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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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1A: E→ {0,1}
- x↦ 1 si x ∈ E: 1A(x)=1
- x↦ 0 si x ∉ E: 1A(x)=0"
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USUEL, -ELLE, adj. et subst. masc.. − Adj. Qui est d'un usage courant; qui sert ordinairement, habituellement; qui se rencontre couramment. Synon. commun, courant, familier, usité. Extrait du trésor de la langue Française informatisée.
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I) LES NOUVELLES EXPRESSIONS DES FONCTIONS INDICATRICES ET SIMPLES USUELLES:
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À la question de qu'est-ce qu'une fonction indicatrice usuelle au sens synonyme de commun de sa définition comme une fonction définie sur un ensemble X qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble X de tout élément de l’ensemble X, formellement, notée χA, que je note 1A (conventionnellement, la notation anglo-saxonne pour la fonction caractéristique de A comme je l'ai illustré ci-dessus s'écrit avec la lettre A en indice du 1.), et par définition une fonction définie sur un ensemble X qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble X de tout élément de l’ensemble X et formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble X est une fonction indicatrice telle que:
1A: X→ {0,1}
- x↦ 1 si x ∈ A
- x↦ 0 si x ∉ A.
nous répondons que c'est tout d'abord une fonction indicatrice usuelle au sens d'utilisable donc une fonction dont l'expression est calculable et définie comme suit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ X ⊆ R
↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ X ∧ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ∈ R; ∀ n ∈ N*; ∀ y ∈ R;
soit χA(y), la fonction indicatrice des intervalles SeqAᵢ, définie comme χA(y):{1 if y ∈ SeqAᵢ; 0 if y ∉ SeqAᵢ, alors:
χA(y):{1 if y ∈ SeqAᵢ → a(n)=1A(x-y)=1-⌈|x-y|/(|x-y|+1)⌉=1; 0 if y ∉ SeqAᵢ → a(n)=1A(x-y)=⌈|x-y|/(|x-y|+1)⌉=0. (A).
Si une fonction indicatrice usuelle est donc bien au sens d'usuelle comme d'utilisable, soit une fonction arithmétique d'expression calculable et fondamentalement indiquant par la valeur de 0 et 1 l'appartenance ou non d'un élément à un ensemble, alors, sont aussi des fonctions indicatrices usuelles la fonction plancher notée ⌊x⌋ d'un nombre réel x correspondant à la fonction partie entière par défaut ou partie entière inférieure d'un nombre réel x; la fonction partie fractionnaire d'un nombre réel x qui est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut, et qui est notée {x}= x-⌊x⌋; et la fonction arithmétique de la relation de modulo notée, x mod y=x−y*⌊x/y⌋.
Mais au sens donc d'usage courant toujours donc au sens d'utilisée dans de nouvelles expressions de fonction simples, qui sont des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques ou fonction indicatrice, sachant que les fonctions caractéristiques composées simples ou "fonctions numériques dont l'image est constituée d'un nombre fini de valeurs réelles (ou éventuellement complexes); et qu'une fonction étagée est une fonction simple définie sur un espace mesurable et qui est elle-même une fonction mesurable; et qu'une fonction en escalier est une fonction étagée définie sur l’ensemble des réels et dont les valeurs (réelles) sont constantes sur des intervalles qui sont donc des fonctions constantes par morceaux; et que chacune de ces fonctions peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques", il s'agit de deux types de fonctions simples qui sont elles-mêmes des fonctions caractéristiques simples, c'est-à-dire la combinaison linéaire d'une seule fonction ou de deux fonctions caractéristiques. Elles sont principalement organisées d'abord d'après leurs représentations graphiques soit en forme d'échelon ou soit en forme de pente, avec les représentations graphiques en forme d'une ligne verticale correspondant soit à la représentation graphique soit d'un échelon vertical soit d'une pente maximum; ensuite elles sont aussi principalement organisées autour de leur transformation d'après une fonction à l'origine, principalement pour les fonctions échelons des transformations de la fonction de Heaviside, d'après "Oliver Heaviside, né le 18 mai 1850 à Camden Town et mort le 3 février 1925 à Torquay, est un physicien et mathématicien britannique autodidacte. Malgré ses difficultés avec la communauté scientifique, il a beaucoup apporté aux domaines des mathématiques, de la physique et des communications télégraphiques. En 1891, les contributions de Heaviside à la description mathématique des phénomènes électromagnétiques sont reconnues par la Royal Society qui l'accueille comme Fellow. L'année suivante, la Royal Society consacre une cinquantaine de pages dans ses Philosophical Transactions à ses méthodes de calcul vectoriel appliquées la théorie électromagnétique."); ou la transformation de la fonction valeur absolue et de ces composantes de trois fonctions caractéristiques pour les fonctions pentes, le nouveau terme regroupant les fonctions linéaires par morceaux définies comme "Une fonction linéaire par morceaux est une fonction définie sur un intervalle (éventuellement non borné) de nombres réels, tel qu’il existe un ensemble d’intervalles sur chacun desquels la fonction est une fonction affine (une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme: f(x)=a*x+ b où les paramètres a et b ne dépendent pas de x. Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont a est la pente et b l'ordonnée à l'origine. Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.). (Ainsi, « linéaire par morceaux » est en fait défini comme signifiant « affine par morceaux ».) Si le domaine de la fonction est compact, il doit y avoir une collection finie de tels intervalles ; Si le domaine n’est pas compact, il peut être nécessaire qu’il soit fini ou qu’il soit localement fini dans les réels. En particulier, une fonction linéaire par morceaux par définition est une fonction à valeur réelle d'une variable réelle, dont le graphique est composé de segments de ligne droite et définie sur un intervalle éventuellement illimité de nombres réels, de sorte qu'il existe une collection d'intervalles sur chacun desquels la fonction est une fonction affine (une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes). il s'agit en fait d'une façon d'exprimer la fonction, plutôt que d'une caractéristique de la fonction elle-même. En général, les fonctions linéaires par morceaux peuvent être définies en utilisant la commune notation fonctionnelle, où le corps de la fonction est un tableau de fonctions et de sous-domaines associés. Ces sous-domaines doivent couvrir l'ensemble du domaine; souvent, il est également nécessaire qu'ils soient disjoints par paires, c'est-à-dire qu'ils forment une partition du domaine. Pour que la fonction globale soit appelée "par morceaux", les sous-domaines doivent généralement être des intervalles (certains peuvent être des intervalles dégénérés, c'est-à-dire des points uniques ou des intervalles illimités). Pour les intervalles bornés, le nombre de sous-domaines doit être fini, pour les intervalles illimités, il est souvent seulement nécessaire d'être localement finis. Une notion distincte, mais connexe, est celle d'une propriété détenant par morceaux pour une fonction, utilisée lorsque le domaine peut être divisé en intervalles sur lesquels la propriété tient. Contrairement à la notion de fonction linéaire par morceaux par définition, et il s'agit en fait d'une propriété de la fonction elle-même. Les exemples de ces autres types de fonctions linéaires par morceaux par propriété incluent la fonction en dents de scie et la fonction de plancher." Extrait de l'article intitulé "Piecewise" de Wikipédia, l'encyclopédie libre.;
"Généralement, une fonction échelon est une fonction qui vaut 0 si t <a, avec a ∈ R∪{−∞}∈∪{−∞}, 1 si t ∈ [a , b], avec b ∈ [a,+∞] et 0 si t >b."
"La fonction de Heaviside est une fonction échelon. On appelle fonction de Heaviside la fonction H: R→R, et telle que H(x)=0 si x < 0 ; H(x)=1 si x ≥ 0."
"Une fonction linéaire continue par morceaux"
"Les fonctions affines ou linéaires par morceaux caractéristiques qui par définition sont des fonctions à valeur réelle d'une variable réelle, dont le graphique est composé de segments de ligne droite et définie sur un intervalle éventuellement illimité de nombres réels, de sorte qu'il existe une collection d'intervalles sur chacun desquels la fonction est une fonction affine (une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes). Une fonction définie sur la réunion d’un nombre fini d’intervalles et qui sur chacun de ces intervalles coïncide avec une fonction affine est appelée fonction affine par morceaux. Les fonctions linéaires par morceaux (piecewise) sont généralement utilisées pour modéliser une fonction de temps connue, par exemple le coût induit pour terminer une activité après une date connue t."
La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux définie sur ℝ par :
|x|= -x si x < 0
|x|= x si x ≥ 0
"La fonction δ de Dirac" représentée par le graphe ci-dessus, "peut être informellement considérée comme une fonction qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et elle est utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une grande pointe étroite".
Donc, pourquoi écrire de nouvelles expressions des fonctions indicatrices usuelles, au delà de les renommer pour qu'elles soient en relation avec la catégorisation nouvelle des fonctions simples, et des fonctions indicatrices correspondantes, et au-delà du fait que "Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) introduisit le mot «fonction» vers 1692. Leibniz lui-même attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. - De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai.", c'est que ces expressions soit n'existent pas sous une forme calculable, soient qu'elles sont irréductibles à une expression qui n'est plus une itération algorithmique dont la propriété est qu'il existera toujours au moins 2 itérations algorithmiques minimales.