©2019 Cédric Christian Bernard Gagneux
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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © "Tous droits réservés" - 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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"Une fonction caractéristique, ou fonction indicatrice, notée 1A, (conventionnellement la notation anglo-saxonne pour la fonction caractéristique de F est ₁F) est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble F d’un ensemble E est une fonction :
1F: E→ {0,1}
x↦ 1 si x ∈ F
0 si x ∉ F", Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.
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"Les fonctions simples sont suffisamment « agréables » pour que leur utilisation facilite le raisonnement mathématique, la théorie et la preuve. Par exemple, les fonctions simples n’atteignent qu’un nombre fini de valeurs. Certains auteurs exigent également que des fonctions simples soient mesurables ; tel qu’ils sont utilisés dans la pratique, ils le sont invariablement. Un exemple de base d’une fonction simple est la fonction plancher sur l’intervalle semi-ouvert [1, 9[, dont les seules valeurs sont {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un exemple plus avancé est la fonction de Dirichlet sur la droite réelle, qui prend la valeur 1 si x est rationnel et 0 sinon. (Ainsi, le « simple » de « simple fonction » a un sens technique quelque peu en contradiction avec le langage courant.) Toutes les fonctions d’étape sont simples.
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"En théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par ℕ*. Une fonction arithmétique a est:
- complètement additif si a(mn) = a(m) + a(n) pour tous les entiers naturels m et n ;
- complètement multiplicatif si a(mn) = a(m)a(n) pour tous les entiers naturels m et n ;
Deux nombres entiers m et n sont dits premiers entre eux si leur plus grand commun diviseur est 1, c’est-à-dire s’il n’y a pas de nombre premier qui les divise tous les deux.
Alors une fonction arithmétique a est:
- additif si a(mn) = a(m) + a(n) pour tous les nombres naturels premiers entre eux m et n ;
- multiplicatif si a(mn) = a(m)a(n) pour tous les nombres naturels premiers entre eux m et n."
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Après avoir dans ce début d'introduction donné la définition de la fonction caractéristique ou indicatrice en général, et son application par extension à la fonction de partie entière inférieure et la fonction de partie entière supérieure, nous allons développer dans une première partie, en considérant d'abord dans un premier et deuxième titre l’utilisation particulière de la fonction indicatrice appliquée à la caractéristique de la propriété de la divisibilité d’une suite de nombres entiers, les formules sui generis de nouvelles fonctions essentielles à l’étude des suites de nombres catégorisées dans la rubrique intitulée « Séries». En effet en développant d'abord le processus de caractérisation de la propriété de la divisibilité des éléments d’une séquence de nombres par la fonction indicatrice, nous obtenons des outils mathématiques fondamentaux pour manipuler les éléments de toutes suites de nombres, que nous décrivons généralement suivant leurs effets sur les suites de nombres, comme des processus quasi physiques sur des symboles, soit, le déplacement d’un ou de plusieurs éléments d’une suite de nombres avant ou après un nombre de cette même suite, en référence à l’indice n ∈ N de ce nombre;
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- FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS BOOLÉENNES SÉQUENTIELLES
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- FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS ENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES
"En théorie des ensembles, une fonction est un objet f : X →Y qui assigne à chaque point x dans un domaine X précisément un point f(x) dans l’intervalle Y, d’où le principe fondamental de l’opération disponible sur une fonction qui est l’évaluation, x ↦ f(x). Cependant, ce n’est pas le cas nécessairement lorsque le concept de fonction est employé dans d’autres domaines mathématiques. En géométrie, par exemple, la propriété fondamentale d’une fonction n’est peut-être pas nécessairement la façon dont elle agit sur les points, mais plutôt la façon dont elle va de l’avant ou récupère des objets plus compliqués que des points comme par exemple, d’autres fonctions. De même, en analyse, une fonction n’a pas besoin d’être nécessairement définie par la façon dont elle agit sur les points, mais peut plutôt être définie par la façon dont elle agit sur d’autres objets, tels que des ensembles ou des fonctions de test."