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© "Tous droits réservés" - 2012par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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Les rapports des longueurs des côtés du triangle donnent son sinus, son cosinus et sa tangente.
Un triangle quelconque rectiligne (ou sphérique) possède six parties : trois côtés et trois angles. Toutes ces parties ne sont pas utiles à la construction du triangle, par exemple les seules données de la longueur de deux de ses côtés et de l'angle entre ces côtés permet de compléter le triangle. Mais connaissant seulement les trois angles, il est impossible de retrouver le triangle, puisqu'il existe une infinité de triangles ayant les trois mêmes angles (triangles semblables). En fait, sauf dans un seul cas, il suffit de connaître trois de ces parties dont au moins un côté pour construire un triangle. Le cas où deux côtés sont connus mais l'angle connu n'est pas celui porté par les deux côtés peut définir deux triangles non semblables.Le problème de la détermination avec exactitude des parties manquantes du triangle fut étudié en particulier en Europe à partir du Moyen Âge. Les méthodes géométriques ne donnant, à l'exception des cas simples, que des constructions approximatives et insuffisantes à cause de l'imperfection des instruments utilisés, les recherches s'orientèrent plutôt vers des méthodes numériques afin d'obtenir des constructions avec un degré de précision voulu.Et l'un des objectifs de la trigonométrie fut donc de donner des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle, c'est-à-dire pour résoudre un triangle. Pendant longtemps les géomètres cherchèrent en vain des relations entre les angles et les côtés des triangles. Une de leurs plus grandes idées fut de se servir des arcs plutôt que des angles pour effectuer leurs mesures. Ces arcs de cercle ont pour centre un sommet du triangle et sont compris entre les côtés se rapportant à ce sommet. Ces considérations menèrent tout naturellement les géomètres à remplacer les arcs par les segments de droites dont ils dépendent.
Ces segments s'appellent les lignes trigonométriques. Il s'agit en fait d'un autre vocable pour désigner les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan…) appelées aussi fonctions circulaires. Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s'établissent de manière que les lignes puissent être déterminées à partir de certains arcs et réciproquement. Une convention fondamentale oblige alors à ne considérer que les lignes trigonométriques rapportées à des cercles de rayon 1. Ces lignes trigonométriques définissent les fonctions trigonométriques modernes.
Les fonctions trigonométriques mathématiques
Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.Les fonctions trigonométriques mathématiques sont celles qui s'appliquent à des mesures d'angles données en radians. Mais il est encore d'usage de garder les mêmes noms de fonctions pour les autres unités de mesures comme les degrés ou les grades. Les trois fonctions trigonométriques les plus utilisées sont le sinus (noté sin), le cosinus (cos) et la tangente (tan, tang ou tg). Les relations entre les différentes fonctions trigonométriques constituent les identités trigonométriques.
Définitions dans un triangle rectangle
Pour définir les fonctions trigonométriques d'un angle Â, considérons un triangle rectangle dont  est l'un des deux angles aigus. Les côtés du triangle rectangle sont appelés :
Les rapports des longueurs des côtés du triangle donnent son sinus, son cosinus et sa tangente.
Les différents rapports de ces trois longueurs ne dépendent pas du triangle choisi (du moment qu'il comporte l'angle  et un angle droit) puisque tous ces triangles sont semblables.
Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle unité. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique ; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre 0 et π/2." Extrait de l'article "fonctions trigonométriques" de Wikipédia l'encyclopédie en ligne.
Pour définir les fonctions trigonométriques d'un angle Â, considérons un triangle rectangle dont  est l'un des deux angles aigus. Les côtés du triangle rectangle sont appelés :
- l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, constituant une jambe de l'angle  et le côté le plus long du triangle ;
- le côté adjacent : c'est le côté joignant l'angle droit depuis Â, constituant une jambe de l'angle Â, qui n'est pas l'hypoténuse ;
- le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle Â, joignant l'angle droit, qui n'est pas l'hypoténuse.
- h : la longueur de l'hypoténuse ;
- a : la longueur du côté adjacent ;
- o : la longueur du côté opposé.
Les rapports des longueurs des côtés du triangle donnent son sinus, son cosinus et sa tangente.
Les différents rapports de ces trois longueurs ne dépendent pas du triangle choisi (du moment qu'il comporte l'angle  et un angle droit) puisque tous ces triangles sont semblables.
- Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse
- Le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse
- La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent
- La cosécante de Â, notée csc(Â) ou cosec(Â), est l'inverse 1/sin(Â) du sinus de Â, c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté opposé
- La sécante de Â, notée sec(Â), est l'inverse 1/cos(Â) du cosinus de Â, c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté adjacent
- La cotangente de Â, notée cot(Â), est l'inverse 1/tan(Â) de la tangente de Â, c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé
Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle unité. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique ; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre 0 et π/2." Extrait de l'article "fonctions trigonométriques" de Wikipédia l'encyclopédie en ligne.
