Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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"La concaténation de deux nombres ou plus est le nombre formé par la concaténation de leurs chiffres. Par exemple, la concaténation de 1, 234 et 5678 est 12345678. La valeur du résultat dépend de la base numérique, qui est généralement comprise à partir du contexte. La formule de concaténation des nombres p et q en base b est:
p∥ q=pb^(l(q)) + q où l(q)= ⌊logb q⌋ +1 est la longueur numérique de q en base b et ⌊ x⌋ est la fonction plancher."
Extrait de l'article de "Weisstein, Eric W. « Concaténation ». De MathWorld - Une ressource Web Wolfram". "https://mathworld.wolfram.com/Concatenation.html"
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I) LES SUITES RÉCURRENTES ET NON RÉCURRENTES DE CONCATÉNATIONS DES CHIFFRES D'UN SEUL NOMBRE:
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"En mathématiques, une suite récurrente (autonome) est une suite associée à une fonction (d’une ou plusieurs variables) appelée fonction de récurrence, laquelle permet de calculer chaque terme à partir des précédents par une relation de récurrence de la forme ∀ n, uₙ₊ₚ=f(uₙ uₙ₊₁, …uₙ₊ₚ₋₁). Il s’agit d’un système dynamique discret pouvant être défini par la relation et un ou plusieurs termes initiaux, ou comme suite associée à une autre par une transformation bijective." extrait de l'article "suite récurrente" de Wikipédia l'encyclopédie libre.
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Sachant que pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ N* et w ∈ N: q∣∣w, dont l'expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w et que nous ne pouvons pas concaténer une concaténation de chiffres tous égaux à 0 avec un autre nombre différent de 0, seulement un seul 0 à la fois avec un nombre non nul qui peut se terminer par plusieurs 0 et donc écrire l'opération de concaténation d'une suite de nombre notée 1·0·0·0.0·0·0·0 dans l'expression (b₆), ne peut que correspondre à une relation de récurrence similaire à la relation de récurrence de sommation sérielle récurrente, donc la concaténation d'une suite de nombres correspondant à une relation de récurrence soit la concaténation sérielle récurrente; mais aussi sachant que l'opération de concaténation n'est pas réductrice d'espace à l'opposé de l'opération ensembliste séquentielle de déconcaténation créatrice d'espace doublé, car occupé par deux éléments dont les valeurs ont été déconcaténées et donc qu'il nous faut avant même d'effectuer l'opération de concaténation reprendre (b₅) tel que cette expression fut explicitée précédemment et procéder à une nouvelle opération ensembliste séquentielle d'indexation élémentaire, définir l'opération de réduction de l'espace ensembliste séquentiel qui est l'opération de concaténation sérielle récurrente, après que les expressions obtenues par leur sommation sérielle récurrente soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant soit à une relation de récurrence sur la somme d'une suite de nombres et qui est en général notée:
∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l'indice de l'étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d'un nouvel élément dans l'ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.
Soit à la somme totale des éléments que sont les nombres de la série et qui n'est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l'indexe des éléments indexés sur N* d'un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n) , notée:
∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)...a(nᵢ₌ₓ)).
Plus particulièrement nous définissons les deux types d'opérations ensemblistes séquentielles de sommations comme suit:
∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ a(nₙ)=nₙ ∈ N ∧ a(nₙ₌₁)=nₙ₌₁ ∈ N*, la lettre a dans la notation a(nₙ)=nₙ signifiant une fonction a sur N avec a(nₙ)=nₙ ∈ SeqNᵢ :
Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₆})=IND(xₙ₌₆)=6 (α) ↔ (α)'
∑ (n=1→ n=6: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)) (α)' ↔ (α)''
∑ (n=1→ n=6: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(1+1+1+1+1+1)=6 (α)''
∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)i] )=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+
a(nᵢ₊₂)+a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+a(nᵢ₊₂)+a(nᵢ₊₃)+a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+a(nᵢ₊₂)+a(nᵢ₊₃)+a(nᵢ₊₄)
+a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+a(nᵢ₊₂)+a(nᵢ₊₃)+a(nᵢ₊₄)+a(nᵢ₊₅)+a(nᵢ₊₆)) (β) ↔ (β)'
∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)i] )=( 1; 1+1; 1+1+1; 1+1+1+1; 1+1+1+1+1; 1+1+1+1+1+1) (β)' ↔ (β)''
∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)i])=( 1; 2; 3; 4; 5; 6) (β)''
Nous constatons que (α)'' ≠ (β)'', c'est-à-dire ∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)]) ≠ ∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)i]) (3) et donc que l'opération de la somme totale, correspondante à la sommation sérielle non récurrente n'est pas équivalente à l'opération de sommation sérielle récurrente.
Donc si nous reprenons l'exemple précédent de SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), alors nous pouvons définir les opérations ensemblistes séquentielles de sommations comme suit:
∑(n=1→n=15: [(SeqBᵢ₌₁₅)])=(0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3+11+13+0.4+15) =100,9 (γ).
