46: 4'A XV FONCTION SIMPLE DE TRI

 ©2019 Cédric Christian Bernard Gagneux

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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© "Tous droits réservés" - 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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"Un algorithme de tri est, en informatique ou en mathématiques, un algorithme qui permet d'organiser une collection d'objets selon une relation d'ordre déterminée. Les objets à trier sont des éléments d'un ensemble muni d'un ordre total. On distingue les algorithmes procédant par comparaisons successives entre éléments, dits « tris par comparaisons », des algorithmes plus spécialisés faisant des hypothèses restrictives sur la structure des données à trier (par exemple, le tri par comptage, applicable uniquement si les données sont prises dans un ensemble borné connu à l'avance). Les algorithmes de tri par comparaison lisent les entrées uniquement au moyen d'une fonction de comparaison binaire ou ternaire (lorsque le cas d'égalité est traité différemment). Il existe encore différents principes de fonctionnement au sein de cette classe : certains algorithmes de tri par comparaison procèdent par insertions successives, d'autres par fusions, d'autres encore par sélection. En l'absence de précisions, on entend habituellement par « algorithme de tri » un algorithme de tri procédant par comparaisons.". Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre.

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XV) LA FONCTION DE TRI* DE L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES

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Nous continuons donc notre démarche précédente en élaborant les expressions généralisées des fonctions caractéristiques ou indicatrices particulières d’une suite de valeurs appartenant à l’ensemble des nombres entiers de Z ou appartenant à l’ensemble des nombres réels, appliquées à la fonction TRI, (*à ne pas confondre avec la fonction triangulaire qui est notéee différement tri(x)) et nous commencerons par la fonction N°1, notée TRI₁(SeqA) dont l'indice correspond à la rubrique de sa catégorisation soit le tri intervalle de données d'une suite de nombres de la SeqA.

5.1) TRI₁(SeqA) ou le tri des éléments appartenant ou non à un intervalle donné de la suite de nombres notée SeqA

5.1.a) La fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble N appartenant au sous-ensemble de E correspondant à l’intervalle I=]a; a+b] bornant une partie de E ou tout E

Considérant que les limites supérieures et inférieures d’une suite de valeurs dans n’importe quel ensemble ordonné correspondent à la relation d’ordre d’une suite de valeurs dans l’ensemble où toute partie partiellement ordonnée, dont la borne supérieure, le supremum, est le plus petit de ses majorants; et la borne inférieure, l’infimum, est le plus grand de ses minorants; soit les nombres constantes a> b, appartenant à l’ensemble N des nombres entiers et appartenant ou non à la suite de nombre entiers naturels E={xₙ}, la fonction caractéristique des valeurs xₙ de E appartenant à l’intervalle semi-ouvert I=]a; a+b] sous-ensemble de E et correspondant aux nombres de xₙ tel que a<xₙ<=a+b, est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(xₙ ∈ I=]a; a+b])=1, si a<xₙ<=a+b;

et 1A(xₙ ∈ I=]a; a+b])=0, si xₙ<a ou xₙ>a+b

Cette fonction indicatrice ou caractéristique de l’appartenance des valeurs xₙ de E au sous-ensemble I de E correspondant à l’intervalle semi-ouvert I=]a; a+b] avec a, b and a+b appartenant ou non à l’ensemble E, a pour expression:

∀ a ∧ b ∈ N, ∀ xₙ ∈ E: 1A(xₙ ∈ I=] a; a+b])=1-(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))) (13).

Si l’on multiplie par xₙ cette expression précédente qui est l’équation d’une suite d’éléments de valeur 0 et 1 exclusivement, on obtient les valeurs correspondantes xₙ ∈ E de la fonction indicatrice ou caractéristique de l’appartenance des valeurs xₙ au sous-ensemble I de E correspondant à l’intervalle semi-ouvert I=] a; a+b] avec a, b and a+b appartenant ou non à l’ensemble E, et qui peuvent être ordonnée soit par ordre croissant, par le résultat de la fonction de rang est la fonction de rang mesurant la distance de toute valeur xₙ appartenant à un sous-ensemble I, soit dans un intervalle d’un ensemble E, donc mesurant la distance des éléments xₙ ∈ I ∈ E, par rapport à une valeur z₀ ∈ I ∉ E, donnant ainsi la propriété des éléments de cette première fonction particulière de rang, soit: ₁rangₙ(xₙ)+z₀=xₙ. (14).

Donc pour (1A(xₙ ∈ I))*xₙ on obtient l’expression de ₁rangₙ(xₙ), soit:

∀ a ∧b ∈ N, ∀ xₙ ∈ E: ₁rangₙ ((1A(xₙ ∈ I)*xₙ)=(1-(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))))*((((1-(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))))*(xₙ-a)+(1-((⌈|xₙ/(a+b+1)-1|⌉-⌈xₙ/(a+b+1)⌉+1)))))) (15).

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Une deuxième fonction de rang, permettant d’ordonner par ordre décroissant toute valeur xₙ ∈ I ∈ E mesure la distance de chaque élément de xₙ ∈ I ∈ E par rapport au montant de la somme total des valeurs de la fonction caractéristique, 1A(xₙ ∈ I), soit, ∑n=1→n=∞: 1A(xₙ ∈ I), donnant ainsi la propriété des éléments de cette deuxième fonction particulière de rang, soit, ₂rangₙ(xₙ)=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ ∈ I))-(∑n→n+1: 1A(xₙ ∈ I)) +1 (16).

Donc pour (1A(xₙ ∈ I))*xₙ on obtient l’expression de ₂rangₙ(xₙ):

∀ a ∧ b ∈ N, ∀ xₙ ∈ E: ₂rangₙ ((1A(xₙ ∈ I)*xₙ)=((1-(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))))*(somme(1A(xₙ∈I)ₙ+..1A(xₙ∈I)n=∞+1)-(∑(i=1)→(i=∞):[1 -(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1))))]-((1-(((⌈(|(xₙ₊₁/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ₊₁/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ₊₁/(a+1+b)⌉+1)))))))*(1-(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1))))) (17).

Considérons maintenant l’exemple numérique suivant illustrant ces 3 fonctions précédentes de la suite de nombres xₙ ∈ E=(511,177,174,16,152,1228,959,60,15,199,1244,10,1244,17,1244,12,1244,

1244,57,138,250,11,499,168,804,583,742,1140); et soit a=10, b=7, alors on obtient en remplaçant les valeurs des variables correspondantes dans les trois équations précédentes:

• l’expression de la fonction 1A(xₙ ∈ I=[7;10+7[)=1-(((⌈(|(xₙ/(10 +1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10 +1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(10 +1 +7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10 +1 +7)⌉+1)))) représentée par la suite de nombres entiers (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (13')

• l’expression de la fonction ₁rangₙ((1A(xₙ ∈ I)*xₙ)=(1-(((⌈(|(xₙ/(10 +1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10 +1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(10 +1 +7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1)))))*( (((1-(((⌈(|(xₙ/(10 +1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10 +1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(10 +1 +7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1)))))*(xₙ -10)+(1-((⌈|xₙ/(10 +7 +1)-1|⌉-⌈xₙ/(10 +7 +1)⌉+1)))))) représentée par la suite de nombres entiers (0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 7, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (15')

• l’expression de la fonction ₂rangₙ((1A(xₙ ∈ I)*xₙ)=((1-(((⌈(|(xₙ/(10 +1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10 +1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(10+1+y)-1|)⌉-⌈(Eₙ/(10+1+7)⌉+1)))))*(somme (1A(xₙ ∈ I)ₙ+… 1A(xₙ∈ I) n=∞ +1)-(∑(i=1)→(i=∞):[1 -(((⌈(|(xₙ/(10 +1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10 +1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(10+1+7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1))))] -((1 -(((⌈(|(xₙ₊₁/(10 +1)-1|)⌉-⌈(xₙ₊₁/(10 +1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ₊₁/(10+1+y)-1|)⌉-⌈(xₙ₊₁/(10+1+7)⌉+1)))))))*(1 -(((⌈(|(xₙ/(10 +1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10 +1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(10 +1 +7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1))))) représentée par la suite de nombres entiers (0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0). (17')

Il faut remarquer que l’intervalle semi-ouvert I=]a; a+b] bornant une partie de E ou tout E se modifie en intervalle semi-ouvert inverse en considérant I=]a-1;a-1+b] ⇔ I=[a; a+b[;

5.1.b) La fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble Z appartenant au sous-ensemble de E correspondant à l’intervalle I=[b; a[ bornant une partie de E ou tout E

Pour préserver l’intégrité de l’expression de la fonction caractéristique précédemment écrite comme strictement limitée au nombre entier naturel, soit les nombres entiers positifs, dans ce nouveau cas ou certain nombre de la suite de nombres de l’ensemble E sont des nombres négatifs, il est nécessaire d’utiliser l’expression de la fonction indicatrice ou caractéristique des valeurs xₙ ∈ E, strictement supérieurs à zéro et définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(xₙ>0)=1, si xₙ>0;

et 1A(xₙ>0)=0, si xₙ<=0

Cette fonction indicatrice ou caractéristique de l’appartenance des valeurs xₙ de E au sous-ensemble A de E tel que A=(xₙ>0), a pour expression:

∀ xₙ ∈ E: 1A(xₙ>0)=(1 -(⌈((xₙ/(|xₙ|+1) -⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋)⌉-⌈((xₙ/(|xₙ|+1) -⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋)⌉) (18),

Cette dernière expression donc que l’on multipliera par l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice précédente, soit, reprenant la définition précédente, soit les nombres variables x,> y, appartenant à l’ensemble N des nombres entiers et appartenant ou non au sous-ensemble E' de E des nombres entiers naturels, soit E'={xₙ>0} ∈ E l’ensemble de la suite les nombres entiers naturels ou entiers relatifs E={xₙ}, la fonction caractéristique des valeurs xₙ de E appartenant à l’intervalle semi-ouvert I=]a; a+b] sous ensemble de E et correspondant aux nombres de xₙ tel que a<xₙ<=a+b, est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(Eₙ ∈ I=[a; a+b[)=1, si a<xₙ<=a+b;

et 1A(xₙ ∈ I=[a; a+b[ )=0, si xₙ<x ou xₙ>a+b

Cette fonction indicatrice ou caractéristique de l’appartenance des valeurs Eₙ de E au sous-ensemble I de E correspondant à l’intervalle semi-ouvert I=]a; a+b] et dont l’expression est:

∀ a∈ N, ∀ b ∈ N, ∀ xₙ ∈ N v Z: 1A(xₙ ∈ I=]a; a+b])=(1-(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))))*(1-(⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋)⌉-⌈((xₙ/(|xₙ|+1) -⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋)⌉) (19).

Comme précédemment, si l’on multiplie par xₙ cette nouvelle expression qui est l’équation d’une suite d’éléments de valeur 0 et 1 exclusivement, par l’expression de la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs, on obtient les valeurs correspondantes xₙ de E de la fonction indicatrice ou caractéristique de l’appartenance des valeurs xₙ de E au sous-ensemble I de E correspondant à l’intervalle semi-ouvert I=]a; a+b] avec a, b et a+b appartenant ou non à l’ensemble E, et qui peuvent être ordonnée par les deux fonctions de rang dont on obtient respectivement les deux nouvelles expressions correspondantes suivantes:

• ∀ a ∈ N, ∀ b ∈ N: ₁rangₙ ((1A(xₙ ∈ I)*xₙ)=(1 -(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))))*( (((1 -(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))))*(xₙ-a)+(1 -((⌈|xₙ/(a+b+1)-1|⌉-⌈xₙ/(a+b+1)⌉+1))))))*(1 -(⌈((xₙ/(|xₙ|+1) -⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋)⌉-⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋)⌉) (20).

• ∀ x ∈N, ∀ y ∈ N, ∀ xₙ ∈ N v Z: ₂rangₙ((1A(xₙ ∈ I)*xₙ)=((1 -(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1 -((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))))*(somme (1A (xₙ ∈ I ; xₙ ∉ I)ₙ+… ₁A (xₙ ∈ I ; xₙ ∉ I) n=∞ +1)-(∑(i=1)→(i=∞):[1-(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1))))]-((1-(((⌈(|(xₙ₊₁/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ₊₁/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ₊₁/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ₊₁/(a+1+b)⌉+1)))))))*(1-(((⌈(|(xₙ/(a+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(a+1+b)-1|)⌉-⌈(xₙ/(a+1+b)⌉+1)))))*(1-(⌈((xₙ/(|xₙ|+1) -⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋)⌉-⌈((xₙ/(|xₙ|+1) -⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋)⌉) (21).

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Considérons maintenant l’exemple numérique suivant illustrant ces 3 fonctions précédentes de la suite de nombres xₙ ∈ E=(511,177,174,-16,-152, 1228,959,-14,15,0,12,44,10,1244,17,1244,12,

1244,1244,57,138,250,11,499,168,804,583,742,1140); et soit a=10, b=7, alors on obtient en remplaçant les valeurs des variables correspondantes dans les trois équations précédentes:

• l’expression de la fonction 1A(xₙ ∈ I=[7;10+7[)=1-(((⌈(|(xₙ/(10+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(10+1+7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1))))*(1-(⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋)⌉-⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋)⌉)*(1-(⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋)⌉-⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋)⌉), représentée par la suite de nombres entiers (0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0) (19')

• l’expression de la fonction ₁rangₙ((1A(xₙ ∈ I)*xₙ)=(1-(((⌈(|(xₙ/(10+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(10+1+7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1)))))*( (((1-(((⌈(|(xₙ/(10+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(10+1+7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1)))))*(xₙ -10)+(1-((⌈|xₙ/(10+7+1)-1|⌉-⌈xₙ/(10+7+1)⌉+1))))))*(1-(⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋)⌉-⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋)⌉) représentée par la suite de nombres entiers (0,0,0,0,0,0,0,0,5,0,0,0,0,7,0,2,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0) (20')

• l’expression de la fonction ₂rangₙ((1A(xₙ ∈ I)*xₙ)=((1-(((⌈(|(xₙ/(10+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(10+1+7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+y7⌉+1)))))*(somme(₁A(xₙ ∈ I)ₙ+… ₁A(xₙ ∈ Iₙ) n=∞ +1)-(∑(i=1)→(i=∞):[1-(((⌈(|(xₙ/(10+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(10+1+7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1))))]-((1-(((⌈(|(xₙ₊₁/(10+1)-1|)⌉-⌈(xₙ₊₁/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ₊₁/(10+1+7)-1|)⌉-⌈(xₙ₊₁/(10+1+7)⌉+1)))))))*(1-(((⌈(|(xₙ/(10+1)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈(|(xₙ/(10+1+7)-1|)⌉-⌈(xₙ/(10+1+7)⌉+1)))))*(1-(⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋)⌉-⌈((xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋)⌉) représentée par la suite de nombres entiers (0,0,0,0,0,0,0,0,4,0,0,0,0,3,0,2,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0). (21')

5.2) Les fonctions caractéristiques ou indicatrices des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble Z, et valeurs inférieures, supérieures ou égales à 0, qui sont des fonctions équivalentes à la fonction TRI₂(SeqA>a) ou TRI₂(SeqA<a)

5.2.a) La fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble Z appartenant au sous-ensemble de E correspondant à l’intervalle I=[xₙ;b=a], ou I=[xₙ; b=a[ bornant une partie de E ou tout E

Considérons maintenant le premier cas où la borne supérieure et la borne inférieure de cet intervalle I sont égales à une seule valeur, soit I=[a=b[ correspondant donc à la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs de E supérieures ou inférieures à a=b>0, avec les deux variables fixes a ∧ b ∈ N, et suivant les cas possibles de fermeture ou ouverture gauche ou droite, soit les valeurs supérieures ou inférieures de E incluant ou non la valeur a=b>0, et dont les expressions correspondantes sont, soit:

• pour la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs xₙ ∈ E supérieures ou égale à a=b>0, qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(xₙ ∈ I=[a=b; xₙ])=1, si xₙ>=a;

et 1A(xₙ ∈ I=[a=b; xₙ] )=0, si xₙ<a,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ a=b ∈ N, ∀ xₙ ∈ E: 1A( xₙ ∈ I=[a=b; xₙ] )=1A(xₙ>=a)=⌈|(⌈|xₙ-a|/(xₙ-a+2-⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉+1/2-⌈|xₙ-a|/(|xₙ|+a+1)⌉/2)|/((|(⌈|xₙ-a|/(xₙ-a+2-⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-a+1)|/(|xₙ|+a)⌉+1/2-⌈|xₙ-a)|/(|xₙ|+a+1)⌉/2)|+1)⌉ (22)

• pour la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs Eₙ ∈ E strictement inférieures à x=y>0, qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(xₙ ∈ I=[xₙ; a=b[)=1, si xₙ<a;

et 1A(xₙ ∈ I=[xₙ;a=b[)=0, si xₙ>=a,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ a=b ∈ N, ∀ xₙ ∈ E: 1A(xₙ ∈ I=[ xₙ; a=b [)=1A(xₙ<a)=1-(⌈|(⌈|xₙ-a|/(xₙ-a+2-⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|aₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉+1/2-⌈|xₙ-a|/(|xₙ|+a+1)⌉/2)|/((|(⌈|xₙ-a|/(xₙ-a+2-⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-a+1)|/(|xₙ|+a)⌉+1/2-⌈|xₙ-a)|/(|xₙ|+a+1)⌉/2)|+1)⌉) (23)

• pour la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs xₙ ∈ E strictement supérieures à a=b>0, qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(xₙ ∈ I=] a=b; xₙ ])=1, si xₙ>a;

et 1A(xₙ ∈ I=]a=b; xₙ] )=0, si xₙ=<a,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ a=b ∈ N, ∀ xₙ ∈ E: 1A(( xₙ ∈ I=]a=b; xₙ]))=1A(xₙ>a)=⌈|(⌈|xₙ-a|/(xₙ-a+2-⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉-1/2+⌈|xₙ-a|/(|xₙ|+a+1)⌉/2)|/((|(⌈|xₙ-a|/(xₙ-a+2-⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-a+1)|/(|xₙ|+a)⌉-1/2+⌈|xₙ-a)|/(|xₙ|+a+1)⌉/2)|+1)⌉ (24)

• pour la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs xₙ ∈ E inférieures ou égales à a=b>0, qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(xₙ ∈ I=[xₙ; a=b])=1, si xₙ<=a;

et 1A(xₙ ∈ I=[xₙ; a=b])=0, si xₙ>a,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ a=b ∈ N, ∀ xₙ ∈ E: 1A((xₙ ∈ I=[xₙ; a=b]))=1A(xₙ<a)=1-⌈|(⌈|xₙ-a|/(xₙ-a+2-⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉-1/2+⌈|xₙ-a|/(|xₙ|+a+1)⌉/2)|/((|(⌈|xₙ-a|/(xₙ-a+2-⌈|xₙ-a+1|/(|xₙ|+a)⌉|⌉+1)/2-1+⌈|xₙ-a+1)|/(|xₙ|+a)⌉-1/2+⌈|xₙ-a)|/(|xₙ|+a+1)⌉/2)|+1)⌉ (25)

5.2.b) Les fonctions caractéristiques ou indicatrices des valeurs particulières d’une suite E de nombres de l’ensemble Z, et valeurs inférieures, supérieures ou égales à 0, qui sont des fonctions équivalentes à la fonction TRI₂(SeqA>=a) ou TRI₂(SeqA<=a)

Considérons maintenant le deuxième cas où la borne supérieure et la borne inférieure de cet intervalle I sont égales à une seule valeur, soit I=[a=b [ correspondant donc à la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs de E supérieures ou inférieures à a=b<0, donc a=b ∈ Z, et suivant les cas possibles de fermeture ou ouverture gauche ou droite, soit les valeurs supérieures ou inférieures de E incluant ou non la valeur a=b<0, et dont les expressions correspondantes sont, soit:

• pour la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs xₙ ∈ E strictement supérieures à a=b<0, qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(xₙ ∈ I=]a=b; xₙ])=1, si xₙ>a;

et 1A(xₙ ∈ I=]a=b; xₙ] )=0, si xₙ=<a,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ a=b ∈ Z, ∀ xₙ ∈ E: 1A(xₙ ∈ I=]a=b; xₙ] )=1A(xₙ>a)=⌈|(⌈|(xₙ-a)|/(xₙ-a+2-⌈|(xₙ-(a-1))|/(|xₙ|+(a-1)+2-⌈|(xₙ-a)|/(|xₙ|-a+1)⌉+1-⌈|(xₙ-|(a)|)/(|xₙ|+|a|+1)⌉)⌉)⌉+1)/2-1+⌈|(xₙ-(a-1))/(|xₙ|+(a-1)+2-⌈|(xₙ-a)/(|xₙ|-a+1)⌉+1-⌈|(xₙ-|a|)/(|xₙ|+|a|+1)⌉)⌉-1/2+⌈|(xₙ-a)/(|xₙ|+a+1)⌉/2)/((|((⌈|(xₙ-a)/(xₙ-x+2-⌈|(xₙ-(a-1))/(|xₙ|+(a-1)+2-⌈|(xₙ-a)/(|xₙ|-a+1)⌉+1-⌈|(xₙ-|a|)/(|xₙ|+|a|+1)⌉)⌉)⌉+1)/2-1+⌈|(xₙ-(a-1))/(|xₙ|+(a-1)+2-⌈|(xₙ-a)/(|xₙ|-a+1)⌉+1-⌈|(xₙ-|(a)|)/(|xₙ|+|a|+1)⌉)⌉-1/2+⌈|(xₙ-a)|/(|xₙ|+a+1))/2|)⌉+1)⌉ (26)

• pour la fonction caractéristique ou indicatrice des valeurs xₙ ∈ E inférieures ou égale à a=b<0, qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(xₙ ∈ I=[xₙ;a=b] )=1, si xₙ<=a;

et 1A(xₙ ∈ I=[xₙ; a=b])=0, si xₙ>a,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ a=b ∈ Z, ∀ xₙ ∈ E: 1A(xₙ ∈ I=[xₙ; a=b] )=1A(xₙ<=a)=1-(⌈|(⌈|(xₙ-a)|/(xₙ-a+2-⌈|(xₙ-(a-1))|/(|xₙ|+(a-1)+2-⌈|(xₙ-a)|/(|xₙ|-a+1)⌉+1-⌈|(xₙ-|(a)|)/(|xₙ|+|a|+1)⌉)⌉)⌉+1)/2-1+⌈|(xₙ-(a-1))/(|xₙ|+(a-1)+2-⌈|(xₙ-a)/(|xₙ|-a+1)⌉+1-⌈|(xₙ-|a|)/(|xₙ|+|a|+1)⌉)⌉-1/2+⌈|(xₙ-a)/(|xₙ|+a+1)⌉/2)/((|((⌈|(xₙ-a)/(xₙ-a+2-⌈|(xₙ-(a-1))/(|xₙ|+(a-1)+2-⌈|(xₙ-a)/(|xₙ|-a+1)⌉+1-⌈|(xₙ-|a|)/(|xₙ|+|a|+1)⌉)⌉)⌉+1)/2-1+⌈|(xₙ-(a-1))/(|xₙ|+(a-1)+2-⌈|(xₙ-a)/(|xₙ|-a+1)⌉+1-⌈|(xₙ-|(a)|)/(|xₙ|+|a|+1)⌉)⌉-1/2+⌈|(xₙ-a)|/(|xₙ|+a+1))/2|)⌉+1)⌉) (27)

∴

XV') LES FONCTION DE TRI DE L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES

∴

« Pour tout nombre réel {x}, la valeur absolue de x (notée |x|) est définie par parfois appelée module, c'est-à-dire mesure d'un nombre réel qui est sa valeur numérique sans tenir compte de son signe. On peut la comprendre comme sa distance de zéro ; ou comme sa valeur quantitative, à laquelle le signe ajoute une idée de polarité ou de sens, comme le sens d'un vecteur» Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

« La fonction signe, ou signum en latin, souvent représentée sgn dans les expressions, est une fonction mathématique qui extrait le signe d’un nombre réel, c’est-à-dire que l’image d’un nombre par cette application est 1 si le nombre est strictement positif, 0 si le nombre est nul, et -1 si le nombre est strictement négatif :

∀ x∈ R,

sgn(x)=−1 si x<0

sgn(x)=−0 si x=0

sgn(x)=−1 si x>0 » Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre.

∴

5.3) Les fonctions caractéristiques ou indicatrices des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble R, et valeurs inférieures, supérieures ou égales à 0, qui sont des fonctions équivalentes à la fonction signe elle-même équivalente à la fonction Tri₃(SeqA)

∴

Considérons que la fonction indicatrice ou caractéristique fondamentale est la fonction indicatrice ou caractéristique de {xₙ≠0} de n’importe quelle suite E de nombres xₙ ∈ E, mais cette fois-ci appartenant à R (un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales) et définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A({xₙ≠0})=0, si xₙ=0;

et 1A({xₙ≠0})=1, si xₙ≠0,

et dont l’expression élémentaire de cette fonction caractéristique ou indicatrice fondamentale est:

∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ E: 1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉, (28),

il faut alors considérer l’expression équivalente particulière de cette expression précédente
soit: ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ E: 1A( {xₙ≠ 0} )=⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋⌉ (29), pour pouvoir en déduire par extension d’expression, premièrement la fonction indicatrice ou caractéristique des valeurs de {xₙ>0} définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A({xₙ>0} )=1, si xₙ>0;

et 1A({xₙ>0} )=0, si xₙ<0,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ E: 1A({xₙ>0})=⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉, (30);

et pouvoir en déduire deuxièmement la fonction indicatrice ou caractéristique des valeurs de {xₙ<0} définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A({xₙ<0})=1, si xₙ<0;

et 1A({xₙ<0})=0, si xₙ>0,

et dont l’expression élémentaire de cette fonction caractéristique ou indicatrice est:

∀ xₙ ∈ R, ∀ Eₙ ∈ E: 1A({xₙ<0} )=⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋⌉-⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉, (31)

et pouvoir en déduire troisièmement l’expression de la fonction signe soit:

∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ E: sgn(xₙ)=2*(⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉)-⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋⌉, (32).

∴

5.4) Les fonctions caractéristiques ou indicatrices des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble R qui sont des fonctions équivalentes à la fonction Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0)

∴

Cette fonction de tri est en apparence très simple seulement parce qu'elle est élémentaire à savoir elle nous permet de trier les valeurs décimales et non décimales des éléments d'une suite de nombres appartenant à l'ensemble de nombres noté S={SeqA} dont la fonction caractéristique ou indicatrice de l'appartenance ou non des éléments Dₙ∈{SeqA} au sous-ensemble {D}des valeurs Sₙ∈{SeqA} qui ont une valeur décimale est définie comme suit:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋>0;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0)=⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)+1)⌉ (33).

∴

Comme je l'écrivais donc cette formule relativement simple se complique dès que l'on souhaite affiner notre action de triage des valeurs décimales un peu plus précisément, car si nous considérons séparer les valeurs positives et négatives des valeurs ayant une partie décimale de la suite de nombres SeqA, l'on obtient donc pour les valeurs positives ayant une partie décimale des éléments de la suite de nombres SeqA, la nouvelle définition suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋>0 et xₙ>0;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0 ou xₙ<0

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0 et SeqA>0)=⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)+1)⌉-⌈|((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋-xₙ+⌊xₙ⌋)/(((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋-xₙ+⌊xₙ⌋)+1)|⌉ (34)

Tandis que pour les valeurs négatives ayant une partie décimale des éléments de la suite de nombres SeqA, on obtient la nouvelle définition suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋>0 et xₙ<0;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0 ou xₙ>0

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0 et SeqA<0)=⌈|((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋-xₙ+⌊xₙ⌋)/(((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋-xₙ+⌊xₙ⌋)+1)|⌉ (35)

∴

Comme je l'écris toujours ces formules se compliquent encore plus dès que l'on souhaite affiner notre action de triage des valeurs décimales un peu plus précisément, car si nous considérons séparer les valeurs positives et négatives des valeurs n'ayant pas une partie décimale de la suite de nombres SeqA, l'on obtient donc pour les valeurs positives n'ayant une partie décimale des éléments de la suite de nombres SeqA, la nouvelle définition suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0 et xₙ>0;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋>0 ou xₙ<0

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)=0 et SeqA>0)=⌈(xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉-(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)+1)⌉-⌈||xₙ|-⌊|xₙ|⌋-xₙ+⌊xₙ⌋)/(||xₙ|-⌊|xₙ|⌋-xₙ+⌊xₙ⌋)+1|⌉) (36)

Tandis que pour les valeurs négatives n'ayant pas une partie décimale des éléments de la suite de nombres SeqA, on obtient la nouvelle définition suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0 et xₙ<0;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋>0 ou xₙ>0

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)=0 et SeqA<0)=⌈xₙ/(|xₙ|+1)-⌊xₙ/(|xₙ|+1)⌋⌉-⌈(xₙ/(|xₙ|+1)-⌊|xₙ|/(|xₙ|+1)⌋⌉-(⌈(|(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋-xₙ+⌊xₙ,1))/(|(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋-xₙ+⌊xₙ⌋)+1|)|⌉|) (37).

∴

Maintenant nous pouvons considérer encore plus de précision dans notre tri en séparant les valeurs décimales selon leur partie décimale positive ou négative et selon la partie entière des valeurs ayant donc une partie décimale soit qu'elle soit supérieure ou égale à 0. Pour ce faire nous établirons tout d'abord la fonction de partie décimale des éléments appartenant à la suite de nombres SeqA, dont la formule est ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: |xₙ|-⌊|xₙ|⌋ (38), dont nous avons précédemment donné la définition de la fonction caractéristique suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)=1, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋≠0 ;

et 1A(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)=0, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)≠0 )=⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉ (33) formule équivalente à cette autre formule de la fonction caractéristique de l'ensemble des valeurs ayant une partie décimale, soit ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0)=⌈(xₙ-⌊|xₙ|⌋)⌉ (33'). Nous remarquons que multiplier cette dernière formule par xₙ ne donne pas les valeurs de la fonction partie décimale des valeurs de la suite de nombres SeqA seulement les valeurs de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale résultat différent des valeurs de la partie décimale, et nous remarquerons aussi qu'il faut donc multiplier à nouveau inutilement sa fonction caractéristique par (|xₙ|-⌊|xₙ|⌋) pour l'obtenir, tandis que l'expression équivalente à cette formule de la fonction caractéristique (33) et donc la formule de la fonction caractéristique (33'), soit ⌈xₙ-⌊xₙ⌋⌉, multipliée par cette expression xₙ-⌊xₙ⌋ de cette même fonction plafond n'est égale ni à xₙ-⌊xₙ⌋ ni à |xₙ|-⌊|xₙ|⌋. Mais si nous avons défini tout d'abord la fonction de partie décimale des éléments appartenant à la suite de nombres SeqA par sa formule |xₙ|-⌊|xₙ|⌋ (38), et que nous noterons {|xₙ|}, la partie fractionnaire de la valeur absolue d'un nombre réel, et qui n'est pas une fonction équivalente à la fonction de la partie fractionnaire d'un nombre réel et notée {xₙ} dont la définition est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut et une fonction et dont la formule est: {xₙ}=xₙ-⌊xₙ⌋ (39), c'est que nous l'utiliserons tout d'abord pour la fonction caractéristique des valeurs de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est supérieure ou égale à 1, soit la définition de la fonction caractéristique suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si ⌊|xₙ|⌋>=1 ;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si ⌊|xₙ|⌋<1 ou |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0 et ⌊|SeqA|⌋>=1)=⌈⌊|xₙ|⌋*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉/(⌊|xₙ|⌋*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉+1)⌉ (40).

∴

Ou bien encore pour la fonction caractéristique des valeurs de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est inférieure à 1, soit la définition de la fonction caractéristique suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=|xₙ| et 0<|xₙ|<1;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si |xₙ|>1 ou |xₙ|-⌊|xₙ|⌋>=1

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est: ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0 et |SeqA|<1)=⌈((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉-⌈(((⌊|xₙ|⌋)*⌈((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)/(((⌊|xₙ|⌋)*⌈((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)+1)⌉ (41).

∴

Considérons enfin que nous voulons encore plus précisément séparer les valeurs de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est supérieure ou égale à 1, en séparant les valeurs négatives et positives, donc soit la fonction caractéristique des valeurs positives de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est supérieure ou égale à 1, soit la définition de la fonction caractéristique suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ>0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋≠0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋≠|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋≠0 ;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si xₙ<0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋=0; si xₙ>0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋=0,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0 et ⌊|SeqA|⌋>=1 et SeqA>0)=(⌈((⌊|xₙ|⌋)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)/(((⌊|xₙ|⌋)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1),1))+1)⌉*(1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+⌈xₙ/(|xₙ|+1),1))*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1),1)) (42).

∴

Considérons toujours comme précédemment que nous voulons encore plus précisément séparer les valeurs de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est supérieure ou égale à 1, en séparant les valeurs négatives et positives, donc soit la fonction caractéristique des valeurs négatives de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est supérieure ou égale à 1, soit la définition de la fonction caractéristique suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ<0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋≠0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋≠|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋≠0 ;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si xₙ>0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋=0; si xₙ>0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋=0,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0 et ⌊|SeqA|⌋>=1 et SeqA<0)=((⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉-⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)*⌈((|xₙ|-xₙ)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)+1)⌉)/(((|xₙ|-xₙ)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)+1),1))+1)⌉ (43).

∴

Maintenant considérons autrement que précédemment que nous voulons toujours plus précisément séparer les valeurs de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est inférieure ou égale à 1, en séparant les valeurs négatives et positives, donc soit la fonction caractéristique des valeurs positives de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est inférieure ou égale à 1, soit la définition de la fonction caractéristique suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ>0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋=0 et ⌈|xₙ|⌉=1;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si xₙ<0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋≠|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋≠0 et ⌈|xₙ|⌉>1,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0 et ⌊|SeqA|⌋<=1 et SeqA>0)=⌈(((1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1),1)+⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)+1)⌉)*(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉-⌈((|xₙ|-(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋))*(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉))/((⌊|xₙ|⌋)*(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)+1)⌉)*xₙ)/(((1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉+⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)+1)⌉)*(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉-⌈((|xₙ|-(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋))*(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉))/(⌊|xₙ|⌋)*(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)+1)⌉)*xₙ+1)⌉ (44)

∴

Ensuite toujours en considérant autrement que précédemment que nous voulons toujours plus précisément séparer les valeurs de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est inférieure ou égale à 1, en séparant les valeurs négatives et positives, donc soit la fonction caractéristique des valeurs négatives de la suite de nombres SeqA ayant une partie décimale et dont la partie entière est inférieure ou égale à 1, soit la définition de la fonction caractéristique suivante:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ<0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋=|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋=0 et ⌈|xₙ|⌉=1;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si xₙ>0 et |xₙ|-⌊|xₙ|⌋≠|xₙ| et ⌊|xₙ|⌋≠0 et ⌈|xₙ|⌉>1,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₄((|SeqA|-⌊|SeqA|⌋)>0 et ⌊|SeqA|⌋<=1 et SeqA<0)=⌈|(((⌈|xₙ|/(|xₙ|)+1)⌉-⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)*(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/((|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)+1)⌉-⌈((⌊|xₙ|⌋)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)/((⌊|xₙ|⌋)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1),1)+1)⌉)*xₙ|/(|(((⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉-⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)*(⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉-⌈((⌊|xₙ|⌋)*⌈|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1)⌉)/((⌊|xₙ|⌋)*⌈(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋)/(|xₙ|-⌊|xₙ|⌋+1),1)+1)⌉)*xₙ|+1)⌉ (45).

∴

5.5) Les fonctions caractéristiques ou indicatrices des valeurs particulières d’une suite E de l’ensemble R qui sont des fonctions équivalentes à la fonction Tri₅(⌊log₁₀(|xₙ|)⌋+1)

Cette nouvelle fonction de tri nous permet de trier les valeurs du nombre de chiffres des éléments d'une suite de nombres appartenant à l'ensemble de nombres noté S={SeqA} dont la fonction caractéristique ou indicatrice de l'appartenance ou non des éléments xₙ ∈ {SeqA} au sous-ensemble {Nbrchfrₙ} des valeurs Sₙ ∈ {SeqA} qui ont une valeur décimale est définie comme suit:

1A: S→ {0,1}

1A(xₙ ∈ S={SeqA})=1, si ⌊log₁₀(|xₙ|+1)⌋=a;

et 1A(xₙ ∈ S={SeqA})=0, si ⌊log₁₀(|xₙ|+1)⌋≠a,

et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(xₙ ∈ S={SeqA}) est:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*,∀ xₙ ∈ R, ∀ xₙ ∈ S: Tri₅(⌊log₁₀(|xₙ|)⌋+1)=1-⌈(|(⌊log₁₀(|xₙ|+(1-(⌈(|xₙ|-1)/(|xₙ|+1),1)+⌈(|xₙ|+1)/(|xₙ|+1)⌉-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1),1)))-(1-⌈(|xₙ|+1)/(|xₙ|+2)⌉)-1+⌈|(|xₙ|-1)|/(|xₙ|+2)⌉)⌋+1-a|/(|(⌊log₁₀(|xₙ|+(1-(⌈(|xₙ|-1)/(|xₙ|+1),1)+⌈(|xₙ|+1)/(|xₙ|+1)⌉-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉))-(1-⌈(|xₙ|+1)/(|xₙ|+2)⌉)-1+⌈|(|xₙ|-1)|/(|xₙ|+2)⌉)⌋+1-a)+1|)⌉ (46).

∴