12: 3'A II FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'ANNULATION SYMÉTRIQUE

  

Article de cette rubrique en cours de rédaction!

⁂

© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

⁂

⁂

Une forme symétrique (A) et une autre asymétrique (B) asymétrique: Qui n’est pas superposable à son image prise dans un miroir plan. Extrait de "Wiktionnaire", le dictionnaire libre.

⁂

II) LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'ANNULATION SYMÉTRIQUE

⁂

Précédemment si nous avons développé les fonctions d'annulation caractéristique simple, car  d'expression composée de plusieurs expressions d'annulation différente dans le cas d'annulation multiple, ou d'expression synthétisée en une seule expression équivalente, d'annulation de plusieurs éléments successifs ou non de n'importe quelle suite de nombres; et si cette fonction d'annulation caractéristique simple fut déterminée comme correspondant en général à la propriété de la relation de la divisibilité réciproque elle-même correspondante à l'expression d'une fonction caractéristique, car le plus efficacement utilisable en une fonction d'annulation d'un ou de plusieurs éléments de n'importe quelle suite de nombres, et la plus facilement distinguée de toutes les autres fonctions caractéristiques qui sont toujours assimilables à des fonctions d'annulation de n'importe quelle suite de nombres si au moins un des éléments appartenant à la suite de nombres de leur représentation de fonction caractéristique est 0, il s'agit maintenant de dépasser ce concept élémentaire "d'annulation caractéristique simple", car ne résultant que dans une petite quantité finie d'annulations pour développer le concept "d'annulation caractéristique symétrique" résultant dans une quantité infinie d'annulations régulières, soit une "fonction d'annulation caractéristique symétrique" résultant dans une annulation multiple définie comme une annulation régulièrement répétée dont l'expression est soit une composition d'expressions de fonction  correspondant à une composition de plusieurs fonctions d'annulation d'une seule valeur, soit une seule expression synthétique équivalente à cette composition d'expressions. La définition du terme de "symétrique" extrait de "Wiktionnaire", le dictionnaire libre, soit, "On peut en effet dire d’une chose qu’elle est symétrique si, après avoir été soumise à une certaine transformation (translation, rotation, réflexion dans un miroir…), son apparence n’est pas modifiée", ou plus simplement l'opposée de la définition d'asymétrique, soit, "Qui est superposable à son image prise dans un miroir plan", appliquée à l'annulation caractéristique, signifie une forme de la représentation de la suite des éléments correspondant à la fonction d'annulation symétrique par rapport à la forme de la représentation de la suite des éléments correspondant à la composition de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique simple, puisque toute fonction d'annulation caractéristique symétrique est le résultat de la composition de plusieurs fonctions d'annulation caractéristique simple. Mais dans ce nouveau processus d'annulation caractéristique symétrique la distinction essentielle des fonctions caractéristiques correspondant à une fonction d'annulation caractéristique, est réduite à la seule distinction que nous donnons dans une rubrique ultérieure, celle de la fonction de segmentation et de la fonction d'annulation, et qui se résume par la convention que j'adopte non pas arbitrairement, mais en la justifiant par un exemple trop long pour le reproduire ici, car spécifique au titre de la rubrique suivante de "la segmentation caractéristique", que la fonction d'annulation se distingue d'une fonction de segmentation par sa représentation dont les éléments appartiennent tous à la suite de nombres des valeurs de l'ensemble {0;1}, soit par son premier élément au minimum, comme étant de valeur égale à 0. 

⁂

2.1) De l'expression générale de la fonction  caractéristique d'annulation symétrique simple à multiple équivalente à l'expression de la fonction caractéristique de la fonction modulo 

⁂

Précédemment, au titre de la rubrique consacrée au développement de la fonction d'annulation caractéristique simple nous avons considéré qu'un nombre fini de variables de la fonction caractéristique de la propriété de la divisibilité réciproque résultant dans un petit nombre fini de valeurs annulées, maintenant nous considérons les fonctions caractéristiques non plus limitées à celles de la caractéristique de la propriété de divisibilité réciproque, mais celles qui résultent dans un petit nombre de valeurs annulées à l'infinie.

⁂

2.1.a) l'expression de la fonction caractéristique d'annulation symétrique équivalente à la fonction caractéristique de la fonction modulo des valeurs de la suite de l’ensemble des nombres entiers N

⁂

 Une telle fonction caractéristique que nous cherchons pour remplacer celles de la propriété de la divisibilité réciproque utilisée pour l'équivalence de leurs expressions avec celles des fonctions d'annulation caractéristique simple, peut être conceptuellement intuitivement définie par, soit une variable a ∈ N* déterminant à la fois le rang de la première valeur non annulée et simultanément déterminant le nombre de valeurs non annulées égal au nombre de valeurs annulées de n'importe quelle séquence de nombres, et correspond algébriquement à la fonction modulo en générale d'expression particulière, a(n)=mod(n-1,2*a)+1, dont la fonction caractéristique maintenant trouvée, est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(mod(n-1,2*a)+1)=1, si (mod(n-1,2*a)+1)>a

• 1A(mod(n-1,2*a)+1)=0, si b-a>=(mod(n-1,2*a)+1)<=a

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultants de la fonction caractérisée dont l'expression est a(n)=mod(n-1,2*a)+1 (13), soit des éléments appartenant à la suite de nombres définie par l'expression (13) qui sont strictement supérieurs à la valeur choisie de la variable a ∈ N* ou inférieurs ou égale à la valeur choisie de la variable a ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1,2*a)+1)=(1-1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2 (14).

⁂

Considérons l'exemple suivant de a=10, en remplaçant dans les deux expressions précédentes (13) et (14), par la valeur choisie de la variable a=10, nous obtenons la définition de la fonction caractéristique précédente appliquée à notre valeur de la variable a=10, comme suit:

Soit a=10, ∀ n∈ N*: 1A((mod(n-1, 2*10)+1))=(1-1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2 (14'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,.....); l'exemple de la fonction d'annulation de segment de SeqA noté Nullₐ(Sgmtval(SeqA)) équivalente donc à cette fonction caractéristique et illustrée par la représentation de cette SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199

1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,585, 742,1140,177,388,1091,1067…), est donc définie par soit xₙ ∈ SeqA multiplié par l'expression (14') et nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA Nullₐ₌₁₀(Sgmtval(SeqA))=xₙ*((1-1/10*(mod(n+10-1,2*10)-mod(n-1,2*10)))/2) représentée par la séquence notée SeqNullₐ₌₁₀(Sgmtval(SeqA)) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,57,138,250, 1217,499,16,804,0,0,0,0,0,0,0,...).

⁂

Nous avons développé précédemment au sous-titre 2.1.a) l'expression (14) de la fonction caractéristique dont la variable choisie a ∈ N*, détermine à la fois le rang de la première valeur non annulée et simultanément le nombre de valeurs non annulées égal au nombre de valeurs annulées de n'importe quelle séquence de nombres, donc nous allons considérer maintenant les expressions permettant de faire varier ces quantités réciproques de valeurs nulles et de valeurs non nulles égales à la valeur de 1. Soit a, la quantité de valeurs nulles et soit b<a, la quantité de valeur non nulle considéré donc sur le segment de valeurs dont la quantité de valeurs est donnée par la fonction Nbrennttl(Sgmnt(SeqA)) égale à a+b, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(mod(n-1,2*(a-b))+1)=1, si (mod(n-1, 2*(a-b))+1)> a

1A(mod(n-1, 2*(a-b))+1)=0, si (mod(n-1, 2*(a-b))+1)<=a

Soit a<b, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A((mod(n-1, 2*(a-b))+1))=1-((1+1/(a-b)*(mod(n+(a-b)-1,2*(a-b))-mod(n-1,2*(a-b))))/2) (21).

⁂

Considérons l'exemple suivant de la variable a=465 et b=458 et en remplaçant dans l'expression précédente (21), nous obtenons la définition de la fonction caractéristique précédente appliquée à nos valeurs comme suit:

Soit a=465 et b=458, ∀ n ∈ N*: ((mod(n-1, 2*(465-458))+1))=1-((1+1/(465-458)*(mod(n+(465-458)-1,2*(465-458))-mod(n-1,2*(465-458))))/2) (21'); et cette dernière expression de la fonction caractéristique est représentée par la suite de nombres de valeurs 0 et 1, S=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,.....); de même que précédemment la fonction d'annulation de segment de SeqA notée Null(Sgmtval(SeqA)) est aussi trivialement illustrée par l'exemple de la représentation de SeqA=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199

1244,1244,1244,57,138,250,1217,499,16,804,585,742,1140,177,388,1091,1067…), et soit xₙ∈ SeqA multiplié par l'expression (21') représentée par S, nous obtenons l'expression de la fonction d'annulation des valeurs de SeqA Null(Sgmtval(SeqA))=xₙ*(1-((1+1/(a-b)*(mod(n+(a-b)-1,2*(a-b))-mod(n-1,2*(a-b))))/2)) représentée par la séquence notée SeqNull(Sgmtval(SeqA)) ou SeqA'=(0,0,0,0,0,0,0,555,199,1244,1244,1244,57,138,0,0,0,0,0,0,0,1140,177,388,1091,1067….).

