47: 5'A XV' FONCTION SIMPLE DE TRI

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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 © "Tous droits réservés" - 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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"Le tri par insertion considère chaque élément du tableau et l'insère à la bonne place parmi les éléments déjà triés. Ainsi, au moment où on considère un élément, les éléments qui le précèdent sont déjà triés, tandis que les éléments qui le suivent ne sont pas encore triés. Pour trouver la place où insérer un élément parmi les précédents, il faut le comparer à ces derniers, et les décaler afin de libérer une place où effectuer l'insertion. Le décalage occupe la place laissée libre par l'élément considéré. En pratique, ces deux actions s'effectuent en une passe, qui consiste à faire « remonter » l'élément au fur et à mesure jusqu'à rencontrer un élément plus petit. Le tri par insertion est un tri stable (conservant l'ordre d'apparition des éléments égaux) et un tri en place (il n'utilise pas de tableau auxiliaire)."

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"Un algorithme de tri est, en informatique ou en mathématiques, un algorithme qui permet d'organiser une collection d'objets selon une relation d'ordre déterminée. Les objets à trier sont des éléments d'un ensemble muni d'un ordre total. On distingue les algorithmes procédant par comparaisons successives entre éléments, dits « tris par comparaisons », des algorithmes plus spécialisés faisant des hypothèses restrictives sur la structure des données à trier (par exemple, le tri par comptage, applicable uniquement si les données sont prises dans un ensemble borné connu à l'avance). Les algorithmes de tri par comparaison lisent les entrées uniquement au moyen d'une fonction de comparaison binaire ou ternaire (lorsque le cas d'égalité est traité différemment). Il existe encore différents principes de fonctionnement au sein de cette classe : certains algorithmes de tri par comparaison procèdent par insertions successives, d'autres par fusions, d'autres encore par sélection. En l'absence de précisions, on entend habituellement par « algorithme de tri » un algorithme de tri procédant par comparaisons.". Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre.

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XV'') LES FONCTIONS DE TRI PAR LA GRANDEUR DE L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES

6.1) Les fonctions caractéristiques ou indicatrices des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble R qui sont des fonctions équivalentes à la fonction Tri₆(max({a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l....}))

Cette nouvelle fonction de tri nous permet de trier les valeurs d'une suite de nombres dont le cardinal de l'ensemble est tout d'abord limité à 28, et pour en extraire la première et la deuxième plus grande valeur sachant que les deux formules de la définition de la plus grande valeur entre deux ou entre trois nombres respectivement sont: 

max(a, b)=((a+b)+|a−b|)/2 ;

max(a, b, c)=max(max(a, b),c)=(max(a, b)+c+|max(a, b)−c|)/2=[((a+b)+|a−b|)/2+c+|((a+b)+|a−b|)/2−c|]/2.

Notre première formule est:

∑n=1→n=28: [((((((a+b)+|a-b|)/2+c+|((a+b)+(a-b))/2-c|)/2+(((e+f)+|e-f|)/2+g+|((e+f)+|e-f|)/|2-g))/2+|(((a+b)+|a-b|)/2+c+|((a+b)+|a-b|)/2-c|)/2-((((e+f)+|e-f|)/2+g+|((e+f)+|e-f|)/2-g|)/2)|)/2+d+|(((((a+b)+|a-b|)/2+c+|((a+b)+|a-b|)/2-c)|/2+(((e+f)+|e-f|)/2+g+|((e+f)+|e-f|)/2-g)|/2)+|(((a+b)+|a-b|)/2+c+|((a+b)+(a-b)|/2-c|)/2-((((e+f)+|e-f|)/2+g+|((e+f)+|e-f|)/2-g)|/2)))/2-d))/2]; avec a=xₙ; b=xₙ₊₁;c=xₙ₊₂

Cette formule est donc d'utilisation pratique limitée si l'on augmente le nombre de variables correspondant à une augmentation du nombre d'éléments de la suite ce qui justifie donc de développer dans un nouveau paragraphe une nouvelle formule pratique d'utilisation et généralisable à une infinité d'éléments.

6.2) Les fonctions caractéristiques ou indicatrices des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble R qui sont des fonctions équivalentes à la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R))

Cette nouvelle fonction de tri répond au besoin énoncé précédemment et nous permet donc de trier les valeurs d'une suite de nombres dont le cardinal de l'ensemble est illimité, pour en extraire la première et la deuxième plus grande valeur ensemble ou séparément. Je montre ici les étapes de la construction de sa formule afin de généraliser une méthode de calcul applicable au calcul d'autres formules de ce type comme suit:

1: soit la suite de nombre indicée par l'ensemble des entiers naturels positifs N* et que je dénomme, SeqA ⊂ R, et soit les éléments x ∈ SeqA, et soit le premier calcul correspondant à la première étape notée (n°1 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)) et définie comme suit: 

1A: E→ {0,1}

• 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠0
• 1A(xₙ)=0 si xₙ=0

L'expression de cette fonction caractéristique de l'expression a(n)=1A(xₙ≠0) (0), est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ≠0)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (n°1 calc.).

2: soit le deuxième calcul suivant correspondant à la deuxième étape suivante notée (n°2 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)), la fonction plancher de la somme des éléments x de notre suite de nombres donnés SeqA divisée par le nombre total correspondant d'éléments non nuls, la moyenne arithmétique donc, soit la formule de la fonction moyenne arithmétique notée ā(xₙ ≠0) définit comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*: ā(xₙ)= ⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋  (n°2 calc.).

3: soit le troisième calcul suivant correspondant à la troisième étape suivante notée (n°3 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)), la soustraction de xₙ par notre formule de calcul de l'étape précédente (n°2 calc.), définie comme suit: 

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*: a(xₙ)=xₙ-⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋=yₙ  (n°3 calc.).

4: soit le quatrième calcul suivant correspondant à la quatrième étape suivante notée (n°4 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)), comprenant la formule du tri des valeurs positives non nulles de la suite des nombres de la séquence dont la variable correspond à la formule (n°3 calc.)= xₙ-⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋=yₙ, soit la formule de la fonction Tri₃(SeqA), et définie dans la rubrique précédente comme correspondante à la fonction indicatrice ou caractéristique des valeurs de {xₙ>0} comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A({xₙ>0} )=1, si xₙ>0;

et 1A({xₙ>0} )=0, si xₙ<0,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂R, ∀ xₙ ∈ E: 1A({xₙ>0})=⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉, (30)

Nous obtenons donc la formule de notre étape de calcul suivante notée (n°4 calc.), définie comme suit: 

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*, ∀ yₙ ∈ R avec yₙ=xₙ-⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋ : a(xₙ)=(⌈yₙ/(|yₙ|+1)-⌊|yₙ|/(|yₙ|+1)⌋⌉)*(xₙ-⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋)  (n°4 calc.).

5: soit le cinquième calcul suivant correspondant à la cinquième étape suivante notée (n°5 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)), définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*, ∀ zₙ ∈ R: a(xₙ)=|xₙ/2|- ⌊ ∑n=1→n=∞:  {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋=zₙ  (n°5 calc.).

6: soit le sixième calcul suivant correspondant à la sixième étape suivante notée (n°6 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)), comprenant la formule du tri des valeurs positives non nulles de la suite des nombres de la séquence précédente (n°5 calc.), c'est à dire la formule de la fonction Tri₃(SeqA) aussi donnée précédemment, et soit en finalité une opération définie comme suit :

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*, ∀ zₙ ∈ R avec zₙ=|xₙ/2|- ⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋ : a(xₙ)=(⌈zₙ/(|zₙ|+1)-⌊|zₙ|/(|zₙ|+1)⌋⌉)*(|xₙ/2|- ⌊ ∑n=1→n=∞: { xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋) (n°6 calc.).

7: soit le septième calcul suivant correspondant à la septième étape suivante notée (n°7 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)), la fonction plafond appliquée à notre formule donnée précédemment (n°6 calc.), soit en finalité une opération définie comme suit :

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*, ∀ zₙ ∈ R avec zₙ=|xₙ/2|- ⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋ : a(xₙ)=⌈ (⌈zₙ/(|zₙ|+1)-⌊|zₙ|/(|zₙ|+1)⌋⌉)*(|xₙ/2|- ⌊ ∑n=1→n=∞: { xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋) ⌉ (n°7 calc.).

8: soit le huitième calcul suivant correspondant à la huitième étape suivante notée (n°8 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)), ou l'on introduit un nombre variable fixe de notre choix, a, soumis à la condition définie comme suit: 

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ yₙ ∈ R avec yₙ=xₙ-⌊ ∑n=1→n=∞: [xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)] ⌋ : 

⌊ (∑n=1→n=∞: {xₙ})/(∑n=1→n=∞: { ⌈|xₙ|/(|xₙ+1)⌉ }) ⌋ < a < ⌊ (∑n=1→n=∞: { ⌈yₙ/(|yₙ|+1)-⌊|yₙ|/(|yₙ|+1)⌋⌉*yₙ } )/( (∑n=1→n=∞: { ⌈yₙ/(|yₙ|+1)-⌊|yₙ|/(|yₙ|+1)⌋⌉ })⌋; et soit en finalité (n°8 calc.) définie comme suit :

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ n ∈ N*: a(xₙ)=xₙ/((∑n=1→n=∞: {xₙ})/((∑n=1→n=∞: {⌈(|xₙ|+1)/((|xₙ|+1))⌉})-a))      (n°8 calc.).

