24: 15'A VI LES OPÉRATIONS ENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES DE TERMINAISONS SEGMENTALES: Définitions algébriques numériques des opérations ensemblistes séquentielles implicites

© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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"En informatique, une file d’attente (queue) est un ensemble d’entités qui sont maintenues dans une séquence et qui peuvent être modifiées par l’ajout d’entités à une extrémité de la séquence et la suppression d’entités à l’autre extrémité de la séquence. Par convention, la fin de la séquence à laquelle les éléments sont ajoutés est appelée l’arrière, la queue ou l’arrière de la file d’attente, et la fin à laquelle les éléments sont supprimés est appelée la tête ou l’avant de la file d’attente, de manière analogue aux mots utilisés lorsque les gens font la queue pour attendre des biens ou des services. L’opération d’ajout d’un élément à l’arrière de la file d’attente est connue sous le nom d’"en-queue", et l’opération de suppression d’un élément à l’avant est connue sous le nom de retrait de la file d’attente. D’autres opérations peuvent également être autorisées, y compris souvent une opération peek ou front qui renvoie la valeur de l’élément suivant à retirer de la file d’attente sans le mettre en file d’attente. Les opérations d’une file d’attente en font une structure de données FIFO (premier entré, premier sorti). Dans une structure de données FIFO, le premier élément ajouté à la file d’attente sera le premier à être supprimé. Cela équivaut à l’exigence selon laquelle, une fois qu’un nouvel élément est ajouté, tous les éléments qui ont été ajoutés auparavant doivent être supprimés avant que le nouvel élément puisse être supprimé. Une file d’attente est un exemple de structure de données linéaire ou de manière plus abstraite, d’une collection séquentielle." Extrait de l'article intitulé "File d’attente (type de données abstraites)", publié par Wikipédia, l'encyclopédie libre et en ligne.

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"Terminaison: Ce qui termine quelque chose met fin à quelque chose. Dans l'espace Partie terminale ou extrémité. Synonyme: bout". Extrait de l'article « terminaison », dans Trésor de la langue française informatisé, 2012.

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I) LES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES ALGORITHMIQUES DE L'OPÉRATION ENSEMBLISTE SÉQUENTIELLE DE TERMINAISONS SEGMENTALES PREMIÈRES ET DERNIÈRES 

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Tout d'abord et généralement, nous remarquons dans ce nouveau chapitre, ou nous continuons notre catégorisation quadripartite des fonctions indicatrices, que nous plaçons les fonctions caractéristiques de terminaisons segmentales premières ou de débuts, nuls et non nuls, et de terminaisons segmentales dernières ou de fin nulles et non nulles dans la troisième catégorie fondamentale des fonctions indicatrices juste après celle des fonctions caractéristiques de segmentations et non pas dans une quatrième catégorie qui viendrait après celle où nous aurions catégorisé les fonctions d'indexation, puisque la terminaison segmentale en général est principalement définie par une valeur d'indexe de position unique, donc particulièrement remarquable par rapport à toutes les autres valeurs d'indexe de position des éléments d'une suite de séquence de nombres quelconques, et constitutifs dans leur ensemble d'un moins grand nombre de valeurs d'indexe par rapport à la fonction caractéristique d'indexations. Et donc plutôt qu'être des fonctions d'indexations caractéristiques restreintes par rapport à toutes autres fonctions caractéristiques d'indexations, et d'être ainsi catégorisées en dernier, la raison de cette catégorisation juste après la catégorie des fonctions caractéristiques de segmentations, est que les fonctions caractéristiques de terminaisons sont avant tout des fonctions caractéristiques de segmentations spéciales, celles en un seul point et elles sont donc un cas particulier de la fonction caractéristique de segmentations, c'est à dire et intuitivement un segment dont seule l'une des deux extrémités est préservée, tandis que les valeurs des éléments dans le segment sont annulées et que nous montrerons plus précisément dans le deuxième chapitre et les deux sous-titres suivants.

Ensuite, nous remarquons encore en général, que si notre premier titre est précédé de l'illustration et de la définition du type de données abstraites en informatique de file d'attente, c'est que le concept de fonction de terminaison segmentale (la terminaison est définie comme ce qui termine quelque chose en se situant  dans l'espace partie terminale ou extrémité), est la structure même d'autres fonctions mathématiques et pas seulement les fonctions caractéristiques, mais aussi les fonctions simples d'opérations ensemblistes ou bien la fonction simple du PGCD parmi tant d'autres comme nous l'écriront tout au long de ces pages. Et plus précisément, nous définissons la terminaison d'une suite de nombres quelconques comme le dernier élément de toutes suites de nombres ou le dernier élément de toutes sous suites de nombres de cette suite de nombres, sachant qu'une sous suite de nombres étant elle-même définie comme des éléments successifs d'une suite de nombres qui se répètent structurellement, c'est à dire soit des éléments dont la valeur se répète au moins une fois, dans cette suite de nombres à laquelle ils appartiennent; ou des éléments partageant la même propriété les définissant fondamentalement comme appartenant à la même sous-classe. La fonction caractéristique de terminaisons est limitée à une seule valeur caractéristique possible de 1 correspondant à la caractérisation de l'élément de la suite et sous suite de nombres comme étant une terminaison segmentale de début ou de fin, nulle ou non nulle d'après notre définition d'une fonction caractéristique de terminaisons.

Nous remarquons enfin, mais cette fois-ci plus particulièrement que dans les sous-titres de notre titre premier nous n'utilisons que des exemples correspondant à des expressions algébriques algorithmiques (la description d'étapes permettant d'obtenir un résultat algébrique à partir d'éléments algébriques fournis en entrée) des opérations ensemblistes séquentielles sans généraliser par des expressions algébriques numériques (la description d'étapes calculatoires permettant d'obtenir un résultat numérique à partir d'éléments numériques fournis en entrée) systématiques, puisque cette généralisation sera traitée dans un chapitre dédié spécialement aux opérations ensemblistes séquentielles comprenant l'appartenance, l'inclusion, l'union, l'intersection, la différence et enfin l'addition la multiplication, ainsi que la division ensembliste séquentielle, etc. Ici, il s'agit de se restreindre à montrer la validité de notre extension des opérations ensemblistes aux opérations ensemblistes séquentielles par l'expression algébrique algorithmique illustrée par quelques exemples d'opérations ensemblistes séquentielles utilisées pour l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons, à partir de laquelle nous déduirons l'expression de la fonction de terminaison segmentale première ou dernière dans le deuxième titre.

Enfin et principalement, nous remarquons surtout dans ce nouveau chapitre, ou nous continuons notre catégorisation quadripartite des fonctions indicatrices, que nous introduisons les fonctions caractéristiques de terminaisons segmentales premières ou de débuts, nuls et non nuls, et de terminaisons segmentales dernières ou de fins nulles et non nulles seulement par les opérations séquentielles ensemblistes correspondantes parce qu'elles sont une première solution intuitive à la question de quelle est l'expression de la fonction caractéristique de terminaisons, mais une solution partielle seulement que seule la combinaison d'autres fonctions caractéristiques peut résoudre ce que nous montrerons dans le chapitre 25 suivant dédié uniquement aux fonctions caractéristiques de terminaisons. En effet elles permettent de décrire la méthode triviale pour l'obtention des terminaisons séquentielles qui consiste à décaler les éléments des ensembles séquentiels vers la droite ou vers la gauche puis à soustraire les éléments dans leur nouvelle position ainsi obtenue avec les éléments dans leurs anciennes positions. 

Mais lorsque nous observons ci-dessous la représentation visuelle de l'expression algébrique algorithmique décrite ci-dessus et permettant de déterminer les terminaisons caractérisées d'une séquence à l'origine et le déplacement de ces éléments vers la droite et représentés à la deuxième ligne, et le déplacement de ces éléments vers la gauche, et représentés à la quatrième ligne et notés respectivement Seq1, puis Seq1', et Seq1'', alors nous constatons que nous avons écrit l'élément l'ensemble vide pour signifier le remplissage de l'espace vide laissé par ce décalage et aux deux extrémités du segment des éléments déplacés dont il nous faut écrire à qu'elle opération ensembliste leur inscription représentant l'espace vide correspond, c'est-à-dire quelle est l'expression algébrique algorithmique plus précisément que celle représentée rudimentairement ci-dessous et surtout quelle est l'expression algébrique numérique de cette opération.

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La représentation visuelle de l'expression algébrique algorithmique de deux opérations ensemblistes séquentielles de terminaisons de début nulles et non nulles (en vert), et de terminaisons de fins nulles et non nulles (en bleu) sur les éléments de la séquence notée Seq1 qui est aussi la représentation d'une opération ensembliste séquentielle caractéristique.

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Ensuite, cette représentation visuelle de la solution algébrique algorithmique c'est-à-dire qui énonce visuellement la solution au problème de répondre à la question de quelles sont les expressions algébriques des opérations ensemblistes séquentielles de terminaisons, est visualisée sous la forme d’un enchaînement d’opérations à effectuer, mais sans écrire l'expression algébrique numérique de ces opérations, que nous devrons donc écrire d'abord sous la forme d'expressions algébriques algorithmiques et surtout ensuite sous la forme d'expressions algébriques numériques et les deux formes correspondantes donc aux opérations ensemblistes séquentielles de terminaisons en général, mais en particulier nous devrons écrire algébriquement algorithmiquement et numériquement comment nous éliminons ces éléments ensemblistes que sont l'ensemble vide dans cette représentation visuelle et comment nous déplaçons nos éléments de la gauche vers la droite ou inversement de la droite vers la gauche, mais aussi comment nous insérons et nous concaténons qui sont deux opérations liées aux précédentes de déplacement des éléments d'un ensemble séquentiel. Or nous n'obtenons ici dans ce chapitre qu'un nombre limité d'expressions systématiques nous permettant d'uniformiser notre écriture de ces expressions en les automatisant en quelque sorte, alors qu'ici en général il nous faudra écrire au cas par cas des expressions non uniformes et donc non systématisées, ce qui démontre la supériorité des expressions des fonctions simples combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques, sur les expressions des opérations ensemblistes séquentielles, car nous obtenons une systématisation par la fonction caractéristique composante des fonctions simples et en particulier de la fonction simple de terminaison segmentale que nous n'obtenons pas par l'opération ensembliste séquentielle de terminaison et pourtant toutes les deux produisant le même objet mathématique qu'est la terminaison segmentale.

Afin d'accomplir ce travail, nous avons besoin de deux propriétés fondamentales que sont l'ordre des éléments et la distributivité des opérations justifiant ainsi notre extension du domaine de définition ensembliste à séquentiel. Mais aussi afin de pouvoir expliciter les expressions des opérations ensemblistes séquentielles qui sont les composantes des opérations ensemblistes séquentielles de terminaisons nous définissons le domaine de définition étendu des ensembles aux ensembles séquences sachant qu'une séquence est définie d'après Wikipédia l'encyclopédie libre et en ligne comme "Une séquence peut être considérée comme une liste d’éléments avec un ordre particulier, une collection énumérée d'objets dans lesquels les répétitions sont autorisées et l'ordre compte qui comme un ensemble contient des membres (également appelés éléments ou termes). Le nombre d'éléments (éventuellement infini ) est appelé la longueur de la séquence. Contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l'ordre compte. Formellement, une séquence peut être définie comme une fonction des nombres naturels (les positions des éléments dans la séquence) aux éléments à chaque position. La notion de séquence peut être généralisée à une famille indexée , définie comme une fonction d'un ensemble d'index arbitraire ."

L'extension de ce domaine de définition d'ensembliste à ensembliste séquentielle est donc utile pour obtenir les trois propriétés d'ordre, de multiplicité et de distributivité nécessaire à nos calculs (rappelons qu'en théorie naïve des ensembles l’ordre des éléments est sans importance avec par exemple {3; 8; 1; 2}={8; 3; 2; 1}. La répétition appelée aussi multiplicité des éléments n'a pas d'importance, avec par exemple {3; 8; 1; 1; 2; 2}={3; 8; 1; 1; 1; 2; 8; 8; 3; 1, 2}={8; 3; 3; 1; 2; 1}), mais aussi pour nous contraindre à la plus grande précision quant aux opérations que nous effectuons comme écrire un déplacement des éléments d'un ensemble séquence vers la droite ou vers la gauche ne revient pas simplement à écrire le deuxième à la place du premier ou inversement et cette extension du domaine de définition rend cette précision possible si nécessaire pour que nous introduisions notre conception dualiste des séquences et des ensembles dans le sous-titre suivant.

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1) La définition générale de l'extension du domaine de définition des opérations ensemblistes aux opérations ensemblistes séquentielles :

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 "Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s'occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles. En théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble, muni des opérations d'intersection, de réunion, et de passage au complémentaire, possède une structure d'algèbre de Boole. D'autres opérations s'en déduisent, comme la différence ensembliste et la différence symétrique. L'algèbre des parties d'un ensemble étudie l'arithmétique de ces opérations."

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Si le terme de général est intuitivement immédiatement compréhensible comme ce qui concerne le tout, qui a rapport à l'ensemble, donc ici l'ensemble des propriétés générales de cette fonction caractéristique de terminaisons, c'est encore ce même terme d'ensemble et celui associé dans le nom de la propriété d'un objet mathématique d'être "ensembliste séquentiel", que nous devons maintenant expliciter non pas seulement parce qu'il sera immédiatement visible sous cette appellation dans toutes ces pages et les pages suivantes, mais aussi parce qu'il le sera aussi sous la forme d'une notation double, entre parenthèses et entre crochets ({}), dans les expressions qui vont suivre, en précisant que la notation des séparateurs d'éléments dans les ensembles et donc séquences que sont usuellement les virgules sont remplacées par des points-virgules afin de pouvoir écrire sans confusion des éléments ayant des valeurs décimales. Or, nous remarquons que si la notation entre crochets {...} est la notation universellement adoptée par les mathématiciens pour désigner des ensembles et que lorsqu’on énumère les éléments d’un ensemble leur ordre ne joue aucun rôle (par exemple, soit N₅ = {1,2,3,4,5}={5,3,1,4,2} et soit l’ensemble qui ne possède aucun élément est appelé ensemble vide et se note ∅), or en arithmétique séquentielle, définie en en général comme la Science qui a pour objet l'étude de la formation des suites de nombres, de leurs propriétés et des rapports qui existent entre elles, et définie en particulier comme l'algèbre (la résolution généralisant au moyen de formules de symboles et de variables des problèmes où les grandeurs sont représentées par des symboles avec des règles de manipulation de ces symboles et variables) sur les suites ordonnées d'éléments de séquences, qui sont soit des nombres entiers naturels, soit des nombres rationnels soit des nombres complexes, l'ordre des éléments joue un rôle essentiel, ce qui nous conduit à définir la notation entre parenthèses pour désigner les éléments ordonnés appartenant à une séquence qui n'est pas exactement un ensemble, mais peut être considéré comme un type d'ensemble particulier dont les éléments sont toujours ordonnés et répétés ou non (d'après Wikipédia, "Une séquence est une collection énumérée d’objets dans laquelle les répétitions sont autorisées et l’ordre compte. Comme un ensemble, il contient des membres (également appelés éléments ou termes). Le nombre d’éléments (éventuellement infini) est appelé la longueur de la séquence. Contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l’ordre est important. Formellement, une suite peut être définie comme une fonction des entiers naturels (les positions des éléments dans la séquence") aux éléments à chaque position. La notion de séquence peut être généralisée à une famille indexée, définie comme une fonction d’un jeu d’index arbitraire.). Nous adoptons donc la notation entre parenthèses (...) comme la notation d'une séquence et la notation entre crochets {...} de ces éléments pour indiquer une opération sur les ensembles, c'est-à-dire une opération sur les ensembles particuliers que sont les singletons {...} dont le seul élément est celui d'un seul élément d'une séquence de nombres, ce qui nous permet de définir à la fois des opérations sur les séquences sui generis aux objets mathématiques que sont les séquences de nombres, et des opérations sur les ensembles d'éléments toujours ordonnés que sont les suites de nombres, en rappelant d'abord qu'une séquence qui est une collection énumérée d’objets dans laquelle les répétitions sont autorisées et l’ordre est important. Comme un ensemble, il contient des membres (également appelés éléments ou termes). Le nombre d’éléments (éventuellement infini) est appelé la longueur de la séquence. Contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l’ordre est important. Formellement, une séquence peut être définie comme signifiant en fait une suite définie comme "une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de {N} dans E.". Donc des opérations définies sur les suites de nombres comme la somme et le produit direct de deux suites définies comme suit:

Soit SeqR l'ensemble des séquences de nombres réels, Seq(a,b) ⊆ SeqR, Seq(c,d) ⊆ SeqR, alors:

• Seq(a;b) ⊗ Seq(c;d) à toujours {(Seq(a;b); Seq(c;d) ): (a; b; c; d) ∈ R} comme ensemble sous-jacent; 

• Seq(a;b) ⊕ Seq(c;d) à toujours {(Seq(a;b); Seq(c;d)): (a; b; c; d) ∈ R} comme ensemble sous-jacent;

• Seq(a;b) ⊝ Seq(c;d) à toujours {(Seq(a;b); Seq(c;d)): (a; b; c; d) ∈ R} comme ensemble sous-jacent;

• Seq(a;b) ⊘ Seq(c;d) à toujours {(Seq(a;b), Seq(c;d)): (a; b; c; d) ∈ R} comme ensemble sous-jacent.

