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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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IX) LA FONCTION DE TERMINAISON CARACTÉRISTIQUE ASYMÉTRIQUE
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La fonction de terminaison caractéristique asymétrique notée Termpremasym1A(SeqS=0), Termpremasym1A(SeqS=1), Termdernasym1A(SeqS=0), Termpremasym1A(SeqS=1), correspond à la fonction caractéristique de n'importe quelle séquence de nombres de l'ensemble {0;1} notée SeqS, dont la représentation est de forme asymétrique, et dont sont caractérisées les valeurs particulières appartenant à SeqS de la première ou dernière valeur, simultanément ou non, et correspondant à un début ou à une fin de segment de valeurs successives uniformément égales à la même valeur de 1 ou de 0.
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Nous allons dans les 3 sous titres (9.1; 9.2 et 9.3) suivants, reprendre chacune des expressions respectivement des fonctions d'annulations caractéristique asymétrique simples et multiples développées précédemment (III et III'), et développer l'expression particulière de la fonction de terminaison caractéristique asymétrique correspondante à chacune d'entre elles, avant de développer une expression générale donc synthétique de cette fonction de terminaison caractéristique asymétrique applicable à toutes fonctions d'annulations caractéristique asymétrique simples et multiples
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9.1 L'expression particulière de la fonction de terminaison caractéristique asymétrique correspondante à la fonction d'annulation caractéristique asymétrique
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9.2 L'expression particulière de la fonction de terminaison caractéristique asymétrique correspondante à la fonction d'annulation caractéristique asymétrique double
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9.3 L'expression particulière de la fonction de terminaison caractéristique asymétrique correspondante à la fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple
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Dans l'expression que nous avons développée précédemment (III'; 3.3.b)) d'une fonction caractéristique équivalente à la fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple, nous avons considéré, soit, les variables a et b telles que a=b+1, avec a déterminant le rang de la première valeur non annulée; et b déterminant le nombre de valeurs non annulées de la séquence de nombres appartenant au sous ensemble {0;1} de l'ensemble des entiers naturels noté N, et dont l'expression de cette séquence fut définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
- 1A( ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) )=1, si ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)=0
- 1A(((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋))=0, si ((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)≠0.
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) (5), peut se définir comme suit:
Soit a=b+1 , ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋))=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6).
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Pour
1A: E→ {0,1}
- 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=1, si 0<(mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)<=b
- 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=0, si (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)>b ∨ (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)=0.
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)) (7), peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6). L'expression obtenue de cette nouvelle fonction caractérisée reste donc inchangée.
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La fonction de terminaison caractéristique asymétrique appliquée à cette fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple développée précédemment s'obtient encore comme précédemment (III'; 3.3.b)), en développant une formule générale de la fonction du rang n de l'indice de xₙ ∈ SeqA' définie précédemment, soit la fonction d'indice d'expression a(n)={(n, x)=xₙ)}, appliquée aux valeurs particulières de l'expression (6), qui sont exclusivement la dernière valeur nulle avant la prochaine valeur non nulle de la représentation de l'expression (6), et qui est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
- 1A((n, x)=xₙ)=1A(b/(mod(n-1,a)+1))=1, si b/(mod(n-1,a)+1)=1
- 1A((n, x)=xₙ)=1A(b/(mod(n-1,a)+1))=0 si b/(mod(n-1,a)+1)≠1 ,
Cette fonction caractéristique de la fonction d'indice a(n)={(n, x)=xₙ)}, caractérisant des valeurs d'indices particulière correspondant aux valeurs particulières des dernières valeurs nulles précédent toutes une valeurs non nulles de la fonction d'annulation caractéristique asymétrique triple d'expression (6), équivalente à la fonction caractéristique de la fonction caractérisée, a(n)=b/(mod(n-1,a)+1) (8), est plus simple que la généralisation correspondante trop rudimentaire, car composée d'expressions trop nombreuses des multiples formules des "fonctions caractéristiques de xₙ|n, yₙ|n, z|n,...𝛀|n, c'est-à-dire 1A(x|n), 1A(y|n), 1A(z|n),....1A(𝛀|n), avec 1A(x|n)=1, 1A(y|n)=1, 1A(z|n)=1,....1A(𝛀|n)=1 quand n/x=x/n=1, et n/y=y/n=1, et n/z=z/n=1.... n/𝛀=𝛀/n=1; ou sinon, 1A(x|n)=0, 1A(y|n)=0, 1A(z|n)=0,....1A(𝛀|n)=0 ", avec x=1, et y=x+1, z=y+1....et 𝛀=𝛀-₁+1. Son expression peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(b/(mod(n-1,a)+1))=Termasym1Av((⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉))=(1-⌈(|(b/(mod(n-1,a)+1)-1)|/(b/(mod(n-1,a)+1))⌉)) (9);
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Par exemple pour a=10 et b=9, cette fonction indicatrice d'expression (6) peut se définir comme suit:
Soit a=10 et b=9, ∀ n∈ N*: 1A( ((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋-(n+1)/10+(n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋)*((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-9),mod(-n, 10)+(10-9))/(2*((10-9)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6'); elle est représentée par la suite de nombres S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1.....), et nous observons la triple asymétrie courte de la forme de cette représentation avec une première série longue seulement de deux segments symétriques de valeur de 0 et de 1 de quantité égale à b=9 pour chacune des valeurs de 0 et 1, et constitutif de la première symétrie dite courte, suivit d'une série de valeur 0 équidistante de a=10 donc suivit d'une série de valeur 1 de quantité égale à b=9, et constitutive de la deuxième et troisième asymétrie.
Soit a=10 et b=9, ∀ n∈ N*: 1A(9/(mod(n-1,10)+1))=Termasym1Av((⌊mod(mod(n,-10)+(10-9),mod(-n, 10)+(10-9))/(2*((10-9)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉))=(1-⌈(|(9/(mod(n-1,10)+1)-1)|/(9/(mod(n-1,10)+1))⌉)) (9'); elle est représentée par la suite de nombres S'=(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0.....);
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Au-delà du cas particulier précédent des variables a=b+1 de l'expression de la fonction d'annulation caractéristique multiple, nous considérons encore comme précédemment (III'; 3.3.b)), le cas des variables a et b telles que a>b+1 et nous obtenons cette fois ci encore le rang de la première valeur non annulée égale à la valeur de la variable a, donc inversement le nombre de valeurs annulées dans un premier segment de valeur de la séquence représentant la fonction caractéristique égale à a-1, tandis que le nombre de valeurs annulées après le premier segment de valeur non annulée suivant ce premier segment de valeurs annulées au nombre de a-1, est maintenant égale à a-b, mais l'expression de la fonction caractérisée donnée précédemment comme étant a(n)=((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋-(n+1)/a+(n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋)*((n+1)/a-⌊((n+1)/a)⌋) (5) est maintenant changée, et la nouvelle expression de la fonction caractérisée qui remplace aussi la précédente pour le cas de a=b+1 est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
- 1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉)=1, si (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉<b ∨ (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉=a
- 1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉)=0, si b<=(mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉<a ∨ (mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉=0
Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultants de la fonction caractérisée dont l'expression est a(n)=(mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉ (10) supérieurs ou égaux à b ou strictement inférieurs à b, peut se définir comme suit:
Soit a>b+1, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, 1A((mod(n-1,a)+1)*⌈⌊n/a⌋/(⌊n/a⌋+1)⌉)=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6). La formule de l'expression de la fonction caractéristique restant donc inchangée.
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Prenons un nouvel exemple soit les valeurs des variables a=10 et b=7, en remplaçant dans l'expression de la fonction caractérisée on obtient a(n)=(mod(n-1, 10)+1)*⌈⌊n/10⌋/(⌊n/10⌋+1)⌉
(10'), représentée par la séquence Seq(mod(n-1, 10)+1)*⌈⌊n/10⌋/(⌊n/10⌋+1)⌉)=SeqB=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
10,1,2,3...);
Soit a=10 et b=7, ∀ n ∈ N*: 1A( ((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋-(n+1)/10+(n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋)*((n+1)/10-⌊((n+1)/10)⌋) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-7),mod(-n,10)+(10-7))/(2*((10-7)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6''); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1.....).
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Comme précédemment pour
1A: E→ {0,1}
- 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=1, si 0<(mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)<=b
- 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=0, si (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)>b ∨ (mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)=0.
Cette fonction caractéristique de la fonction a(n)=((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉)) (11), peut se définir comme suit:
Soit a=b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A((mod(n,a)+1)*(-⌈|(n/a-1)|⌉+⌈n/a⌉))=(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉) (6). L'expression obtenue de cette nouvelle fonction caractérisée reste donc inchangée.
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Mais dans les deux cas de l'expression de la nouvelle (11) et l'ancienne fonction caractérisée (10) résultant dans l'expression de la fonction caractéristique inchangée, (6), l'expression de la fonction de terminaison caractéristique asymétrique appliquée à cette fonction d'annulation caractéristique asymétrique à changée de même que sa notation puisque la valeur nulle est maintenant la première valeur nulle immédiatement après la valeur précédente non nulle, et se définie maintenant comme suit:
Soit a>b+1, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(b/(mod(n-1,a)+1))=Termasym1Ap(⌊mod(mod(n,-a)+(a-b),mod(-n, a)+(a-b))/(2*((a-b)))⌋+(1-⌈n/a-⌊n/a⌋⌉))*(⌈n/a⌉-⌈|(n/a-1|⌉))=((1-⌈(|(b/(mod(n-1,a)+1)-1)|/(b/(mod(n-1,a)+1))⌉))-⌈n/b⌉-⌈|n/(b+1)-1|⌉+⌈n/(b+1)⌉+⌈|n/b-1|⌉ (12)
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Prenons un nouvel exemple soit les valeurs des variables a=10 et b=7, en remplaçant dans l'expression de la fonction caractérisée on obtient a(n)=((mod(n,10)+1)*(-⌈|(n/10-1)|⌉+⌈n/10⌉)) (11'), représentée par la séquence Seq(((mod(n,10)+1)*(-⌈|(n/10-1)|⌉+⌈n/10⌉)))=SeqB=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3...);
Soit a=10 et b=7, ∀ n∈ N*: 1A( ((mod(n,10)+1)*(-⌈|(n/10-1)|⌉+⌈n/10⌉)) )=(⌊mod(mod(n,-10)+(10-7),mod(-n, 10)+(10-7))/(2*((10-7)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉) (6'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1.....).
De même que pour a=10 et b=7, l'expression correspondante de cette fonction de terminaison caractéristique asymétrique est définie comme suit:
Soit a=10 et b=7, ∀ n∈ N*: 1A(7/(mod(n-1,10)+1))=Termasym1Ap((⌊mod(mod(n,-10)+(10-7),mod(-n, 10)+(10-7))/(2*((10-7)))⌋+(1-⌈n/10-⌊n/10⌋⌉))*(⌈n/10⌉-⌈|(n/10-1|⌉)) (12'); elle est représentée comme précédemment par la même suite de nombres S'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0.....);
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∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