ALGÈBRE FONCTIONNELLE SIMPLE : 18: 9'A IV' FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTATIONS ET DE SOUS SEGMENTATIONS QUASI FONDAMENTALES

18: 9'A IV' FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTATIONS ET DE SOUS SEGMENTATIONS QUASI FONDAMENTALES

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Ci-dessus mon illustration "d'artiste" (le dernier terme signifiant qu'il manque à cette représentation les parenthèses délimitant le début et la fin de la séquence, ainsi que les séparateurs des éléments de la séquence, qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation séquentielle de deux types de fonctions caractéristiques de sous segmentations quasi fondamentales de la première fonction caractéristique représentée au-dessus.

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Si nous écrivons ces nouvelles expressions de fonctions caractéristiques en progressant dans le sens de l'émancipation complète des catégorisations restrictives des catégories fondamentales et quasi fondamentales par rapport à générales, et de la catégorisation en sous segmentation par rapport à segmentation pour les fonctions caractéristiques "d'unitarisation" définie comme la transformation en l'unité c'est à dire en valeur1 des nombres par opposition à l'annulation comme la transformation en valeur 0 des nombres, c'est afin d'obtenir enfin l'expression des fonctions caractéristiques d'unitarisation catégorisées comme générales. En effet, parvenir à cette généralité nous permettra de remplacer systématiquement les expressions des fonctions caractéristiques définies dans les deux catégories précédentes dont le but n'est que de montrer leur spécificité, à laquelle nous joindrons leur utilité en théorie des nombres ainsi qu'à l'élaboration d'autres expressions. Mais si nos expressions sont moins spécifiques et plus générales sans être pour autant moins efficaces, nous devons néanmoins en finir d'énumérer toute la spécificité en définissant la nouvelle catégorie hybride entre moins fondamentale, mais tout aussi fondamentale, cette fois ci un terme compris dans le sens de la mesure de la quantité d'éléments d'une suite de nombres seulement d'après leurs valeurs d'indexes de positions résultantes du calcul de l'expression de la fonction d'indexe ou de la forme de la représentation séquentielle des sous suites de nombres de valeurs dans {0;1}, c'est-à-dire moins fondamentale en général, mais plus fondamentale en particulier, donc quasi fondamentale.

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I) LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTATIONS QUASI-FONDAMENTALES

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Donc, nous continuons dans ce deuxième chapitre de notre catégorisation des fonctions indicatrices, et nous considérons ensuite dans cette nouvelle catégorisation générale des fonctions indicatrices, après la deuxième catégorie des fonctions caractéristiques de segmentations fondamentales, après la troisième catégorie de la fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale, la quatrième catégorie que j'appelle la fonction caractéristique de segmentation quasi fondamentale, notée de deux façons

correspondant à deux cas possibles de son ensemble de définition soit, la première étant

SGMTQFDMTNLNNL([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1 ]), c'est-à-dire la fonction indicatrice de n'importe quelle suite de nombres caractéristiques d'un sous segment d'éléments d'un ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs nulles, précédant un sous segment d'éléments de ce même ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs non nulles, et la fonction indicatrice simultanément de ce dernier sous segment aussi, est définie en trois étapes, dont la première est définie comme suit:

Considérons la fonction caractéristique d'annulation fondamentale d'un sous-ensemble intervalle d'éléments yᵢ telle que yᵢ ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, éléments indicées par les valeurs n ∈ N*, et qui est défini comme suit :

1A: R→ {0,1}

1A(yᵢ)=1, si a>INDEX(yᵢ) > a+h

1A(yᵢ)=0, si a<=INDEX(yᵢ) <= a+h

L'expression de cette fonction caractéristique d'annulations segmentales fondamentales notées 1A(yᵢ) est définie comme suit:

1A(yᵢ) ↔ NULL([0ᵢ₌ₐ₊₁;0ᵢ₌ₐ₊ₕ ]⋆⋆⋆[yᵢ₌ₐ₊₁;yᵢ₌ₐ₊ₕ])) =((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-

1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1); et cette fonction caractéristique est représentée théoriquement par la suite de nombre n ∈ Seq{1;0}=(1;1;1;1;1;...0;0;0;0;..1;1;1;1;1;1;1;..1;1).

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Considérons maintenant un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l'expression (1) nous obtenons:

1A(yᵢ)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1'), dont la représentation séquentielle correspondante est la suite de nombre n ∈ Seq{1;0}=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;
0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;..1;1).

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Après la première étape, la deuxième est définie comme suit:

1A: R → {0, 1}:

1-1A(yᵢ)=0, si a>INDEX(yᵢ)>a+h

1-1A(yᵢ)=1, si a<=INDEX(yᵢ)<=a+h

1-1A(yᵢ) ↔ NULL([0ᵢ₌₁; 0ᵢ₌ₐ]⋆⋆⋆[yᵢ₌₁;yᵢ₌ₐ] ∪ [0ᵢ₌ₐ₊ₕ₊₁; 0ᵢ₌ₐ₊ₕ₊₁₊∞]⋆⋆⋆[yᵢ₌ₐ₊ₕ₊₁;yᵢ₌ₐ₊ₕ₊₁₊∞])) =1-((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (2); et cette fonction

caractéristique est représentée théoriquement par la suite de nombre n ∈ Seq{0;1}=(0;0;0;0;0;...1;1;1;1;

..0;0;0;0;0;0;0;..0;0).

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Considérons maintenant un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l'expression (2) nous obtenons:

1-1A(yᵢ)=1-((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (2'), dont la représentation théorique séquentielle correspondante est la suite de nombre:

n ∈ Seq{0;1}=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;..0;0).

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Après la deuxième étape, la troisième étape est définie comme suit:

1A: R → {0, 1}:

1A(1-1A(yᵢ))=1, si 1-1A(yᵢ)=0 ∧ INDEX(1-1A(yᵢ)) <= INDEXTERMINFNNL₁(1-1A(yᵢ))=a+h

1A(1-1A(yᵢ))=0, si INDEX(1-1A(yᵢ)) > INDEXTERMINFNNL₁(1-1A(yᵢ))=a+h

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments yᵢ nuls de ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et dont les valeurs de la fonction d'indexe de position ainsi que les éléments appartenant au premier ensemble des éléments de valeurs non nulles précédent le deuxième sous-ensemble des éléments à valeurs nuls et qui sont inférieures ou égales à la valeur g de la fonction d'indexe de terminaison dernière non nulle notée

INDEXTERMINFNNL₁(yᵢ) de ces éléments non nuls du premier sous-ensemble, est notée 1A(yᵢ), et, est définie comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ k ∈ N*. Alors l'expression de la fonction caractéristique de sous segmentation quasi fondamentale des éléments de yᵢ ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs nulles, et dont les valeurs de la fonction d'indexe de position sont inférieures ou égales à la valeur a+h de la fonction d'indexe de terminaison dernière nulle notée INDEXTERMINFNNL₁(yᵢ)=a+h, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R dont le cardinal n(SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞)

=Card(SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞) que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→n=x: [a(n)], est définie comme suit:

1A(1-1A(yᵢ))=SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1 ])=(1-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉))
/ (((1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)))+1)⌉ (3) ↔ (3)'

1A(1-((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))))=SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1 ])=(1-⌈((((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) )*n-((((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) )*( (∑ n=1→n=∞: [ ( (((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) )+(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))) )) ᵢ ]) )-((((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1)-⌈(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-
1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) * ( (∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))ᵢ ]) )-((((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1))/(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*( (∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ ]) )-((((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1)+1)⌉))/(((((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*n-(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*( (∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ ]) )-((((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1)-⌈(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*( (∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ ]) )-((((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1))/(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*( (∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ ]))-((((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1)+1)⌉)))+1)⌉ (3)', dont la représentation théorique séquentielle correspondante

est la suite de nombre n ∈ Seq{1;0}=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;..0;0).