Et pour que le produit cartésien SeqR × SeqR soit une structure mathématique avec une opération dotée des propriétés d'associativité, de possession d'un élément identité et que chaque élément de l’ensemble possède un élément inverse, c'est à dire soit un groupe pour l'addition, la multiplication, la soustraction et la division, nous devons donc aussi dire définir les opérations d'addition ,de multiplication, de soustraction et de division, de ces éléments, soit:

• Seq(a;b)+Seq(c;d)=Seq(a+c; b+d);

• Seq(a;b)*Seq(c;d)=Seq(a*c; b*d);

• Seq(a;b)-Seq(c;d)=Seq(a-c; b-d);

• Seq(a;b)/Seq(c;d)=Seq(a/c; b/d).

Rappelons que par définition, soit SeqR un ensemble non vide munit de deux lois de composition interne notée "*", "+","-" et "/", alors ( SeqR,* +*,+,-/) est un groupe si:

•  La loi "*", "+", "-" et "/" sont associatives.

•  La loi "*", "+", "-" et "/", admettent respectivement un élément neutre.

•  Tout élément x * SeqR, x+SeqR, x-SeqR, x/SeqR, admettent respectivement un élément symétrique.

•  Si de plus les lois, "*", "+", "-" et "/" sont commutatifs, on dit que ( SeqR,*,+,-/) est un groupe abélien.

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Notre conception dualiste des séquences et des ensembles n'est pas seulement intuitive ou arbitrairement établie pour son utilité calculatoire, car les fonctions indicatrices elles-mêmes caractéristiques de séquences de nombres, sont souvent utiles en théorie des ensembles puisqu'en général les opérations sur les ensembles correspondent aux opérations sur les fonctions indicatrices notées 1A(xₙ) que nous développerons ultérieurement dans nos chapitres consacrés aux nouvelles fonctions simples d'opération ensemblistes séquentielles booléennes, ainsi qu'aux nouvelles fonctions simples d'opérations ensemblistes séquentielles, mais que nous illustrons ici synthétiquement comme suit:

• Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} alors {E}⊆{F} ⇔ 1A({E}) ≤ 1A({F})

• Si le sous-ensemble {E^c} constitué de tous les éléments de {E} n'appartenant pas à {G}, est le complémentaire d'une partie {E} d'un ensemble {G}, alors 1A({E^c}) ⇔1−1A({E}),

• Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} avec {E}∩{F}=∅, alors: 

• 1A({E}∩{F})=min{1A({E});1A({F})}=1A({E})*1A({F})

• 1A({E}∪{F})=max{A({E}); 1A({F})}=1A({E})+1A({F})−1A({E})*1A({F}),

• 1A({E}-{F})=1A({E})-1A({F})

• 1A({E}△{F})=1A({E})+1A({F})−2*1A({E})*1A({F})

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Enfin notre conception dualiste des séquences et des ensembles n'est pas seulement ensembliste séquentielle, en considérant qu'un intervalle peut être défini dans n'importe quel ensemble de nombres pourvu qu'il soit indiqué comme ici l'intervalle des nombres entiers donc un intervalle dans l'ensemble des nombres entiers. Wikipédia confirme d'ailleurs cette notation d'intervalle défini dans n'importe quel ensemble possible comme suit: 

"Dans tout ensemble totalement ordonné ( S, ≤ ), on peut définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls). Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l'intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3, mais il serait dangereux de le noter [–5, 3] sans avertissements préalables à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ⟦–5, 3⟧ et parfois la notation avec des crochets doubles. Un intervalle dégénéré est tout ensemble constitué d'un seul nombre réel c'est-à-dire un intervalle de la forme [a, a]. Certains auteurs incluent l'ensemble vide dans cette définition."

Donc j'écris tout d'abord ma définition par extension d'un intervalle dans l'ensemble des nombres à valeur dans {0;1} comprend les intervalles des types suivants ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌∞=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇..xᵢ₌∞.) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ₌∞=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ i=a ∈ N* et deux intervalles de deux types en général, un intervalle dégénéré ou non dégénéré dit propre et qui sont définis ici à valeur dans {0;1}, en ne considérant qu'un seul cas d'intervalle, soit un intervalle dégénéré, fermé et non ouvert:

• [xᵢ₌ₓ]={xᵢ ∈ {0;1}∣  xᵢ₌ₐ<= xᵢ₌ₓ <= xᵢ₌ₐ₊₂ ∨ xᵢ₌ₐ >= xᵢ₌ₓ <= xᵢ₌ₐ₊₂ ∨ xᵢ₌ₐ >= xᵢ₌ₓ <= xᵢ₌ₐ₊₂  ∨ xᵢ₌ₐ <= xᵢ₌ₓ >= xᵢ₌ₐ₊₂  ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊₂)}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 ;  que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ =1 ∨ xᵢ₌ₓ=0, est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a de l'élément xᵢ₌ₐ=0 ∨ xᵢ₌ₐ=1; et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+2 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₂=0 ∨ xᵢ₌ₐ₊₂=1. (a)

• [xᵢ₌ₓ=1]={ xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ<=xᵢ₌ₓ=1>= xᵢ₌ₐ₊₂ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊₂)}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a de l'élément xᵢ₌ₐ=0 ∨ xᵢ₌ₐ=1; et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ=1 est inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+2 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₂=0 ∨ xᵢ₌ₐ₊₂=1..   (a')

• [xᵢ₌ₓ=0]={ xᵢ ∈{0;1}∣ xᵢ₌ₐ<= xᵢ₌ₓ=0<= xᵢ₌ₐ₊₂ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊₂)}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert; et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a de l'élément xᵢ₌ₐ=0 ∨ xᵢ₌ₐ=1; et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ=0 est inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+2 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₂=0 ∨ xᵢ₌ₐ₊₂=1.   (a')'

Ensuite j'écris ma définition par extension d'un intervalle dans l'ensemble des nombres à valeur dans {0;1}, ∀ xᵢ ∈ {0;1}, comprend les intervalles cette fois-ci non plus dégénérés et donc d'une seule valeur 0 ou 1 dans un ensemble de valeurs égales à 0, mais des intervalles propres sachant qu'un intervalle est dit propre s'il n'est pas un intervalle dégénéré, et s'il comporte une infinité d’éléments, et donc les types d'intervalles propres suivants:

• xᵢ₌ₓ ∈ ]xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ[={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁< xᵢ₌ₓ< xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 ; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle ouvert et non fermé et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁ et inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ.

• xᵢ₌ₓ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) <= INDEX(xᵢ₌ₓ) <= INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est supérieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=1 ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= 0 et inférieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= 0.

• xᵢ₌ₓ ∈ ]xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁ < xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < INDEX(xᵢ₌ₓ) <= INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 appartient à un intervalle semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est strictement supérieure à la valeur de l'indexe i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊₁=0 et inférieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ=0 .

• xᵢ₌ₓ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ[={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ < xᵢ₌ₐ₊ₐ  ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < =INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 appartient à un intervalle semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est supérieure ou égale à la valeur de l'index de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊₁=0  et strictement inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ=0.

Ensuite ma définition par extension d'un intervalle dans l'ensemble des nombres de valeurs dans N ⊆ R, ∀ xᵢ ∈ N ⊆ R, comprend les intervalles cette fois-ci non plus dégénérés et donc d'une seule valeur n ∈ N ou r ∈ R dans un ensemble de valeurs dans N ⊆ R, mais des intervalles propres sachant qu'un intervalle est dit propre s'il n'est pas un intervalle dégénéré, et s'il comporte une infinité d’éléments, et donc les types d'intervalles propres suivants ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌∞=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇..xᵢ₌∞.) ⊆ N ⊆ R ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=nᵢ ∨ xᵢ=rᵢ}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇..nᵢ₌∞.) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ i=a ∈ N*:

• xᵢ₌ₓ ∈ ]xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ[={xᵢ ∈ N ⊆ R ∣ xᵢ₌ₐ₊₁< xᵢ₌ₓ< xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ appartient à un intervalle ouvert et non fermé et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=nᵢ₌ₐ₊₁ ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= rᵢ₌ₐ₊₁ et inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=nᵢ₌ₐ₊ₐ ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= rᵢ₌ₐ₊ₐ.

• xᵢ₌ₓ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]={xᵢ ∈ N ⊆ R ∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) <= INDEX(xᵢ₌ₓ) <= INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ est supérieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=nᵢ₌ₐ₊₁ ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= rᵢ₌ₐ₊₁ et inférieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=nᵢ₌ₐ₊ₐ ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= rᵢ₌ₐ₊ₐ.

• xᵢ₌ₓ ∈ ]xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]={xᵢ ∈ N ⊆ R ∣ xᵢ₌ₐ₊₁ < xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < INDEX(xᵢ₌ₓ) <= INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ appartient à un intervalle semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ est strictement supérieure à la valeur de l'indexe i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=nᵢ₌ₐ₊₁ ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= rᵢ₌ₐ₊₁ et inférieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=nᵢ₌ₐ₊ₐ ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= rᵢ₌ₐ₊ₐ.

• xᵢ₌ₓ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ[={xᵢ ∈ N ⊆ R ∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ < xᵢ₌ₐ₊ₐ  ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < =INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ appartient à un intervalle semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ  est supérieure ou égale à la valeur de l'index de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=nᵢ₌ₐ₊₁ ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= rᵢ₌ₐ₊₁  et strictement inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=nᵢ₌ₐ₊ₐ ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= rᵢ₌ₐ₊ₐ.

⁂

Prenons un exemple numérique, avec soit SeqAᵢ₌∞=(x₌₁; xₙ₊₁; xₙ₊₂; xₙ₊₃; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇...xₙ₌∞) ↔ SeqAᵢ₌∞=([xₙ₌₁; xₙ₌∞]), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R; et soit la notation de SeqAᵢ₌∞, l'indice i correspondant à la quantité d'éléments de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces éléments dans la séquence de nombres de R), soit la sous suite de nombres appartenant à l'ensemble des entiers naturels N*, que nous appelons indifféremment suite ou séquence et représentée comme suit:

SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}} ↔ SeqAᵢ₌₂₃([xₙ₌₁; xₙ₌₂₃])=({511};{177};{174};{571};{152};{1228},{959};{60};{555}

;{199};{1244};{1244};{1244};{1244};{1244};{1244};{1244};{1244};{57};{138},{250};{12171};{499}) Pour simplifier nos notations en une seule notation hybride ensembliste séquentielle, nous reprenons la notation précédente qui devient la dernière et troisième notation en remplaçant les crochets par des parenthèses soit, SeqAᵢ₌₂₃=(511; 177; 174; 571; 152; 1228; 959; 60; 555; 199; 1244; 1244; 1244; 1244; 1244; 1244; 1244; 1244; 57; 138; 250;12171;499). 

Nous retiendrons donc dans notre écriture algébrique cette dernière forme symbolique comportant un plus petit nombre de symboles par rapport aux deux premières qui sont néanmoins toutes trois équivalents et en ayant la propriété d'être ordonnée sur l'ensemble des entiers naturels N par leur valeur d'indexe de position, et surtout nous devons en général représenter celles-ci sous leurs formes séquentielles développées et non plus sous leurs formes ensemblistes de singletons, pour effectuer les opérations arithmétiques correspondantes à effectuer les opérations considérées entre éléments de même ordre dans chaque séquence. Ensuite, nous expliciterons donc l'extension des opérations arithmétiques aux opérations ensemblistes séquentielles, car nous pouvons maintenant aussi effectuer des opérations sur les ensembles que sont aussi les séquences et inversement, en tenant compte de l'ordre des éléments, et nous considérerons cette extension des opérations ensemblistes vers les opérations ensemblistes séquentielles vers les opérations arithmétiques.

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1.1) Les définitions particulières des opérations ensemblistes séquentielles d'addition et de concaténation insertion par les expressions algébriques algorithmiques:

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Cette extension du domaine de définition ensembliste au domaine de définition ensembliste séquentiel est néanmoins insuffisant, car nous devons aussi écrire les expressions algébriques numériques équivalentes aux expressions algébriques essentiellement algorithmiques des opérations ensemblistes qui sont les composantes des opérations dont nous voulons essentiellement écrire l'expression dans ce chapitre, soit celles des opérations ensemblistes séquentielles de terminaisons en général. Nous commençons donc par écrire cette première expression équivalente d'addition ensembliste séquentielle.

Pour définir une opération ensembliste séquentielle d'addition nous considérons la représentation ensembliste hypothétique de l'opération arithmétique d'addition distribuée des éléments de A et de B, que l'on écrirait tout aussi hypothétiquement A+B={1;2}+{1; 2; 4; 5}={1+1; 1+2; 1+4; 1+5; 2+1; 2+2: 2+4; 2+5}= {2; 3; 5; 6; 3; 4; 6;7}. En effet, notre hypothétique opération ensembliste ainsi créée est due au fait que la seule opération ensembliste d'addition existante est une représentation de la somme des cardinaux qui est appelée la somme du principe d'inclusion exclusion notée, |A|+|B|, (|A| désignant la valeur du cardinal de A, c'est-à-dire son nombre d'éléments) qui est une technique permettant de compter les éléments d'une union de deux ensembles finis en matière de tailles des deux ensembles et de leur intersection qui peut être exprimée symboliquement comme |𝐴∪𝐵| =|A|+|B|- |𝐴∩𝐵| où |A| et |B|, représentent les cardinaux respectifs de A et de B. 

Alors, hypothétiquement nous pourrions considérer que cette somme peut être aussi représentée par la somme de l’ensemble 𝐴 et 𝐵, toujours exprimée hypothétiquement en algèbre ensembliste par extension de l'expression des cardinaux du principe d'inclusion-exclusion, symboliquement comme A+B=(A ∪ B) ∘ (A ∩ B) signifiant l’union avec les éléments communs rajoutés. Par exemple si  A={1; 2} et B={1; 4; 5}, alors {1; 2} ∪ {1; 4; 5}={1; 2; 4; 5} et {1; 2} ∩ {1; 4, 5}={1}, et donc l'hypothétique opération ensembliste correspondante à  A ∘ B={1; 2} ∘ {1; 4; 5}={1; 1; 2; 4; 5}={1; 2; 1; 4; 5}={1; 2; 1; 4; 5}, mais vérifiant seulement que | A | + | B |=| A ∪ B | + | A ∩ B | = 4+1=5, le cardinal de l'ensemble représenté par extension ensembliste de la somme des cardinaux des deux ensembles A et B, correspondant au cardinal de l'ensemble résultant de l'hypothétique opération ensembliste A∘ B. Mais cette hypothétique opération ensembliste d'addition ne correspond en aucun cas à effectuer une addition des éléments, mais à effectuer une opération de concaténation ensembliste notée ∘ dans l'expression A∘ B, et qui opère une juxtaposition des éléments d'un ensemble en les insérant suivant un certain ordre ou non. 

Remarquons aussi que si nous n'obtenons pas le résultat de l'hypothétique opération ensembliste d'addition, c'est parce que la représentation de l'opération ensembliste d'union correspond à une opération sur les éléments d'un ensemble que l'on pourrait décrire en des termes généraux d'opération d'élimination d'éléments communs puis d'opération soit d'insertion, soit de concaténation avant ou après les éléments de représentation ensembliste de {1;2} ∪ {1; 4; 5}, soit {1; 2; 4; 5} de l'élément {1}, dans cette dernière représentation ensembliste, et qu'il ne s’agit en aucun cas de la représentation ensembliste hypothétique de l'opération arithmétique d'addition distribuée des éléments de A et de B, que l'on écrirait hypothétiquement A+B={1; 2}+{1; 2; 4; 5}={1+1; 1+2; 1+4; 1+5; 2+1; 2+2: 2+4; 2+5}= {2; 3; 5; 6; 3; 4; 6; 7}. Nous devons donc écrire l'expression de cette hypothétique opération ensembliste d'addition distribuée (que nous appellerions l'addition cartésienne si le produit cartésien tel qui l'est définie comme opération ensembliste ne préservait pas la valeur des éléments associée par cette opération ensembliste), en utilisant une combinaison des opérations définies en général, d'élimination, de concaténation et d'insertion des éléments des ensembles sous-jacente aux opérations ensemblistes existantes. Mais une autre hypothétique opération ensembliste d'addition serait alors possible pour tenir compte de cette opération en général manquante qui est celle du réordonnancement sans répétition, il s'agit d'un autre type d'addition tout aussi hypothétique et que nous appellerons l'opération ensembliste concaténant réordonnant que l'on notée A+· B={1; 2} +·{1; 2; 4; 5}={2; 3; 4; 5; 6; 7}, qui si elle est donc différente de l'hypothétique opération ensembliste d'addition distribuée, est aussi en fait le résultat de cette même hypothétique opération ensembliste d'addition distribuée. 

Remarquons ensuite et surtout que l'hypothétique opération ensembliste précédente A∘ B={1; 2}∘{1; 2; 4; 5}={1; 1; 2; 2; 4; 5}={1; 2; 1; 2; 4; 5}={1; 2; 4; 5; 1; 2}, ne serait donc pas qu'une simple extension de l'opération ensembliste de la somme des cardinaux appelée la somme du principe d'inclusion-exclusion notée, |A+|B|, mais serait en fait l'extension de l'opération ensembliste de l'union carrée des ensembles qui est notée A ⊔ B et qui est définie comme "L'opération ensembliste qui se rapproche le plus de la concaténation de deux ensembles est celle résultante de l'opérateur dont le symbole ⊔ , appelé « coupe carrée » ou « union carrée », est une notation mathématique souvent utilisée en théorie des ensembles et en algèbre booléenne. Il représente l’opération d’union pour deux ensembles, en particulier lorsqu’il s’agit d’ensembles non disjoints. Traditionnellement, l’opération d’union simple, représentée par le symbole « U », combine des éléments de deux ensembles sans duplication. Cependant, dans les contextes où les répétitions sont autorisées ou où des multiensembles sont pris en compte, l’union carrée ⊔  peut être utilisée pour souligner que les éléments peuvent apparaître plusieurs fois dans l’ensemble résultant. Le symbole ⊔ offre une approche nuancée du fonctionnement syndical dans des contextes où les répétitions sont prises en compte. Par exemple, étant donné deux multiensembles A = {1; 1; 2} et B = {1; 2; 2}, l’union carrée serait A ⊔ B = {1; 1; 1; 2; 2; 2}." Extrait de l'article "The Mathematical Symbol Square Cup ⊔ " sur le site "Mathematics Monster". Donc soit l'opération ensembliste séquentielle en général de la concaténation sur deux ensembles correspondant à une séquence d'éléments ordonnés et que je distingue comme étant de deux types que j'appelle tout d'abord la concaténation insertion qui est toujours implicitement non juxtaposée et réordonnée, et ensuite la concaténation insertion juxtaposée de début (gauche) ou de fin (droite), et que je définis en général comme si A={a₁; a₂; b₁; b₂ }, et B={a₃; b₃; c₁; c₂; c₃}, avec a < b < c ∨ a > b > c, alors l'opération ensembliste de la concaténation réordonnée non juxtaposée de A et B, c'est-à-dire la concaténation d'insertion est notée A ⊔ B={a₁; a₂; a₃; b₁; b₂; b₃; c₁; c₂; c₃}; et la concaténation insertion de juxtaposition non réordonnée de début ou gauche, de A et B est notée A ⋆⊔ B={a₁; a₂; b₁; b₂; a₃; b₃; c₁; c₂; c₃}; et la concaténation insertion de juxtaposition non réordonnée de fin ou droite,  de A et B, est notée A ⊔⋆ B={a₃; b₃; c₁; c₂; c₃; a₁; a₂; b₁; b₂}. 

Maintenant que nous avons écrit plus précisément à quelle opération ensembliste existante correspondrait réellement notre hypothétique opération ensembliste notée A ∘ B et son exemple précédent de  A ∘ B  ={1; 2} ∘ {1; 4; 5}={1; 1; 2; 4; 5}={1; 2; 1; 4; 5}={1; 4; 5; 1; 2}, qui devient donc renotée A ⋆⊔⋆ B={1; 2} ⋆⊔ ⋆{1; 4; 5}={1; 1; 2; 4; 5}, ou A ⋆⊔ B={1; 2} ⋆⊔ {1; 4; 5}={1; 2; 1; 4; 5}, ou A ⊔⋆ B={1; 2} ⊔⋆ {1; 4; 5}={1; 4; 5; 1; 2} et correspondant à la représentation de l'opération ensembliste de concaténation insertion, alors pour obtenir éventuellement l'expression correspondante à cette autre hypothétique opération ensembliste de l'opération arithmétique de l'addition distribuée des éléments de A ={1;2} et de B={1; 4; 5}, soit en reprenant la notation précédente, A+B={1+1; 1+4; 1+5; 2+1; 2+4; 2+5}= {2; 5; 6; 3; 6; 7}≠{2; 3; 5; 6; 7}, nous pourrions prendre l'exemple complétant celui de A={1; 2} et B={1; 4; 5}, soit, O={+; +; +; +; +; +) et nous pourrions considérer l'opération de la concaténation ensembliste des éléments des ensembles A et B, qui est notée, A·B = {xy : x ∈ A ∧ y ∈ B } et définie avec A={1; 2} et B={1; 4; 5} alors A·B={AB: A ⊆ AB ∧ B ⊆ AB }={1·1; 1·4; 1·5; 2·1; 2·4; 2·5}≠{2; 3; 5; 6; 7}. Pour cela il nous faudrait encore définir une opération ensembliste par extension de l'opération ensembliste sur les éléments de deux ensembles soit sur les trois éléments de trois ensembles, A={x: x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ O }, O={+: + ∈ O  ∧ + ∉A  ∧ + ∉ B) et B = {y: y ∈ B ∧ y ∉A  ∧ y ∉ O }, dont l'opération ensembliste par extension de la concaténation de trois éléments serait notée notée,  A·O·B= {x+y : x ∈ A ∧ + ∈ O ∧ y ∈ B } et définie comme si A, O et B sont des ensembles, on définit A·O·B ={AOB: A ⊆ 𝐴OB ∧ O ⊆ AOB ∧ B ⊆ AOB }, donc soit AOB={1+1; 1+4; 1+5; 2+1; 2+4; 2+5}={2; 5; 6; 3; 6; 7}≠{2; 3; 5; 6; 7}.

Ne laissant pas les éléments précédents comme figés par la concaténation ne s'additionnant donc pas, il ne reste donc plus qu'à utiliser la Somme de Minkowski définie par A+B ={a+b ∣a ∈ A ∧ b ∈ B}. En géométrie, la somme Minkowski de deux ensembles de vecteurs de position A et B dans l'espace euclidien est formée en ajoutant chaque vecteur de A par exemple de coordonnées  (0, -1) (0, 1) et (1, 0), à chaque vecteur de B, par exemple de coordonnées (0, 0) (1, -1) et (1, 1), et donc tous les deux de représentation ensembliste, A={(0, -1); (0, 1) ; (1, 0)} et B={(0, 0); (1, -1); (1, 1)} donc A+B = {(1, 0); (2, 1); (2, −1); (0, 1); (1, 2); (1, 0); (0, −1); (1, 0); (1, −2)}). Et encore par extension de cette opération ensembliste de la somme de Minkowski, pour définir à nouveau cette hypothétique opération ensembliste d'addition distribuée notée A+B ={a+b ∣a ∈ A  ∧  b ∈ B ∧ (A+B) Δ (A+B)}, et qui signifierait l'extension de la somme de Minkowski avec les éléments répétés supprimés. Par exemple, si A={1; 2} et B={1; 2; 4} alors A+B={1; 2}+{1; 2; 4}={1+1; 1+2; 1+4; 2+1; 2+2; 2+4}={2; 3; 5; 3; 4; 6}={2; 3; 4; 5; 6}; et ce qui dans notre exemple précédent serait encore A+B={1+1; 1+4; 1+5; 2+1; 2+4; 2+5}={2; 5; 6; 3; 6; 7}={2; 3; 5; 6; 7}. Mais l'opération ensembliste de différence symétrique, dont l'opérateur est Δ dans l'expression ensembliste définie en compréhension spécifiant un ensemble comme une sélection parmi un ensemble plus grand, déterminée par une condition sur les éléments, soit A+B={a+b∣a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ (A+B) Δ (A+B)}, ne nous permet pas d'éliminer les éléments répétés, car par exemple {1; 2; 3} Δ {3; 4; 5} = {1; 2; 4; 5} et donc {2; 3; 5; 3; 4; 6} Δ {2; 3; 5; 3; 4; 6} = ∅. 

Nous pourrions alors corriger notre définition de l'hypothétique opération ensembliste d'addition distribuée, et considérer l'autre opération ensembliste de différence définie comme la différence ensembliste de A et B notée « A \ B », et si B est inclus dans A, alors A \ B se note aussi « A – B», qui est l'ensemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B, soit : A∖B={x ∈ A∣ x ∉ B}. Par exemple si A={1, 2, 3} et B={3, 4, 5}, alors A \ B={1, 2}. En remplaçant dans la troisième condition, l'opérateur ensembliste Δ dans l'expression ensembliste définie en compréhension soit A+B ={a+b ∣a ∈ A ∧  b ∈ B ∧ (A+B) Δ (A+B)}, nous obtenons A+B ={a+b ∣a ∈ A ∧  b ∈ B ∧ (A+B) \ (A+B)}; et donc {2; 3; 5; 3; 4; 6} \ {2; 3; 5; 3; 4; 6} = ∅, exactement comme précédemment avec l'ancienne condition à l'opérateur ensembliste de différence symétrique Δ.

Nous devons donc conclure qu'afin d'obtenir le résultat de l'hypothétique opération ensembliste d'addition distribuée, notée A+B={1; 2}+{1; 2; 4}={1+1; 1+2; 1+4; 2+1; 2+2; 2+4}={2; 3; 5; 3; 4; 6}, il nous faut donc définir un autre domaine de définition que celui des ensembles que nous devons étendre au domaine des séquences pour pouvoir définir de nouvelles opérations dont celle qui donnera cette fois-ci dans le domaine de définition ensembliste séquentielle par l'opération ensembliste séquentielle, l'équivalence avec l'hypothétique opération ensembliste d'addition distribuée, que nous définissons comme suit:

 A+B={1; 2}+{1; 2; 4}={1+1; 1+2; 1+4; 2+1; 2+2; 2+4}={2; 3; 5; 3; 4; 6}         (1) ↔ (1)'

SeqABᵢ₌₆{xₙ₌₁→ₙ₌₆}={{1};{1};{1};{2};{2};{2}}+SeqA'B'ᵢ₌₆{xₙ₌₁→ₙ₌₆}={{1};{2};{4};{1};{2};{4}}   (1)' ↔ (1)''

SeqABᵢ₌₆([xₙ₌₁; xₙ₌₆])=({1};{1};{1};{2};{2};{2}) + SeqA'B'ᵢ₌₆([xₙ₌₁; xₙ₌₆])=({1};{2};{4};{1};{2};{4})        (1)'' ↔ (1)'''

SeqABᵢ₌₆([xₙ₌₁; xₙ₌₆])=(1; 1; 1; 2; 2; 2) + SeqA'B'ᵢ₌₆([xₙ₌₁; xₙ₌₆])=(1; 2; 4; 1; 2; 4)        (1)''' ↔ (1)''''

SeqABᵢ₌₆=(1; 1; 1; 2; 2; 2) + SeqA'B'ᵢ₌₆=(1; 2; 4; 1; 2; 4)        (1)'''' ↔ (1)'''''

SeqABᵢ₌₆=(1+1; 1+2; 1+4; 2+1; 2+2; 2+4)       (1)''''' ↔ (1)'''''

SeqABᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6)        (1)'''''' 

Il nous faut ensuite aussi définir un autre domaine de définition que celui des ensembles que nous devons étendre au domaine des séquences pour pouvoir définir encore la nouvelle opération qui donnera dans le domaine de définition ensembliste séquentielle par l'opération ensembliste séquentielle, l'équivalence avec l'hypothétique opération ensembliste d'addition concaténant, éliminant et réordonnant, et appelée l'opération ensembliste séquentielle de rangement croissant, et que nous définissions donc comme suit:

 A+· B={1; 2} +·{1; 2; 4} ={2; 3; 4; 5; 6},

SeqABᵢ₌₅{xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{1}; {2}; {1}; {2}; {4}} + SeqA'B'ᵢ₌₅{xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{1};{1};{3};{3};{2}}       (2) ↔ (2)'

SeqABᵢ₌₅([xₙ₌₁; xₙ₌₅])=({1}; {2}; {1}; {2}; {4}) + SeqA'B'ᵢ₌₅([xₙ₌₁; xₙ₌₅])=({1};{1};{3};{3};{2})        (2)' ↔ (2)''

SeqABᵢ₌₅=(1; 2; 1; 2; 4) + SeqA'B'ᵢ₌₅=(1; 1; 3; 3; 2)               (2)'' ↔ (2)'''

Seq(À+· B)ᵢ₌₅=(1+1; 2+1; 1+3; 2+3; 4+2)     (2)'''=(2)''''

Seq(A+· B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6)        (2)''''               

Mais par cohérence nous considérerons le processus d'opération ensembliste définie par équivalence dans le domaine des opérations ensemblistes séquentielles ci-dessus comme un exemple non représentatif des seules étapes valides d'opérations ensemblistes séquentielles successives sur  SeqAᵢ₌₂=(1; 2) et SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) résultant dans Seq(A+· B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6), car en général pour que le processus de toutes opérations ensemblistes soit valide, il doit toujours commencer par une première opération ensembliste séquentielle sur les deux ensembles à l'origine A et B devenu ensemble séquentielle, et donc ici toujours dans notre exemple ci-dessus par une première opération ensembliste séquentielle de concaténation entre les éléments des deux ensembles séquentiels strictement définis comme les deux ensembles A et B, suivants, SeqAᵢ₌₂=(1; 2) et SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4), l'union carrée des ensembles notée A ⋆⊔⋆ B correspondant à une concaténation insertion notée avec le symbole de l'opérateur ensembliste de l'union carrée des ensembles, c'est-à-dire l'union disjointe affublée du signe ⋆ exprimant que l'opération ensembliste séquentielle est semblable à celle d'une union disjointe, mais virtuellement seulement avec les deux ensembles séquences considérées comme systématiquement disjoint même si réellement ce n'est pas le cas, et les deux symboles ⋆ exprimant qu'il s'agit à la fois des deux types de concaténation insertion qui sont la concaténation insertion de juxtaposition de début notée A ⋆⊔ B, ou de fin notée, A ⊔⋆ B, donc deux opérations ensemblistes et par extension deux opérations ensemblistes séquentielles et en reprenant notre exemple de A={1; 2} et B={1; 2; 4} donc par extension, SeqAᵢ₌₂=(1; 2) et SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4), alors si nous considérons la première des deux opérations alors nous pouvons écrire son expression comme suit:

 SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⋆⊔ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)      (1) ↔ (1)'

(Seq({0})ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)) + (Seq(0)ᵢ₌₂=(0; 0) ⋆⊔ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4))    (1)' = (1)''

 SeqA'ᵢ₌₅=(1; 2; 0; 0; 0) + SeqB'ᵢ₌₅=(0; 0; 1; 2; 4)     (1)''=(1)'''

SeqA'B'ᵢ₌₅=(1; 2; 1; 2; 4)            (1)'''

Puis si nous considérons la deuxième des deux opérations alors nous pouvons écrire son expression comme suit:

SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)      (2) ↔ (2)' 

(Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)) + (Seq(0)ᵢ₌₂=(0; 0) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4))   (2)'= (2)'' 

SeqA'ᵢ₌₅=( 0; 0; 0; 1; 2) + SeqB'ᵢ₌₅=(1; 2; 4; 0; 0)   (2)''= (2)'''

SeqB'A'ᵢ₌₅=(1; 2; 4; 1; 2)         (2)'''

Finalement si nous considérons la troisième opération notée A ⋆⊔⋆ B, alors nous pouvons écrire son expression comme suit:

 SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⋆⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)                           (0) ↔ (3)

SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) - (SeqAᵢ₌₁=(0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2))           (3) ↔ (3)'

SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) - SeqXᵢ₌₃=(1; 2: 0)           (3)'=(3)''

SeqYᵢ₌₃=(0; 0; 4)             (3'') ⇒ (4)

Seq({0})ᵢ₌₂=(0; 0) ⋆⊔ SeqYᵢ₌₃=(0; 0; 4)         (4) ↔ (4)'

SeqY'ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 0; 4)         (4)' ⇒ (5)

SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ∩ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)       (5) ↔ (5)'

Seq(A∩B)ᵢ₌₂ =(1; 2)        (5)'⇒ (6)

Seq({1})ᵢ₌₁=(1) ⋆ ⊔ Seq(A ∩ B)ᵢ₌₂=(1; 2)            (6) ↔ (6)'

SeqAA'ᵢ₌₃=(1; 1; 2)          (6)' ⇒ (7)

Seq({2})ᵢ₌₁ =(2) ⊔ ⋆ SeqAᵢ₌₃=(1; 1; 2)         (7) ↔ (7)'

SeqA'A'ᵢ₌₄=(1; 1; 2; 2)          (7)' ⇒ (8) 

Seq({0})ᵢ₌₁=(0) ⊔⋆ SeqA'A'ᵢ₌₄=(1; 1; 2; 2)                (8) ↔ (8)'

SeqYA'A'ᵢ₌₅(1; 1; 2; 2; 0)                 (8)' ⇒ (9)  & (4)' 

 SeqYA'A'ᵢ₌₅=(1; 1; 2; 2; 0) + SeqY'ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 0; 4)                  (9)  & (4)' = (9)'

SeqA'B'ᵢ₌₅=(1; 1; 2; 2; 4)                 (9)'.

 Remarquons que dans le cas particulier d'une séquence dont les éléments sont de valeurs nulles alors l'opération ensembliste séquentielle notée A ⋆⊔⋆ B correspondant à une concaténation d'insertion par redistribution et celle notée A ⋆⊔ B, correspondant à une concaténation d'insertion par juxtaposition de début, sont équivalentes. 

Mais ce n'est pas le résultat d'une deuxième opération ensembliste séquentielle SeqABᵢ₌₅=(1; 2; 1; 2; 4) + SeqA'B'ᵢ₌₅=(1; 1; 3; 3; 2) résultant dans Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6) que nous cherchons à obtenir par nos opérations ensemblistes séquentielles, parce que cette opération requiert de connaitre d'avance le résultat de la séquence que nous cherchons puisque pour obtenir le deuxième terme de l'addition qu'est la séquence SeqA'B'ᵢ₌₅=(1; 1; 3; 3; 2), nous devons soustraire le résultat recherché par le premier terme de l'addition ensembliste séquentielle soit l'opération, Seq(A+· B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6) - SeqABᵢ₌₅=(1; 2; 1; 2; 4) =SeqA'B'ᵢ₌₅=(1; 1; 3; 3; 2). Mais c'est donc plutôt par le résultat de l'opération ensembliste séquentielle d'addition distribuée notée SeqAᵢ₌₂=(1; 2) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)=Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6), puis une ou plusieurs opérations ensemblistes séquentielles sur Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6) résultant dans Seq(A+· B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6), de la façon suivante:

• Nous additionnant partiellement par le premier élément de la séquence SeqAᵢ₌₂=(1; 2), Seq(XA)ᵢ₌₁=(1) avec les éléments de SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) pour obtenir la séquence Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(1+1; 1+2; 1+4)=(2; 3; 5), soit:

(Seq(XA)ᵢ₌₁=(1) ⊔ (SeqYᵢ₌₂=(1; 0) * SeqAᵢ₌₂=(1; 2) + SeqY'ᵢ₌₂=(0; 1)) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)         (3) = (3)'

=Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(1;1;1) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)       (3)' = (3)''

= Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(1+1; 1+2; 1+4)        (3)'' = (3)'''

=Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(2; 3; 5)       (3)'''

• Nous additionnant ensuite toujours partiellement par le deuxième élément de la séquence SeqAᵢ₌₂=(1; 2), Seq(AZ)ᵢ₌₁=(2)  avec les éléments de SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) pour obtenir la séquence Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(2+1; 2+2; 2+4)=(3; 4; 6), soit:

Seq(AZ)ᵢ₌₁=(2) ⊔ ( SeqWᵢ₌₂=(0; 1)*SeqAᵢ₌₂=(1; 2)+SeqAᵢ₌₂=(2; 0)) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)     (4)= (4)'

= SeqAᵢ₌₃=(2; 2; 2) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)          (4)=(4)'

= Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(2+1; 2+2; 2+4)       (4)=(4)'

=Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(3; 4; 6)             (4)=(4)'

• Ensuite la concaténation des ensembles séquentiels et Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(2; 3; 5) et Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(3; 4; 6) nous permet d'obtenir l'avant-dernière séquence, soit Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6) comme suit:

Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(2; 3; 5) ⋆⊔ Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(3; 4; 6)=Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6)           (5)

• Enfin pour effectuer l'opération ensembliste séquentielle d'annulation des doublons et de réagencement de l'ordre des éléments nous effectuons l'opération d'annulation des éléments de l'ensemble séquentiel Seq(A+· B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6), résultant ainsi dans la dernière séquence, et sans utiliser le résultat final dans le calcul de nos expressions pour l'obtenir, et en considérant l'extension de l'opération ensembliste séquentielle de la concaténation des ensembles séquences aux éléments eux-mêmes d'un ensemble séquence, qui est notée en général pour deux ensembles séquences, Seq(A·B)ᵢ= ({xy : x ∈ A ∧ y ∈ B }), et pour un seul ensemble qui est noté Seq(A; x·x')ᵢ=({xx' : x ∈ A ∧ x' ∈ A }), c'est-à-dire de la façon suivante :

Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6) + Seq(H)ᵢ₌₆=(0; 0; -1; 2; 0; -6)     (6)= (6)'

=Seq(AHB)ᵢ₌₆=(2; 3; 4; 5; 6; 0)        (6)'  ⇒ (7)

Seq(AHB;6·0)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6·0)           (7) = (7)'

=Seq(A+B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 60)                              (7)' ⇒ (8)

 Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 60)*Seq({1;1/10})ᵢ₌₅=(1;1;1;1;1/10)      (8) = (8)'

Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2*1; 3*1; 4*1; 5*1; 60*1/10)=Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6)    (8)'

Nous appelons ainsi l'opération nous permettant d'obtenir l'ensemble séquentiel (8)', l'opération ensembliste de l'addition concaténant et réordonnant, notée SeqAᵢ₌₂=(1; 2) +· SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)=Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6), dont la notation est différente de celle de l'opération ensembliste séquentielle d'addition distribuée, notée SeqAᵢ₌₂=(1; 2) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)=Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6). Dans les chapitres suivants et dédiés par leurs intitulés spécialement à leur sujet, nous définirons aussi plus précisément l'expression numérique calculable de toutes ces opérations dont nous n'écrivons ici que des expressions algébriques et algorithmiques, et dont nous écrirons les expressions numériques calculables systématiques de chacune de ces expressions algébriques écrites ici (notamment l'expression numériquement calculable de la fonction de concaténation de l'expression (7)). Mais ce n'est pas le sujet ici, car nous devons en finalité dans la première partie de ce chapitre écrire toutes les composantes de l'expression algébrique et algorithmique de la fonction caractéristique de terminaisons segmentales premières dont ces expressions algébriques et algorithmiques précédentes en sont des sous expressions qui la compose. Puis dans la deuxième partie, nous écrirons les expressions numériques calculables de cette même fonction caractéristique. Donc nous élaborons maintenant l'expression algébrique algorithmique de l'opération ensembliste séquentielle de soustraction dans notre sous-titre suivant.

⁂

1.2) Les définitions particulières de l'opération ensembliste séquentielle de soustraction et de concaténation insertion par les expressions algébriques algorithmiques:

⁂

Donc c'est encore comme pour l'opération ensembliste séquentielle d'addition précédemment décrite, parce que nous l'utiliserons ultérieurement pour obtenir les expressions algébriques algorithmiques des opérations ensemblistes séquentielles de terminaisons premières et dernières, que nous écrivons maintenant l'opération ensembliste séquentielle de la soustraction distributive notée identiquement à l'opération arithmétique sur les nombres - . Mais comme précédemment, avant de pouvoir définir cette opération sur le domaine de définition étendue des ensembles à celui des séquences, il nous faut encore tout d'abord considérer de quelle opération ensembliste nous allons écrire l'expression algébrique algorithmique équivalente, car il existe deux opérations ensemblistes de soustraction, dont la première est l'opération ensembliste de différence qui est définie comme la différence ensembliste de A et B, qui est notée « A \ B », et si B est inclus dans A, alors A \ B, qui se note aussi « A – B», correspondant à l'ensemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B, soit : A∖B={x ∈ A∣ x ∉ B}. Par exemple, si A={1, 2, 3} et B={3, 4, 5}, alors A \ B={1, 2}. Mais si au lieu d'obtenir le résultat de l'opération ensembliste, de différence définie comme  A\ B={1, 2, 3} \ {3, 4, 5}=A \ A ∩ B avec A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5}={3} et A \ A ∩ B={1; 2; 3} \ {3}={1; 2}, nous voulions obtenir le résultat d'une hypothétique opération ensembliste que nous écririons comme A-B={1, 2, 3} - {3, 4, 5}={1-0; 2-0; 3-3; 4-4; 5-5}={1; 2; 0; 0; 0}={1; 2}, alors il nous faut donc définir un autre domaine de définition que celui des ensembles que nous devons étendre au domaine des séquences pour pouvoir définir de nouvelles opérations dont celle qui donnera cette fois-ci dans le domaine de définition ensembliste séquentielle par l'opération ensembliste séquentielle A-B={1, 2}. Ensuite et comme précédemment, nous définissons les expressions algébrique et algorithmique de cette hypothétique opération ensembliste séquentielle équivalent à l'opération ensembliste A \ B={1, 2}, d'abord en l'écrivant sous une forme ensembliste puis en la réécrivant progressivement transposée en une forme ensembliste séquentielle passant par l'étape de sa réécriture mise en forme en notation d'intervalle, et donc de la façon suivante:

 A-B={1, 2, 3}-{3, 4, 5}={1-0; 2-0; 3-3; 4-4; 5-5}={1; 2; 0; 0; 0}={1; 2}            (1) ⇒(1)'

SeqA'ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{1};{2};{3};{0};{0}} - SeqB'ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{0};{0};{3};{4};{5}}  (1)' = (1)''

SeqA'ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{1};{2};{0};{-4};{-5}}    (1)''⇒ (2)

SeqA'ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{1};{2};{0};{-4};{-5}} + SeqB''ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{0};{0};{0};{4};{5}}  

(2) = (2)'

Seq(A-B)ᵢ₌₅=( [xₙ₌₁; xₙ₌₅] )=({1};{2};{0};{0};{0})         (2)' ↔  (2)'' 

Seq(A-B)ᵢ₌₅=(1; 2; 0; 0; 0)           (2)'' ⇒ (3)

Sachant comme précédemment, l'opération de la concaténation des ensembles séquences aux éléments eux-mêmes d'un ensemble séquence, est notée en général pour deux ensembles séquences, Seq(A·B)ᵢ= ({xy : x ∈ A ∧ y ∈ B }), et pour un seul ensemble qui est noté Seq(A; x·x')ᵢ=({xx' : x ∈ A ∧ x' ∈ A }),

Seq(Seq(A-B)ᵢ₌₅; 2·0·0·0)ᵢ₌₂=(1; 2·0·0·0)           (3) = (3)'

=Seq(AB)ᵢ₌₂=(1; 2000)        (3)' ⇒ (4)

Seq(AB)ᵢ₌₂=(1; 2000)*Seq(X')ᵢ₌₂=(1; 1/1000)       (4) = (4)'

=Seq(A'B')ᵢ₌₂=(1; 2000/1000)        (4)'= (4)''

=Seq(A'B')ᵢ₌₂=(1; 2)             (4)''

Et comme précédemment, la véritable démarche à entreprendre est toujours généralisable entièrement dans le domaine de définition par extension des opérations ensemblistes séquentielles et donc nous la définissons maintenant en écrivant les expressions algébriques algorithmiques de toutes les opérations ensemblistes séquentielles résultant dans l'ensemble séquentiel noté Seq(A-B)ᵢ₌₅=(1; 2; 0; 0; 0) puis Seq(A-B)ᵢ₌₅=(1; 2), avec SeqAᵢ₌₃=(1; 2; 3) et SeqBᵢ₌₃=(3; 4; 5), que nous écrivons maintenant de la façon suivante:

SeqXᵢ₌₂=(0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₃=(1; 2; 3)  - SeqXᵢ₌₂=(0; 0) ⋆⊔ SeqBᵢ₌₃=(3; 4; 5)     (1) ↔ (1)' 

Seq(XA)ᵢ₌₅=(1; 2; 3; 0; 0) - Seq(XB)ᵢ₌₅=(0; 0; 3; 4; 5)             (1)'= (1)''

= Seq(XA-XB)ᵢ₌₅=(1-0; 2-0; 3-3; 0-4; 0-5)              (1)''=(1)'''

= Seq(XA-XB)ᵢ₌₅=(1; 2; 0; -4; -5)              (1)'''⇒ (2)

=Seq(A-B)ᵢ₌₅=(1; 2; 0; -4; -5) + SeqXᵢ₌₂=(0; 0) ⋆⊔ (SeqBᵢ₌₃=(3; 4; 5)*SeqXᵢ₌ᵢ₌₃=(0; 1; 1)     (2) ↔ (2)' 

=Seq(A-B)ᵢ₌₅=(1; 2; 0; -4; -5) + Seq(A-B)ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 4; 5)       (2)' = (2)''    

= Seq(A-B)ᵢ₌₅=(1+0; 2+0; 0+0; -4+4; -5+5)         (2)'' = (2)'''

=Seq(A-B)ᵢ₌₅==(1; 2; 0; 0; 0)             (2)'''⇒ (3) 

Sachant comme précédemment, l'opération de la concaténation des ensembles séquences aux éléments eux-mêmes d'un ensemble séquence, est notée en général pour deux ensembles séquences, Seq(A·B)ᵢ= ({xy: x ∈ A ∧ y ∈ B }), et pour un seul ensemble qui est noté Seq(A; x·x')ᵢ=({xx': x ∈ A ∧ x' ∈ A }):

Seq(Seq(A-B)ᵢ₌₅; 2·0·0·0)ᵢ₌₂=(1; 2·0·0·0)           (3) = (3)'

=Seq(AB)ᵢ₌₂=(1; 2000)        (3)' ⇒ (4)

Seq(AB)ᵢ₌₂=(1; 2000)*(Seq(X')ᵢ₌₁=(1)⋆⊔ Seq(y')ᵢ₌₁=(1/1000))      (4) = (4)'

=Seq(A'B')ᵢ₌₂=(1; 2000/1000)        (4)'= (4)''

=Seq(A'B')ᵢ₌₂=(1; 2)             (4)''

⁂

Mais il existe une deuxième opération ensembliste de soustraction qui est l'opération ensembliste de différence symétrique, dont l'opérateur est Δ dans l'expression ensembliste définie en compréhension spécifiant un ensemble comme une sélection parmi un ensemble plus grand, déterminée par une condition sur les éléments, soit A Δ B ={(a; b)∣ a ∈ A ∨ b ∈ B ∧ a ∨ b ∉ A ∩ B}. Plus littéralement la différence symétrique de deux ensembles, appelée aussi union disjonctive ou encore somme d’ensembles, est l’ensemble des éléments qui se trouvent dans l’un ou l’autre des ensembles, mais pas dans leur intersection. Par exemple, la différence symétrique des ensembles A={1, 2, 3} et B={3, 4, 5} est A Δ B={1, 2, 3} Δ  B={3, 4, 5}= {1, 2, 4, 5}. Nous reconnaissons immédiatement, mais en partie seulement l'opération ensembliste de l'addition concaténant et réordonnant en général dont nous cherchions à déterminer l'expression ensembliste séquentielle et que nous avons définie en particulier comme notée SeqAᵢ₌₂=(1; 2) +· SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)=Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6), car en fait l'opération de différence symétrique est équivalente à l'opération d'addition concaténant et réordonnant sur l'ensemble séquentiel résultant de l'opération d'addition distribuée, notée SeqAᵢ₌₂=(1; 2) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)=Seq(A+B)ᵢ₌₅=(2; 3; 5; 3; 4; 6) soit Seq(A+ B)ᵢ₌₅=(2; 3; 5; 3; 4; 6) Δ Seq(X)=(x₁; x₂; x₃; x₄; x₅...)=Seq(A Δ B)ᵢ₌₅=(2; 5; 4; 6). En effet, la dernière séquence résultante n'est différente de celle résultante de l'opération d'addition concaténant et réordonnant, soit Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6), que d'une valeur répétée et du non-respect de l'ordre de la valeur des éléments des ensembles séquentiels, car  contrairement à l'opération d'addition concaténant et réordonnant sur l'ensemble séquentiel, l'hypothétique opération de différence ensembliste séquentielle ne réordonne pas les éléments de l'ensemble séquentiel résultant de l'opération et ne conserve aucun élément de tous les éléments répétés et pas seulement un élément comme c'est le cas avec cette dernière opération. Donc nous prolongeons ainsi ces observations pour maintenant écrire l'expression de l'opération de différence séquentielle ensembliste comme précédemment sous une forme ensembliste puis en la réécrivant progressivement pour la transposer en une forme ensembliste séquentielle passant par l'étape de sa réécriture mise en forme en notation d'intervalle, et donc de la façon suivante: 

A Δ B={1, 2, 3} Δ {3, 4, 5}={1-0; 2-0; 3-3; 4-0; 5-0}={1; 2; 0; 4; 5}={1; 2; 4; 5}        (1) ⇒(1)'

SeqA'ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{1};{2};{3};{0};{0}}- SeqYᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{0};{0};{3};{0};{0}}+SeqB'ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{0};{0};{3};{4};{5}}-SeqYᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{0};{0};{3};{0};{0}}    (1)' = (1)''

SeqA''ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{1};{2};{0};{0};{0}}+SeqB''ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{0};{0};{0};{4};{5}}   (1)''= (1)'''

Seq(A''+B'')ᵢ₌₅={xₙ₌₁→ₙ₌₅}={{1};{2};{0};{4};{5}}  (1)''' ↔ (1)''''

 Seq(A''+B'')ᵢ₌₅([xₙ₌₁; xₙ₌₅])=({1};{2};{0};{4};{5})     (1)'''' ↔ (1)'''''

 Seq(A"+B")ᵢ₌₅=(1; 2; 0; 4; 5)      (1)''''' ⇒ (2)    

Sachant comme précédemment, l'opération de la concaténation des ensembles séquences aux éléments eux-mêmes d'un ensemble séquence, est notée en général pour deux ensembles séquences, Seq(A·B)ᵢ= ({xy : x ∈ A ∧ y ∈ B }), et pour un seul ensemble qui est noté Seq(A; x·x')ᵢ=({xx' : x ∈ A ∧ x' ∈ A }) alors:

Seq(Seq(A"+B")ᵢ₌₅; 2·0)ᵢ₌₄=(1; 2·0; 4; 5)           (2) = (2)'

=Seq(A')ᵢ₌₄=(1; 20; 4; 5)        (2)' ⇒ (3)

Seq(AB)ᵢ₌₄=(1; 20; 4; 5)*Seq(X)ᵢ₌₂=(1; 1/10)       (3) = (3)'

=Seq(A'B')ᵢ₌₄=(1; 20/10; 4; 5)        (3)'= (3)''

=Seq(A'B')ᵢ₌₄=(1; 2; 4; 5)             (3)''

Et comme précédemment, la véritable démarche à entreprendre est toujours généralisable entièrement dans le domaine de définition par extension des opérations ensemblistes séquentielles et donc nous la définissons maintenant en écrivant les expressions algébriques algorithmiques de toutes les opérations ensemblistes séquentielles résultant dans l'ensemble séquentiel noté Seq(A'''B''')ᵢ₌₄=(1; 2; 4; 5), avec SeqAᵢ₌₃=(1; 2; 3) et SeqBᵢ₌₃=(3; 4; 5), que nous écrivons maintenant de la façon suivante:

(SeqXᵢ₌₂=(0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₃=(1; 2; 3)) * ((Seq(Y)ᵢ₌₃=(1;1)⋆⊔ (Seq(Y')ᵢ₌₃=(0;1;1))) + (SeqXᵢ₌₂=(0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₃=(3; 4; 5)) * ((Seq(Y)ᵢ₌₃=(1;1)⋆⊔ (Seq(Y)ᵢ₌₃=(0;1;1)))                    (1) ↔ (1)' 

Seq(A')ᵢ₌₅=(1; 2; 3; 0; 0)*Seq(YY')ᵢ₌₅=(1; 1; 0; 1; 1) + Seq(B')ᵢ₌₅=(0; 0; 3; 4; 5)*Seq(YY')ᵢ₌₅=(1; 1; 0; 1; 1)                              (1)' ↔ (1)''

Seq(A')ᵢ₌₅=(1*1; 2*1; 3*0; 0*1; 0*1) + Seq(B')ᵢ₌₅=(0*1; 0*1; 3*0; 4*1; 5*1)             (1)'' ↔ (1)'''

Seq(A'+B')ᵢ₌₅= (1*1+0*1; 2*1+0*1; 3*0+3*0; 0*1+4*1; 0*1+5*1)                          (1)'''= (1)''''

Seq(A'+B')ᵢ₌₅= (1; 2; 0; 4; 5)                (1)''''  ⇒ (2)

Sachant comme précédemment, l'opération de la concaténation des ensembles séquences aux éléments eux-mêmes d'un ensemble séquence, est notée en général pour deux ensembles séquences, Seq(A·B)ᵢ= ({xy: x ∈ A ∧ y ∈ B }), et pour un seul ensemble qui est noté Seq(A; x·x')ᵢ=({xx': x ∈ A ∧ x' ∈ A }):

Seq(Seq(A'+B')ᵢ₌₅; 2·0)ᵢ₌₄=(1; 2·0; 4; 5)               (2) = (2)'

=Seq(A'B')ᵢ₌₄=(1; 20; 4; 5)            (2)' ⇒ (3)

Seq(AB)ᵢ₌₄=(1; 20; 4; 5)*Seq(X)ᵢ₌₄=(1; 1/10; 1; 1)             (4) = (4)'

=Seq(A'B')ᵢ₌₂=(1*1; 20*1/10; 4*1; 5*1)            (4)''= (4)'''

=Seq(A'B')ᵢ₌₂=(1; 2; 4; 5)                         (4)'''

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1.3) Les définitions particulières de l'opération ensembliste séquentielle de multiplication et de concaténation insertion par les expressions algébriques algorithmiques:

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Et c'est donc encore comme pour l'opération ensembliste séquentielle d'addition et de soustraction précédemment décrites, parce que nous l'utiliserons ultérieurement pour obtenir les expressions algébriques algorithmiques des opérations ensemblistes séquentielles de terminaisons premières et dernières, que nous écrivons maintenant l'opération ensembliste séquentielle de la multiplication distributive notée identiquement à l'opération arithmétique sur les nombres, *. 

Nous rappelons que si jusqu'ici nous appellerions l'addition cartésienne et la soustraction cartésienne les hypothétiques opérations ensemblistes précédentes si le produit cartésien tel qui l'est définie comme opération ensembliste ne préservait pas la valeur des éléments associée par cette opération ensembliste, alors nous constatons aussi que l'opération de produit ensembliste n'est pas non plus définie comme correspondant à l'hypothétique opération ensembliste de multiplication distributive que je note A*B et que je définis par un exemple comme  précédemment pour l'hypothétique opération ensembliste d'addition distribuée, A*B={1; 2}*{1; 2; 4; 5}={1*1; 1*2; 1*4; 1*5; 2*1; 2*2: 2*4; 2*5}= {1; 2; 4; 5; 2; 4; 8; 10}.

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Illustration dans la représentation ensembliste séquentielle ci-dessus de 6 terminaisons segmentales premières non nulles (6; -8; 35; -90; 27) et 5 terminaisons segmentales dernières nulles (-8; 42;-90; 12; 87), et deux terminaisons segmentales nulles premières et dernières (0; 0).

 

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2) La définition générale dans le domaine de définition ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique de terminaisons segmentales

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Nous devons maintenant définir la notation de SeqAᵢ l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de R); et dont la représentation de cette fonction de terminaison caractéristique (soit de forme simple, c'est-à-dire dont la terminaison caractéristique n'est que d'une seule valeur notée 1ATₙ₌₁(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) ↔1'A(1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})));  de forme double, c'est-à-dire dont la terminaison caractéristique n'est que deux valeurs, notée 1ATₙ₌₂(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) ↔ 1'A(1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}))); ou de forme multiple, c'est-à-dire dont la terminaison caractéristique a de multiples valeurs, notée 1ATₙ₌ₓ(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})) ↔1'A(1A(SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ})))), c'est-à-dire, caractérisant les éléments particuliers appartenant à Seq({0;1})ᵢ dont la position dans cette séquence correspond à la première et/ou la dernière valeur, c'est-à-dire respectivement positionnée au début ou à la fin d'un segment homogène dans la forme de sa répétition, d'une sous suite de valeurs successives uniformément égales à la même quantité de mêmes valeurs 1 et/ou 0. Nous allons dans un premier et deuxième sous-titre respectivement, 1.1 et 1.2, reprendre chacune des expressions respectivement des fonctions d'annulation caractéristique simple développées précédemment (I), et développer l'expression particulière de la fonction de terminaison caractéristique correspondante à chacune d'entre elles, avant de développer une expression générale donc synthétique de cette fonction de terminaison caractéristique applicable à toutes fonctions d'annulation caractéristique.

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2.1) Les définitions particulières de l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons segmentales premières ou de début et dernières ou de fin par les expressions algébriques algorithmiques:

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En effet si les valeurs des éléments cette fonction caractéristique sont toujours égales à 0 ou 1, de même donc que les valeurs des éléments de cette fonction caractéristique de terminaisons, par contre toutes les valeurs de 1 des éléments de cette fonction caractéristique de terminaisons, correspondent soit aux valeurs de sous indexe de position encore appelée valeurs de sous indexe ou indexe interne de position égale à 1, c'est-à-dire correspondant aux valeurs des éléments de la fonction caractéristique d'indexe interne de terminaison nulle ou non nulle première ou dernière simple toujours égale à 1; ou soit aux valeurs de sous indexe de position encore appelée indexe interne de position égaux à n ∈ N*, c'est-à-dire correspondant à la fonction caractéristique d'indexe interne de terminaisons nulles ou non nulles premières ou dernières multiples, valeurs aussi toujours égales à 1, mais qui sont multipliées par n pour signifier par rapport à précédemment que l'intervalle des valeurs caractéristiques est un intervalle non dégénéré formé par les valeurs de leurs sous indexes de position ou indexe interne dans n.

Cette fonction caractéristique que nous appelons en général "la fonction caractéristique de terminaisons" et que nous notons génériquement 1A(TERMIN([yₙ₌₁; yₙ₌ᵢ])), c'est-à-dire sans référence au terme d'élément premier ou de début noté D, ou d'élément dernier ou de fin noté F et sans référence aux éléments de valeur nulle notée NLL, ou de valeur non nulle notée NNLL, que nous définissons comme suit pour la fonction caractérisée TERMIN([yₙ₌₁; yₙ₌ᵢ]):

 ∀ n ∈ N,  ∀ yᵢ ∈ SeqYᵢ ⊆ {0;1} ∨ yᵢ ∈ SeqY ⊆ N ∨ yᵢ ∈ SeqY ⊆ R ⇒ TERMIN([yₙ₌₁;yₙ₌ᵢ]) = SeqY'ᵢ ↔ yᵢ ∈ SeqYᵢ={ (yᵢ ∈ (aₙ, bₙ₊₁, cₙ₊₂, dₙ₊₃, eₙ₊₄, fₙ₊₅) |  a=yᵢ ∧  b=yᵢ⇒b≠c ∨ b=0⇒a=b ∧ b=c  ∧  c=yᵢ⇒c≠d ∨ c=0⇒b=c ∧ c=d   ∧   d=yᵢ ⇒ d≠e ∨ d=0⇒d=c ∧ d=e  ∧   e=yᵢ⇒e≠f  ∨ e=0 ⇒e=d ∧ e=f   ∧  f=yᵢ )}; alors la fonction caractéristique notée 1A(TERMIN([yₙ₌₁; yₙ₌ᵢ])), c'est-à-dire la fonction indicatrice dont les éléments sont des nombres de valeurs appartenant à {0;1} qui est caractéristique des terminaisons nulles ou non nulles premières ou dernières des éléments de n'importe quelle séquence de nombres soit dans notre exemple algébrique de SeqYᵢ, et dont les éléments sont les nombres appartenant à l'ensemble noté SeqY'ᵢ est définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ y'ᵢ ∈ SeqY'ᵢ ⊆ {0;1} ⇒ 1A(TERMIN([yₙ₌₁; yₙ₌ᵢ]))=SeqY'ᵢ ↔ SeqY'ᵢ ={( 1A(yᵢ)=yᵢ' ∈ (a'ₙ; b'ₙ₊₁;c'ₙ₊₂; d'ₙ₊₃; e'ₙ₊₄; f''ₙ₊₅) | a'=0 ∨ a'=1 ∧ b'=0 ∨ b'=1 ∧ c'=0 ∨ c'=1 ∧  d'=0 ∨ d'=1 ∧  e'=0 ∨ e'=1 ∧ f'=0 ∨ f'=1)}. Mais cette définition ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique de terminaisons est exactement similaire à la fonction caractéristique en générale des éléments de valeurs nulles et non nulles, et il nous faut donc réécrire sa représentation ensembliste séquentielle ci-dessus pour en éliminer les valeurs non terminales pour en finalité obtenir une nouvelle représentation ensembliste séquentielle qui est similaire à celle de la fonction caractéristique de segmentannulations élémentaires multiples inverses, elle-même similaire à une fonction caractéristique d'annulations. Donc hormis le cas de le représentation ensembliste séquentielle dont les éléments sont uniquement des terminaisons caractéristiques, alors il faut toujours une représentation ensembliste intermédiaire du type de celle de la représentation de la fonction caractéristique générale c'est-à-dire celle qui caractérise les éléments comme nuls ou non nuls afin d'obtenir par l'élimination des éléments caractéristiques non terminaux la représentation ensembliste séquentielle finale de la fonction caractéristique de terminaisons.

∴

Prenons un exemple parmi les fonctions caractéristiques de terminaisons, de celles du type des fonctions de terminaisons caractéristiques multiples asymétriques, pour illustrer la fonction de terminaison caractéristique notée 1A(TERMIN([yₙ₌₁;yₙ₌ᵢ])) dont nous définissons les éléments yᵢ ∈ SeqYᵢ par un exemple comme suit:

 Soit SeqYᵢ₌₃₂=([yₙ₌₁; yₙ₌₃₂])=(45; 23; 19; 37; 29; 43; 77; 55; 241; 811; 711; 211; 117; 111; 113; 115; 141; 21; 381; 165; 107; 103; 109; 193; 189; 161; 173; 177; 81; 861; 451; 961) ⊂ N*; et soit la fonction indicatrice notée 1A([yₙ₌₁; yₙ₌₃₂]) des éléments de SeqYᵢ₌₃₂, et dont les éléments 1A(y)=y'ᵢ ∈ SeqY'ᵢ₌₃₂ ⊆ {0;1} sont caractéristiques des éléments de SeqYᵢ₌₃₂ qui sont des nombres impairs ayant uniquement des chiffres des dizaines, et des nombres impairs ayant seulement des chiffres des centaines, et dont les valeurs d'éléments caractéristiques appartiennent à l'ensemble {0;1}, et qui est définie et représentée comme suit:

1A: SeqYᵢ₌₃₂ ⊂ N*→ {0,1}:

• 1A(yᵢ)=1, si (yᵢ mod 2)*(y mod (10^(⌊log(yᵢ+1)⌋+1)))-yᵢ=0    

• 1A(yᵢ)=0, si (yᵢ mod 2)*(y mod (10^(⌊log(yᵢ+1)⌋+1)))-yᵢ=yᵢ   

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(yᵢ) des éléments yᵢ de SeqYᵢ₌₃₂ qui sont des nombres impairs ayant uniquement des chiffres des dizaines, soit, yᵢ mod 2≠0 ∧ 10^(⌊log(yᵢ+1)⌋+1=2; et des nombres impairs ayant seulement des chiffres des centaines, soit, yᵢ mod 2≠0 ∧ 10^(⌊log(yᵢ+1)⌋+1=3, est définie comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqYᵢ₌₃₂, ∀ n ∈ N*, l'indice de yₙ: 

1A(yᵢ)=1-⌈ |(yᵢ mod 2)* (y mod (10^(⌊log(yᵢ+1)⌋+1)))-yᵢ |/(|(yᵢ mod 2)* (y mod (10^(⌊log(yᵢ+1)⌋+1)))-yᵢ |+1)⌉      (1), dont la représentation ensembliste séquentielle est définie comme suit:

1A([yₙ₌₁; yₙ₌₃₂]) ↔ 1A(yᵢ) = y'ᵢ ∈ Seq(Y'={0;1})ᵢ₌₃₂=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1) ↔ Seq({0})ᵢ₌₈=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) ⋆⊔ ((((Seq({1})ᵢ₌₉=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1) ⋆⊔ (((Seq({0})ᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ ((Seq({1})ᵢ₌₁₀=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1) ⋆⊔ (Seq({0})ᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ Seq({1})ᵢ₌₃=(1; 1; 1))))).

 Remarquons que la représentation ensembliste Seq(Y'={0;1})ᵢ₌₃₂=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1) correspond à notre description du processus d'une représentation ensembliste séquentielle intermédiaire du type de celle de la représentation correspondante à la fonction caractéristique générale c'est-à-dire celle qui caractérise les éléments comme nuls ou non nuls afin d'obtenir par l'élimination des éléments caractéristiques non terminaux la représentation ensembliste finale de la fonction caractéristique de terminaisons. Alors la représentation ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique de terminaisons premières non nulles multiples asymétriques notées 1A(TERMIND([yₙ₌₁;yₙ₌₃₂]) dont les éléments caractéristiques des terminaisons des segments de Seq({0;1})ᵢ₌₃₃ appartenant aussi à l'ensemble{0;1}, est comme suit:

Seq(1A(TERMINDNNL([yₙ₌₁;yₙ₌₃₂]))) =Seq(Y''={0;1})ᵢ₌₃₂=(0; 0; 0, 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0)  ↔  Seq({0})ᵢ₌₈=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) ⋆⊔ ((((((Seq({1})ᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ ((((Seq({0})ᵢ₌₉=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) ⋆⊔ (((Seq({1})ᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ ((Seq({0})ᵢ₌₁₀=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0 ; 0; 0) ⋆⊔ (Seq({1})ᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ Seq({0})ᵢ₌₃=(0; 0; 0)))))).

Nous remarquons que les éléments en caractère gras dans la représentation ensembliste séquentielle Seq(Y''={0;1})ᵢ₌₃₂, de valeurs 1 sont les éléments caractéristiques des éléments du sous-ensemble des terminaisons premières non nulles multiples des sous-ensembles de sous suites de nombres successifs de valeurs 1, et dans le cas d'une représentation asymétrique, soit une séquence dont la représentation séquentielle comprend au moins deux sous suites d'éléments de mêmes valeurs 1, mais dont le cardinal est différent.

⁂

Puis nous écrivons la représentation ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique de terminaisons dernières non nulles multiples asymétriques qui est notée 1A(TERMINFNNL([yₙ₌₁;yₙ₌₃₂]), dont les éléments caractéristiques des terminaisons des sous-ensembles de valeurs non nulles de Seq({0;1})ᵢ₌₃₃ appartenant aussi à l'ensemble{0;1}, comme suit:

Seq(1A(TERMINFNNL([yₙ₌₁;yₙ₌₃₂]))) =Seq(Y'''={0;1})ᵢ₌₃₂=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1) ↔ Seq({0})ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) ⋆⊔ ((((Seq({1})ᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ (((Seq({0})ᵢ₌₁₀=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) ⋆⊔ ((Seq({1})ᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ (Seq({0})ᵢ₌₄=(0; 0; 0; 0) ⋆⊔ Seq({1})ᵢ₌₁=(1)))))

Nous remarquons que les éléments en caractère gras dans la représentation ensembliste séquentielle Seq(Y'''={0;1})ᵢ₌₃₂, de valeurs 1 sont les éléments caractéristiques des éléments du sous-ensemble des terminaisons dernières non nulles multiples des sous-ensembles de sous suites de nombres successifs de valeurs 1, et dans le cas d'une représentation asymétrique, soit une séquence dont la représentation séquentielle comprend au moins deux sous suites d'éléments de mêmes valeurs 1, mais dont le cardinal est différent.

⁂

2.2) Les définitions particulières de l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons segmentales premières et dernières par les expressions algébriques algorithmiques:

⁂

Après avoir décrit seulement les représentations ensemblistes séquentielles des deux fonctions caractéristiques de terminaisons premières et dernières non nulles multiples, il nous reste néanmoins à écrire plus précisément l'opération ensembliste séquentielle résultant dans Seq(Y''={0;1})ᵢ₌₃₂ et de Seq(Y'''={0;1})ᵢ₌₃₂, qui sont en fait décrites tout d'abord comme deux pseudo-opérations ensemblistes séquentielles, dont la première est une pseudo-opération de décalage d'indexe de position des éléments de la séquence correspondante à la représentation ensembliste séquentielle de cette fonction caractéristique élémentaire que j'ai qualifiée d'intermédiaire soit Seq(Y'={0;1})ᵢ₌₃₂, et deux décalages de l'ensemble des éléments de Seq(Y'={0;1})ᵢ₌₃₂, respectivement de la droite vers la gauche soit informellement la représentation ensembliste séquentielle notée, Seq(Y'ᵢY={0;1})₌₃₂=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; Ø), et inversement de la gauche vers la droite, soit informellement encore la représentation ensembliste séquentielle notée, Seq(YY'={0;1})ᵢ₌₃₂=(Ø; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1). 

Remarquons que cette pseudo-opération ensembliste séquentielle que je décris informellement par l'écriture de l'élément ensemble vide Ø qui est utilisé pour mieux marquer comme un décalage d'éléments de l'ensemble ou d'un sous-ensemble, correspond en fait plus précisément donc formellement à une opération de substitution de chaque élément par l'élément dont la valeur d'index de position est immédiatement supérieure ou inférieure à la sienne. 

Ensuite après avoir décrit informellement la première opération ensembliste séquentielle, la deuxième des deux opérations ensemblistes séquentielles est celle décrite toujours informellement comme la substitution par un élément aux extrémités qui n'appartient pas à l'ensemble ou au sous-ensemble, mais dont la valeur peut être égale ou non aux valeurs des éléments de cet ensemble ou sous-ensemble. C'est donc une double opération ensembliste séquentielle qui peut être assimilée descriptivement seulement à "l’opération informatique d’ajout d’un élément à l’arrière de la file d’attente qui est connue sous le nom d’"en-queue" sachant qu'en informatique, "une file d’attente (queue) est un ensemble d’entités qui sont maintenues dans une séquence et qui peuvent être modifiées par l’ajout d’entités à une extrémité de la séquence et la suppression d’entités à l’autre extrémité de la séquence."

⁂

Mais plus précisément que descriptivement ci-dessus, et comme précédemment pour les opérations ensemblistes séquentielles d'addition distribuée, d'addition concaténant réordonnant, de soustraction distribuée et de différence symétrique, puis de multiplication distribuée, nous pouvons définir une opération ensembliste séquentielle de terminaison segmentale similairement par extension d'une hypothétique opération ensembliste de terminaison segmentale, illustrée par l'exemple de SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) la représentation séquentielle ensembliste de la fonction caractéristique appliquée à l'ensemble séquentiel Seq(B)ᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), c'est-à-dire par extension de l'hypothétique opération ensembliste de terminaison notée pour toutes les terminaisons premières et dernières: B ⋆┅⋆ B= {0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15} ⋆┅⋆ {0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}=  {0.5; 0; 0; 0.9; 10; 0; 0; 19; 0.1; 0; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}= {0.5; 0.9; 10; 19; 0.1; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}. Cette hypothétique opération ensembliste de terminaisons segmentales premières et dernières n'existant pas, il nous faut donc définir un autre domaine de définition que celui des ensembles que nous devons étendre au domaine des séquences pour pouvoir définir de nouvelles opérations dont celle qui donnera cette fois-ci dans le domaine de définition ensembliste séquentiel par l'opération ensembliste séquentielle de terminaison segmentale, l'équivalence avec l'hypothétique opération ensembliste de terminaison segmentale, et que nous définissons ainsi comme suit:

 B⋆┅⋆B={0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15} ⋆┅ ⋆{0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}= {0.5; 0; 0; 0.9; 10; 0; 0; 19; 0.1; 0; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}= {0.5; 0.9; 10; 19; 0.1; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}          (1) ⇒ (1)'

SeqBᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15} ∪ Seq(XB)ᵢ₌₁₀={x'ₙ₌₁→ₙ₌₁₀}={ 0.7; 0.8; 0; 0; 12; 17; 0; 0; 0.2; 0}            (1)' = (1)''

 Seq(B ∪ XB )ᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={{0.5; 0; 0; 0.9; 10; 0; 0; 19; 0.1; 0; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}}    (1)''⇒ (2)

 Seq(B ∪ XB )ᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={{0.5; 0; 0; 0.9; 10; 0; 0; 19; 0.1; 0; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}} ∪ Seq(Y={0})ᵢ₌₅={yₙ₌₁→ₙ₌₅}={{0; 0; 0; 0; 0}}                              (2)=(2)'

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₁₀={xₙ₌₁→ₙ₌₁₀}={{0.5; 0.9; 10; 19; 0.1; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}}              (2)' ↔ (2)''

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₁₀=([xₙ₌₁; ₙ₌₁₀])=({0.5; 0.9; 10; 19; 0.1; 0.3; 11; 13; 0.4; 15})      (2)'' ↔ (2)'''

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₁₀=(0.5; 0.9; 10; 19; 0.1; 0.3; 11; 13; 0.4; 15)          (2)'''

⁂

Et comme précédemment, la véritable démarche à entreprendre est toujours généralisable entièrement dans le domaine de définition par extension des opérations ensemblistes séquentielles et donc nous la définissons maintenant en écrivant les expressions algébriques algorithmiques de toutes les opérations ensemblistes séquentielles sur Seq(B)ᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) résultant dans l'ensemble séquentiel des terminaisons segmentales de Seq(B)ᵢ₌₁₅, noté Seq(B'')ᵢ₌₁₀=(0.5; 0.9; 10; 19; 0.1; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), et soit SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) la représentation ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l'ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {1 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1; 0 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; et soit SeqB''ᵢ₌₁₅=(1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 0), la représentation ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l'ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {0 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; 1 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1, que nous écrivons maintenant de la façon suivante:

SeqXᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (3) = (3)'

Seq(XB')ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (3)'⇒ (4)

SeqXᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)      (4)=(4)'

 SeqB'ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1)        (4)' ⇒ (5)

SeqB'ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1) - Seq(XB')ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)                (5) ↔ (5)'

Seq(SeqB'ᵢ₌₁₆ -Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-0; 1-1; 1-1; 1-1; 0-1; 0-0; 0-0; 1-0; 1-1; 0-1; 1-0; 1-1)               (5)'=(5)''

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₅-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)                (5)'' ⇒ (6)

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)*Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)                      (6) = (6)'

=Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₅-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0)        (6)' ⇒ (7₁) &  (7₂)

SeqXᵢ₌₁=(0) ⊔ ⋆ SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) =

SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0)       (7₁)

 SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0) *Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₅-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0)           (7₂)=(7₂)'

SeqB''ᵢ₌₁₆=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0)*Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₅-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0)         (7₂)'= (7₂)''

SeqB'''ᵢ₌₁₆=( 0.5*0; 0.7*0; 0.8*0; 0.9*0; 10*1; 12*0; 17*0; 19*0; 0.1*1; 0.2*0; 0.3*0; 11*1; 13*0; 0.4*1; 15*1; 0*0)           (7₂)''=(7₂)'''

SeqB'''ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15; 0)              (7₂)''' ⇒ (8)

SeqXᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ SeqB'''ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15; 0)                 (8)=(8)'

SeqXB'''ᵢ₌₁₇=(1; 0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15; 0)                 (8)' ⇒ (9)

Seq(SeqXB''')ᵢ₌₁₇; (1·0·0·0·0; 10·0·0·0; 0.1·0·0; 11·0; 15·0) )ᵢ₌₆=(1·0·0·0·0; 10·0·0·0; 0.1·0·0; 11·0; 0.4; 15·0)            (9) = (9)'

=Seq(SeqXB''')ᵢ₌₁₇; (1·0·0·0·0;10·0·0·0; 0.1·0·0; 11·0; 15·0) )ᵢ₌₆=(10000; 10000; 0.100; 110; 0.4; 150)  (9)'⇒ (10)

=Seq(BB)ᵢ₌₅=(100000; 10000; 0.100; 110; 0.4; 150)*Seq(XX)ᵢ₌₆=(1/200000; 1/1000; 1; 1/10; 1; 1/10)     (10) ↔ (10)'

Seq(BB)ᵢ₌₆=(100000*1/200000; 10000*1/1000; 0.100*1; 110*1/10; 0.4*1; 150*1/10)        (10)'=(10)''

=Seq(BB)ᵢ₌₆=(0.5; 10; 0.1; 11; 0.4; 15)        (10)"

⁂

2.2.a) Les définitions particulières de l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons segmentales premières ou de débuts par les expressions algébriques algorithmiques:

⁂

Mais toujours plus précisément que descriptivement ci-dessus, et comme précédemment pour les opérations ensemblistes séquentielles d'addition distribuée, d'addition concaténant réordonnant, de soustraction distribuée et de différence symétrique, puis de multiplication distribuée, nous pouvons définir une opération ensembliste séquentielle de terminaison segmentale similairement par extension d'une hypothétique opération ensembliste de terminaison segmentale en utilisant SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) la représentation séquentielle ensembliste de la fonction caractéristique appliquée à l'ensemble séquentiel Seq(B)ᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15). C'est-à-dire par extension de l'hypothétique opération ensembliste de terminaisons segmentale premières des éléments de l'ensemble Seq(B)ᵢ₌₁₅, et notée, B⋆┅ B={0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}⋆┅ {0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}={0.5; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15}={0.5; 10; 0.1; 11; 0.4; 15}. Cette hypothétique opération ensembliste de terminaisons segmentale premières n'existant pas, donc il nous faut définir un autre domaine de définition que celui des ensembles que nous devons étendre au domaine des séquences pour pouvoir définir de nouvelles opérations dont celle qui donnera cette fois-ci dans le domaine de définition ensembliste séquentiel par l'opération ensembliste séquentielle de terminaison segmentale, l'équivalence avec l'hypothétique opération ensembliste de terminaison des éléments représentés sous forme segmentale, et que nous définissons ainsi comme suit:

B⋆┅ B={0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}⋆┅ {0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}={0.5; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15}={0.5; 10; 0.1; 11; 0.4; 15}             (1) ⇒ (1)'

SeqBᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15} ∪ Seq(XB)ᵢ₌₁₈={x'ₙ₌₁→ₙ₌₁₈}={ 0.7; 0.8; 0.9; 0; 0; 0; 12; 17; 19; 0; 0; 0; 0.2; 0.3; 0; 0; 13; 0}                 (1)' = (1)''

 Seq(B ∪ XB )ᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={{0.5; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15}}          (1)''⇒ (2)

 Seq(B ∪ XB )ᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={{0.5; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15}} ∪ Seq(Y={0})ᵢ₌₉={yₙ₌₁→ₙ₌₉}={{0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}}                      (2)=(2)'

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₆={xₙ₌₁→ₙ₌₆}={{0.5; 10; 0.1; 11; 0.4; 15}}             (2)'↔ (2)''

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₆=( [xₙ₌₁;xₙ₌₆] )=({0.5; 10; 0.1; 11; 0.4; 15})            (2)''↔ (2)'''

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₆=(0.5; 10; 0.1; 11; 0.4; 15)            (2)'''

⁂

 Et comme précédemment, la véritable démarche à entreprendre est toujours généralisable entièrement dans le domaine de définition par extension des opérations ensemblistes séquentielles et donc nous la définissons maintenant en écrivant les expressions algébriques algorithmiques de toutes les opérations ensemblistes séquentielles résultant dans l'ensemble séquentiel noté Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₆=(0.5; 10; 0.1; 11; 0.4; 15), et correspondant à l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons segmentales premières appliquées à l'ensemble SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15); et soit SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1), la représentation ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l'ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {1 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1; 0 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; et soit SeqB''ᵢ₌₁₅=(1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 0), la représentation ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l'ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {0 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; 1 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1, que nous écrivons maintenant de la façon suivante:

SeqXᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (3) = (3)'

Seq(XB')ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (3)'⇒ (4)

SeqXᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)      (4)=(4)'

 SeqB'ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1)        (4)' ⇒ (5)

SeqB'ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1) - Seq(XB')ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)                (5) ↔ (5)'

Seq(SeqB'ᵢ₌₁₆ -Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-0; 1-1; 1-1; 1-1; 0-1; 0-0; 0-0; 1-0; 1-1; 0-1; 1-0; 1-1)               (5)'=(5)''

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)                (5)'' ⇒ (6)

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)*Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)                      (6) = (6)'

=Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₅-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0)       (6)' ⇒ (7₁) & (7₂)

SeqXᵢ₌₁=(0) ⊔ ⋆ SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0)  (7₁)=(7₁)'

Seq(SeqXᵢ₌₁=(0) ⊔ ⋆ SeqBᵢ₌₁₅)ᵢ₌₁₆=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0) ↔ SeqB''ᵢ₌₁₆=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0)     (7₁)'

( SeqB''ᵢ₌₁₆=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0) ) *Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₅-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0)           (7₂) ↔ (7₂)'

SeqB'''ᵢ₌₁₆=( 0.5*0; 0.7*0; 0.8*0; 0.9*0; 10*1; 12*0; 17*0; 19*0; 0.1*1; 0.2*0; 0.3*0; 11*1; 13*0; 0.4*1; 15*1; 0*0)           (7₂)'=(7₂)''

SeqB'''ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15; 0)              (7₂)'' ⇒ (8)

SeqXᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ SeqB'''ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15; 0)                 (8)=(8)'

SeqXB'''ᵢ₌₁₇=(1; 0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 11; 0; 0.4; 15; 0)                 (8)' ⇒ (9)

Seq(SeqXB''')ᵢ₌₁₇; (1·0·0·0·0; 10·0·0·0; 0.1·0·0; 11·0; 15·0) )ᵢ₌₆=(1·0·0·0·0; 10·0·0·0; 0.1·0·0; 11·0; 0.4; 15·0)            (9) = (9)'

=Seq(SeqXB''')ᵢ₌₁₇; (1·0·0·0·0;10·0·0·0; 0.1·0·0; 11·0; 15·0) )ᵢ₌₆=(10000; 10000; 0.100; 110; 0.4; 150)                             (9)'⇒ (10)

=Seq(BB)ᵢ₌₅=(100000; 10000; 0.100; 110; 0.4; 150)*Seq(XX)ᵢ₌₆=(1/200000; 1/1000; 1; 1/10; 1; 1/10)           (10) ↔ (10)'

Seq(BB)ᵢ₌₆=(100000*1/200000; 10000*1/1000; 0.100*1; 110*1/10; 0.4*1; 150*1/10)       

(10)'=(10)''

=Seq(BB)ᵢ₌₆=(0.5; 10; 0.1; 11; 0.4; 15)        (10)"

⁂⁂

Nous écrivons maintenant que les éléments de la représentation (5)'' de  de SeqXX'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1), correspondante à la représentation de la caractéristique des terminaisons segmentale premières des éléments décimaux et non décimaux de SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) sont de deux types, soit, la terminaison segmentale première nulle caractérisée par la valeur de -1, et la terminaison segmentale première non nulle caractérisée par la valeur de 1. Nous devons alors écrire la représentation de ces deux types en transformant (5)" de la manière suivante, en commençant par celle des terminaisons segmentales premières nulles:

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)            (5)" ⇒ (6) 

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)*Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)                               (6) = (6)'

=Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0)           (6)' ⇒ (7)

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0) - Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)                                    (7) ↔ (7)'

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-1; 0-0; 0-0; 0-0; 1--1; 0-0; 0-0; 1-1; 0-0; 1--1; 1-1; 0-0)                    (7)'=(7)''

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0)                    (7)''⇒ (8)

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0) * Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2)    (8) ↔ (8)'

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*2; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*2; 1/2*0; 1/2*0)      (8)' ↔ (8)''

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0)      (8)''⇒(9)

 

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0) + Seq(X')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)     (9) = (9)' 

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0)       (9)' ⇒ (7₁) & (10)

SeqXᵢ₌₁=(0) ⊔ ⋆ SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15)  (7₁)=(7₁)'

SeqBᵢ₌₁₆=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0)   (7₁)'

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0) * SeqBᵢ₌₁₆=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0)              (10) ↔ (10)'

SeqBᵢ₌₁₆=(1*0.5; 0*0.7; 0*0.8; 0*0.9; 0*10; 0*12; 0*17; 0*19; 1*0.1; 0*0.2; 0*0.3; 0*11; 0*13; 1*0.4; 0*15; 0*0)                    (10)'= (10)''

SeqBᵢ₌₁₆=(0.5; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0.1; 0; 0; 0; 0; 0.4; 0; 0)                    (10)''⇒(11)

Seq(SeqXB''')ᵢ₌₁₆; (0.5·0·0·0·0·0·0·0; 0.1·0·0·0·0; 0.4·0·0) )ᵢ₌₃=(0.5·0·0·0·0·0·0·0; 0.1·0·0·0·0; 0.4·0·0) )            (11) ↔  (11)'

Seq(SeqXB''')ᵢ₌₁₆; (0.5·0·0·0·0·0·0·0; 0.1·0·0·0·0; 0.4·0·0))ᵢ₌₃=(0.50000000; 0.10000; 0.400)                             (11)'=(11)''

SeqB'''ᵢ₌₃=(0.5; 0.1; 0.4)      (11)'=(11)''

⁂

Puis, nous réécrivons que les éléments de la représentation (5)'' de SeqXX'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1), correspondante à la représentation de la caractéristique des terminaisons segmentale premières des éléments décimaux et non décimaux de SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) est de deux types, soit, la terminaison segmentale première nulle caractérisée par la valeur de -1; soit la terminaison segmentale première non nulle caractérisée par la valeur de 1. Ainsi après avoir écrit précédemment la représentation des terminaisons segmentale premières nulles, alors nous devons maintenant écrire la représentation de ces deux types en transformant (5)" de la manière suivante, soit toujours pour les terminaisons segmentales premières, mais cette fois-ci non nulles:

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)   (5)" ⇒ (6) 

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)*Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)                      (6) = (6)'

=Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0)        (6)' ⇒ (7)

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0) - Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; -1; 0; 0; 1; 0; -1; 1; 0)                                (7) ↔ (7)'

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-1; 0-0; 0-0; 0-0; 1--1; 0-0; 0-0; 1-1; 0-0; 1--1; 1-1; 0-0)                    (7)'=(7)''

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0)                    (7)''⇒ (8)

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0) * Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2)    (8)↔ (8)'

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*2; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*0; 1/2*2; 1/2*0; 1/2*0)      (8)' ↔ (8)''

Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0)           (8)'⇒(9)

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0) - Seq(Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0)                  (9) ↔ (9)'

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-1; 0-0; 0-0; 1-0; 0-0; 1-1; 1-0; 0-0)                        (9)'=(9)''

Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0)           (9)''⇒(7₁) &(10)

SeqXᵢ₌₁=(0) ⊔ ⋆ SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15)     (7₁)=(7₁)'

SeqBᵢ₌₁₆=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0)             (7₁)'

SeqBᵢ₌₁₆=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15; 0) * Seq(Seq(B')ᵢ₌₁₆-Seq(XB')ᵢ₌₁₆)ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0)                  (10) ↔ (10)'

SeqBᵢ₌₁₆=(0.5*0; 0.7*0; 0.8*0; 0.9*0; 10*1; 12*0; 17*0; 19*0; 0.1*0; 0.2*0; 0.3*0; 11*1; 13*0; 0.4*0; 15*1; 0*0)                (10)' = (10)''

SeqBᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 11; 0; 0; 15; 0)         (10)'' ⇒ (11) 

SeqXᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ SeqBᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 11; 0; 0; 15; 0)     (11) ↔ (11)'

SeqXB'''ᵢ₌₁₇=(0; 0; 0; 0; 10; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 11; 0; 0; 15; 0)   (11)' ⇒ (12) 

Seq(SeqXB''')ᵢ₌₁₇; (1·0·0·0·0; 10·0·0·0·0·0·0; 11·0·0; 15·0) )ᵢ₌₄=(1·0·0·0·0; 10·0·0·0·0·0·0; 11·0·0; 15·0)            (12) = (12)'

=Seq(SeqXB''')ᵢ₌₁₇; (1·0·0·0·0; 10·0·0·0·0·0·0; 11·0·0; 15·0) )ᵢ₌₄=(10000; 1000000; 1100; 150)     (12)'⇒ (13)

Seq(BB)ᵢ₌₄=(10000; 1000000; 1100; 150)*Seq(XX)ᵢ₌₄=(1/10000; 1/100000; 1/100; 1/10)           (13) ↔ (13)'

Seq(BB)ᵢ₌₄=(10000*1/10000; 1000000*1/100000; 110*1/10; 150*1/10)       (13)'=(13)''

=Seq(BB)ᵢ₌₄=(1; 10; 11; 15)            (13)'' ⇒ (14)

Seq(Seq(BB)ᵢ₌₄; (1·1·0) )ᵢ₌₃=(1·1·0; 10; 11; 15)               (14) = (14)'

Seq(BBB)ᵢ₌₃=(110; 11; 15)                   (14) ⇒ (15)

Seq(XBBB)ᵢ₌₃=(110; 11; 15) * Seq(X"")ᵢ₌₃=(1/11; 1; 1)              (15)=(15)'

Seq(BBB)ᵢ₌₃=(110*1/11; 11*1; 15*1)            (15)'= (15)''

Seq(BBB)ᵢ₌₃=(10; 11; 15)             (15)''

Nous remarquons que si notre représentation caractéristique du dernier élément de valeur 15 caractérise celui-ci comme à la fois une terminaison segmentale première et dernière non nulle ce qui est la convention pour tout élément unique, il est contre-intuitif de ne pas considérer ce denier élément comme une terminaison segmentale dernière non nulle au lieu d'ici aussi comme une terminaison segmentale première non nulle. Nous écrivons donc la nouvelle étape de l'opération ensembliste séquentielle de terminaison segmentale résultant dans l'ensemble des terminaisons segmentales premières non nulles comme suit: 

 Seq(BB"")ᵢ₌₃=(10; 11; 15)             (15)''⇒ (16)

Seq(Seq(BB'')ᵢ₌₃; (11·15) )ᵢ₌₃=(10; 11·15)               (16) = (16)'

Seq(BBB')ᵢ₌₂=(10; 1115)                   (16)' ⇒ (17)

Seq(BBB')ᵢ₌₂=(10; 1115) * Seq(X"")ᵢ₌₃=(1; 1/101.363636363636)              (17)=(17)'

