Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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II) LES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES NUMÉRIQUES DE L'OPÉRATION ENSEMBLISTE SÉQUENTIELLE DE TERMINAISONS SEGMENTALES PREMIÈRES ET DERNIÈRES
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1) Les définitions particulières des opérations ensemblistes séquentielles par les expressions algébriques numériques:
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1.1) Définitions algébriques numériques de l'opération ensembliste séquentielle de caractéristique
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1.2) Définitions algébriques numériques de l'opération ensembliste séquentielle de caractéristique du cardinal
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- 1A(yᵢ)=0, si yᵢ=0
- 1A(yᵢ)=1, si yᵢ≠0
- 1A(yᵢ)=1, si yᵢ=0
- 1A(yᵢ)=0, si yᵢ≠0
- 1A(yᵢ)=1, si yᵢ=0
- 1A(yᵢ)=1, si yᵢ≠0
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1.3) Définitions algébriques numériques de l'opération ensembliste séquentielle d'indexation
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- 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n
- 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n
- 1A(yᵢ)=n, si INDEX(yᵢ)=n
- 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n
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1.4) Définitions algébriques numériques de l'opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion équivalente à l'opération de déconcaténation
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- q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w.
- w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
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- w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋=w, avec l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
- q⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw)-l(w))=q, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1. .
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- q⫲qw=⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋=⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋
- w⫲qw=qw-⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋*10^(l(qw)-n))=qw-⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋*10^(⌊log(qw)⌋+1-n))
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- w⫲qw=⌊qw/10^n⌋
- q⫲qw=qw-⌊qw/10^n⌋*10^n
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Remarquons enfin que l'extension du domaine de définition de nos expressions de N à R est possible en convertissant tous nombres en utilisant la fonction de valeur absolue et la fonction de multiplication pour éliminer la partie décimale. Néanmoins, sans plus attendre se pose la question de comment appliquer ces opérations de concaténation et de déconcaténation, ce que nous montrons dans la sous-section suivante.
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2) Les expressions particulières des opérations ensemblistes séquentielles par les expressions algébriques numériques:
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- l'opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion équivalente à l'opération ensembliste séquentielle de déconcaténation,
- les opérations ensemblistes séquentielles de concaténation sérielle récurrente et non récurrente, l'opération ensembliste séquentielle de concaténation semi interne ou encore appelée concaténation de la partie décimale;
- les opérations ensemblistes séquentielles de déconcaténation sérielle récurrente et non récurrente; les opérations ensemblistes séquentielles de compression éliminatrice, de décompression éliminatrice
- et pour finir l'opération ensembliste séquentielle d'addition concaténant et réordonnant ou encore appelée l'opération ensembliste séquentielle de rangement croissant.
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2.1) Expressions algébriques numériques de l'opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion équivalente à l'opération ensembliste séquentielle de déconcaténation
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- 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n
- 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n
- q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
- w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
SeqCB''ᵢ₌₁₅=(10; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) (3)'' ⇒ (4), cette dernière étant l'expression résultante de notre application de l'opération de déconcaténation gauche de 1 qui est appliquée à tous les éléments de l'ensemble séquentiel, puisque nous ne pouvons pas arbitrairement effectuer cette opération sur une seule valeur, et surtout puisque cette opération de déconcaténation est une opération distributive sur l'ensemble séquentiel par rapport à l'opération d'indexation. Donc nous obtenons la représentation de cette opération de déconcaténation gauche comme suit:
SeqCDB''ᵢ₌₁₅=(1⫲10; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲1) (4) ⇒ (4₁)
SeqCDB''ᵢ₌₁₅=(1⫲10; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲1)*SeqIB'ᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) (4₁) ↔ (4₁)'
SeqCDB''ᵢ₌₁₅=(1*1⫲10; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲0; 0*1⫲1) (4₁)' ↔ (4)'
Néanmoins, il serait aussi possible de définir une nouvelle opération d'annulation et de non annulation qui ne s'appliquerait que sur l'opérateur représentant l'opération appliquée à l'élément de l'ensemble séquentiel en annulant ou n'annulant pas, cet opérateur représentant l'opération seulement et pas les éléments de l'ensemble séquentiel sur lesquels cet opérateur est appliqué. Alors c'est en fait cette opération spéciale qui définirait la nouvelle classe d'opérations dont la propriété est comme précédemment explicitée. Le désavantage de cette définition est que la cause logique de la création de cette propriété mathématique d'annulation et de non annulation d'opération sans annuler les éléments sur lesquelles s'applique l'opération annulée, est d'éviter d'avoir à répéter les étapes de calcul d'un algorithme à l'infini, celui des étapes de notre algorithme d'insertion d'un élément par les opérations successives de concaténation et de déconcaténation. D'autre part notre opération est limitée au domaine ensembliste séquentielle et n'est pas par extension du domaine de définition de cette opération de déconcaténation au domaine de définition d'une fonction ce que cette opération n'est pas par définition d'une fonction définie comme, "Une fonction en mathématiques est une association entre des valeurs d'entrée et des valeurs de sortie, dans laquelle chaque valeur d'entrée est associée à exactement une valeur de sortie.", alors l'opération de déconcaténation qui associe une valeur d'entrée à déconcaténer qw qui n'est donc pas exactement deux valeurs de sortie que sont les deux valeurs des deux nombres déconcaténés q et w des chiffres du nombre précédent, n'est pas une fonction .