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Pour simplifier notre calcul après le résultat très long de l'écriture en extension de l'expression de la fonction caractéristique de segmentation quasi fondamentale, nous remarquons que l'expression (3)' de SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1]), soit la notation correspondante à la première notation des deux façons correspondantes à deux cas possibles de son ensemble de définition, soit la fonction indicatrice de n'importe quelle suite de nombres caractéristiques d'un sous segment d'éléments d'un ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs nulles, précédant un sous segment d'éléments de ce même ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs non nulles, et la fonction indicatrice simultanément de ce dernier sous segment aussi, est identique à l'expression, donc aussi (3)' de SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ₊ₕ=0]), soit la notation correspondante à la deuxième notation des deux façons correspondantes à deux cas possibles de son ensemble de définition, soit la fonction indicatrice de n'importe quelle suite de nombres caractéristiques d'un sous segment d'éléments d'un ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs non nulles, précédant un sous segment d'éléments de ce même ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs nulles, et la fonction indicatrice simultanément de ce dernier sous segment aussi. Donc nous écrivons:

SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1 ]) = SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ₊ₕ=0])=1A(1-1A(yᵢ))=(1-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)) / (((1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)))+1)⌉ (3) dont la représentation théorique séquentielle correspondante est la sous suite de nombre n ∈ Seq{0,1}=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0; 0;0;0;0;..0;0), qui est le résultat de l'application de la fonction caractéristique de sous segmentation quasi fondamentale aux valeurs des éléments des suites de nombres n ∈ Seq{1;0}=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;1;1;..1;1;1;1;1;1;1;..1;1), ou n ∈ Seq{0;1}=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;0;0;0..0;0;0;0;0;0;0;..0;0).

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Considérons maintenant un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l'expression (1) nous obtenons:

1A(yᵢ)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1'), dont la représentation séquentielle correspondante est la suite de nombre n ∈ Seq{1;0}=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;..1; 1 ).

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Nous comprenons donc mieux le terme de quasi fondamentale en rapport avec celui d'une fonction caractéristique de segmentation fondamentale dont la fonction caractéristique quasi fondamentale serait le nom lorsque la séquence caractéristique de sa représentation correspondrait à une partie d'une séquence caractéristique dont le cardinal des éléments serait plus grand voir même infinie et dont la représentation serait celle d'une séquence avec de multiples sous-ensembles de valeurs successives continues de 1 et de 0: la fonction caractéristique de segmentation quasi fondamentale est équivalente à une fonction caractéristique de sous segmentations et devient quasiment une fonction caractéristique de segmentation fondamentale par son domaine de définition réduit artificiellement en devenant virtuellement égale à au domaine de cette dernière fonction. Ainsi le domaine de la fonction caractéristique de segmentations quasi fondamentales serait un domaine plus restreint sur le domaine de la fonction caractéristique de segmentation fondamentale. Il en est évidemment de même pour les fonctions caractéristiques de sous segmentations quasi fondamentales que nous écrivons maintenant dans le titre suivant.

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II) LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SOUS SEGMENTATIONS QUASI-FONDAMENTALES

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Donc, nous continuons dans ce deuxième titre notre catégorisation des fonctions indicatrices, et nous considérons ensuite dans cette nouvelle catégorisation générale des fonctions indicatrices, après la deuxième catégorie des fonctions caractéristiques de segmentation fondamentale, après la troisième catégorie de "la fonction caractéristique de sous segmentations fondamentales", et après la quatrième catégorie que j'ai appelée précédemment "la fonction caractéristique de segmentation quasi fondamentales", la cinquième catégorie qui est celle que j'appelle "la fonction caractéristique de sous segmentations quasi fondamentales", notée de deux façons correspondant à deux cas possibles de son ensemble de définition soit, la première étant SOUSGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ ₐ=0 ]), c'est-à-dire la fonction indicatrice de n'importe quelle suite de nombres caractéristiques d'un sous segment d'éléments d'un ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs nulles, précédentes un sous segment d'éléments d'un ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs non nulles, mais qui n'est pas cette fois ci contrairement au titre précédent la fonction caractéristique simultanément de ce dernier sous segment aussi, et qui est définies comme suit en trois étapes au sous-titre suivant:

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2.1) La première fonction remarquable caractéristique de sous segmentations quasi fondamentales:

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Considérons comme précédemment la fonction caractéristique d'annulation fondamentale d'un sous-ensemble intervalle d'éléments yᵢ telle que yᵢ ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R, indicées par les valeurs n ∈ N*, et qui est défini comme suit :

1A: R→ {0,1}

1A(yᵢ)=1, si a>INDEX(yᵢ) > a+h

1A(yᵢ)=0, si a<=INDEX(yᵢ) <= a+h

L'expression de cette fonction caractéristique d'annulations segmentales fondamentales notées 1A(yᵢ) est définie comme suit:

1A(yᵢ) ↔ NULL([0ᵢ₌ₐ₊₁;0ᵢ₌ₐ₊ₕ ]⋆⋆⋆[yᵢ₌ₐ₊₁;yᵢ₌ₐ₊ₕ]) =((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-
1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1); et cette fonction caractéristique est représentée théoriquement par la suite de nombre n ∈ Seq{1;0}=(1;1;1;1;1;...0;0;0;0;..1;1;1;1;1;1;1;..1;1).

⁂

Considérons maintenant un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l'expression (1) nous obtenons:

⁂

Après la première étape, la deuxième est définie comme suit:

1A: R → {0, 1}:

1-1A(yᵢ)=0, si a>INDEX(yᵢ) > a+h

1-1A(yᵢ)=1, si a<=INDEX(yᵢ) <= a+h

1-1A(yᵢ) ↔ NULL([0ᵢ₌₁; 0ᵢ₌ₐ]⋆⋆⋆[yᵢ₌₁;yᵢ₌ₐ] ∪ [0ᵢ₌ₐ₊ₕ₊₁; 0ᵢ₌ₐ₊ₕ₊₁₊∞]⋆⋆⋆[yᵢ₌ₐ₊ₕ₊₁;yᵢ₌ₐ₊ₕ₊₁₊∞]) =1-((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (2); et cette fonction caractéristique est représentée théoriquement par la suite de nombre n ∈ Seq{0;1}=(0;0;0;0;0;...1;1;1;1;..0;0;0;0;0;0;0;..0;0).

⁂

Considérons maintenant un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l'expression (2) nous obtenons:

1-1A(yᵢ)=1-((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (2'), dont la représentation théorique séquentielle correspondante est la suite de nombre n ∈ Seq{0;1}=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;..0;0).

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Après la deuxième étape, la troisième étape est définie comme suit:

1A': R → {0, 1}:

1A'(1-1A(yᵢ))=1, si 1-1A(yᵢ)=0 ∧ INDEX(yᵢ) <= INDEXTERMINFNL₁(yᵢ)=a

1A'(1-1A(yᵢ))=0, si 1-1A(yᵢ)≠0 ∧ INDEX(yᵢ) > INDEXTERMINFNL₁(yᵢ)=a

L'expression de cette fonction caractéristique des éléments yᵢ nuls de ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et dont les valeurs de la fonction d'indexe de position sont inférieures ou égales à la valeur a de la fonction d'indexe de terminaison dernière nulle notée INDEXTERMINFNL(yᵢ), est notée 1A'(1-1A(yᵢ)), et est définie comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*. Alors l'expression de la fonction caractéristique de sous segmentation quasi fondamentale des éléments de yᵢ ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs nulles, et dont les valeurs de la fonction d'indexe de position sont inférieures ou égales à la valeur a de la fonction d'indexe de terminaison dernière nulle notée INDEXTERMINFNL₁(yᵢ)=a, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R dont le cardinal n(SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞)

=Card(SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞) que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→n=x: [a(n)], est définie comme suit:

1A'(1-1A(yᵢ))=SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ ₐ=0 ] )=1-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉))/(((1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*(( ∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ] ))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)))+1)⌉-(1-1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ) (4) ↔ (4)'

SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ ₐ=0 ] )=1-⌈(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*n-( ((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*( (∑ n=1→n=∞: [(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ ]))-(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1)-⌈(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*((∑ n=1→n=∞: [(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ))-(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1))/(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*( ( ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ ] ) )-(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1)+1)⌉))/(((((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*n-( ((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*(( ∑ n=1→n=∞: [(((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ] ))-(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1)-⌈( ((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*((∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ ]))-(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1))/( ((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))*( ( ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))+((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1)))) ᵢ ] ) )-(((⌈|(n₊₁/(a+1)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n₊₁/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n₊₁/(a+1+h)⌉+1))))^2+1)+1)⌉)))+1)⌉-(1-((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1)))) (4)'.

