34: 24'A IX'' APPLICATIONS EN THÉORIE DES NOMBRES DES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE TERMINAISONS SEGMENTALES: Fonctions de divisibilité et de non divisibilité

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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 © "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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"Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs). Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. Une des propriétés des nombres entiers est celle de la divisibilité, définie en arithmétique, comme un entier a est divisible par un entier b s'il existe un entier k tel que a = bk. On dit alors que a est un multiple de b, et que b divise a ou est un diviseur de a.La relation de divisibilité se note à l'aide d'une barre verticale : b divise a se note b|a et ne doit pas se confondre avec le résultat de la division de a par b noté a/b.

Un diviseur d’un entier n, aussi appelé facteur de n, est un entier m qui peut être multiplié par un entier pour produire n. Dans ce cas, on dit aussi que n est un multiple de m. Un entier n est divisible ou divisible par un autre entier m si m est un diviseur de n. Cela implique de diviser n par m ne laisse aucun reste. Un diviseur d'un entier n est un entier m, pour lequel n/m est encore un entier (qui est nécessairement aussi un diviseur de n). Par exemple, 3 est un diviseur de 21, puisque 21/7 = 3 (et donc 7 est aussi un diviseur de 21).Si m est un diviseur de n alors −m l'est aussi. "Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre." Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre. Le tableau ci-dessous répertorie uniquement les diviseurs positifs.

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VII'') LES APPLICATIONS DE LA FONCTION DE TERMINAISON CARACTÉRISTIQUE SIMPLEAUX FONCTIONS ARITHMÉTIQUES DE LA DIVISIBILITÉ ET DE LA NON DIVISIBILITÉ: n|a; n∤a. 

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1.1.a) Les propriétés de la fonction de terminaison caractéristique simple correspondantes aux propriétés de la fonction caractéristique:

Si nous considérons que les variables précédentes appartiennent à l'ensemble SeqA définie par SeqA=(xₙ, yₙ, zₙ , wₙ,..,αₙ..ωₙ), et soit la notation de SeqAᵢ l'indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l'indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de N), les propriétés de la fonction de terminaison caractéristique simple sont définies comme suit:

∀ xₙ ∈ R, ∀ yₙ ∈ R, ∀ zₙ ∈ R, ∀ wₙ ∈ R, ..∀ αₙ ∈ R..∀ ωₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*:

a(n)=1-1A(xₙ=0) ∪ 1-1A(yₙ=0) ∪ 1-1A(zₙ=0) ∪ 1-1A(wₙ=0)…∪ 1-1A(αₙ=0) …∪ 1-1A(ωₙ=0)=(1-1A(xₙ=0))+(1-1A(yₙ=0))+(1-1A(zₙ=0))+(1-1A(wₙ=0))…+(1-1A(αₙ=0)) …+(1-1A(ωₙ=0))=(1-1A(xₙ=0))+(1-1A(yₙ=0))+(1-1A(zₙ=0))+(1-1A(wₙ=0))…+(1-1A(αₙ=0)) …+(1-1A(ωₙ=0))       (1)

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∀ xₙ ∈ R ∧ xₙ ∈ SeqAᵢ, ∀ yₙ ∈ SeqAᵢ ∧ yₙ ∈ R , ∀ zₙ ∈ SeqAᵢ ∧ zₙ ∈ R , ∀ wₙ ∈ SeqAᵢ ∧ wₙ ∈ R,.. ∀ αₙ ∈ SeqAᵢ ∧ αₙ ∈ R, ..∀ ωₙ ∈ SeqAᵢ ∧ ωₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*:

a(n)=1-1A(xₙ=0) ∪ 1-1A(yₙ=0) ∪ 1-1A(zₙ=0) ∪ 1-1A(wₙ=0)…∪ 1-1A(αₙ=0) …∪ 1-1A(ωₙ=0)=∑((i=1)→(i=∞): 1-1A(SeqAᵢ))    (1')

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∀ xₙ ∈ N*, ∀ yₙ ∈ N*, ∀ zₙ ∈ N*, ∀ wₙ ∈ N*, ..∀ ωₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

a(n)=1-1A(xₙ=0) ∪ 1-1A(yₙ=0) ∪ 1-1A(zₙ=0) ∪ 1-1A(wₙ=0)…∪ 1-1A(αₙ=0) …∪ 1-1A(ωₙ=0)=1-1A((n-xₙ)*(n-yₙ)*(n-zₙ)*(n-wₙ)..*(n-ωₙ))       (2)

