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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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Qu'est-ce que le rang d'une séquence de nombres si ce n'est un nombre ordinal?:
"Le mot «rang» fait référence à plusieurs concepts connexes en mathématiques impliquant des graphiques, des groupes, des matrices, des formes quadratiques, des séquences, la théorie des ensembles, des statistiques et des tenseurs", et qu'en considérant tout d'abord la définition de la position d'un élément dans une séquence, le rang est définie comme "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a le rang 0 ou 1, l’élément suivant a le rang 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)" terme qu'il ne faut pas confondre avec le rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, le rang d’un terme est l’ordinal qui caractérise la position de ce terme.
Ainsi, "Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts: décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux cardinaux (zéro, un, deux, trois…) et ordinaux (zéroième, premier, deuxième, troisième…) et sont très semblables. Cependant, dans le cas infini, on est amené à distinguer nombre cardinal et nombre ordinal. Si la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure particulière, les ordinaux sont intimement liés à un ordre sur les éléments de cet ensemble, et plus précisément à un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné est un ensemble dans lequel toute partie non vide admet un plus petit élément. Le plus petit élément de l'ensemble peut être numéroté 0, le suivant 1, le suivant 2, etc., mais dès que l'ensemble est infini, une notation adaptée est nécessaire pour désigner judicieusement tous les éléments de l'ensemble. La théorie des ordinaux permet, entre autres, de donner un sens précis à cette numérotation heuristique des éléments d'un ensemble bien ordonné. On
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X I) LA FONCTION DE RANG CARACTÉRISTIQUE SIMPLE: LA FONCTION DE RANG DE L’ENSEMBLE DES VALEURS D'UNE SUITE DE NOMBRES
Nous continuerons donc à développer les définitions afférentes à notre nouvelle fonction suivante dans cette troisième partie, III), toujours en utilisant la fonction indicatrice dans diverses formulations de cette nouvelle fonction N°2 d'Index, en précisant que ce dernier terme correspond à la définition mathématique de l'index, correspondant à la définition de la fonction d’indexation dont un exemple est la Suite de nombres indexés par les entiers naturels et dont la notation est uₙ et dont les symboles n sont les indices; et si nous continuons notre exposé précédent de la fonction indicatrice comme correspondant le plus fondamentalement à la fonction d'annulation à laquelle elle correspond le plus fondamentalement, maintenant par cette nouvelle fonction d'index, c’est que la fonction indicatrice est aussi fondamentalement presque identique à une fonction d'index élémentaire, car on pourrait considérer que telle une fonction d’indexation, la fonction indicatrice correspond à 2 valeurs d’indice, 1 ou 0. Pour nous en convaincre considérons par exemple, la suite de nombres de la séquence notée SeqA=(1,2,3,4,5,6,7,0,0,10,11,12,13,14, 15,16.....) et dont la fonction indicatrice, 1A(xₙ ∈ {Seq A}) est représentée par la suite de nombres Seq(1A(xₙ ∈ {Seq A}))=(1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1...), définie comme suit:
1A: E→ {0,1}
1A(xₙ)=1, si ∀ xₙ ∈ {SeqA}, xₙ>0
1A(xₙ)=0, si ∀ xₙ ∈ {SeqA}, xₙ=0
Nous constatons que la suite de nombres SeqA peut être indexée par les entiers naturels N, donc xₙ, mais aussi par sa fonction indicatrice en remplaçant la valeur de l’indice n=3 pour la valeur de xₙ ∈ {SeqA} pour x=3 donc x₃=3 par la valeur de la fonction indicatrice, 1A(x₃=3)=1, soit 1A(xₙ ∈ SeqA)₁=(1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14...) et 1A(xₙ ∈ {SeqA})₀=(8,9).
Mais cette relation entre la fonction d'indexation positionnel et la fonction indicatrice est plus fondamentalement visible encore en considérant que la fonction indicatrice est aussi fondamentale dans l’élaboration de la fonction d'index au sens d’indexation par la suite des nombres entiers, comme l’illustre la formule de la suite de nombres précédente, SeqA=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 0, 10, 11, 12, 13, 14) qui est ((⌈|n/ (a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n+(1 -((⌈|n/ (a+1+b)-1|⌉-⌈n/(a+1+b)⌉+1)))*n avec a=7 and b=2, (1) et dont la formule de la fonction indicatrice est: ((⌈|n/ (a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1 -((⌈|n/(a+1+b)-1|⌉-⌈n/(a+1+b)⌉+1))) avec a=7 and b=2, (1)', donc le produit de la fonction indicatrice de cette suite Seq A par la suite des nombres entiers N. Mais encore plus fondamentalement que précédemment la fonction indicatrice nous permet d’élaborer le nouvel index positionnel des éléments de SeqA qui se substitue maintenant à l'index traditionnel correspondant à la suite des nombres de SeqA comme auto indicée par ces propres éléments, soit xₙ avec, x₁=1, x₂=2, x₃=3, x₄=4, x₅=5, x₆=6, x₇=7, x₈=0, x₉=0, etc.. et ce nouvel index est le double index des éléments de la fonction caractéristique indicés comme suit: 1A (xₙ ∈ SeqA)₁=1, 1A (xₙ ∈ SeqA)₂=1, 1A (xₙ ∈ SeqA)₃=1, 1A (xₙ ∈ SeqA)₄=1, 1A (xₙ ∈ SeqA)₅=1, 1A (xₙ ∈ SeqA)₆=1, 1A (xₙ ∈ SeqA)₇=1, 1A (xₙ ∈ SeqA)₈=1, 1A (xₙ ∈ SeqA)₉=1, etc., et (1-1A (xₙ ∈ SeqA))₁=1, (1-1A (xₙ ∈ SeqA))₂=1, qui ont pour formules respectivement définissant SeqXₙ comme les éléments de la suite de nombre de la fonction indicatrice de la suite SeqA, SeqXₙ ∈1A (xₙ∈ {Seq A}); et SeqYₙ comme les éléments de la suite de nombre de 1 moins les valeurs de la fonction indicatrice de la suite SeqA, SeqYₙ ∈ {1-1A (xₙ∈ {Seq A})}, soit: SeqXₙ*(∑([n=1→n=∞]: SeqXₙ)-SeqXₙ² +1)=⌈(SeqYₙ/(SeqYₙ+1)⌉*(∑([n=1→n=∞]: ⌈SeqYₙ/(SeqYₙ+1)⌉) -⌈SeqYₙ/(SeqYₙ+1)⌉²+1) (1") ou SeqYₙ-SeqXₙ*(SeqYₙ -∑([n=1→n=∞]: ⌈SeqYₙ/(SeqYₙ+1)⌉))=⌈SeqYₙ/(SeqYₙ+1)⌉*(SeqYₙ -⌈SeqYₙ/(SeqYₙ+1)⌉*(SeqYₙ -∑([n=1→n=∞]:⌈SeqYₙ/(SeqYₙ+1)⌉)) (1" ») ; et (nₙ+SeqYₙ -∑([n=1→n=∞]: SeqXₙ))*(1 -SeqXₙ) avec n ∈ N* (1").
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Toujours en utilisant la fonction indicatrice dans diverses formulations de cette nouvelle fonction N°2' de Rang d'une séquence de nombres qui est aussi l'ensemble des valeurs possibles pour le résultat d'une fonction permettant de définir un résultat numérique obtenu par une suite de calculs arithmétiques pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine, d'une première fonction de rang résultant en une suite de nombres ordonnés par ordre croissant, mesurant la distance de toutes valeurs Eₙ appartenant à un sous-ensemble I, soit dans un intervalle d'un ensemble E, donc mesurant la distance des éléments Iₙ ∈ I ∈ E, par rapport à une valeur I₀∈ I ∉ E, donnant ainsi la propriété des éléments de cette première fonction particulière de rang, soit ₁rangₙ(Iₙ)+I₀=Iₙ.
