45: 3'A XIV FONCTIONS SIMPLES DE TRANSLATIONS DE MOUVEMENTS SÉQUENTIELS

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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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"Une translation est un déplacement rectiligne représenté par un vecteur (une flèche). Le vecteur indique les 3 caractéristiques de la translation: direction, sens et longueur. La translation de n’importe quel objet géométrique peut être représentée par un vecteur colonne ou une matrice de colonne. En géométrie, une translation est une transformation géométrique qui correspond à l'idée intuitive de « glissement » d'un objet, sans rotation, retournement, ni déformation de cet objet. Une translation déplace une forme vers la gauche, la droite, le haut ou le bas, mais ne tourne pas. Les formes translatées (ou l’image) semblent avoir la même taille et ont exactement la même taille que la forme d’origine, et donc les formes sont congruentes les unes aux autres. Elles ont simplement été déplacées dans une ou plusieurs directions. Puisqu’il s’agit simplement de déplacer la forme d’un endroit à un autre, il n’y a pas de changement dans la forme. La direction ou la trajectoire de ce changement de position de l’objet peut varier, c’est-à-dire qu’au début, l’objet peut se déplacer vers la gauche, puis tourner vers la droite, et ainsi de suite. Lors de la conversion, tous les points de la forme se décalent du même nombre d’unités. Par exemple, si un point se déplace de 2 unités vers la droite, tous les points se déplaceront également de 2 unités vers la droite".

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"Une translation est un déplacement rectiligne représenté par un vecteur (une flèche). Le vecteur indique les 3 caractéristiques de la translation: direction, sens et longueur.

 L'image M' de coordonnées (x',y') du point M de coordonnées (x,y) par la translation de vecteur MM' "

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"Pour un graphe d’une fonction, tous les graphes ci-dessus sont des translations verticales les uns des autres".

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I) LES FONCTIONS UNIQUES DE TRANSLATIONS SÉQUENTIELLES D'UN SEUL ÉLÉMENT OU DE PLUSIEURS ÉLÉMENTS SUCCESSIFS:

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Après avoir rapporté dans notre introduction la définition usuelle en géométrie de l'opération de la translation à seule fin d'indiquer la similarité conceptuelle entre la translation géométrique et la translation de mouvement séquentiel d'un ou plusieurs éléments appartenant à l'ensemble des éléments d'une suite de nombres, nous adaptons maintenant cette opération de translation géométrique plus précisément à la translation de mouvement séquentielle, que nous définissons dans ce premier sous-titre comme limitée aux mouvements de déplacement soit d'un seul élément égal à 1 appartenant à une suite de nombres à valeur nulle ou égale à 1, soit de plusieurs éléments nuls et égaux à 1, d'une sous séquence d'une séquence de nombres à valeur nulle ou égale à 1, et dans ce dernier cas formant un sous-ensemble de valeurs continues ou discontinues. Il s'agira décrit prosaïquement d'un déplacement d'élément(s) de la droite vers la gauche, correspondant à un changement croissant d'index de position de ou ces élément(s), ou d'un déplacement d'élément(s) de la gauche vers la droite, correspondant à  un changement décroissant d'index de position de cet élément, ou de ces éléments. Encore plus visuellement descriptif, il s'agit de mouvements des éléments d'un ensemble que l'on visualise comme correspondants à des opérations simultanées d'addition et de soustraction de séquences d' éléments qui sont des nombres à valeurs dans l'ensemble {0;1}, {0; n}, {1; n}, avec n ∈ N*, c'est-à-dire des éléments d'une séquence de nombres à valeurs de 1 ou de n remplacées par des éléments de cette même séquence à valeurs de 0 et inversement simultanément, donnant figurativement un déplacement d'une ou des valeurs de 1 ou n, sur un "pseudo axe séquentiel" de valeurs de 0. 

Ensuite, nous formalisons ce terme de déplacement pour l'ensemble de toutes translations de mouvements séquentiels, tout d'abord en remarquant que l'adjectif séquentiel vient du nom de séquence qui est défini comme "une collection énumérée d’objets dans laquelle les répétitions sont autorisées et l’ordre est important. Comme un ensemble, il contient des membres (également appelés éléments ou termes). Le nombre d’éléments (éventuellement infini) est appelé la longueur de la séquence. Contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l’ordre est important. Formellement, une séquence peut être définie comme 

signifiant en fait une suite définie comme "une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de {N}  dans E.". 

Puis, nous définissons le terme de déplacement d'élément comme étant équivalent à celui de translation d'élément dans une séquence de nombres à valeurs dans {0:1}, que nous pouvons illustrer par l'exemple de l'opération de translation de mouvement séquentiel sur une première séquence dont la représentation est SeqAᵢ₌₂₄=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0), résultant dans la deuxième séquence SeqA'ᵢ₌₂₄=(0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0), et correspondant à une opération d'ajout de trois éléments de valeurs égale à 0 précédent l'élément de valeur égale à 1 et d'index de position INDEX([xᵢ₌₁])=INDEX([1ᵢ₌₁])=1, qui est donc changé pour devenir l'index de position INDEX([xᵢ₌₁])=INDEX([1ᵢ₌₁])=4. 

Rappelons par rapport à la définition du terme de rang d'une séquence, la définition de la position d'un élément d'une séquence, qui correspond à "l'index auquel cette valeur apparaît correspondante au décalage de l'élément depuis le début de la séquence, avec l’élément de tête (c’est-à-dire le premier) de la séquence a l'index 0 ou 1, l’élément suivant a l'index 1 ou 2, et ainsi de suite, et s'il y a N éléments dans la séquence, alors les indices vont de 0 ou 1 à N-1 ou N (il n'y a pas de "trous" dans la séquence)". Donc le terme ainsi défini d'index correspondant à la position d'un élément d'une séquence et qui est l’ordinal qui caractérise la position de cet élément, qu'il ne faut pas confondre avec le terme de rang d'un élément dans une séquence c'est-à-dire le nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, car il est communément admis par erreur que dans une suite de nombres, qui est un cas particulier d'une séquence en général, que l'on utilise indifféremment le terme d'index et de rang, et dès lors les deux termes peuvent être strictement distingués si l'on considère la différence entre décrire la taille d'un ensemble, correspondant au terme de rang, et donner la position d'un élément dans une suite ordonnée, correspondant au terme d'index. Ainsi, la fonction INDEX( [xᵢ₌₁] )=1 d'un élément d'une séquence telle que SeqA'ᵢ₌₂₄, renvoie une valeur ou une référence à une valeur provenant de la position de cet élément d'une suite d'un ensemble de nombres par rapport à d'autres éléments de cet ensemble et par rapport à la suite de nombres des entiers naturels N sur laquelle ils sont indexés. La fonction RANG( [xᵢ₌₁] ) de l'élément xᵢ₌₁=1 d'une séquence telle que aussi SeqA'ᵢ₌₂₄, renvoie une valeur correspondante au nombre d'éléments de la séquence dont les valeurs sont supérieures à la valeur de cet élément, soit RANG( [xᵢ₌₁] )=0.

Or si cette opération de translation de mouvement correspond à une opération d'ajout de trois éléments de valeurs nulles appartenant à la séquence notée SeqAᵢ₌₂₄, précédent la position de l'élément de valeur 1 dont l'index de position de cet élément était 1, pour devenir le nouvel index de position égal à 4 soit par exemple INDEX( [xᵢ₌₁] )=1 est une opération sur les index de position qui correspond à un calcul algébrique combinant lettres et nombres, et l'opération d'addition, soit INDEX( [xᵢ₌₁₊₃₌₄] )=INDEX( [xᵢ₌₄] )=4; mais aussi une opération de translation qui se double d'une opération sur les séquences de nombres et qu'il faut transformer en calcul numérique c'est-à-dire en une opération de soustraction et d'addition sur les suites de nombres et équivalente à ces mêmes opérations sur des matrices lignes, que nous représentons en prenant l'exemple précédent de la façon suivante:

SeqAᵢ₌₂₄=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0) + SeqAᵢ₌₂₄= (-1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;

0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0) = Seq0ᵢ₌₂₄= (0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0); suivit de l'opération Seq0ᵢ₌₂₄= (0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0) + SeqA'ᵢ₌₂₄= (0;0;0;1;0;0;

0;0;0;0;0;0;0;0;0;0; 0;0;0;0;0;0;0,0)=SeqA'ᵢ₌₂₄=(0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0). 

Donc dans ce nouveau chapitre nous utilisons une nouvelle méthode de calcul unifiant les deux méthodes de calcul, soit algébrique sur les index de position et le calcul numérique sur les suites correspondantes à des matrices lignes, en un seul calcul celui d'une opération de transformation séquentielle en général et celle en particulier que j'ai appelé la translation de mouvement séquentiel à laquelle correspond l'expression des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques définissant la fonction simple en général qu'est cette fonction de translation de mouvements séquentiels. 

Nous définissons cette fonction de translation de mouvements séquentiels, plus particulièrement comme correspondant à une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles (y compris les intervalles dégénérés à un seul élément) dans un ensemble de valeurs choisies; et en général nous définissons cette fonction de translation de mouvement séquentiel, soit des éléments d'une séquence à valeurs par exemple dans l'ensemble {0;1}, par ces conditions, soit, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), alors la fonction de translation est notée TRANSLATION( [xᵢ]⋆⋆[xᵢ₊ₓ] )=[xᵢ₊ₓ]. Toujours dans les mêmes conditions de définition applicables à d'autres fonctions nous la différencions de la fonction d'annulation et la fonction d'insertion définie précédemment dans la rubrique dédiée pour différencier l'opération d'annulation ou d'insertion de valeur 0, de l'opération de déplacement d'une ou plusieurs valeurs d'une suite de nombres qui résultent dans l'apparition de valeurs de 0 à droite ou à gauche de la valeur déplacée ou des valeurs déplacées correspondant au sens du déplacement dans la séquence des éléments à laquelle cette valeur ou ces valeurs d'éléments appartiennent. En effet dans le cas d'une opération par la fonction d'annulation, correspondant à une opération binaire représentée par l'opérateur ⋆⋆⋆ sur deux intervalles (y compris les intervalles dégénérés à un seul élément) dans un ensemble de valeurs choisies, soit ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), la fonction simple notée NULL( [xᵢ] ⋆⋆⋆ [xᵢ; xᵢ₊ₓ])=[xᵢ₊₁;xₓ] , on élimine des valeurs non nulles remplacées par 0 pour préserver le cardinal de l'ensemble dans lequel l'opération d'annulation a été effectuée. Dans le cas d'une opération par la fonction insertion, correspondant à une opération binaire représentée par l'opérateur ⋆⋆⋆⋆ sur deux intervalles (y compris les intervalles dégénérés à un seul élément) dans un ensemble de valeurs choisies, soit ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), la fonction simple notée INSERT( [xᵢ₋ₓ₋ₓ ] ⋆⋆⋆⋆ [xᵢ; xᵢ₊ₓ])=[xᵢ₋ₓ₋ₓ ;xᵢ₊ₓ], on augmente le cardinal de cet ensemble de la même quantité d'éléments de valeurs nulles correspondant à la quantité d'éléments de valeurs non nulles insérés dans la séquence. Dans le cas d'une opération de concaténation définie par soit la fonction de concaténation de deux intervalles d'éléments d'une séquence, soit ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), la fonction simple notée par l'opérateur ‖, CONCATÉNATION( [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊ₖ] ‖ [xᵢ₌ₓ₊ₖ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₚ] , on ajoute de nouveaux éléments à nouvelles valeurs à l'extrémité d'une sous séquence d'éléments de cette séquence en modifiant le cardinal de l'ensemble de la quantité d'éléments concaténés. Tandis que dans l'opération de translation de mouvement séquentiel, il n'y a pas d'élimination de valeurs remplacées par 0, et pas d'incrémentation par la valeur de la quantité d'éléments insérés, du cardinal de l'ensemble considéré, simplement des valeurs 0 qui apparaissent par le calcul effectué sur les éléments mêmes de cette séquence de nombres, correspondant à un calcul algébrique indirect sur les Index de ces nombres. 

Donc après cette précision nécessaire sur l'effet de la fonction de translation de mouvement différent de celui de la fonction d'annulation, d'insertion et de concaténation, nous définissons maintenant 2 catégories de fonctions de translations de mouvements séquentiels, soit d'un seul élément, soit de plusieurs éléments successifs, et correspondants à 6 types d'appartenance d'ensemble des valeurs des éléments translatées, comme suit:

• soit, à valeurs successivement égales dans l'ensemble {0;1}, c'est-à-dire des éléments d'un ensemble dont les éléments appartiennent à une sous suite de valeurs 1 et au plus deux sous suites d'éléments de mêmes valeurs 0, soit par exemple de représentation, SeqXᵢ=(0;0;0;0;0;0; xᵢ₌ₐ₊₁;..xᵢ₌ₐ₊₁₊₁; xᵢ₌ₐ₊₁₊₂; xᵢ₌ₐ₊₁₊₃;..xᵢ₌ₚ₋₁; xᵢ₌ₚ; xᵢ₌ₚ₊₁;0; 0; 0; 0..), et plus formellement de représentation, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); 

• soit à valeurs successivement incrémentales dans l'ensemble {0; N*}, c'est-à-dire des éléments d'un ensemble dont les éléments appartiennent à une sous suite de valeurs n >0 et au plus deux sous suites d'éléments de mêmes valeurs 0, et représentés par exemple comme SeqNᵢ=(0;0;0;0;0;0; nᵢ₌ₐ₊₁⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₁⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₂⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊₂; nᵢ₌ₐ₊₁₊₃⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊₃;.....nᵢ₌ₚ₋₁⋆*⋆xᵢ₌ₚ₋₁; nᵢ₌ₚ⋆*⋆xᵢ₌ₚ; nᵢ₌ₚ₊₁⋆*⋆xᵢ₌ₚ₊₁;0;0;0;0..), et plus formellement de représentation, ∀ nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ SeqNᵢ⋆*⋆SeqXᵢ=(nᵢ⋆*⋆xᵢ₌₁; nᵢ₊₁⋆*⋆xᵢ₊₁; nᵢ₊₂⋆*⋆xᵢ₊₂; nᵢ₊₃⋆*⋆xᵢ₊₃; nᵢ₊₄⋆*⋆xᵢ₊₄; nᵢ₊₅⋆*⋆xᵢ₊₅; nᵢ₊₆⋆*⋆xᵢ₊₆; nᵢ₊₇⋆*⋆xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1 ∧ xᵢ₊ₓ₊₁-xᵢ₊ₓ =1 ∨ xᵢ₊ₓ₊₁-xᵢ₊ₓ = -1 ∨ xᵢ₊ₓ₊₁-xᵢ₊ₓ = 0}); 

• soit à valeurs successivement incrémentales dans l'ensemble {1; N*}, c'est-à-dire des éléments d'un ensemble dont les éléments appartiennent à une sous suite de valeurs n>0 et au plus deux sous suites d'éléments de mêmes valeurs 1; et représentées par exemple comme SeqNᵢ=(1;1;1;1;1;1; nᵢ₌ₐ₊₁⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₁⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₂⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊₂; nᵢ₌ₐ₊₁₊₃⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊₃;.....nᵢ₌ₚ₋₁⋆*⋆xᵢ₌ₚ₋₁; nᵢ₌ₚ⋆*⋆xᵢ₌ₚ; nᵢ₌ₚ₊₁⋆*⋆xᵢ₌ₚ₊₁;1;1;1;1..), et plus formellement de représentation, ∀ nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ SeqN⋆*⋆SeqXᵢ=(nᵢ⋆*⋆xᵢ; nᵢ₊₁⋆*⋆xᵢ₊₁; nᵢ₊₂⋆*⋆ xᵢ₊₂; nᵢ₊₃⋆*⋆xᵢ₊₃; nᵢ₊₄⋆*⋆xᵢ₊₄; nᵢ₊₅⋆*⋆xᵢ₊₅; nᵢ₊₆⋆*⋆xᵢ₊₆; nᵢ₊₇⋆*⋆xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1 ∧ xᵢ₊ₓ₊₁-xᵢ₊ₓ=1 ∨ xᵢ₊ₓ₊₁-xᵢ₊ₓ= -1 ∨ xᵢ₊ₓ₊₁-xᵢ₊ₓ=0});  

• soit à valeurs successivement incrémentales dans l'ensemble N*, c'est-à-dire des éléments d'un ensemble dont les éléments appartiennent à une sous suite de valeurs n ∈ N* ; et représentées par exemple comme SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₂; nᵢ₌ₐ₊₁₊₃;.....nᵢ₌ₚ₋₁; nᵢ₌ₚ; nᵢ₌ₚ₊₁;..), et plus formellement de représentation, ∀ nᵢ ∈ SeqXᵢ=(nᵢ; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ=n ∧ i=n ∨ nᵢ=n ∧ i≠n ∧ nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1});  

• soit à valeurs non successivement incrémentées dans l'ensemble N* ou R*, c'est-à-dire des éléments d'un ensemble dont les éléments appartiennent à une sous suite de valeurs non successives n ∈ N*, et représentés par exemple SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₂; nᵢ₌ₐ₊₁₊₃;.....nᵢ₌ₚ₋₁; nᵢ₌ₚ; nᵢ₌ₚ₊₁;..), et plus formellement de représentation, ∀ nᵢ ∈ SeqXᵢ=(nᵢ; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ=n ∧ i=n ∨ nᵢ=n ∧ i≠n  ∧ nᵢ₊₁=nᵢ₊₂ ∨ nᵢ₊₂-nᵢ₊₁=1 ∨ nᵢ₊₂-nᵢ₊₁<1 ∨ nᵢ₊₂-nᵢ₊₁>1 ∨ nᵢ₊₂-nᵢ₊₁<0 ∨ nᵢ₊₂-nᵢ₊₁>0});  

• soit de valeurs non incrémentées successivement dans l'ensemble R*, c'est-à-dire des éléments d'un ensemble dont les éléments appartiennent à une sous suite de valeurs non successives r ∈ R*; et représentées par exemple avec SeqRᵢ=(rᵢ₌₁; rᵢ₌ₐ₊₁₊₁; rᵢ₌ₐ₊₁₊₂; rᵢ₌ₐ₊₁₊₃;.....rᵢ₌ₚ₋₁; rᵢ₌ₚ; rᵢ₌ₚ₊₁;..), et plus formellement de représentation, ∀ rᵢ ∈ SeqRᵢ=(rᵢ; rᵢ₊₁; rᵢ₊₂; rᵢ₊₃; rᵢ₊₄; rᵢ₊₅; rᵢ₊₆; rᵢ₊₇...) ⊆ R* ↔ SeqRᵢ=({rᵢ ∈ [rᵢ₌₁; rᵢ₌∞] | rᵢ=r ∧ i=n ∨ rᵢ=n ∧ i≠n ∧ rᵢ₊₁=rᵢ₊₂ ∨ rᵢ₊₂-rᵢ₊₁=1 ∨ rᵢ₊₂-rᵢ₊₁<1 ∨ rᵢ₊₂-rᵢ₊₁>1 ∨ rᵢ₊₂-rᵢ₊₁<0 ∨ rᵢ₊₂-rᵢ₊₁>0 }).

Notre catégorisation progressivement ordonnée servant à généraliser l'expression de la fonction de translation de mouvements séquentiels d'un seul ou plusieurs éléments successifs dans une suite de nombres quelconques éventuellement, révèlera progressivement d'autres fonctions simples soient combinaison linéaire de la fonction de translation de mouvement séquentiel, soient sui generis en relation avec cette fonction, par exemple nous montrerons que l'expression de la translation de mouvements séquentiels correspond à une opération de la fonction d'index. Mais aussi nous montrerons que l'expression générale de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel, n'est pas la seule expression pour opérer une translation de mouvement d'un seul ou plusieurs éléments successifs dans une suite de nombres quelconques de N* ou de R ce que nous exposerons dans notre chapitre dédié à la la fonction de la fonction d'interversion "50: 8'A XVII FONCTION D'INTERVERSION", équivalente à la fonction de translation de mouvements séquentiels d'éléments successifs et non successifs à valeurs dans l'ensemble N* et dans R.

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1.1) Les fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels d'un ou de plusieurs éléments successifs de valeur identique dans {0;1}:

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1.1.a) Les fonctions de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément à valeur dans {0;1}:

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Pour définir l'expression de la fonction de translation de mouvement séquentiel d'un seul élément de la séquence SeqXᵢ, et à valeur dans l'ensemble {0;1}, nous définissons tout d'abord les expressions des fonctions caractéristiques qui sont soit des fonctions de compositions de cette fonction de translation de mouvement séquentiel, soit les expressions équivalentes à cette fonction, ce qui est ce dernier cas ici avec l'équivalence entre l'expression de la fonction caractéristique de translations de mouvement séquentiel d'un seul élément de l'ensemble des éléments de la séquence SeqXᵢ, à valeur dans {0;1}, et l'expression de la fonction caractéristique d'un seul élément xᵢ=1 de la séquence SeqXᵢ à valeur dans l' ensemble {0;1}. Ainsi, nous considérons les étapes de l'élaboration de l'expression de cette fonction caractéristique équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel d'un seul élément de la séquence SeqXᵢ, en écrivant tout d'abord les conditions de la définition de la première de ces fonctions caractéristiques, soit, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=( xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, et correspondantes à la définition de la fonction caractéristique de la fonction d'index de position séquentiel d'un seul élément, comme suit:

1A: N→ {0,1}

• 1A(INDEX( [xᵢ₌ₚ] ))=0, si p≠nᵢ*xᵢ

• 1A(INDEX( [xᵢ₌ₚ] ))=1, si p=nᵢ*xᵢ₌ₚ

L'expression de cette fonction caractéristique 1A(INDEX(xᵢ₌ₚ)) de la fonction d'index de xᵢ₌ₚ notée INDEX(xᵢ₌ₚ)=p, formulée pour un calcul numérique est encore définie tout d'abord comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N* avec a <= p ; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX([xᵢ=0])>INDEX([xᵢ=1] )}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; et avec p=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a:

1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))=(⌈|n/(p+1)-1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)     (1)

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies,  SeqAᵢ₌₂₄=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₄] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) ⊆ {0;1}); ∀ xₙ ∈ SeqXₙ=(xₙ₌₁, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ {0;1}↔ SeqXₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1}); ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N avec a<=p, nous considérons l'exemple de a=0, et p=1, correspondant à l'expression 1A(INDEX( [xₙ₌₁] ))=((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0 ;0;0;0,0); et donc avec a=2 et p+s=3, l'expression correspondant à 1A(INDEX([xₙ₌₃] ))=((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)), de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;

0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0)

∴

Après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que: 

(1)⇒INDEX([xᵢ₌ₚ])=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(p+1)-1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)*n)  ]=p     (1)'. Et nous remarquons encore que la valeur de la variable choisie p est aussi la valeur dans N* de l'index de position de xᵢ₌ₚ. Et nous remarquons encore que la valeur de la variable choisie p est aussi la valeur dans N* de l'index de position de xᵢ₌ₚ.Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ) >1; avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<p, p-a >1; et avec a=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card(SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}))+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a. 

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies,  SeqAᵢ₌₂₄=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₄] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) ⊆ {0;1}); ∀ xₙ ∈ SeqXₙ=(xₙ₌₁, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ {0;1}↔ SeqXₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1}); ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N avec a<=p, nous considérons l'exemple de a=0, et p=1, correspondant à l'expression INDEX( [xₙ₌₁] )=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))*n) ]=p=1, de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0 ;0;0;0,0); et donc avec a=2 et p+s=3, l'expression correspondant à INDEX([xₙ₌₃] )=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n) ]=p+s=3, de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(0;0;3;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0).

∴ 

Ensuite nous définissons l'expression de la fonction de translation de mouvement de xᵢ=1 en considérant que la translation de mouvement séquentiel d'un seul élément de SeqXᵢ à valeur dans {0;1}, correspond en fait à une opération de translation de mouvement séquentiel sur deux intervalles, soit le premier constitué de la valeur de l'index de position précédente de l'élément translaté, à valeurs dans {0;1}; et le deuxième constitué de l'index de position nouveau de l'élément translaté à valeurs dans {0;1}. Cette opération de translation s'applique par extension aux indices des éléments translatés toujours de valeur égale à 1 et notée en général xᵢ=1, comme un processus d'agglutination décrivant cette opération de translation depuis une position d'index à une nouvelle position d'index, et non pas de multiplication des valeurs des indices nᵢ avec les valeurs de xᵢ=1, pour obtenir xᵢ=1 et non xᵢ*nᵢ . Cette opération de translation, pourrait correspondre à une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles, qui est définie en ne considérant qu'un seul cas d'intervalle correspondant à la translation de mouvement d'un élément à valeur dans {0;1}, en considérant qu'un intervalle peut être défini dans n'importe quel ensemble de nombres pourvu qu'il soit indiqué comme ici l'intervalle des nombres entiers donc un intervalle dans l'ensemble des nombres entiers. Wikipédia confirme d'ailleurs cette notation d'intervalle défini dans n'importe quel ensemble possible comme suit: 

"Dans tout ensemble totalement ordonné ( S, ≤ ), on peut définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls). Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l'intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3, mais il serait dangereux de le noter [–5, 3] sans avertissements préalables à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ⟦–5, 3⟧ et parfois la notation avec des crochets doubles. Un intervalle dégénéré est tout ensemble constitué d'un seul nombre réel c'est-à-dire un intervalle de la forme [a, a]. Certains auteurs incluent l'ensemble vide dans cette définition."

Donc j'écris tout d'abord ma définition par extension d'un intervalle dans l'ensemble des nombres à valeur dans {0;1} comprend les intervalles des types suivants ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌∞=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇..xᵢ₌∞.) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ₌∞=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ i=a ∈ N* et deux intervalles de deux types en général, un intervalle dégénéré ou non dégénéré dit propre et qui sont définis ici à valeur dans {0;1}, en ne considérant qu'un seul cas d'intervalle, soit un intervalle dégénéré, fermé et non ouvert:

• [xᵢ₌ₓ]={xᵢ ∈ {0;1}∣  xᵢ₌ₐ<= xᵢ₌ₓ <= xᵢ₌ₐ₊₂ ∨ xᵢ₌ₐ >= xᵢ₌ₓ <= xᵢ₌ₐ₊₂ ∨ xᵢ₌ₐ >= xᵢ₌ₓ <= xᵢ₌ₐ₊₂  ∨ xᵢ₌ₐ <= xᵢ₌ₓ >= xᵢ₌ₐ₊₂  ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊₂)}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 ;  que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ =1 ∨ xᵢ₌ₓ=0, est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a de l'élément xᵢ₌ₐ=0 ∨ xᵢ₌ₐ=1; et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+2 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₂=0 ∨ xᵢ₌ₐ₊₂=1. (a)

• [xᵢ₌ₓ=1]={ xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ<=xᵢ₌ₓ=1>= xᵢ₌ₐ₊₂ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊₂)}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a de l'élément xᵢ₌ₐ=0 ∨ xᵢ₌ₐ=1; et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ=1 est inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+2 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₂=0 ∨ xᵢ₌ₐ₊₂=1..   (a')

• [xᵢ₌ₓ=0]={ xᵢ ∈{0;1}∣ xᵢ₌ₐ<= xᵢ₌ₓ=0<= xᵢ₌ₐ₊₂ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊₂)}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert; et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a de l'élément xᵢ₌ₐ=0 ∨ xᵢ₌ₐ=1; et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ=0 est inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+2 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₂=0 ∨ xᵢ₌ₐ₊₂=1.   (a')'

Donc soit la translation, une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles en général, qui est définie en ne considérant qu'un seul cas d'intervalle, soit un intervalle dégénéré, fermé et non ouvert, correspondant à la translation de mouvement d'un seul élément d'une séquence de nombres à valeurs dans {0;1}, alors [xᵢ₌ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₂]={ xᵢ⋆⋆xᵢ ∈ {0;1} | xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊₂ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊₂]=[xᵢ₌ₐ₊₂] }, et cet ensemble de toutes les valeurs possibles qui sont dans leurs intervalles correspondants à [xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊₂], s'écrit par extension l'ensemble{1ᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊₂}={1ᵢ₌ₐ₊₂}. Nous noterons cette fonction de translation en général, TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ]⋆⋆[xᵢ₌ₓ₊₁] ), et correspondant à l'opération de translation définie comme une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles, donc dans le cas d'un seul élément d'une séquence, deux intervalles dégénérés, correspondant aux deux index de positions successives de l'élément translaté à valeur dans {0;1}, ici égale à 1, c'est-à-dire reprenant notre exemple précédent (a) et (a'), correspondant au changement de la valeur de l'index de position de xᵢ, donné par la fonction INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁)=a+1, et la valeur de l'index de position de xᵢ, définie par la fonction INDEX(xᵢ₌ₐ₊₂)=a+2, donc dans ce cas particulier de la translation d'un seul élément d'une séquence, la fonction de translation notée TRANSLATION( [xᵢ₌ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₂] ). 

∴

Ensuite toujours dans les étapes pour définir l'expression de la fonction de translation d'un seul élément dans l'ensemble des valeurs {0;1}, nous définissons la fonction de quantification de translation de mouvement de xᵢ notée QTTRANSLATION, définie par la différence entre la valeur de l'index de position donné par la fonction INDEX(xᵢ₌ₚ) = p, avec l'index de position définie par la fonction INDEX(xᵢ₌ₚ₊ₛ) = p+s, donc cette fonction est définie de la façon suivante:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<= p ; ∀ s ∈ N*; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; avec p=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}) + a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit  a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a; et avec a'=,card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)} ), c'est à dire que la valeur de la variable a' correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0, et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; avec p+s=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a', c'est-à-dire que la valeur de la variable p+s correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a'=a+s, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p+s-a'; et après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que:

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=| INDEX(xᵢ₌ₚ₊ₛ) - INDEX(xᵢ₌ₚ) |= | ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1) - (⌈|n/(a' +1)-1|⌉-⌈n/(a'+1)⌉+1))*n ) ] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n )] |=s; avec a'=a+s.        (1)''

∴

Par exemple nous écrivons l'expression de la fonction de Quantité de translation de mouvement séquentiel de l'élément xᵢ₌ₚ de la position d'index de valeur  p=1, à la position d'index de l'élément xᵢ₌ₚ₊ₛ et de valeur p+s=1+2=3 de la façon suivante soit:

QTTRANSLATION( [xᵢ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌₃] )=| INDEX([xᵢ₌₁₊₂] ) - INDEX([xᵢ₌₁] ) | =| ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1) - (⌈|n/(a'+1)-1|⌉-⌈n/(a'+1)⌉+1) )*n)] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ( (⌈|n/(1+1)-1|⌉ - ⌈n/(1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n) ] |=3-1=2                     (1)''

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies,  SeqAᵢ₌₂₄=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₄] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) ⊆ {0;1}); ∀ xₙ ∈ SeqXₙ=(xₙ₌₁, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ {0;1}↔ SeqXₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1}); ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N avec a<=p, nous considérons l'exemple de a=0, et p=1, correspondant à l'expression 1A(INDEX( [xₙ₌₁] ))=((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0 ;0;0;0,0); et donc avec a=2 et p+s=3, l'expression correspondant à 1A(INDEX([xₙ₌₃] ))=((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)), 

de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0), 

alors, QTTRANSLATION( [xₙ₌₁]⋆⋆ [xₙ₌₃] ) )=| INDEX([xₙ₌₃] ) - INDEX([xₙ₌₁]) |= | ∑ n=1→n=24: [ ( ((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n) ] - ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))*n ) ] |=3-1=2.

∴

Donc, la quantification de la translation de mouvement d'un seul élément de valeur égale à 1 appartenant à un ensemble d'éléments qui sont les nombres d'une séquence a valeur dans {0;1}, correspond à la différence entre la valeur de son nouvel index de position égale à la valeur de la variable choisie p, et la valeur de son index de position précédente en remarquant que le mouvement de cette translation est soit un déplacement de gauche à droite c'est-à-dire un déplacement du début de la séquence correspondant à son premier nombre vers le dernier élément de la séquence, qui peut correspondre soit à son dernier nombre si la séquence est finie soit à l'infini. Nous définissons donc une translation de mouvement dans le sens contraire avec le déplacement d'une valeur de la droite vers la gauche, c'est-à-dire vers la position du premier élément de la séquence de nombre correspondant encore à son premier nombre, et la valeur de cette translation sera égale comme précédemment à la différence entre la valeur de la variable choisie et égale à p du nouvel index de position de l'élément translaté et la valeur de l'index précédent. Cette translation de mouvement est égale à p et non pas -p, du fait de la valeur absolue de la différence des index dans l'expression de la fonction de translation de mouvement. Remarquons encore que la fonction de translation de mouvement est aussi une fonction caractéristique correspondant à la caractéristique de la valeur non nulle, d'une séquence de nombres tous égaux à 0, sauf un élément que l'on définit par sa valeur d'index.

∴

Ainsi, après avoir précédemment écrit l'expression de la fonction de quantité de translation de mouvement d'un seul élément d'une séquence d'éléments à valeur dans {0;1}, 

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ), nous pouvons maintenant écrire l'expression de la fonction de translation de mouvement séquentiel d'un seul élément xᵢ₌ₚ=1 dans l'ensemble des éléments d'une séquence à valeurs dans {0;1} et de valeur d'index de position INDEX(xᵢ₌ₚ)=p,  et fonction notée TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ), que nous définissons au préalable par les conditions suivantes:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=( xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*: 

1A: N→ {0,1}, 

• 1A(xᵢ)=0, si p+s≠nᵢ*xᵢ ∧ xᵢ=0 

• 1A(xᵢ)=1, si p+s=nᵢ*xᵢ ∧ xᵢ=1 

L'expression pour effectuer le calcul numérique de cette fonction caractéristique 1A(xᵢ) qui est une fonction équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel de l'élément xᵢ₌ₚ, et qui est notée TRANSLATION([xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ]⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1})), est définie préalablement comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<= p, ∀ s ∈ N*; avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, et noté xᵢ₌ₚ₊ₛ=1; avec p+s=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p+s-a:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))   (2), 

Nous remarquons que dans l'expression (2), avec la somme des deux variables choisies de p et s, p+s, nous obtenons la valeur dans N* de l'index de position de l'élément xᵢ₌ₚ₊ₛ de SeqXᵢ, soit INDEX(xᵢ₌ₚ₊ₛ) = p+s; puis nous remarquons encore que la valeur de la variable s est celle choisie pour une quantité de translation de mouvement, QTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=s.

  ∴

Nous écrivons maintenant l'expression de cette fonction de translation de mouvement séquentiel correspondant au cas particulier ou la valeur de l'index de position précédente de l'élément translaté d'une séquence n'est pas connue, et par conséquent nous définissons donc en général l'expression de la fonction de translation de mouvement d'un seul élément d'une séquence par convention depuis sa position de valeur d'index égal à 1, c'est-à-dire comme une translation de mouvement séquentiel depuis la position générale appelée position à l'origine de l'élément translaté jusqu'à sa position de valeur d'index égal à n'importe quelle valeur dans N* de la variable p. Donc, soit par exemple, la fonction de translation de mouvement, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) et qui est notée, TRANSLATION( [xᵢ₌₁] ⋆⋆[xᵢ₌ₚ] ), 

et correspondante à la translation de mouvement séquentiel de l'élément d'une séquence xᵢ₌₁ à xᵢ₌ₚ, que nous définissons préalablement comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<= p ; ∀ s ∈ N*; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; avec p=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}) + a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a;

TRANSLATION( [xᵢ₌₁] ⋆⋆[xᵢ₌ₚ] )=((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))        (2)'.

Et nous remarquons que dans l'expression (2)', si la variable choisie p est la valeur de l'index de position de xᵢ₌ₚ dans N*, soit INDEX(xᵢ₌ₚ)=p et que la variable choisie a, correspond encore à la quantité de valeurs nulles précédents la valeur non nulle de xᵢ₌ₚ=1, la valeur de la variable p est celle choisie pour une quantité de translation de mouvement égale à p. 

Alors par extension de l'expression (2)' nous pouvons définir l'expression de la translation de mouvement séquentiel depuis l'origine comme celle de la translation de mouvement séquentiel sur elle même de l'élément xᵢ₌₁ égal à 1, soit la fonction de translation de mouvement séquentiel réflexif notée TRANSLATIONR et de la façon suivante:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ e ∈ N* avec a<= e; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit qui est inférieur à son index de position; et avec e=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}))+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable e correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit e-a:

TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₑ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌ₑ₌₁] )=((⌈|n/(e+1)-1|⌉-⌈n/(e+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) = ((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))       (2)''.

Et nous remarquons donc à nouveau dans l'expression (2)'', de la fonction de translation de mouvement réflexif, notée TRANSLATIONR que si la variable choisie e est égal à 1, la valeur de l'index de position de xᵢ₌ₑ₌₁ dans N*, soit INDEX(xᵢ₌ₑ₌₁)=e=1 et que la variable choisie a est égale à 0, correspondant encore à la quantité de valeurs nulles précédents la valeur non nulle de xᵢ₌ₑ₌₁=1, la valeur de la variable e est aussi celle choisie pour une quantité de translation de mouvement de xᵢ₌ₑ₌₁=1 égale à e=1. La fonction de quantité de translation de mouvement correspondante à cette fonction de translation à l'origine ou translation de mouvement sur elle-même est, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)] :

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₑ₌₀]⋆⋆[xᵢ₌ₑ₌₁] )=| INDEX( [xᵢ₌ₑ₌₁] )-INDEX( [xᵢ₌₀] ) | = | ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1) - (⌈|n/(0 +1)-1|⌉-⌈n/(0 +1)⌉+1))*n) ] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0 +1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))*n) ] | =0.                (1)'''

Ainsi d'après l'expression (0), la quantité de translation est nulle, alors nous devrions conclure que l'expression (2)'' est celle de la fonction de translation de mouvement sur elle-même, puisque l'expression de la relation entre la fonction de translation de mouvement séquentiel notée TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆ [xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) en un seul point non nul, et la fonction de quantité de translation de mouvement QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) vers ce même point est définie comme suit:

 ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*;  ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<= p, ∀ s ∈ N*; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; avec p=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit  a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a; et avec a'=,card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a'=a+s, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0, et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; avec p+s=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a', c'est-à-dire que la valeur de la variable p+s correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a'=a+s, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p+s-a'; et après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que: 

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) = | INDEX([xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) - INDEX( [xᵢ₌ₚ] ) | =| ∑n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1) - (⌈|n/(a'+1)-1|⌉-⌈n/(a'+1)⌉+1))*n)] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a +1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) ] |=s; avec a'=a+s.                  (2'')'

Et soit les expressions des trois fonctions (1'')', la fonction de quantité de translation de mouvements séquentiels  (2'')' la fonction de translation de mouvements séquentiels, et (2'')'' la fonction de translation de mouvements séquentiels réflexifs définies comme suit: 

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆ [xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(a'+1)-1|⌉-⌈n/(a'+1)⌉+1))          (1'')'

TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ] )=((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a +1)⌉+1))     (2'')''

Alors, TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) = QTTRANSLATION([xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ])/n -TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}))                                       (a')'

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆ [xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=n*( TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) + TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) )            (a'')'

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par: ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ = 1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N avec a<=p, donc considérons l'exemple de a=0, et p=1, correspondant à l'expression 1A(INDEX([xᵢ₌₁] ))=((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0

;0;0;0,0); et donc avec a=2 et p=3,l'expression correspondant à 1A(INDEX( [xᵢ₌₃] ))

=((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)), de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0); 

QTTRANSLATION( [xᵢ₌₃] ⋆⋆ [xᵢ₌₁] )=| INDEX([xᵢ₌₃] ) - INDEX( [xᵢ₌₁] ) |= | ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n) ] - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))*n) ] |=3-1=2.

∴

1.1.b) Les fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels de plusieurs éléments successifs de valeur identiques dans {0;1}:

∴

Nous pourrions tout d'abord définir l'expression de cette fonction caractéristique comme la combinaison linéaire de multiples fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément à valeur dans {0;1}, mais nous préfèrerons écrire une autre et nouvelle expression de cette fonction qui est en fait spécialement conçue pour éviter cette fastidieuse opération d'addition éventuellement de multiples expressions de fonctions caractéristiques de translations de mouvements d'un seul élément correspondantes à cette combinaison linéaire. Nous adoptons une nouvelle notation de la fonction de translation de plusieurs éléments successifs appartenant à une sous-séquence de la séquence de nombres à valeurs dans {0;1}, représentée par un intervalle et donc correspondant à la fonction de translation de mouvements séquentiels d'un intervalle qui est définie en général comme un sous-ensemble de nombres réels qui contient tous les nombres réels compris entre deux nombres quelconques du sous-ensemble. Mais par extension, je considère qu'un intervalle peut être défini dans n'importe quel ensemble de nombres pourvu qu'il soit indiqué comme ici l'intervalle des nombres appartenant à la séquence SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ = 1} ⊆ {0;1}), donc un intervalle [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] à valeurs dans l'ensemble{0;1}. Wikipédia confirme d'ailleurs cette notation possible comme suit: 

"Dans tout ensemble totalement ordonné (S, ≤), on peut définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls). Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l'intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3, mais il serait dangereux de le noter [–5, 3] sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ⟦–5, 3⟧ et parfois la notation avec des crochets doubles."

Ensuite j'écris ma définition par extension d'un intervalle dans l'ensemble des nombres à valeur dans {0;1}, ∀ xᵢ ∈ {0;1}, comprend les intervalles cette fois-ci non plus dégénérés et donc d'une seule valeur 0 ou 1 dans un ensemble de valeurs égales à 0, mais des intervalles propres sachant qu'un intervalle est dit propre s'il n'est pas un intervalle dégénéré, et s'il comporte une infinité d’éléments, et donc les types d'intervalles propres suivants:

• xᵢ₌ₓ ∈ ]xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ[={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁< xᵢ₌ₓ< xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 ; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle ouvert et non fermé et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁ et inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ.

• xᵢ₌ₓ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) <= INDEX(xᵢ₌ₓ) <= INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est supérieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=1 ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= 0 et inférieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= 0.

• xᵢ₌ₓ ∈ ]xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁ < xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < INDEX(xᵢ₌ₓ) <= INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 appartient à un intervalle semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est strictement supérieure à la valeur de l'indexe i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊₁=0 et inférieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ=0 .

• xᵢ₌ₓ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ[={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ < xᵢ₌ₐ₊ₐ  ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < =INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 appartient à un intervalle semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est supérieure ou égale à la valeur de l'index de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊₁=0  et strictement inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ=0.

Ensuite nous définissons l'expression de la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments notés xᵢ en considérant que la translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments appartenant à la séquence SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ = 1} ⊆ {0;1}), donc la translation d'éléments appartenant à un intervalle [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] à valeurs dans l'ensemble{0;1}, correspond en fait à une opération de translation de mouvement séquentiel dans deux intervalles, notée TRANSLATION( [xᵢ; xᵢ₊ₓ]⋆⋆[xᵢ₊ₓ; xᵢ₊ₓ₊ₓ] ), avec soit le premier constitué des éléments successifs de valeurs 1 correspondant aux index de position des éléments translatés du deuxième intervalle de valeurs dans {0;1}; et soit le deuxième intervalle correspondant aux éléments translatés appartenant aussi à la séquence SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ = 1} ⊆ {0;1}), donc un intervalle [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] à valeurs dans l'ensemble{0;1}. Cette opération de translation de la fonction de translation de mouvement séquentiel s'applique algébriquement par extension à la translation de valeurs indicielles représentées par les valeurs de xᵢ=1, qui serait en quelque sorte métaphoriquement décrit comme un processus d'agglutination des valeurs de 1 entre elles depuis une position indexée à une nouvelle position indexée. Donc soit la translation, une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles, qui est définie en ne considérant qu'un seul cas d'intervalle soit un intervalle propre, fermé et non ouvert, correspondant à la translation de mouvement de plusieurs éléments successifs xᵢ appartenant à la séquence SeqXᵢ =({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ = 1} ⊆ {0;1}) et de valeur dans {0;1}, donc une opération définie de la façon suivante:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*;  ∀ a ∈ N*:

•  xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁]={ xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ ≤xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < =INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 appartient à un intervalle semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est supérieure ou égale à la valeur de l'index de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊₁=0  et strictement inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁=0.

•  xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂]={ xᵢ ∈{0;1}∣ xᵢ₌ₐ₊₂ ≤ xᵢ₌ₓ  ≤xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < =INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂ ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 appartient à un intervalle semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 est supérieure ou égale à la valeur de l'index de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=1 ∨ xᵢ₌ₐ₊₁=0  et strictement inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a+2 de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂ =1 ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂ =0.

Alors [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂]={xᵢ⋆⋆xᵢ ∈{0;1} | xᵢ⋆⋆xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂]

={ xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊₂₊₁; xᵢ₌ₐ₊₂₊₁₊₁;....xᵢ₌ₐ₊ₐ; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂}}, et cet ensemble de toutes les valeurs possibles qui sont dans leurs intervalles correspondants à [xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆ xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂], s'écrit par extension l'ensemble{xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊₁₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊₂₊₁; xᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊₂₊₁₊₁;..xᵢ₌ₐ₊ₐ⋆⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁⋆⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂}

={1ᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆1ᵢ₌ₐ₊₂; 1ᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁⋆⋆1ᵢ₌ₐ₊₂₊₁; 1ᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁⋆⋆1ᵢ₌ₐ₊₂₊₁₊₁;..1ᵢ₌ₐ₊ₐ⋆⋆1ᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁; 1ᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁⋆⋆1ᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂}.

Nous noterons cette fonction de translation de plusieurs éléments d'une séquence de valeur dans l'ensemble {0;1} correspondant à l'opération de translation, une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles, TRANSLATION( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂] ). 

∴

Maintenant pour déterminer l'expression de cette fonction de translation caractéristique de plusieurs éléments d'une séquence dont les valeurs appartiennent toutes au sous-ensemble {0;1}, nous allons comme précédemment définir la fonction d'index de plusieurs éléments pour définir la fonction de quantité de translation de mouvement de plusieurs éléments pour ensuite définir la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments, ainsi que la fonction de translation de mouvement réflexive de plusieurs éléments, qui sont pour ces quatre fonctions, comme suit: 

Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ⊆ {0;1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors la fonction caractéristique de la fonction d'index de plusieurs éléments successifs égaux à 1 appartenant à une séquence de nombres à valeur dans l'ensemble {0;1} est notée de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}

• 1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=0, si nᵢ*xᵢ>p ∨ nᵢ*xᵢ <=a

• 1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}))=1, si nᵢ*xᵢ <= p ∧ nᵢ*xᵢ >= a+1

L'expression de cette fonction caractéristique de la fonction d'index de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤  nᵢ*xᵢ  ≤  a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est définie comme suit:

Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1 et p=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card( SeqX'ᵢ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit  a, et de a'=,card(SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:

1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(p+1) -1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)      (3)

1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )=(⌈|n/(a+a'+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+a'+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)  (3)'

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par,  ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1} ⊆ N*;  ∀ a ∈ N*,  ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<=p; p-a >1 et p-a=a', donc considérons l'exemple des valeurs de variable de a=8 et a'=5, et en remplaçant dans l'expression (3), soit, 1A(INDEX([xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈] ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈]| xᵢ=1}))=(⌈|n/(8+1+5)-1|⌉-⌈n/(8+1+5)⌉+1) -(⌈|n/(8+1) -1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) dont la représentation est la séquence, SeqAᵢ=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1

;1;0;0;0;0........).

∴

Nous remarquons que dans l'expression (3) nous n'avons pas noté comme précédemment dans l'expression (1)⇒ INDEX( [ xᵢ₌ₚ ] )=∑ n=1→n=∞: [ ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ - ⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)*n) ]=p       (1)', soit, considérant que la valeur d'index du premier élément égal à 1 de xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), est i=a+1, soit l'élément xᵢ₌ₐ₊₁, et que la valeur d'index du dernier élément égal à 1 est i=p, soit l'élément xᵢ₌ₚ, dans l'hypothétique l'expression, 1A( INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) ⇒ INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] )=∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)*n)  ], (4), parce que dans cette dernière expression (4) nous avons écrit l'expression (5), soit, a(n)=(⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)*n   (5), n'est pas une expression constitutive de l'expression de la fonction INDEX de plusieurs éléments successifs appartenant à une sous séquence d'éléments tous égaux à 1 et à valeurs dans {0;1} de la séquence SeqXᵢ multipliée par n=nᵢ ∈ N*, car elle est en fait l'expression de la fonction caractéristique de tous les éléments de l'intervalle [nᵢ₌ₐ₊₁*xᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₚ₊₁*xᵢ₌ₚ₊₁], ainsi que la fonction caractéristique des éléments de valeur 0, multipliée par n ∈ N* et donc de représentation n*SeqXᵢ=(0;0;0;0;0;0; nᵢ₌ₐ₊₁*xᵢ₌ₐ₊₁;..nᵢ₌ₐ₊₁₊₁*xᵢ₌ₐ₊₁₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₂*xᵢ₌ₐ₊₁₊₂; nᵢ₌ₐ₊₁₊₃*xᵢ₌ₐ₊₁₊₃;..nᵢ₌ₚ₋₁*xᵢ₌ₚ₋₁; 

nᵢ₌ₚ*xᵢ₌ₚ; nᵢ₌ₚ₊₁*xᵢ₌ₚ₊₁;0; 0; 0; 0..), c'est-à-dire la sous-séquence SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ des valeurs d'index ou indices des éléments de SeqXᵢ de valeur égale à 1; et si l'on considère seulement l'expression dans (5)  de la fonction caractéristique non plus multipliée par n soit 1A(SeqXᵢ)= (⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)  (6), cette dernière expression est en partie l'expression la fonction de cardinalité donnant le cardinal des éléments de la sous-séquence d'éléments non nuls de la séquence SeqXᵢ, soit la sous-séquence SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}, définie comme suit:

Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) SeqXᵢ  {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1 et p=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p+1=card( SeqX'ᵢ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a+1, c'est-à-dire que la valeur de la variable p+1 correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit  a, et de a'=,card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; et après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que: 

 Card( SeqAᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1})) =∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ]      (7). 

Si l'expression (4) résulte dans une seule valeur égale à la somme de toutes les valeurs d'index de position des éléments de valeur égale à 1 de cette séquence, qui peut être éventuellement divisée par le cardinal de cette sous-séquence pour donner la valeur moyenne des éléments des valeurs d'index des éléments non nul de cette séquence SeqXᵢ, soit la moyenne arithmétique, égale à la somme des éléments non nuls de la séquence SeqXᵢ divisée par la quantité d'éléments non nuls de cette séquence SeqXᵢ, soit la fonction dont l'expression est définie et notée de la façon suivante:

Soit SeqAᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p, p-a >1 et p=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p+1=Card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p+1 correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit  a, et de a'=,card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; et après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que: 

MOYNA( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ( ∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)*n) ] )     (8) ↔ (4)/(7).

Quant à effectuer l'opération de l'expression (4) pour calculer numériquement la valeur de l'index qui correspondrait l'hypothétiquement à l'index de position total de plusieurs éléments d'une séquence à valeur dans {0;1}, alors l'expression (4) n'est pas suffisamment et utilement distinctement représentative de l'index de l'ensemble des éléments de cette séquence contrairement à l'index de position du premier et dernier élément de cette sous-séquence d'éléments à valeur égale à 1, et correspondant à l'index total de cet intervalle. En effet au lieu de la somme des valeurs d'index de chaque élément de cette sous suite de valeurs égales à 1, comme correspondant à l'index de position des éléments de cette sous séquence de nombres tous égaux à 1, nous définissons cet index comme étant double c'est à dire à la fois l'index du premier et du dernier élément de cette sous-séquence, donc correspondant  à deux intervalles dégénérés constitués seulement du premier élément et du dernier élément de l'intervalle [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] représentant cette sous séquence de nombres successifs égaux à 1, donc, c'est-à-dire deux intervalles dégénérés, qui sont notés [xᵢ₌ₐ₊₁] et [xᵢ₌ₚ₊₁]. Ainsi nous écrivons l'expression de la fonction index d'une sous séquence d'éléments successifs tous égaux à 1 d'une séquence à valeurs dans l'ensemble {0;1}, qui est notée SeqAᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), soit, INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁]) , et INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ), et ces deux expressions de la fonction INDEX de cette sous-séquence SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1} de plusieurs éléments de SeqXᵢ de valeur strictement égale à 1, sont définis comme suit:

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p+1, p+1-a >1 et p+1=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec 

p+1=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a+1, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a'=,card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; et après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que: 

INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ∑n=1→n=∞: [ ( | ( ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ) ] = a+1.                 (9)      

INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ∑n=1→n=∞: [ ( | (((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) |* ((⌈|n/(p+1+1) -1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] = p+1.            (9)'  

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment dans les expressions (3)' et (3)", nous considérons l'exemple de a=2 et p=6:

INDEX( [xᵢ₌₂₊₁] ⊆ [xᵢ₌₃; xᵢ₌₇] )=INDEX( [xᵢ₌₃] ⊆ [xᵢ₌₃; xᵢ₌₇] ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ) = ∑n=1→n=∞: [ ( | ( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)) ) ] = 2+1=3.    (9a)' 

INDEX( [xᵢ₌₇] ⊆ [xᵢ₌₃; xᵢ₌₇] ) = ∑n=1→n=∞: [ ( | (((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n ) |* ((⌈|n/(6+1+1) -1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1)) ) ] =7.              (9a)''  

Nous détaillons maintenant chacune des expressions dans (9a)' et (9a)'', en écrivant leur expression et leurs représentations séquentielles comme suit, avec toujours ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}):

La deuxième expression d'une fonction caractéristique correspondant à l'une des trois expressions d'une fonction caractéristique dans l'expression INDEX( [xᵢ₌₃] ), et INDEX( [xᵢ₌₆] ), est a(n)=((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))), dont la représentation est Seq=(0;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0....); et cette expression multipliée par n est a(n)=((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)))*n, dont la représentation est Seq=(0;0;3;4;5;6;0;0;

0;0;0;0;0;0;0;0;0.....). 

La première expression d'une fonction caractéristique correspondant à l'une des trois expressions d'une fonction caractéristique dans l'expression de INDEX( [xᵢ₌₃] ), et INDEX( [xᵢ₌₆] ), est a(n)= ( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1)), dont la représentation est Seq=(0;0;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0......);  et cette expression multipliée par n est a(n)= ( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n, dont la représentation est Seq=(0;0;0;4;5;6;7;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0...). 

L'opération de soustraction entre cette deuxième et cette première expression correspondant à la soustraction de deux fonctions caractéristiques multipliées par n, est l'expression a(n)= ( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n -  ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)))*n, dont la représentation séquentielle est Seq=(0;0;3;0;0;0;7;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0....).          

La première opération de multiplication de l'expression précédente de soustraction a(n)= ( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n -  ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)))*n, et de représentation Seq=(0;0;3;0;0;0;7;0;0;0

;0;0;0;0;0;0;0....), par la deuxième expression précédente d'une fonction caractéristique soit,  a(n)=((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))), dont la représentation est Seq=(0;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0....), correspond donc à l'expression a(n)=(( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n -  ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)))*n) * ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))), dont la représentation est Seq=(0;0;3;0;0;0;0;0;0;0;0;0;.....). 

L'expression de la sommation de l'expression précédente de la première opération de multiplication est égale à l'expression de la fonction INDEX( [xᵢ₌₃] ) = ∑n=1→n=∞: [ ( | ( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)) ) ] =3.

La deuxième opération de multiplication de l'expression précédente de soustraction a(n)= ( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)))*n, de représentation Seq=(0;0;3;0;0;0;7;0;0;0;0;0;0;0;0..), par la première expression précédente d'une fonction caractéristique soit, a(n)=( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1)), dont la représentation est Seq=(0;0;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0......), correspond donc à l'expression, a(n)=(( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n -  ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)))*n) * ( ((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1)), dont la représentation est Seq=(0;0;0;0;0;0;7;0;0;0;0;0;0;0;0...).

L'expression de la sommation de l'expression précédente de la deuxième opération de multiplication est égale à l'expression de la fonction INDEX( [xᵢ₌₇] ) = ∑n=1→n=∞: [ ( | (((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(6+1) -1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(6+1+1) -1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1+1) -1|⌉-⌈n/(2+1+1)⌉+1)) ) ] =7.

Les valeurs d'index 3 et 7 correspondent respectivement à la valeur de l'index du premier et du dernier élément non nul de la séquence SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), dont 

l'expression a(n)=((⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(2+1) -1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)) et dont la représentation est Seq=( 0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0 ...). 

∴

Donc comme précédemment avec la fonction de quantité de translation de mouvement séquentiel, QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ; xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) pour un seul élément, il nous reste encore à définir l'expression de la quantité de translation de mouvement pour plusieurs éléments correspondant à la différence entre la valeur du nouvel index de position de l'élément translaté et la valeur de l'index de position précédente de ce même élément. Or, puisque que nous avons défini la valeur de l'index de position de plusieurs éléments successifs d'une séquence comme une valeur double de deux index de position du premier élément non nul et du dernier élément non nul des éléments d'une séquence, donc intuitivement l'expression de la fonction de quantité de translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments successifs correspondra à une double différence entre la double valeur de l'index de position d'une séquence dans {0.1}, comprenant plusieurs éléments successifs non nuls. Soit algébriquement en reprenant l'exemple précédent, QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ), qui est comme précédemment égale en général à la différence entre l'index de la nouvelle position et l'index de la position précédente, soit, la différence entre le nouvel index de position de la première valeur non nulle et l'index de position précédent de la première valeur non nulle, soit l'expression définie comme suit:     

 

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); soit SeqA'ᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁ | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p+1, p+1-a >1 et p+1=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec 

p+1=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}))+a+1, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a'=,card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; et après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que: 

INDEX( [xᵢ₌ₐ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] )=∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1-1) -1|⌉-⌈n/(a+1-1)⌉+1)) ) ] = a.          (10).

 
INDEX( [xᵢ₌ₚ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] )=∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - ( ⌈|n/(a+1+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] = p.    (10)'.

Ensuite l'expression de la fonction de quantification de translation de mouvement de plusieurs éléments de valeur 1, est notée de la façon suivante:

 
QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = ( | INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [ xᵢ₌ₐ ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | ) ∪ ( | INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁]  ) - INDEX( [ xᵢ₌ₚ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | ) = ( | INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [ xᵢ₌ₐ ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | + | INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [ xᵢ₌ₚ ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) |  ) /2                        (11).

Puis nous décomposons cette expression (11) en sous-expressions comme suit:

a(n)=| INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [xᵢ₌ₐ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) |= | ∑n=1→n=∞: [ ( | ( ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ) ]  - ∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1-1) -1|⌉-⌈n/(a+1-1)⌉+1)) ) ] | =a+1-a=1           (12).

a(n)=| INDEX( [xᵢ₌ₚ₊₁] ⊆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) - INDEX( [xᵢ₌ₚ] ⊆ [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ) | = | ∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - ( ⌈|n/(a+1+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ]  -   ∑n=1→n=∞: [ ( | (((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) |* ((⌈|n/(p+1+1) -1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] | = p+1-p=1                        (12)'.

QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] ) = (  | ∑n=1→n=∞: [ ( | ( ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) )]  - ∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1-1) -1|⌉-⌈n/(a+1-1)⌉+1)) )] |  -   | ∑n=1→n=∞: [( | ( ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1-1) -1|⌉-⌈n/(p+1-1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1-1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1-1)⌉+1))*n ) | * ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - ( ⌈|n/(a+1+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ]  -   ∑n=1→n=∞: [ ( | (((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1))*n - ((⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n ) |* ((⌈|n/(p+1+1) -1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1+1) -1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)) ) ] |  )/2 = (a+1-a) - (p+1-p) = (1+1)/2                   (11)'. 

∴

Enfin, nous écrivons l'expression de la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments d'une séquence à valeur dans {0;1}, que nous définissons par convention plutôt que comme une translation de mouvement de plusieurs éléments depuis une position d'index à valeur variable inconnue, x, à une position à valeur connue, comme une translation de mouvement de plusieurs éléments depuis une position d'index à l'origine c'est-à-dire à valeur égale à 1 ( par convention la valeur de l'index de position à l'origine), et comprenant deux expressions simultanées d'une translation de mouvement à l'origine, correspondantes à effectuer deux opérations, soit la première étant celle d'une fonction d'agrégation séquentielle, c'est-à-dire la fonction que nous avons définie au chapitre intitulé, "58: 15'A XXI FONCTION DE CONCATÉNATION", représentée par la concaténation de deux séquences dont le cardinal d'éléments non nuls de chacune des deux séquences concaténées est additionné pour devenir le cardinal d'éléments non nuls de la nouvelle séquence de concaténation. Tandis que la valeur obtenue de la variable d'index de position du dernier élément de la séquence de concaténation est égale à la valeur d'index de position d'un seul du dernier élément des deux séquences concaténées, celle dont la valeur est supérieure à l'autre. La deuxième opération correspond à celle d'une fonction d'annulation séquentielle, c'est-à-dire la fonction que nous avons définie au chapitre intitulé, "68: 25'A XXVII FONCTION D'ANNULATION ET FONCTION VIDE", représentée par une suite de nombre 0 remplaçant une suite de nombres 1 sur un intervalle donnée de la nouvelle séquence de concaténation obtenue par la première opération de concaténation précédemment. Donc en finalité deux opérations que nous définissons de la manière suivante, en faisant tout d'abord remarquer que la quantité de translation de mouvement n'est plus égale à 1 pour être illustrative et simple comme précédemment le cas de l'intervalle de translation obtenu [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] :     

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a' ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<=p+1, p+1-a >1 et p+1=a+a'; et avec a=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec 

p+1=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}))+a+1, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a'=,card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; soit la fonction de concaténation de deux intervalles d'éléments d'une séquence SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) notée par l'opérateur ‖, CONCATÉNATION( [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊ₖ] ‖ [xᵢ₌ₓ₊ₖ₊₁; xᵢ₌ₚ]  = [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); soit la fonction d'annulation d'un intervalle d'éléments d'une séquence SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) notée par l'opérateur ⋆⋆⋆, NULL( [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊ₖ] ⋆⋆⋆[xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₚ] = [xᵢ₌ₓ₊ₖ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), alors la fonction TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊ₖ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) est définie comme suit:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊ₖ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ↔ TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))       (13). Nous avons donc écrit l'équivalence entre la translation depuis n'importe quel intervalle précédent dont l'index de position des éléments de cet intervalle est de valeur inférieure à celle des éléments translatés et la translation depuis l'intervalle dont la première valeur est l'index à l'origine afin d'indiquer que la notation TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) est implicite dans la notation informelle de translation dont le premier intervalle de translation n'est pas écrit, soit la notation: 

TRANSLATION( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) qui correspond à l'expression (13), car l'expression de l'intervalle [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ]  n'est pas écrite dans l'expression   (13), et nous pouvons définir l'expression de la translation de mouvement séquentiel depuis l'origine ou depuis n'importe quelle valeur d'index de position qui est inconnue comme ici dans notre exemple ci-dessus [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊ₖ] comme celle de la translation de mouvement séquentiel sur elle-même de l'élément xᵢ₌₁ égal à 1, soit la fonction de translation de mouvement séquentiel réflexif notée TRANSLATIONR en général et en particulier dans notre exemple algébrique de notation informelle qui devient plus rigoureusement définie par la notation formelle de la fonction de translation réflexive, soit, et dorénavant toujours notée TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )= ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))      (13)'.

Nous remarquons que cette expression (13)' est égale à l'expression correspondante respectivement à une opération de concaténation puis une opération d'annulation que nous écrivons comme suit:

CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ‖ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]  = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] ) = ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) + (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))=( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))               (14). 

Ensuite nous effectuons l'opération d'annulation partielle des éléments de l'intervalle obtenue par l'opération de concaténation précédente [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ], soit avec [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] | xᵢ=0}) :

NULL( [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] ⋆⋆⋆ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] =[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) =( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) - ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) = (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))             (15). Cette dernière expression est en fait équivalente à l'expression de translation que nous avons écrite précédemment informellement, TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]) , soit:  

NULL( [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] ⋆⋆⋆ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})  ↔ TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ↔ TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )                     (13)' ↔ (15). 

Nous remarquons qu'il existe une autre opération d'arithmétique classique au lieu de celle que je viens d'écrire, soit l'opération de composition de nouvelles fonctions simples de concaténation et de fonction d'annulation, permettant d'obtenir l'expression (13)' en étant moins redondante que précédemment puisque nous concaténons l'intervalle que nous allons ensuite écrire dans l'expression de la fonction de translation, et cette opération est la soustraction entre deux séquences d'éléments à valeurs dans {0;1}, et dont les premiers éléments respectifs ont tous deux la même valeur de position d'index à l'origine, soit égale à 1. C'est l'opération arithmétique élémentaire de soustraction entre deux séquences, ainsi que les quatre opérations arithmétiques élémentaires sur les séquences d'éléments correspondant à une suite de nombres, est équivalente à une opération de soustraction entre deux intervalles de nombres à valeur dans {0;1}, dont l'expression est définie comme suit:

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ) >1; avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a<p, p-a >1; et avec a=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec 

p=card(SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}))+a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a. 

Soit SeqYᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), et SeqZᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec INDEX( [xᵢ₌ₐ] ) < INDEX( [xᵢ₌ₚ] ); et ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a=card(SeqYᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqYᵢ de valeur 1; avec p=card( SeqZᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqZᵢ de valeur 1.

Soit une opération binaire notée par l'opérateur ⋆-⋆ correspondant à la soustraction sur deux intervalles, qui est définie par exemple, avec [ xᵢ₌₁; xᵢ₌₅ ] ∧ [ xᵢ₌₁; xᵢ₌₂ ] ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), comme [ xᵢ₌₁; xᵢ₌₅ ]⋆-⋆[ xᵢ₌₁; xᵢ₌₂ ]={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ ∈ [xᵢ₌₃; xᵢ₌₅] }. En d’autres termes plus généralement, la soustraction de [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₘ₊ₙ]⋆-⋆[xᵢ₌ₘ; xᵢ₌ₘ₊ₜ]={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ ∈ [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌₊ₙ₋ₜ] }, c’est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de l'intervalle [xᵢ₌ₓ - xᵢ₌ₘ; xᵢ₌ₘ₊ₙ - xᵢ₌ₘ₊ₜ], car les opérations arithmétiques élémentaires sur les intervalles, et notées par les opérateurs binaires, ⋆+⋆, ⋆*⋆, ⋆/⋆, ainsi que l'opération de soustraction d'intervalles notée par l'opérateur ⋆-⋆, sont monotones pour chaque opérande sur les intervalles, ce qui est le cas pour les quatre opérations arithmétiques élémentaires sur les intervalles (sauf la division lorsque le dénominateur contient 0), et donc les valeurs extrêmes apparaissent aux extrémités des intervalles d'opérandes.

Alors l'expression de la soustraction sur deux intervalles est: 

DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))   -  ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) = (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))       (13)'' ↔  (13)'.

 

Nous pouvons aussi et préférablement écrire l'opération binaire de soustraction de deux intervalles comme correspondant à une opération de soustractions des éléments de deux séquences, donc nous opérons alors la fonction de différence entre deux séquences, soit dans notre exemple DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), que nous représentons de la façon suivante:

SeqZᵢ =({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) \ SeqYᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=1})= SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1 ∧ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] ⊈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] }); puis que nous notons par la fonction de différence séquentielle dont l'expression est:

DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))   -  ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))= (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))  ↔ TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ])              (13)'' ↔   (13)' ↔ (15). 

L'intérêt de cette nouvelle fonction simple de différence séquentielle, DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=( { xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), autre que celui de pouvoir écrire sur le même modèle de notation la fonction de produit séquentielle, PRODSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆*⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ ] = [ xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ  ] ) ⊆ SeqXᵢ=( { xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ou la fonction de somme séquentielle, avec xᵢ₌ₚ > xᵢ₌ₐ, SOMSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆+⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ]=[2*xᵢ₌₁; 2*xᵢ₌ₐ ] ∪  [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ou bien encore, la fonction de quotient séquentielle QUOSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆/⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₌ₐ] |  xᵢ =1}), ( le domaine de définition de la séquence résultant de l'opération de cette fonction de quotient séquentielle est l'intervalle excluant les valeurs divisées par 0), est d'exprimer le plus précisément la propriété fondamentale de l'opération de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel en général, TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]), comme étant fondamentalement équivalente à l'opération de la fonction de différence séquentielle, DIFFSEQ([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]), avant d'être moins fondamentalement équivalente à la l'opération de la fonction de composition d'une fonction simple de concaténation CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ‖ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]  = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] ), et d'annulation, NULL( [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] ⋆⋆⋆ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ).

∴

Nous remplaçons par des valeurs numériques, les variables x, n, a et p, définies par, ∀ xₙ ∈ SeqAₙ=( xₙ₌₁; xₙ₊₁; xₙ₊₂; xₙ₊₃; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqAₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1 }); ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*,  avec a=8, p=13, et toujours ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), nous détaillons maintenant chacune des expressions de (13) à (15), en écrivant leurs expressions et leurs représentations séquentielles comme soit la première fonction composée de la fonction de composition de la fonction de translation de mouvement séquentiel, qui est notée, CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ‖ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] )= ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) + (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) = ( (⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), devient en remplaçant par a=8 et p=13, l'expression notée CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌₈] ‖ [xᵢ₌₈₊₁; xᵢ₌₁₃] ) = [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₃] ) = ( (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) + (((⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) - (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1)) = ( (⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), dont la représentation est Seq=(1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0....), concaténée avec la séquence, Seq=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0...), résultant dans la séquence de concaténation Seq=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; 0;0;0;0;0;0....).  

Ensuite nous effectuons l'annulation partielle des éléments de l'intervalle obtenue par l'opération de concaténation précédente [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₃], dont la représentation est Seq(1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;

0;0;0;0....), soit, l'expression NULL( [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌₈] ⋆⋆⋆ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₃] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) =( (⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) - ( (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) = (((⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) - (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)+1)) , dont la représentation est Seq=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0......), et qui est aussi équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel notée  TRANSLATIONR( [xᵢ₌₈₊₁; xᵢ₌₁₃]⋆⋆[xᵢ₌₈₊₁; xᵢ₌₁₃])= (((⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) - (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)+1)), en écrivant que les deux index de position de cette séquence translatée sont INDEX( [xᵢ₌₈₊₁])=9 et  INDEX( [xᵢ₌₁₃])=13, correspondant respectivement à la valeur d'index de position du premier et du dernier élément non nul appartenant à SeqAₙ=( xₙ₌₁, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqAₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1 }).

Nous constatons visuellement la redondance dans l'expression de cette fonction de composition de translation de mouvement séquentielle qui consiste à utiliser Seq=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0......), comme à la fois le résultat d'une opération intermédiaire et le résultat de l'opération finale, donc nous écrivons préférablement, car sans expression redondante, l'expression de la fonction de translation de mouvements comme équivalente à la fonction de différence séquentielle, soit DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ), et en remplaçant toujours par les mêmes valeurs numériques les variables dans cette dernière expression, nous obtenons l'expression DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₃]]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌₈] = [xᵢ₌₈₊₁; xᵢ₌₁₃]] )= ( (⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))   -  ( (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) - (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))= (((⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) - (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1)),  dont la représentation est Seq=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0......), et qui est aussi équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel notée TRANSLATIONR( [xᵢ₌₈₊₁; xᵢ₌₁₃]⋆⋆ 

[xᵢ₌₈₊₁; xᵢ₌₁₃] )= (((⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) - (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)+1)).

∴

1.2) Les fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément à valeur dans {0; N*} et {1; N*}:

∴

S'il semble trivialement que les expressions de ces fonctions soient simplement obtenues par la multiplication des expressions précédentes avec n ∈ N* et qu'en fait elles correspondent aux expressions de mouvement séquentiel de la valeur de position de la fonction d'index d'un seul élément, il faut remarquer tout d'abord que cette valeur de n peut être une variable fixe donc une valeur inchangée par l'opération de translation; et qu'ensuite il existe une autre expression nous permettant d'effectuer aussi une translation de mouvement séquentiel d'un seul élément à valeur dans l'ensemble des valeurs {1;n}, et dont l'expression est le prélude aux expressions des translations de mouvement séquentiel de plusieurs éléments à valeurs non successivement incrémentales. Il s'agit donc ici d'écrire un sous-titre exposant les expressions préparatoires à l'élaboration des expressions des sous-titres suivants, et d'exposer l'avantage de la propriété des expressions écrites précédemment nous permettant de les "multiplier spécialement" c'est-à-dire métaphoriquement décrit comme un processus "d'agglutination" des valeurs non nulles dans l'ensemble {0;1} avec une valeur de variable choisie n ∈ N*.

∴

1.2.a) Les fonctions simples de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément de valeur dans {0; N*}:

∴

Nous définissons donc maintenant plus formellement l'expression de la fonction de translation de mouvement d'un seul élément noté n*xᵢ en considérant que la translation de mouvement séquentiel d'un élément appartenant à la séquence SeqNᵢ=({ n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] | n*xᵢ=0*n ∨ n*xᵢ =1*n} ⊆ {0;1*n}), donc la translation d'éléments appartenant à un intervalle [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] à valeurs dans l'ensemble{0; n*1}, correspond en fait à une opération de translation de mouvement séquentiel dans deux intervalles dégénérés, avec soit le premier intervalle dégénéré [n*xᵢ] constitué de l'élément n*xᵢ=n*1 correspondant à l'index de position de l'élément translaté, soit nᵢ du premier intervalle de valeur dans {0; n*1}; et soit le deuxième intervalle dégénéré [n*xᵢ₊ₓ], correspondant à la nouvelle valeur de l'index de position de l'élément translaté n*xᵢ appartenant aussi à la séquence SeqNᵢ=({ n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] | n*xᵢ=n*0 ∨ n*xᵢ = n*1} ⊆ {0; n*1}), donc un intervalle [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] à valeurs dans l'ensemble {0; n*1}. Cette opération de translation de la fonction de translation de mouvement séquentiel s'applique algébriquement par extension à la translation de valeurs indicielles représentées par les valeurs de n*xᵢ=n*1, et qui serait en quelque sorte métaphoriquement décrite comme un processus d'agglutination des valeurs de n*xᵢ entre elles depuis une position indexée à une nouvelle position indexée. Donc soit la translation, une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles, qui est définie en ne considérant qu'un seul cas d'intervalle soit un intervalle propre, fermé et non ouvert, correspondant à la translation de mouvement d'un élément n*xᵢ appartenant à la séquence SeqNᵢ =({ n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] | n*xᵢ=n*0 ∨ n*xᵢ = n*1} ⊆ {0; n*1}) avec xᵢ de valeur dans {0;1}.

La notation algébrique précédente n'emportant pas l'équivalence numérique si seulement métaphoriquement décrit comme un processus d'agglutination des valeurs de n*xᵢ entre elles depuis une position indexée à une nouvelle position indexée, nous devons donc tout d'abord et intuitivement définir l'expression fondamentale de la fonction simple de translation de mouvement séquentielle d'un seul élément d'une seule valeur dans l'ensemble {0; n}, n ∈ N*, comme résultant de l'opération de multiplication de la valeur de variable choisie q ∈ N*, par l'expression de la fonction caractéristique de translations de mouvement séquentielles d'une seule valeur dans l'ensemble {0;1}, qui est en fait confondue avec la fonction simple elle-même dont l'expression fut définie au premier titre précédent 1.1.a), donc soit l'expression de la fonction de translation d'un seul élément, q ∈ N*, consistant à multiplié par q un intervalle de valeurs indicielles translatées, une opération notée TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q. Mais plus formellement, nous appellerons dans cette dernière expression l'opération arithmétique classique de multiplication, la "multiplication agglutinante" de q à valeur dans N* par xᵢ à valeur dans l'ensemble {0;1}, que nous notons donc par l'opérateur de la multiplication et de la translation soit l'opérateur combiné de multiplication translationnelle séquentielle ( par exemple la translation par multiplication agglutinante de l'élément q*xᵢ₌₅=2*1 avec ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) dans la séquence Seq=(0;1;0;1;2*1;1;0;1;1;0;0;0...) à q*xᵢ₌₈=2*1 dans la séquence Seq=(0;1;0;1;1;1;0;2*1;1;0;0;0...) est noté par l'opérateur combiné de multiplication translationnelle séquentielle soit de q⋆*⋆xᵢ₌₅=2⋆*⋆1ᵢ₌₃=2*1, à q⋆*⋆xᵢ₌₈=2⋆*⋆1ᵢ₌₅=2*1, mais une notation qui prête à confusion puisqu'elle doit tenir compte de la valeur soit de 1 soit de 0 pour déterminer l'indice de position dans l'ensemble des éléments de valeur respectivement dans {0} ou {1} et donc une notation que nous simplifierons en notant toujours par l'indice non particulier à la valeur de 1 ou de 0, mais par l'indice de position en général des deux valeurs possibles de 1 et 0, donc de q⋆*⋆xᵢ₌₅=2⋆*⋆xᵢ₌₅, à q⋆*⋆xᵢ₌₈=2⋆*⋆xᵢ₌₈, c'est à dire en finalité TRANSLATION( [q*xᵢ₌₅]⋆*⋆[q*xᵢ₌₈] )=TRANSLATION( [q⋆*⋆xᵢ₌₅]⋆⋆[q⋆*⋆xᵢ₌₈] ); et nous conserverons préférentiellement cet opérateur de multiplication translationnelle séquentielle ⋆*⋆ à l'intérieur de la notation d'intervalle pour noter implicitement qu'il existe une translation précédente correspondante à cette valeur de 2*1=q⋆*⋆xᵢ₌₅ que nous ne connaissons pas et que nous présupposons donc par cette notation; mais aussi pour mieux noter la priorité de l'ordre des opérations soit premièrement l'agglutination entre éléments indicés à valeur 1 ou 0 et la valeur quelconque de la variable q choisie, et deuxièmement la translation de mouvement des deux éléments agglutinés d'une position indexée à une autre.) Introduit précédemment, q⋆*⋆xᵢ=qᵢ, donc par extension entre éléments séquentiels d'intervalle compris dans la notation de la fonction de translation de mouvement séquentiel, soit TRANSLATION( [q*xᵢ₌ₚ]⋆*⋆[q*xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=TRANSLATION([q⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q⋆*⋆xᵢ₌ₚ₊ₛ])=TRANSLATION([qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ])=TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q, de valeur d'index de position égale à p, et d'une quantité de translation s ∈ N*. Donc, soit les éléments d'une séquence de nombres à valeurs dans un intervalle, dont l'opération de translation séquentielle par extension à l'opération de translation séquentielle sur les intervalles [xᵢ₌ₚ] et [xᵢ₌ₚ₊ₛ] ⊆ SeqXᵢ=( { xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} ) est notée par l'opérateur ⋆*⋆ avec la variable choisie q ∈ N* et i ∈ N*, la valeur de l'indice des éléments xᵢ ∈ SeqXᵢ , et définie comme suit:

 

1A: N*→ {0, N*}

• 1A([xᵢ₌ₚ₊ₛ])=0, si i ≠p+s 

• 1A([xᵢ₌ₚ₊ₛ])=1, si i=p+s 

La multiplication de l'expression de cette fonction caractéristique 1A([xᵢ₌ₚ₊ₛ]) par la variable q est équivalente à l'expression de la fonction de translation de q⋆*⋆xᵢ, notée TRANSLATION( [q*xᵢ₌ₚ]⋆*⋆[q*xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=TRANSLATION( [q⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q⋆*⋆xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) =TRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ] ) =TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q correspondante à l'expression de la fonction simple de translation de mouvement de la variable q⋆*⋆xᵢ de l'intervalle dégénéré, et est définie comme suit:

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); soit SeqA'ᵢ=( { xᵢ ∈ [xᵢ₌ₚ₊ₛ] | xᵢ=1} ) ⊆ SeqXᵢ=( { xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} ); avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ p ∈ N*, ∀ s ∈ N*, ∀ q ∈ N*; avec p<=p+s, p+ s>=1; et avec p+s-1=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable p+s-1, correspond à la quantité d'éléments xᵢ appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p+s=card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=

({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c'est-à-dire que la valeur de la variable p+s correspond à la valeur d'index de position de l'élément translaté xᵢ₌ₚ₊ₛ, soit INDEX( [xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=p+s:

TRANSLATION( [q⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q*xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=TRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ])=TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*q                  (2)'.

Ensuite, nous définissons l'expression de la fonction de quantification de translation de mouvement de q*xᵢ comme correspondante à l'opération arithmétique de la différence entre 

la valeur de l'index de position donné par l'expression de la fonction d'index notée INDEX( [q*xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=p+s, et la valeur de l'index de position donné par l'expression de la fonction d'index notée INDEX( [xᵢ₌ₚ])=p, c'est-à-dire que l'expression de la fonction de translation de mouvement de q*xᵢ est définie à l'identique à celui de xᵢ comme précédemment avec les mêmes conditions de définition que l'expression (2)', et donc:

QTTRANSLATION( [q ⋆*⋆ xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q ⋆*⋆ xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=QTRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ] ) =QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )= | INDEX([qᵢ₌ₚ₊ₛ])-INDEX([qᵢ₌ₚ]) |= | INDEX([xᵢ₌ₚ₊ₛ])-INDEX([xᵢ₌ₚ]) |= |∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1) - (⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*n ) ]  - ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/p-1|⌉-⌈n/p⌉+1))*n )] |= |p+s-p|=s                     (2'') ↔ (1)''

∴

Nous remplaçons par des valeurs numériques correspondantes aux variables, n ∈ N*, p ∈ N*, s ∈ N, définies dans les conditions de l'expression (2') précédente, soit succinctement ∀ n*xᵢ ∈ SeqAᵢ=(xᵢ₌ₙ, xᵢ₌ₙ₊₁,xᵢ₌ₙ₊₂, xᵢ₌ₙ₊₃, xᵢ₌ₙ₊₄,xᵢ₌ₙ₊₅, xᵢ₌ₙ₊₆, xᵢ₌ₙ₊₇...) ⊆ {0; n*1}↔ SeqAᵢ=({ n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] | n*xᵢ=n*0 ∨ n*xᵢ =n*1}) ⊆ {0; n*1}, en prenant par exemple les valeurs de p=1, s=2, et q=5, dans l'expression de la fonction de translation de mouvement séquentiel réflexif de l'élément q⋆*⋆xᵢ₌₁=5*1, notée TRANSLATION( [5⋆*⋆xᵢ₌₁]⋆⋆[5⋆*⋆xᵢ₌₁] )=TRANSLATION( [5ᵢ₌₁]⋆⋆[5ᵢ₌₁] )=TRANSLATION( [xᵢ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌₁] )*5=(((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)

-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)))*5, dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌₂₄=(5;0;0;0;0;0;0;0;

0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0); puis avec p+s-1=2, p+s=3, et q=5, en replaçant dans l'expression correspondant à la fonction de translation séquentielle, TRANSLATION( [q⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q⋆*⋆xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=TRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ] )+TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q, nous obtenons, TRANSLATION( [5⋆*⋆xᵢ₌₁]⋆⋆[5⋆*⋆xᵢ₌₁₊₂] )=TRANSLATION( [5ᵢ₌₁]⋆⋆[5ᵢ₌₁₊₂] )=TRANSLATION( [xᵢ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌₁₊₂] )*5=(((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)))*5, dont la représentation est la séquence SeqA'ᵢ₌₂₄=(0;0;5;0;0;0;0;

0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0). En remplaçant encore par les valeurs de p=1, q=5 et s=2 les variables dans l'expression de la quantité de translation de mouvement séquentiel 

QTTRANSLATION( [q⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q⋆*⋆xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=QTRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ] )=QTTRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=| INDEX([xᵢ₌ₚ₊ₛ]) - INDEX([xᵢ₌ₚ]) |, nous obtenons l'expression suivante:

QTTRANSLATION( [5⋆*⋆xᵢ₌₁]⋆⋆[5⋆*⋆xᵢ₌₁₊₂] )=QTTRANSLATION( [5ᵢ₌₁]⋆⋆[5ᵢ₌₁₊₂] )=QTTRANSLATION( [xᵢ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌₁₊₂] )=| INDEX([xₙ₌₁₊₂]) - INDEX([xₙ₌₁]) |= | ∑ n=1→n=∞: [ ( ((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1))*n) ] - ∑ n=1→n=∞: [ (((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))*n ) ]| =|3-1|=2.

∴

1.2.b) Les fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément de valeur dans {1; N*}:

∴

Une expression alternative à l'expression précédente de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel d'un seul élément nous permettra tout d'abord d'élaborer une nouvelle opération équivalente à l'opération de translation de mouvement séquentielle métaphoriquement décrite comme l'opération "de nœud coulant d'une corde à maillage de valeur d'éléments tous égaux à 1, autour du dernier élément de la suite de nombres annulée", c'est à dire formellement soit l'annulation d'intervalle de valeurs d'élément dans une séquence de nombres et la translation de mouvement séquentiel du dernier élément annulé, qui est en fait une des méthodes fondamentales pour effectuer une translation de mouvement séquentiel avec celle donnée précédemment, mais qui ne permet que d'effectuer une translation de mouvement séquentielle d'un élément vers un nouvel index de position précédent et non suivant donc un mouvement d'élément représenté dans une séquence de la droite vers la gauche, du moins ce que nous monterons dans un premier temps comme une propriété fondamentale, mais que nous modifierons pour devenir une translation de mouvement séquentielle aussi de la gauche vers la droite. Donc nous allons maintenant montrer comment  l'expression alternative de cette fonction de translation comprend deux expressions composant l'expression de la fonction de translation de mouvement d'un seul élément à valeur dans {1; N*}, donc soit premièrement l'expression de la fonction d'annulation de plusieurs valeurs successives des éléments d'une séquence de nombres dont dépendent toutes les étapes de cette deuxième méthode correspondant à l'expression (3) écrite ci-dessous; et soit deuxièmement l'expression (4) correspondante à la fonction caractéristique de (a+s)*xᵢ₌=a+s, c'est-à-dire la fonction caractéristique de la valeur de l'index de position de la dernière valeur 0 de la sous séquence de valeurs toutes identiques à 0, de la séquence dont l'expression est (3).

Donc nous écrivons maintenant l'expression de la fonction de translation de mouvements séquentiels d'un seul élément n à valeur dans N* et appartenant à l'ensemble des éléments de SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆xᵢ₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n}, et nous définissons tout d'abord la fonction caractéristique de non-appartenances de n à l'intervalle [a; s] contenue dans N*, correspondante à la fonction d'annulation de plusieurs valeurs successives dans une séquence de nombre soit N*, et de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}

• 1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=0, si a<n⋆*⋆xᵢ <s  

• 1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=1, si n⋆*⋆xᵢ<=a ∨ n⋆*⋆xᵢ>=s

L'expression de cette fonction caractéristique 1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] ) de la non-appartenance  de n⋆*⋆xᵢ à l'intervalle [a;s] que j'explicite comme suit, n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s]⇒ 1A(n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=1 et ∨ n⋆*⋆xᵢ ∈ [a;s]⇒ 1A( n⋆*⋆xᵢ  ∉ [a;s] )=0, est définie de la façon suivante:

∀ n ∈ N* ∧ n*xᵢ₌ₐ₊ₛ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆x₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, alors soit SeqX'ᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₛ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ s ∈ N*, avec a-s >1; et avec a=card( SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec s=Card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c'est-à-dire la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:

1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] ) = ( ⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)+(1- ((⌈|n/(a+s+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+s+1)⌉+1) )   (3)

Après avoir écrit la première expression (3) des deux expressions composant l'expression de la fonction de translation de mouvement d'un seul élément à valeur dans {1; N*}, nous définissons ensuite cette deuxième expression (4) correspondante à la fonction caractéristique de (a+s)*xᵢ₌=a+s, c'est-à-dire la fonction caractéristique de la valeur de l'index de position de la dernière valeur 0 de la sous séquence de valeurs toutes identique à 0, de la séquence dont l'expression est (3): 

1A: N→ {1; N*}

• 1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ )=1, si (a+s)-h ≠ n

• 1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ )=a+s, si (a+s)-h = n

L'expression de cette fonction caractéristique 1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ), c'est-à-dire la fonction caractéristique de n= a+s-h, est définie comme suit:

∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆ᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆x₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, alors ∀ xᵢ ∈ SeqX''ᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {1} ↔ SeqX''ᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ s ∈ N*, avec a-s >1; et avec a=card( SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec s=Card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c'est-à-dire la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:

1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ ) = | (⌈|n₊ₕ/(a+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊ₕ/(a+s+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+s+1)⌉+1)) + (1-((⌈|n₊ₕ/(a+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊ₕ/(a+s+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₁₊ₕ/(a+1)-1|⌉-⌈n₊₁₊ₕ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁₊ₕ/(a+s+1)-1|⌉-⌈n₊₁₊ₕ/(a+s+1)⌉+1))) -( ((⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+1)⌉+1))*n₊ₕ+(1-((⌈|n₊ₕ/(a+s+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+s+1)⌉+1)))*n₊ₕ) |-((⌈|n₊ₕ/(a+1)-1|⌉-⌈n₊ₕ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |n₊ₕ/(a+s+1)-1| ⌉-⌈n₊ₕ/(a+s+1)⌉+1)))-1 |     (4).

L'expression de la fonction de translation séquentielle d'un élément d'une séquence d'éléments à valeur dans {1; N*}, est alors équivalente à l'expression de la fonction (4) modifiée pour exprimer le changement de valeur d'index de position de la variable (a+s)*xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀ lors de l'opération de translation par un changement de variable (a+s)*xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁ dans l'expression (4) correspondant à la quantité de translation, soit par exemple algébriquement pour une translation de mouvement séquentiel d'élément de valeur a+s, une quantité de translation de mouvement séquentiel correspondant à la valeur de position d'index n ∈ N* égale à n-1, c'est-à-dire une translation de mouvement séquentiel d'élément de la droite vers la gauche, vers le premier élément de cette séquence, et une quantité de translation de mouvement séquentiel représentée par la variable h égale à sa valeur absolue, qui est indicée dans l'expression (4) (donc nₕ₌₂ ↔ n+2, avec ∀ n ∈ N*), en remarquant que les index ₕ de n diffèrent toujours de seulement une valeur de 1, ce qui correspond à la translation d'un seul élément tandis que la quantité de translation elle-même est représentée par la variable h indicée (donc par exemple nₕ₌₅ ↔ n+5, avec ∀ n ∈ N*) et correspond donc pour h=0 ↔ nₕ₌₀ ↔n+0, alors l'expression (4) devient: 

TRANSLATION( [(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀]⋆⋆[(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁)] )=TRANSLATION( [(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀]⋆⋆[(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁)] )=TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁)])*(a+s) =1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁) =| (⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)) +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)⌉+1))) -( ((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1))*nₕ₌₀ +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))*nₕ₌₀) |-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nₕ₌₀/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))-1 |     (4)'.

∴

En remplaçant par les valeurs numériques correspondantes aux variables, a et s dans l'expression (3) et (4) , avec ∀ n ∈ N* ∧ n ∈ SeqAᵢ=(n*xᵢ₌₁ ; n*xᵢ₌₂; n*x₌₃; n*xᵢ₌₄; n*xᵢ₌₅; n*xᵢ₌₆, n*xᵢ₌₇, n*xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] | n*xᵢ=0*n+1 ∨ n*xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, nous considérons l'exemple de, a=10 et s=7, h=0, dans l'expression (3) de 

1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [10;7] )= (⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)), dont la représentation est Seq(1A( n⋆*⋆xᵢ  ∉ [10;7] )) = (1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;1;1...); puis dans l'expression (4) de 1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ)=1A((10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇) 

=|(⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)) +(1-((⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1))) -( ((⌈|n/(10+1) -1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))*n+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))*n) |-((⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))-1 |, dont la représentation est Seq(1A( (10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇)) =(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;17;1;1;1;1;1;1;1...). Puis nous considérons l'exemple de a=10 et s=7, h=1, en remplaçant dans l'expression (4)', soit TRANSLATION( [(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀]⋆

⋆[(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁)] )=1A((a+s)*xᵢ=n*xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁), nous obtenons la fonction de translation de mouvement séquentielle notée TRANSLATION( [(10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀] ⋆⋆ [ (10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁) ] )=TRANSLATION( [(10+7)ᵢ₌₁₀₊₇₋₀] ⋆⋆ [(10+7)ᵢ₌₁₀₊₇₋₁)] )=TRANSLATION( [xᵢ₌₁₀₊₇₋₀] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₀₊₇₋₁)] )*(10+7) =1A((10+7)⋆*⋆xᵢ=17⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁) = |(⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)) +(1-((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₂/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₂/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₂/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₂/(10+1+7)⌉+1))) -( ((⌈|n₊₁/(10+1) -1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1))*n₊₁+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))*n₊₁) |-((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))-1 |, dont la représentation est Seq(1A((10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁) ) = (1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;17;1;1;1;1;1;1;1...).

∴

Nous avions remarqué au début de ce sous-titre que l'expression de la fonction de translation de mouvement séquentielle d'éléments à valeur dans l'ensemble {1; N*} maintenant élaborée notée (4)' et qui est le résultat d'une des méthodes fondamentales pour effectuer une translation de mouvement séquentiel avec celle donnée au sous-titre précédent celui-ci, ne nous permettais que d'effectuer une translation de mouvement séquentielle d'un élément vers un nouvel index de position précédent et non suivant donc un mouvement d'élément représenté dans une séquence de la droite vers la gauche, ce qui est une propriété fondamentale de l'expression (4)', nous permettant d'effectuer une translation de mouvement séquentielle sur un domaine restreint, mais que nous nous modifions maintenant pour devenir enfin une translation de mouvement séquentielle non restreinte, car aussi de la gauche vers la droite sur l'axe imaginaire des éléments de la séquence. 

Donc nous remarquons qu'il nous suffit de soustraire à la valeur de la variable choisie a + s, la valeur inférieure à, a + s, soit la variable e< a + s correspondant à la valeur du nouvel élément translaté qui est égale à a + s - e, pour obtenir éventuellement la translation de mouvement d'un seul élément à valeur appartenant à l'intervalle [ a + s -e ; 1]. Donc pour obtenir cette expression de la fonction simple de translation séquentielle de n'importe quel élément d'une séquence et dans n'importe quelle direction de translation soit de gauche vers la droite et de droite vers la gauche ( le début de la séquence ), nous redéfinissons l'expression (4)', comme suit:

TRANSLATION( [(a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ]⋆⋆[(a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀)] )=TRANSLATION( [(a+s-e)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ]⋆⋆[(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀)] )=TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀)])*(a+s-e) =1A((a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀) = ( | (⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)) +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)⌉+1))) - ( ((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1))*nₕ₌₀ +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))*nₕ₌₀) |-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nₕ₌₀/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))-1 |) -   ⌊  ( | (⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)) +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(a+s+1)⌉+1))) -( ((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1))*nₕ₌₀ +(1-((⌈|nₕ₌₀/(a+s+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))*nₕ₌₀) |-((⌈|nₕ₌₀/(a+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nₕ₌₀/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nₕ₌₀/(a+s+1)⌉+1)))-1 | ) / (a+s) ⌋*e             (5).

∴

En remplaçant par les valeurs numériques correspondantes aux variables, a, s, h et e dans l'expression (5), avec ∀ n ∈ N* ∧ n ∈ SeqAᵢ=(n*xᵢ₌₁ ; n*xᵢ₌₂; n*x₌₃; n*xᵢ₌₄; n*xᵢ₌₅; n*xᵢ₌₆, n*xᵢ₌₇, n*xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] | n*xᵢ=0*n+1 ∨ n*xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, nous considérons l'exemple de, a=10 et s=7, h=0, et e=4 dans l'expression (5), sachant que nous avions écrit précédemment le même exemple avec les mêmes variables des expressions constitutives comme suit:

1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [10;7] )= (⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)), dont la représentation est Seq(1A( n⋆*⋆xᵢ  ∉ [10; 7] ))= (1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;1;1...); puis dans l'expression (4) de 1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ)=1A((10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇) =|(⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)) +(1-((⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1))) -( ((⌈|n/(10+1) -1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))*n+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))*n) |-((⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))-1 |, dont la représentation est Seq(1A( (10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇)) =(1;1;1;1;1;1;1;1;

1;1;1;1;1;1;1;1;17;1;1;1;1;1;1;1...). Maintenant nous pouvons utiliser cette expression de la fonction caractéristique de n=17 pour exprimer une fonction de translation de mouvement séquentiel en remplaçant dans l'expression (5) comme suit:

TRANSLATION( [(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₄]⋆⋆[(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀)] )=TRANSLATION( [(10+7-4)ᵢ₌₁₀₊₇₋₄]⋆⋆[(10+7-4)ᵢ₌₁₀₊₇₋₀)] )=TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₄]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀)])*(10+7-4) =1A((10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀) = (| (⌈|nₕ₌₀/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(10+7+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+7+1)⌉+1)) +(1-((⌈|nₕ₌₀/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(10+7+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+7+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nₕ₌₀₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀₊₁/(10+7+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(10+7+1)⌉+1))) -( ((⌈|nₕ₌₀/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+1)⌉+1))*nₕ₌₀ +(1-((⌈|nₕ₌₀/(10+7+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+7+1)⌉+1)))*nₕ₌₀) |-((⌈|nₕ₌₀/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nₕ₌₀/(10+7+1)-1| ⌉-⌈nₕ₌₀/(10+7+1)⌉+1)))-1 |) -   ⌊  ( | (⌈|nₕ₌₀/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(10+7+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+7+1)⌉+1)) +(1-((⌈|nₕ₌₀/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀/(10+7+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+7+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nₕ₌₀₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nₕ₌₀₊₁/(10+7+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀₊₁/(10+7+1)⌉+1))) -( ((⌈|nₕ₌₀/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+1)⌉+1))*nₕ₌₀ +(1-((⌈|nₕ₌₀/(10+7+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+7+1)⌉+1)))*nₕ₌₀) |-((⌈|nₕ₌₀/(10+1)-1|⌉-⌈nₕ₌₀/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nₕ₌₀/(10+7+1)-1| ⌉-⌈nₕ₌₀/(10+7+1)⌉+1)))-1 | ) / (10+7) ⌋*4, dont la représentation est Seq(1A((10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀) ) =(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;13;1;1;1;1;1;1;1...). 

Puis nous considérons l'exemple de a=10 et s=7, h=1, en remplaçant les variables dans l'expression (4)', soit TRANSLATION( [(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀]⋆⋆[(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁)] )=1A((a+s)*xᵢ=n*xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁), nous obtenons la fonction de translation de mouvement séquentielle notée TRANSLATION( [(10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀]⋆⋆[(10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁)])=TRANSLATION( [(10+7)ᵢ₌₁₀₊₇₋₀] ⋆⋆ [(10+7)ᵢ₌₁₀₊₇₋₁)] )=TRANSLATION( [xᵢ₌₁₀₊₇₋₀] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₀₊₇₋₁)] )*(10+7) =1A((10+7)⋆*⋆xᵢ=17⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁) = |(⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)) +(1-((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₂/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₂/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₂/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₂/(10+1+7)⌉+1))) -( ((⌈|n₊₁/(10+1) -1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1))*n₊₁+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))*n₊₁) |-((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))-1 |, dont la représentation est Seq( 1A((10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁) ) = (1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;17;1;1;1;1;

1;1;1...). Maintenant nous pouvons utiliser cette expression de la fonction de translation de mouvement séquentiel (10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁ pour exprimer une fonction de translation de mouvement séquentiel nous considérons l'exemple de a=10 et s=7, h=1, et e=14 en remplaçant dans l'expression (5) comme suit:

TRANSLATION( [ (10+7-14)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁₄]⋆⋆[(10+7-14)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁) ] )= TRANSLATION( [(10+7-14)ᵢ₌₁₀₊₇₋₁₄]⋆⋆[(10+7-14)ᵢ₌₁₀₊₇₋₁)] )=TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁₄]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁)])*(10+7-14) =1A((10+7-14)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁) = ( |(⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)) +(1-((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₂/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₂/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₂/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₂/(10+1+7)⌉+1))) -( ((⌈|n₊₁/(10+1) -1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1))*n₊₁+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))*n₊₁) |-((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))-1 | )  -  ⌊ (  ( |(⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)) +(1-((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₂/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₂/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₂/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₂/(10+1+7)⌉+1))) -( ((⌈|n₊₁/(10+1) -1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1))*n₊₁+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))*n₊₁) |-((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1)))-1 | )  ) / (10+7) ⌋*14, dont la représentation est Seq( 1A((10+7-14)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₁) )=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;3;1;1;1;1;1;...). 

∴

1.3) Les fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels de plusieurs éléments successifs de valeur dans {0; N*} et {1; N*}:

∴

Nous pourrions tout d'abord définir l'expression de la fonction simple fondamentale de translation de mouvement de plusieurs éléments n=nᵢ ∈ N*, comme la combinaison linéaire de multiples expressions correspondant à de multiples fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément à valeur dans l'ensemble {0; n}, et donc la combinaison linéaire de plusieurs fonctions simples exposées précédemment, soit les fonctions simples de translation de mouvement d'une seule valeur de variable choisie dans N*, mais nous préfèrerons écrire une autre et nouvelle expression de cette fonction de translation de mouvement séquentiel de plusieurs valeurs qui soit en fait spécialement conçue pour éviter cette fastidieuse combinaison linéaire de trop nombreuses expressions éventuellement. Ainsi comme précédemment pour les éléments de l'ensemble {0;1}, nous adoptons une nouvelle notation de la fonction de translation de plusieurs éléments successifs d'un sous-ensemble de N* représentés par un intervalle et donc correspondant à la fonction de translation de mouvement séquentiel d'un intervalle qui est un sous-ensemble de valeurs et plus précisément un intervalle est un sous-ensemble de nombres réels qui contient tous les nombres réels compris entre deux nombres quelconques du sous-ensemble. Par extension, je considère qu'un intervalle peut être défini dans n'importe quel ensemble de nombres pourvu qu'il soit indiqué comme ici l'intervalle des nombres entiers donc un intervalle dans l'ensemble des nombres entiers. Wikipédia l'encyclopédie libre en ligne dans son article intitulé "Intervalle mathématique", confirme d'ailleurs cette notation comme possible: 

"Dans tout ensemble totalement ordonné (S, ≤), on peut définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls). Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l'intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3, mais il serait dangereux de le noter [–5, 3] sans avertissements préalables à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ⟦–5, 3⟧ et parfois la notation avec des crochets doubles."

Ensuite ma définition par extension d'un intervalle dans l'ensemble des nombres à valeur dans N ⊆ R, ∀ xᵢ ∈ N ⊆ R, comprend les intervalles cette fois-ci non plus dégénérés et donc d'une seule valeur n ∈ N ou r ∈ R dans un ensemble de valeurs dans N ⊆ R, mais des intervalles propres sachant qu'un intervalle est dit propre s'il n'est pas un intervalle dégénéré, et s'il comporte une infinité d’éléments, et donc les types d'intervalles propres suivants ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌∞=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇..xᵢ₌∞.) ⊆ N ⊆ R ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=nᵢ ∨ xᵢ=rᵢ}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇..nᵢ₌∞.) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ i=a ∈ N*:

• xᵢ₌ₓ ∈ ]xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ[={xᵢ ∈ N ⊆ R ∣ xᵢ₌ₐ₊₁< xᵢ₌ₓ< xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ appartient à un intervalle ouvert et non fermé et que la valeur de l'indexe de position i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ est supérieure à la valeur de l'indexe de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=nᵢ₌ₐ₊₁ ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= rᵢ₌ₐ₊₁ et inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=nᵢ₌ₐ₊ₐ ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= rᵢ₌ₐ₊ₐ.

• xᵢ₌ₓ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]={xᵢ ∈ N ⊆ R ∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) <= INDEX(xᵢ₌ₓ) <= INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ est supérieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=nᵢ₌ₐ₊₁ ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= rᵢ₌ₐ₊₁ et inférieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=nᵢ₌ₐ₊ₐ ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= rᵢ₌ₐ₊ₐ.

• xᵢ₌ₓ ∈ ]xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]={xᵢ ∈ N ⊆ R ∣ xᵢ₌ₐ₊₁ < xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < INDEX(xᵢ₌ₓ) <= INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ appartient à un intervalle semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ est strictement supérieure à la valeur de l'indexe i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=nᵢ₌ₐ₊₁ ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= rᵢ₌ₐ₊₁ et inférieure ou égale à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=nᵢ₌ₐ₊ₐ ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= rᵢ₌ₐ₊ₐ.

• xᵢ₌ₓ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ[={xᵢ ∈ N ⊆ R ∣ xᵢ₌ₐ₊₁ ≤ xᵢ₌ₓ < xᵢ₌ₐ₊ₐ  ∧ INDEX(xᵢ₌ₐ₊₁) < =INDEX(xᵢ₌ₓ) < INDEX(xᵢ₌ₐ₊ₐ) }, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ appartient à un intervalle semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite, et que la valeur de l'indexe i=x de l'élément xᵢ₌ₓ=n₌ₓ ∨ xᵢ₌ₓ=r₌ₓ  est supérieure ou égale à la valeur de l'index de position i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁=nᵢ₌ₐ₊₁ ∨  xᵢ₌ₐ₊₁= rᵢ₌ₐ₊₁  et strictement inférieure à la valeur de l'indexe de position i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ=nᵢ₌ₐ₊ₐ ∨ xᵢ₌ₐ₊ₐ= rᵢ₌ₐ₊ₐ.

∴

1.3.a) Les fonctions simples de translations de mouvements séquentiels de plusieurs éléments successifs à valeur dans {0; N*} et {0; kₙ+1}:

∴

Ensuite, nous considérons que la translation de mouvements séquentiels de plusieurs éléments de N* correspond en fait à une opération de translations de mouvements séquentiels sur deux intervalles, le premier constitué des éléments successifs de valeurs 1 correspondant aux index de position des éléments translatés du deuxième intervalle de valeurs dans N*; et donc le deuxième correspondant aux éléments translatés de valeurs dans N*. Cette opération de translation s'applique par extension aux valeurs indicielles représentées par les valeurs de xᵢ=1, qui serait en quelque sorte métaphoriquement un processus d'agglutination des valeurs de n avec les valeurs de 1 pour les translater depuis une position indexée donc par un indice à une nouvelle position à laquelle correspond aussi un nouvel index. Donc soit la translation, une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles, qui est définie en ne considérant qu'un seul cas d'intervalle correspondant à la translation de mouvement de plusieurs éléments successifs dans N*, et comprenant les intervalles des types suivants définis de la façon suivante:

∀ xᵢ ∈ SeqAᵢ=(xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊₁; xᵢ₌ₙ₊₂; xᵢ₌ₙ₊₃; xᵢ₌ₙ₊₄; xᵢ₌ₙ₊₅; xᵢ₌ₙ₊₆; xᵢ₌ₙ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqAᵢ([xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊∞]) ⊆ {0;1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ; ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ([nᵢ₌₁; nᵢ₌∞]) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*:

• [xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂]={ xᵢ ∈ {0;1}∣ 0 < xᵢ₌ₐ₊₂ ≤ xᵢ₌ₓ ≤ xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ > 0; que xᵢ₌ₓ  appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que l'index i=x de l'élément xᵢ₌ₓ est supérieur ou égal à l'index i=a+1 de l'élément xᵢ₌ₐ₊₁ et inférieur ou égal à l'index i=a+a de l'élément xᵢ₌ₐ₊ₐ.

• [nᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁]={ nᵢ ∈ N*∣ 0 < nᵢ₌ₐ₊₁ ≤ nᵢ₌ₓ ≤ nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁}, la notation qui signifie que nᵢ₌ₓ > 0; que nᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que l'index i=x de l'élément nᵢ₌ₓ est supérieur ou égal à l'index i=a+1 de l'élément nᵢ₌ₐ₊₁ et inférieur ou égal à l'index i=a+a+1 de l'élément nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁.

Alors la fonction notée TRANSLATION( [ nᵢ₌ₐ₊₁ ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁ ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁ ] ⋆⋆ [ nᵢ₌ₐ₊₂ ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊₂; nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂ ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂ ] ) à pour représentation Seq=( { nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ N*| nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [ nᵢ₌ₐ₊₁ ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊₂; nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁ ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂] ={ nᵢ₌ₐ₊₂; nᵢ₌ₐ₊₂₊₁; nᵢ₌ₐ₊₂₊₁₊₁;....nᵢ₌ₐ₊ₐ; nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁}), et cet ensemble de toutes les valeurs possibles qui sont dans leurs intervalles correspondants à [ nᵢ₌ₐ₊₁ ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊₂; 

nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁ ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂], s'écrit par extension par ordre de grandeur l'ensemble {xᵢ₌ₐ₊₂*nᵢ₌ₐ₊₂; 

xᵢ₌ₐ₊₂₊₁*nᵢ₌ₐ₊₂₊₁; xᵢ₌ₐ₊₂₊₁₊₁*nᵢ₌ₐ₊₂₊₁₊₁;..xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁*nᵢ₌ₐ₊ₐ; xᵢ₌ₐ₊ₐ₊₂*nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁}.

 Nous remarquerons que dans cette dernière notation ensembliste le symbole de l'opération de la multiplication séquentielle applicable par extension à la multiplication d'intervalle et notée, ⋆*⋆, de représentation générale notée [nᵢ,⋆*⋆ xᵢ; nᵢ₊ₓ ⋆*⋆ xᵢ₊ₓ], est transposé aux seules variables indicées nᵢ⋆*⋆xᵢ à l'intérieur même de l'intervalle, devenant ainsi le symbole opératoire de la translation de mouvement séquentiel de nᵢ de quantité xᵢ la valeur de l'index du nombre 1, et que nous transformons d'opérations de translation en opération de multiplication seulement lorsque la valeur de l'élément translatée n'est plus la variable nᵢ, mais le nombre correspondant à cette variable multiplié par la variable xᵢ qui reste toujours égale à 1, mais que nous conservons sous la forme d'une variable pour mieux mettre en valeur l'indice de cette variable sous la forme d'un nombre correspondant à la nouvelle position d'index de la valeur dans N* de l'élément translaté, nᵢ. Enfin, nous élaborons maintenant cette autre expression de cette fonction simple de translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments non nul à valeur dans N* d'une séquence de nombres à valeur dans {0; N*}, en considérant tout d'abord des éléments appartenant à l'intervalle [1; a-1] avec la valeur de la variable a ∈ N* et a >=3, et dont les valeurs d'index de position à l'origine des éléments de l'intervalle translaté toujours noté [1; a-1], et toujours correspondant à l'intervalle noté [xᵢ₌₃₊₁ ; xᵢ₌₃₊₃₋₁] = [xᵢ₌₄; xᵢ₌₅] l'intervalle à l'origine de tout intervalle translaté [1; a-1] correspondant à l'intervalle translaté indicé [xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ ; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ₓ], donc le résultat d'une fonction de translation incrémentale de mouvement séquentielle à l'origine de plusieurs éléments d'une séquence de nombres et notée TRANSLATIONINCO( [1⋆*⋆xᵢ₌₄; 2⋆*⋆xᵢ₌₅]⋆⋆ [1⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊₁; (a-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ) ∪ TRANSLATIONINCO( [1⋆*⋆xᵢ₌₄; 2⋆*⋆xᵢ₌₅]⋆⋆ [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ ₓ ])= TRANSLATIONINCO( [1⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊₁; (a-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ⋆⋆

 [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ ₓ ] )=TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ ₓ ] ), et dont nous annulerons les valeurs translatées incrémentées pour transformer cette fonction de translation incrémentale de mouvement séquentielle en une fonction de translation de mouvement séquentielle, donc une méthode que nous définissons premièrement de la façon suivante, soit la translation, une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles, et par extension la translation d'éléments d'intervalles, une opération binaire notée ⋆*⋆ entre deux éléments, et soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ₓ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, a>=3:

TRANSLATIONINCO( [1⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊₁; (a-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁ ]⋆⋆[ 1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ ₓ ] ) = TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ₓ ] ) = ( ⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋ ))             (6).

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies dans l'expression (6), ∀ xᵢ ∈ SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ₓ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ N*, ∀ a ∈ N* et a>=3, nous considérons l'exemple de a=8, correspondant à l'expression de la fonction notée TRANSLATIONINCO( [1⋆*⋆xᵢ₌₄; 2⋆*⋆xᵢ₌₅]⋆⋆[1⋆*⋆ xᵢ₌₈₊₁; 7⋆*⋆ xᵢ₌₈₊₇] ) ) = TRANSLATIONRINCR( [1⋆*⋆ xᵢ₌₈₊₁; 7⋆*⋆ xᵢ₌₈₊₇])=(⌊n^2/(8*n-1)⌋*n mod 8)*(1-(⌊n/(2*8)⌋-⌊ |n-(2*8)| / (2*8)⌋ )), et de la séquence représentée par SeqAᵢ₌∞=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;3;4,5;6;7;0;0;

..0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0...0;0....); et donc avec a=12, l'expression de la fonction notée 

TRANSLATIONINCO( [1⋆*⋆xᵢ₌₄; 2⋆*⋆xᵢ₌₅]⋆⋆[1⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₁; 12 ⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₁₁])) =TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₁; 12 ⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₁₁] )) = ( ⌊n^2/(12*n-1)⌋*n mod 12) * (1-(⌊n/(2*12)⌋-⌊|n-(2*12)|/(2*12)⌋)), et de la séquence représentée par SeqAᵢ₌∞ (0;0;0;0;0;0;0;0;0

;0;0;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;...0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0...).

∴

Mais l'expression (6) ci-dessus de la fonction de translation incrémentale de mouvement séquentiel de plusieurs éléments doit être conforme à la définition de la fonction simple comme combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, ce que nous devons donc maintenant montrer qu'est cette expression en écrivant qu'elle est en fait le résultat de l'opération de multiplication d'une fonction caractéristique et d'une expression d'une séquence non caractéristique, qui sont respectivement définies de la manière suivante:

1A: N→ {0,1}:

• 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] )=0, si xᵢ=0  ⇔ INDEX( [ xᵢ] ) > INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ) ⇒ xᵢ ∉ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]

• 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] )=1, si xᵢ=1 ⇔ INDEX( [xᵢ₌₁] ) <= INDEX( [xᵢ] ) <= INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ) ⇒ xᵢ ∈  [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]

L'expression de cette fonction caractéristique d'intervalles de valeurs non nulles des éléments d'une séquence de nombres appartenant à l'intervalle des valeurs non nulles [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁], et défini comme le sous-ensemble de tous les éléments xᵢ de valeurs égales appartenant à un intervalle d'une séquence de nombres et tel que leurs indices soient 1≤ i ≤ 2*a-1, est définie comme suit:

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, a >=3:

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] )=(1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋ ))         (7).

Alors nous montrons donc que l'expression (6) est celle d'une fonction simple, en écrivant que dans l'expression (6) l'expression (7) est ensuite multipliée par l'expression, a(n)=(⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a)  (8) soit:

TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁₊ₓ; (a+x-1) ⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁₊ₓ ] )= (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a)*(1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋ ))            (7)*(8)=(6)

∴

Nous allons maintenant remplacer par des valeurs numériques les variables des trois expressions (7)*(8)=(6) définies par, ∀ n=nᵢ ∈ N*, ∀ a ∈ N* et a>=3, et nous considérons à nouveau l'exemple de a=8, dans l'expression (6) de la fonction notée, 

TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆ xᵢ₌₈₊₁; 7⋆*⋆ xᵢ₌₈₊₇]) = (⌊n^2/(8*n-1)⌋*n mod 8) * (1-(⌊n/(2*8)⌋-⌊|n-(2*8)|/(2*8)⌋)), et de la séquence représentée par SeqAᵢ₌∞=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;3;4,5;6;7;0;0;

..0;0; 0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0...0;0....). Donc en remplaçant dans l'expression (7) nous obtenons, 1A( [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₅] )=(1-(⌊n/(2*8)⌋-⌊|n-(2*8)|/(2*8)⌋)), dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌₁→ᵢ₌∞=(1;1;1;1,1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0..). 

Puis en remplaçant dans l'expression (8), nous obtenons l'expression a(n)=(⌊n^2/(8*n-1)⌋*n mod 8), dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌₁→ᵢ₌∞=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;3;4;5;6;7;0;2;4;6

;0;2;4;6;0;3;6;1..).Visuellement et intuitivement la multiplication des deux expressions précédentes (7)*(8), correspond à la séquence représentée par SeqAᵢ₌∞=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;

3;4,5;6;7;0;0;..0;0; 0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0...0;0....), donc la représentation de l'expression (6).

∴

Nous avons fait remarquer comme notre notation (6) l'indique, soit une expression complémentaire inséparable ou une expression dérivée ou dont on dérive l'expression principale, que la fonction précédente correspondant à l'expression (6), n'est pas exactement une fonction simple de translation de mouvements séquentiels en général, car elle est aussi simultanément une fonction simple d'incrémentation séquentielle que nous exposerons dans le chapitre dédié intitulé "62: 19'A XXIII FONCTION D'INCRÉMENTATION LINÉAIRE ET NON LINÉAIRE". Donc nous devons effectuer une opération d'annulation des éléments translatés et incrémentés de la séquence de nombres pour ne garder que les éléments translatés et non incrémentés pour créer une autre expression que celle de la fonction simple de translation de mouvements séquentiels de plusieurs éléments d'une séquence par extension de l'expression  (2)' au sous-titre précédent, soit la combinaison linéaire composée de multiples expressions (2)'. Donc nous définissons cette opération d'annulation résultant dans cette expression de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments appartenant à l'intervalle [1; p] avec ∀ p ∈ N* et p >1 et xᵢ ∈ {0;1} de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}

• 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=0, si xᵢ=0  ⇔ INDEX( [xᵢ] ) > INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ⇒ xᵢ ∉ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ]

• 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁;  xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=1, si xᵢ=1 ⇔ INDEX( [xᵢ₌₁] ) <= INDEX( [xᵢ] ) <= INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ⇒ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ]

L'expression de cette fonction caractéristique de la fonction d'opération ensembliste d'appartenance et de non-appartenance à l'intervalle [xᵢ₌₁;  xᵢ₌ₐ₊ₚ]), défini comme le sous-ensemble de tous les nombres xᵢ égaux à 1 tels que la valeur de leur index de position i soit a+1≤ i ≤ a+ p, notée INDEX( [xᵢ₌₁] ) <= INDEX( [xᵢ] ) <= INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est définie comme suit:

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, a >=3; ∀ p ∈ N* avec a > p, et a-p >=1:

 1A( xᵢ ∈ ([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ]))= (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))         (9).

Ensuite nous remarquons que la multiplication séquentielle correspondant à la multiplication de l'expression (9) par l'expression de la fonction simple de translation incrémentale de mouvements séquentiels des éléments de l'intervalle [1; p], notée TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ), l'intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres nᵢ*xᵢ tels que la valeur de leur index de position soit tel que a+1≤ nᵢ *xᵢ ≤ a+ a-1, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ), est en fait l'opération de la fonction d'annulation de TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] ), dont le résultat est équivalent à l'opération de la fonction de translation de mouvements séquentiels notée, TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), et qui est définie comme suit:

Soit la translation de mouvement séquentiel d'un intervalle, une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles et par extension une opération binaire notée ⋆*⋆ entre éléments translatés, et soit, SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a > p, a>=3, et a-p >=1, alors TRANSLATION( [ nᵢ₌₁⋆*⋆xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ⋆*⋆nᵢ₌ₚ] ⋆⋆ [nᵢ₌ₐ₊₁⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊ₚ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) = [1*xᵢ₌ₐ₊₁; p*xᵢ₌ₐ₊ₚ]={ nᵢ⋆*⋆xᵢ  ∈ N* | nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [ nᵢ₌₁⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₚ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ ] ={1*xᵢ₌ₐ₊₁; (1+1)*xᵢ₌ₐ₊₁₊₁; (1+1+1)*xᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁; ... p*xᵢ₌ₐ₊ₚ}={1=nᵢ₌ₐ₊₁; 2=nᵢ₌ₐ₊₁₊₁; 3=nᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁;.4=nᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁₊₁;... p-x=nᵢ₌ₐ₊ₐ₊₁; p=nᵢ₌ₐ₊ₚ}}, l’ensemble de toutes les valeurs possibles qui sont dans leurs intervalles correspondants à [1*xᵢ₌ₐ₊₁; p*xᵢ₌ₐ₊ₚ]: 

TRANSLATIONINCR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] )*1A(xᵢ ∈ ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )) =
NULL( [0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]⋆*⋆[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]=[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ) =
DIFFSEQ([1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁]⋆-⋆[xᵢ₌ₐ₊ₚ;xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁])=TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;
p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=(⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))                (6)*(9)=(10).

∴

Pour remplacer par des valeurs numériques correspondantes aux variables définies par ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, a>=3, ∀ p ∈ N*, nous considérons l'exemple de a=8 et p=4, correspondant à l'expression (10) de la fonction de translation de mouvements séquentiels de plusieurs valeurs dans {0; N*} notée TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₈₊₁; 4⋆*⋆xᵢ₌₈₊₄] ) = (⌊n^2/(8*n-1)⌋*n mod 8) * (1-(⌊n/(2*8)⌋-⌊|n-(2*8)|/(2*8)⌋)) * (1-(⌊n/(4+8+1)⌋-⌊ |n-(4+8+1)| / (4+8+1)⌋)), dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌∞=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;3;4,0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;.); ensuite nous considérons l'exemple de a=12 et p=4, dans l'expression (10) de la fonction de translation de mouvements séquentiels de plusieurs valeurs dans {0; N*} notée TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; 4⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₄]))= (⌊n^2/(12*n-1)⌋*n mod 12) * (1-(⌊n/(2*12)⌋-⌊|n-(2*12)|/(2*12)⌋)) * (1-(⌊n/(4+12+1)⌋-⌊ |n-(4+12+1)| / (4+12+1)⌋)), et dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌∞=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;3;4,0;0;0;0;0;0;0;0;...).

∴

Nous avions écrit au début de ce sous-titre que nous pourrions tout d'abord définir l'expression de la fonction simple fondamentale de translation de mouvement de plusieurs éléments à valeurs dans N* comme la combinaison linéaire de multiples expressions de fonctions de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément à valeur dans l'ensemble {0; n} exposées précédemment au titre "1.2.a) Les fonctions simples de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément à valeur dans l'ensemble {0; N*}", et correspondant à l'expression (2)', notée TRANSLATION([ q⋆*⋆xᵢ₌ₚ ]⋆⋆[ q*xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=

TRANSLATION( [qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ])=TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*q. Mais une combinaison linéaire de plusieurs expressions (2)' s'avère être une opération fastidieuse, car comportant un trop grand nombre d'expressions, avec par exemple algébriquement seulement TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁] )*q' ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊₂]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] )*q''= ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*q + ((⌈|n/(p+s+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1))*q' + ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1))*q''  (11), une expression bien évidement très longue pour seulement la translation de mouvement séquentiel de trois éléments non successifs, mais qui illustrera cependant notre deuxième chapitre précédent consacré aux translations de mouvements séquentiels simultanément d'un seul élément de valeur dans {0; N*}, comme la seule méthode possible.

Néanmoins dans ce premier chapitre il nous reste encore à montrer que l'expression nouvelle précédemment exposée (6)*(9)=(10), n'est pas limitée à la translation de plusieurs éléments constitutifs d'une suite de nombres non nuls à valeur successive dans N* dont le premier élément de cette suite est toujours égal à 1, illustrant ainsi l'avantage de notre expression (10) sur cette méthode équivalente à la translation de mouvements séquentiels de plusieurs éléments successifs par de multiples combinaisons linéaires de l'expression (2)', soit l'expression de la fonction simple de translation de mouvements séquentiels de plusieurs éléments successifs à valeur de variables choisies dans N*, dont le premier élément est égal à n'importe quelle valeur k+1 dans N*, et que nous allons maintenant définir en considérant tout d'abord la fonction caractéristique de l'appartenance à l'intervalle des éléments translatés à valeurs non nulles dans N*, comme suit :

1A: N→{0,1}

• 1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )= 0, si xᵢ=0  ⇔ INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ) > INDEX( [xᵢ] ) ∨ INDEX( [xᵢ] ) > INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] )

• 1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=1, si xᵢ=1 ⇔ INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ) <= INDEX( [xᵢ] ) <= INDEX( [xᵢ₌ₐ₊ₚ] )

L'expression de cette fonction caractéristique de l'appartenance à l'intervalle des éléments translatés à valeurs non nulles dans N* est définie comme suit:

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ₋₁] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a > p, a>=3, et a-p >=1:

1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )= (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )        (12).

Alors l'expression (12) nous permet d'obtenir la translation d'éléments successifs dont la première valeur est différente de la valeur 1 et égale à la valeur de la variable k+1 ∈ N* choisie, définie de la façon suivante: 

∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ k ∈ N*:

TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k +

TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) =( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  )*k  + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))         (13) ↔ (12)*k+(10).

∴

Toujours pour remplacer par des valeurs numériques correspondantes aux variables définies par ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, et a >=3, ∀ p ∈ N*, nous considérons l'exemple de a=8, p=4 et k=3, dans l'expression (12)*k+(10) de la fonction de translation de mouvements séquentiels de plusieurs éléments à valeurs dans {0; n}, et dont le premier élément est de valeur égale à k+1=4, et notée TRANSLATIONR( [(3+1)⋆*⋆xᵢ₌₈₊₁; (3+4)⋆*⋆xᵢ₌₈₊₄] )=1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [xᵢ₌₈₊₁; xᵢ₌₈₊₄] )*3 + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₈₊₁; 4⋆*⋆xᵢ₌₈₊₄] )= ( (1-(⌊n/(4+8+1)⌋-⌊ |n-(4+8+1)| / (4+8+1)⌋)) - (1-(⌊n/(8+1)⌋-⌊ |n-(8+1)| / (8+1)⌋ ) ) )*3 + (⌊n^2/(8*n-1)⌋*n mod 8) * (1-(⌊n/(2*8)⌋-⌊|n-(2*8)|/(2*8)⌋)) * (1-(⌊n/(4+8+1)⌋-⌊ |n-(4+8+1)| / (4+8+1)⌋)), dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌∞=(0;0;0;0;0;0;0;0;4;5;6;7,0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;...). 

Ou encore pour remplacer par des valeurs numériques correspondantes aux variables définies par ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, et a >=3, ∀ p ∈ N*, nous considérons un autre exemple de a=12, p=4 et k=5, dans l'expression (10) de la fonction de translation de mouvements séquentiels de plusieurs valeurs dans {0; n} notée, TRANSLATIONR( [(5+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; (5+4)⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₄]))

=1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈  [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₄] )*5 + TRANSLATIONR( [(5+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; (5+4)⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₄] )= ( (1-(⌊n/(4+12+1)⌋-⌊ |n-(4+12+1)| / (4+12+1)⌋)) - (1-(⌊n/(12+1)⌋-⌊ |n-(12+1)| / (12+1)⌋ ) ) )*5 + (⌊n^2/(12*n-1)⌋*n mod 12) * (1-(⌊n/(2*12)⌋-⌊|n-(2*12)|/(2*12)⌋)) * (1-(⌊n/(4+12+1)⌋-⌊ |n-(4+12+1)| / (4+12+1)⌋)), et dont la représentation est la séquence SeqAᵢ₌∞=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;

0;0;6;7;8;9,0;0;0;0;0;0;0;0;...). 

∴

1.3.b) Les fonctions simples de translations de mouvements séquentiels de plusieurs éléments successifs a valeur dans l'ensemble {1;n} :

∴

Une expression alternative à l'expression précédente de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments est comme précédemment au sous-titre intitulé "1.2.b) Les fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels d'un seul élément à valeur dans {1; n}", nous permettant tout d'abord d'élaborer une nouvelle opération équivalente à l'opération de translation de mouvement séquentielle métaphoriquement décrite comme l'opération "de nœud coulant d'une corde à maillage de valeur d'éléments tous égaux à 1, autour du dernier élément de la suite de nombres annulée", c'est-à-dire formellement soit l'annulation d'intervalle de valeurs d'élément dans une séquence de nombres et la translation de mouvement séquentiel du dernier élément annulé et de tous les éléments successifs à cet élément et aux valeurs suivantes incrémentées de 1, et qui est toujours comme écrit précédemment en fait une des méthodes fondamentales de translation de mouvement séquentiel avec celle donnée précédemment, mais qui ne permet que d'effectuer une translation de mouvement séquentielle de plusieurs éléments vers de nouveaux index de positions précédent et non suivant donc un mouvement d'éléments représenté dans une séquence de la droite vers la gauche, du moins ce que nous monterons dans un premier temps comme une propriété fondamentale, mais que nous modifierons pour devenir une translation de mouvement séquentielle aussi de la gauche vers la droite. Donc nous allons maintenant montrer comment l'expression alternative de cette fonction de translation comprend deux expressions composant l'expression de la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments à valeurs dans {1; N*}, soit premièrement l'expression de la fonction d'annulation de plusieurs valeurs successives des éléments d'une séquence de nombres à valeur dans {1; N*}, dont dépendent toutes les étapes de cette deuxième méthode correspondant à l'expression (3) écrite ci-dessous; et soit deuxièmement l'expression (4) correspondante à la fonction caractéristique de n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ=(a+s), 

c'est-à-dire la fonction caractéristique de la valeur de l'index de position de la dernière valeur 0 de la sous-séquence de valeurs toutes identiques à 0, dont l'expression est (3).

Donc nous écrivons maintenant l'expression de la fonction de translation de mouvements séquentielle de plusieurs éléments n⋆*⋆xᵢ à valeur dans {1; N*} et appartenant à l'ensemble des éléments de SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆xᵢ₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n}, en définissant tout d'abord la fonction caractéristique de non-appartenances de n⋆*⋆xᵢ à l'intervalle [a;s] de N*, correspondante à la fonction d'annulation de plusieurs valeurs successives dans une séquence de nombre soit N*, et de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}

• 1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [a;s] )=0, si a < n⋆*⋆xᵢ < s  

• 1A( n⋆*⋆xᵢ  ∉  [a;s] )=1, si n⋆*⋆xᵢ <=a ∨ n⋆*⋆xᵢ >= s

L'expression de cette fonction caractéristique 1A( n⋆*⋆xᵢ ) de la non-appartenance de n⋆*⋆xᵢ à l'intervalle [a;s], que j'explicite comme suit, n⋆*⋆xᵢ ∉ [a; s] ⇒ 1A( n⋆*⋆xᵢ)=1, et ∨ n⋆*⋆xᵢ ∈ [a;s] ⇒ 1A( n⋆*⋆xᵢ )=0, est définie de la façon suivante:

∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆x₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n*xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, alors soit SeqX'ᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₛ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ s ∈ N*, avec a-s >1; et avec a=card( SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec s=Card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c'est-à-dire la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:

1A( n⋆*⋆xᵢ  ∉  [a;s] ) = ( ⌈|n/(a+1) -1|⌉ - ⌈n/(a+1)⌉+1)+(1- ((⌈|n/(a+s+1)-1|⌉ - ⌈n/(a+s+1)⌉+1) )       (3)

Après avoir écrit la première expression (3) des deux expressions composant l'expression de la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments à valeurs dans {1; N*}, qui est exactement la même que celle écrite précédemment de la première expression (3) des deux expressions composant l'expression de la fonction de translation de mouvement d'un élément à valeurs dans {1; N*}, nous définissons ensuite cette deuxième expression, correspondante à la fonction caractéristique de (a+s)⋆*⋆xᵢ₌=a+s, c'est-à-dire la fonction caractéristique de la valeur de l'index de position de la dernière valeur 0 de la sous séquence de valeurs toutes identique à 0, de la séquence dont l'expression est (4): 

1A: N→ {1; N*}

• 1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ )=1, si n⋆*⋆xᵢ ≠ (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ

• 1A( (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ )=a+s, si  n⋆*⋆xᵢ= (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ

L'expression de cette fonction caractéristique 1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ) est définie comme suit:

∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆x₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, alors ∀ xᵢ ∈ SeqX''ᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {1} ↔ SeqX''ᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ s ∈ N*, avec a-s >1; et avec a=card( SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec s=Card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c'est-à-dire la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:

1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ)= | (⌈|nᵢ₌₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+s+1)⌉+1)) + (1-((⌈|nᵢ₌₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₌₁₊₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁₊₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₁₊₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁₊₁/(a+s+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ₌₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+1)⌉+1))*nᵢ₌₁+(1-((⌈|nᵢ₌₁/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+s+1)⌉+1)))*nᵢ₌₁) |-((⌈|nᵢ₌₁/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ₌₁/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nᵢ₌₁/(a+s+1)⌉+1)))-1 |     (4).

L'expression de la fonction de translation séquentielle de plusieurs éléments d'une séquence d'éléments à valeur dans {1;N*} est alors équivalente à l'expression de la fonction (4) modifiée premièrement pour exprimer le changement de valeur d'index de position de la variable (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀ lors de l'opération de translation par un changement de variable (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₁ dans l'expression (4) correspondant à la quantité de translation, soit par exemple algébriquement ∀ a, s, n ∈ N*, pour une translation de mouvement séquentiel d'élément de valeur égale à a+s et de valeur de position d'index égale à n-1, c'est-à-dire une translation de mouvement séquentiel d'élément de la droite vers la gauche (ou vers le premier élément de cette séquence), et une quantité de translation de mouvement séquentiel égal à sa valeur absolue, donc pour x=1; et deuxièmement pour exprimer la quantité d'éléments translatés soit correspondant à la valeur de la variable m, avec l'ensemble de la sous séquence des éléments translatés correspondant à l'intervalle [ (a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₘ; (a+s+m)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀ ]. Ainsi donc cette expression de la fonction de translation de mouvements séquentiels de plusieurs éléments d'une séquence d'éléments à valeur dans {1; N*} et correspondante à l'expression de la fonction (4) modifiée, est définie comme suit:

∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₕ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆x₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, alors ∀ xᵢ ∈ SeqX''ᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {1} ↔ SeqX''ᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ m ∈ N* avec m correspondant à la quantité d'éléments translatés, n⋆*⋆xᵢ ∈ SeqAᵢ; ∀ a ∈ N*, ∀ s ∈ N*, avec a-s >1; et avec a=card( SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec s=Card( SeqX'ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c'est-à-dire la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:

TRANSLATION( [(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀; (a+s+m)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ]⋆⋆[(a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₘ; (a+s+m)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀] )=TRANSLATION( [(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀; (a + s + m)ᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ]⋆⋆[(a+s)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₘ; (a+s+m)ᵢ₌ₐ₊ₛ₋₀] )=|(⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+s+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1))*nᵢ+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))*nᵢ) |-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))-1 |     (14).

∴

En remplaçant par les valeurs correspondantes aux variables, a, s et m dans l'expression (3) 

et (4), avec ∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆x₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, considérons l'exemple de a=10, s=7, et m=3, dans l'expression (3), soit 1A( n⋆*⋆xᵢ ∉ [10;7] ) = (⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)), dont la représentation est Seq(1A(n ∉ [10;7]))=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;

0;0;1;1;1;1;1;1;1..); puis dans l'expression (4) de 1A((a+s)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ)=1A((10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇)=

 |(⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)) +(1-((⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₁/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₁/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₁/(10+1+7)⌉+1))) -( ((⌈|n/(10+1) -1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))*n+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))*n) |-((⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))-1 |, dont la représentation est Seq(1A((10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇))=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;

1;1;1;1;1;1;1;17;1;1;..). Puis en remplaçant dans l'expression (14), soit TRANSLATION( [(10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀; (10+7+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃]⋆⋆[(10+7+3)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀; (10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃])=

TRANSLATION([(10+7)ᵢ₌₁₀₊₇₋₀; (10+7+3)ᵢ₌₁₀₊₇₊₃]⋆⋆[(10+7+3)ᵢ₌₁₀₊₇₋₀;(10+7)ᵢ₌₁₀₊₇₋₃]), nous obtenons la fonction de translation de mouvement séquentielle de plusieurs éléments d'une séquence à valeurs dans {1;N*}, notée: TRANSLATION( [(10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀; 

(10+7+3)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃]⋆⋆[(10+7+3)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀; (10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃] ) =TRANSLATION(

[(10+7)ᵢ₌₁₀₊₇₋₀; (10+7+3)ᵢ₌₁₀₊₇₊₃]⋆⋆[(10+7+3)ᵢ₌₁₀₊₇₋₀; (10+7)ᵢ₌₁₀₊₇₋₃])

=|(⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)) +(1-((⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))) ) * | ((⌈|n₊₃/(10+1)-1|⌉-⌈n₊₃/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n₊₃/(10+1+7)-1|⌉-⌈n₊₃/(10+1+7)⌉+1))) -( ((⌈|n/(10+1) -1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))*n+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))*n) |-((⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|n/(10+1+7)-1|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1)))-1 |, dont la représentation est Seq(TRANSLATION( [(10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀;(10+7+3)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃]⋆⋆[(10+7+3)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₀; (10+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃]))=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;

1;17;18;19;1;1;1;1;1;1;1;1.......).

∴

Nous avions remarqué au tout début de ce sous-titre que l'expression de la fonction de translation de mouvement séquentielle d'éléments à valeur dans l'ensemble {1; N*} maintenant élaborée et notée (14), qui est le résultat d'une des méthodes fondamentales pour effectuer une translation de mouvement séquentiel avec celle donnée au sous-titre précédent celui-ci, ne nous permettais que d'effectuer une translation de mouvement séquentielle d'un élément vers un nouvel index de position précédent et non suivant donc un mouvement d'élément représenté dans une séquence de la droite vers la gauche, ce qui est une propriété fondamentale de l'expression (14), nous permettant d'effectuer une translation de mouvement séquentielle sur un domaine restreint, mais que nous nous modifions maintenant pour devenir enfin une translation de mouvement séquentielle non restreinte, car aussi de la gauche vers la droite sur l'axe imaginaire des éléments de la séquence. 

Donc nous remarquons qu'il nous suffit de soustraire à la valeur de variables choisie appartenant à [a+s; a+s+m-1], l'intervalle de valeurs inférieures à a+s et à a+s+m-1, donc soit la variable e correspondant à la valeur soustraite des éléments translatés et donc appartenant à l'intervalle [a+s-e; a+s+m-1-e], pour obtenir la translation de mouvement de plusieurs éléments à valeurs appartenant à l'intervalle [a+s-e; a+s+m-1-e] dans la direction de translation de gauche à droite. Donc pour obtenir cette expression de la fonction simple de translation séquentielle de n'importe quel élément d'une séquence et dans n'importe quelle direction de translation soit de gauche vers la droite et de droite vers la gauche (le début de la séquence), nous redéfinissons l'expression (14), comme suit:

TRANSLATION( [(a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ; (a+s+m-1-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ₋₁₋ₑ)]⋆⋆[(a+s-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₘ; (a+s+m-1-e)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ)]) =TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₑ; 1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ₋₁₋ₑ]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₊ₘ;1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ])*(a+s+m-e) = ( |(⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+s+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1))*nᵢ+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))*nᵢ) |-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))-1 |  ) - ⌊ ( |(⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₊ₘ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊ₘ/(a+s+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1))*nᵢ+(1-((⌈|nᵢ/(a+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))*nᵢ) |-((⌈|nᵢ/(a+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(a+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(a+s+1)-1| ⌉-⌈nᵢ/(a+s+1)⌉+1)))-1 |  ) / (a+s) ⌋*e             (15).

∴

En remplaçant par les valeurs correspondantes aux variables, a, s, m et e dans l'expression 

et (15), avec ∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆xᵢ₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, considérons l'exemple de nᵢ ∈ Nᵢ = ({nᵢ₌₁=1; nᵢ₌₂=2; nᵢ₌₃=3;....}); a=10, s=7, m=3, e=4 dans l'expression (15), soit TRANSLATION( [(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₄; (10+7+3-1-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃₋₁₋₄)]⋆⋆[(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃; (10+7+3-1-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇)]) =TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₄; 1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃₋₁₋₄]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃;1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇])*(10+7+3-4) = ( |(⌈|nᵢ/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+7+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+7+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₊₃/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊₃/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₊₃/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊₃/(10+7+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+1)⌉+1))*nᵢ+(1-((⌈|nᵢ/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+7+1)⌉+1)))*nᵢ) |-((⌈|nᵢ/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(10+7+1)-1| ⌉-⌈nᵢ/(10+7+1)⌉+1)))-1 |  ) - ⌊ ( |(⌈|nᵢ/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+7+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ/(10+s+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+7+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₊₃/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊₃/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₊₃/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₊₃/(10+7+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+1)⌉+1))*nᵢ+(1-((⌈|nᵢ/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+7+1)⌉+1)))*nᵢ) |-((⌈|nᵢ/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ/(10+7+1)-1| ⌉-⌈nᵢ/(10+7+1)⌉+1)))-1 |  ) / (10+7) ⌋*4, dont la représentation est Seq(TRANSLATION( [(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₄; (10+7+3-1-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃₋₁₋₄)]⋆⋆[(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃; (10+7+3-1-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇)]))=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;

1;1;13;14;15;1;1;1;1;1;1;1;1...). 

Considérons encore l'exemple de nᵢ ∈ Nᵢ =({nᵢ₌₉=9; nᵢ₌₁₀=10; nᵢ₌₁₁=11;....}); a=10, s=7, m=3, e=4 dans l'expression (15), soit TRANSLATION( [(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₄; (10+7+3-1-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃₋₁₋₄)]⋆⋆[(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃₋₉; (10+7+3-1-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₉)]) =TRANSLATION( [(1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₄; 1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃₋₁₋₄]⋆⋆[1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃₋₉;1⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₉])*(10+7+3-4) = ( |(⌈|nᵢ₌₉/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₉/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+7+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ₌₉/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₉/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+7+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₌₉₊₃/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉₊₃/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₉₊₃/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉₊₃/(10+7+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ₌₉/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+1)⌉+1))*nᵢ₌₉+(1-((⌈|nᵢ₌₉/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+7+1)⌉+1)))*nᵢ₌₉) |-((⌈|nᵢ₌₉/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ₌₉/(10+7+1)-1| ⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+7+1)⌉+1)))-1 |  ) - ⌊ ( |(⌈|nᵢ₌₉/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ₌₉/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+7+1)⌉+1))+(1-((⌈|nᵢ₌₉/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₉/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+7+1)⌉+1)))) ) * | ((⌈|nᵢ₌₉₊₃/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉₊₃/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈|nᵢ₌₉₊₃/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉₊₃/(10+7+1)⌉+1)))-( ((⌈|nᵢ₌₉/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+1)⌉+1))*nᵢ₌₉+(1-((⌈|nᵢ₌₉/(10+7+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+7+1)⌉+1)))*nᵢ₌₉) |-((⌈|nᵢ₌₉/(10+1)-1|⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+1)⌉+1)+(1-((⌈ |nᵢ₌₉/(10+7+1)-1| ⌉-⌈nᵢ₌₉/(10+7+1)⌉+1)))-1 |  ) / (10+7) ⌋*4, dont la représentation est Seq(TRANSLATION( [(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₄; (10+7+3-1-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₊₃₋₁₋₄)]⋆⋆[(10+7-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₃₋₉; (10+7+3-1-4)⋆*⋆xᵢ₌₁₀₊₇₋₉)]) )=(1;1;1;1;1;13;14;15;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1

;1..).

∴

II) LES MULTIPLES FONCTIONS DE TRANSLATIONS DE MOUVEMENTS SÉQUENTIELS D'ÉLÉMENTS UNIQUES  OU DE PLUSIEURS ÉLÉMENTS NON SUCCESSIFS  NON CHEVAUCHANTS ET CHEVAUCHANTS:

∴

Maintenant que nous avons exposé au titre précédent les expressions de la fonction de translation séquentielle pour un et plusieurs éléments successifs à valeur dans {0;1}, {0;N*}, et {0; n}, alors dans ce deuxième titre, qui n'est pas que secondaire, car seulement une répétition des expressions précédentes et non pas parce que nous essayons de seulement répondre à la question de quelle est l'expression de plusieurs expressions de la fonction caractéristique de translations de mouvements séquentiels d'un seul et de plusieurs éléments non successifs à valeurs dans {0;1}, ou l'expression de plusieurs expressions de la fonction de translations de mouvements séquentiels d'un ou plusieurs éléments non successifs à valeurs dans {0; N*} ou {0; n}, c'est-à-dire qu'elle est algébriquement et numériquement l'opération consistant à effectuer cette multitude d'opérations simultanées d'expressions de fonction de translation de mouvements séquentiels qui sont l'opération arithmétique d'addition, et l'opération ensembliste d'union d'intervalle, mais qu'elle est l'expression unique équivalente à toutes ces opérations simultanément, soit quelle est l'expression de la fonction de translation de moyenne de mouvements séquentiels notée TRANSLATIONMOYNA, et ce nouveau titre est donc dédié à exposer la méthode nous permettant de déterminer cette unique expression correspondante à cette nouvelle fonction.

Cette notation de la fonction de translation moyenne comprend la notion mathématique de moyenne en générale dont nous définissons les quatre types principaux comme suit:

1. La moyenne arithmétique d'un ensemble de valeurs est calculée en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par le nombre total de valeurs.
2. La moyenne géométrique d’un ensemble de valeurs est égale à la nième racine du produit de toutes les valeurs.
3. La moyenne quadratique est égale à la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des valeurs.
4. La moyenne harmonique est calculée en divisant le nombre total de valeurs par la somme des inverses de chaque valeur.

Mais en particulier cette notation de la fonction de translation moyenne, comprend la référence à la moyenne arithmétique symbolisée par la dernière lettre du A de sa notation, car nous ne considérons dans les expressions comprises dans l'expression générale de cette fonction de translation moyenne uniquement les expressions de la moyenne arithmétique, et ce pour des raisons de simplicité et de lisibilité sachant qu'il est aisé de remplacer l'expression de cette moyenne arithmétique par n'importe quelle autre expression des trois autres types de moyennes.

∴

1.1.a) Plusieurs fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels d'un élément, formant une sous séquence de plusieurs éléments non successifs à valeur dans {0;1}:

∴

Nous rappelons tout d'abord l'expression précédente (2) de la fonction de translation de mouvement séquentiel d'un seul élément dans {0;1}, et nous prenons un premier exemple algébrique de trois opérations simultanées de la fonction de translation de mouvements séquentielle d'un seul élément à valeur dans {0;1}, définies comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<= p ; ∀ s ∈ N*; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; avec p=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}) + a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )=(( ⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))  (2).

Alors nous pouvons effectuer trois opérations de translations de mouvements séquentiels en considérant l'exemple algébrique noté de la façon suivante:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] ) ∪ 

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ] )=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))   (3)

Ensuite étant donné que les trois éléments translatés qui sont tous de mêmes valeurs égales à 1 et de valeurs d'index de positions non successives, c'est-à-dire non successivement incrémentées de valeur égale à 1, nous ne pouvons qu'effectuer le calcul de la valeur moyenne des trois opérations de translations par la fonction de translation moyenne de mouvements séquentiels notée comme suit:
TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞ ), dont l'expression est définie comme suit, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [ a(n) ], nous remarquons que: :

• Soit a, s, v, p ∈ N* et les indices notés ₐ ₛ ᵥ ₚ ,    (a)

• Soit la quantité d'expressions de translation de mouvement séquentiel pour chaque élément translaté j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ]) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ]) )] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + (( ⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))) ]=           (a')

• Soit t=⌈ (p+p+s+1+ p+s+a+1) / j ⌉, et r=⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) /j ⌉   (a'')

• Soit l'indice t noté ₜ    (a''')

• Soit l'indice r noté ᵣ   (a''')

alors, TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ] ))=TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] )=(( ⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1)-(⌈|n/r-1|⌉-⌈n/r⌉+1))     (4) 

TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] )=(( ⌈|n / (⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j⌉+1)⌉+1)-(⌈| n / ⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j ⌉ -1|⌉-⌈n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j ⌉⌉+1))          (4)'↔(4) 

TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] ))=(( ⌈|n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))  ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))  ) ] )⌉+1)⌉+1)-(⌈|n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))  ) ] ) ⌉-1|⌉-⌈n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))  ) ] ) ⌉⌉+1))           (4)''↔ (4)'↔ (4). 

∴

En remplaçant par les valeurs numériques correspondantes aux variables, a, s, v, p, t, r ∈ N* dans les expressions (3), (a''), et (4), avec ∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆xᵢ₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, considérons l'exemple de nᵢ ∈ Nᵢ =({nᵢ₌₁=1; nᵢ₌₂=2; nᵢ₌₃=3;....}); p=2, s=3, v=5, a=3, t=17, r=26, j=3 dans l'expression (3), (a''), et (4) soit:

t=⌈ (p+p+s+1+ p+s+a+1)/j⌉=⌈ (2+2+3+1+2+3+3+1)/3 ⌉=6; et r=⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) /3 ⌉= ⌈(2+3+2+3+2+2+3+3+1+5) /3⌉=9        (a'')

TRANSLATION( [xᵢ₌₂]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₂] ) ∪ 

TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁₊₅] )=((⌈|n/(2+3+1)-1|⌉-⌈n/(2+3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+3)-1|⌉-⌈n/(2+3)⌉+1))+ ((⌈|n/(2+3+2+1)-1|⌉-⌈n/(2+3+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+3+2)-1|⌉-⌈n/(2+3+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(2+3+3+1+5+1)-1|⌉-⌈n/(2+3+3+1+5+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+3+3+1+5)-1|⌉-⌈n/(2+3+3+1+5)⌉+1))   (3).

La représentation de l'expression (3) est Seq(TRANSLATION( [xᵢ₌₂]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₂] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁₊₅] ))

=(0;0;0;0;1;0;1;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0..).

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATION( [xᵢ₌₂]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₂] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁₊₅] ))

=TRANSLATION( [xᵢ₌₆]⋆⋆[xᵢ₌₉])=(( ⌈|n/(⌈26/3⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈26/3⌉+1)⌉+1)-(⌈|n/⌈26/3⌉-1|⌉-⌈n/⌈26/3⌉ ⌉+1)) = (( ⌈|n/(9+1)-1|⌉-⌈n/(9+1)⌉+1)-(⌈|n/8-1|⌉-⌈n/8⌉+1))           (4) 

La représentation de l'expression (4) est Seq(TRANSLATIONMOYNA)=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0

;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0..).

∴

1.1.b) Plusieurs fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels d'un élément, formant une sous séquence de plusieurs éléments non successifs à valeur dans {0;N*}:

∴

Nous rappelons tout d'abord l'expression précédente (2)' de la fonction de translation de mouvement séquentiel d'un seul élément dans {0; N*}, puis nous prenons un premier exemple algébrique de trois opérations simultanées de la fonction de translation de mouvements séquentielle d'un seul élément à valeur dans {0; N*}, définies comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*;∀ q ∈ N* ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<= p ; ∀ s ∈ N*; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; avec p=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}) + a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a:

TRANSLATION([q⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆⋆[q*xᵢ₌ₚ₊ₛ])=TRANSLATION([qᵢ₌ₚ]⋆⋆[qᵢ₌ₚ₊ₛ])=TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q=((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*q                  (2)'.

Alors nous pouvons effectuer trois opérations de translations de mouvements séquentiels en considérant l'exemple algébrique noté de la façon suivante, ∀ q , q', q'' ∈ N*:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] )*q' ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ ])*q''= ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))*q + ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1))*q' + ((⌈|n/(p+s+a+1+x+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+x+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+x)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+x)⌉+1))*q''         (3)'

Ensuite comme précédemment étant donné que les trois éléments translatés qui sont tous de valeurs d'index de positions non successives, c'est-à-dire non successivement incrémentées de valeur égale à 1, nous ne pouvons qu'effectuer le calcul de la valeur moyenne des trois opérations de translations par la fonction de translation moyenne de mouvements séquentiels notée:
TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞ ), dont l'expression est définie comme suit, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [ a(n) ], nous remarquons que:

• Soit a, s, v, p ∈ N* et les indices notés ₐ, ₛ, ᵥ, ₚ    (b)

• Soit la quantité d'expressions de translation de mouvement séquentiel pour chaque élément translaté j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ]) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + (( ⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ]           (b')

• Soit t=⌈ (p+p+s+1+ p+s+a+1) / j ⌉, et r=⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) /j ⌉          (b'')

• Soit l'indice t noté ₜ       (b''')

• Soit  r l'indice noté ᵣ      (b''')

alors, TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ] )*q ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊₂] )*q' ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ₊ₛ₊ₐ₊₁₊ᵥ] )*q'')=TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] )=(( ⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1)-(⌈|n/r-1|⌉-⌈n/r⌉+1))*(q+q'+q'')/j     (5) 

TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] )*(q+q'+q'')/j  =((( ⌈|n / (⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j⌉+1)⌉+1)-(⌈| n / ⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j ⌉ -1|⌉-⌈n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / j ⌉⌉+1)))*(q+q'+q'')/j            (5)'↔(5) 

TRANSLATION( [xᵢ₌ₜ]⋆⋆[xᵢ₌ᵣ] ))*(q+q'+q'')/j =( (( ⌈|n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))  ) ] )⌉+1)⌉+1)-(⌈|n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1) - (⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))  ) ] ) ⌉-1|⌉-⌈n/⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+s+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s)-1|⌉-⌈n/(p+s)⌉+1))+ ((⌈|n/(p+s+2+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+2)-1|⌉-⌈n/(p+s+2)⌉+1)) + ((⌈|n/(p+s+a+1+v+1)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v+1)⌉+1)-(⌈|n/(p+s+a+1+v)-1|⌉-⌈n/(p+s+a+1+v)⌉+1))  ) ] ) ⌉⌉+1)) ) *(q+q'+q'')/j          (5)''↔ (5)'↔(5). 

∴

Comme nous l'avons écrit au début de ce deuxième titre nous remarquons que nous avons utilisé l'expression de la moyenne arithmétique (q+q'+q'')/j, que nous pouvons remplacer par l'expression de la moyenne harmonique soit:  j/(1/q+1/q'+1/q'');  ou bien encore par l'expression de la moyenne géométrique soit: (q+q'+q'')^(1/j);  ou bien encore par l'expression de la moyenne quadratique soit: ( (1/j)*(q²+q'²+q''²) )^(1/2).

∴

En remplaçant par les valeurs numériques correspondantes aux variables, a, s, v, p, t, r, q, q', q'' ∈ N* dans les expressions (3)', (a''), et (5), avec ∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆xᵢ₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=( { n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, considérons l'exemple de nᵢ ∈ Nᵢ =({nᵢ₌₁=1; nᵢ₌₂=2; nᵢ₌₃=3;....}); p=2, s=3, v=5, a=3, t=17, r=26, j=3, q=12, q'=10, q''=8 dans l'expression (5), (a''), et (6) soit:

t=⌈ (p+p+s+1+ p+s+a+1)/j⌉=⌈ (2+2+3+1+2+3+3+1)/3 ⌉=6; et r=⌈ (p+s+p+s+2+ p+s+a+1+v) /3 ⌉= ⌈(2+3+2+3+2+2+3+3+1+5) /3⌉=9.

TRANSLATION( [xᵢ₌₂]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃] )*q ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₂] )*q' ∪ 

TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁₊₅] )*q''=((⌈|n/(2+3+1)-1|⌉-⌈n/(2+3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+3)-1|⌉-⌈n/(2+3)⌉+1))*12+ ((⌈|n/(2+3+2+1)-1|⌉-⌈n/(2+3+2+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+3+2)-1|⌉-⌈n/(2+3+2)⌉+1))*10 + ((⌈|n/(2+3+3+1+5+1)-1|⌉-⌈n/(2+3+3+1+5+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+3+3+1+5)-1|⌉-⌈n/(2+3+3+1+5)⌉+1))*8      (3) 

 La représentation de l'expression (3) est Seq(TRANSLATION( [xᵢ₌₂]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃] )*q ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₂] )*q' ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁₊₅] )*q'')

=(0;0;0;0;12;0;10;0;0;0 ;0;0;0;8;0;0;0;0;0;0;0;0;0..).

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATION( [xᵢ₌₂]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃] )*q ∪ TRANSLATION( 

[xᵢ₌₂₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₂] )*q' ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₊₃₊₃₊₁₊₅] )*q'')

=TRANSLATION( [xᵢ₌₆]⋆⋆[xᵢ₌₉])*(12+10+8)/3=(( ⌈|n/(⌈26/3⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈26/3⌉+1)⌉+1)-(⌈|n/⌈26/3⌉-1|⌉-⌈n/⌈26/3⌉ ⌉+1))*(12+10+8)/3 =(( ⌈|n/(9+1)-1|⌉-⌈n/(9+1)⌉+1)-(⌈|n/8-1|⌉-⌈n/8⌉+1))*10   (5)

La représentation de l'expression (5) est Seq(TRANSLATIONMOYNA)=(0;0;0;0;0;0;0;0;10;0;

0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0..).

∴

1.1.c) Plusieurs fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels de plusieurs éléments, formant plusieurs sous séquences non successives d'éléments à valeur dans {0; 1}:

∴

Nous rappelons encore et tout d'abord l'expression précédente (2)' de la fonction de translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments dans {0; 1}, puis nous prenons un premier exemple algébrique de trois opérations simultanées de la fonction de translation de mouvements séquentielle de plusieurs éléments à valeur dans {0; 1}, définies comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a<= p; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c'est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; avec p=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}) + a, c'est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d'éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊ₖ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ↔ TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))       (13).

Alors nous pouvons effectuer trois opérations de translations de mouvements séquentiels en considérant l'exemple algébrique noté TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞, dont l'expression est définie comme suit:

TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ∪  TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₜ] ) = ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) - (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))  + ((⌈|n/(e+1)-1|⌉-⌈n/(e+1)⌉+1) - (⌈|n/(v+1) -1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1))  + ((⌈|n/(t+1)-1|⌉-⌈n/(t+1)⌉+1) - (⌈|n/(s+1) -1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1))      (13)'

Ensuite comme précédemment étant donné que les trois suites d'éléments translatés qui sont toutes d'éléments à valeur d'index de positions successives ente eux, mais non successives entre elles, c'est-à-dire non successivement incrémentées de valeur égale à 1, nous ne pouvons qu'effectuer le calcul de la valeur moyenne des trois opérations de translations par la fonction de translation moyenne de mouvements séquentiels notée:

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞ )           (14) , dont l'expression est définie comme suit, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [ a(n) ], nous remarquons que: 

• Soit x, x+1, a+1, p, m, h, v, e, o, k, s, t ∈ N* et les indices notés: ₓ, ₓ₊₅, ₐ₊₁, ₚ, ₘ, ₕ, ᵥ, ₑ, ₒ, ₖ, ₛ, ₜ (c)

• Soit la quantité d'expressions de translation de mouvement séquentiel pour chaque élément translaté j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌ₘ ]⋆⋆[ xᵢ₌ᵥ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ]      (c1)' ↔  j'=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₚ]) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ₑ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₖ]⋆⋆[xᵢ₌ₜ]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/p-1|⌉-⌈n/p⌉+1))+ ((⌈|n/(e+1)-1|⌉-⌈n/(e+1)⌉+1)-(⌈|n/e-1|⌉-⌈n/e⌉+1)) + (( ⌈|n/(t+1)-1|⌉-⌈n/(t+1)⌉+1)-(⌈|n/t-1|⌉-⌈n/t⌉+1)) )]         (c2')

• Soit β=⌈ (a+1+v+s) / j ⌉, et r=⌈ (p+e+t) /j ⌉          (c'')

• Soit β ∈ N*, et l'indice β noté ᵦ       (c''')

• Soit  r ∈ N*, et l'indice noté ᵣ      (c'''')

• Soit γ=⌈ (x+m+o) / j ⌉, et φ=⌈ (x+1+h+k) /j ⌉          (c''''')

• Soit γ ∈ N*, et l'indice γ noté ᵧ       (c''''')

• Soit  φ ∈ N*, et l'indice noté ᵩ      (c''''')

Alors, TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₜ] ) = TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] ) = ((⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1))= ((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1))        (14)''

TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] )= ((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] )⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) i ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈ |n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) + ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) )  ] ) ⌉+1)⌉+1))             (14)'''

∴

En remplaçant par les valeurs numériques correspondantes aux variables, x, x+1, a+1, o, k, m, h, v, s, p, e, t, j ∈ N* dans les expressions (13)', (c'') et (14), avec ∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆xᵢ₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=({ n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, considérons l'exemple de nᵢ ∈ Nᵢ =({nᵢ₌₁=1; nᵢ₌₂=2; nᵢ₌₃=3;....}); x=1, x+1=2, m=13, h=15, o=4, k=9, a+1=9, p=12, e=20, v=18, s=23, t=29, j=3, et suivant, dans l'expression 

(13), (c'') et (14),  soit:

• soit β=⌈(9+18+23)/3⌉=17, et r=⌈(12+20+29 )/3⌉=21   (c'').

• Soit γ=⌈(1+13+4)/3⌉=6, et φ=⌈(1+1+15+9)/3⌉=9        (c''''').

TRANSLATION( [xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₁₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌₉₊₁ ; xᵢ₌₁₂] ) ∪  TRANSLATION( [xᵢ₌₁₃ ; xᵢ₌₁₅] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₈₊₁ ; xᵢ₌₂₀] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₉] ⋆⋆ [xᵢ₌₂₃₊₁; xᵢ₌₂₉] )= ((⌈|n/(12+1)-1|⌉-⌈n/(12+1)⌉+1) - (⌈|n/(9+1) -1|⌉-⌈n/(9+1)⌉+1))  + ((⌈|n/(20+1)-1|⌉-⌈n/(20+1)⌉+1) - (⌈|n/(18+1) -1|⌉-⌈n/(18+1)⌉+1))  + ((⌈|n/(29+1)-1|⌉-⌈n/(29+1)⌉+1) - (⌈|n/(23+1) -1|⌉-⌈n/(23+1)⌉+1))      (13)'. La représentation de l'expression (13)' est Seq(TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌₉₊₁; xᵢ₌₁₂] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₁₃; xᵢ₌₁₅] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₈₊₁; xᵢ₌₂₀] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄; xᵢ₌₉ ] ⋆⋆ [xᵢ₌₂₃₊₁; xᵢ₌₂₉] ))

=Seq(TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌₉₊₁; xᵢ₌₁₂] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₁₃; xᵢ₌₁₅] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₈₊₁; xᵢ₌₂₀] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄; xᵢ₌₉ ] ⋆⋆ [xᵢ₌₂₃₊₁; xᵢ₌₂₉] ))=Seq(TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌₉₊₁; xᵢ₌₁₂] ) ∪  TRANSLATION( [xᵢ₌₁₃; xᵢ₌₁₅] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₈₊₁; xᵢ₌₂₀] ) 

∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄; xᵢ₌₉ ] ⋆⋆ [xᵢ₌₂₃₊₁; xᵢ₌₂₉] )).

La représentation de l'expression (14)', est Seq( TRANSLATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌₉₊₁; xᵢ₌₁₂] ) 

∪  TRANSLATION( [xᵢ₌₁₃; xᵢ₌₁₅] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₈₊₁; xᵢ₌₂₀] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄; xᵢ₌₉ ] ⋆⋆ [xᵢ₌₂₃₊₁; xᵢ₌₂₉] ))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;0;0;0;0;0;0;1;1;0;0;0;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0).

TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₁₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌₉₊₁; xᵢ₌₁₂] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₁₃ ; xᵢ₌₁₅] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₈₊₁ ; xᵢ₌₂₀] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₉ ] ⋆⋆ [xᵢ₌₂₃₊₁; xᵢ₌₂₉] )) = TRANSLATION( [xᵢ₌ ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ] ⋆⋆ [xᵢ₌ᵦ₊₁; xᵢ₌ᵣ] ) = ((⌈|n/(⌈ (12+20+29) /3 ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (12+20+29) /3 ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (9+18+23) / 3 ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (9+18+23) / 3 ⌉+1)⌉+1))= ((⌈|n/(21+1)-1|⌉-⌈n/(21+1)⌉+1) - (⌈|n/(17+1) -1|⌉-⌈n/(17+1)⌉+1))    (14)'.

La représentation de l'expression (14)', est Seq(TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₁₊₁] ⋆⋆ [xᵢ₌₉₊₁; xᵢ₌₁₂] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₁₃ ; xᵢ₌₁₅] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₈₊₁ ; xᵢ₌₂₀] ) ∪ 

TRANSLATION( [xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₉] ⋆⋆ [xᵢ₌₂₃₊₁; xᵢ₌₂₉] ) ))=TRANSLATION( [xᵢ₌₆ ; xᵢ₌₉] ⋆⋆ [xᵢ₌₁₈₊₁ ; xᵢ₌₂₁] )= (0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;0;0;0;0;0).

∴

1.1.d) Plusieurs fonctions caractéristiques de translations de mouvements séquentiels de plusieurs éléments, formant plusieurs sous séquences non successives d'éléments de valeur dans {0; kₙ+1}:

∴

Nous rappelons encore et tout d'abord l'expression précédente (13) de la fonction de translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments dans {0; kₙ+1}, puis nous prenons un premier exemple algébrique de trois opérations simultanées de la fonction de translation de mouvements séquentielle de plusieurs éléments à valeur dans {0; kₙ+1}, et soit l'expression de la fonction simple de translation de mouvements séquentiels de plusieurs éléments successifs à valeur de variables choisies dans N*, dont le premier élément est égal à n'importe quelle valeur k+1 dans N* définie comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇...) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇...) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a > p, a >=3, et a-p >=1; ∀ k ∈ N*:

TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k +

TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) = ( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  )*k  + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))         (13) ↔ (12)*n+(10).

∴

Alors nous pouvons effectuer trois opérations de translations de mouvements séquentiels en considérant l'exemple algébrique noté TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞, dont l'expression est définie comme suit:

TRANSLATION( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₓ; (k+p)⋆*⋆xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;(k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] )

 ∪  TRANSLATION([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ₘ;(k'+e)⋆*⋆xᵢ₌ₕ]⋆⋆[(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁;(k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )

 ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₒ ; (k''+t)⋆*⋆ xᵢ₌ₖ ] ⋆⋆ [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁ ; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ) =1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) +1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵥ₊₁; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )*k' + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; e⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )

 +1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )*k'' + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; t⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )    (15)

TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪  TRANSLATIONR( [(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=

( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  )*k  + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))    +  ( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) )  )*k' + (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋))  + ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) )  )*k'' + (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋))         (15)' ↔ (15) .

Ensuite comme précédemment étant donné que les trois suites d'éléments translatés qui sont toutes d'éléments à valeur d'index de positions successives ente eux, mais non successives entre elles, c'est-à-dire non successivement incrémentées de valeur égale à 1, nous ne pouvons qu'effectuer le calcul de la valeur moyenne des trois opérations de translations par la fonction de translation moyenne de mouvements séquentiels notée:

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONᵢ₌₁ ∪ TRANSLATIONᵢ₌₂ ∪... ∪ TRANSLATIONᵢ₌∞ )           (16) , dont l'expression est définie comme suit, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l'opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d'une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l'indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n'est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l'expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [ a(n) ], nous remarquons que: 

• Soit x, x+1, a+1, p, m, h, v, e, o, k, s, t ∈ N* et les indices notés: ₓ, ₓ₊₅, ₐ₊₁, ₚ, ₘ, ₕ, ᵥ, ₑ, ₒ, ₖ, ₛ, ₜ (c)

• Soit la quantité d'expressions de translation de mouvement séquentiel pour chaque élément translaté j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌ₘ ]⋆⋆[ xᵢ₌ᵥ₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1+1)-1|⌉-⌈n/(v+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1+1)-1|⌉-⌈n/(s+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)) ) ]      (c1)' ↔  j'=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊ₚ]) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊ₑ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₖ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊ₜ]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+p+1)-1|⌉-⌈n/(a+p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+p)-1|⌉-⌈n/(a+p)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+e+1)-1|⌉-⌈n/(v+e+1)⌉+1)-(⌈|n/(v+e)-1|⌉-⌈n/(v+e)⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+t+1)-1|⌉-⌈n/(s+t+1)⌉+1)-(⌈|n/(s+t)-1|⌉-⌈n/(s+t)⌉+1)) ) ]         (c2')

• Soit β=⌈ (a+1+v+s) / j ⌉, et r=⌈ (p+e+t) /j ⌉          (c'')

• Soit β ∈ N*, et l'indice β noté ᵦ       (c''')

• Soit  r ∈ N*, et l'indice noté ᵣ      (c'''')

• Soit γ=⌈ (x+m+o) / j ⌉, et φ=⌈ (x+1+h+k) /j ⌉          (c''''')

• Soit γ ∈ N*, et l'indice γ noté ᵧ       (c''''')

• Soit  φ ∈ N*, et l'indice noté ᵩ      (c''''')

Alors, TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) = TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) * ⌈ ( ( ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] )

 ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))] )/j ) ⌉ + ( ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATION([xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ᵥ₊ₑ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))) i ] ) * TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) - TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATION( [xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₘ ; xᵢ₌ₕ]⋆⋆[xᵢ₌ᵥ₊₁ ; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ ; xᵢ₌ₖ ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))                       (16)' ↔ (16)

TRANSLATIONMOYNA(TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )) = TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ]⋆⋆[xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] ) * ⌈ ( ( ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))] )/j ) ⌉ + ( ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ]⋆⋆[xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] )) i ] ) * TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ]⋆⋆[xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] ) - TRANSLATION( [xᵢ₌ᵧ ; xᵢ₌ᵩ ]⋆⋆[xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵣ] )     (16)'' ↔ (16)' ↔ (16)

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))=((⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1)) * ⌈((∑n=1→n=∞: [(TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ 

TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))] )/j ) ⌉ + ( ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1))) i ] ) * ( (⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1) )  -  ( (⌈|n/(r+1)-1|⌉-⌈n/(r+1)⌉+1) - (⌈|n/(β+1) -1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1) )           (16)''' ↔ (16)'' ↔ (16)' ↔ (16)

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))=((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1)) * ⌈((∑n=1→n=∞: [(TRANSLATIONR

( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATION( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))] )/j ) ⌉ + ( ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1)) ) i ] ) *  ((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1))  - ((⌈|n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) /j ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / j ⌉+1)⌉+1))   (16)'''↔(16)'''↔ (16)''↔(16)'↔(16)

TRANSLATIONMOYNA( TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) ∪ TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) ∪ TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+ t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ))

= ((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1))  *  ⌈  ( ∑ n=1→n=∞:[( ( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  )*k  + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))    +  ( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) )  )*k' + (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋))  + ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) )  )*k'' + (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋))] ) /  (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉  +

( ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / ( ∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1))) i ] ))    *       

((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1))   -

((⌈|n/(⌈ (p+e+t ) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)-1|⌉-⌈n/(⌈ (p+e+t) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1) - (⌈|n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1) -1|⌉-⌈n/(⌈ (a+1+v+s) / (∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)-(⌈|n/v-1|⌉-⌈n/v⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)-(⌈|n/s-1|⌉-⌈n/s⌉+1)) ) ] ) ⌉+1)⌉+1))(16)'''' ↔ (16)'''↔ (16)''↔(16)'↔(16)

∴

En remplaçant par les valeurs numériques correspondantes aux variables, x; a; o; k; m; h; v; s; p; e; t; j; k; k'; k'' ∈ N* dans les expressions (15), (c'') et (16), avec ∀ n ∈ N* ∧ n⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₛ₋ₓ ∈ SeqAᵢ=(n⋆*⋆xᵢ₌₁ ; n⋆*⋆xᵢ₌₂; n⋆*⋆xᵢ₌₃; n⋆*⋆xᵢ₌₄; n⋆*⋆xᵢ₌₅; n⋆*⋆xᵢ₌₆; n⋆*⋆xᵢ₌₇; n⋆*⋆xᵢ₌₈...) ⊆ {1; n*1} ↔ SeqAᵢ=({ n⋆*⋆xᵢ ∈ [n⋆*⋆xᵢ₌₁; n⋆*⋆xᵢ₌∞] | n⋆*⋆xᵢ=0*n+1 ∨ n⋆*⋆xᵢ =n*1}) ⊆ {1; n*1}, considérons l'exemple de nᵢ ∈ Nᵢ =({nᵢ₌₁=1; nᵢ₌₂=2; nᵢ₌₃=3;....}); et x=1, x+1=2, m=3, o=4, k=9, h=15, a=12, a+1=13, p=7, e=10, v=21, s=6, t=4,  j=3, et suivant, dans l'expression 

(15), (c'') et (16),  soit:

• Soit β=⌈(a+v+s)/j⌉, et r=⌈(t+e+p)/j⌉         (c'')

• Soit β ∈ N*, et l'indice β noté ᵦ       (c''')

• Soit  r ∈ N*, et l'indice noté ᵣ    (c'''')

• soit β=⌈(21+12+6)/3⌉=13 et r=⌈(4+7+10 )/3⌉=7    (c'').

