78': 1''A XXXIV' NOUVELLES EXPRESSIONS D'ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE EN ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES: Les opérations fondamentales de quantité, de concaténation, de déconcaténation, de rang droit et gauche, de chiffres droits et gauches de la partie entière et décimale, et d'extraction des chiffres du nombre décimal.

© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64 en France.

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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"Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale positionnelle. Les nombres décimaux sont les quotients d’entiers par des puissances de 10 et se présentent ainsi comme des rationnels particuliers. Les nombres décimaux permettent d’approcher n’importe quel nombre réel et d’effectuer des calculs et comparaisons sur ces valeurs avec des méthodes semblables à celles en usages sur les entiers en numération décimale. L’écriture d’un nombre décimal s’interprète comme le quotient du nombre obtenu en supprimant la virgule par autant de facteurs 10 qu’il y a de chiffres après la virgule." Extrait de l'article "Nombre décimal" de Wikipédia l'encyclopédie libre.

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II) LES OPÉRATIONS FONDAMENTALES EN ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES DU NOMBRE DÉCIMAL

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1) Définitions des notations fondamentales en arithmétique des chiffres qui font le nombre décimal:

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"Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrie sous la forme d’une fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 du type p/ 10^n avec p ∈ Z. Son ensemble est noté D comme décimal. Pour reconnaître qu’un nombre exprimé sous forme de fraction est un nombre décimal, on peut effectuer les étapes suivantes :
mettre le nombre sous forme de fraction irréductible ; si le dénominateur est de la forme 2^n * 5^p (où n et p sont des entiers naturels), c’est-à-dire si le dénominateur ne comporte que des puissances de 2 et de 5, alors ce nombre est décimal ; sinon, ce nombre n’est pas décimal. "

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"L'ensemble des décimaux s’écrit D. Il est stable par addition et multiplication et contient l’entier 1 donc il constitue un anneau unitaire dans le corps des réels, donc il est intègre et son corps des fractions est le corps ℚ des nombres rationnels" extrait de l'article "Nombre décimal" de Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne.

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1.a Les deux notations fondamentales du nombre décimal et des chiffres du nombre décimal

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En général nous définissons les chiffres de n'importe quel nombre décimal noté q,w ∈ D, comme les éléments appartenant à l'ensemble séquentiel que je note DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), et nous définissons la partie entière q du nombre décimal q,w et la partie décimale w du nombre décimal q,w comme suit: 

• la partie entière du nombre q,w est noté q=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1) + xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2) + xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+ xᵢ₊₁*10^(1) + xᵢ₌₁*10^(0)    (A)' où les coefficients xᵢ compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre q la partie entière du nombre q,w avec les chiffres a, z, k, h de ce nombre noté algébriquement en général ∀ dnumₙ(xᵢ; q) ∈ DNume(q,w)=(dnumₐ(a; q); dnumₛ(z; q); dnumₓ(k; q); dnumᵧ(h; q)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=h; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇... xᵢ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9). Nous remarquons qu'avec la notation dnumₙ(xᵢ; q) correspondantes à un chiffre xᵢ du nombre q, nous écrivons toujours un indice correspondant à la quantité de répétition du chiffre xᵢ égal à dnumₙ(xᵢ; q) sa représentation algébrique générale donc, en considérant que la valeur de l'indice n suit toujours la convention usuelle de notation mathématique qui est comme celle "d'ordonner cette suite de tous chiffres représentant un nombre, par poids, ou puissance croissante de droite à gauche". Donc la valeur de l'indice n de la notation du chiffre dnumₙ(xᵢ; q), correspond à la quantité de répétitions du chiffre dnumₙ(xᵢ; q) du nombre de la partie entière q du nombre décimal q,w. Nous remarquons que cette notation est dite positionnelle, car les chiffres notés en général dnumₙ(xᵢ; q) ∈ DNum(q)=(dnumₙ(a; q); dnumₐ(z; q); dnumₓ(k; q); dnumᵧ(h; q)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=h; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇... xᵢ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), indiquent une valeur d'indice et une valeur de multiple de puissance de 10 dépendant de leur position par rapport aux autres chiffres a, z, k, h du nombre q, la partie entière de q,w. Par convention le sens de l'orientation de l'accroissement indiciel du chiffre est celui qui débute à la droite du nombre correspondant au chiffre des unités vers la gauche. La notation de "dnum" qui est une forme abrégée de "digit number";

• ensuite la partie décimale w du nombre q,w, est notée w=y₁*10^(-1) + y₂*10^(-2) + yₙ₋₁*10 ^(-n+1) + yₙ₋₂*10^(-n+2) +…+ yₙ*10^-n    (A')', où les coefficients yᵢ compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre w de la partie décimale du nombre décimal q,w avec les chiffres, a', z', k', h', de ce nombre noté algébriquement en général, ∀ dnumₙ(yᵢ; w) ∈ DNumd(q,w)=(dnumₐ(a'; w); dnumₛ(z'; w); dnumₓ(k'; w); dnumᵧ(h'; w)…), ∀ yᵢ ∈ SeqYᵢ₌ₚ=(yᵢ₌₁=a'; yᵢ₊₁=z'; yᵢ₊₂=k'; yᵢ₊₃=h'; yᵢ₊₄; yᵢ₊₅; yᵢ₊₆; yᵢ₊₇... yᵢ₌ₚ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), indiquant une valeur d'indice et une valeur de multiple de puissance de 10 dépendant de leur position par rapport aux autres chiffres a', z', k', h' du nombre w de la partie décimale du nombre décimal q,w. comme précédemment la valeur de l'indice n de la notation du chiffre dnumₙ(yᵢ; q), correspond à la quantité de répétitions du chiffre dnumₙ(yᵢ; q) du nombre de la partie entière q du nombre décimal q,w. Par convention le sens de l'orientation de l'accroissement indiciel du chiffre est celui qui commence à la droite du nombre correspondant au chiffre des unités vers la gauche. La notation de "dnum" qui est une forme abrégée de "digit number";

• enfin la notation du nombre décimal est notée q,w=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1)+xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2)+xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+xᵢ₊₁*10^(1)+xᵢ₌₁*10^(0) + y₁*10^(-1) + y₂*10^(-2)+yₙ₋₁*10^(-n+1)+yₙ₋₂*10^(-n+2)+…+yₙ*10^-n     (A')'', où les coefficients xᵢ compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre q la partie entière du nombre q,w avec les chiffres a, z, k, h de ce nombre noté algébriquement en général ∀ dnumeₙ(xᵢ; q) ∈ DNume(q,w)=(dnumeₐ(a; q); dnumeₛ(z; q); dnumeₓ(k; q); dnumeᵧ(h; q)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=h; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇... xᵢ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9); et où les coefficients yᵢ compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre w de la partie décimale du nombre décimal q,w avec les chiffres, a', z', k', h', de ce nombre noté algébriquement en général, ∀ dnumdₙ(yᵢ; w) ∈ DNumd(q,w)=(dnumdₐ(a'; w); dnumdₛ(z'; w); dnumdₓ(k'; w); dnumdᵧ(h'; w)…), ∀ yᵢ ∈ SeqYᵢ₌ₚ=(yᵢ₌₁=a'; yᵢ₊₁=z'; yᵢ₊₂=k'; yᵢ₊₃=h'; yᵢ₊₄; yᵢ₊₅; yᵢ₊₆; yᵢ₊₇... yᵢ₌ₚ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), indiquant une valeur d'indice et une valeur de multiple de puissance de 10 dépendant de leur position par rapport aux autres chiffres a', z', k', h' du nombre w de la partie décimale du nombre décimal q,w. Comme précédemment la valeur de l'indice n de la notation du chiffre dnumeₙ(yᵢ; q), correspond à la quantité de répétitions du chiffre dnumeₙ(yᵢ; q) du nombre de la partie entière q du nombre décimal q,w. Cette notation suit la convention usuelle de notation mathématique qui est d'ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre décimal par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle: les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre dnumeₙ(xᵢ; q) | | dnumdₙ(yᵢ; w) ∈ DNume(q, w)=(dnumeₐ(a; q); dnumeₛ(z; q); dnumeₓ(k; q); dnumeᵧ(h; q)…) ⊔⊓ DNumd(q, w)=(dnumdₐ(a'; w); dnumdₛ(z'; w); dnumdₓ(k'; w), ∀ (xᵢ; yᵢ) ∈ Seq(Xᵢ₌ₓ;Yᵢ₌ₚ)=(xₙ; xₙ₋₁; xₙ₋₂; x₁; x₀; y₀; y₁;… ; yₙ₋₂; yₙ₋₁; yₙ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), indiquant une valeur d'indice et une valeur de multiple de puissance de 10 dépendant de leur position par rapport aux autres chiffres qui dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre q,w en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients xᵢ et yᵢ compris entre 0 et 9 sont respectivement les chiffres de la partie entière et de la partie décimale du nombre q,w. Par convention le sens de l'orientation de l'accroissement indiciel du chiffre est celui qui débute à la droite du nombre correspondant au chiffre des unités vers la gauche. La notation de "dnum" qui est une forme abrégée de "digit number", (les deux autres notations indicielles l et r, pour "left" et right" indiquant le sens de la valeur de position des chiffres correspondant au rang considéré soit droit donc r, soit gauche donc l sont en anglais du fait que l'indice g et d sont inexistant) est une notation qui si elle est complètement informative n'en demeure pas moins limitée quant à son usage, car nous ne l'utiliserons dans les pages qui suivent que si le calcul algébrique et numérique de nos expressions nécessite l'emploi de la valeur du rang d'un chiffre ou un chiffre individuel particulier sélectionné parmi tous les autres chiffres. D'autre part, cette notation est utile principalement pour le calcul de la fonction de rang d'un chiffre. En effet, rappelons que pour un nombre décimal q,w composé de plusieurs chiffres dnumeₙ(xᵢ; q) | | dnumdₙ(yᵢ; w) possédant leur propre rang (ici le terme de rang signifie l'index de position et non pas au sens normal de rang c'est-à-dire la valeur du chiffre plus ou moins élevée par rapport à la valeur des autres chiffres) correspondant à la position du chiffre au sein du nombre déterminée en plaçant "le nombre dans le tableau de numération où chaque chiffre est placé dans une colonne du tableau de numération comme suit: "Les chiffres sont placés de droite à gauche (d'abord le chiffre des unités, puis le chiffre des dizaines…) dans un tableau de numération composé de 4 colonnes principales, soit les unités simples, les milliers, les millions et les milliards. Chaque colonne principale du tableau de numération est composée de colonnes secondaires: les unités, les dizaines et les centaines, etc.. Chaque colonne du tableau de numération est associée à un rang. Le rang d'un chiffre est composé du nom de la colonne secondaire, suivi du nom de la colonne principale ( pour le détail et pour être précis sauf si un chiffre est situé dans la colonne secondaire des unités, le rang est uniquement composé du nom de la colonne principale; sauf si un chiffre est situé dans la colonne principale des unités, le rang est uniquement composé du nom de la colonne secondaire."

Plus spécifiquement nous définissons les chiffres de n'importe quel nombre décimal noté q,w ∈ D, les éléments que je note algébriquement q ∈ N* et w ∈ N, les chiffres du nombre non décimal de la partie entière q et les chiffres du nombre décimal de la partie décimale w, d'un nombre décimal noté q,w, et dont le résultat de l'opération de leur concaténation décimale, c'est-à-dire l'opération qui transforme un nombre non décimal q et un nombre  décimal 0,w en un seul nombre décimal q,w dont la partie entière est ce premier nombre q et la partie décimale est ce deuxième nombre w, avec ⌊q,w⌋=q, et q,w-⌊q,w⌋=0,w. L'expression de cette opération de concaténation décimale est notée:

 q∥0,w=q,w=q+0,w=⌊q,w⌋+q,w-⌊q,w⌋      (A1). 

Mais remarquons encore comme précédemment que tout nombre décimal q,w est aussi le résultat de l'opération de la déconcaténation décimale d'un nombre non décimal qw, soit q la partie entière et w la partie décimale avec q,w=q + w*10^(-l(0,w))  (A1'), et l'opération de déconcaténation décimale est définie comme l'opération qui transforme un nombre non décimal qw en nombre décimal q,w, et une opération nécessitant les deux sous opérations de la longueur numérique de la partie entière et de la partie décimale égale à l(q) et à l(0,w), de q,w sachant que l(q) est la notation de la longueur numérique de la partie entière q en base b=10 d'expression l(q)=⌊log₁₀(q,w)⌋+1  (A3)' ↔ l(q)=⌊log₁₀(q)⌋+1  (A3); et que L(0,w) est la notation de la suite récurrente de l'opération de longueur numérique de la partie décimale w, en base b=10 d'expression L(0,w)=∑(n=1→n=x: [((1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉ )*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])   (A2'), avec l'indice x de wₙ₌ₓ correspondant à l'indice de rang du dernier chiffre de la partie décimale 0,w du nombre q,w; alors l'expression de la notation de la longueur numérique de la partie décimale w, en base b=10 est l(0,w)=∑(n=1→n=x: [((1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉ )*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)])  (A2')'.

Ainsi, donc l'expression de l'opération de la déconcaténation décimale d'un nombre non décimal qw, est celle de l'opération de déconcaténation de ce nombre en deux nombres, q et w sachant que l'opération de déconcaténation est définie comme l'opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée en général pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w=qw, alors l'expression de l'opération de déconcaténation droite ou gauche des deux chiffres q et w du nombre q,w, résultant de la concaténation précédente des deux nombres q et w quelque soit leurs valeurs de chiffres en valeur dans l'ensemble de 10 chiffres que je note DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions de déconcaténation notées q⫲qw et w⫲qw, qui sont définies de la façon suivante:

• q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q,   (A4) avec l(w)=⌊log₁₀(w)⌋+1 (A2) qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base b=10, déconcaténé du nombre qw et si w=0 alors l(w)=⌊log₁₀(w+1)⌋+1   (A2). 

• w⫲qw=qw - ⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw) - l(q))=w,     (A5) avec l(qw)=⌊log₁₀(qw)⌋+1     (A6) qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base b=10, c'est-à-dire sachant que nous ne connaissons que q,w, alors pour un nombre hypothétique qw, l(q)+l(w)=l(qw)  (A6)'; et l(q)=⌊log(q)⌋+1    (A3) qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base b=10, et si q=0 alors l(q)=⌊log₁₀(q+1)⌋+1. 

Nous pouvons définir le résultat des deux opérations de déconcaténation précédente des parties q et w du nombre qw, soit l'opération de la déconcaténation du nombre q de qw et l'opération de la déconcaténation du nombre w de qw, équivalente à celle de l'opération de la concaténation décimale de la partie entière q et de la partie décimale 0,w résultant dans le nombre q,w, et équivalente aussi à l'opération de déconcaténation décimale du nombre qw; deux opérations équivalentes donc dont l'expression est alors définie comme suit pour l'opération de concaténation décimale puis de déconcaténation décimale:

q,w=(q + w)*10^(-l(0,w))          (A1') ↔ (A1')'

q,w=(q⫲qw + w⫲qw)*10^(-l(0,w)))           (A1')' ↔ (A1')''

q,w=(q⫲qw + w⫲qw)*10^(-l(w))) = (⌊qw/10^(l(w))⌋ + (qw - ⌊qw/10^(l(w))⌋)*10^(-l(w))         (A1')'' ↔ (A1')'''

q,w=(q⫲qw + w⫲qw)*10^(-l(w))=( ⌊qw/10^(⌊log₁₀(w)⌋+1)⌋ + qw - ⌊qw/10^(⌊log₁₀(w)⌋+1 )⌋)*10^(⌊log₁₀(w)⌋+1))     (A1')''', avec l(w)=⌊log₁₀(w)⌋+1, puisque pour l'opération de concaténation décimale nous connaissons seulement qw. 

Tandis que pour l'opération de déconcaténation décimale puisque nous ne connaissons que q,w avec l(0,w)=∑(n=1→n=x: [((1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)]), alors nous écrivons l'expression de cette dernière opération comme suit:

q,w=(q + w)*10^(-l(0,w))          (A1') ↔ (A1')'''

q,w=(q⫲qw + w⫲qw) *10^(-l(w)) = (⌊qw/10^(⌊log₁₀(w)⌋+1 )⌋+qw - ⌊qw/10^(⌊log₁₀(w)⌋+1 )⌋ )*10^(- (∑(n=1→n=x: [((1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)])))          (A1')'''. 

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Pour illustrer les expressions ci-dessus, prenons l'exemple de la valeur des variables qw=794587856573419, q,w=794587856,573419, q=794587856 0, 0,w=0,573419, et w=573419, alors nous écrivons dans le même ordre des expressions générales précédentes:

• q=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1) + xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2) + xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+ xᵢ₊₁*10^(1) + xᵢ₌₁*10^(0)    (A)'↔  (A)''

q=7*10^9 + 9*10 ^8 + 4*10^7 + 5*10^6+ 8*10^5 + 7*10^4 + 8*10^3  + 5*10^2 + 6*10^1=794587856       (A)''

• w=y₁*10^(-1) + y₂*10^(-2) + yₙ₋₁*10 ^(-n+1) + yₙ₋₂*10^(-n+2) +…+ yₙ*10^-n    (A') ↔ (A')'

w=5*10^(-1) + 7*10^(-2) + 3*10 ^-3 + 4*10^-4 + 1*10^-5 + 9*10^-6=0,573419  (A')'

• q,w=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1)+xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2)+xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+xᵢ₊₁*10^(1)+xᵢ₌₁*10^(0) + y₁*10^(-1) + y₂*10^(-2)+yₙ₋₁*10^(-n+1)+yₙ₋₂*10^(-n+2)+…+yₙ*10^-n        (A')''↔ (A')'''

q,w=7*10^9 + 9*10 ^8 + 4*10^7+ 5*10^6+ 8*10^5 +7*10^4 + 8*10^3+ 5*10^2+ 6*10^1+5*10^(-1)+7*10^(-2)+3*10 ^-3 +4*10^-4+1*10^-5+ 9*10^-6=794587856,573419      (A')'''

• q∥0,w=q,w=q+0,w=⌊q,w⌋+q,w-⌊q,w⌋      (A1) ↔ (A1)'

794587856∥0,573419=794587856,573419=794587856+0,573419=⌊794587856,573419⌋+794587856,573419-⌊794587856,573419⌋ =  794587856,573419     (A1)'

• q,w=q + w*10^(-l(0,w))     (A1') ↔  (A1')'

794587856,573419  =794587856+ 573419*10^(-l(0,573419))     (A1')'

•  l(q)=⌊log₁₀(q,w)⌋+1  (A3)' ↔ l(q)=⌊log₁₀(q)⌋+1  (A3) ↔ (A3)'

 l(794587856)=⌊log₁₀(794587856,573419 )⌋+1  (A3)' ↔ l(794587856)=⌊log₁₀(794587856)⌋+1=9         (A3)'

•  l(w)=⌊log₁₀(w)⌋+1            (A2) ↔ (A2)'

l(573419 )=⌊log₁₀(573419)⌋+1=6         (A2)'

• l(0,w) est la notation de la longueur numérique de la partie décimale w, en base b=10 d'expression l(0,w)=∑(n=1→n=x: [((1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])   (A2') ↔  (A2')'

 l(0,573419)=∑(n=1→n=6: [ ((1-⌈|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|/(|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆)i] )=(0; 0; 0; 0; 0; 6)     (A2')' ↔ (A2')''

 ∑(n=1→n=6: [(0; 0; 0; 0; 0; 6)] )=6       (A2')''

• l(qw)=⌊log₁₀(qw)⌋+1     (A6) ↔ l(q)+l(w)=l(qw)         (A6)'↔(A6')'

 l(794587856573419)=⌊log₁₀(794587856573419)⌋+1=15     (A6) ↔ l(794587856)+l(573419)=9+6=l(794587856573419)=15     (A6)'↔(A6')'

• q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q,       (A4) ↔ (A4)'

794587856⫲794587856573419=⌊794587856573419/10^(l(573419))⌋=794587856       (A4)'

• w⫲qw=qw - ⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw) - l(q))=w,       (A5) ↔ (A5) '

573419⫲794587856573419=794587856573419 - ⌊794587856573419/10^(l(573419))⌋*10^(l(794587856573419) - l(794587856))=573419   (A5) '

• q,w=(q⫲qw + w⫲qw)*10^(-l(w))=( ⌊qw/10^(⌊log₁₀(w)⌋+1)⌋+qw - ⌊qw/10^(⌊log₁₀(w)⌋+1 )⌋ )*10^(-(⌊log₁₀(w)⌋+1))          (A1')'''↔ (A1')''''

 794587856,573419 =794587856⫲794587856573419+((573419 ⫲794587856573419)*10^(-l(573419 )))=( ⌊794587856573419/10^(⌊log₁₀(573419 )⌋+1 )⌋+794587856573419 - ⌊794587856573419/10^(⌊log₁₀(573419 )⌋+1)⌋*10^(-(⌊log₁₀(573419 )⌋+1))         (A1')''''

• q,w=q⫲qw + ((w⫲qw) *10^(-l(w))) =(⌊qw/10^(⌊log₁₀(w)⌋+1 )⌋ + qw - ⌊qw/10^(⌊log₁₀(w)⌋+1 )⌋ ) * 10^( - (∑(n=1→n=x: [((1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])))        (A1')'''↔ (A1')''''. 

794587856⫲794587856573419+((573419⫲794587856573419)*10^(-l(0,573419)))= (⌊794587856573419/10^(⌊log₁₀(573419)⌋+1)⌋+794587856573419 - ⌊794587856573419/10^(⌊log₁₀(573419)⌋+1)⌋ )*10^(-( ∑(n=1→n=6: [((1-⌈ |⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|/(|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆)i])))=(0; 0; 0; 0; 0; 794587856,573419)         (A1')'''↔ (A1')''''. 

⁂⁂⁂

2) Les expressions générales des opérations fondamentales en arithmétique des chiffres qui font le nombre décimal:

⁂

2.a L'opération fondamentale de concaténation des chiffres du nombre décimal

⁂

Précédemment nous avons définis un nombre décimal comme le résultat deux opérations possible soit une opération de concaténation décimale ou soit une opération de déconcaténation décimale, une différentiation sémantique permettant de catégoriser les opérations possibles de déconcaténation et de concaténation que nous continuons en écrivant maintenant l'expression élémentaire de la concaténation des chiffres du nombre décimal q,w soit l'opération de concaténation non décimale non plus notée comme précédemment q∣∣0,w=q,w, mais l'opération de concaténation des parties des chiffres du nombre q de la partie entière et du nombre w de la partie décimale du nombre décimal q,w, préalablement concaténé, donc une opération de concaténation notée w∣∣0,w=qw, et résultante dans un nombre non décimal qw comme l'opération de concaténation de deux nombres q et w notée q∣∣w. Nous obtenons ainsi une autre expression de l'opération de concaténation des chiffres d'un nombre décimal q,w, sachant que pour deux nombres concaténés q et w formant le nombre non décimal qw, avec q ∈ N* et w ∈ N et une opération de concaténation notée q∣∣w, dont l'expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1) + w. Alors l'expression élémentaire de l'opération de concaténation des chiffres d'un nombre décimal q,w est défini et noté comme suit:

∀ q,w ∈ D, le nombre décimal appartenant à l'ensemble des nombres décimaux, avec les chiffres de la partie décimale w du nombre noté q,w, définis comme suit: a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ=(wₙ₌₁; wₙ₊₁; wₙ₊₂;wₙ₊₃; wₙ₊₄; wₙ₊₅; wₙ₊₆; wₙ₊₇...wₙ₌ₓ) ⊆ D ↔ SeqDₙ₌ₓ=({w=wₙ ∈ [wₙ₌₁; wₙ₌ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices n notés ₙ ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌ₓ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌ₓ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ ⊆ D ∧ a(wₙ₌₁)=wₙ₌₁ ∈ SeqDₙ ⊆ D*, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(wₙ)=wₙ signifiant une fonction a sur D, (en rappelant qu'un nombre décimal n ∈ D est un nombre qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale de positions; qu'il est composé de deux parties: la partie entière et la partie décimale, séparées par une virgule; qu'il est un nombre décimal positif, ou négatif ou nul), avec a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ ⊆ D; alors nous écrivons l'expression de l'opération de la suite récurrente de la concaténation des chiffres de la partie décimale w avec les chiffres de la partie entière q du nombre décimal q,w comme suit:

q∣∣w=q*10^(⌊log(w)⌋+1) + w=qw                       (A6) ↔ (A6)' 

q∣∣w=q*10^(⌊log(0,w*10^l(0,w))⌋+1)+0,w*10^l(0,w)=qw  (A6)'↔ (A6)'', avec l'expression 

de la quantité de chiffres de la partie décimale 0,w du nombre q,w, qui est notée l(0,w)=∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)*)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ⌉)i])   (A2'); et avec 0,w=q,w-⌊q,w⌋ donc 0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ= S(n=1→n=x: [ (q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ -⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ⌋)i]). Par convention le sens de l'orientation de l'accroissement indiciel du chiffre est celui qui commence à la droite du nombre correspondant au chiffre des unités vers la gauche.

q∣∣w=q*10^(⌊log((q,w-⌊q,w⌋)*10^(∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])))⌋+1) + (q,w-⌊q,w⌋)*10^(∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i]))=qw               (A6)'' ↔ (A6)'''

q∣∣w=q*10^(⌊log((q,w-⌊q,w⌋)*10^(∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(S(n=1→n=x: [ (q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ -⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ⌋)i]) )⌋+1|/(|⌊log(S(n=1→n=x: [ (q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ -⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ⌋)i]) )⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])))⌋+1) + (q,w-⌊q,w⌋)*10^(∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(S(n=1→n=x: [ (q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ -⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ⌋)i]) )⌋+1|/(|⌊log(S(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ -⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ⌋)i]) )⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i]))=qw        (A6)'''

⁂⁂

Pour illustrer les expressions ci-dessus, prenons l'exemple de la valeur des variables qw=794587856573419, q,w=794587856,573419, q=794587856, 0,w=0,573419, et w=573419, alors nous écrivons dans le même ordre des expressions générales précédentes:

q∣∣w=q*10^(⌊log(w)⌋+1)+w=qw          (A6) ↔ (A6')' 

794587856 ∣∣ 573419=794587856*10^(⌊log(573419)⌋+1)+573419=794587856573419     (A6')' ↔ (A6)' 

q∣∣w=q*10^(⌊log(0,w*10^l(0,w))⌋+1) + 0,w*10^l(0,w)=qw   (A6)'↔(A6')'', 

avec l'expression de la quantité de chiffres de la partie décimale 0,w du nombre q,w, qui est notée l(0,w)=∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])   (A2'); et avec 0,w=q,w-⌊q,w⌋ donc 0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ= S(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ -⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ⌋)i]) 

794587856 ∣∣ 573419=794587856*10^(⌊log(0,573419*10^l(0,573419))⌋+1)+

0,573419*10^l(0,573419)=794587856573419   (A6'')' ↔ (A6'')'', avec l'expression de la quantité de chiffres de la partie décimale 0,573419 du nombre 794587856,573419, qui est notée l(0,573419)=∑(n=1→n=6: [ (1-⌈|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|/(|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆))i])   (A'6')      (A2'); et avec 0,573419=794587856,573419-⌊794587856,573419⌋ donc 0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆=S(n=1→n=6:[(794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆ -⌊794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆⌋)i])     (A'6')' 

l(0,573419)=∑(n=1→n=6: [(1-⌈|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|/(|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆))i])=(0; 0; 0; 0; 0; 6)     (A'6') 

0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆=S(n=1→n=6: [(794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆ -⌊794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆⌋)i])=(0,000009; 0,000019; 0,000419; 0,003419; 0,073419; 0,573419)       (A'6')' 

q∣∣w=q*10^(⌊log((q,w-⌊q,w⌋)*10^(∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆)i])))⌋+1) + (q,w-⌊q,w⌋)*10^(∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆))i]))=qw      (A6)'' ↔ (A6)'''

794587856 ∣∣ 573419=794587856*10^(⌊log((794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆-⌊794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆⌋)*10^(∑(n=1→n=6: [ (1-⌈|⌊log(S(n=1→n=6: [ (794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆-⌊794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆⌋)i]) )⌋+1|/(|⌊log(S(n=1→n=6: [ (794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆-⌊794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆⌋))i]) )⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆)i])))⌋+1) + (794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆-⌊794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆⌋)*10^( ∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(S(n=1→n=6: [ (794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆-⌊794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆⌋)i]) )⌋+1|/(|⌊log(S(n=1→n=6: [(794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆-⌊794587856,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆⌋)i]) )⌋+1|+1)⌉ )*nₙ₌₁→ₙ₌₆)i]))=(7945878565,73419; 79458785657,3419; 794587856573,419; 7945878565734,19; 79458785657341,9; 794587856573419)         (A6)'''

⁂⁂

Nous considérons maintenant encore cette même expression de l'opération de concaténation des chiffres d'un nombre décimal q,w, mais non plus comme précédemment comme équivalente à l'expression simple de la concaténation non décimale, mais comme les expressions multiples d'une suite récurrente de concaténation des chiffres d'un nombre décimal q,w et dont l'opérateur de la suite de concaténation est noté｜,｜. Alors en reprenant encore ce que nous avions écrit précédemment au chapitre 25 sur les opérations de terminaisons segmentales, nous réécrivons donc encore tout d'abord les définitions et les expressions des opérations de déconcaténation sur un seul nombre décimal, c'est-à-dire que l'opération de déconcaténation des éléments d'un ensemble séquentiel qui sont des chiffres d'un nombre décimal, q,w formé par une suite de nombres concaténée, est défini comme l'opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments l'opération qui est notée en général pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ R, q∣∣w, et que nous définissons puis illustrons comme la concaténation interne de la partie décimale et de la partie non décimale des chiffres d'un nombre décimal qui peut être étendu ensuite à une opération de concaténation de deux nombres décimaux q,w et q',w', suivit d'une opération de concaténation de deux nombres qw et q'w', que nous avons défini précédemment et notée qw∣∣q'w'=qwq'w'. Donc soit q le nombre correspondant à la partie entière d'un nombre q,w et soit w le nombre correspondant à la partie décimale de ce même nombre, alors l'opération de la concaténation décimale notée q∣∣w des chiffres des nombres q et w du nombre décimal q,w est défini de la façon suivante après que les expressions obtenues par leur suite récurrente de sommation représentée par l'opérateur noté ∑ soient définies de deux manières:

• soit comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant soit à une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres et qui est en général notée:

∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l'indice de l'étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d'un nouvel élément dans l'ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.

• soit comme la somme totale des éléments que sont les nombres de la suite et qui n'est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l'indexe des éléments indexés sur N* d'un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée:

∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)).

Ainsi, après avoir maintenant défini l'opérateur sigma de deux façons, l'expression de l'opération de concaténation des chiffres d'un nombre décimale correspondante à la première expression d'une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres, est donc définie comme l'expression d'une relation de récurrence de la concaténation des chiffres d'un nombre décimal correspondant aux éléments de l'ensemble une suite de chiffres, soit une concaténation progressive partielle des chiffres du nombre décimal, c'est à dire une concaténation partielle jusqu'à la concaténation complète des chiffres de la partie décimale avec les chiffres de la partie entière d'un nombre décimal, donc une opération définie comme suit:

∀ q,w ∈ D, le nombre décimal appartenant à l'ensemble des nombres décimaux, avec les chiffres de la partie décimale w du nombre noté q,w, définis comme suit: a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ=(wₙ₌₁; wₙ₊₁; wₙ₊₂;wₙ₊₃; wₙ₊₄; wₙ₊₅; wₙ₊₆; wₙ₊₇...wₙ₌ₓ) ⊆ D ↔ SeqDₙ₌ₓ=({w=wₙ ∈ [wₙ₌₁; wₙ₌ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices n notés, ₙ ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌ₓ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌ₓ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ ⊆ D ∧ a(wₙ₌₁)=wₙ₌₁ ∈ SeqDₙ ⊆ D*, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(wₙ)=wₙ signifiant une fonction a() sur D, (en rappelant qu'un nombre décimal n ∈ D est un nombre qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale de positions; qu'il est composé de deux parties: la partie entière et la partie décimale, séparées par une virgule; qu'il est un nombre décimal positif, ou négatif ou nul), avec a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ ⊆ D; alors nous écrivons l'expression de l'opération de la suite récurrente de la concaténation des chiffres de la partie décimale w avec les chiffres de la partie entière q du nombre décimal q,w comme suit:

｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i ] )=⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ/10^(⌊Log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋)⌋=(q∣,∣wₙ₌₁; q,wₙ₌₁∣,∣wₙ₊₂; q,wₙ₌₁wₙ₊₂∣,∣wₙ₊₃; q,wₙ₌₁wₙ₊₂wₙ₊₃∣,∣wₙ₊₄; q,wₙ₌₁wₙ₊₂wₙ₊₃wₙ₊₄...wₙ₌ₓ₋₁∣,∣wₙ₌ₓ ) (A7) ↔ (A7')

｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])=(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(0,wₙ₌₁)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(0,wₙ₌₂)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(0,wₙ₌₃)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(0,wₙ₌₄)⌋)⌋;…⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(0,wₙ₌ₓ)⌋)⌋ ).              (A7')↔ (A7''). Par convention le sens de l'orientation de l'accroissement indiciel du chiffre est celui qui débute à la droite du nombre correspondant au chiffre des unités vers la gauche.

L'expression notée ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋ du dernier terme de cette suite (A7'') correspond à l'expression de la concaténation finale ou complète des chiffres d'un nombre décimal avec les chiffres de la partie entière d'un nombre décimal comme suit:

｜,｜(n=x: [(q,wₙ₌ₓ)i₌ₓ ] )=⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(0,wₙ₌ₓ)⌋)⌋        (A7'')'

⁂

Pour illustrer l'expression ci-dessus de l'opération de la suite récurrente de concaténation des chiffres d'un nombre décimal c'est-à-dire des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres formant un nombre décimal, prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419, q=794587856 et 0,w=0,573419, alors:

｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i ]=⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋)⌋=(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ∣,∣wₙ₌₁; q,wₙ₌₁∣,∣wₙ₊₂; q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ∣,∣wₙ₊₃; q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ∣,∣wₙ₊₄; …q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ∣,∣wₙ₌ₓ)  (A7) ↔ (A7')

｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i])=(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)⌋)⌋; ⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)⌋)⌋; ⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)⌋)⌋ ; ⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)⌋)⌋ ;⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)⌋)⌋ )        (A7') ↔ (A7'')

｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i] )=(7945878565,73419; 79458785657,3419;

794587856573,419; 7945878565734,19; 79458785657341,9; 794587856573419)   (A7'')

Puis en replaçant les variables par les valeurs correspondantes dans l'expression notée ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋ du dernier terme de cette suite (A7'') correspondant à l'expression de la concaténation finale ou complète d'un nombre décimal nous obtenons l'expression simple de la concaténation d'un nombre décimal, c'est-à-dire une seule expression dont le résulta est la concaténation de tous les chiffres de la partie décimale avec les chiffres de la partie entière comme suit:

｜,｜(n=x: [(q,wₙ₌ₓ)i₌ₓ] )=⌊q,wₙ₌ₓ /10^(⌊log(0,wₙ₌ₓ)⌋)⌋            (A7'')' ↔ (A7'')''

｜,｜(n=6: [(794587856,573419)i₌₆])=⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)⌋)⌋=794587856573419          (A7'')''

⁂⁂

Une autre expression de l'opération de concaténation des chiffres d'un nombre décimal q,w dont la forme est comme précédemment celle d'une suite récurrente de concaténation des chiffres d'un nombre décimal q,w correspondant à une suite de sommation qui est définie et donc notée ∑ avec la notation i représentant l'indice de l'étape de sommation, comme suit:

｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i]) = ∑(n=1→n=x: [(1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*( q,w*10^( (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ))) )i])          (A8). 

Pourquoi écrire une expression plus compliquée que celle plus simple précédemment est pour illustrer l'utilisation de l'expression de la quantité de chiffres de la partie décimale 0,w du nombre q,w et notée l(0,w)=∑(n=1→n=x: [ (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)i])                (A2') 

⁂

Pour illustrer l'expression ci-dessus de l'opération de la suite récurrente de concaténation des chiffres d'un nombre décimal c'est-à-dire des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres formant un nombre décimal, prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419, q=794587856 et 0,w=0,573419, alors:

｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i]) = ∑(n=1→n=x: [(1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*( q,w*10^( (1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ))) )i])          (A8) ↔ (A8)' 

｜,｜(n=1→n=15: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌₆)i])=∑(n=1→n=15: [(1-⌈|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|/(|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|+1)⌉)*( 794587856,573419*10^( (1-⌈|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|/(|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆))) )i])=(0; 0; 0; 0; 0; 794587856573419; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)       (A8)' 

⁂⁂⁂

2.b L'opération fondamentale de déconcaténation décimale droite des chiffres du nombre décimal

⁂

Nous écrivons maintenant l'expression de l'opération opposée à celle de l'opération précédente de concaténation décimale, l'opération de déconcaténation décimale qui est notée en général q⫲w, ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w. Mais plus précisément il existe deux types d'opérations de déconcaténation des chiffres d'un nombre décimal, c'est à dire, des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres qui sont des chiffres d'un nombre formé par une suite de nombres concaténée: l'opération de la déconcaténation décimale droite et de la déconcaténation gauche.
Tout d'abord, l'expression de l'opération de la déconcaténation décimale dite droite des deux nombres q non décimal ou décimal et w décimal qui sont concaténés formant le troisième nombre décimal résultant de cette concaténation, soit q,w, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité, est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions possibles de l'opération de déconcaténation décimale droite, respectivement notées q⫲q,w et w⫲q,w définis toujours respectivement de la façon suivante:

q⫲q,w=⌊q,w/10^(l(w)-1)⌋*10^((l(w)-1)*(1-⌈l(w)/(|l(w)|+1)⌉))=⌊q,w/10^(log(w))⌋*10^((log(w))*(1-⌈(log(w)+1)/(|(log(w)+1)|+1)⌉))=q (A2), avec l(w)=⌊log(w+1)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres de la partie entière du nombre décimal w en base 10.

⁂

Pour illustrer ci-dessus, la première expression q⫲q,w de l'opération de déconcaténation droite des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres, prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=79 et w=4587856,573419; alors nous écrivons:

q⫲q,w=⌊q,w/10^(log(w))⌋*10^((log(w))*(1-⌈(log(w)+1)/(|(log(w)+1)|+1)⌉))   (A2) ↔ (A2)'

79⫲794587856,573419 =⌊794587856,573419/10^(log(4587856,573419))*10^((log(4587856,573419))*(1-⌈(log(4587856,573419)+1)/(|(log(4587856,573419)+1)|+1)⌉))=79            (A2)'

⁂

La deuxième expression w⫲q,w de l'opération de déconcaténation décimale droite si elle correspond tout d'abord à la première expression d'une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres, qui est donc définie comme une expression d'une relation de récurrence de la déconcaténation décimale d'une suite de chiffres, soit une déconcaténation décimale partielle jusqu'à la déconcaténation complète des chiffres, dépend aussi de l'expression de l'opération de la quantité de chiffres des éléments résultants de l'opération précédente de suite récurrente de concaténation décimale, et une opération (2')' définie et notée en général comme suit après avoir rappeler en les réécrivant les expressions
(1) ↔ (1') de l'opération de concaténation précédente, notée,｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] ), union l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite des chiffres de la partie entière du nombre décimal, notée:
｜⫦｜( n=1→ n=y: [(a(qₙ))i] ); sachant que l’union des ensembles A et B, notée A ∪ B, correspondant à l’ensemble de tous les objets qui sont membres de A, ou B, ou les deux. Par exemple, l’union de {1, 2, 3} et {2, 3, 4} est l’ensemble {1, 2, 3, 4}. Alors, la deuxième expression w⫲qw de l'opération de déconcaténation décimale s'écrit en trois étapes comme suit:

Tout d'abord, l'expression de l'union ensembliste séquentielle des expressions de l'opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite des chiffres de la partie entière du nombre décimal et de l'opération de concaténation décimale interne des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres formant un nombre décimal, est définie comme suit:

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ )i] )= ( |a(qₙ₌₁)|; |a(qₙ₌₁)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; |a(qₙ₌₁)| ⫲ |a(qₙ₊₁)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; a(qₙ₌₁)| ⫲ |a(qₙ₊₁)| ⫲ |a(qₙ₊₂)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(qₙ₌₁)| ⫲ |a(qₙ₊₁)| ⫲ |a(qₙ₊₂)| ⫲ |a(qₙ₊₃)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(qₙ₌₁)| ⫲ |a(qₙ₊₁)| ⫲ |a(qₙ₊₂)| ⫲ |a(qₙ₊₃)| ⫲ |a(qₙ₊₄)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(qₙ₌₁)| ⫲ |a(qₙ₊₁)| ⫲ |a(qₙ₊₂)| ⫲ |a(qₙ₊₃)| ⫲ |a(qₙ₊₄)| ⫲ |a(qₙ₊₅)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(qₙ₌₁)| ⫲ |a(qₙ₊₁)| ⫲ |a(qₙ₊₂)| ⫲ |a(qₙ₊₃)| ⫲ |a(qₙ₊₄)| ⫲ |a(qₙ₊₅)|⫲ |a(qₙ₊₆)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; |a(qₙ₌₁)| ⫲...⫲ |a(qₙ₌x)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|) )
⋃ ( q∣,∣wₙ₌₁;q,wₙ₌₁∣,∣wₙ₊₂; q,wₙ₌₁wₙ₊₂∣,∣wₙ₊₃;q,wₙ₌₁wₙ₊₂wₙ₊₃∣,∣wₙ₊₄; q,wₙ₌₁wₙ₊₂wₙ₊₃wₙ₊₄...wₙ₌ₓ₋₁∣,∣wₙ₌ₓ )       (3) ↔ (3')

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i ]) = (⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋; ⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w/10^(⌊log(qₙ₌₂→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋;⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₃→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋; ⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₄→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋;…⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌ₓ,w)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₁)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₂)⌋)⌋;⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₃)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₄)⌋)⌋;…⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋)      (3')

Ensuite, la deuxième étape de l'élaboration de l'expression w⫲q,w de l'opération de déconcaténation décimale, correspond à écrire l'expression de l'opération d'indexation des nombres résultant de l'union ensembliste séquentielle des expressions de l'opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite des chiffres de la partie entière du nombre décimal et de l'opération de concaténation décimale interne des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres formant un nombre décimal, est équivalente à l'opération de la quantité des chiffres de ces mêmes nombres.

a(n)=l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i]))=(⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w/10^(⌊log(qₙ₌₂→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₃→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₄→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋)⌋+1;…⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌ₓ,w)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₁)⌋)⌋)⌋ +1; ⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₂)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₃)⌋)⌋)⌋ +1; ⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₄)⌋)⌋)⌋+1;…⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋)⌋+1)    (2) → (2')

Finalement, avec la troisième étape de l'élaboration de l'expression w⫲q,w de l'opération de déconcaténation décimale, nous l'obtenons dans la dernière expression imbriquée des deux expressions imbriquées précédentes que nous écrivons comme suit:

q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ - a(n)+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ - a(n)+2)      (3')

q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ - l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] ))+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ - l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: ([q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ] )i))+2)        (3')'

⁂

Pour illustrer les expressions ci-dessus des trois étapes de calcul pour l'obtention de la deuxième expression w⫲q,w de l'opération de déconcaténation décimale droite, prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=794587856 et w=0,573419. Alors nous écrivons l'expression de la première étape comme suit:

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] )       (A3) ↔ (A3)'

｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i])=(⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)⌋)⌋)           (A3)' ↔ (A3)''


｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i] ) =(7; 79; 794; 7945;79458; 794587; 7945878; 79458785; 794587856; 7945878565,73419 ; 79458785657,3419 ; 794587856573,419 ; 7945878565734,19 ; 79458785657341,9 ; 794587856573419)       (A3)''

Puis nous écrivons l'expression de la deuxième étape de calcul pour l'obtention de la deuxième expression w⫲q,w de l'opération de déconcaténation décimale droite, comme suit:

a(n)=l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])) (A3')↔(A3')'

l(｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i] )) =( ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)⌋)⌋)⌋+1)              (A3')' ↔ (A3')''


l(｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i]))=(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15)                                     (A3')''

Puis nous écrivons l'expression de la troisième et dernière étape de calcul pour l'obtention de la deuxième expression w⫲q,w de l'opération de déconcaténation décimale droite, comme suit:

q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ - a(n)+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ - a(n)+2)=q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ - l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] ))+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ - l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: ([q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ] )i))+2)                 (A3'')' ↔ (A3'')''


q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ - a(n)+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ - a(n)+2)=( 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 1+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 1+2 ; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 2+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 2+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 3+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 3+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 4+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 4+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 5+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 5+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 6+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 6+2 ; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 7+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 7+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 8+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 8+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 9+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 9+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 10+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 10+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 11+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 11+2 ; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 12+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 12+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 12+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 12+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 12+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 12+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 13+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 13+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 14+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 14+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 15+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 15+2 ) (A3'')''↔ (A3''')''q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ - a(n)+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ - a(n)+2)=( 794 587 856,573419; 94 587 856,573419; 4 587 856,573419; 587 856,573419; 87 856,573419; 7856,573419; 856,573419; 56,573419; 6,573419; 0,573419; 0,073419; 0,003419; 0,000419; 0,000019; 0,000009 )                                          (A3''')''

⁂⁂⁂

2.c L'opération fondamentale de déconcaténation décimale gauche des chiffres du nombre décimal

⁂

Ensuite, l'expression de la déconcaténation décimale dite gauche des deux nombres q et w qui sont concaténés formant le troisième nombre décimal q,w, résultant de cette concaténation, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité, est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions possibles de l'opération de déconcaténation décimale gauche, respectivement notées identiquement à précédemment w⫲q,w et q⫲q,w, et définies encore respectivement de la façon suivante pour la première expression:
q⫲q,w= ⌊q,w/10^(l(w))⌋*10^⌊l(w)⌋=q, (A4), avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui n'est plus l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, comme précédemment pour les chiffres du nombre non décimal, mais la puissance de 10 du polynôme en puissance de dix de la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w. La convention usuelle de notation mathématique est d'ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre décimal par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle: les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w=(cₙ; cₙ₋₁; cₙ₋₂; c₁; c₀; c'₀; c'₁;… ; c' ₙ₋₂ ; c'ₙ₋₁; c'ₙ ) dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients c et c' compris entre 0 et 9 sont respectivement les chiffres de la partie entière et de la partie décimale du nombre q,w, s'écrit de la manière suivante:

q,w=cₙ*10^n + cₙ₋₁*10 ^(n-1) + cₙ₋₂*10^(n-2) +…+ c₁*10^(1) + c₀*10^(0) +c'₁*10^(-1) + c'₂*10^(-2) + c'ₙ₋₁*10 ^(-n+1) + c'ₙ₋₂*10^(-n+2) +… + c'ₙ*10^-n

⁂

Pour illustrer l'expression (A4) ci-dessus de l'opération de déconcaténation décimale gauche des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres qui sont les chiffres d'un nombre décimal, q,w, et que nous feront correspondre à l'opération de déconcaténation décimale gauche d'une suite récurrente de nombres, reprenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=794587856 et w=0,573419, les variables de la déconcaténation gauche décimale notée w⫲q,w alors:

｜⫣｜(n=1→n=15: [(a(rₙ))i])=( ⌊794587856533/10^(⌊log(0,000009)⌋+1)⌋*(⌊log(0,000009)⌋+1); ⌊794587856533/10^(⌊log(0,000019)⌋+1)⌋ *(⌊log(0,000019)⌋+1));⌊794587856533/10^(⌊log(0,000419)⌋+1)⌋*(⌊log(0,000419)⌋+1)); ⌊794587856533/10^(⌊log(0,003419)⌋+1)⌋*(⌊log(0,003419)⌋+1); ⌊794587856533/10^(⌊log(0,073419)⌋+1)⌋*(⌊log(0,073419)⌋+1);⌊794587856533/10^(⌊log(0,573419)⌋+1)⌋*(⌊log(0,573419)⌋+1); ⌊794587856533/10^(⌊log(6,573419)⌋+1)⌋*(⌊log(6,573419)⌋+1); ⌊794587856533/10^(⌊log(56,573419)⌋+1)⌋*(⌊log(56,573419)⌋+1); ⌊794587856533/10^(⌊log(856,573419)⌋+1)⌋*(⌊log(856,573419)⌋+1); ⌊794587856533/10^(⌊log(7856,573419)⌋+1)⌋*(⌊log(7856,573419)⌋+1); ⌊794587856533/10^(⌊log(87856,573419)⌋+1)⌋*(⌊log(87856,573419)⌋+1); ⌊794587856533/10^(⌊log(587856,573419)⌋+1)⌋ *(⌊log(587856,573419)⌋+1);⌊794587856533/10^(⌊log(457856,573419)⌋+1)⌋*(⌊log(457856,573419)⌋+1) ; ⌊794587856533/10^(⌊log(9457856,573419)⌋+1)⌋*(⌊log(9457856,573419)⌋+1) )      (A4') ↔ (A4')'

｜⫣｜(n=1→n=15: [(a(rₙ))i])=(79 458 785 6,57 3410; 7 945 878 56,5 73400; 794 587 856, 573000; 79 458 785 6,570000; 7 945 878 56,50000; 794 587 856,000000; 79 458 7850,000000; 7 945 87800,000000; 794 587000,000000; 79 4580000,000000; 7 94500000,000000; 79400000,000000; 79000000,000000; 70000000,000000)        (A4')' → (A4)

Donc en reprenant le cas particulier des éléments de cette suite de nombres avec les variables de la déconcaténation gauche décimale notée w⫲q,w, qui sont q=794587856 et w=0,573419 alors nous obtenons:

q⫲q,w=⌊q,w/10^(l(w))↔ 794587856 ⫲794587856,573419

=⌊794587856,573419/10^(l(0,573419))⌋=⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋+1)⌋= 794587856        (A4)

⁂

Puis, la deuxième expression de la déconcaténation décimale dite gauche des deux nombres q et w qui sont concaténés formant le troisième nombre décimal résultant de cette concaténation, soit q,w, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité, notée w⫲q,w, correspond à l'une des expressions de l'opération de suite récurrente
de déconcaténation décimale gauche des chiffres d'un nombre est définie encore respectivement de la façon suivante:

｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(w⫲q,w))i])=q,w-⌊q,w/10^(⌊log([w⫲q,w]ₙ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( [w⫲q,w]ₙ₋₁)+1⌋+1)         (A5)

⁂

Pour illustrer la deuxième expression ci-dessus de l'opération de suite récurrente de déconcaténation décimale gauche des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres, reprenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=794587856 et w=0,573419, les variables de la déconcaténation gauche décimale notée w⫲q,w alors:

｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(w⫲q,w))i])=q,w-⌊q,w/10^(⌊log([w⫲q,w]ₙ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( [w⫲q,w]ₙ₋₁)+1⌋+1)       (A5) ↔ (A5)'

｜⫣｜(n=1→n=15: [(a(w⫲794587856,573419 ))i])=( 0,000009; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 0,000009)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 0,000019)+1⌋+1);794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 0,000419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log( 0,003419)+1⌋+1);
794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 0,073419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 0,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 6,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 56,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 856,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 7856,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 87856,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log( 587 856,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 587 856,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log( 4587 856,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 4587 856,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log( 94587 856,573419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 94587 856,573419)+1⌋+1); 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log( 794587 856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587 856,573419)+1⌋+1))           (A5)' ↔ (A5)''

｜⫣｜(n=1→n=15: [(a(w⫲794587856,573419 ))i])=(0,000009; 0,000019; 0,000419; 0,003419; 0,073419; 0,573419; 6,573419; 56,573419; 856,573419; 7 856,573419; 87 856,573419; 587 856,573419; 4 587 856,573419; 94 587 856,573419; 794 587 856,573419) (A5)''

Donc en reprenant le cas particulier des éléments de cette suite de nombres avec les variables de la déconcaténation gauche décimale notée w⫲q,w, qui sont q=794587856 et w=0,573419 alors nous obtenons:

0,573419⫲794587856,573419=794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^( ⌊log( 0,073419)+1⌋+1) = 0,573419 (A5')

⁂⁂⁂

3) L'opération fondamentale de déconcaténation décimale droite et gauche des chiffres du nombre décimal par la quantité de chiffres

⁂

3.a L'opération fondamentale de déconcaténation décimale droite des chiffres du nombre décimal par la quantité de chiffres

⁂

Remarquons que dans certaine des expressions précédentes, il est possible d'écrire seulement la quantité de chiffres que nous souhaitons déconcaténer sans écrire le nombre correspondant à cette quantité, c'est-à-dire en reprenant les exemples précédents et tout d'abord avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la gauche du nombre c'est-à-dire son rang du premier chiffre le plus élevé par rapport à son dernier chiffre des unités situé à la droite du nombre, donc de la façon suivante pour tout d'abord l'opération de déconcaténation décimale droite (partant du ou des chiffre(s) le plus à gauche du nombre déconcaténé et en déconcaténant le ou les chiffres à sa droite) indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à gauche du nombre décimal:

• q⫲q,w=q,w-⌊q,w/10^(l(q,w)-n+1)⌋*10^(l(q,w)-n+1)=q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)=w; avec l(q,w)=⌊log(q,w)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres de la partie entière du nombre décimal q,w en base 10.       (A6).

• w⫲q,w=⌊q,w/10^(l(q,w)-n)⌋*10^l(wₙ₋₁)=⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+1)⌋*(⌊log(wₙ₋₁)⌋+1)=q; avec l(q,w)=⌊log(q,w)⌋+1, qui est l'expression de la quantité de chiffres de la partie entière du nombre décimal q,w en base 10; et avec l(w)=⌊log(w+1)⌋+1, qui est l'expression de la puissance de 10 du polynôme en puissance de dix de la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w. La convention usuelle de notation mathématique est d'ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre décimal par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle: les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w=(cₙ; cₙ₋₁; cₙ₋₂; c₁; c₀; c'₀; c'₁;… ; c' ₙ₋₂ ; c'ₙ₋₁; c'ₙ ) dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients c et c' compris entre 0 et 9 sont respectivement les chiffres de la partie entière et de la partie décimale du nombre q,w, s'écrit de la manière suivante: 

q,w=cₙ*10^n + cₙ₋₁*10 ^(n-1) + cₙ₋₂*10^(n-2) +…+ c₁*10^(1) + c₀*10^(0) +c'₁*10^(-1) + c'₂*10^(-2) + c'ₙ₋₁*10 ^(-n+1) + c'ₙ₋₂*10^(-n+2) +… + c'ₙ*10^-n ; et wₙ₋₁=q⫲q,w=q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n₋₁+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-n₋₁ +2).      (A6)'.

⁂

À nouveau pour illustrer les deux expressions ci-dessus de l'opération de déconcaténation droite des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres, reprenons encore l'exemple des valeurs de la variable q,w=794587856,573419, avec q=794 et n=3, alors w=587856,573419:

q⫲q,w=q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2))*10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)=w ↔ 794⫲794587856,573419
=794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 4+2)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 4+2)

794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-4+2)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ - 4+2) =587856,573419            (A6)

w⫲q,w=⌊q,w/10^(l(q,w)-n)⌋*10^l(wₙ₋₁)=⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+1)⌋*(⌊log(wₙ₋₁
)⌋+1)=q ↔ 587856,573419⫲794587856,573419        (A6)'=(A6')'

587856,573419⫲794587856,573419 =⌊794587856,573419/10^(l(794587856,573419)-3)⌋*10^l(4587856,573419)=⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-3+1)⌋*(⌊log(4587856,573419)⌋+1)                  (A6')'=(A6')''

587856,573419⫲794587856,573419=794.                (A6')''

⁂⁂⁂

3.b L'opération fondamentale de déconcaténation décimale gauche des chiffres du nombre décimal par la quantité de chiffres

⁂

Ensuite pour l'opération de déconcaténation décimale gauche encore avec n correspondant au nombre de chiffres "déconcaténés" en partant de la droite du nombre c'est-à-dire son rang du premier chiffre le moins élevé donc celui des unités par rapport à son dernier chiffre de rang le plus élevé situé à la gauche du nombre, donc de la façon suivante pour la déconcaténation gauche indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres "déconcaténés" en partant du premier chiffre situé à droite du nombre, le chiffre des unités:
q⫲q,w=q,w-⌊q,w/10^x⌋*10^x=w       (A7); avec l(q)<=8, et avec x=⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋+1-n+1)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-n+1+1))⌋-1, et qui est l'expression de la puissance de 10 du polynôme en puissance de dix de la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w. La convention usuelle de notation mathématique est d'ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre décimal par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle: les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w=(cₙ; cₙ₋₁; cₙ₋₂; c₁; c₀; c'₀; c'₁;… ; c'ₙ₋₂; c'ₙ₋₁; c'ₙ) dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients c et c' compris entre 0 et 9 sont respectivement les chiffres de la partie entière et de la partie décimale du nombre q,w, s'écrit de la manière suivante:

q,w=cₙ*10^n + cₙ₋₁*10 ^(n-1)+ cₙ₋₂*10^(n-2) +…+ c₁*10^(1) + c₀*10^(0) +c'₁*10^(-1) + c'₂*10^(-2) + c'ₙ₋₁*10 ^(-n+1) + c'ₙ₋₂*10^(-n+2) +… + c'ₙ*10^-n=cₙ*10^x₁₁ + cₙ₋₁*10 ^(x₁₀) + cₙ₋₂*10^(x₉) +…+ c₁*10^(x₈) + c₀*10^(x₇) +c'₁*10^(x₆) + c'₂*10^(x₅) …+ c'ₙ₋₁*10 ^(x₃) + c'ₙ₋₂*10^(x₂) +… + c'ₙ*10^x₁; remarquons que l'expression x =⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋+1-n+1)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-n+1+1))⌋-1, correspond à une suite de nombre inverse à la suite de nombre des puissances de dix de la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w.

w⫲q,w=⌊q,w/10^x⌋*10^x=q           (A7)'

⁂⁂

A nouveau pour illustrer les deux expressions ci-dessus de l'opération de déconcaténation gauche des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres, reprenons encore l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec w=7856,573419, et n=10, alors:

x=⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-10+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-10+1+1))⌋-1=4q⫲q,w=q,w-⌊q,w/10^x⌋*10^x=w    (A7) ↔ (A7')

79458⫲794587856,573419=794587856,573419-⌊794587856,573419/10^4⌋*10^4=7856,573419        (A7')

w⫲q,w=⌊q,w/10^x⌋*10^x=q ↔ 7856,573419⫲794587856,573419     (A7')'↔ (A7')'

7856,573419⫲794587856,573419=⌊794587856,573419/10^4⌋*10^4=794 580 000    (A7')'

⁂⁂⁂

4) Les deux opérations fondamentales de rang gauche et de rang droit des chiffres du nombre décimal

⁂

Si précédemment nous avions défini l'opération de concaténation décimale du nombre décimal q,w comme résultant dans un nombre non décimal qw, alors par cette même opération et puisque celui-ci est le résultat de cette opération de concaténation du nombre décimal alors nous pouvons définir par extension les deux opérations fondamentales de rang gauche et de rang droit des chiffres du nombre non décimal par extension au chiffre du nombre décimal. Mais si les expressions définies précédemment au chapitre 78 s'appliquent ainsi au nombre décimal q,w concaténé en un nombre non décimal qw, alors nous pouvons néanmoins écrire des expressions de rang gauche et droit spécifique au nombre décimal dont la première est celle de la notation elle-même du rang du chiffre du nombre décimal, car si comme pour les nombres non décimaux à chaque chiffre d'un nombre quelconque peut être associé à un nom qui décrit sa position, c'est-à-dire son rang comme les chiffres des unités, dizaines, centaines, milliers pour les nombres entiers, alors à ce rang j'associe aussi un numéro de rang de chiffres, mais dans le cas d'un nombre décimal nous pouvons associer en particulier le rang d'un chiffre de la partie entière q du nombre décimal q,w et le rang d'un chiffre de la partie décimale, w encore de ce même nombre décimal q,w et en général comme le rang à la fois d'un chiffre de la partie entière et de la partie décimale toujours de ce nombre décimal. Mais aussi nous écrivons les expressions correspondantes à deux fonctions de rang droit et gauche des chiffres successifs d'un nombre, soit le nombre de la partie entière, noté RNGeᵣ(dnumeₙ(qᵢ; q,w)) et RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; q,w)); soit le nombre de la partie décimale noté RNGdᵣ(dnumdₙ(wᵢ; q,w)) et RNGdₗ(dnumdₙ(wᵢ; q,w)); ou bien encore les deux à la fois et donc le nombre décimale, formant une suite non récurrente et qui est respectivement notée, RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ; q,w)) et RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; q,w)) avec dnumₙ(xᵢ; q,w) ∈ N ∧ Dnum(q,w)=(dnumₙ(a; q,w); dnumₐ(z; q,w); dnumₓ(k; q,w); dnumᵧ(h; q,w)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=h; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9). Notons que l'indice de répétition de la notation du chiffre dans cette nouvelle notation de la fonction de rang successif des chiffres d'un nombre, est une variable muette du fait que la fonction de rang n'est plus possiblement celle d'un seul chiffre, mais toujours celle d'un ensemble de chiffres, soit l'ensemble de tous les chiffres xᵢ du nombre y donc l'indice de répétition des chiffres n'est plus nécessaire puisque nous ne différencions plus les chiffres répétés comme d'ailleurs tous les autres chiffres. 

⁂⁂⁂

4.a Les deux opérations fondamentales de rang gauche  des chiffres du nombre décimal

⁂

J'écris tout d'abord l'expression de la suite récurrente du rang successif gauche des chiffres de la partie décimale wᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ, correspondante à la fonction de rang gauche des chiffres de la partie décimale wᵢ du nombre qᵢ ,wᵢ comme suit:

 Soit les éléments de l'ensemble des chiffres du nombre wᵢ, la partie décimale du nombre décimal qᵢ,wᵢ, que je note en général dnumdₙ(wᵢ; qᵢ,wᵢ) ∈ N ∧ Dnum(qᵢ ,wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ ,wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ ,wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ ,wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ ,wᵢ)…); ∀ q,w ∈ D*, ∀ wᵢ ∈ N, ∀ a ∈ N*, ∀ z, k, h ∈ N, avec wᵢ<⌊log₁₀(qw)⌋+1; ∀ dnumdₙ(wᵢ; qᵢ,wᵢ) ∈ DNum(qᵢ,wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ,wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ,wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ,wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ,wᵢ)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=h; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9); ∀ n ∈ N*: 

• RNGdₗ(dnumdₙ(wᵢ ; qᵢ ,wᵢ))=(1-(⌈(⌊log(qᵢ⫲qᵢ,wᵢ)⌉+1)/(|⌊log(qᵢ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1)+1)⌉))*nᵢ   (4) ↔ (4'); avec qᵢ⫲qᵢ,wᵢ=qᵢ,wᵢ-⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) = wᵢ ↔｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(qᵢ,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(w⫲qwᵢ)i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(qᵢ,wᵢ-⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ) = S(n=1→n=x: [(wᵢ)i] )      (4.1)

RNGdₗ(dnumdₙ(wᵢ ; qᵢ ,wᵢ)) = RNGdₗ(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(qᵢ,wᵢ

-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)/(|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉))*nᵢ)i] )     (4') 

 

⁂

Nous écrivons maintenant l'expression de la suite récurrente des chiffres successif gauche de la partie décimale wᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ correspondante à l'expression précédente de la suite récurrente de rang des chiffres de la partie décimale, ordonnés de la droite vers la gauche, comme suit:

Soit les éléments de l'ensemble des chiffres du nombre wᵢ la partie décimal du nombre décimal qᵢ ,wᵢ, que je note en général dnumdₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ) ∈ N ∧ Dnum(qᵢ, wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ, wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ, wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ, wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ, wᵢ)…); ∀ q,w ∈ D*, ∀ wᵢ ∈ N, ∀ a ∈ N*, ∀ z, k, h ∈ N, avec qᵢ<⌊log₁₀(qᵢwᵢ)⌋+1; ∀ dnumdₙ(qᵢ ; qᵢ , wᵢ) ∈ DNum(qᵢ, wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ , wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ ,wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ ,wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ ,wᵢ)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ= (xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=h; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9); ∀ n ∈ N*; alors la représentation ensembliste séquentielle des chiffres de la partie décimale du nombre dnumeₙ(xᵢ; q) | | dnumdₙ(yᵢ; w) ∈ DNume(q, w) = (dnumeₐ(a; q); dnumeₛ(z; q); dnumeₓ(k; q); dnumeᵧ(h; q)…) ⊔⊓ DNumd(q, w) = (dnumdₐ(a'; w); dnumdₛ(z'; w); dnumdₓ(k'; w); dnumdᵧ(h'; w)…), ∀ (xᵢ; yᵢ) ∈ Seq(Xᵢ₌ₓ;Yᵢ₌ₚ) = (xₙ; xₙ₋₁; xₙ₋₂; x₁; x₀; y₀; y₁;…; yₙ₋₂; yₙ₋₁; yₙ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), s'écrit comme suit:

S₀(n=1→n=x: [(⌈ ⌊10*((q , w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1 - ( (L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁ -1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁-1))⌋-(q,w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1))⌋))/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1)))⌋/10⌉)i] ) * S₃(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(q ,w-⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1) / (|⌊log(qᵢ ,wᵢ

 -⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] )       (4.a), avec les notations précédentes L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ et L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁ de l'opération de suite récurrente gauche du rang des chiffres de q,w, plus 1 et donc correspondant à la longueur de q,w, plus 1 chiffre, soit le nombre de chiffres de q,w, plus un, et dont la valeur numérique se calcule en considérant que cette expression correspond aussi à la forme finale de l'imbrication d'autres expressions comme suit:

Soit, L(0,wᵢ) la notation de la suite récurrente de l'opération de longueur numérique partielle de la partie décimale 0,wᵢ  du nombre décimale q,w, en base b=10, d'expression:

L(0,wᵢ)=S(n=1→n=x: [((1-⌈(⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1)/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])      (A2) → (A2') ∧ (A2) ↔ (A'2).

Soit, L'(0,wᵢ), la notation de la suite récurrente de l'opération de longueur numérique maximale de la partie décimale 0,wᵢ  du nombre décimale q,w, en base b=10, d'expression: 

 L'(0,wᵢ)=S(n=1→n=x: [((1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])   (A2') ↔ (A2')' 

 L'(0,573419ᵢ)=S(n=1→n=6: [ ((1-⌈|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|/(|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆)i])=(0; 0; 0; 0; 0; 6)          (A2')' →  (A2')''. 

Alors l(0,wᵢ ) la notation de l'expression de la longueur numérique totale de la partie décimale 0,wᵢ en base b=10, du nombre décimale qᵢ ,wᵢ correspond à l'expression de la suite  totale comme suit:

l(0,wₙ₌₁→ₙ₌₆)=S(n=1→n=6: [(0; 0; 0; 0; 0; 6)] )=6       (A2')''

Soit, l(q) la notation de l'expression de la longueur numérique totale de la partie entière qᵢ en base b=10, d'expression l(q)=⌊log₁₀(q ,w)⌋+1          (A3)↔(A3)'  

l(q)=⌊log₁₀(q )⌋+1    (A3)' 

l(794587856)=⌊log₁₀(794587856,573419)+1        (A3)'↔(A3)'

l(794587856)=⌊log₁₀(794587856)⌋+1=9                (A3)'

Alors si nous définissons l'expression de la longueur numérique totale du nombre décimale qᵢ,wᵢ comme étant l(qᵢ,wᵢ)=⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ )⌋=l(qᵢ)+l(0,wᵢ), avec qᵢ⫲qᵢ,wᵢ=⌊qᵢ ,wᵢ /10^(⌊log(0,wᵢ )⌋)⌋, celle-ci correspond au résultat finale de l'expression de la suite récurrente de l'opération de la longueur numérique du nombre décimale qᵢ ,wᵢ noté L(qᵢ ,wᵢ) et définie comme suit:

 L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(qᵢ ⫲qᵢwᵢ )⌋))i]) ↔ S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w /10^(⌊log(qᵢ ⫲qᵢ,wᵢ )⌋)⌋ )⌋ )i])          (4.a.1) → (4.a.1)'

Or, dans l'expression précédente (4.a.1), il nous reste à déterminer l'expression de l'opération par laquelle nous obtenons la suite récurrente des chiffres de la déconcaténation notée qᵢ⫲qᵢ,wᵢ=wᵢ et symbolisée par les indices i "ᵢ ", c'est à dire l'expression de l'opération de déconcaténation décimale gauche (partant du ou des chiffre(s) le plus à droite du nombre déconcaténé et en déconcaténant le ou les chiffres à sa gauche) indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à droite du nombre décimale:

qᵢ⫲qᵢ,wᵢ= wᵢ ↔ S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^αᵢ ⌋*10^αᵢ)i])         (4.a.1)' → (4.a.2)

Puis dans l'expression précédente (4.a.1'), il nous reste à déterminer l'expression de l'opération par laquelle nous obtenons la variable xᵢ correspondant au résultat de la suite récurrente de valeurs de multiple de puissance de 10 dépendant de leur position par rapport aux autres chiffres qui dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre q,w en base dix et qui est un polynôme en puissance de dix, comme suit:

αᵢ =S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])        (4.a.2) →   (4.a.2)' 

Enfin il nous reste à déterminer l'expression finale comprenant l'ensemble des expressions imbriquées précédemment de l'opération de suite récurrente de la longueur des chiffres du nombre décimale q,w comme suit:

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(qᵢ⫲qᵢwᵢ )⌋))i])   (4.a.1) ↔ (4.a'.1)

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(qᵢ⫲qᵢ,wᵢ)⌋)⌋)⌋)i])          (4.a'.1) ↔  (4.a'.1')

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^αᵢ ⌋*10^αᵢ)i])  )⌋)⌋)⌋)i])     (4.a'.1')  ↔  (4'.a'.1')  

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i]) )⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i])          (4'.a'.1')  

Il ne nous reste plus qu'a remplacer l'expression  (4'.a'.1') dans l'expression (4.a) comme suit:

S₀(n=1→n=x: [( ⌈ ⌊10*((q , w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1 - ( (L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁ -1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁-1))⌋-(q,w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1))⌋))/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1)))⌋/10⌉)i] )    (4.a) ↔ (4.a)'

S₀(n=1→n=x: [( ⌈ ⌊10*((q , w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1 - ( ((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(∑(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ₊₁ -1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ₊₁-1))⌋-(q,w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1-((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ-1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ-1))⌋))/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ-1)))⌋/10⌉)i] )  * S₃(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(q ,w-⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1) / (|⌊log(qᵢ ,wᵢ

 -⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] )          (4.a)'

⁂⁂

Pour illustrer l'expression avant ci-dessus de l'opération de la suite récurrente de rang gauche des chiffres du nombre wᵢ de la partie décimal d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ , c'est-à-dire des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres formant les valeurs de rang des chiffres du nombre de la partie décimale wᵢ  d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ, prenons l'exemple de la valeur des variables qᵢ ,wᵢ =794587856,573419, qᵢ =794587856, wᵢ=573419 et 0,wᵢ =0,573419, alors nous commençons par les expressions implicitement constitutives des expressions finales que nous retrouvons dans toutes les expressions de rang des chiffres qui vont suivre, donc soit tout d'abord la première expression que j'écris comme suit:

qᵢ⫲qᵢ ,wᵢ=qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) = wᵢ ↔｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(qᵢ ,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(w⫲qwᵢ)i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ) = S(n=1→n=x: [(wᵢ)i] )   (4.1) ↔ (4.1)'

｜⫣｜(n=1→n=15: [(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ) =

(0,000009; (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) ;

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) ;

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) ; 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1));  

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)) ;

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)) ;  

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)) ; 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1));  

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)) ; 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) ; 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) ; 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)) ; 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)) ; 

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)) ; 

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)))         (4.1)' ↔ (4.1)''

｜⫣｜(n=1→n=15: [(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ) =(0,000009 ; 0,000019 ; 0,000419 ; 0,003419 ; 0,073419 ; 0,573419 ; 6,573419; 56,573419 ; 856,573419 ; 7 856,573419 ; 87 856,573419 ; 587 856,573419 ; 4 587 856,573419 ; 94 587 856,573419 ; 794 587 856,573419)            (4.1)'' ↔ (4.1)'''

⁂

Ensuite, la deuxième de ces expressions implicitement constitutives des expressions de rang est celle que j'écris comme suit:

 S₂(n=1→n=15: [(⌊log(wᵢ)⌋+1)i] ) =  S(n=1→n=15: [(⌊log(｜⫣｜(n=1→n=15: [(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ))⌋+1)i] )    (4.2) ↔ (4.2)'

 S(n=1→n=15: [(⌊log(｜⫣｜(n=1→n=15: [(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ))⌋+1)i] ) 

= (   ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1 ; 

⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1 ; 

⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 ;

 ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1 ;  

 ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1 ; 

 ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 ;  

⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 ; 

⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 ;  

⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 ; 

⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 ;

 ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)))⌋+1 ; 

 ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 ; 

 ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 ; 

 ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 ;  

 ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 )               (4.2)'↔ (4.2)''

S₂(n=1→n=15: [(⌊log(｜⫣｜(n=1→n=15: [(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ))⌋+1)i] )=( -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)          (4.2)''

⁂

Ensuite, la troisième de ces expressions implicitement constitutives des expressions de rang est celle que j'écris comme suit:

S₃(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] )     (4.3)  ↔ (4.3)'  

S₃(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] ) 

= (   1-⌈ (  ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1 ) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1  | +1 )⌉ ; 

1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1| +1 ) ⌉  ; 

1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 ) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ ;

 1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1 )⌉;  

  1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1| +1) ⌉; 

  1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1| +1) ⌉ ;  

1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / (  |  ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1) ⌉ ; 

1-⌈ ( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1|+1)⌉ ;  

1-⌈(⌊log((794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)))⌋+1) / ( |⌊log((794587856,573419 -⌊7945878

56,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)))⌋+1|+1)⌉ ; 

1-⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ ;

1-⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 |+1)⌉ ; 

1-⌈( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1)⌉  ; 

 1-⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1)  /  ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1 )⌉  ; 

 1-⌈( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)))⌋+1) / ( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1))   )⌋+1)⌉  ;  

 1-⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 )  / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉  )                (4.3)'↔ (4.3)''  

S₃(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] ) =(1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)                 (4.3)''

  ⁂

Ensuite, la quatrième de ces expressions implicitement constitutives des expressions de rang est celle que j'écris comme suit:

S₄(n=1→n=x: [((⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] )     (4.4) ↔ (4.4)'  

S₄(n=1→n=x: [((⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] ) 

= ( ⌈ (  ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1 ) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1  | +1 )⌉ ; 

⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1| +1 ) ⌉  ; 

⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 ) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ ;

 ⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1 )⌉ ;  

  ⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1| +1) ⌉ ; 

  ⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1| +1) ⌉ ;  

⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / (  |  ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1) ⌉ ; 

⌈ ( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1|+1)⌉ ;  

⌈(⌊log((794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)))⌋+1) / ( |⌊log((794587856,573419 -⌊7945878

56,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)))⌋+1|+1)⌉ ; 

⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ ;

⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 |+1)⌉ ; 

⌈( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1)⌉ ; 

 ⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1)  /  ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1 )⌉ ; 

 ⌈( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)))⌋+1) / ( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1))   )⌋+1)⌉ ;   

⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 )  / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉  )          (4.4)'↔ (4.4)''  

S₄(n=1→n=x: [((⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] ) = (0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)           (4.4)''  

⁂

Nous pouvons donc maintenant illustrer l'expression de la suite récurrente du rang successif gauche des chiffres de la partie décimale wᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ, correspondante à la fonction de rang gauche des chiffres de la partie décimale wᵢ du nombre qᵢ ,wᵢ avec l'une des expressions précédente implicitement constitutives soit l'expression (4.3)'' de cette expression comme suit (4')':

RNGdₗ(dnumdₙ(wᵢ ; qᵢ ,wᵢ)) = RNGdₗ(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ

-⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)/(|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉))*nᵢ)i] )        (4') ↔ (4')'

S(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))⌋+1)+1)⌉)))i])=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)                    (4.3)''→n*(4.3)''↔ (4')'

S'(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))⌋+1)+1)⌉)))i])*nᵢ    (4.3)''*n ↔ (4')'

S'=(1*1; 2*1; 3*1; 4*1; 5*1; 6*1; 7*0; 8*0; 9*0; 10*0; 11*0; 12*0; 13*0; 14*0; 15*0)=(1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)         (4')'

 ⁂ ⁂

Puis pour illustrer l'expression d'avant l'illustration ci-dessus, de l'expression de la suite récurrente des chiffres successif gauche de la partie décimale wᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419, q=794587856, w=573419 et 0,w=0,573419, alors nous écrivons en remplaçant par les valeurs des variables correspondantes comme suit:

S₀(n=1→n=x: [ ( ⌈ ⌊10*((q,w-10^(⌊log(q ,w)⌋+1 - ( (L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁ -1))*⌊q,w/10^(⌊log(q ,w)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁-1))⌋-(q,w-10^(⌊log(q ,w)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1))*⌊q,w/10^(⌊log(q ,w)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1))⌋))/10^(⌊log(q ,w)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1)))⌋/10⌉ )i] )  * S₃(n=1→n=x: [ ( (1-(⌈(⌊log(q ,w-⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1) / (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)) )i])     (4.a) ↔  (4.a)'

S₀= (⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- ((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₂ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₂-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁-1)))⌋/10⌉ * (1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1 ) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1 )⌉) ;  

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₃ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₃-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₂-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₂-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₂-1)))⌋/10⌉ * (1-(⌈(⌊log(q ,w-⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1) / (1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1| +1 ) ⌉ ) ;

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₄ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₄-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₃-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₃-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₃-1)))⌋/10⌉ * (1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 ) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ ) ;

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₅ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₅-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₄-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₄-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₄-1)))⌋/10⌉ * ( 1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1 )⌉ ) ;  

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₆ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₆-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₅-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₅-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₅-1)))⌋/10⌉ *  ( 1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1| +1) ⌉) ; 

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₇ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₇-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₆-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₆-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₆-1)))⌋/10⌉ *  (1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1|+1)⌉) ;  

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₈ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₈-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₇-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₇-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₇-1)))⌋/10⌉  * (1-⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / (  |  ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1) ⌉) ; 

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₉ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₉-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₈-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₈-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₈-1)))⌋/10⌉  * (

1-⌈ ( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1|+1)⌉ ) ;  

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₀ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₀-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₉-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₉-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₉-1)))⌋/10⌉  * (1-⌈(⌊log((794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)))⌋+1) / ( |⌊log((794587856,573419 -⌊7945878

56,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)))⌋+1|+1)⌉) ; 

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₁ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₁-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₀-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₀-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₀-1)))⌋/10⌉  * (1-⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉) ;

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₂ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₂-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₁-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₁-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₁-1)))⌋/10⌉  * (1-⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 |+1)⌉ ) ; 

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₃ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₃-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₂-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₂-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₂-1)))⌋/10⌉  * ( 1-⌈( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1)⌉ ) ; 

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₄ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₄-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₃-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₃-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₃-1)))⌋/10⌉  * ( 1-⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1)  /  ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1 )⌉ ) ; 

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₅ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₅-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₄-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₄-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₄-1)))⌋/10⌉  * ( 1-⌈( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)))⌋+1) / ( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)))⌋+1)⌉ ) ;

⌈⌊10*((794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-((L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₆ -1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₆-1))⌋-(794587856,573419-10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₅-1))*⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₅-1))⌋))/10^(⌊log(794587856,573419)⌋+1- (L(qᵢ ,wᵢ)+1)₁₅-1)))⌋/10⌉  * ( 1-⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 )  / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ ) )            (4.a)' ↔  (4.a)''

S₀=(9*1; 1*1; 4*1; 3*1; 7*1; 5*1; 6*0; 5*0; 8*0; 7*0; 8*0; 5*0; 4*0; 9*0; 7*0) = (9; 1; 4; 3; 7; 5; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)         (4.a)''.

Nous détaillons maintenant et remplaçons par les valeurs de variables les expressions (4.a) ↔  (4.a)' avec les notations précédentes L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ et L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁ de l'opération de suite récurrente gauche du rang des chiffres de q,w, plus 1 et donc correspondant à la longueur de q,w, plus 1 chiffre, soit le nombre de chiffres de q,w, plus un, et dont la valeur numérique se calcule en considérant que cette expression correspond aussi à la forme finale de l'imbrication d'autres expressions comme suit:

Soit, L(wᵢ) la notation de la suite récurrente de l'opération de longueur numérique partielle de la partie décimale wᵢ  du nombre décimale q,w, en base b=10, d'expression:

L(wᵢ)=S(n=1→n=15: [((1-⌈(⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1)/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])      (A2) → (A2') ∧ (A2) ↔ (A'2).

L(wᵢ)=(1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)           (A'2)

Soit, L'(wᵢ), la notation de la suite récurrente de l'opération de longueur numérique maximale de la partie décimale wᵢ  du nombre décimale q,w, en base b=10, d'expression: 

L'(wᵢ)=S(n=1→n=15:[((1-⌈|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|/(|⌊log(0,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])             (A2') ↔ (A2')' 

L'(573419ᵢ)=S(n=1→n=15: [ ((1-⌈|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|/(|⌊log(0,573419ₙ₌₁→ₙ₌₆)⌋+1|+1)⌉)*nₙ₌₁→ₙ₌₆)i])=(0; 0; 0; 0; 0; 6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)          (A2')' →  (A2')''. 

Alors l(wᵢ ) la notation de l'expression de la longueur numérique totale de la partie décimale 0,wᵢ en base b=10, du nombre décimale qᵢ ,wᵢ correspond à l'expression de la suite  totale comme suit:

l(wₙ₌₁→ₙ₌₆)=S( n=1→n=6: [(0; 0; 0; 0; 0; 6)] )=6       (A2')''

Soit, l(q) la notation de l'expression de la longueur numérique totale de la partie entière qᵢ en base b=10, d'expression l(q)=⌊log₁₀(q ,w)⌋+1          (A3)↔(A3)'  

l(q)=⌊log₁₀(q )⌋+1    (A3)' 

l(794587856)=⌊log₁₀(794587856,573419)+1        (A3)'↔(A3)'

l(794587856)=⌊log₁₀(794587856)⌋+1=9                (A3)'

Alors si nous définissons l'expression de la longueur numérique totale du nombre décimale qᵢ,wᵢ comme étant l(qᵢ,wᵢ)=⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ )⌋=l(qᵢ)+l(0,wᵢ), avec qᵢ⫲qᵢ,wᵢ=⌊qᵢ ,wᵢ /10^(⌊log(0,wᵢ )⌋)⌋, celle-ci correspond au dernier terme de l'expression de la suite récurrente de l'opération de la longueur numérique du nombre décimale qᵢ ,wᵢ noté L(qᵢ ,wᵢ) et définie comme suit:

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→ n=x: [(⌊log(⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ⫲qᵢ,wᵢ)⌋)⌋)⌋)i)   (4.a.1) → (4.a.1)' ∧ (4.a.1) 

↔ (4'.a.1)

 L(794587856,573419)=(⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₁₄⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₁₃⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₁₂⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₁₁⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₁₀⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₉⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆ )⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₈⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₇⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₆⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆ )⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₅⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₄⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₃⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₂⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆ )⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₁⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆ )⌋)⌋)⌋;

 ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(qᵢ₌₀⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋)⌋ )      (4'.a.1) ↔ (4'.a.1)'

 L(794587856,573419) = (15; 14; 13; 12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1)         (4'.a.1)'

Or, dans l'expression précédente (4.a.1), il nous reste à déterminer l'expression de l'opération par laquelle nous obtenons la suite récurrente des chiffres de la déconcaténation notée qᵢ⫲qᵢwᵢ=qᵢ et symbolisée par les indices i "ᵢ ", c'est à dire l'expression de l'opération de déconcaténation gauche (partant du ou des chiffre(s) le plus à droite du nombre déconcaténé et en déconcaténant le ou les chiffres à sa gauche) indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à droite du nombre décimal qᵢ,wᵢ concaténé qᵢwᵢ:

qᵢ⫲qᵢwᵢ =S(n=1→n=x: [(⌊q,w/10^(⌊log(wᵢ⫲qᵢ,wᵢ )⌋)⌋)i] )    (4.a.1)' → (4.a.1)''∧ (4.a.1)'

↔ (4.a.1')'

qᵢ⫲qᵢwᵢ=( ⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₁₄⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋;

 ⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₁₃⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₁₂⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₁₁⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₁₀⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₉⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₈⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₇⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₆⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆ )⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₅⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₄⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₃⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆ )⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₂⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₁⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆ )⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(qwᵢ₌₀⫲qᵢ₌₉,wᵢ₌₆ )⌋)⌋  )   (4.a.1')' ↔ (4.a.1')''

qᵢ⫲qᵢwᵢ =(794 587 856 573 419; 79 458 785 657 341; 7 945 878 565 734; 794 587 856 573; 79 458 785 657; 7 945 878 565; 794 587 856; 79 458 785; 7 945 878; 794 587; 79 458; 7 945; 794; 79; 7)       (4.a.1')''

Or, dans l'expression précédente (4.a.1)'↔ (4.a.1')', il nous reste à déterminer l'expression de l'opération par laquelle nous obtenons la suite récurrente des chiffres de la déconcaténation notée qwᵢ⫲qᵢ,wᵢ=wᵢ et symbolisée par les indices i "ᵢ ", c'est à dire l'expression de l'opération de déconcaténation décimale gauche (partant du ou des chiffre(s) le plus à droite du nombre déconcaténé et en déconcaténant le ou les chiffres à sa gauche) indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à droite du nombre décimale qᵢ,wᵢ:

qwᵢ⫲qᵢ,wᵢ= wᵢ ↔ S(n=1→n=x:[(q,w-⌊q,w/10^αᵢ ⌋*10^αᵢ)i])       (4.a.1)''→ (4.a.2) ∧ (4.a.1)''

↔ (4.a'.1)''

qwᵢ⫲qᵢ,wᵢ=( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₁ ⌋*10^α₁); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₂ ⌋*10^α₂) ;

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₃ ⌋*10^α₃);

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₄ ⌋*10^α₄); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₅⌋*10^α₅); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₆ ⌋*10^α₆); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₇ ⌋*10^α₇); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₈ ⌋*10^α₈); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₉⌋*10^α₉);

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₁₀ ⌋*10^α₁₀ );

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₁₁ ⌋*10^α₁₁); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₁₂ ⌋*10^α₁₂); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₁₃ ⌋*10^α₁₃);

 (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₁₄⌋*10^α₁₄); 

(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^α₁₅⌋*10^α₁₅) )        (4'.a'.1)''↔ (4'.a'.1)'''

qwᵢ⫲qᵢ,wᵢ=(0,000009; 0,000019; 0,000419; 0,003419; 0,073419; 0,573419; 6,573419; 56,573419; 856,573419; 7 856,573419; 87 856,573419; 587 856,573419; 4 587 856,573419; 94 587 856,573419)           (4'.a'.1)''' 

Puis dans l'expression précédente (4.a.1)'', il nous reste à déterminer l'expression de l'opération par laquelle nous obtenons la variable αᵢ correspondant au résultat de la suite récurrente de valeurs de multiple de puissance de 10 dépendant de leur position par rapport aux autres chiffres qui dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre q,w en base dix et qui est un polynôme en puissance de dix, comme suit:

αᵢ =S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])             (4.a.2) ↔ (4.a.2') 

αᵢ=( (⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-1+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-1+2))⌋-1);  

(⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-2+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-2+2))⌋-1);  

(⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-3+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-3+2))⌋-1);  

(⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-4+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-4+2))⌋-1); 

 (⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-5+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-5+2))⌋-1);     

(⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-6+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-6+2))⌋-1);  

(⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-7+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-7+2))⌋-1);  

 (⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-8+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-8+2))⌋-1);   

(⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-9+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-9+2))⌋-1);  

 (⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-10+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-10+2))⌋-1);  

(⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-11+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-11+2))⌋-1); 

 (⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-12+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-12+2))⌋-1);  

 (⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-13+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-13+2))⌋-1);  

 (⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-14+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-14+2))⌋-1); 

(⌊log(794587856,573419)⌋/2-⌊log(794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋-15+2)*10^(⌊log(794587856,573419)⌋-15+2))⌋-1) )           (4.a.2') ↔ (4.a.2')'

αᵢ = (-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)         (4.a.2')'

Enfin il nous reste à déterminer l'expression finale (4.a.3)' comprenant l'ensemble des expressions imbriquées précédemment de l'opération de suite récurrente de la longueur des chiffres du nombre décimale q,w comme suit:

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(qᵢ⫲qᵢwᵢ )⌋))i])              (4.a.1) ↔ (4.a'.1)

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(qᵢ⫲qᵢ,wᵢ)⌋)⌋)⌋)i])          (4.a'.1) ↔  (4.a'.1')

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^αᵢ ⌋*10^αᵢ)i])  )⌋)⌋)⌋)i])     (4.a'.1')  ↔  (4'.a'.1')  

L(qᵢ ,wᵢ)=S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(∑(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i]) )⌋)⌋)⌋)i])          (4'.a'.1')  

⁂

Il ne nous reste plus qu'a remplacer l'expression  (4'.a'.1') dans l'expression (4.a) comme suit:

S₀(n=1→n=x: [( ⌈ ⌊10*((q , w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1 - ( (L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁ -1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ₊₁-1))⌋-(q,w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1))⌋))/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-(L(qᵢ ,wᵢ)+1)ᵢ-1)))⌋/10⌉)i] )    (4.a) ↔ (4.a)'

S₀(n=1→n=x: [( ⌈ ⌊10*((q , w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1 - ( ((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(∑(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ₊₁ -1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ₊₁-1))⌋-(q,w-10^(⌊log(qᵢ , wᵢ)⌋+1-((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ-1))*⌊q,w/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ-1))⌋))/10^(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-((S(n=1→n=x: [(⌊log(⌊q,w / 10^(⌊log(S(n=1→n=x: [(q,w-⌊q,w/10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ) ⌋*10^(S(n=1→n=x: [(⌊log(q,w)⌋/2-⌊log(q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋-n+2)⌋*10^(⌊log(q,w)⌋-nᵢ+2))⌋-1)i])  ))i])  )⌋)⌋)⌋)i]) )+1)ᵢ-1)))⌋/10⌉)i] )  * S₃(n=1→n=x: [(1-(⌈(⌊log(q ,w-⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1) / (|⌊log(qᵢ ,wᵢ

 -⌊q ,w/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] )          (4.a)'

⁂⁂⁂

J'écris ensuite l'expression de la suite récurrente du rang successif gauche des chiffres de la partie entière qᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ, correspondante à la fonction de rang gauche des chiffres de la partie entière du nombre qᵢ du nombre décimal qᵢ ,wᵢ comme suit:

 Soit les éléments de l'ensemble des chiffres du nombre qᵢ, la partie entière du nombre décimal qᵢ ,wᵢ, que je note en général dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ) ∈ N ∧ Dnum(qᵢ, wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ, wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ, wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ, wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ, wᵢ)…); ∀ q,w ∈ D*, ∀ wᵢ ∈ N, ∀ a ∈ N*, ∀ z, k, h ∈ N, avec qᵢ<⌊log₁₀(qᵢwᵢ)⌋+1; ∀ dnumeₙ(qᵢ ; qᵢ , wᵢ) ∈ DNum(qᵢ, wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ , wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ ,wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ ,wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ ,wᵢ)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=h; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9); ∀ n ∈ N*:

• RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ ; qᵢ ,wᵢ))=(⌈(⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌉+1)/(|⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1)+1)⌉))*(⌊log(wᵢ)⌋+1)     (4'') ↔ (4'''); avec qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ=qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ  ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) = wᵢ ↔｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(qᵢ ,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(wᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i]) = S(n=1→n=x: [(wᵢ)i] ) 

RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ)) = RNGeₗ(n=1→n=x: [((⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ  ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)/(|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ  ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉))*(⌊log(wᵢ)⌋+1))i])      (4''') 

 ⁂

Comme précédemment nous écrivons l'expression de la suite récurrente des chiffres successif gauche de la partie entière qᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ correspondante à l'expression précédente de la suite récurrente de rang des chiffres de la partie entière, ordonnés de la droite vers la gauche, comme suit:

Soit les éléments de l'ensemble des chiffres du nombre qᵢ, la partie entière du nombre décimal qᵢ ,wᵢ, que je note en général dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ) ∈ N ∧ Dnum(qᵢ, wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ, wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ, wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ, wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ, wᵢ)…); ∀ q,w ∈ D*, ∀ wᵢ ∈ N, ∀ a ∈ N*, ∀ z, k, h ∈ N, avec qᵢ<⌊log₁₀(qᵢwᵢ)⌋+1; ∀ dnumeₙ(qᵢ ; qᵢ , wᵢ) ∈ DNum(qᵢ, wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ , wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ ,wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ ,wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ ,wᵢ)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=h; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9); ∀ n ∈ N*; alors la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre dnumeₙ(xᵢ; q) | | dnumdₙ(yᵢ; w) ∈ DNume(q, w)=(dnumeₐ(a; q); dnumeₛ(z; q); dnumeₓ(k; q); dnumeᵧ(h; q)…) ⊔⊓ DNumd(q, w)=(dnumdₐ(a'; w); dnumdₛ(z'; w); dnumdₓ(k'; w); dnumdᵧ(h'; w)…), ∀ (xᵢ; yᵢ) ∈ Seq(Xᵢ₌ₓ;Yᵢ₌ₚ)=(xₙ; xₙ₋₁; xₙ₋₂; x₁; x₀; y₀; y₁;…; yₙ₋₂; yₙ₋₁; yₙ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9):

S₅(n=1→n=x: [(((qᵢ ,wᵢ mod(10^(RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ))ᵢ))) - (qᵢ ,wᵢ mod(10^(RNGeₗ

(dnumeₙ(qᵢ ; qᵢ ,wᵢ))ᵢ -1))))/10^(RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ))ᵢ-1))i])*S₄(n=1→n=x: [((⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] )  (4''''')*(4.4) ↔ (4''''') 

⁂

Remarquons que le résultat de l'expression précédente (4''''') est une suite de chiffre dont les premières valeurs correspondantes aux chiffres de la partie décimale puisque nous écrivons les chiffres du nombre décimal de la droite vers la gauche en commençant par le dernier chiffre de la partie décimale et qui sont remplacés par la valeur de 0, et donc nous pouvons alors écrire l'expression de la suite récurrente des chiffres successif gauche de la partie entière qᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ dont les chiffres qui sont les premiers terme de la suite récurrente ne sont plus 0 mais les chiffres de la partie entière comme suit:

S'₅(n=1→n=x: [(((qᵢ ,wᵢ mod(10^((⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ₊₁ -1)) - (qᵢ ,wᵢ mod (10^(( ⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))))/10^((⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))i])     (4'''''); avec q⫲q,w l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation secondaire droite, et l'opération de suite récurrente de déconcaténation q⫲q,w=⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋+1-⌊log((q⫲q,w)ᵢ)⌋-2⌋       (4.5) ↔  (3')

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i ]) = (⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋; ⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w/10^(⌊log(qₙ₌₂→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋;⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₃→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋; ⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₄→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋;…⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌ₓ,w)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₁)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₂)⌋)⌋;⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₃)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₄)⌋)⌋;…⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋)      (3')

Remarquons que (4''''') peut encore s'écrire S'₅(n=1→n=x: [(((qᵢ ,wᵢ mod(10^((n₊₁ -1)) - (qᵢ ,wᵢ mod (10^(n -1))))/10^(n -1))i])    (4''''') comme nous l'illustrerons ci dessous.

⁂⁂

Pour illustrer l'expression d'avant celle ci-dessus de l'opération de la suite récurrente de rang gauche des chiffres du nombre de la partie entière q d'un nombre décimal q,w, c'est-à-dire des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres formant les valeurs de rang des chiffres du nombre de la partie entière q d'un nombre décimal q,w, prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419, q=794587856, w=573419 et 0,w=0,573419, alors avec l'une des expressions précédente implicitement constitutives soit l'expression (4.4)'' et (4.2)'' de cette expression (4''') comme suit:

RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ))=RNGeₗ(n=1→n=x: [((⌈(⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌉+1)/(|⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1)+1)⌉))*(⌊log(wᵢ)⌋+1))i])                         (4''') ↔ (4.4)''*(4.2)''

 S(n=1→n=15: [((⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1) / ( |⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i])=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)              (4.4)''  

S(n=1→n=15: [(⌊log(｜⫣｜(n=1→n=15: [(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ))⌋+1)i] ) = (-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)         (4.2)''

RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ))=RNGeₗ(n=1→n=15: [((⌈(⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌉+1)/(|⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1)+1)⌉))*(⌊log(wᵢ)⌋+1))i]) =(0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1) * ( -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) =  (0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)           (4.4)''*(4.2)''

 ⁂

Puis, pour illustrer l'expression d'avant l'illustration ci-dessus, celle de l'expression de la suite récurrente des chiffres successif gauche de la partie entière qᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419, q=794587856, w=573419 et 0,w=0,573419, alors nous écrivons en remplaçant par les valeurs des variables correspondantes comme suit:

S(n=1→n=x: [(((qᵢ ,wᵢ mod(10^(RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ))ᵢ))) - (qᵢ ,wᵢ mod(10^(RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ))ᵢ -1))))/10^(RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ))ᵢ -1))i] ) * S₄(n=1→n=x: [((⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ-⌊qᵢ ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌉+1)

/ (|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ,wᵢ/10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) )⌋+1)+1)⌉)))i] )     (4''''')*(4.4) ↔ (4'''''); avec RNGeₗ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ))ᵢ ↔ RNGeₗ(n=1→n=15: [((⌈(⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌉+1)/(|⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1)+1)⌉))*(⌊log(wᵢ)⌋+1))i]) =(0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1) * ( -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) =  (0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)           (4.4)''*(4.2)''

S(n=1→n=x: [(((794587856,573419 mod( 10^(RNGeₗ(dnumeₙ(794587856ᵢ ; 

794587856,573419))ᵢ ))) - (794587856,573419 mod(10^(RNGeₗ(dnumeₙ(794587856ᵢ; 

794587856,573419))ᵢ -1))))/10^(RNGeₗ(dnumeₙ(794587856ᵢ ; 794587856,573419))ᵢ -1))i] ) * (0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)           (4''''') ↔ (4'''''')

S(n=1→n=x: [(((794587856,573419 mod(10^(RNGeₗ(dnumeₙ(794587856ᵢ ; 

794587856,573419))ᵢ ))) - (794587856,573419 mod(10^(RNGeₗ(dnumeₙ(794587856ᵢ ; 

794587856,573419))ᵢ -1))))/10^(RNGeₗ(dnumeₙ(794587856ᵢ ; 794587856,573419))ᵢ -1))i] ) * (0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)  

= (   ((794587856,573419 mod( 10^(0))) - (794587856,573419 mod(10^(0-1)))) /10^(0-1) * ⌈ (  ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1 ) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000009)+1⌋+1)) )⌋+1  | +1 )⌉ ; 

((794587856,573419 mod( 10^(0))) - (794587856,573419 mod(10^(0-1)))) /10^(0-1) * ⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000019)+1⌋+1)) )⌋+1| +1 ) ⌉ ;  

((794587856,573419 mod( 10^(0))) - (794587856,573419 mod(10^(0-1)))) /10^(0-1) *⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 ) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,000419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ ; 

((794587856,573419 mod( 10^(0))) - (794587856,573419 mod(10^(0-1)))) /10^(0-1) * ⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,003419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1 )⌉ ;  