Seq(BBB')ᵢ₌₂=(10*1; 1115*1/101.363636363636)            (17)'= (17)''

Seq(BBB')ᵢ₌₂=(10; 11)             (17)''

⁂

2.2.b) Les définitions particulières de l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons segmentales dernières ou de fins par les expressions algébriques algorithmiques:

⁂

Mais toujours plus précisément que descriptivement ci-dessus, et comme précédemment pour les opérations ensemblistes séquentielles d'addition distribuée, d'addition concaténant réordonnant, de soustraction distribuée et de différence symétrique, puis de multiplication distribuée, nous pouvons définir une opération ensembliste séquentielle de terminaison segmentale similairement par extension d'une hypothétique opération ensembliste de terminaison des éléments représentés sous forme segmentale, en utilisant SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) la représentation séquentielle ensembliste de la fonction caractéristique appliquée à l'ensemble séquentiel Seq(B)ᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15). C'est-à-dire par extension de l'hypothétique opération ensembliste de terminaisons segmentales dernières des éléments de l'ensemble Seq(B)ᵢ₌₁₅, et notée, B┅⋆B= {0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15} ┅⋆{0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}={0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0.3; 0; 13; 0.4; 15}={0.9; 19; 0.3; 13; 0.4; 15}. Cette hypothétique opération ensembliste de terminaisons segmentales dernières n'existant pas, donc il nous faut définir un autre domaine de définition que celui des ensembles que nous devons étendre au domaine des séquences pour pouvoir définir de nouvelles opérations dont celle qui donnera cette fois-ci dans le domaine de définition ensembliste séquentiel par l'opération ensembliste séquentielle de terminaison segmentale, l'équivalence avec l'hypothétique opération ensembliste de terminaison des éléments représentés sous forme segmentale, et que nous définissons ainsi comme suit:

B┅⋆B={0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15} ┅⋆{0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15}                                            (1)=(1)'

={0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0.3; 0; 13; 0.4; 15}                (1)'↔ (1)''  

={0.9; 19; 0.3; 13; 0.4; 15}                                                     (1)''↔ (2)                             

SeqBᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15} ∪ Seq(XB)ᵢ₌₁₈={x'ₙ₌₁→ₙ₌₁₈}={ 0.5; 0.7; 0.8; 0; 0; 0; 10; 12; 17; 0; 0; 0; 0.1; 0.2; 0; 0; 11; 0}                            (2) =(2)'

 Seq(B ∪ XB )ᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={{0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0.3; 0; 13; 0.4; 15}}       (2')  ⇒ (3)

 Seq(B ∪ XB )ᵢ₌₁₅={xₙ₌₁→ₙ₌₁₅}={{0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0.3; 0; 13; 0.4; 15}} ∪ Seq(Y={0})ᵢ₌₉={yₙ₌₁→ₙ₌₉}={{0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}}                           (3)=(3)'

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₆={xₙ₌₁→ₙ₌₆}={{0.9; 19; 0.3; 13; 0.4; 15}}               (3)'↔ (3)''

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₆=( [xₙ₌₁; ₙ₌₆] )=({0.9; 19; 0.3; 13; 0.4; 15})       (3)''↔ (3)'''

Seq(B ∪ XB ∪ Y)ᵢ₌₆=(0.9; 19; 0.3; 13; 0.4; 15)                                    (3)'''

⁂

Et comme précédemment, la véritable démarche à entreprendre est toujours généralisable entièrement dans le domaine de définition par extension des opérations ensemblistes séquentielles et donc nous définissons maintenant l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons segmentales dernières en écrivant les expressions algébriques algorithmiques de toutes les opérations ensemblistes séquentielles de l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons segmentales dernières appliquées à l'ensemble séquentiel, SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), et résultant dans l'ensemble séquentiel des terminaisons segmentales dernières notées SeqB'''ᵢ₌₆=(0.9; 19; 0.3; 13; 0.4; 15). Donc nous considérons tout d'abord les expressions algébriques algorithmiques de l'opération ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l'ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), et définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {1 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1; 0 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0, et dont la représentation ensembliste séquentielle est SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1); et soit SeqB''ᵢ₌₁₅=(1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 0), la représentation ensembliste séquentielle de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {0 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; 1 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1,aussi appliquée à l'ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15). Ensuite nous écrivons l'opération ensembliste séquentielle de terminaisons segmentales dernières en considérant ces autres expressions algébriques algorithmiques d'opérations ensemblistes séquentielles que nous écrivons maintenant de la façon suivante:

SeqXᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (4) = (4)'

Seq(X'B')ᵢ₌₁₆=(1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (4)' ⇒ (5)

Seq(SeqX'B'')ᵢ₌₁₆; (1·0·0) )ᵢ₌₁₄=(1·0·0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)    (5) = (5)'

Seq(SeqX'B'')ᵢ₌₁₆; (1·0·0) )ᵢ₌₁₄=(100; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)    (5)'⇒ (6)

Seq(SeqX'B'')ᵢ₌₁₆; (1·0·0) )ᵢ₌₁₄=(100; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)*Seq(X''B'')ᵢ₌₁₄=(1/100; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)            (6) = (6)'                       

SeqX'B''ᵢ₌₁₄=(100*1/100; 0*0; 0*0; 1*1; 1*1; 1*1; 1*1; 0*0; 0*0; 0*0; 1*1; 1*1; 0*0; 1*1)         (6)'=(6)''  

                     

Seq(X'B'')ᵢ₌₁₄=(1; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)         (6)'' ⇒ (7)   

Seq(X'B'')ᵢ₌₁₄=(1; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)*Seq(X'B'')ᵢ₌₁₄=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)        (7) ↔ (7)'    

SeqX'B''ᵢ₌₁₄=(1*0; 0*1; 0*1; 1*1; 1*1; 1*1; 1*1; 0*1; 0*1; 0*1; 1*1; 1*1; 0*1; 1*1)   (7)'=(7)''       

SeqX'B''ᵢ₌₁₄=(0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)        (7)'' ⇒ (8)    

SeqXᵢ₌₁=(0) ⊔⋆ Seq(X'B'')ᵢ₌₁₄=(0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)                            (8) = (8)'

SeqX'B''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 0)    (8)'⇒ (9)  

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) - Seq(X'B'')ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 0)     (9) ↔ (9)'  

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0-0; 0-0; 0-0; 0-1; 1-1; 1-1; 1-1; 1-0; 0-0; 0-0; 0-1; 1-1; 1-0; 0-1; 1-0)     (12)'=(12)''

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)          (9)''⇒ (10)

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)*SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)                    (10)= (10)'

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0*0; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 0*0; 0*0; 1*1; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 1*1; -1*-1; 1*1)     (10)'= (10)''

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1)        (10)'' ⇒ (11)

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1)*SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15)            (11) ↔ (11)'

SeqBᵢ₌₁₅=(0*0.5; 0*0.7; 0*0.8; 1*0.9; 0*10; 0*12; 0*17; 1*19; 0*0.1; 0*0.2; 1*0.3; 0*11; 1*13; 1*0.4; 1*15)              (11)' ↔ (11)''

SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0.3; 0; 13; 0.4; 15)            (11)'' ⇒ (12)

SeqXᵢ₌₁=(1) ⋆⊔ SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0.3; 0; 13; 0.4; 15)              (12) ↔ (12)'

SeqXBᵢ₌₁₆=(1; 0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0.3; 0; 13; 0.4; 15)         (12)' ⇒ (13)

Seq(SeqX'B'')ᵢ₌₁₆; (1·0·0·0; 0.9·0·0·0; 19·0·0; 0.3·0))ᵢ₌₇=(1·0·0·0; 0.9·0·0·0; 19·0·0; 0.3·0; 13; 0.4; 15)                 (13) ↔ (13)'

Seq(SeqX'B'')ᵢ₌₇=(1000; 0.9000; 1900; 0.30; 13; 0.4; 15)               (13)' ↔ (13)''  

Seq(SeqX'B'')ᵢ₌₇=(1000; 0.9; 1900; 0.3; 13; 0.4; 15)             (13)'' ⇒ (14)

Seq(SeqX'B'')ᵢ₌₇; (1000·0.9))ᵢ₌₆=(1000·0.9; 1900; 0.3; 13; 0.4; 15)                  (14) ↔ (14)' 

Seq(SeqX'B'')ᵢ₌₇; (1000·0.9))ᵢ₌₆=(10000.9; 1900; 0.3; 13; 0.4; 15)                   (14)' ⇒ (15)

SeqB'''ᵢ₌₆=(10000.9; 1900; 0.3; 13; 0.4; 15) * SeqYᵢ₌₆(1/11112,1111111111; 1/100; 1; 1; 1; 1)    (15) ↔ (15)'

SeqYB'''ᵢ₌₆=(10000.9 * 1/11112,1111111111; 1900*1/100; 0.3*1; 13*1; 0.4*1; 15*1)  (15)'=(15)'' 

SeqYB'''ᵢ₌₆=(0.9 ; 19; 0.3; 13; 0.4; 15)                             (15)''

⁂⁂

Nous écrivons maintenant que les éléments de la représentation (5)'' de SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1) correspondante à la représentation de la caractéristique des terminaisons dernières des éléments décimaux et non décimaux de SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) sont de deux types, soit, la terminaison segmentale dernière nulle caractérisée par la valeur de -1, et la terminaison segmentale dernière non nulle caractérisée par la valeur de 1. Nous devons alors écrire la représentation de ces deux types en transformant (5)" de la manière suivante, en commençant par celle des terminaisons segmentales dernières nulles:

SeqB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)          (9)''⇒ (10)

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)*SeqB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)                    (10) = (10)'

Seq(BB')ᵢ₌₁₅=(0*0; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 0*0; 0*0; 1*1; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 1*1; -1*-1; 1*1)     (10)'= (10)''

SeqBB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1)            (10)'' ⇒ (11₁)

SeqB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1) - SeqBB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1)                  (11₁) ↔ (11₂)

SeqB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; -2; 0; 0; -2; 0)             (11₂) ⇒ (11₃)   

SeqB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; -2; 0; 0; -2; 0) * SeqYᵢ₌₁₅=(-1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2; -1/2)           (11₃) ↔ (11₃)'         

SeqYB''ᵢ₌₁₅=(0*-1/2; 0*-1/2; 0*-1/2; -2*-1/2; 0*-1/2; 0*-1/2; 0*-1/2; 0*-1/2; 0*-1/2; 0*-1/2; -2*-1/2; 0*-1/2; 0*-1/2; -2*-1/2; 0*-1/2)                  (11₃)' ↔ (11₃) '

SeqYB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0)                  (11₃)' ⇒ (12₃) 

SeqYB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0) * SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15)          (12₃) ↔ (12₃)'

SeqYBᵢ₌₁₅=(0*0.5; 0*0.7; 0*0.8; 1*0.9; 0*10; 0*12; 0*17; 0*19; 0.1*0; 0.2*0; 0.3*1; 11*0; 13*0; 0.4*1; 15*0)                            (12₃)' ↔ (13₄)

SeqYBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0.3; 0; 0; 0.4; 0)                   (13₄) ⇒ (14₄)

SeqYBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0.3; 0; 0; 0.4; 0) + SeqYᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)           (14₄) ↔ (14₄)'

SeqYBᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0.9; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0.3; 0; 0; 0.4; 0)           (14₄)' ⇒ (15₅)

Seq(YBᵢ₌₁₅; (1·0·0·0.9·0·0·0·0·0·0; 0.3·0·0; 0.4·0))ᵢ₌₃=SeqYBᵢ₌₃=(1·0·0·0.9·0·0·0·0·0·0;

0.3·0·0; 0.4·0)                            (15₅) ↔ (15₅)' 

SeqYBᵢ₌₁₂=(1000.9000000; 0.300; 0.40)          (15₅)' ↔ (15₅)' 

SeqYBᵢ₌₁₂=(1000.9; 0.3; 0.4)                    (15₅)' ⇒ (16₆) 

SeqYBᵢ₌₁₂=(1000.9; 0.3; 0.4)-SeqYBᵢ₌₁₂=(1000; 0; 0)                 (16₆) ↔ (16₆)' 

SeqYBᵢ₌₁₂=(0.9; 0.3; 0.4)               (16₆)'

⁂

Puis nous écrivons encore que les éléments de la représentation (5)'' de SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1) correspondante à la représentation de la caractéristique des terminaisons segmentales dernières des éléments décimaux et non décimaux de SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) sont de deux types, soit, la terminaison dernière nulle caractérisée par la valeur de -1, et la terminaison segmentale dernière non nulle caractérisée par la valeur de 1. Et nous devons alors écrire encore la représentation de ces deux types en transformant (5)" de la manière suivante, en finissant par celle des terminaisons segmentales dernières non nulles:

SeqB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)          (9)''⇒ (10)

SeqB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)*SeqB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)                    (10) = (10)'

Seq(BB')ᵢ₌₁₅=(0*0; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 0*0; 0*0; 1*1; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 1*1; -1*-1; 1*1)     (10)'= (10)''

SeqBB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1)            (10)'' ⇒ (b₁)

SeqBB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1) + SeqB''ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)               (b₁) ↔ (b₂)

SeqBB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 2)        (b₂) ⇒ (b₃)

SeqBB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 2) * SeqYᵢ₌₁₅=(1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2)     (b₃) ↔ (b₃)'

SeqYᵢ₌₁₅=(0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 2*1/2; 0* 1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 2*1/2; 0*1/2; 2*1/2)      (b₃) ↔ (b₃)

SeqBB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1)               (b₃)'⇒ (b₄)

SeqBB'ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1) * SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15)                                  (b₄) ↔ (b₄)'

SeqBᵢ₌₁₅=(0.5*0; 0.7*0; 0.8*0; 0.9*0; 10*0; 12*0; 17*0; 19*1; 0.1*0; 0.2*0; 0.3*0; 11*0; 13*1; 0.4*0; 15*1)                                  (b₄)'

SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15)                                  (b₄)'⇒(b₅)

SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15) + SeqYᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)                                     (b₅) ↔ (b₅)'

SeqBᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15)  (b₅)' ⇒ (b₆)

Seq(YBᵢ₌₁₅; (1·0·0·0.0·0·0·0; 19·0·0·0·0·0; 13·0))ᵢ₌₄=SeqYBᵢ₌₄=(1·0·0·0·0·0·0·0; 19·0·0·0·0; 13·0; 15)                            (b₆) ↔ (b₆)' 

SeqYBᵢ₌₄=(10000000; 1900000; 130; 15)            (b₆)'⇒ (b₇)  

SeqYBᵢ₌₄=(10000000; 1900000; 130; 15) * SeqYBᵢ₌₄=(1/10000000; 1/100000; 1/10; 1)       (b₇) ↔ (b₇)'            

SeqYBᵢ₌₄=(10000000*1/10000000; 1900000*1/100000; 130*1/10; 15*1)       (b₇)' ↔ (b₇)''               

SeqYBᵢ₌₄=(1; 19; 13; 15)                                         (b₇)'' ⇒ (b₈)

Seq(YBᵢ₌₄; (1·19))ᵢ₌₃=SeqYBᵢ₌₃=(1·19; 13; 15)                     (b₈) ↔ (b₈) '

SeqYBᵢ₌₃=(119; 13; 15)                    (b₈) '⇒ (b₉)  

SeqYBᵢ₌₃=(119; 13; 15) * SeqYBᵢ₌₃=(19/119; 1; 1)            (b₉) ↔ (b₉)'

SeqYBᵢ₌₃=(119*19/119; 13; 15)         (b₉)' ↔ (b₉)''

SeqYBᵢ₌₃=(19; 13; 15)             (b₉)''