⁂

Donc nous allons maintenant développer le processus général permettant l’élaboration des types d’expression précédente ou la quantité de valeurs 0 et 1 est identique et le processus correspondant à une opération sur un ensemble de suite donc des expressions composées, telles qu’a(n)=(1-⌈n/(2*a)-⌊n/(2*a)⌋⌉); a(n)=(1-⌈(n+1)/(2*a)-⌊(n+1)/(2*a)⌋⌉); a(n)=(1-⌈(n+2)/(2*a)-⌊(n+2)/(2*a)⌋⌉); a(n)=(1-⌈(n+3)/(2*a)-⌊(n+3)/(2*a)⌋⌉); a(n)=(1-⌈(n+4)/(2*a)-⌊(n+4)/(2*a)⌋⌉), soit l’expression composée suivante de a(n)=(1-⌈n/(2*a)-⌊n/(2*a)⌋⌉)-(1-⌈(n+1)/(2*a)-⌊(n+1)/(2*a)⌋⌉)-(1-⌈(n+2)/(2*a)-⌊(n+2)/(2*a)⌋⌉)-(1-⌈(n+3)/(2*a)-⌊(n+3)/(2*a)⌋⌉)-(1-⌈(n+4)/(2*a)-⌊(n+4)/(2*a)⌋⌉) (22) représentée par une séquence de valeurs successives de 0 et de 1, dont le premier segment est de valeurs nulles dont la quantité est égale à la variable a ; ou 1-((1-⌈n/(2*a)-⌊n/(2*a)⌋⌉)-(1-⌈(n+1)/(2*a)-⌊(n+1)/(2*a)⌋⌉)-(1-⌈(n+2)/(2*a)-⌊(n+2)/(2*a)⌋⌉)-(1-⌈(n+3)/(2*a)-⌊(n+3)/(2*a)⌋⌉)-(1-⌈(n+4)/(2*a)-⌊(n+4)/(2*a)⌋⌉)) (22’) représentée par une séquence de valeurs successives de 0 et de 1, dont le premier segment est de valeurs non nulles égales à la valeur 1, dont la quantité est égale à la variable a.

⁂

En prenant l’exemple de la variable a=5, nous obtenons la représentation correspondante respective pour chacune d’entre elles comme suit, soit pour la première expression, a(n)=(1-⌈n/(2*5)-⌊n/(2*5)⌋⌉), représentée par la séquence S=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,….); soit pour la deuxième expression a(n)=(1-⌈(n+1)/(2*5)-⌊(n+1)/(2*5)⌋⌉) ; S=(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,….); soit pour la troisième expression a(n)=(1-⌈(n+2)/(2*5)-⌊(n+2)/(2*5)⌋⌉) représenté par la séquence S=(0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,….); soit pour la quatrième expression a(n)=(1-⌈(n+3)/(2*5)-⌊(n+3)/(2*5)⌋⌉), S=(0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,….) ; soit pour la cinquième expression a(n)=(1-⌈(n+4)/(2*5)-⌊(n+4)/(2*5)⌋⌉), S=(0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,….) et l’addition de ces 5 expressions est a(n)=(1-⌈n/(2*5)-⌊n/(2*5)⌋⌉)-(1-⌈(n+1)/(2*5)-⌊(n+1)/(2*5)⌋⌉)-(1-⌈(n+2)/(2*5)-⌊(n+2)/(2*5)⌋⌉)-(1-⌈(n+3)/(2*5)-⌊(n+3)/(2*5)⌋⌉)-(1-⌈(n+4)/(2*5)-⌊(n+4)/(2*5)⌋⌉) représentée par une séquence de valeurs successives de 0 et de 1, dont le premier segment est de valeurs nulles dont la quantité est égale à la variable a=5, soit S=(0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1….); ou 1-((1-⌈n/(2*5)-⌊n/(2*5)⌋⌉)-(1-⌈(n+1)/(2*5)-⌊(n+1)/(2*5)⌋⌉)-(1-⌈(n+2)/(2*5)-⌊(n+2)/(2*5)⌋⌉)-(1-⌈(n+3)/(2*5)-⌊(n+3)/(2*5)⌋⌉)-(1-⌈(n+4)/(2*5)-⌊(n+4)/(2*5)⌋⌉)) représentée par une séquence de valeurs successives de 0 et de 1, dont le premier segment est de valeurs non nulles égales à la valeur 1, dont la quantité est égale à la variable a=5, soit S=(1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,….). Donc pour éviter ce processus rudimentaire d’addition successive des fonctions qui ne sont autres que les fonctions des multiples de la valeur respectivement de n*2*a, avec n ∈ N*, et de n*2*a+a-1, n*2*a+a-2, n*2*a+a-3, n*2*a+a-4, avec n ∈ N, nous utiliserons l’expression égale à mod(-n, a) résulte dans les valeurs n∈ N telle que, 0<n<a-1, la fonction de rang d’ordre décroissant et répétitif des valeurs de ces deux dernières suites de valeurs 0 et 1, donc compris entre 0 et a-1, dans l’expression générale 1-(1-⌈(n+mod(-n, a))/(2*a)-⌊(n+mod(-n, a))/(2*a)⌋⌉) (23’) correspond et simplifie l’expression (1-⌈(n+mod(-n, a))/(2*a)-⌊(n+mod(-n, a))/(2*a)⌋⌉) (23).

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