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Donc nous continuons notre algorithme en reprenant à l'étape ou nous nous étions arrêtés soit (4)' ↔ (4)'' comme suit:- 1-1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)=n
- 1-1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)≠n
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- 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n
- 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n
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- q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
- w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
SeqCB'B'ᵢ₌₁₅=( 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 12) (4₂)'' ⇒ (5)
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Nous commençons donc par écrire l'expression algébrique numérique de la première sous expression algébrique algorithmique (1₁)' de la première des deux opérations de concaténation précédente, soit:⁂⁂⁂
- 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n
- 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n
SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2) (4) ⇒ (5)
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- q⫲w=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
- w⫲q= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
- 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n
- 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n
SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2) (4) ⇒ (5)
- q⫲w=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
- w⫲q= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
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2.2) Les expressions algébriques numériques des opérations ensemblistes séquentielles de concaténation récurrente et non récurrente en série, de concaténation semi interne ou encore concaténation de la partie décimale
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- q⫲w=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w.
- w⫲q= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
CONCATENTDEC(n=1→ n=x: [(qw)])=∑(n=1→ n=x: [( (1-⌈|qw-trunc(qw; 0)|/(|qw-trunc(qw; 0)|+1)⌉)*(10^0)*|qw| + (1A(qw-trunc(qw; n-1)) - 1A(qw-trunc(qw; n)))*(10^n)*qw )] ) (2)'↔ (2)''
CONCATENTDEC(n=1 → n=x: [(qw)])=∑(n=1→ n=x: [( (1-⌈|qw-⌊10^0*qw⌋/10^0|/(|qw-⌊10^0*qw⌋/10^0|+1)⌉)*(10^0)*qw + (⌈ ( | |qw|-⌊10^(n-1)*|qw|⌋/10^(n-1)|)/(| |qw|-⌊10^(n-1)*qw⌋ /10^(n-1)|+1)⌉) - (⌈ ( | |qw|-⌊10^n*|qw|⌋/10^n|)/(| |qw|-⌊10^n*qw⌋ /10^n|+1)⌉) *(10^n)*qw )] ) (2)''
La représentation séquentielle de l'expression (2) ↔ (2)' ↔ (2)'' est celle que j'écris comme suit:
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||( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (1) ↔ (1)'. Nous insistons ici sur la nécessité de faire la différence entre les deux expressions de concaténation sérielle récurrente et non récurrente, car il semble que la concaténation sérielle non récurrente soit nécessairement aussi récurrente puisqu'elle requiert la même série de sous opérations récurrentes de concaténation de tout nombre avec le nombre précédent concaténé, mais il n'en est rien et c'est la tout l'intérêt de la notation ensembliste séquentielle qui nous permet comme les sommes sigma de différencier entre les éléments d'un ensemble qui sont le résultat de chacune des différentes sous opération récurrente successive intermédiaire et la représentation visuelle pratique d'une opération télescopique à laquelle correspond l'expression de concaténation sérielle non récurrente. Et ce d'autant plus que la notation des deux opérations rappelle cette différence premièrement par la représentation de la concaténation sérielle récurrente||(n=1→n=∞: [a(rₙ)i]) qui à pour dernière valeur l'infini, n=∞, différemment à la notation de la concaténation sérielle non récurrente dont le dernier terme est n=x correspondant au cardinal de l'ensemble séquentiel ou valeur de l'indexe du dernier élément de l'ensemble séquentiel, une différence indiquant que dans les deux cas l'opération s'effectue sur tous les éléments de l'ensemble séquentiel, mais le symbole infini nous rappelant qu'il s'agit d'éléments d'un ensemble séquentiel qui sont successivement répétitivement
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||( n=1→n=1∞: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)i] ) =( |5125|; |5125| ∣∣ |7| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9| ∣∣ |1| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12|; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 |;
||( n=1→n=∞: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)i] ) = ( |5125| ; |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|) ; ((|5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8|) ; ((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9|) ; (((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ;
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1A: SeqRₙ ⊆ R→{0,1}
- 1A(a(rₙ)=qw)=1, si INDEX(a(rₙ)=qw)=1
L'expression de cette fonction caractéristique des éléments a(rₙ)=qw de n'importe quelle séquence de nombres dont la valeur d'indexe est 1 correspondante à leurs positions de premier élément de cette séquence qui est notée 1A(a(rₙ)=qw), est définie comme suit:
- 1A(a(rₙ)=qw)=0, si INDEX(a(rₙ)=qw)=0
∀ a(rₙ)=r=qw ∈ SeqRₙ=(qwₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({a(rₙ)=rₙ=qw ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ}) ; ∀ a(rₙ)=rₙ=qw ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁=qw₁ ∈ R; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}):