9: soit le neuvième calcul suivant correspondant à la neuvième étape suivante notée (n°9 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(xₙ)= ( ⌈ (⌈zₙ/(|zₙ|+1)-⌊|zₙ|/(|zₙ|+1)⌋ ⌉ )*( |xₙ/2|-⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋) ⌉ )-(⌊ ∑n=1→n=∞: {xₙ/(⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)} ⌋-a)=wₙ   (n°9 calc.).

10: soit le dixième calcul suivant correspondant à la dixième étape suivante notée (n°10 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ   (n°10 calc.).

11: soit le onzième calcul suivant correspondant à la onzième étape suivante notée (n°11 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

1A(⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ≠0)=⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ|+1)⌉   (n°11 calc.).

12: soit le douzième calcul suivant correspondant à la douzième étape suivante notée (n°12 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)=⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉=uₙ   (n°12 calc.).

13: soit le treizième calcul suivant correspondant à la treizième étape suivante notée (n°13 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

1A(⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉≠0)=⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉=vₙ   (n°13 calc.).

14: soit le quatorzième calcul suivant correspondant à la quatorzième étape suivante notée (n°14 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)=⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋  = ⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞:{vₙ}) ⌋   (n°14 calc.).

15: soit le quinzième calcul suivant correspondant à la quinzième étape suivante notée (n°15 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)=| (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / ( ∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ) = |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ   (n°15 calc.).

16: soit le seizième calcul suivant correspondant à la seizième étape suivante notée (n°16 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)=(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ) 

= (⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ  (n°16 calc.).

17: soit le dix-septième calcul suivant correspondant à la dix-septième étape suivante notée (n°17 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)=⌈((⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ))/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ )|+1)-⌊|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ )|/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ )|+1)⌋⌉

=  ⌈((⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ)/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|+1)-⌊|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|+1)⌋⌉   (n°17 calc.).

18: soit le dix-huitième calcul suivant correspondant à la dix-huitième étape suivante notée (n°18 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)=(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ )  -  (| (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / ( ∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ )) 

= (⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ  -  (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)  (n°18 calc.)

19: soit le dix-neuvième calcul suivant correspondant à la dix-neuvième étape suivante notée (n°19 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)=⌈((⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ) - (| (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / ( ∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ )))/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ) - (| (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / ( ∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ))|+1)-⌊|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ) - (| (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / ( ∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ))|/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - | (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / (∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ) - (| (⌊ ( ∑n=1→n=∞: { ⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ } ) / ( ∑n=1→n=∞: { ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ } ) ⌋) -⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉ | * ( ⌈|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|/(|⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ*⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉|+1)⌉ ))|+1)⌋⌉

=⌈((⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ))/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|+1)-⌊|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|+1)⌋⌉  (n°19 calc.).

20: soit le vingtième calcul suivant correspondant à la vingtième étape suivante notée (n°20 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)= | (⌈((⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ)/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|+1)-⌊|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|+1)⌋⌉ )        - (⌈((⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ))/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|+1)-⌊|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|+1)⌋⌉) |   (n°20 calc.)

21: soit le vingtième calcul suivant correspondant à la vingtième étape suivante notée (n°21 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),

a(n)=(⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) * (| (⌈((⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ)/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|+1)-⌊|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ|+1)⌋⌉ ) - (⌈((⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ))/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|+1)-⌊|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|/(|(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉*⌈wₙ/(|wₙ|+1)-⌊|wₙ|/(|wₙ|+1)⌋⌉*wₙ) - |⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ})/( ∑n=1→n=∞: {vₙ}) ⌋-uₙ|*vₙ - (|⌊ ( ∑n=1→n=∞: {uₙ} )/( ∑n=1→n=∞: {vₙ} ) ⌋-uₙ|*vₙ)|+1)⌋⌉) |) = tₙ   (n°21 calc.)

21: soit le vingtième calcul suivant correspondant à la vingtième étape suivante notée (n°21 calc.) de l'élaboration de notre formule de la fonction Tri₇(max(SeqA ⊂ R)),