((794587856,573419 mod( 10^(0))) - (794587856,573419 mod(10^(0-1)))) /10^(0-1) * ⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,073419)+1⌋+1))  )⌋+1| +1) ⌉ ; 

((794587856,573419 mod( 10^(0))) - (794587856,573419 mod(10^(0-1)))) /10^(0-1) *  ⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(0,573419)+1⌋+1))  )⌋+1| +1) ⌉ ;  

((794587856,573419 mod( 10^(1))) - (794587856,573419 mod(10^(1-1)))) /10^(1-1) * ⌈ ( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / (  |  ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(6,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1) ⌉;  

((794587856,573419 mod( 10^(2))) - (794587856,573419 mod(10^(2-1)))) /10^(2-1) *⌈ ( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(56,573419)+1⌋+1))  )⌋+1|+1)⌉; 

((794587856,573419 mod( 10^(3))) - (794587856,573419 mod(10^(3-1)))) /10^(3-1) * ⌈(⌊log((794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)))⌋+1) / ( |⌊log((794587856,573419 -⌊7945878

56,573419/10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(856,573419)+1⌋+1)))⌋+1|+1)⌉ ; 

((794587856,573419 mod( 10^(4))) - (794587856,573419 mod(10^(4-1)))) /10^(4-1) * ⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419 -⌊794587856,573419

/ 10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(7856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ ;

((794587856,573419 mod( 10^(5))) - (794587856,573419 mod(10^(5-1)))) /10^(5-1) * ⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1) / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(87856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 |+1)⌉ ; 

((794587856,573419 mod( 10^(6))) - (794587856,573419 mod(10^(6-1)))) /10^(6-1) * ⌈( ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1)⌉ ; 

((794587856,573419 mod( 10^(7))) - (794587856,573419 mod(10^(7-1)))) /10^(7-1) * ⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1)  /  ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(4587856,573419)+1⌋+1))  )⌋+1 | +1 )⌉ ; 

 ((794587856,573419 mod( 10^(8))) - (794587856,573419 mod(10^(8-1)))) /10^(8-1) * ⌈(⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)))⌋+1) / ( | ⌊log(  (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(94587856,573419)+1⌋+1)))⌋+1| +1 )⌉ ; 

((794587856,573419 mod( 10^(9))) - (794587856,573419 mod(10^(9-1)))) /10^(9-1) * ⌈( ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 )  / ( | ⌊log( (794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(794587856,573419)+1⌋+1)) )⌋+1 | +1)⌉ )        (4''''''') ↔ (4''''''')

=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1) * (5; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 5; 8; 7; 8; 5; 4; 9; 7)

 = (0; 0; 0; 0; 0; 0; 6; 5; 8; 7; 8; 5; 4; 9; 7)    (4''''''')

⁂

Les premières valeurs correspondantes aux chiffres de la partie décimale puisque nous écrivons les chiffres du nombre décimal de la droite vers la gauche en commençant par le dernier chiffre de la partie décimale et qui sont remplacés par la valeur de 0, et donc nous pouvons alors écrire l'expression de la suite récurrente des chiffres successif gauche de la partie entière qᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ dont les chiffres qui sont les premiers terme de la suite récurrente ne sont plus 0 mais les chiffres de la partie entière comme suit:

S'₅(n=1→n=x: [(((qᵢ ,wᵢ mod(10^((⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ₊₁ -1)) - (qᵢ ,wᵢ mod (10^(( ⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))))/10^((⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))i])     (4'''''); avec q⫲q,w l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation secondaire droite, et l'opération de suite récurrente de déconcaténation q⫲q,w=⌊q,w/10^(⌊log(q,w)⌋+1-⌊log((q⫲q,w)ᵢ)⌋-2⌋       (4.5) ↔ (3')'

q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ - l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] ))+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ - l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: ([q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ] )i))+2)        (3')

Remarquons que (4''''') peut encore s'écrire S'₅(n=1→n=x: [(((qᵢ ,wᵢ mod(10^((n₊₁ -1)) - (qᵢ ,wᵢ mod (10^(n -1))))/10^(n -1))i])      (4''''')

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] )       (A3) ↔ (A3)'

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i ]) = (⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋; ⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w/10^(⌊log(qₙ₌₂→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋;⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₃→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋; ⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₄→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋;…⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌ₓ,w)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₁)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₂)⌋)⌋;⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₃)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₄)⌋)⌋;…⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋)      (3')

Pour illustrer les expressions ci-dessus des trois étapes de calcul pour l'obtention de la deuxième expression w⫲q,w de l'opération de déconcaténation décimale droite, prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=794587856 et w=0,573419. Alors nous écrivons l'expression de la première étape comme suit:

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] )       (A3) ↔ (A3)'

｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i])=(⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)⌋)⌋)           (A3)' ↔ (A3)''

｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i] ) =(7 ; 79 ; 794 ; 7945;79458; 794587 ; 7945878; 79458785 ; 794587856; 7945878565,73419 ; 79458785657,3419 ; 794587856573,419 ; 7945878565734,19 ; 79458785657341,9 ; 794587856573419)       (A3)''

⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1     (A3.1) ↔ (A3.2)    

S(n=1→n=16: [(｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i] ) =( ⌊log(7)⌋+1 ; ⌊log(79)⌋+1 ; ⌊log(794)⌋+1 ; ⌊log(7945)⌋+1 ; ⌊log(79458)⌋+1 ;  ⌊log(794587)⌋+1 ; ⌊log(7945878)⌋+1 ; ⌊log(79458785)⌋+1 ; ⌊log(794587856)⌋+1 ;  ⌊log(7945878565,73419)⌋+1 ; ⌊log(79458785657,3419)⌋+1 ; ⌊log(794587856573,419)⌋+1 ; ⌊log(7945878565734,19)⌋+1 ; ⌊log(79458785657341,9)⌋+1 ; ⌊log(794587856573419)⌋+1))i] )        (A3.2) ↔ (A3.3)      

S(n=1→n=16: [(｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i])=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ))i])  (A3.3)   

S'₅(n=1→n=x: [(((qᵢ ,wᵢ mod(10^((⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ₊₁ -1)) - (qᵢ ,wᵢ mod (10^(( ⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))))/10^((⌊log((q⫲q,w)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))i])     (4''''') ↔  (4.1''''')

S'₅(n=1→n=16:[(((794587856,573419 mod(10^((⌊log((794587856 ⫲794587856,573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ₊₁ -1)) - (794587856,573419 mod (10^(( ⌊log((794587856⫲794587856,573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))))/10^((⌊log((794587856⫲794587856,573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))i])      (4.1''''') ↔ (4.2''''')

S'₅(n=1→n=16:[(((794587856,573419 mod(10^((⌊log((794587856 ⫲794587856,573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ₊₁ -1)) - (794587856,573419 mod (10^(( ⌊log((794587856⫲794587856,573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))))/10^((⌊log((794587856⫲794587856,573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))i]) = 

( ((794587856,573419 mod(10^(2-1)) - (794587856,573419 mod (10^((1-1))))/10^(1-1)) ; ((794587856,573419 mod(10^(3-1)) - (794587856,573419 mod (10^((2-1))))/10^(2-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(4-1)) - (794587856,573419 mod (10^((3-1))))/10^(3-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(5-1)) - (794587856,573419 mod (10^((4-1))))/10^(4-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(6-1)) - (794587856,573419 mod (10^((5-1))))/10^(5-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(7-1)) - (794587856,573419 mod (10^((6-1))))/10^(6-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(8-1)) - (794587856,573419 mod (10^((7-1))))/10^(7-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(9-1)) - (794587856,573419 mod (10^((8-1))))/10^(8-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(10-1)) - (794587856,573419 mod (10^((9-1))))/10^(9-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(11-1)) - (794587856,573419 mod (10^((10-1))))/10^(10-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(12-1)) - (794587856,573419 mod (10^((11-1))))/10^(11-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(13-1)) - (794587856,573419 mod (10^((12-1))))/10^(12-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(14-1)) - (794587856,573419 mod (10^((13-1))))/10^(13-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(15-1)) - (794587856,573419 mod (10^((14-1))))/10^(14-1)) ;

((794587856,573419 mod(10^(16-1)) - (794587856,573419 mod (10^((15-1))))/10^(15-1)) )

(4.2''''') ↔ (4.3''''')

S'₅(n=1 → n=16: [ (((794587856,573419 mod(10^((⌊log((794587856 

⫲794587856,573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ₊₁ -1)) - (794587856,573419 mod (10^(( ⌊log((794587856⫲794587856,573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1)))) / 10^((⌊log((794587856⫲

794587856, 573419)ᵢ₋₁)⌋+1)ᵢ -1))i] ) = (6; 5; 8; 7; 8; 5; 4; 9; 7; 0; 0; 0; 0; 0; 0)           (4.3''''')

⁂⁂⁂

4.b Les deux opérations fondamentales de rang droit des chiffres du nombre décimal

⁂

J'écris maintenant l'expression de la suite récurrente du rang successif droit des chiffres de la partie décimale wᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ , correspondante à la fonction de rang droit des chiffres de la partie décimale wᵢ du nombre décimal qᵢ ,wᵢ comme suit:

 Soit les éléments de l'ensemble des chiffres du nombre wᵢ, la partie décimale du nombre décimal qᵢ ,wᵢ , que je note en général dnumdₙ(wᵢ; qᵢ ,wᵢ ) ∈ N ∧ Dnum(qᵢ ,wᵢ )=(dnumₙ(a; qᵢ ,wᵢ ); dnumₐ(z; qᵢ ,wᵢ ); dnumₓ(k; qᵢ ,wᵢ ); dnumᵧ(h; qᵢ ,wᵢ )…); ∀ qᵢ ,wᵢ  ∈ D*, ∀ wᵢ ∈ N, ∀ a ∈ N*, ∀ z, k, h ∈ N, avec wᵢ<⌊log₁₀(qᵢwᵢ )⌋+1; ∀ dnumdₙ(wᵢ; qᵢ ,wᵢ ) ∈ DNum(qᵢ ,wᵢ )=(dnumₙ(a; qᵢ ,wᵢ ); dnumₐ(z; qᵢ ,wᵢ ); dnumₓ(k; qᵢ ,wᵢ ); dnumᵧ(h; qᵢ ,wᵢ )…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=h; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9); ∀ n ∈ N*: 

RNGdᵣ(dnumdₙ(wᵢ; qᵢ ,wᵢ ))=| ⌊log(qᵢ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋ |*(1-(⌈(⌊log(qᵢ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1)/(|⌊log(qᵢ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1|+1)⌉))     (4)'↔ (4)''  ; avec qᵢ⫲qᵢ ,wᵢ=qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) = wᵢ ↔｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(qᵢ ,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(wᵢ ⫲qᵢ wᵢ)i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i] ) = S(n=1→n=x: [(wᵢ)i] ) 

⁂⁂

Pour illustrer l'expression ci-dessus de l'opération de la suite récurrente de rang droit des chiffres du nombre wᵢ de la partie décimal d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ , c'est-à-dire des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres formant les valeurs de rang des chiffres du nombre de la partie décimale wᵢ  d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ, prenons l'exemple de la valeur des variables qᵢ ,wᵢ =794587856,573419, qᵢ =794587856, wᵢ=573419 et 0,wᵢ =0,573419, alors:

⁂⁂

J'écris ensuite l'expression de la suite récurrente du rang successif droit des chiffres de la partie entière qᵢ d'un nombre décimal qᵢ ,wᵢ, correspondante à la fonction de rang droit des chiffres de la partie entière du nombre qᵢ du nombre décimal qᵢ ,wᵢ  comme suit:

 Soit les éléments de l'ensemble des chiffres du nombre qᵢ, la partie entière du nombre décimal qᵢ ,wᵢ, que je note en général dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ) ∈ N ∧ Dnum(qᵢ, wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ, wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ, wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ, wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ, wᵢ)…); ∀ q,w ∈ D*, ∀ wᵢ ∈ N, ∀ a ∈ N*, ∀ z, k, h ∈ N, avec qᵢ<⌊log₁₀(qᵢwᵢ)⌋+1; ∀ dnumeₙ(qᵢ ; qᵢ , wᵢ) ∈ DNum(qᵢ, wᵢ)=(dnumₙ(a; qᵢ , wᵢ); dnumₐ(z; qᵢ ,wᵢ); dnumₓ(k; qᵢ ,wᵢ); dnumᵧ(h; qᵢ ,wᵢ)…) ∧ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=h; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇... xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9); ∀ n ∈ N*: 

• RNGeᵣ(dnumeₙ(qᵢ ; qᵢ ,wᵢ))=(⌊log(qᵢ ,wᵢ)⌋+1-⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋)*(⌈(⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1)/( |⌊log(qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)⌋+1|+1)⌉ )   (4)'''↔ (4)'''' ; avec qᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ=qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ  ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1) = wᵢ ↔｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(qᵢ ,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(wᵢ ⫲qᵢ ,wᵢ)i] ) =｜⫣｜(n=1→n=x: [(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))i]) = S(n=1→n=x: [(wᵢ)i] ) 

RNGeᵣ(dnumeₙ(qᵢ; qᵢ ,wᵢ)) = RNGeᵣ(n=1→n=x: [((⌈(⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))⌉+1)/(|⌊log(qᵢ ,wᵢ -⌊qᵢ ,wᵢ /10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1)⌋*10^(⌊log(wᵢ₋₁)+1⌋+1))⌋+1)+1)⌉))*(⌊log(wᵢ)⌋+1))i])      (4''') 

⁂⁂

Pour illustrer l'expression ci-dessus de l'opération de la suite récurrente de rang droit des chiffres du nombre de la partie entière q d'un nombre décimal q,w, c'est-à-dire des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres formant les valeurs de rang des chiffres du nombre de la partie entière q d'un nombre décimal q,w, prenons l'exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419, q=794587856 et 0,w=0,573419, alors:

⁂⁂⁂

5) Les deux opérations fondamentales d'extraction droite et d'extraction gauche d'un chiffre du nombre décimal

⁂

 ₊₁

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

qᵢ ⫲qᵢwᵢ =qᵢ ↔ S(n=1→n=x: [ (⌊log(qᵢ ⫲qᵢwᵢ )⌋))i]  )      (4.a.1)' → (4.a.1)''

qᵢ ⫲qᵢwᵢ = ( ⌊log(qᵢ ⫲qᵢwᵢ )⌋;

⁂⁂ 

 ₋₁₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉
⁂

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