∑ (n=1→n=∞: [(SeqBᵢ₌₁₅)i])=(0.5; 0.5+0.7; 0.5+0.7+0.8; 0.5+0.7+0.8+ 0.9; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10+12; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10+12+17; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10+12+
17+19; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10+12+17+19+0.1;0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2;
0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3; 0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2
+0.3+11;0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3+11+13;0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3+11+13+0.4; 0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3+11+13+0.4+15) (δ) ↔ (δ)'
SeqΣBᵢ₌₁₅=(0,5; 1,2; 2; 2,9; 12,9; 24,9; 41,9; 60,9; 61; 61,2; 61,5; 72,5; 85,5; 85,9; 100,9) (δ)'.
Nous constatons encore que (γ) ≠ (δ) et donc que l'opération de la somme totale correspondante à la sommation sérielle non récurrente n'est pas équivalente à l'opération de sommation sérielle récurrente.
…a(nᵢ₌ₓ)); ou qui est leur somme récurrente que j'ai notée, ∑ n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i]=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …).
Donc, sachant que pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ R* et w ∈ R: q∣∣w, dont l'expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w, mais si w ou q<1, alors nous ne pouvons pas concaténer q et w parce qu'il sont décimaux, de même que nous ne pouvons pas concaténer plusieurs chiffres tous égaux à 0 avec un autre nombre différent de 0, seulement un seul 0 à la fois avec un nombre non nul qui peut se terminer par plusieurs, alors l'opération de la concaténation totale, correspondante à la concaténation sérielle non récurrente est définie et notée comme suit:
∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ SeqRₙ ⊆ R*, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R:
｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (1) ↔ (1)' & (1) ⇒ (2)
L'opération ensembliste séquentielle rendant tout chiffre de la partie décimale d'un nombre une partie entière jointe à la partie entière précédente cette transformation, c'est-à-dire l'opération de concaténation interne des chiffres de la partie entière et de la partie décimale d'un même nombre et que je note CONCATENTDEC, est une nouvelle opération nécessaire pour concaténer des chiffres d'une partie décimale puisque l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, l(w)=⌊log(w)⌋+1, pour mesurer la quantité de chiffres de tout nombre ne nous permet pas de mesurer la quantité de chiffres de la partie décimale seulement ceux de la partie entière d'un nombre, il nous faut donc réécrire le nombre a(rₙ) ∈ SeqRₙ afin d'éliminer du nombre a(rₙ) soit l'éventuelle partie entière égale à 0 et convertir la partie décimale en partie entière (remarquons que nous excluons pour l'instant de notre expression de l'opération CONCATENTDEC le deuxième cas de la valeur de l'éventuelle partie entière du nombre a(rₙ) qui n'est pas égale à 0 et qui comprend simultanément une partie décimale, car c'est un deuxième cas que nous développerons spécialement au chapitre suivant 26: 16'A VII, afin ici dans ce chapitre de se limiter au premier cas des valeurs ayant une partie décimale n'ont simultanément qu'une partie entière égale à 0, parce que ces valeurs limitées intentionnellement sont celles des éléments de notre exemple dont toutes les valeurs sont: SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15)), afin de de convertir simplement la partie décimale en partie entière, deux opérations donc que j'écris en une seule expression de l'opération ensembliste séquentielle que je crée dans ce but et que je note CONCATENTDEC et que je définis comme suit:
Soit dec(a(rₙ))=rₙ ∨ dec(a(rₙ))=0 ∧ ∀ a(rₙ))=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R; ∀ x ∈ N* la valeur de la quantité maximale de chiffres de la partie décimale de qw:
CONCATENTDEC(n=1→n=x: [(a(rₙ))] ) = ∑( n=1→n=x: [(1-⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^0*|a(rₙ)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^0*a(rₙ)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^x*|a(rₙ)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^n*a(rₙ)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ)| ] ) (2) ↔ (2)'
CONCATENTDEC(n=1→ n=x: [(qw)])=∑(n=1→ n=x: [( (1-⌈|qw-trunc(qw; 0)|/(|qw-trunc(qw; 0)|+1)⌉)*(10^0)*|qw| + (1A(qw-trunc(qw; n-1)) - 1A(qw-trunc(qw; n)))*(10^n)*qw )] ) (2)'↔ (2)''
CONCATENTDEC(n=1 → n=x: [(qw)])=∑(n=1→ n=x: [( (1-⌈|qw-⌊10^0*qw⌋/10^0|/(|qw-⌊10^0*qw⌋/10^0|+1)⌉)*(10^0)*qw + (⌈ ( | |qw|-⌊10^(n-1)*|qw|⌋/10^(n-1)|)/(| |qw|-⌊10^(n-1)*qw⌋ /10^(n-1)|+1)⌉) - (⌈ ( | |qw|-⌊10^n*|qw|⌋/10^n|)/(| |qw|-⌊10^n*qw⌋ /10^n|+1)⌉) *(10^n)*qw )] ) (2)''
La représentation séquentielle de l'expression (2) ↔ (2)' ↔ (2)'' est celle que j'écris comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=1→n=x: [ (a(rₙ))]))=( (1-⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^0*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^0*a(rₙ₌₁)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ₌₁)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^0*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^0*a(rₙ₌₁)⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^1*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^1*a(rₙ₌₁)⌋ /10^1|+1)⌉ ) ) * (10^1)*|a(rₙ₌₁)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^1*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^1*a(rₙ₌₁)⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^2*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^2*a(rₙ₌₁)⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|a(rₙ₌₁)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^2*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^2*a(rₙ₌₁)⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^3*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^3*a(rₙ₌₁)⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|a(rₙ₌₁)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^3*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^3*a(rₙ₌₁)⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^4*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^4|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^4*a(rₙ₌₁)⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|a(rₙ₌₁)| + .......( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ₌₁)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^n*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^n*a(rₙ₌₁)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ₌₁)| ;
(1-⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^0*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^0*a(rₙ₌₂)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ₌₂)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^0*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^0*a(rₙ₌₂)⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^1*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^1*a(rₙ₌₂)⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|a(rₙ₌₂)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^1*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^1*a(rₙ₌₂)⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^2*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^2*a(rₙ₌₂)⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|a(rₙ₌₂)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^2*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^2*a(rₙ₌₂)⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*a(rₙ₌₂)⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|a(rₙ₌₂)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*a(rₙ₌₂)⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^4*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^4|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^4*a(rₙ₌₂)⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|a(rₙ₌₂)| + ….( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ₌₂)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^n*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^n*a(rₙ₌₂)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ₌₂)| ;
….; (1-⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^0*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^0*a(rₙ₌∞)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ₌∞)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^0*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^0*a(rₙ₌∞)⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^1*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^1*a(rₙ₌∞)⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|a(rₙ₌∞)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^1*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^1*a(rₙ₌∞)⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^2*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^2*a(rₙ₌∞)⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|a(rₙ₌∞)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^2*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^2*a(rₙ₌∞)⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^3*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^3*a(rₙ₌∞)⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|a(rₙ₌∞)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^3*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^3*a(rₙ₌∞)⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^4*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^4|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^4*a(rₙ₌∞)⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|a(rₙ₌∞)| + ….( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ₌∞)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^n*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^n*a(rₙ₌∞)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ₌∞)| ) (2)'
⁂
Pour illustrer (2) et son développement (2)', prenons l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste des nombres que nous voulons concaténer, soit SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), alors nous observons que la quantité maximale de chiffres après la virgule donc de la partie décimale de l'ensemble de tous les nombres appartenant à SeqVᵢ₌₁₅ est 4, donc nous n'avons pas besoin de calculer éventuellement dans notre expression de de l'expression (2) et son développement (2)' la valeur de variable x plus grande que 4 pour éventuellement obtenir le résultat de l'expression (2) et son développement (2)' et donc nous écrivons (2)' de la façon suivante:
∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R; n=x=4:
CONCATENTDEC(n=0→n=x: [(a(rₙ))]=∑( n=0→n=x: [(1-⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^0*|a(rₙ)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^0*a(rₙ)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^n*|a(rₙ)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^x*a(rₙ)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ)| ] ) (2) ↔ (2)', la représentation séquentielle de l'expression (2) que j'écris comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)])) = ( (1-⌈(| |0,5125|-⌊10^0*|0,5125|⌋/10^0|)/(| |0,5125|-⌊10^0*0,5125⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125)|-⌊10^0*|0,5125|⌋/10^0|)/(| |0,5125|-⌊10^0*0,5125⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^1*|0,5125|⌋/10^1|)/(| |0,5125|-⌊10^1*0,5125⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^1*|0,5125|⌋/10^1|)/(| |0,5125|-⌊10^1*0,5125⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125|⌋/10^2|)/(| |0,5125|-⌊10^2*0,5125⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125|⌋/10^2|)/(| |0,5125|-⌊10^2*0,5125⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^3*|0,5125|⌋/10^3|)/(| |0,5125|-⌊10^3*0,5125⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125-⌊10^3*|0,5125|⌋/10^3|)/(| |0,5125|-⌊10^3*0,5125⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^4*|0,5125|⌋/10^4|)/(| |0,5125|-⌊10^4*0,5125⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,5125| ; (1-⌈(| |0,7|-⌊10^0*|0,7|⌋/10^0|)/(| |0,7|-⌊10^0*0,7⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^0*|0,7|⌋/10^0|)/(| |0,7|-⌊10^0*0,7⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,7|-⌊10^1*|0,7|⌋/10^1|)/(| |0,7|-⌊10^1*0,7⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^1*|0,7|⌋/10^1|)/(| |0,7|-⌊10^1*0,7⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,7|-⌊10^2*|0,7|⌋/10^2|)/(| |0,7|-⌊10^2*0,7⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^2*|0,7|⌋/10^2|)/(| |0,7|-⌊10^2*0,7⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,7|-⌊10^3*|0,7|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*0,7⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^3*|0,7|⌋/10^3|)/(| |0,7|-⌊10^3*0,7⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,7|-⌊10^4*|0,7|⌋/10^4|)/(| |0,7|-⌊10^4*0,7⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,7| ; ...........; (1-⌈(| |15|-⌊10^0*|15|⌋/10^0|)/(| |15|-⌊10^0*15⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^0*|15|⌋/10^0|)/(| |15|-⌊10^0*15⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |15-⌊10^1*|15|⌋/10^1|)/(| |15|-⌊10^1*15⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^1*|15|⌋/10^1|)/(| |15|-⌊10^1*15⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |15|-⌊10^2*|15|⌋/10^2|)/(| |15|-⌊10^2*15⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^2*|15|⌋/10^2|)/(| |15|-⌊10^2*15⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |15|-⌊10^3*|15|⌋/10^3|)/(| |15|-⌊10^3*15⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^3*|15|⌋/10^3|)/(| |15|-⌊10^3*15⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |15|-⌊10^4*|15|⌋/10^4|)/(| |15|-⌊10^4*15⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|15| ) (2)' dont la représentation est notée SeqVRᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15). Nous détaillons notre expression (2)' ↔ (2ₙ₌₁→ₙ₌₁₅)'' ↔ (2'') de la façon suivante:
CONCATENTDEC(0,5125)=(1-⌈(| |0,5125|-⌊10^0*|0,5125|⌋/10^0|)/(| |0,5125|-⌊10^0*0,5125⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125)|-⌊10^0*|0,5125|⌋/10^0|)/(| |0,5125|-⌊10^0*0,5125⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^1*|0,5125|⌋/10^1|)/(| |0,5125|-⌊10^1*0,5125⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^1*|0,5125|⌋/10^1|)/(| |0,5125|-⌊10^1*0,5125⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125|⌋/10^2|)/(| |0,5125|-⌊10^2*0,5125⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125|⌋/10^2|)/(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125| ⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^3*|0,5125|⌋/10^3|)/(| |0,5125|-⌊10^3*0,5125⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125-⌊10^3*|0,5125|⌋/10^3|)/(| |0,5125|-⌊10^3*0,5125⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^4*|0,5125|⌋/10^4|)/(| |0,5125|-⌊10^4*0,5125⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,5125|=525 (2ₙ₌₁)''
CONCATENTDEC(0,7)=(1-⌈(| |0,7|-⌊10^0*|0,7|⌋/10^0|)/(| |0,7|-⌊10^0*0,7⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^0*|0,7|⌋/10^0|)/(| |0,7|-⌊10^0*0,7⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,7|-⌊10^1*|0,7|⌋/10^1|)/(| |0,7|-⌊10^1*0,7⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^1*|0,7|⌋/10^1|)/(| |0,7|-⌊10^1*0,7⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,7|-⌊10^2*|0,7|⌋/10^2|)/(| |0,7|-⌊10^2*0,7⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^2*|0,7|⌋/10^2|)/(| |0,7|-⌊10^2*0,7⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,7|-⌊10^3*|0,7|⌋/10^3|)/(| |0,7|-⌊10^3*0,7⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^3*|0,7|⌋/10^3|)/(| |0,7|-⌊10^3*0,7⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,7|-⌊10^4*|0,7|⌋/10^4|)/(| |0,7|-⌊10^4*0,7⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,7|=7 (2ₙ₌₂)''
CONCATENTDEC(0,8)=(1-⌈(| |0,8|-⌊10^0*|0,8|⌋/10^0|)/(| |0,8|-⌊10^0*0,8⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,8| + ( ( ⌈(| |0,8|-⌊10^0*|0,8|⌋/10^0|)/(| |0,8|-⌊10^0*0,8⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,8|-⌊10^1*|0,8|⌋/10^1|)/(| |0,8|-⌊10^1*0,8⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,8| + ( ( ⌈(| |0,8|-⌊10^1*|0,8|⌋/10^1|)/(| |0,8|-⌊10^1*0,8⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,8|-⌊10^2*|0,8|⌋/10^2|)/(| |0,8|-⌊10^2*0,8⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,8| + ( ( ⌈(| |0,8|-⌊10^2*|0,8|⌋/10^2|)/(| |0,8|-⌊10^2*0,8⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,8|-⌊10^3*|0,8|⌋/10^3|)/(| |0,8|-⌊10^3*0,8⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,8| + ( ( ⌈(| |0,8|-⌊10^3*|0,8|⌋/10^3|)/(| |0,8|-⌊10^3*0,8⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,8|-⌊10^4*|0,8|⌋/10^4|)/(| |0,8|-⌊10^4*0,8⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,8|=8 (2ₙ₌₃)''
CONCATENTDEC(0,9)=(1-⌈(| |0,9|-⌊10^0*|0,9|⌋/10^0|)/(| |0,9|-⌊10^0*0,9⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,9| + ( ( ⌈(| |0,9|-⌊10^0*|0,9|⌋/10^0|)/(| |0,9|-⌊10^0*0,9⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,9|-⌊10^1*|0,9|⌋/10^1|)/(| |0,9|-⌊10^1*0,9⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,9| + ( ( ⌈(| |0,9|-⌊10^1*|0,9|⌋/10^1|)/(| |0,9|-⌊10^1*0,9⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,9|-⌊10^2*|0,9|⌋/10^2|)/(| |0,9|-⌊10^2*0,9⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,9| + ( ( ⌈(| |0,9|-⌊10^2*|0,9|⌋/10^2|)/(| |0,9|-⌊10^2*0,9⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,9|-⌊10^3*|0,9|⌋/10^3|)/(| |0,9|-⌊10^3*0,9⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,9| + ( ( ⌈(| |0,9|-⌊10^3*|0,9|⌋/10^3|)/(| |0,9|-⌊10^3*0,9⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,9|-⌊10^4*|0,9|⌋/10^4|)/(| |0,9|-⌊10^4*0,9⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,9|=9 (2ₙ₌₄)''
CONCATENTDEC(0,1)=(1-⌈(| |0,1|-⌊10^0*|0,1|⌋/10^0|)/(| |0,1|-⌊10^0*0,1⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^0*|0,1|⌋/10^0|)/(| |0,1|-⌊10^0*0,1⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,1|-⌊10^1*|0,1|⌋/10^1|)/(| |0,1|-⌊10^1*0,1⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^1*|0,1|⌋/10^1|)/(| |0,1|-⌊10^1*0,1⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,1|-⌊10^2*|0,1|⌋/10^2|)/(| |0,1|-⌊10^2*0,1⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^2*|0,1|⌋/10^2|)/(| |0,1|-⌊10^2*0,1⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,1|-⌊10^3*|0,1|⌋/10^3|)/(| |0,1|-⌊10^3*0,1⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^3*|0,1|⌋/10^3|)/(| |0,1|-⌊10^3*0,1⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,1|-⌊10^4*|0,1|⌋/10^4|)/(| |0,1|-⌊10^4*0,1⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,1| =1 (2ₙ₌₅)''
CONCATENTDEC(0,12)=(1-⌈(| |0,12|-⌊10^0*|0,12|⌋/10^0|)/(| |0,12|-⌊10^0*0,12⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,12| + ( ( ⌈(| |0,12|-⌊10^0*|0,12|⌋/10^0|)/(| |0,12|-⌊10^0*0,12⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,12|-⌊10^1*|0,12|⌋/10^1|)/(| |0,12|-⌊10^1*0,12⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,12| + ( ( ⌈(| |0,12|-⌊10^1*|0,12|⌋/10^1|)/(| |0,12|-⌊10^1*0,12⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,12|-⌊10^2*|0,12|⌋/10^2|)/(| |0,12|-⌊10^2*0,12⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,12| + ( ( ⌈(| |0,12|-⌊10^2*|0,12|⌋/10^2|)/(| |0,12|-⌊10^2*0,12⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,12|-⌊10^3*|0,12|⌋/10^3|)/(| |0,12|-⌊10^3*0,12⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,12| + ( ( ⌈(| |0,12|-⌊10^3*|0,12|⌋/10^3|)/(| |0,12|-⌊10^3*0,12⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,12|-⌊10^4*|0,12|⌋/10^4|)/(| |0,12|-⌊10^4*0,12⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,12| =12 (2ₙ₌₆)''
CONCATENTDEC(0,17)=(1-⌈(| |0,17|-⌊10^0*|0,17|⌋/10^0|)/(| |0,17|-⌊10^0*0,17⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,17| + ( ( ⌈(| |0,17|-⌊10^0*|0,17|⌋/10^0|)/(| |0,17|-⌊10^0*0,17⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,17|-⌊10^1*|0,17|⌋/10^1|)/(| |0,17|-⌊10^1*0,17⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,17| + ( ( ⌈(| |0,17|-⌊10^1*|0,17|⌋/10^1|)/(| |0,17|-⌊10^1*0,17⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,17|-⌊10^2*|0,17|⌋/10^2|)/(| |0,17|-⌊10^2*0,17⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,17| + ( ( ⌈(| |0,17|-⌊10^2*|0,17|⌋/10^2|)/(| |0,17|-⌊10^2*0,17⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,17|-⌊10^3*|0,17|⌋/10^3|)/(| |0,17|-⌊10^3*0,17⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,17| + ( ( ⌈(| |0,17|-⌊10^3*|0,17|⌋/10^3|)/(| |0,17|-⌊10^3*0,17⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,17|-⌊10^4*|0,17|⌋/10^4|)/(| |0,17|-⌊10^4*0,17⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,17| =17 (2ₙ₌₇)''
CONCATENTDEC(0,19)=(1-⌈(| |0,19|-⌊10^0*|0,19|⌋/10^0|)/(| |0,19|-⌊10^0*0,19⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,19| + ( ( ⌈(| |0,19|-⌊10^0*|0,19|⌋/10^0|)/(| |0,19|-⌊10^0*0,19⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,19|-⌊10^1*|0,19|⌋/10^1|)/(| |0,19|-⌊10^1*0,19⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,19| + ( ( ⌈(| |0,19|-⌊10^1*|0,19|⌋/10^1|)/(| |0,19|-⌊10^1*0,19⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,19|-⌊10^2*|0,19|⌋/10^2|)/(| |0,19|-⌊10^2*0,19⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,19| + ( ( ⌈(| |0,19|-⌊10^2*|0,19|⌋/10^2|)/(| |0,19|-⌊10^2*0,19⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,19|-⌊10^3*|0,19|⌋/10^3|)/(| |0,19|-⌊10^3*0,19⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,19| + ( ( ⌈(| |0,19|-⌊10^3*|0,19|⌋/10^3|)/(| |0,19|-⌊10^3*0,19⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,19|-⌊10^4*|0,19|⌋/10^4|)/(| |0,19|-⌊10^4*0,19⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,19| =19 (2ₙ₌₈)''
CONCATENTDEC(0,1)=(1-⌈(| |0,1|-⌊10^0*|0,1|⌋/10^0|)/(| |0,1|-⌊10^0*0,1⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^0*|0,1|⌋/10^0|)/(| |0,1|-⌊10^0*0,1⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,1|-⌊10^1*|0,1|⌋/10^1|)/(| |0,1|-⌊10^1*0,1⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^1*|0,1|⌋/10^1|)/(| |0,1|-⌊10^1*0,1⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,1|-⌊10^2*|0,1|⌋/10^2|)/(| |0,1|-⌊10^2*0,1⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^2*|0,1|⌋/10^2|)/(| |0,1|-⌊10^2*0,1⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,1|-⌊10^3*|0,1|⌋/10^3|)/(| |0,1|-⌊10^3*0,1⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^3*|0,1|⌋/10^3|)/(| |0,1|-⌊10^3*0,1⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,1|-⌊10^4*|0,1|⌋/10^4|)/(| |0,1|-⌊10^4*0,1⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,1| =1 (2ₙ₌₉)'' ↔ (2ₙ₌₅)''
CONCATENTDEC(0,2)=(1-⌈(| |0,2|-⌊10^0*|0,2|⌋/10^0|)/(| |0,2|-⌊10^0*0,2⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,2| + ( ( ⌈(| |0,2|-⌊10^0*|0,2|⌋/10^0|)/(| |0,2|-⌊10^0*0,2⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,2|-⌊10^1*|0,2|⌋/10^1|)/(| |0,2|-⌊10^1*0,2⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,2| + ( ( ⌈(| |0,2|-⌊10^1*|0,2|⌋/10^1|)/(| |0,2|-⌊10^1*0,2⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,2|-⌊10^2*|0,2|⌋/10^2|)/(| |0,2|-⌊10^2*0,2⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,2| + ( ( ⌈(| |0,2|-⌊10^2*|0,2|⌋/10^2|)/(| |0,2|-⌊10^2*0,2⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,2|-⌊10^3*|0,2|⌋/10^3|)/(| |0,2|-⌊10^3*0,2⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,2| + ( ( ⌈(| |0,2|-⌊10^3*|0,2|⌋/10^3|)/(| |0,2|-⌊10^3*0,2⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,2|-⌊10^4*|0,2|⌋/10^4|)/(| |0,2|-⌊10^4*0,2⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,2| =2 (2ₙ₌₁₀)''
CONCATENTDEC(0,3)=(1-⌈(| |0,3|-⌊10^0*|0,3|⌋/10^0|)/(| |0,3|-⌊10^0*0,3⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,3| + ( ( ⌈(| |0,3|-⌊10^0*|0,3|⌋/10^0|)/(| |0,3|-⌊10^0*0,3⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,3|-⌊10^1*|0,3|⌋/10^1|)/(| |0,3|-⌊10^1*0,3⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,3| + ( ( ⌈(| |0,3|-⌊10^1*|0,3|⌋/10^1|)/(| |0,3|-⌊10^1*0,3⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,3|-⌊10^2*|0,3|⌋/10^2|)/(| |0,3|-⌊10^2*0,3⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,3| + ( ( ⌈(| |0,3|-⌊10^2*|0,3|⌋/10^2|)/(| |0,3|-⌊10^2*0,3⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,3|-⌊10^3*|0,3|⌋/10^3|)/(| |0,3|-⌊10^3*0,3⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,3| + ( ( ⌈(| |0,3|-⌊10^3*|0,3|⌋/10^3|)/(| |0,3|-⌊10^3*0,3⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0,3|-⌊10^4*|0,3|⌋/10^4|)/(| |0,3|-⌊10^4*0,3⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,3| =3 (2ₙ₌₁₁)''
CONCATENTDEC(11)=(1-⌈(| |11|-⌊10^0*|11|⌋/10^0|)/(| |11|-⌊10^0*11⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|11| + ( ( ⌈(| |11|-⌊10^0*|11|⌋/10^0|)/(| |11|-⌊10^0*11⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |11|-⌊10^1*|11|⌋/10^1|)/(| |11|-⌊10^1*11⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|11| + ( ( ⌈(| |11|-⌊10^1*|11|⌋/10^1|)/(| |11|-⌊10^1*11⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |11|-⌊10^2*|11|⌋/10^2|)/(| |11|-⌊10^2*11⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|11| + ( ( ⌈(| |11|-⌊10^2*|11|⌋/10^2|)/(| |11|-⌊10^2*11⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |11|-⌊10^3*|11|⌋/10^3|)/(| |11|-⌊10^3*11⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|11| + ( ( ⌈(| |11|-⌊10^3*|11|⌋/10^3|)/(| |11|-⌊10^3*11⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |11|-⌊10^4*|11|⌋/10^4|)/(| |11|-⌊10^4*11⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|11| =11 (2ₙ₌₁₂)''
CONCATENTDEC(13)=(1-⌈(| |13|-⌊10^0*|13|⌋/10^0|)/(| |13|-⌊10^0*13⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|13| + ( ( ⌈(| |13|-⌊10^0*|13|⌋/10^0|)/(| |13|-⌊10^0*13⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |13|-⌊10^1*|13|⌋/10^1|)/(| |13|-⌊10^1*13⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|13| + ( ( ⌈(| |13|-⌊10^1*|13|⌋/10^1|)/(| |13|-⌊10^1*13⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |13|-⌊10^2*|13|⌋/10^2|)/(| |13|-⌊10^2*13⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|13| + ( ( ⌈(| |13|-⌊10^2*|13|⌋/10^2|)/(| |13|-⌊10^2*13⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |13|-⌊10^3*|13|⌋/10^3|)/(| |13|-⌊10^3*13⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|13| + ( ( ⌈(| |13|-⌊10^3*|13|⌋/10^3|)/(| |13|-⌊10^3*13⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |13|-⌊10^4*|13|⌋/10^4|)/(| |13|-⌊10^4*13⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|13| =13 (2ₙ₌₁₃)''
CONCATENTDEC(0.4)=(1-⌈(| |0.4|-⌊10^0*|0.4|⌋/10^0|)/(| |0.4|-⌊10^0*0.4⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0.4| + ( ( ⌈(| |0.4|-⌊10^0*|0.4|⌋/10^0|)/(| |0.4|-⌊10^0*0.4⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0.4|-⌊10^1*|0.4|⌋/10^1|)/(| |0.4|-⌊10^1*0.4⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0.4| + ( ( ⌈(| |0.4|-⌊10^1*|0.4|⌋/10^1|)/(| |0.4|-⌊10^1*0.4⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0.4|-⌊10^2*|0.4|⌋/10^2|)/(| |0.4|-⌊10^2*0.4⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0.4| + ( ( ⌈(| |0.4|-⌊10^2*|0.4|⌋/10^2|)/(| |0.4|-⌊10^2*0.4⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0.4|-⌊10^3*|0.4|⌋/10^3|)/(| |0.4|-⌊10^3*0.4⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0.4| + ( ( ⌈(| |0.4|-⌊10^3*|0.4|⌋/10^3|)/(| |0.4-⌊10^3*0.4⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |0.4|-⌊10^4*|0.4|⌋/10^4|)/(| |0.4|-⌊10^4*0.4⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0.4| =4 (2ₙ₌₁₄)''
CONCATENTDEC(15)=(1-⌈(| |15|-⌊10^0*|15|⌋/10^0|)/(| |15|-⌊10^0*15⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^0*|15|⌋/10^0|)/(| |15|-⌊10^0*15⌋ /10^0|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |15|-⌊10^1*|15|⌋/10^1|)/(| |15|-⌊10^1*15⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^1*|15|⌋/10^1|)/(| |15|-⌊10^1*15⌋ /10^1|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |15|-⌊10^2*|15|⌋/10^2|)/(| |15|-⌊10^2*15⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^2*|15|⌋/10^2|)/(| |15|-⌊10^2*15⌋ /10^2|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |15|-⌊10^3*|15|⌋/10^3|)/(| |15|-⌊10^3*15⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^3*|15|⌋/10^3|)/(| |15-⌊10^3*15⌋ /10^3|+1)⌉ ) - ( ⌈(| |15|-⌊10^4*|15|⌋/10^4|)/(| |15|-⌊10^4*15⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|15| =15 (2ₙ₌₁₅)''
Alors la représentation ensembliste correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'')=(2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')
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Ensuite toujours avec notre exemple précédent Seq(CONCATENTDEC( n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)])ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2'''), nous écrivons l'opération ensembliste séquentielle de la concaténation sérielle non récurrente des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), comme équivalente à cette même opération ensembliste séquentielle sur les éléments de SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15), dont nous rappelons que la définition en général est comme suit:
｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (1) ↔ (1)'. Nous insistons ici sur la nécessité de faire la différence entre les deux expressions de concaténation sérielle récurrente et non récurrente, car il semble que la concaténation sérielle non récurrente soit nécessairement aussi récurrente puisqu'elle requiert la même série de sous opérations récurrentes de concaténation de tout nombre avec le nombre précédent concaténé, mais il n'en est rien et c'est la tout l'intérêt de la notation ensembliste séquentielle qui nous permet comme les sommes sigma de différencier entre les éléments d'un ensemble qui sont le résultat de chacune des différentes sous opération récurrente successive intermédiaire et la représentation visuelle pratique d'une opération télescopique à laquelle correspond l'expression de concaténation sérielle non récurrente. Et ce d'autant plus que la notation des deux opérations rappelle cette différence premièrement par la représentation de la concaténation sérielle récurrente｜｜(n=1→n=∞: [a(rₙ)i]) qui à pour dernière valeur l'infini, n=∞, différemment à la notation de la concaténation sérielle non récurrente dont le dernier terme est n=x correspondant au cardinal de l'ensemble séquentiel ou valeur de l'indexe du dernier élément de l'ensemble séquentiel, une différence indiquant que dans les deux cas l'opération s'effectue sur tous les éléments de l'ensemble séquentiel, mais le symbole infini nous rappelant qu'il s'agit d'éléments d'un ensemble séquentiel qui sont successivement répétitivement
transformés par l'opération de concaténation récurrente sérielle à l'infini tandis que l'absence de ce symbole de l'infini et le symbole x correspondants au cardinal de l'ensemble indiquent que la concaténation est totale sur tous les éléments de l'ensemble est que le résultat final n'est pas un nouvel ensemble avec autant d'éléments que précédemment et de nouvelles valeurs concaténées, mais un nombre concaténé. Remarquons encore que pour marquer cette différence entre les deux types d'opérations nous avons la présence et l'absence du symbole i qui représente l'indice de l'étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d'un nouvel élément dans l'ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées, car il indique aussi que chaque étape précédente est indicée pour un résultat qui subsiste concouraient au nouveau résultat suivant nouvellement indicé. D’ailleurs ces deux notations symboliquement différentes impliquent de répondre à la question de quelle est alors l'expression corresponde à ces opérations partielles, c'est à dire seulement pour les renommer plus distinctement, quelle sont les expressions de la concaténation non récurrente sérielle partielle et de la concaténation récurrente sérielle partielle ce que nous écrirons avec un exemple parmi ceux précédemment après que nous avons terminé d'illustrer l'expression (1)' en reprenant notre exemple précédent de SeqV'ᵢ₌₁₅ et de la façon suivante:
｜｜( n=1→n=15: [SeqV'ᵢ₌₁₅] ) = ( |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8| ∣∣ |9| ∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1)' ↔ (1₁)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( ( |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7| ) ∣∣ |8| ∣∣ |9| ∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₁)'↔ (1₂)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( (( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| ) ∣∣ |9| ∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₂)'↔ (1₃)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| ) ∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₃)'↔ (1₄)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₄)'↔ (1₅)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| ) ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₅)'↔ (1₆)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| ) ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₆)'↔ (1₇)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| ) ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₇)'↔ (1₈)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7| )*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₈)'↔ (1₉)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| ) ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₉)'↔ (1₁₀)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) =( ((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| ) ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₁₀)'↔ (1₁₁)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₁₁)'↔ (1₁₂)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| ) ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (1₁₂)'↔ (1₁₃)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| ) ∣∣ |15| ) (1₁₃)'↔ (1₁₄)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| )*10^(⌊LOG(|(|15| +1-⌈ |15| /(|15| +1)⌉)|)⌋ +1)+|15| ) (1₁₄)'↔(1₁₅)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) = ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| )*10^(⌊LOG(|(|15| +1-⌈ |15| /(|15| +1)⌉)|)⌋ +1)+|15| (1₁₅)'↔(1₁₆)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] )=512578911217191231113415 (1₁₆)'
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Ainsi illustré précédemment est le fait que l'opération de concaténation sérielle successive non récurrente correspond à une concaténation totale sur tous les éléments d'un ensemble séquentiel et par conséquent retourne un seul élément qui est un nombre concaténé, tandis que l'opération de la concaténation successive correspondante à la concaténation sérielle récurrente résulte dans un ensemble séquentiel des éléments dont les valeurs sont des nombres concaténés et elle est donc définie et notée de la façon suivante:
∀ r=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌∞) ⊆ R* ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ}) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*:
⁂
Ensuite toujours avec notre exemple précédent nous écrivons l'opération ensembliste séquentielle de la concaténation sérielle non récurrente des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), comme équivalente à cette même opération ensembliste séquentielle sur les éléments de SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15), dont l'expression générale est (2), et que nous appliquons maintenant à SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15), comme suit:
｜｜( n=1→n=1∞: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)i] ) =( |5125|; |5125| ∣∣ |7| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9| ∣∣ |1| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12|; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 |;
|5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 | ∣∣ |11| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 | ∣∣ |11|∣∣ |13| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4|; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| ) (2)'↔ (2)''
｜｜( n=1→n=∞: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)i] ) = ( |5125| ; |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|) ; ((|5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8|) ; ((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9|) ; (((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ;
(((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| ) ; ((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| ) ; (((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| ) ; ((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7| )*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ; (((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| ) ; ((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| ) ; (((((((((( |5125|*10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) ; ((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| ))*10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| )*10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| ) ; ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| )*10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| ) ; ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| )*10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| )*10^(⌊LOG(|(|15| +1-⌈ |15| /(|15| +1)⌉)|)⌋ +1)+|15| ) (2)''↔ (2)'''
｜｜( n=1→n=∞: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)i] ) =( 5125; 51257; 512578; 5125789; 51257891; 5125789112;
512578911217; 51257891121719 ; 512578911217191; 5125789112171912;
51257891121719123; 5125789112171912311; 512578911217191231113;
5125789112171912311134; 512578911217191231113415 ) (2)'''