Une deuxième fonction de rang, permettant d'ordonner par ordre décroissant toute valeur Iₙ ∈ I ∈ E mesure la distance de chaque élément de Iₙ ∈ I ∈ E par rapport au montant de la somme total des valeurs de la fonction caractéristique,1A(Eₙ ∈ I ; Eₙ ∉ I), soit, ∑n=1→n=∞: 1A(Eₙ ∈ I ; Eₙ ∉ I), donnant ainsi la propriété des éléments de cette deuxième fonction particulière de rang, soit, ₂rangₙ(Iₙ)=(∑n=1→n=∞: 1A(Eₙ ∈ I ; E∉ I)) - (∑n→n+1:1A(Eₙ ∈ Iₙ ; Eₙ ∉ Iₙ))+1.
Une troisième fonction de rang, permettant d'ordonner par ordre proportionnel toute valeur Eₙ ∈ E, mesure la distance de chaque élément de E par rapport au montant de la somme total des valeurs Eₙ ∈ E, soit, ∑n=1→n=x: (E₀,...Eₙ,... Eₓ), donnant ainsi la propriété des éléments de cette troisième fonction particulière de rang, soit, ₃rangₙ(Eₙ)=(∑n=1→n=x: (E₀,...Eₙ,... Eₓ))/Eₙ
1) Les fonctions caractéristique ou indicatrice de la fonction ₂rangₙ des valeurs particulières d’une suite E pseudo aléatoires de l’ensemble Z
Définie précédemment la fonction ₂rangₙ des éléments xₙ ∈ I ∈ E, comme la deuxième fonction de rang, permettant d’ordonner par ordre décroissant toute valeur xₙ ∈ I ∈ E avec les mesures de la distance de chaque élément de xₙ ∈ I ∈ E par rapport au montant de la somme total des valeurs de la fonction caractéristique,1A(xₙ ∈ I), soit, ∑n=1→n=∞: 1A(xₙ ∈ I), donnant ainsi la propriété des éléments de cette deuxième fonction particulière de rang, soit, ₂rangₙ(xₙ)=(∑n=1→n=∞: 1A(xₙ ∈ I)) - (∑n→n+1: 1A(xₙ ∈ I))+1, peut aussi s’ordonner par ordre croissant, soit ₂rangₙ(xₙ)=∑n=1→n=∞: 1A(xₙ ∈ I)=n*1A(xₙ ∈ I) (33).
Donc pour (1A({xₙ≠ 0}))*xₙ on obtient l’expression de la fonction ₂rangₙ({xₙ≠ 0}) par l’une des trois opérations possibles suivantes sur la fonction indicatrice ou caractéristique fondamentale de E, soit la fonction indicatrice ou caractéristique de {xₙ≠ 0} ou de {xₙ=0} de n’importe quelle suite de nombres xₙ ∈ E, définie comme précédemment ainsi que son expression élémentaire, soit:
-premièrement, ∀ ₙ ∈ N, ∀ n∈ Z, ∀ xₙ ∈ E: ₂rangₙ(xₙ)=(∑n=1→n=∞: 1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)*1A( {xₙ≠ 0} ) (34);
-deuxièmement, ∀ ₙ ∈ N, ∀ n∈ Z, ∀ xₙ ∈ E: ₂rangₙ(xₙ)=n*(1A( {xₙ≠ 0} ))-((∑n=1→n=∞: 1A( {xₙ=0} )=1-⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)*1A( {xₙ≠ 0} )) (35);
-troisièmement, ∀ ₙ ∈ N, ∀ n∈ Z, ∀ xₙ ∈ E: ₂rangₙ(xₙ)=|(1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)*(∑n=1→n=∞: 1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)-(1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉))²+1)+(n + n*(1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)-∑n=1→n=∞: 1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉))*(1-(1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉))-n*(1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉)|*(1A( {xₙ≠ 0} )=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉) (36);