10'A: Nouvelles Expressions d'Algèbre Fonctionnelle Simple de Quelques Expressions Mathématiques de Séquences Remarquables de l'O.E.I.S., l'Encyclopédie En Ligne Des suites de Nombres Entiers

©2012 Cédric Christian Bernard Gagneux

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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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Ci-dessus est la page web de la représentation de la séquence nommée la séquence zéro, avec la nomenclature A00004, sur le site Web "O.E.I.S." que l'on pourrait en fait considérer comme la fonction indicatrice du rang de xₙ ∈ N*, la séquence des nombres entiers naturels positifs, soit la fonction caractéristique de la fonction rang(xₙ)=n, avec n ∈ N, définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ)=n)=0, si xₙ≠n ou n=1
• 1A(rang(xₙ)=n)=1, si xₙ=n et n≠1

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n) étant définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N,  1A(rang(xₙ)=n)=⌊(xₙ/n+n-1)/xₙ⌋-⌊(n*xₙ+n-1)/xₙ⌋-n*⌊(n+1)/n⌋+2*n (1).

Donc par exemple pour x₂=2 la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₂=2)=n=2; tandis que pour x₁=1 la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₁=1)=0 représentée parla séquence {0,0,0,0,0,0,0,0,0…..}, répertoriée comme numéro de séquence "A000004" sur site Web O.E.I.S. , et définie comme "La séquence zéro" de la formule "a (n) = 0 pour tout entier n.".

Donc nous devons considérer que cette expression (1) est imparfaitement généralisée, c'est-à-dire généralisée pour toutes les valeurs de xₙ sans exception, soit pour xₙ₌₁=1, la fonction de rang correspondante devrait rang(xₙ₌₁)=n=1, représentée par la séquence {1,0,0,0,0,0,0,0,0…..}. Intuitivement nous pouvons généraliser l'expression (1) en ajoutant 1de cette manière, soit la nouvelle fonction caractéristique de la fonction rang(xₙ)=n, avec n ∈ N, définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ)=n)=0, si xₙ≠n 
• 1A(rang(xₙ)=n)=1, si xₙ=n 

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n) étant définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N,  1A(rang(xₙ)=n)=⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1) (2). Donc par exemple pour x₂ la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₂)=n=2; pour xₙ₌₁=1, la fonction de rang correspondante rang(xₙ₌₁)=n=1, est représentée par la séquence {1,0,0,0,0,0,0,0,0…..}, et selon la nomenclature du site web O.E.I.S., la séquence "A000007" correspondant à "La fonction caractéristique de 0: a (n) = 0 ^ n", comme l'illustre la page web du site "O.E.I.S." ci-dessous:

Tandis que pour x₀ la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₀)=n=0 représentée par la séquence {0,0,0,0,0,0,0,0,0…..}, répertoriée comme numéro de séquence "A000004" sur le site web "O.E.I.S." , et définie comme "La séquence zéro" de la formule "a(n)= 0 pour tout entier n." come illustré précédemment en haut de page.

Pour illustrer l'expression (2) précédemment écrite, ci-dessus est la page web de la représentation de la séquence dont la nomenclature est A185116, sur le site web "O.E.I.S.", dont nous élaborons l'expression par la somme des expressions (2) de la fonction de rang de xₙ précédemment définie, soit la fonction caractéristique de la fonction rang(xₙ)=n et rang(yₙ)=n , avec n ∈ N, définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• (1A(rang(xₙ₌₁)=1)+ (∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=0, si yₙ≠n)))=0, si xₙ≠n=1 et yₙ=n<7
• (1A(rang(xₙ₌₁)=1)+(∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=1, si yₙ=n)))=1, si xₙ=n=1 et yₙ=n>=7

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(1A(rang(xₙ₌₁))+∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ≥7)=n≥7)) étant définie comme suit:
Soit xₙ₌₁=1 et ∀ xₙ ∈ N*, soit xₙ≥7, ∀ n ∈ N, 1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1)+∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ≥7)=n≥7))=⌊((1+1)/(n+1)+n)/(1+1)⌋-⌊((n+1)*(1+1)+n)/(1+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)+(∑(n=7→n=∞:⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1))= ⌊(2/(n+1)+n)/2⌋-⌊((n+1)*2+n)/2⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)+(∑(n=7→n=∞:⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1))   (3). 

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Nous généraliserons cette expression (3) en généralisant la somme des expressions (3) de la fonction de rang de xₙ et yₙ précédemment définie, soit premièrement l'expression de cette fonction caractéristique de 1A(∑(n=b → n=∞: 1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a)) définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N et xₙ≤a, ∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N, 1A(∑(n=1 → n ≤ a :1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a)) = (∑(n=1→n≤a:⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)); soit deuxièmement l'expression de cette fonction caractéristique de 1A(∑(n=b → n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n ≥b)) définie comme suit:

∀ yₙ ∈ N et yₙ≥b, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N, 1A(∑(n ≥b → n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n≥ b))=(∑(n ≥b → n=∞:⌊((yₙ+1)/(n+1)+n)/(yₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(yₙ+1)+n)/(yₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)); donc nous obtenons la généralisation de l'expression (3) comme suit: 

∀ xₙ ∈ N et xₙ≤a, ∀ yₙ ∈ N et yₙ≥b, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a<b et b-a>=2; ∀ n ∈ N,  1A(∑(n=1 → n ≤ a: 1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a)) + 1A(∑(n ≥b → n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n≥ b))= (∑(n=1→n≤a:⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1))+(∑(n ≥b → n=∞:⌊((yₙ+1)/(n+1)+n)/(yₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(yₙ+1)+n)/(yₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1))  (3').

∴

Nous simplifierons la généraliserons de cette expression (3) en simplifiant la somme des expressions (3') de la fonction de rang de xₙ et yₙ précédemment définie, soit premièrement l'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ≤a)) définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N et xₙ≤a, ∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N, 1A(∑(n=1 → n ≤ a: 1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a))=⌈n/(xₙ+1)⌉-⌈|n/(xₙ+1)-1|⌉+(1-(xₙ+1)mod(xₙ))*(1-(n+1)mod(n)); soit deuxièmement l'expression de cette fonction caractéristique de 1A(∑(n=b → n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n ≥b)) définie comme suit:

∀ yₙ ∈ N et yₙ≥b, ∀ b ∈ N*, ∀ n ∈ N, 1A(∑(n ≥b → n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n≥ b))=⌈n/(yₙ+1)⌉-⌈|n/(yₙ+1)-1|⌉+(1-(yₙ+1)mod(yₙ))*(1-(n+1)mod(n)); donc nous obtenons la simplification de la généralisation de l'expression (3') comme suit: 

∀ xₙ ∈ N et xₙ≤a, ∀ yₙ ∈ N et yₙ≥b, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a<b et b-a>=2; ∀ n ∈ N,  1A(∑(n=1 → n ≤ a: 1A(rang(xₙ≤a)=n≤ a)) + 1A(∑(n ≥b → n=∞: 1A(rang(yₙ≥b)=n≥ b))=⌈n/(xₙ+1)⌉-⌈|n/(xₙ+1)-1|⌉+(1-(xₙ+1)mod(xₙ))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(yₙ+1)⌉-⌈|n/(yₙ+1)-1|⌉+(1-(yₙ+1)mod(yₙ))*(1-(n+1)mod(n))  (4).

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En remplaçant par les valeurs correspondantes dans l'expression (4) pour devenir la formule de la séquence A185116(n) définie sur site O.E.I.S., c'est à dire l'expression de la fonction caractéristique de 1A(1A(rang(xₙ₌₁))+∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ≥7)=n≥7)) définie comme suit, nous obtenons:

1A: E→ {0,1}

• (1A(rang(xₙ₌₁)=1)+ (∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=0, si yₙ≠n)))=0, si xₙ≠n=1 et yₙ=n<7
• (1A(rang(xₙ₌₁)=1)+(∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=1, si yₙ=n)))=1, si xₙ=n=1 et yₙ=n>=7

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(1A(rang(xₙ₌₁))+∑(n=7→n=∞: 1A(rang(yₙ≥7)=n≥7)) étant définie comme suit:

Soit xₙ₌₁=1, soit yₙ≥7, ∀ n ∈ N, 1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1)+∑(n=7→n=∞:1A(rang(yₙ≥7)=n≥7))=⌈n/(1+1)⌉-⌈|n/(1+1)-1|⌉+(1-(1+1)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(7+1)⌉-⌈|n/(7+1)-1|⌉+(1-(7+1)mod(7))*(1-(n+1)mod(n))=⌈n/2⌉-⌈|n/2-1|⌉+(1-(2)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/8⌉-⌈|n/8-1|⌉+(1-(8)mod(7))*(1-(n+1)mod(n))  (5).

Cette séquence A185326 ci dessus est la transformation d'Euler de A185116 qui est donc l'inverse de la transformation de Euler de A185326. sachant que "La transformée d'Euler d'une séquence q est la suite de coefficients de x ^ n, n> 0, dans le développement de Product{n> 0} 1/ (1-x ^ n) ^ q (n). Le terme constant 1 est parfois considéré comme la partie zéro de la transformée d'Euler." Gus Wiseman, Oct 22 2018

Illustration ci-dessus extraite de "Sloane, N. J. A. and Plouffe, S., The Encyclopedia of Integer Sequences, San Diego, CA, Academic Press, pp. 20-21, 1995".

Nous pouvons reprendre la simplification de la généralisation de l'expression (3') résultant dans l'expression (4) en définissant tout d'abord la nouvelle fonction caractéristique correspondant à l'expression de la séquence illustrée ci-dessus toujours d'après sa représentation sur le site web "O.E.I.S." et numérotée A185115, comme suit: 

1A: E→ {0,1}

• (1A(rang(xₙ₌₁)=1) + (∑(n=6→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=0, si yₙ≠n)))=0, si xₙ≠n=1 et yₙ=n<6
• (1A(rang(xₙ₌₁)=1) + (∑(n=6→n=∞: 1A(rang(yₙ)=n)=1, si yₙ=n)))=1, si xₙ=n=1 et  yₙ=n>=6

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(1A(rang(xₙ₌₁))+∑(n=6→n=∞: 1A(rang(yₙ≥6)=n≥6)) étant définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N et xₙ≤a, ∀ yₙ ∈ N et yₙ≥b, avec a=1 et b=6, avec 1<6 et 6-2>=2; ∀ n ∈ N, 1A(∑(n=1→ n ≤ 1: 1A(rang(xₙ≤1)=n≤ 1))+1A(∑(n ≥6 → n=∞: 1A(rang(yₙ≥6)=n≥ 6))=⌈n/(1+1)⌉-⌈|n/(1+1)-1|⌉+(1-(1+1)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(6+1)⌉-⌈|n/(6+1)-1|⌉+(1-(6+1)mod(6))*(1-(n+1)mod(n))= ⌈n/2⌉-⌈|n/2-1|⌉+(1-(2)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(7)⌉-⌈|n/(7)-1|⌉+(1-(7)mod(6))*(1-(n+1)mod(n))   (6).

Pour illustrer encore l'expression la généralisation de l'expression (3') résultant dans l'expression (4) nous considérons cette fois-ci une opération de soustraction entre deux expressions (4) pour des variable différentes dans une nouvelle fonction caractéristique correspondant à l'expression de la séquence illustrée ci-dessus toujours d'après sa représentation sur le site web "O.E.I.S." et numérotée A185015(n) = A185115(n)-A185116(n), et que nous définissons comme suit: :

1A: E→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ₌₌₅)=n=5)=0, si xₙ≠n=5 
• 1A(rang(xₙ₌₅)=n=5)=1, si xₙ=n=5 

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ₌₅)=n=5) étant définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N et xₙ≤a, ∀ yₙ ∈ N et yₙ≥b, avec a=1 et b=6, avec 1<6 et 6-2>=2; ∀ n ∈ N, 

1A(∑(n=1→ n ≤ 1: 1A(rang(xₙ≤1)=n≤ 1))+1A(∑(n ≥6 → n=∞: 1A(rang(yₙ≥6)=n≥6))-1A(1A(rang(xₙ₌₁)=1)+∑(n=7→n=∞:1A(rang(yₙ≥7)=n≥7))=(⌈n/2⌉-⌈|n/2-1|⌉+(1-(2)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/(7)⌉-⌈|n/(7)-1|⌉+(1-(7)mod(6))*(1-(n+1)mod(n))) - (⌈n/2⌉-⌈|n/2-1|⌉+(1-(2)mod(1))*(1-(n+1)mod(n))+⌈n/8⌉-⌈|n/8-1|⌉+(1-(8)mod(7))*(1-(n+1)mod(n)))=(⌈n/(7)⌉-⌈|n/(7)-1|⌉+(1-(7)mod(6))*(1-(n+1)mod(n)))-( ⌈n/8⌉-⌈|n/8-1|⌉+(1-(8)mod(7))*(1-(n+1)mod(n))))  (7)

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Cette nouvelle expression (7) peut encore se simplifier en la considérant équivalente en remplaçant par la valeur correspondante de 5 dans l'expression générale de fonction caractéristique de la fonction rang(xₙ)=n, avec n ∈ N, définie comme suit précédemment:

1A: E→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ)=n)=0, si xₙ≠n 
• 1A(rang(xₙ)=n)=1, si xₙ=n 

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n) étant définie comme suit:

∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N,  1A(rang(xₙ)=n)=⌊((xₙ+1)/(n+1)+n)/(xₙ+1)⌋-⌊((n+1)*(xₙ+1)+n)/(xₙ+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1) (2).

Donc pour x₅ la fonction de rang correspondante est rang(xₙ₌₅)=n=5, et en remplaçant par la valeur correspondante dans l'expression (2), nous obtenons la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ₌₅)=n=5)=0, si xₙ≠5 
• 1A(rang(xₙ₌₅)=n=5)=1, si xₙ=5 

L'expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ₌₅)=n=5) étant définie comme suit:

Soit xₙ₌₅, ∀ n ∈ N,  1A(rang(xₙ₌₅)=n=5)=⌊((5+1)/(n+1)+n)/(5+1)⌋-⌊((n+1)*(5+1)+n)/(5+1)⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)=⌊(6/(n+1)+n)/6⌋-⌊((n+1)*6+n)/6⌋-(n+1)*⌊(n+2)/(n+1)⌋+2*(n+1)  (2')∼(7'), une expression représentée par la séquence {0,0,0,0,1,0,0,0,0…..}, et selon la nomenclature du site web "O.E.I.S.", la séquence A185015(n) correspondant à "La fonction caractéristique de 5" comme l'illustre la page web du site "O.E.I.S." ci-dessus.

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