⁂

Pour simplifier notre calcul après le résultat très long de l'écriture en extension de l'expression de la fonction caractéristique de segmentation quasi fondamentale, nous remarquons que l'expression (4)' de SOUSGMTQFDMT( [yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ=0 ] ), soit la notation correspondante à la première notation des deux façons correspondantes à deux cas possibles de son ensemble de définition, soit la fonction indicatrice de n'importe quelle suite de nombres caractéristiques d'un sous segment d'éléments d'un ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs nulles, précédant un sous segment d'éléments de ce même ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs non nulles, mais qui n'est pas cette fois ci contrairement au titre précédent la fonction caractéristique simultanément de ce dernier sous segment aussi, est identique à l'expression, donc aussi (4)' de SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ ₐ=1 ] ) soit la notation correspondante à la deuxième notation des deux façons correspondantes à deux cas possibles de son ensemble de définition, soit la fonction indicatrice de n'importe quelle suite de nombres caractéristiques d'un sous segment d'éléments d'un ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs non nulles, précédant un sous segment d'éléments de ce même ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs nulles, mais qui n'est pas cette fois ci contrairement au titre précédent la fonction caractéristique simultanément de ce dernier sous segment aussi. Donc nous écrivons:

SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ=0 ] )= SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ=1 ] )=1A'(1-1A(yᵢ))==1-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)) / (((1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*(( ∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ] ))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ +1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)))+1)⌉-(1-1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ) (4)↔ (4)', dont la représentation théorique séquentielle correspondante est la sous suite de nombre n ∈ Seq{1;0}=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0

;0;..0;0), qui est le résultat de l'application de la fonction caractéristique de sous segmentation quasi fondamentale aux valeurs des éléments des suites de nombres n ∈ Seq{1;0}=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;

0;0;..1;1;1;1;1;1;1;..1;1), ou n ∈ Seq{0;1}=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;..0;0;0;0;0;0;0;..0;0).

⁂

Considérons maintenant un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l'expression (1) nous obtenons:

1A(yᵢ)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1'), dont la représentation séquentielle correspondante est la suite de nombre n ∈ Seq{1;0}=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;..1; 1).

⁂

2.2) La deuxième fonction remarquable caractéristique de sous segmentations quasi fondamentales du deuxième sous-ensemble d'éléments de valeurs dans {0} ou {1} aux valeurs d'appartenance opposées aux éléments du premier sous-ensemble d'éléments de valeurs dans {0} ou {1}:

⁂

Dans ce nouveau sous-titre nous considérons une autre fonction de sous segmentation quasi fondamentale dont l'expression est remarquable parce qu'elle correspond à la fonction caractéristique de sous segmentation quasi fondamentale du deuxième sous-ensemble d'une sous suite de nombres à valeurs nulles ou non nulles correspondant aux éléments décrits précédemment dans les deux cas de la fonction indicatrice de n'importe quelle suite de nombres caractéristiques d'un sous-ensemble d'éléments d'un ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et de mêmes valeurs non nulles ou nulles et précédant un sous-ensemble d'éléments de ce même ensemble d'éléments noté SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs nulles ou non nulles à l'opposé des valeurs du sous-ensemble précédent: ce dernier sous-ensemble est ce deuxième sous-ensemble correspondant à cette deuxième fonction caractéristique remarquable de sous segmentation quasi fondamentale, et dont nous déterminons l'expression en déterminant tout d'abord l'expression de la fonction caractéristique de sous segmentation non fondamentale et non quasi fondamentale donc la fonction caractéristique de sous segmentations générales par l'opération arithmétique de différence entre les deux expressions précédentes de la fonction caractéristique de segmentation quasi fondamentale et la fonction caractéristique de sous segmentations quasi fondamentale, dont les éléments de l'expression résultante de cette première opération seront ensuite additionnés pour déterminer le cardinal de ce sous-ensemble, qui deviendra le paramètre de l'expression finale de cette deuxième fonction caractéristique remarquable de sous segmentation quasi fondamentale, c'est-à-dire un processus défini comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇...yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;....yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;...nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*. Alors l'expression de la fonction caractéristique de sous segmentation quasi-fondamentale des éléments de yᵢ ∈ SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs nulles, et dont les valeurs de la fonction d'indexe de position sont inférieures ou égales à la valeur a de la fonction d'indexe de terminaison dernière nulle notée INDEXTERMINFNL₁(yᵢ)=a, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R dont le cardinal n(SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞)

=Card(SeqA''ᵢ₌ₙ₊∞) que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑ n=1→ n=x: [a(n)], est définie comme suit:

SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1 ]) - SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ=0 ] ) = SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ₊ₕ=0]) - SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ=1 ] ) = 1A(1-1A(yᵢ)) - 1A'(1-1A(yᵢ)) = ( (1-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙn-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)) / (((1A(yᵢ)ᵢ₌ₙn-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ( (∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ((∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)))+1)⌉ ) - ( 1-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙn-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ( (∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ((∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)) / (((1A(yᵢ)ᵢ₌ₙn-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ(( ∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ] ))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ((∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ((∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ])) - (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)))+1)⌉ -(1-1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ) ) ↔ (3) - (4)

∑ n=1→n=∞: [(SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1 ]) - SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ=0 ] ))] =∑ n=1→n=∞: [( SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ₊ₕ=0]) - SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ=1 ] ) )]=∑ n=1→n=∞: [( 1A(1-1A(yᵢ)) - 1A'(1-1A(yᵢ)) )]=

∑ n=1→n=∞: [ ( ( (1-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)) / (((1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞:[(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)))+1)⌉ ) - ( 1-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( (∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)) / (((1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*n-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*(( ∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ] ))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)-⌈(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*((∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ+1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ]))-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1))/(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ*( ( ∑ n=1→n=∞: [ (1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ +1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁) ᵢ ] ) )-(1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ₊₁)^2+1)+1)⌉)))+1)⌉-(1-1A(yᵢ)ᵢ₌ₙ)))]=h (5) ↔ ∑ n=1→n=∞: [((3) - (4))]

SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1 ]) - SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ=0 ] ) = SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ₊ₕ=0]) - SOUSGMTQFDMT( [ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ=1 ] ) = 1A(1-1A(yᵢ)) -1A'(1-1A(yᵢ)) = (⌈|n/(h +1)-1|⌉-⌈n/(h +1)⌉+1) (5)

⁂

2.3) Les troisièmes et quatrièmes fonctions remarquables caractéristiques de sous segmentations quasi fondamentales:

⁂

SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ₊ₕ=1 ])=SGMTQFDMT([ yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ₊ₕ=0])=1A(1-1A(yᵢ))=⌈|n/(a+h+1)-1|⌉

-⌈n/(a+h+1)⌉+1 (6)

SOUSGMTQFDMT([yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₐ=0])=SOUSGMTQFDMT([yᵢ₌₁=1; yᵢ₌ₐ=1])=⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1=1-((⌈|(n-1)|⌉-⌈n⌉+1))+(1-((⌈|(n/(1+h)-1)|⌉-⌈n/(1+h)⌉+1))) (7)

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

⌈⌉

de l'indexe des valeurs de n'importe quelle suite de nombres appartenant à R,

Table des Matières

18: 9'A IV' FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTATIONS ET DE SOUS SEGMENTATIONS QUASI FONDAMENTALES

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I) LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTATIONS QUASI-FONDAMENTALES

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II) LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SOUS SEGMENTATIONS QUASI-FONDAMENTALES

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2.2) La deuxième fonction remarquable caractéristique de sous segmentations quasi fondamentales du deuxième sous-ensemble d'éléments de valeurs dans {0} ou {1} aux valeurs d'appartenance opposées aux éléments du premier sous-ensemble d'éléments de valeurs dans {0} ou {1}:

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