©2012 Cédric Christian Bernard Gagneux
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XXX) EXPRESSIONS DES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES EQUIVALENTES A LA FONCTION CARACTERISTIQUE
Dans la catégorie spéciale de la caractéristique de fonction dont la représentation séquentielle est constituée d'une quantité infinie de valeurs successives de 1, soit "la caractéristique de fonction de [n|x], A([n|x]), où A([x|n])=1 quand n/x<=1 ; et A([x|n])=0, sinon.", avec sa formule, 1-a(n)=1+((1+x/n-mod(x, n)/n)-2)/x-mod(((1+x/n-mod(x, n)/n)-2),x)/x, la formule d'équivalence trigonométrique de "la fonction caractéristique des multiples de trois" dont la séquence est de la forme, {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0.... }, et de formule que j'ai trouvée a(n) = -1*((1-cos(n*(2/3)* Pi))/(3/2) - 1), avec n >= 0, que j'avais publiée en ligne en 2015 et qui a été effacée en 2019, est limitée à une quantité de chiffres décimaux inférieure ou égale à 8 chiffres, et est limitée à caractériser des multiples de trois, tandis qu'une formule d'équivalence trigonométrique moins limitée car il s'agit d'une formule généralisée de "la fonction caractéristique des multiples de x", ou "la fonction caractéristique de [x|n], A([x|n]), où A([x|n])=1 lorsque n/x-⌊n/x⌋=0 ; et A([x|n])=0, sinon. ", c'est-à-dire a(n)=((n+x-(x/2+x*arctan(tan(Pi((n+1)/x-1/2)))/Pi+(((n+1+1)-1)/x+1/2-arctan(tan(Pi((n+1)/x-1/2)))/Pi-((n)/x+1/2-arctan(tan(Pi((n)/x-1/2)))/Pi))*(x/2-x*arctan(tan(Pi((n)/x-1/2)))/Pi)x- 1))/x)-(x+n-(x/2+x*arctan(tan(Pi(n/x-1/2)))/Pi+((n+1-1)/x+1/2-arctan(tan(Pi((n+1-1)/x-1/2)))/Pi-((n-1)/x+1/2-arctan(tan(Pi((n-1)/x-1/2)))/Pi))*(x/2-x*arctan(tan(Pi((n-1)/x-1/2)))/Pi)*x))/x ; et avec x=3, cette formule généralisée est plus précise que a(n)= -1*((1-cos(n*(2/3)* Pi))/(3/2) - 1) avec n >= 0, car elle est limitée à une quantité de chiffres décimaux inférieure ou égale à 15 chiffres. La longueur et la complexité du calcul avec l'utilisation de fonctions arc-tangente et tangente intégrées rendent cette formule généralisée moins attrayante que la formule non généralisée que j'avais publiée en pensant d'abord à sa simplicité et bien sûr au projet de construire à partir de ses termes une formule généralisée avec une seule fonction trigonométrique, et pas aussi longue que celle ci-dessus ! Néanmoins, la fonction trigonométrique équivalente ci-dessus a l'avantage d'être dérivée d'une véritable fonction trigonométrique équivalente à la fonction plancher, permettant ainsi de construire des fonctions composées trigonométriques équivalentes, la première étant la fonction plafond et la fonction modulo, plusieurs formules composées et que j'ai trouvé a(n)=floor(n/x)=(n-(x/2+x*arctan(tan(Pi*((n+1)/x-1/2)))/Pi+(((n+2)-1)/n+1/2- arctan(tan(Pi*((n+1)/x-1/2)))/Pi-((n)/x+1/2-arctan(tan(Pi*((n)/x-1/2)))/Pi))*(x/2-x*arctan(tan(Pi*((n)/x-1/2)))/Pi)*x-1))/x. Lorsqu'il est utilisé pour calculer la séquence de valeurs d'un multiple de x, il ne donne aucune partie décimale visible au-delà de 30 chiffres sur 90% des 1000 premières valeurs de la séquence correspondante, et sur le reste des valeurs au-delà de 10 et 15 chiffres, la partie décimale des nombres n'est pas un zéro ! Mais cela n'est pas parfaitement exact car il faut toujours une partie de chiffres décimaux qui n'est pas exactement 0, et ensuite parce que la formule est assez longue, ce qui rend toutes les formules trigonométriques traduites de combinaison plancher, plafond, mod assez longues ; et même après avoir fait exceptionnellement ce que je ne fais jamais, c'est-à-dire vérifier l'existence d'une formule sur le web, car j'essaie, même si je trouve ce qui a déjà été trouvé, de poursuivre mon travail personnel, J'ai trouvé sur un site de mathématiques uniquement la pseudo formule pour floor(n/x) pseudo égale à n/x-1/2+arctan(tan(Pi/2-Pi*n/x))/Pi mais qui est fausse car elle est difficile à voir à première vue mais il y a un motif mal placé de séries de nombre égal passées au 1/4 de la longueur de la séquence de 1000 valeurs ! Par exemple, en considérant cette formule d'éditeur de n/x-1/2+arctan(tan(Pi/2-Pi*n/x))/Pi avec x=32 on obtient 9 fois une valeur ajoutée supplémentaire aux 1000 premières valeurs de la séquence correspondante exactement au rang 224, puis au rang 288, puis au rang 416, puis au rang 672, puis au rang 768, puis au rang 800, puis au rang 832, puis au rang 896, puis au rang 928, ce qui donne un schéma de différence entre le rang correspondant à la séquence {-64, -256,-32,-64} ou un motif de chaque rang divisé par x=32 correspondant à la séquence {7, 9, 13, 21, 24, 25, 26, 28} à laquelle il existe une solution immédiate pour obtenir une correction de cette formule comme la rendre égale à floor(n/x), est beaucoup trop longue car la correction prend plusieurs lignes de formule répétées autant de fois qu'il y a de valeurs à corriger ; c'est-à-dire que dans le cas de x=32, 9 fois la valeur supplémentaire de 1 apparaît faussement dans la formule, ce qui entrave son utilisation pratique.
Mais il existe un mécanisme utile aux séquences qui pourrait être mieux compris en terme de Systématique, puisque "pour comprendre les notions de similitude et de différence, il faut un système ou un univers de discours avec un minimum de deux termes ou éléments. Pour comprendre le concept de parenté, il en faut trois, et ainsi de suite", c'est-à-dire que pour comprendre la notion de rang correspondant appliquée à l'univers du discours des séquences, il faut le concept de deux ensembles, l'un comme la séquence construite à partir d'une formule mathématique faite de la variable x et n, et puisque dans l'ensemble du nombre naturel, n, chaque nombre ordinal a lui-même son rang, cette formule est "la fonction caractéristique de [x|n], A([x|n]), où A([x|n])=1 quand n/x-⌊n/x⌋=0 ; et A([x|n])=0, sinon. " multiplié par n/x. Ainsi, par exemple, la "fonction Caractéristique des multiples de trois" représentée par la séquence {1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1.... } équivalente à "la fonction caractéristique de [x|n], A([x|n]), où A([x|n])=1 lorsque n/x-⌊n/x⌋=0 ; et A([x|n])=0, sinon" a une séquence de rang correspondante représentée par la séquence {1,0,0,0,2,0,0,0,3,0,0,0,4,0,0,0,0.... } et résultant de la formule de la "fonction Caractéristique des multiples de trois" multipliée par n/x avec x=3, qui est représentée par la formule, (((1-cos(n*(2/3)* Pi))/(3/2) - 1))*n/3, avec n >= 0 ; ou a(n)=((n+x-(x/2+x*arctan(tan(Pi((n+1)/x-1/2)))/Pi+(((n+1+1)-1)/x+1/2-arctan(tan(Pi((n+1)/x-1/2)))/Pi-((n)/x+1/2-arctan(tan(Pi((n)/x-1/2)))/Pi))*(x/2-x*arctan(tan(Pi((n)/x-1/2)))/Pi)x- 1))/x)-(x+n-(x/2+x*arctan(tan(Pi(n/x-1/2)))/Pi+((n+1-1)/x+1/2-arctan(tan(Pi((n+1-1)/x-1/2)))/Pi-((n-1)/x+1/2-arctan(tan(Pi((n-1)/x-1/2)))/Pi))*(x/2-x*arctan(tan(Pi((n-1)/x-1/2)))/Pi)*x))/x*n/x, avec x=3. Mais d'autres formules généralisées de la "fonction Caractéristique des multiples de x" qui ne sont pas trigonométriques sont possibles pour représenter le cas particulier de la "fonction Caractéristique des multiples de 3" que j'ai trouvé être a(n)=1-(mod(-(n+1), x+1)+mod(n+1,x+1)+(1-mod(1,n+1))/(n+1))/mod(x+1,((n+1)*(x)^2-(x)^2)) with x=3; ou a(n)=(((1+mod(n-1,x*y)-mod(n, x*y))/x+(mod(n, x*y)+mod(-n, x*y))/(x*y))-1)/2 avec y=3 x=1 ; ou
a(n)=plafond((n+1)/(x+1),1)-(n+x-1+y-mod(n-1,x+y))/(x+y) avec x=2 y=1 ; ou
a(n)=1-(mod(-(n),x)+mod(n, x)+(1-mod(1,n))/(n))/mod(x,((n+1)*(x+1)^2-(x+1)^2))+(1-mod(1,n))*1/x avec x=3.
Ainsi, dans le cadre de la Systématique appliquée aux mathématiques séquentielles, maintenant que l'on comprend la notion de rang correspondant appliquée à l'univers du discours des séquences requiert le concept de deux ensembles, l'un comme la séquence construite à partir d'une formule mathématique faite de la variable x et n, du point de vue de la formule uniquement, l'équivalence à "la fonction caractéristique de [x|n], A([x|n]), où A([x|n])=1 lorsque n/x-⌊n/x⌋=0 ; et A([x|n])=0, sinon. La valeur "A", qui correspond à l'"uniformité" maximale du rang de toute séquence, est en fait une valeur ayant soit un rang de 0, soit un rang de 1, 0 étant le rang minimum et 1 le rang maximum.
⌊⌋⌈⌉
₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