Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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"Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur. Par exemple, le nombre entier 7 est premier car 1 et 7 sont les seuls diviseurs entiers et positifs de 7. Tout nombre pair étant multiple de 2, les nombres premiers sont par conséquent tous impairs, excepté le nombre 2 lui-même. De plus, tout nombre se terminant par 5 étant un multiple de ce dernier, les nombres premiers (hormis 2 et 5) se terminent tous par 1, 3, 7 ou 9."Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.
Le sous ensemble des vingt-cinq nombres premiers inférieurs à 100 appartenant à P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,....}, l’ensemble des nombres premiers, est P'=(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97)"
I) LES APPLICATIONS DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'ANNULATION SIMPLE
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1.1.a) Les propriétés de la fonction caractéristique d'annulation simple correspondantes aux propriétés de la fonction caractéristique fondamentale
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Si nous considérons que les variables précédentes appartiennent à l'ensemble SeqA définie par SeqA=(xₙ, yₙ, zₙ , wₙ,..,αₙ..ωₙ), et soit la notation de SeqAᵢ l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur du rang de ces variables dans la séquence de nombres de R), les propriétés de la fonction d'annulation caractéristique sont définies comme suit:
∀ xₙ ∈ R, ∀ yₙ ∈ R, ∀ zₙ ∈ R, ∀ wₙ ∈ R, ..∀ αₙ ∈ R..∀ ωₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ=0) ∪ 1A(yₙ=0) ∪ 1A(zₙ=0) ∪ 1A(wₙ=0)…∪ 1A(αₙ=0) …∪ 1A(ωₙ=0)=1A(1A(xₙ=0)+1A(yₙ=0)+1A(zₙ=0)+1A(wₙ=0)…+1A(αₙ=0) …+1A(ωₙ=0)) (1)
∀ xₙ ∈ R ∧ xₙ ∈ SeqAᵢ, ∀ yₙ ∈ SeqAᵢ ∧ yₙ ∈ R , ∀ zₙ ∈ SeqAᵢ ∧ zₙ ∈ R , ∀ wₙ ∈ SeqAᵢ ∧ wₙ ∈ R,.. ∀ αₙ ∈ SeqAᵢ ∧ αₙ ∈ R, ..∀ ωₙ ∈ SeqAᵢ ∧ ωₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 11A(xₙ=0) ∪ 1A(yₙ=0) ∪ 1A(zₙ=0) ∪ 1A(wₙ=0)…∪ 1A(αₙ=0) …∪ 1A(ωₙ=0)=1A(∑((i=1)→(i=∞): 1A(SeqAᵢ))) (1')
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∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ zₙ ∈ N*, ∀ wₙ ∈ N*, ..∀ ωₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ=0) ∪ 1A(yₙ=0) ∪ 1A(zₙ=0) ∪ 1A(wₙ=0)…∪ 1A(αₙ=0) …∪ 1A(ωₙ=0)=1A((n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ)) (2)
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1.1.b) Les propriétés de "la fonction caractéristique d'annulation simple" correspondantes aux propriétés de la fonction caractéristique des nombres premiers:
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Considérons le développement mathématique algébrique de l'algorithme de programmation informatique des nombres premiers écrit en langage de programmation Ruby sur le site d'enseignement en ligne "CODECADEMY" comme suit:
def prime(n)
puts "It's not an integer." unless n.is_a? Integer
is_prime = true
for i in 2..n-1
if n % i == 0
is_prime = false
end
end
if is_prime
puts "#{n} is prime!"
else
puts "#{n} is not prime."
end
end
La transposition mathématique du code en langage Ruby ci-dessus est premièrement comme suit:
∀ n ∈ N et ∀ k∈ N : x=n mod k
N→ {0,k=1..n}: x=n mod k de k=n-1 à k=2 avec, soit:
- (1) x↦ n ≠ 0 si x ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, l’ensemble des nombres premiers, soit {k=2...n-1}: n mod k≠ 0
- (2) x↦0 si x ∉ P ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, l’ensemble des nombres premiers,, soit {k=2...n-1}: n mod k=0
Ensuite, toujours le même code que précédemment en langage de programmation Ruby est transposé mathématiquement et deuxièmement la formule {k=2...n-1}: n mod k (3), que l'on décrit comme étant le calcul successif des modulo de n mod k, avec k = 1, 2, 3, …, n, mod étant l'opération binaire qui associe à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne de n (n ≠ 0 et n ∈ N ) par k. Et pour retrouver les valeurs de x=p(n) définit comme la valeur de n ∈ N et n ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97....}, l’ensemble des nombres premiers, qui est donc un nombre premier soit un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs qui sont 1 et le nombre considéré lui-même. Cette opération de composition successive de x=n mod k de k=2 à k=n-1 doit encore être mathématiquement transformée pour déterminer quelle valeur de x=p(n). C'est ainsi que la fonction d'annulation caractéristique simple que nous avons introduit précédemment comme la "fonction caractéristique fondamentale" de n'importe quelle valeur nulle d'un nombre xₙ de l'ensemble R, et définie comme formellement la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E soit la fonction:1A: E→ {0,1}
- 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠0
- 1A(xₙ)=0 si xₙ=0
L'expression de cette fonction caractéristique de l'expression a(n)=xₙ (4), correspondant à la "fonction caractéristique fondamentale" est:
∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (4')
Donc la "fonction caractéristique fondamentale" de notre deuxième expression précédente correspondant à la transposition mathématique de l'algorithme des nombres premiers en langage de programmation Ruby, soit xₙ={k=2...n-1}: n mod k, est comme suit:
∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉=⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2...n-1}: n mod k|+1)⌉ (5) dont le résultat est un ensemble de 0 et de 1 qui correspond à la fonction caractéristique pour xₙ={k=2...n-1}: n mod k, qui est définie comme suit :
1A: E→ {0,1}
∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (4')
Donc la "fonction caractéristique fondamentale" de notre deuxième expression précédente correspondant à la transposition mathématique de l'algorithme des nombres premiers en langage de programmation Ruby, soit xₙ={k=2...n-1}: n mod k, est comme suit:
∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉=⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2...n-1}: n mod k|+1)⌉ (5) dont le résultat est un ensemble de 0 et de 1 qui correspond à la fonction caractéristique pour xₙ={k=2...n-1}: n mod k, qui est définie comme suit :
1A: E→ {0,1}
- x=1 si x ∈ A: {k=2..n-2}: n mod k=1
- x=0 si x ∉ A: {k=2..n-2}: n mod k=0
Ensuite, toujours le même code que précédemment en langage de programmation Ruby est transposé mathématiquement et troisièmement pour identifier les valeurs de p(n) d'après la formule précédente (5) de la "fonction caractéristique fondamentale de xₙ={k=2...n-1}: n mod k. L'utilité de cette fonction caractéristique fondamentale se révèle si l'on considère que sa somme correspond au nombre total de valeurs non nulles et donc que par implication si l'on soustrait le montant de cette somme au nombre total de valeurs en général obtenues dans le cas de l'algorithme des nombres premiers définit précédemment "for i in 2..n-1" soit pour k ∈{k=2..n-1}, n-2 , nous obtenons ainsi le nombre de valeurs égales à zéro qui sera de zéro pour tout nombre premier, soit plus précisément en considérant la formule comme suit:
| (n-2)-( ∑{k=2...n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2...n-1}: n mod k|+1)⌉)| (5')
Mais considérant la formule ci-dessus, ∑{k=2...n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2...n-1}: n mod k|+1)⌉ comme équivalente à n - d(n), avec d(n) la fonction du nombre de diviseurs de n, ce que nous confirme le site de l'O.E.I.S. (The Online Encyclopedia of Integer sequence) ou cette dernière expression est référencée A049820, nous pouvons ainsi simplifiez l'expression (5') en écrivant la formule de d(n), la fonction du nombre de diviseurs de n, comme étant d(n)=Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋ donc l'expression de n-d(n)= n-Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋, que nous remplaçons donc dans l'expression (5') et nous obtenons :
(5') | (n-2)-( ∑{k=2...n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2...n-1}: n mod k|+1)⌉)| = | (n-2)-n+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |=| -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | (5'')
Cette dernière expression (5'') nous donne ainsi le nombre de zéro obtenu par l'opération successive formulée par l'expression {k=2...n-1}: n mod k (1).
L'utilité de la fonction caractéristique fondamentale définie comme ∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (1'), se révèle encore si l'on considère son application à l'expression (5'') dont l'expression de sa fonction caractéristique s'écrit comme suit en remplaçant dans l'expression (4') :
(4') 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ⇒ ⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉ (6) correspondant généralement à l'expression de la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E soit la fonction:
1A: E→ {0,1}
| (n-2)-( ∑{k=2...n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2...n-1}: n mod k|+1)⌉)| (5')
Mais considérant la formule ci-dessus, ∑{k=2...n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2...n-1}: n mod k|+1)⌉ comme équivalente à n - d(n), avec d(n) la fonction du nombre de diviseurs de n, ce que nous confirme le site de l'O.E.I.S. (The Online Encyclopedia of Integer sequence) ou cette dernière expression est référencée A049820, nous pouvons ainsi simplifiez l'expression (5') en écrivant la formule de d(n), la fonction du nombre de diviseurs de n, comme étant d(n)=Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋ donc l'expression de n-d(n)= n-Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋, que nous remplaçons donc dans l'expression (5') et nous obtenons :
(5') | (n-2)-( ∑{k=2...n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2...n-1}: n mod k|+1)⌉)| = | (n-2)-n+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |=| -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | (5'')
Cette dernière expression (5'') nous donne ainsi le nombre de zéro obtenu par l'opération successive formulée par l'expression {k=2...n-1}: n mod k (1).
L'utilité de la fonction caractéristique fondamentale définie comme ∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (1'), se révèle encore si l'on considère son application à l'expression (5'') dont l'expression de sa fonction caractéristique s'écrit comme suit en remplaçant dans l'expression (4') :
(4') 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ⇒ ⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉ (6) correspondant généralement à l'expression de la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E soit la fonction:
1A: E→ {0,1}
- 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠0
- 1A(xₙ)=0 si xₙ=0
Si nous réécrivons (6) comme 1-⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉ (6') correspondant aussi généralement à l'expression de la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E soit la fonction:
1A: E→ {0,1}
- 1A(xₙ)=0 si xₙ ≠0
- 1A(xₙ)=1 si xₙ=0
Nous obtenons la formule de l'expression de la fonction caractéristique des nombres premiers référencée encore sur le site de l'O.E.I.S. A010051 "Characteristic of primes: 1 if n is prime else 0". et dont les trois formules données sont (7) 1A(pₙ)=a(n) = floor(cos(Pi*((n - 1)! + 1)/n)^2) for n >= 2; n >= 2, a(n) = floor(phi(n)/(n - 1)) = floor(A000010(n)/(n - 1)); a(n) = (n - 1)!^2 mod n, mais dont l'application sur simple tableur est limitée du fait du calcul de très grands nombres après moins d'une dizaine d'itérations successives seulement comparées à 1A(p(n))= 1-⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉ (6') non limitée par le calcul de grands nombres. Finalement l'utilité de la fonction caractéristique fondamentale définie comme ∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (4') , se révèle encore si l'on considère que l'expression (7) 1A(p(n))*n correspond à la formule de l'expression des nombres premiers soit les nombres entiers naturels multipliés par la fonction caractéristique des nombres premiers, soit 1A(pₙ)*n=n*(1-⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉) (7') référencée encore sur le site de l'O.E.I.S, A061397: "Séquence de fonctions caractéristiques des nombres premiers multipliés par composante par N, les nombres naturels."
Nous pouvons remarquer sur le site OEIS que l'une des formules nécessitant une programmation due à la limitation des grands nombres rapidement atteint lors de son calcul de l'expression de la fonction caractéristique des nombres premiers et qui est "a(n)=n*floor(gcd(((n-1)!+1)/n,2))" (8), comprend l'expression gcd(((n-1)!+1)/n,2) (8') qui doit être mise en relation avec une autre fonction indicatrice, celle de deux nombres premiers entre eux ou co-premiers définie comme deux nombres dont leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ou leur Gcd est égal à 1, et dont la formule pour un nombre x choisit et coprimalement comparé à tous les nombres n ∈ N*, est l'expression:
∀ x ∈ N, ∀ n ∈ N*:
Nous pouvons remarquer sur le site OEIS que l'une des formules nécessitant une programmation due à la limitation des grands nombres rapidement atteint lors de son calcul de l'expression de la fonction caractéristique des nombres premiers et qui est "a(n)=n*floor(gcd(((n-1)!+1)/n,2))" (8), comprend l'expression gcd(((n-1)!+1)/n,2) (8') qui doit être mise en relation avec une autre fonction indicatrice, celle de deux nombres premiers entre eux ou co-premiers définie comme deux nombres dont leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ou leur Gcd est égal à 1, et dont la formule pour un nombre x choisit et coprimalement comparé à tous les nombres n ∈ N*, est l'expression:
∀ x ∈ N, ∀ n ∈ N*:
- (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1) (9) avec (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1)=1 si x et n sont co-premiers
- (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1)=0 si x et n sont co-premiers
Or la somme de cette expression précédente de n=1 jusqu'à n→∞ est exactement le nombre phi(x) en rappelant que cette expression est celle de la fonction Totient d’Euler, phi(n), égale au total des nombres qui sont relativement premiers avec n dans l’intervalle [1,n-1] c'est-à-dire que phi(n) est le nombre d’entiers positifs pas plus grands que n qui sont premiers à n. La formule de l'expression de la fonction Totient d’Euler est comme suit:
∀ x∈ N, ∀ n ∈ N*: phi(x)=Σ{x, n→∞}: (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1) (10)
et généralisant l'expression de phi(x) pour x=n par phi(xₙ) que nous pouvons ensuite remplacer dans celle de l'expression de la fonction caractéristique des nombres premiers qui est 1A(p(xₙ))=⌊(phi(xₙ))/(n-mod(1,n))⌋-1+mod(1,n) (11), et donc devenant comme suit:
∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*: 1A(pₓ₌xₙ)=⌊(Σ{xₙ, n→∞}: (1-⌈(gcd(n,xₙ)-1)/gcd(n,xₙ)⌉*(⌈|n/(xₙ+1)-1|⌉-⌈n/(xₙ+1)⌉+1))/(n-mod(1,n))⌋-1+mod(1,n) (11').
∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ
∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ)