à-dire, a(n)=(⌈n/a'⌉-1)*b=(⌈n/1⌉-1)*b au lieu de, a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b, et nous obtenons ainsi l'expression modifiée de (3) définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ z ∈ N*, ∀ w ∈ N*... ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({0, x, y, z, w...}), avec les nombres 2,3,4 au numérateur dans les sous-expressions n-2, n-3, n-4, dans l'expression (3) qui correspondent à la position des nombres x,y,z, par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre 0 dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, et donc soit la l'index égal à 3 du nombre y dans la suite des nombres de l'ensemble {0,x,y,z,w...}:

a(n)=(⌈n/1⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-3)/a|⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y       (4). 

Si cette expression (4) n'est évidemment plus celle des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, congrus modulo b, cette expression (4) n'est pas non plus celle de l'expression des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et du nombre de la séquence Seq={y} congrus modulo b, mais elle est l'expression des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et du nombre de la séquence Seq={0,0,0,y}, congrus modulo b. 

La représentation de la séquence correspondante à la vérification de la congruence séquentielle d'expression (4), avec l'expression a(n)=(⌈n/1⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-3)/a|⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y  mod b      (5'), qui ne doit être égale qu'aux nombres 0 ou 5, qui sont les nombres de la séquence Seq={0,0,0,y}, est Seqcongr=(0,0,y,0,0,0,y,0,0,0,y,0,0,0,y,0,0,0,y,0,0,0,y,0,0,0,y,0,0,0,y,0,0,0,y,0,0,0,

y,0,..). Nous remarquons que la structure à quatre éléments répétés observable dans cette séquence est tronquée dans la première partie de cette structure avec au commencement de celui-ci, le nombre, 0, un des quatre éléments, manquant. Pour y remédier il suffit de réécrire l'expression (4) puis (5'), comme suit:

a(n)=(⌈(n-1)/1⌉-1)*b+(1-(⌈|((n-1)-3)/a|⌉-⌊|(n-1)-3|/a⌋))*y                    (4'). 

a(n)=(⌈(n-1)/1⌉-1)*b+(1-(⌈|((n-1)-3)/a|⌉-⌊|(n-1)-3|/a⌋))*y  mod b        (5').

Maintenant, nous remarquons que l'expression (5'), est en fait celle d'une séquence  caractéristique dont les éléments de l'ensemble{0,1} sont multipliés par une valeur fixe, y, mais bien plus encore, l'expression (5') est l'expression d'une fonction indicatrice qui est multipliée par y. C'est-à-dire, que l'expression vérifiant la congruence, soit, a(n)=((⌈n/1⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-3)/a|⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y) mod b=y    (5'), est en fait une expression équivalente à l'expression a(n)=1A(a*n)*y,  (6'), avec l'expression 1A(a*n) d'une fonction indicatrice définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(a*n)=1, si n=a*n
• 1A(a*n)=0, si n≠a*n

Cette fonction indicatrice particulière des éléments n de N* qui sont multiples de a est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(a*n)=1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉       (6).

Donc, nous obtenons en remplaçant dans (6') ↔  (5'), par l'expression (6), nous obtenons l'expression définie comme suit:

a(n)=1A(a*n)*y=(1-⌈n₊₁/a-⌊n₊₁/a⌋⌉)*y      (6') 

 

a(n)=1A(a*n)*y=( (⌈n/1⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-3)/a|⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y) mod b     (5').

Nous pouvons encore écrire l'expression modulaire équivalente à l'expression (6) de la fonction indicatrice de la séquence caractéristique des éléments n de N* qui sont multiples de a, soit l'expression 1A(a*n), comme suit:

a(n)=1A(a*n)=(1-⌈n₊₁/a-⌊n₊₁/a⌋⌉)             (6).

a(n) =(⌈n/1⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-3)/a|⌉-⌊|n-3|/a⌋)) mod b               (5).

Rappelons que les variables a, b et n dans toutes les expressions précédentes sont définies comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ y ∈ N*, ∀ z ∈ N*, ∀ w ∈ N*,.... ∀ α ∈ N*, ∀ β ∈ N*,... ∀ b ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a=Card({0,x,y,z, w...}), et avec les nombres 2,3,4... au numérateur dans les sous-expressions n-2, n-3, n-4,... dans l'expression (3), celle des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, congrus modulo b, soit a(n)=(⌈n/a⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-2)/a|⌉-⌊|n-2|/a⌋))*x+(1-(⌈|(n-3)/a⌉-⌊|n-3|/a⌋))*y+(1-(⌈|(n-4)/a|⌉-⌊|n-4|/a⌋))*z...., et qui correspondent à la position des nombres x,y,z,.... par rapport à l'offset égal à 1 du premier nombre 0 dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, et donc soit la position égale à 3 du nombre y dans la suite des nombres de l'ensemble{0,x,y,z,w...}.

∴

Illustrons maintenant ces expressions (4), (5), (6), (5') et (6'), toujours par les mêmes variables tirées du même exemple que précédemment avec b=8, a=4, et x=2, y=5, z=7, qui sont les valeurs correspondantes à celles des nombres de la séquence{0; x=2; y=5; z=7}, et des nombres de la séquence, SeqA047481=(0,2,5,7,8,10,13,15,16,18,21,23,24,26,29,31,32,34,37,39,40,42,45,47,48,

50, 53,55...), congrus modulo b, d'expression a(n)=(⌈n/4⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2+(1-(⌈ |(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5+(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7             (3). 

La représentation de la séquence d'expression (4), soit a(n)=(⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5 donc avec l'élimination des sous expressions de a₂(n)=(1-(⌈|(n-2)/4|⌉-⌊|n-2|/4⌋))*2, et de a₃(n)=(1-(⌈|(n-4)/4|⌉-⌊|n-4|/4⌋))*7, mais en gardant la même valeur, a=Card({0, x=2, y=5, z=7)=4 que dans l'expression (3), sauf pour la sous expression a₁(n)=(⌈n/4⌉-1)*8 qui est modifiée en devenant l'expression a'₁(n)=(⌈n/1⌉-1)*8, ainsi qu'en gardant la même valeur d'index, 3, de la valeur y=5, la position de y dans l'ensemble des nombres de la séquence Seq={0,x,y,z,w...}, de l'expression (3), la représentation de la séquence d'expression (4) donc, est Seqcongr=(0,8,21,24,

32,40,53,56,64,72,85,88,96,104,117,120,128,136,149,152,160,168,181,184,192,200,213,216,224,232,245). 

Puis, la séquence correspondante à l'expression (5'), soit a(n)=(⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5 mod 8=(1-⌈n₊₁/4-⌊n₊₁/4⌋⌉)*5, a pour représentation la séquence, Seq=(0,0,5,0,0,0,5,0,0,

0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,..). Les nombres de cette séquence sont non seulement la suite des nombres résidus des nombres de la séquence précédente Seqcongr=(0,8,21,24,32,40,53,56,64,72,85,88,96,104,117,120,128,136,149,152,160,168,181,184,

192,200,213,216,224,232,245) modulo 8, mais encore avec ces mêmes nombres toujours de la séquence précédente ils sont aussi congrus modulo 8.

Nous constatons que cette séquence, Seq=(0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,

0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,..), correspond à la multiplication de la valeur de la variable y=5 par l'expression de la fonction caractéristique de N* des multiples de 4, soit les deux expressions équivalentes comme suit de a(n) =1A(4*n₊₁)=(⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋)) mod 8   (5), et de a(n)=1-⌈n₊₁/4-⌊n₊₁/4⌋⌉      (6),  dont la représentation correspond pour ces deux expressions (5) et (6), à celle de la fonction indicatrice de la caractéristique des nombres entiers de N* multiple de 4, soit la séquence, Seq(1A(4*n₊₁))=(0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,

0,0,1,0,0,0,1,0....). 

∴

 Nous allons maintenant montrer que ces propriétés dérivées de l'expression de la congruence séquentielle précédemment, sont en fait aussi celle de l'une des propriétés particulières de la relation de congruence séquentielle, soit, l'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre A modulo un autre nombre B défini comme suit: 

∀ n ∈ N*, ∀ A ∈ N*, ∀ b ∈ Z*,  A⁻¹ est l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, si a(n)=A⁻¹ →(A*A⁻¹) ≡ 1(mod b) ↔ A*A⁻¹ mod b=1     (0).

En effet nous remarquons tout d'abord du seul point de vue formelle que l'équivalence entre les deux expressions modulaires (5) et non modulaires (6) de la fonction indicatrice de la caractéristique des nombres multiples permet de rajouter à l'expression non modulaire (6) une information contenue dans le forme de l'expression modulaire (5) dont le résultat ou résidu est la valeur 1 ou 0 c'est-à-dire que le nombre dont l'expression générale est, a(n)=(⌈n/1⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-3)/a|⌉-⌊|n-3|/a⌋)) mod b=(1-⌈n₊₁/a-⌊n₊₁/a⌋⌉) correspond  au résultat de l'opération en arithmétique modulaire de A*A⁻¹ mod b=1, c'est-à-dire correspond au résultat égal à, 1, de la multiplication de deux nombres, A*A⁻¹ modulo b, et sachant que A⁻¹ est défini comme étant l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, c'est-à-dire que comme précédemment, A*A⁻¹ mod b=1 ↔ (A*A⁻¹) ≡ 1(mod b). Ainsi toute fonction indicatrice d'une séquence caractéristique et dont les valeurs de cette fonction appartiennent aux seuls éléments de la séquence des nombres, Seq{0,1}, est équivalente à l'expression de l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, soit A*A⁻¹ mod b=1; sinon équivalente à l'expression du non inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, soit A*X mod b=0, mais aussi équivalente à l'expression d'un multiple de A, correspondant à la propriété du résidu de A*X modulo b égal à zéro. C'est donc une propriété de l'arithmétique modulaire que l'expression (6), a(n)=1-⌈n₊₁/a-⌊n₊₁/a⌋⌉, n'exprime pas de par sa forme non modulaire et ce bien qu'elle soit équivalente à l'expression  (5),  a(n)=(⌈n/1⌉-1)*b+(1-(⌈|(n-3)/a|⌉-⌊|n-3|/a⌋)) mod b qui l'exprime de par sa forme modulaire.

Mais l'autre utilité de cette simple observation précédente du point de vue formel, est plus dans sa pratique appliquée à la détermination de la valeur du nombre A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire de A modulo b, vérifiant l'expression, a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1). En effet, en partant du particulier d'un exemple numérique pour aboutir au général c'est-à-dire en reprenant tout d'abord avant de généraliser, les valeurs de notre exemple précédent, si le nombre de la séquence, Seqcongr=(0,8,21,24,32,40,53,56,64,72,85,88,96,104,117,120,128,136,149,152,160,168,181,184,

192,200,213,216,224,232,245) d'expression (4), caractérisée par la fonction indicatrice de la suite des nombres caractéristique de la suite des nombres entiers de N* multiple de 4, la séquence, Seq(1A(4*n₊₁)=(0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,....) d'expression (5) ou (6), c'est-à-dire la séquence dont l'expression est obtenue par la multiplication de l'expression (4) par l'expression (5) ou (6), soit appliquée à notre exemple, l'expression, 

a(n)=((⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5) * (⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋)) mod 8     (7), et, Seqcongr=(0,0,21,0,0,0,53,0,0,0,85,0,0,0,117,0,0,0,149,0,0,0,181,0,0,0,213,0,0,0,245). Cette nouvelle séquence de nombre d'expression entre autres, a(n)=((⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5) * (⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋)) mod 8     (7), est en fait la séquence des nombres A⁻¹ multiplicatif inverse du même nombre A modulo b, avec la séquence des nombres A correspondante à l'expression (5') et (6'), soit a(n)=(⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5 mod 8=(1-⌈n₊₁/4-⌊n₊₁/4⌋⌉)*5, dont la représentation est, Seq=(0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,

5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,0,0,5,0,..), et avec la séquence des nombres A*A⁻¹ dont l'expression est a(n)= ( (⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5 ) * ( (⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋)) mod 8 ) * (  (⌈n/1⌉-1)*8+(1-(⌈|(n-3)/4|⌉-⌊|n-3|/4⌋))*5 mod 8 )      (8), dont la représentation est Seq=(0,0,

105,0,0,0,265,0,0,0,425,0,0,0,585,0,0,0,745,0,0,0,905,0,0,0,1065,0,0,0,1225,0,0,0,1385,0,0,0,1545,0,...). 

∴

a(n)=(n*b+(1-(⌈|(n₊₁-3)/a)⌉-⌊|n₊₁-3)/a⌋))+1/(n*b))*n*b        (9)

a(n)=(n*b+(1-(⌈|(n₊₁-3)/a)⌉-⌊|n₊₁-3)/a⌋))*b+1/(n*b))*n*b       (9')

∴

∴

∴

∴ ∴ ∴

Contrairement à précédemment, nous considérons maintenant l'élaboration d'une méthode généralisée comprenant plusieurs étapes pour aboutir à écrire un algorithme de l'expression systématique de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo un nombre b, d'un nombre A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), et nous nous intéresserons tout d'abord aux nombres appartenant à l'ensemble des nombres de la séquence, Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, un sous-ensemble des entiers relatifs, et le nombre, a, congrus modulo b, et tels que {α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..} mod b = a mod b=c, donc la relation de congruence que nous écrivons, Seqcongr ≡a mod b (mod b)=c   (2); et plus particulièrement, nous nous intéresserons au cas particulier de cette expression (1) de c=1, soit Seqcongr ≡a mod b (mod b)=c=1   (2'), sachant que, a et b, sont deux variables fixes de notre choix de l'ensemble des nombres entiers relatifs, a ∈ Z, b ∈ Z*. 

Ainsi donc les premières étapes à l'élaboration de notre méthode systématique de l'expression des nombres de cette séquence notée Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,.}, et de la variable a, qui sont congrus modulo b, nous viennent en considérant le quotient q et le reste r d'une division euclidienne de a divisé par b s'écrit a=b*q+r, avec |r|<|q|, et donc nous avons a-b*q=r, avec |r|<|q|. Étant donné deux nombres positifs a et b, en calcul modulaire c'est-à-dire avec l'opérateur modulo, la relation a modulo b, abrégée a mod b, est le reste de la division euclidienne de a par b, où a est le dividende et b est le diviseur ou module. Donc sachant que le reste r correspond à notre variable choisie c, alors nous obtenons les deux premières expressions de nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,} et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit: 

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*,∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b: 

 a(n)=a-b*(n-x) ↔ a(n)= -b*(n-x-a/b)        (10). 

Cette dernière expression est équivalente à cette deuxième expression des nombres de la séquence Seqcongr et a congrus modulo b, qui sont définis comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*,∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b:  

a(n)=a+b*(⌊a/b⌋-(n-x))-b*⌊a/b⌋ ↔ a(n) =          (11).

Donc en remplaçant a dans l'expression (2), a mod b=c  avec l'expression (3) ou (4) nous obtenons la troisième expression définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*,∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>b et soit a=2*n+1 et b=2*n+1; soit a=2*n et b=2*n;  soit a=2*n et b=2*n+1; soit a=2*n+1 et b=2*n; ∀ c ∈ N*:  

a(n)=(a-b*(n-x) ) mod b = (a+b*(⌊a/b⌋-n+x)-b*⌊a/b⌋) mod b =a mod b=c.       (12).

Maintenant, si nous considérons encore, le cas particulier de la valeur de la variable c=1 dans ces expressions précédentes (10), (11), et (12), et étant encore données les même conditions que précédemment des deux autres variables a et b, soit c=1, ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*,∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, nous obtenons l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo -b, de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1     (1), et cette expression de l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A, est définie dans les deux cas suivants, avec a(n)=a-b*(n-x) ↔  a(n)= -b*(n-x-a/b) ↔ a(n)=a+b*(⌊a/b⌋-n+1)-b*⌊a/b⌋  ↔ (10) ↔ (11) :

• Le premier cas ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend la même valeur quelque soit l'expression dont les conditions sont, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>1 et b>0, et avec a-b=1

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)=a-b*(n-x)  mod b=1 ↔ (n-x)*(a/(n-x)-b) mod b=1       (13).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(a/(n-x)-b)     (13.1).

a(n)= A ↔ a(n)=(n-x)   (13.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1 (1)↔a(n)=(a-b*(n-x))² mod b=1↔a(n)=((n-x)*(a/(n-x)-b))² mod b=1 (14).    

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)= (a-b*(n-x)) ↔ a(n)= (n-x)*(a/(n-x)-b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=(a-b*(n-x))  ↔ a(n)= (n-x)*(a/(n-x)-b)    (14.1).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1  (1) ↔ a(n)= -b*(n-x-a/b) mod b=1 ↔ a(n)=-b*(n-x-1/b) mod b=1    (15). 

 

a(n)=A⁻¹ ↔ a(n)= (n-x-a/b) ↔ a(n)=(n-x-1/b)       (15.1).

a(n)= A↔ a(n)= -b    (15.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)= (-b*(n-x-a/b))² mod b=1       (16). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=-b*(n-x-a/b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=-b*(n-x-a/b)          (16.1).

• Le deuxième cas, ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend aussi la même valeur quelque soit l'expression identique à celles des expressions du premier cas, dont les conditions sont, a=1 et ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec b>0:

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)=a-b*(n-x)  mod b=1 ↔ (n-x)*(1/(n-x)-b) mod b=1       (13).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(a/(n-x)-b) ↔ a(n)=(1/(n-x)-b)    (13.1).

a(n)= A ↔ a(n)=(n-x)   (13.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)=(a-b*(n-x) )² mod b=1 ↔ ((n-x)*(1/(n-x)-b))² mod b=1     (14).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(n-x) * (1/(n-x)-b) ↔  a(n)= A ↔ a(n)=(n-x) * (1/(n-x)-b)   (14.1).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1  (1) ↔ a(n)= -b*(n-x-a/b) mod b=1 ↔ a(n)=-b*(n-x-1/b) mod b=1    (15). 

 

a(n)=A⁻¹ ↔ a(n)= (n-x-a/b) ↔ a(n)=(n-x-1/b)       (15.1).

a(n)= A↔ a(n)= -b    (15.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)= (-b*(n-x-a/b))² mod b=1       (16). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=-b*(n-x-a/b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=-b*(n-x-a/b)          (16.1).

∴

Puis, considérant encore les étapes préliminaires suivantes à l'élaboration de notre méthode systématique de l'expression des nombres de cette séquence notée Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,.}, et de la variable a, qui sont congrus modulo b, nous obtenons ensuite les deux expressions suivantes des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,} et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit: 

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec b<0 et |b| < a :

a(n)=a-b*(n-x)           (10). 

Cette dernière expression (3') est équivalente à cette autre expression des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, et b<0 avec |b| < a :

 a(n)=a+b*(⌊a/b⌋-n+x)-b*⌊a/b⌋       (11).

Donc en remplaçant a dans l'expression (2), a mod b=c  avec l'expression (10) ou (11) nous obtenons l'expression définie comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, avec b<0 et |b| < a :

a(n)=(a-b*(n-x)) mod b = ( a+b*(⌊a/b⌋-n+x)-b*⌊a/b⌋ ) mod b=a mod b=c.       (12).

Maintenant, si nous considérons encore, le cas particulier de la valeur de la variable c=1 dans ces expressions précédentes (10), (11), et (12), et étant encore données comme précédemment les conditions des deux autres variables a et b, soit c=1, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, et b<0 avec |b| <a, nous n'obtenons pas l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1 (1), et donc cette expression de l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A, n'est pas définie.

Mais, nous obtenons dans un seul cas l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo |b| de A satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1  (1), qui est définie comme suit, avec a(n)=-(a-b*(n-x)) ↔ a(n)=-(-b*(n-x-a/b)):

• Le seul cas ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo |b|, de A prend la même valeur quelque soit l'expression dont les conditions sont,∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z*, et b<0 avec |b| <a  et |a+b|=1:

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1   (1) ↔ a(n)=-a+b*(n+x)  mod |b|=1 ↔ (n+x)*(-a/(n+x)+b) mod |b|=1      (17).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(-a/(n+x)+b)     (17.1).

a(n)= A ↔ a(n)=(n+x)   (17.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1 (1)↔a(n)=(-a+b*(n+x))² mod b=1↔ a(n)=((n+x)*(-a/(n+x)+b))² mod |b|=1 (18).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)= (-a+b*(n+x)) ↔ a(n)= (n+x)*(-a/(n+x)+b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=(-a+b*(n+x))  ↔ a(n)= (n+x)*(-a/(n+x)+b)    (18.1).

∴

Puis, toujours en considérant les étapes préliminaires suivantes à l'élaboration de notre méthode systématique de l'expression des nombres de cette séquence notée Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,.}, et de la variable a, qui sont congrus modulo b, nous obtenons ensuite les deux expressions suivantes des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,} et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit: 

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ N*  avec : 

a(n)=a-b*(n-x)     (10).  .

Ces dernières expressions sont équivalentes à ces autres expressions des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z* et b<0, avec :  

a(n)=a+b*(⌊a/b⌋-n+x)-b*⌊a/b⌋        (11). 

Donc en remplaçant a dans l'expression (2), a mod b=c  avec l'expression (10) et (11), nous obtenons l'expression définie comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z* et b<0,  ∀ c ∈ Z: 

a(n)=(a-b*(n-x)) mod b = (a+b*(⌊a/b⌋-n+x)-b*⌊a/b⌋ ) mod b=a mod b=c      (12).  

Maintenant, si nous considérons encore le cas particulier de la valeur de la variable c=1 dans ces expressions précédentes (10), (11), et (12), et étant encore données comme précédemment les conditions des deux autres variables a et b, soit c=1, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b∈ N* , nous obtenons l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1 (1), définie dans les deux cas suivant:

• Le premier cas, ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend aussi la même valeur quelque soit l'expression identique à celles de toutes les expressions du cas précédent, et dont les conditions sont, soit, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z*, avec a<0, ∀ b ∈ N*, avec b> |a|, et a+b=1:

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)=a-b*(n-x)  mod b=1 ↔ (n-x)*(a/(n-x)-b) mod b=1       (13).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(a/(n-x)-b)     (13.1).

a(n)= A ↔ a(n)=(n-x)   (13.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1 (1)↔a(n)=(a-b*(n-x))² mod b=1↔a(n)=((n-x)*(a/(n-x)-b))² mod b=1 (14).    

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)= (a-b*(n-x)) ↔ a(n)= (n-x)*(a/(n-x)-b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=(a-b*(n-x))  ↔ a(n)= (n-x)*(a/(n-x)-b)    (14.1).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1  (1) ↔ a(n)= -b*(n-x-a/b) mod b=1 ↔ a(n)=-b*(n-x-1/b) mod b=1    (15). 

 

a(n)=A⁻¹ ↔ a(n)= (n-x-a/b) ↔ a(n)=(n-x-1/b)       (15.1).

a(n)= A↔ a(n)= -b    (15.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)= (-b*(n-x-a/b))² mod b=1       (16). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=-b*(n-x-a/b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=-b*(n-x-a/b)          (16.1).

• Le deuxième cas, ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend aussi la même valeur quelque soit l'expression identique à celles de toutes les expressions du cas précédent, et dont les conditions sont, soit, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z*, avec a<0, ∀ b ∈ N*, avec b < |a|, et |a+b|=1:

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1 (1)↔a(n)=(a-b*(n-x))² mod b=1↔a(n)=((n-x)*(a/(n-x)-b))² mod b=1 (14).    

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)= (a-b*(n-x)) ↔ a(n)= (n-x)*(a/(n-x)-b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=(a-b*(n-x))  ↔ a(n)= (n-x)*(a/(n-x)-b)    (14.1).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)= (-b*(n-x-a/b))² mod b=1       (16). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=-b*(n-x-a/b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=-b*(n-x-a/b)          (16.1).

∴

Puis, toujours en considérant les étapes préliminaires suivantes à l'élaboration de notre méthode systématique de l'expression des nombres de cette séquence notée Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,.}, et de la variable a, qui sont congrus modulo b, nous obtenons ensuite les deux expressions suivantes des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,} et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit: 

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ Z* et b<0 : 

 a(n)=a-b*(n-x)     (10).  .

Ces dernières expressions sont équivalentes à ces autres expressions des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ Z* et b<0 :  

a(n)=a+b*(⌊a/b⌋-n+x)-b*⌊a/b⌋        (11). 

Donc en remplaçant a dans l'expression (2), a mod b=c  avec l'expression (10) et (11), nous obtenons l'expression définie comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ Z* et b<0, ∀ c ∈ Z: 

a(n)=(a-b*(n-x)) mod b = (a+b*(⌊a/b⌋-n+x)-b*⌊a/b⌋ ) mod b=a mod b=c      (12).  

Maintenant, si nous considérons encore, le cas particulier de la valeur de la variable c=1 dans les expressions précédentes (10), (11), et (12), et étant encore données comme précédemment les conditions des deux autres variables a et b, soit c=1, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ Z* et b<0, nous n'obtenons pas l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1 (1), et cette expression de l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A, n'est donc pas définie pour les conditions données.

Mais, nous obtenons dans deux cas l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo |b| de A satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1  (1), qui est définie comme suit, avec a(n)= -(a-b*(n-x)) ↔ a(n)= -(-b*(n-x-a/b)) dans les deux cas suivants: 

• Le premier cas, ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo |b|, de A prend aussi la même valeur quelque soit l'expression identique à celles de toutes les expressions du cas précédent, et dont les conditions sont, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ Z* et b<0, avec |b| < |a|, et |a|+b=1:

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1   (1) ↔ a(n)=-a+b*(n+x)  mod |b|=1 ↔ (n+x)*(-a/(n+x)+b) mod |b|=1  (19).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(-a/(n+x)+b)       (19.1).

a(n)= A ↔ a(n)=(n+x)      (19.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1 (1)↔a(n)=(-a+b*(n+x))² mod b=1↔ a(n)=((n+x)*(-a/(n+x)+b))² mod |b|=1 (20).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)= (-a+b*(n+x)) ↔ a(n)= (n+x)*(-a/(n+x)+b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=(-a+b*(n+x))  ↔ a(n)= (n+x)*(-a/(n+x)+b)       (20.1).

Le deuxième cas, ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo |b|, de A prend aussi la même valeur quelque soit l'expression identique à celles de toutes les expressions du cas précédent, et dont les conditions sont, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ Z* et b<0, avec |b| > |a|, et a+|b|=1:

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1 (1)↔a(n)=(-a+b*(n+x))² mod b=1↔ a(n)=((n+x)*(-a/(n+x)+b))² mod |b|=1    (21).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)= (-a+b*(n+x)) ↔ a(n)= (n+x)*(-a/(n+x)+b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=(-a+b*(n+x))  ↔ a(n)= (n+x)*(-a/(n+x)+b)        (21.1).

∴

∴ ∴ ∴

Donc, en considérant encore les étapes préliminaires suivantes à l'élaboration de notre méthode pour déterminer l'expression systématique de cette séquence de nombres et, a, congrus modulo b, définie précédemment et notée Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,.}, nous obtenons ensuite les deux expressions suivantes des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,} et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit: 

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ N*:

a(n)=a+b*(n-x)  ↔ a(n)= b*(n-x+a/b)       (22). 

Cette dernière expression (3') est équivalente à cette autre expression des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ N*: 

 a(n)=a-b*(-⌈|a|/b⌉-n+x)+b*⌊a/b⌋         (23).

Donc en remplaçant a dans l'expression (1'), a mod b=c  avec l'expression (3') ou (4') nous obtenons l'expression définie comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ Z : 

a(n)=(a+b*(n-x) )mod b = ( a-b*(-⌈ |a| / b ⌉-n+x)+b*⌊a/b⌋ ) mod b=a mod b=c.       (24).

Maintenant, si nous considérons encore, le cas particulier de la valeur de la variable c=1 dans ces expressions précédentes (22), (23), et (24), et étant encore données comme précédemment les conditions des deux autres variables a et b, soit c=1, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z* et a<0, ∀ b ∈ N*, nous obtenons l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1      (1), et cette expression de l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A, est définie dans les deux cas suivants, avec a(n)=a+b*(n-x) ↔  a(n)= b*(n-x+a/b) ↔ a(n)=a-b*(-⌈|a|/b⌉-n+x)+b*⌊a/b⌋   ↔ (22) ↔(23):

• Le premier cas ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend la même valeur quelque soit l'expression dont les conditions sont, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ Z*, ∀ b ∈ N*, avec a<0 et b>0>|a|, ou  b>0 et b<|a|, avec |a+b|=1:

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)=a+b*(n-x)  mod b=1 ↔ (n-x)*(a/(n-x)+b) mod b=1       (25).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(a/(n-x)+b) ↔ a(n)=(a/(n-x)+b)    (25.1).

a(n)= A ↔ a(n)=(n-x)   (25.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)=(a+b*(n-x) )² mod b=1 ↔ ((n-x)*(a/(n-x)+b))² mod b=1   (26).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(n-x) * (a/(n-x)+b) ↔  a(n)= A ↔ a(n)=(n-x) * (a/(n-x)+b)   (26.1).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)= b*(n-x+a/b) mod b=1    (27). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)= (n-x+a/b)     (27.2).

a(n)= A ↔ a(n)= b      (27.3).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1  (1)↔a(n)=(b*(n-x+a/b))² mod b=1 ↔ a(n)= (b*(n-x+a/b))² mod b=1  (28). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=b*(n-x+a/b) ↔ a(n)= A ↔a(n)=b*(n-x+a/b)       (28.1).

• Le deuxième cas ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend la même valeur quelque soit l'expression dont les conditions sont, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, avec a = -1 et  b>2 et avec |a+b|=1:

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)=(a+b*(n-x) )² mod b=1 ↔ ((n-x)*(a/(n-x)+b))² mod b=1   (29).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(n-x) * (a/(n-x)+b) ↔  a(n)= A ↔ a(n)=(n-x) * (a/(n-x)+b)   (29.1).

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1  (1)↔a(n)=(b*(n-x+a/b))² mod b=1↔a(n)= (b*(n-x+a/b))² mod b=1  (30). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=b*(n-x+a/b) ↔ a(n)= A ↔a(n)=b*(n-x+a/b)       (30.1).

∴

Puis, considérant à nouveau les étapes préliminaires suivantes à l'élaboration de notre méthode pour déterminer l'expression systématique de cette séquence de nombres et, a, congrus modulo b, définie précédemment et notée Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,.}, nous obtenons ensuite les deux expressions suivantes des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,} et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit: 

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z* et b<0 : 

 a(n)=a+b*(n-x) ↔ a(n)= b*(n-x+a/b)       (22). 

Ces dernières expressions sont équivalentes à ces autres expressions des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z* et b<0 :  

a(n)=a-b*(⌈a/|b|⌉-n+1)-b*⌊a/b⌋       (32). 

Donc en remplaçant a dans l'expression (2), a mod b=c  avec l'expression (22) ou (32) nous obtenons l'expression définie comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z* et b<0, ∀ c ∈ Z : 

a(n)=(a+b*(n-1) ) mod b = (a-b*(⌈a/|b|⌉-n+1)-b*⌊a/b⌋ ) mod b = a mod b = c.      (33).

Maintenant, si nous considérons encore, le cas particulier de la valeur de la variable c=1 dans ces expressions précédentes (22), (25), et (26), et étant encore données comme précédemment les conditions des deux autres variables a et b, soit c=1, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z* et b<0, nous n'obtenons pas l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1  (1), qui soit définie, avec a(n)=a+b*(n-1) ↔ a(n)= b*(n-x+a/b) ↔ a(n)=a-b*(⌈a/|b|⌉-n+1)-b*⌊a/b⌋ . 

Mais, nous obtenons dans un seul cas l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo |b| de A satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1  (1), qui est définie comme suit:

• Le seul cas ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo |b|, de A prend la même valeur quelque soit l'expression dont les conditions sont,∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ Z* et b<0 , avec |a| > b et |a+b|=1:

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1   (1) ↔ a(n)=a+b*(n-x)  mod |b|=1 ↔ (n-x)*(a/(n-x)+b) mod |b|=1       (27).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(a/(n-x)+b) ↔ a(n)=(a/(n-x)+b)    (27.1).

a(n)= A ↔ a(n)=(n-x)   (27.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1   (1) ↔ a(n)=(a+b*(n-x) )² mod |b|=1 ↔ ((n-x)*(a/(n-x)+b))² mod |b|=1   (28).

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(n-x) * (a/(n-x)+b) ↔  a(n)= A ↔ a(n)=(n-x) * (a/(n-x)+b)   (28.1).

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1   (1) ↔ a(n)= b*(n-x+a/b) mod |b|=1   (29). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)= (n-x+a/b)        (29.1).

a(n)= A ↔ a(n) = b      (29.2).

a(n)=A*A⁻¹ mod |b|=1  (1)↔a(n)=(b*(n-x+a/b))² mod |b|=1↔a(n)= (b*(n-x+a/b))² mod |b|=1  (30'). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=b*(n-x+a/b) ↔ a(n)= A ↔a(n)=b*(n-x+a/b)       (31').

∴

Donc, en considérant finalement à nouveau les étapes préliminaires suivantes à l'élaboration de notre méthode pour déterminer l'expression systématique de cette séquence de nombres et, a, congrus modulo b, définie précédemment et notée Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,.}, nous obtenons ensuite les deux expressions suivantes des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,} et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit: 

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N* : 

 a(n)=a+b*(n-x)     (22). 

Ces dernières expressions sont équivalentes à ces autres expressions des nombres de la séquence Seqcongr={α,β,γ,δ,ζ,η,θ,..}, et, a, congrus modulo b, qui sont définis comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N* :  

a(n)=a-b*(⌈a/|b|⌉-n+x)-b*⌊a/b⌋       (34). 

Donc en remplaçant a dans l'expression (2), a mod b=c  avec l'expression (22) ou (32) nous obtenons l'expression définie comme suit:

∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ Z : 

a(n)=(a+b*(n-x) ) mod b = (a-b*(⌈a/|b|⌉-n+x)-b*⌊a/b⌋ ) mod b = a mod b = c.      (35).

Mais si nous considérons que, soit c=1, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, sont les nouvelles conditions définissant l'expression a(n)=a+b*(n-1)     (10''),. alors nous obtenons cette fois-ci contrairement à précédemment l'expression de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), et cette expression de l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A, est définie dans deux cas comme suit, avec a(n)=a+b*(n-1) ↔  a(n)= b*(n-x+a/b) ↔ a(n)=a-b*(⌈a/|b|⌉-n+x)-b*⌊a/b⌋ :

• Le premier cas, ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend la même valeur quelque soit l'expression dont les conditions sont, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a>1, a>b , et a-b=1:

a(n)=a*a⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)=a+b*(n-x)  mod b=1 ↔ a(n)= b*(n-x+a/b) mod b=1       (27). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(n-x+a/b) ↔ a(n)=(n-x+a/b)         (27.2).

a(n)= A ↔ a(n)=b       (27.3).

a(n)=a*a⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)= (a+b*(n-x))² mod b=1 ↔ a(n)= (b*(n-x+a/b))² mod b=1   (28). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=b*(n-x+a/b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=b*(n-x+a/b)       (28.1).

• Le deuxième cas, ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend la même valeur quelque soit l'expression dont les conditions sont, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N* avec a>1, ∀ b ∈ N*, a<b et  b-a=1:

a(n)=a*a⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)= (a+b*(n-x))² mod b=1 ↔ a(n)= (b*(n-x+a/b))² mod b=1   (28). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=b*(n-x+a/b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=b*(n-x+a/b)       (28.1).

• Le troisième cas, ou A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b, de A prend la même valeur quelque soit l'expression dont les conditions sont, ∀ x ∈ N*, ∀ n ∈ N*, a=1 et ∀ b ∈ N*:

a(n)=A*A⁻¹ mod b=1  (1) ↔ a(n)= 1+b*(n-x) mod b=1 ↔ a(n)= b*(n-x+1/b) mod b=1    (27'). 

 

a(n)=A⁻¹ ↔ a(n)= (n-x+a/b)   ↔  a(n) =(n-x-1/b)       (27.1').

a(n)= A ↔ a(n)= b   (27.2').

a(n)=a*a⁻¹ mod b=1   (1) ↔ a(n)= (1+b*(n-x))² mod b=1 ↔ a(n)= (b*(n-x+1/b))² mod b=1   (28'). 

a(n)= A⁻¹ ↔ a(n)=(n-x+1/b) ↔ a(n)= A ↔ a(n)=(n-x+1/b)       (28'.1).

∴

∴ ∴ ∴

Maintenant, il ne nous reste plus qu'à écrire l'algorithme permettant d'écrire chacune des expressions précédentes de A⁻¹ l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1 (1) et correspondant à la multiplication de deux nombres entiers A et A⁻¹, et non pas celle d'un nombre entier soit un nombre qui peut s'écrire sans virgule, et d'un nombre décimal, soit un nombre qui peut s'écrire avec une virgule et qui se termine, ou bien encore d'un nombre rationnel qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Et ce d'autant plus que nous avons pu conclure que la méthode inspirée de l'algorithme d'Euclide étendu, pour déterminer la valeur de A⁻¹, l'inverse multiplicatif modulaire modulo b de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), est comme celle de l'algorithme d'Euclide étendu, trop longue et n'est que ponctuelle, c'est-à-dire qu'elle doit être successivement répétée pour chaque valeur différente choisie, et donc comme précédemment avec les exemples des méthodes de l'algorithme de Fermat et de l'algorithme d'Euler, nous ne pouvons pas utiliser cette méthode pour des valeurs variables choisies comme les nombres entiers d'une sous séquence de la séquence N* pour obtenir les nombres inverses multiplicatifs modulaires d'une séquence correspondante. Nous pouvons donc maintenant enfin développer notre autre algorithme systématique afin de déterminer les nombres entiers de la séquence des valeurs de A⁻¹, inverse multiplicatif modulaire modulo b des nombres entiers de la séquence des valeurs de A, satisfaisant l'expression a(n)=A*A⁻¹ mod b=1   (1), et correspondant aux cas particuliers des expressions écrites précédemment et numérotées comme suit:

 (13), (13.1), (13.2), (14.1), (15), (15.1), (15.2), (16), (16.1), (17), (17.1), (17.2), (18), (18.1), (19), (19.1), (19.2), (20), (20.1), (21), (21.1), (25), (25.1), (25.2), (26), (26.1), (27), (27.2), (27.3), (28), (28.1), (29), (29.1), (30), (30.1), (30'), (31'), (27'), (27.1'), (27.2'), (28'), (28'.1).

∴

3.c) Les expressions constitutives du système à résidus réduits modulo b et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

∴

En mathématiques, un sous-ensemble R des nombres entiers est appelé un système de résidus réduit modulo n si :

• pgcd(r, n) = 1 pour chaque r dans R, 
• R contient φ(n) éléments, 
• aucun élément de R n'est congruent modulo n. 

Ici φ désigne la fonction totient d'Euler. Un système de résidus réduit modulo n peut être formé à partir d'un système de résidus complet modulo n en supprimant tous les entiers qui ne sont pas relativement premiers avec n. Par exemple, un système de résidus complet modulo 12 est {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Les soi-disant totatifs 1, 5, 7 et 11 sont les seuls entiers de cet ensemble qui sont relativement premiers à 12, et donc le système de résidu réduit correspondant modulo 12 est {1, 5, 7, 11}. La cardinalité de cet ensemble peut être calculée avec la fonction totient : φ(12) = 4. Certains autres systèmes de résidus réduits modulo 12 sont :

{13,17,19,23}

{−11,−7,−5,−1}

{−7,−13,13,31}

{35,43,53,61}

L'ensemble des entiers {0, 1, 2, ..., n − 1} est appelé le système des moindres résidus modulo n, et tout ensemble de n entiers, dont deux ne sont pas congruents modulo n, est appelé un système résiduel complet modulo n. Le système de moindre résidu est un système de résidu complet, et un système de résidu complet est simplement un ensemble contenant précisément un représentant de chaque classe de résidu modulo n. Par exemple, le système de moindre résidu modulo 4 est {0, 1, 2, 3}. Certains autres systèmes de résidus complets modulo 4 incluent:

{1, 2, 3, 4}

{13, 14, 15, 16}

{−2, −1, 0, 1}

{−13, 4, 17, 18}

{−5, 0, 6, 21}

{27, 32, 37, 42}

Certains ensembles qui ne sont pas des systèmes de résidus complets modulo 4 sont :
{−5, 0, 6, 22}, puisque 6 est congru à 22 modulo 4. {5, 15}, puisqu'un système de résidus complet modulo 4 doit avoir exactement 4 classes de résidus incongrues.

∴

4.d) Les expressions constitutives du système à résidus quadratiques modulo b et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo.

∴

En arithmétique modulaire, un entier naturel q est un résidu quadratique modulo n s'il possède une racine carrée en arithmétique modulaire de module n, autrement dit, q est un résidu quadratique modulo n s'il existe un entier x tel que x²≡q(mod n). Dans le cas contraire, on dit que q est un non-résidu quadratique modulo n.

∴

5.e) Les expressions constitutives des racines primitives modulo b et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

∴

Un nombre g est une racine primitive modulo n si chaque nombre premier à n est congru à une puissance de g modulo n, autrement dit, pour tout entier a premier à n, il existe un entier k tel que gk ≡ a (mod n). Un tel k est appelé indice ou logarithme discret de a à la base g modulo n. Prenons par exemple n = 14. Les éléments de (Z/14Z)× sont les classes de congruence 1, 3, 5, 9, 11 et 13. Donc 3 est une racine primitive modulo 14, et l'on a 32 ≡ 9, 33 ≡ 13, 34 ≡ 11, 35 ≡ 5 et 36 ≡ 1 (modulo 14). La seule autre racine primitive modulo 14 est 5.

The number 3 is a primitive root modulo 7 because:

3¹=3⁰×3≡1×3=3≡3(mod7)

3²=3¹×3≡3×3=9≡2(mod7)

3³=3²×3≡2×3=6≡6(mod7)

3⁴=3³×3≡6×3=18≡4(mod7)

3⁵=3⁴×3≡4×3=12≡5(mod7)

3⁶=3⁵×3≡5×3=15≡1(mod7)

3⁷=3⁶×3≡1×3=3≡3(mod7)

Nous voyons ici que la période de 3k modulo 7 est 6. Les restes de la période, qui sont 3, 2, 6, 4, 5, 1, forment un réarrangement de tous les restes non nuls modulo 7, ce qui implique que 3 est bien une primitive racine modulo 7. Cela vient du fait qu'une séquence (gk  modulo n) se répète toujours après une certaine valeur de k, puisque modulo n produit un nombre fini de valeurs. Si g est une racine primitive modulo n et n est premier, alors la période de répétition est n − 1. Il a été démontré que les permutations ainsi créées (et leurs déplacements circulaires) sont des tableaux de Costas." Extrait de l'article "Primitive racine modulo n" publié sur le site de Wikipédia.

∴

⌊ ⌋ ⌈ ⌉   ⌊ ⌋ ⌈ ⌉   ⌈ ⌉⌊ ⌋ ⌈ ⌉       ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ 

∀ ∈ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ    

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ 

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ  

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ  

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