• Soit γ=⌈(++)/3⌉=, et φ=⌈(++)/3⌉=        (c''''').

∴∴

k=5;  a=21;  p=10.

1A([xᵢ₌ₐ₊₁])= 1([xᵢ₌₂₁₊₁])=((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))=((⌈|n/(21+1+1)-1|⌉-⌈n/(21+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(21+1)-1|⌉-⌈n/(21+1)⌉+1))

Seq(1([xᵢ₌₂₁₊₁]))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0...)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )= 1A( xᵢ ∈  [xᵢ₌₂₁₊₁;xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )=( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) ) )=( (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋)) - (1-(⌊n/(21+1)⌋-⌊ |n-(21+1)| / (21+1)⌋ ) ) )

Seq(1A( xᵢ ∈  [xᵢ₌₂₁₊₁;xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] ))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;1;

1;1;0;0;0...)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k=1A( xᵢ ∈  [xᵢ₌₂₁₊₁;xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )*5=( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  )*k=((1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋)) - (1-(⌊n/(21+1)⌋-⌊ |n-(21+1)| / (21+1)⌋ )))*5 

Seq(1A( xᵢ ∈  [xᵢ₌₂₁₊₁;xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )*5)=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;5;5;5;5;5;5;5;5;

5;5;0;0;0;0;0;0;0....)

TRANSLATIONR([(1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ])=TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁;10⋆*⋆ xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )= (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) = (⌊n^2/(21*n-1)⌋*n mod 21) * (1-(⌊n/(2*21)⌋-⌊|n-(2*21)|/(2*21)⌋)) * (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋))

Seq(TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁;10⋆*⋆ xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] ))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;

0;0;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;0;0;0;0;0;0;0...)

TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=TRANSLATIONR( [(5+1)⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁; (5+10)⋆*⋆ xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] )=

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₂₁₊₁; xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )*5 + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁; 10⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )= ( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  )*k  + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) =( (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋)) - (1-(⌊n/(21+1)⌋-⌊ |n-(21+1)| / (21+1)⌋ ) )  )*5 + (⌊n^2/(21*n-1)⌋*n mod 21) * (1-(⌊n/(2*21)⌋-⌊|n-(2*21)|/(2*21)⌋)) * (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋))

Seq(TRANSLATIONR( [(5+1)⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁; (5+10)⋆*⋆ xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] ))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;0;0;0;0;0;0;0....)

∴∴

k'=9  v=12  e=7

1A([xᵢ₌ᵥ₊₁])=1A([xᵢ₌₁₂₊₁])= ((⌈|n/(v+1+1)-1|⌉-⌈n/(v+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1))= ((⌈|n/(12+1+1)-1|⌉-⌈n/(12+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(12+1)-1|⌉-⌈n/(12+1)⌉+1))

Seq(1A([xᵢ₌₁₂₊₁]))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0....)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵥ₊₁; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] ) =( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) ) )= ( (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) - (1-(⌊n/(12+1)⌋-⌊ |n-(12+1)| / (12+1)⌋ ) ) )

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] ) )=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0....)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵥ₊₁; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )*k' =1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] )*9 = ( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) ) )*k'=  ( (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) - (1-(⌊n/(12+1)⌋-⌊ |n-(12+1)| / (12+1)⌋ ) ) )*9

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] )*9 )=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;9;9;9;9;9;9;9;0;0;0;0....)

TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; e⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )=TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; 7⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₇] )= (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) = (⌊n^2/(12*n-1)⌋*n mod 12) * (1-(⌊n/(2*12)⌋-⌊|n-(2*12)|/(2*12)⌋)) * (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋))

Seq( TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; 7⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₇] ) )=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;3;4;5;6;7;

0;0;0;0;0;0;0;0...)

TRANSLATIONR([(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )=TRANSLATIONR([(9+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; (9+7)⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₇] )=1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵥ₊₁; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )*k' + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; e⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )=1A( nᵢ⋆*⋆xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] )*9 + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; 7⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₇] )= ( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) )  )*k' + (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) = ( (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) - (1-(⌊n/(12+1)⌋-⌊ |n-(12+1)| / (12+1)⌋ ) )  )*9 + (⌊n^2/(12*n-1)⌋*n mod 12) * (1-(⌊n/(2*12)⌋-⌊|n-(2*12)|/(2*12)⌋)) * (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) 

Seq(TRANSLATIONR([(9+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; (9+7)⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₇] ))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;10;11;

12;13;14;15;16;0;0;0;0....)

∴∴

k''=12  s=6  t=4

1A( [xᵢ₌ₛ₊₁])=1A([xᵢ₌₆₊₁])=(( ⌈|n/(s+1+1)-1|⌉-⌈n/(s+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)) )=(( ⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(6+1)-1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1)) )

Seq(1A([xᵢ₌₆₊₁]))=(0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0...)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] ) = ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) )  ) = ( (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) - (1-(⌊n/(6+1)⌋-⌊ |n-(6+1)| / (6+1)⌋ ) ) )

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] ) )=(0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;0;0;0...)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )*k''=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] )*12=( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) )  )*k''= ( (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) - (1-(⌊n/(6+1)⌋-⌊ |n-(6+1)| / (6+1)⌋ ) ) )*12 

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] )*12 )=(0;0;0;0;0;0;12;12;12;12;0;0...)

TRANSLATION( [1⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; t⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁; 4⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄] )= (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) = (⌊n^2/(6*n-1)⌋*n mod 6) * (1-(⌊n/(2*6)⌋-⌊|n-(2*6)|/(2*6)⌋)) * (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) 

Seq(TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁; 4⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄] ))=(0;0;0;0;0;0;1;2;3;4;0;0...)

TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=TRANSLATIONR( [(12+1)⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁; (12+4)⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )*k'' + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; t⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] )*12 + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁ ; 4⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄] )= ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) )  )*k'' + (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) = ( (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) - (1-(⌊n/(6+1)⌋-⌊ |n-(6+1)| / (6+1)⌋ ) ) )*12 + (⌊n^2/(6*n-1)⌋*n mod 6) * (1-(⌊n/(2*6)⌋-⌊|n-(2*6)|/(2*6)⌋)) * (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) 

Seq(TRANSLATIONR( [(12+1)⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁; (12+4)⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄] ))=(0;0;0;0;0;0;13;14;15;16;0;0...)

∴∴∴

x=1; m=3; o=4; k=9; h=15

a=12; p=7; e=10; v=21; s=6; t=4

j=3; k=5; k'=9; k''=12; 

 j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌ₘ ]⋆⋆[ xᵢ₌ᵥ₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₁₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌₃]⋆⋆[ xᵢ₌₁₂₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄]⋆⋆[xᵢ₌₆₊₁]) ) ] =∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1+1)-1|⌉-⌈n/(v+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1+1)-1|⌉-⌈n/(s+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)) ) ]=∑ n=1→n=∞: ((⌈|n/(21+1+1)-1|⌉-⌈n/(21+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(21+1)-1|⌉-⌈n/(21+1)⌉+1)) +  [( ((⌈|n/(12+1+1)-1|⌉-⌈n/(12+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(12+1)-1|⌉-⌈n/(12+1)⌉+1))+(( ⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(6+1)-1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1)) ) ]=3.

Seq( j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₁₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌₃]⋆⋆[ xᵢ₌₁₂₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄]⋆⋆[xᵢ₌₆₊₁]) ) ] )=(0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;

0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0....)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵥ₊₁; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) = 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] ) + 1A( xᵢ ∈  [xᵢ₌₂₁₊₁;xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] ) = ( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  ) + ( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) )  )+  ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) )  )=( (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋)) - (1-(⌊n/(21+1)⌋-⌊ |n-(21+1)| / (21+1)⌋ ) )  ) + ( (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) - (1-(⌊n/(12+1)⌋-⌊ |n-(12+1)| / (12+1)⌋ ) )  ) + ( (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) - (1-(⌊n/(6+1)⌋-⌊ |n-(6+1)| / (6+1)⌋ ) ) )

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] )+ 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] )+1A( xᵢ ∈  [xᵢ₌₂₁₊₁;xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] ))=(0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;0;0;1;1;1;1;1;1;1;0;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0...)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k+1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵥ₊₁; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )*k'+1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )*k''=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₂₁₊₁; xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )*5+1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] )*9 + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁; xᵢ₌₆₊₄] )*12 =( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  )*k  + ( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) )  )*k' +  ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) )  )*k''=( (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋)) - (1-(⌊n/(21+1)⌋-⌊ |n-(21+1)| / (21+1)⌋ ) )  )*5 + ( (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) - (1-(⌊n/(12+1)⌋-⌊ |n-(12+1)| / (12+1)⌋ ) )  )*9 + ( (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) - (1-(⌊n/(6+1)⌋-⌊ |n-(6+1)| / (6+1)⌋ ) ) )*12

Seq(1A( xᵢ ∈  [xᵢ₌₂₁₊₁;xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )*5+1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] )*9+1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁;xᵢ₌₆₊₄] )*12)=(0;0;0;0;0;0;12;12;12;12;0;0;9;9;9;9;9;9;9;0;0;5;5;5;5;5;5;5;5;5;5;0;0;0;0;0...)

TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) + TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; e⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; t⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁;10⋆*⋆ xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )+TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; 7⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₇])+TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁; 4⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄])

=(⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))+ (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) + (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋))=(⌊n^2/(21*n-1)⌋*n mod 21) * (1-(⌊n/(2*21)⌋-⌊|n-(2*21)|/(2*21)⌋)) * (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋))  + (⌊n^2/(12*n-1)⌋*n mod 12) * (1-(⌊n/(2*12)⌋-⌊|n-(2*12)|/(2*12)⌋)) * (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) + (⌊n^2/(6*n-1)⌋*n mod 6) * (1-(⌊n/(2*6)⌋-⌊|n-(2*6)|/(2*6)⌋)) * (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) 

Seq(TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁;10⋆*⋆ xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )+TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; 7⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₇])+TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁; 4⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄]))=(0;0;0;0;0;0;1;2;3;4;0;0;1;2;3;4;5;6;7;0;0

;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;0;0;0;0;0;0;0;0...)

TRANSLATIONR( [(k+1)⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; (k+p)⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) + TRANSLATIONR( [(k'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; (k'+e)⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )+TRANSLATIONR( [(k''+1)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; (k''+t)⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=TRANSLATIONR([(9+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; (9+7)⋆*⋆ xᵢ₌₁₂₊₇] )+TRANSLATIONR( [(5+1)⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁; (5+10)⋆*⋆ xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] ) + TRANSLATIONR( [(12+1)⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁; (12+4)⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] )*k + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵥ₊₁; xᵢ₌ᵥ₊ₑ] )*k' + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; e⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ₛ₊₁ ; xᵢ₌ₛ₊ₜ] )*k'' + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; t⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₂₁₊₁; xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )*5  + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁; 10⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] )*9  + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; 7⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₇] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] )*12 + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁ ; 4⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄] )         (T)

(T) ↔ a(n)=( (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋)) - (1-(⌊n/(a+1)⌋-⌊ |n-(a+1)| / (a+1)⌋ ) )  )*k  + (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))+( (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) - (1-(⌊n/(v+1)⌋-⌊ |n-(v+1)| / (v+1)⌋ ) )  )*k' + (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) +  ( (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) - (1-(⌊n/(s+1)⌋-⌊ |n-(s+1)| / (s+1)⌋ ) )  )*k'' + (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋))     (T)'

(T)' ↔ a(n)= ( (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋)) - (1-(⌊n/(21+1)⌋-⌊ |n-(21+1)| / (21+1)⌋ ) )  )*5 + (⌊n^2/(21*n-1)⌋*n mod 21) * (1-(⌊n/(2*21)⌋-⌊|n-(2*21)|/(2*21)⌋)) * (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋))  + ( (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) - (1-(⌊n/(12+1)⌋-⌊ |n-(12+1)| / (12+1)⌋ ) )  )*9 + (⌊n^2/(12*n-1)⌋*n mod 12) * (1-(⌊n/(2*12)⌋-⌊|n-(2*12)|/(2*12)⌋)) * (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) + ( (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) - (1-(⌊n/(6+1)⌋-⌊ |n-(6+1)| / (6+1)⌋ ) ) )*12 + (⌊n^2/(6*n-1)⌋*n mod 6) * (1-(⌊n/(2*6)⌋-⌊|n-(2*6)|/(2*6)⌋)) * (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) 

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₂₁₊₁; xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] )*5  + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁; 10⋆*⋆xᵢ₌₂₁₊₁₀₌₃₁] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₂₊₁; xᵢ₌₁₂₊₇] )*9  + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₁; 7⋆*⋆xᵢ₌₁₂₊₇] ) + 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₆₊₁ ; xᵢ₌₆₊₄] )*12 + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₆₊₁ ; 4⋆*⋆xᵢ₌₆₊₄] ))=(0;0;0;0;0;0;13;

14;15;16;0;0;10;11;12;13;14;15;16;0;0;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;0;0;0;0..)

∴∴∴∴

β=⌈(a+v+s)/j⌉=13; r=⌈(t+e+p)/j⌉=7

a=21; v=12; s=6; t=4; e=7; p=10; k=5; k'=9; k''=12; j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌ₘ ]⋆⋆[ xᵢ₌ᵥ₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₁₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌₃]⋆⋆[ xᵢ₌₁₂₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄]⋆⋆[xᵢ₌₆₊₁]) ) ] =∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1+1)-1|⌉-⌈n/(v+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1+1)-1|⌉-⌈n/(s+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)) ) ]=∑ n=1→n=∞: ((⌈|n/(21+1+1)-1|⌉-⌈n/(21+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(21+1)-1|⌉-⌈n/(21+1)⌉+1)) +  [( ((⌈|n/(12+1+1)-1|⌉-⌈n/(12+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(12+1)-1|⌉-⌈n/(12+1)⌉+1))+(( ⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(6+1)-1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1)) ) ]=3.

K=⌈ ( TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; p⋆*⋆ xᵢ₌ₐ₊ₚ] ) + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ᵥ₊₁; e⋆*⋆ xᵢ₌ᵥ₊ₑ] ) + TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊₁; t⋆*⋆xᵢ₌ₛ₊ₜ] ) ) / (t+e+p) ⌉ = ⌈ ( (⌊n^2/(a*n-1)⌋*n mod a) * (1-(⌊n/(2*a)⌋-⌊|n-(2*a)|/(2*a)⌋)) * (1-(⌊n/(p+a+1)⌋-⌊ |n-(p+a+1)| / (p+a+1)⌋))+ (⌊n^2/(v*n-1)⌋*n mod v) * (1-(⌊n/(2*v)⌋-⌊|n-(2*v)|/(2*v)⌋)) * (1-(⌊n/(e+v+1)⌋-⌊ |n-(e+v+1)| / (e+v+1)⌋)) + (⌊n^2/(s*n-1)⌋*n mod s) * (1-(⌊n/(2*s)⌋-⌊|n-(2*s)|/(2*s)⌋)) * (1-(⌊n/(t+s+1)⌋-⌊ |n-(t+s+1)| / (t+s+1)⌋)) ) / (t+e+p) ⌉ = ⌈ ( (⌊n^2/(21*n-1)⌋*n mod 21) * (1-(⌊n/(2*21)⌋-⌊|n-(2*21)|/(2*21)⌋)) * (1-(⌊n/(10+21+1)⌋-⌊ |n-(10+21+1)| / (10+21+1)⌋))  + (⌊n^2/(12*n-1)⌋*n mod 12) * (1-(⌊n/(2*12)⌋-⌊|n-(2*12)|/(2*12)⌋)) * (1-(⌊n/(7+12+1)⌋-⌊ |n-(7+12+1)| / (7+12+1)⌋)) + (⌊n^2/(6*n-1)⌋*n mod 6) * (1-(⌊n/(2*6)⌋-⌊|n-(2*6)|/(2*6)⌋)) * (1-(⌊n/(4+6+1)⌋-⌊ |n-(4+6+1)| / (4+6+1)⌋)) )/ (4+7+10) ⌉=13

1A([xᵢ₌ᵦ₊₁])=1A([xᵢ₌₁₃₊₁])=((⌈|n/(β+1+1)-1|⌉-⌈n/(β+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(β+1)-1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1)))=

((⌈|n/(13+1+1)-1|⌉-⌈n/(13+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1)))

Seq(1A([xᵢ₌₁₃₊₁]))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0....)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁ ; xᵢ₌₁₃₊₇] ) = ( (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋)) - (1-(⌊n/(β+1)⌋-⌊ |n-(β+1)| / (s+1)⌋ ) )  ) = ( (1-(⌊n/(13+7+1)⌋-⌊ |n-(13+7+1)| / (13+7+1)⌋)) - (1-(⌊n/(13+1)⌋-⌊ |n-(13+1)| / (13+1)⌋ ) ) )

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁ ; xᵢ₌₁₃₊₇] )) =(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0...)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )*(K-1)=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁ ; xᵢ₌₁₃₊₇] )*(13-1)= ( (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋)) - (1-(⌊n/(β+1)⌋-⌊ |n-(β+1)| / (β+1)⌋ ) )  )*(K-1)= ( (1-(⌊n/(13+7+1)⌋-⌊ |n-(13+7+1)| / (13+7+1)⌋)) - (1-(⌊n/(13+1)⌋-⌊ |n-(13+1)| / (13+1)⌋ ) ) )*(13-1)

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁ ; xᵢ₌₁₃₊₇] )*(13-1))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;12;12;12;12;12;12;12;0;0;0....)

TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )=TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁ ;  r⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇] )=(⌊n^2/(β*n-1)⌋*n mod β) * (1-(⌊n/(2*β)⌋-⌊|n-(2*β)|/(2*β)⌋)) * (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋)) =  (⌊n^2/(13*n-1)⌋*n mod 13) * (1-(⌊n/(2*13)⌋-⌊|n-(2*13)|/(2*13)⌋)) * (1-(⌊n/(7+13+1)⌋-⌊ |n-(7+13+1)| / (7+13+1)⌋)) 

Seq(TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁ ;  r⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇] ))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;3;4;5;6;7;0;

0;0....)

TRANSLATIONR( [((K-1)+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊₁; ((K-1)+r)⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )=TRANSLATIONR( [((13-1)+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁; ((13-1)+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇] ) =1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵦ₊₁; xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )*(K-1) +

TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊ᵣ])= 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁; xᵢ₁₃₊₇] )*(13-1)
+TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁; 7⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇])=( (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋)) - (1-(⌊n/(β+1)⌋-⌊ |n-(β+1)| / (β+1)⌋ ) )  )*(K-1) + (⌊n^2/(β*n-1)⌋*n mod β) * (1-(⌊n/(2*β)⌋-⌊|n-(2*β)|/(2*β)⌋)) * (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋))=( (1-(⌊n/(13+7+1)⌋-⌊ |n-(13+7+1)| / (13+7+1)⌋)) - (1-(⌊n/(13+1)⌋-⌊ |n-(13+1)| / (13+1)⌋ ) ) )*(13-1) +  (⌊n^2/(13*n-1)⌋*n mod 13) * (1-(⌊n/(2*13)⌋-⌊|n-(2*13)|/(2*13)⌋)) * (1-(⌊n/(7+13+1)⌋-⌊ |n-(7+13+1)| / (7+13+1)⌋)) 

Seq(TRANSLATIONR( [((13-1)+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁; ((13-1)+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇] ))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;

0;13;14;15;16;17;18;19;0;0;0.....)

∴∴∴∴∴

β=⌈(a+v+s)/j⌉=13; r=⌈(t+e+p)/j⌉=7

a=21; v=12; s=6; t=4; e=7; p=10; k=5; k'=9; k''=12; j=∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌ₓ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌ₘ ]⋆⋆[ xᵢ₌ᵥ₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌ₒ]⋆⋆[xᵢ₌ₛ₊₁]) ) ] = ∑ n=1→n=∞: [(TRANSLATION([xᵢ₌₁]⋆⋆[xᵢ₌₂₁₊₁]) ∪ TRANSLATION([ xᵢ₌₃]⋆⋆[ xᵢ₌₁₂₊₁ ]) ∪ TRANSLATION( [xᵢ₌₄]⋆⋆[xᵢ₌₆₊₁]) ) ] =∑ n=1→n=∞: [( ((⌈|n/(a+1+1)-1|⌉-⌈n/(a+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+ ((⌈|n/(v+1+1)-1|⌉-⌈n/(v+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(v+1)-1|⌉-⌈n/(v+1)⌉+1)) + (( ⌈|n/(s+1+1)-1|⌉-⌈n/(s+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(s+1)-1|⌉-⌈n/(s+1)⌉+1)) ) ]=∑ n=1→n=∞: ((⌈|n/(21+1+1)-1|⌉-⌈n/(21+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(21+1)-1|⌉-⌈n/(21+1)⌉+1)) +  [( ((⌈|n/(12+1+1)-1|⌉-⌈n/(12+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(12+1)-1|⌉-⌈n/(12+1)⌉+1))+(( ⌈|n/(6+1+1)-1|⌉-⌈n/(6+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(6+1)-1|⌉-⌈n/(6+1)⌉+1)) ) ]=3; K'=⌈(k+k'+k")/j⌉=⌈(5+9+12)/3⌉=18  

1A([xᵢ₌ᵦ₊₁])=1A([xᵢ₌₁₃₊₁])=((⌈|n/(β+1+1)-1|⌉-⌈n/(β+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(β+1)-1|⌉-⌈n/(β+1)⌉+1)))=

((⌈|n/(13+1+1)-1|⌉-⌈n/(13+1+1)⌉+1)-(⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1)))

Seq(1A([xᵢ₌₁₃₊₁]))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0....)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁ ; xᵢ₌₁₃₊₇] ) = ( (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋)) - (1-(⌊n/(β+1)⌋-⌊ |n-(β+1)| / (s+1)⌋ ) )  ) = ( (1-(⌊n/(13+7+1)⌋-⌊ |n-(13+7+1)| / (13+7+1)⌋)) - (1-(⌊n/(13+1)⌋-⌊ |n-(13+1)| / (13+1)⌋ ) ) )

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁ ; xᵢ₌₁₃₊₇]))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0...)

1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵦ₊₁ ; xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )*K'=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁ ; xᵢ₌₁₃₊₇] )*18= ( (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋)) - (1-(⌊n/(β+1)⌋-⌊ |n-(β+1)| / (β+1)⌋ ) )  )*K'= ( (1-(⌊n/(13+7+1)⌋-⌊ |n-(13+7+1)| / (13+7+1)⌋)) - (1-(⌊n/(13+1)⌋-⌊ |n-(13+1)| / (13+1)⌋ ) ) )*18

Seq(1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁ ; xᵢ₌₁₃₊₇] )*18)=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;18;18;18;18;18;18;18;0;0;0....)

TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )=TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁ ;  r⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇] )=(⌊n^2/(β*n-1)⌋*n mod β) * (1-(⌊n/(2*β)⌋-⌊|n-(2*β)|/(2*β)⌋)) * (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋)) =  (⌊n^2/(13*n-1)⌋*n mod 13) * (1-(⌊n/(2*13)⌋-⌊|n-(2*13)|/(2*13)⌋)) * (1-(⌊n/(7+13+1)⌋-⌊ |n-(7+13+1)| / (7+13+1)⌋)) 

Seq(TRANSLATIONR( [1⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁ ;  r⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇] ))=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;2;3;4;5;6;7;0

;0;0....)

TRANSLATIONR( [(K'+1)⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊₁; (K'+r)⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )=TRANSLATIONR( [(18+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁; (18+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇] )=1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌ᵦ₊₁; xᵢ₌ᵦ₊ᵣ] )*K' + TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ᵦ₊ᵣ]) = 1A( xᵢ ∈ [xᵢ₌₁₃₊₁; xᵢ₁₃₊₇] )*18 + TRANSLATIONR([1⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁; 7⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇])=( (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋)) - (1-(⌊n/(β+1)⌋-⌊ |n-(β+1)| / (β+1)⌋ ) )  )*K' + (⌊n^2/(β*n-1)⌋*n mod β) * (1-(⌊n/(2*β)⌋-⌊|n-(2*β)|/(2*β)⌋)) * (1-(⌊n/(β+r+1)⌋-⌊ |n-(β+r+1)| / (β+r+1)⌋))=( (1-(⌊n/(13+7+1)⌋-⌊ |n-(13+7+1)| / (13+7+1)⌋)) - (1-(⌊n/(13+1)⌋-⌊ |n-(13+1)| / (13+1)⌋ ) ) )*18 + (⌊n^2/(13*n-1)⌋*n mod 13) * (1-(⌊n/(2*13)⌋-⌊|n-(2*13)|/(2*13)⌋)) * (1-(⌊n/(7+13+1)⌋-⌊ |n-(7+13+1)| / (7+13+1)⌋)) 

Seq(TRANSLATIONR( [(18+1)⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₁; (18+7)⋆*⋆xᵢ₌₁₃₊₇] ) )=(0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;

19;20;21;22;23;24;25;0;0;0.....)

∴