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1.1.b) L'expression de la fonction de terminaison caractéristique simple équivalente à l'expression de la propriété de divisibilité non réciproque 

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"En arithmétique, un “diviseur” d'un entier n est un entier dont n est un multiple. Plus formellement, si d et n sont deux entiers, d est un diviseur de n seulement s'il existe un entier k tel que d*k = n. Ainsi 2 est un diviseur de 10 car 2 × 5 = 10. La notion de diviseur est liée à celle de multiple, car si d divise n alors n est un multiple de d, et à la notion de divisibilité. Le nom vient de l'opération arithmétique de division : si a, b sont des entiers avec b non nul, et si c = a/b est un entier, alors a est le dividende, b le diviseur et c le quotient. Ainsi l'ensemble des diviseurs (positifs) de 10 est {1, 2, 5, 10} et celui de 60 est {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. Si d est un diviseur de n, tout diviseur de d est aussi un diviseur de n.". Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.

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Si la première application de l'expression de la fonction de terminaison caractéristique simple en théorie des nombres est de caractériser numériquement la propriété de divisibilité en générale et la propriété de divisibilité réciproque, en particulier que nous redéfinissons en résumant notre exposé précédent au titre I, comme suit:

La propriété de la divisibilité notée n|a, de la variable a, avec a>0 ∧ a ∈ R, par n, ∀ n ∈ N*, a pour expression a/n-⌊a/n⌋=0   (1'), dérivée de l'expression générale a/n-⌊a/n⌋   (1), et dont la suite de nombres représentatifs correspondant aux résultats de ces deux expressions particulières respectives sont proches de ceux d'une suite de nombres de valeurs du sous-ensemble {0;1} de l'ensemble N, d'une fonction caractéristique, si à la valeur de 0 est associé l'existence de la propriété de divisibilité n|a , soit l'expression a/n-⌊a/n⌋=0  (1) correspondante à la division euclidienne de a par n, est exacte, représentée par la valeur du reste de la division a/n est égale à 0; tandis qu'à toutes autres valeurs non nulles, mais qui n'est pas la valeur 1 exclusivement comme le serait le résultat d'une fonction caractéristique, est associé la non existence de la propriété de divisibilité, soit la division euclidienne de a par n est non exacte, représentée par la valeur du reste de la division a/n qui n'est pas égal à 0. La fonction caractéristique de la propriété de la divisibilité est définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}:

• 1A(n|a)=1, si a/n-n/a=0

• 1A(n|a)=0, si a/n-n/a≠0

L'expression de cette fonction caractéristique de la divisibilité, donc de l'expression caractérisée a(n)=a/n (0), est définie comme suit:
∀ a∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n)=⌈|a/n|/(|a/n|+1)⌉   (2), correspondant donc exactement à la représentation de la propriété existante ou non de la divisibilité de a par n, notée 1A(n|a), soit la valeur de 1 si la propriété de divisibilité n'existe pas, car la valeur de 1 symbolise un reste de la division euclidienne de a par n, a(n)=a/n  (0), dont le reste est différent de 0; ou la valeur de 0 si cette propriété existe, car la valeur de 0 symbolise un reste de la division euclidienne de a par n, a/n  (0) dont le reste est égal à 0.

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1.1.c) L'expression de la fonction de terminaison caractéristique simple équivalente à l'expression de la propriété de divisibilité réciproque 

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La propriété de la divisibilité réciproque est notée n|a ↔ a|n, dont la définition est, ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ R-{0}: a ∈ {S ⊆ N*: n|a})↔a ∈ {S ⊆ N*: a|n}, dont la fonction caractéristique est définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}:

• 1A(a/n-n/a)=1 si a/n-n/a=0
• 1A(a/n-n/a)=0 si a/n-n/a≠0

L'expression de cette fonction caractéristique de a(n)=a/n-n/a  (3), est définie comme suit:

∀ a ∈ SeqA ⊆ R - {0}, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n-n/a)=1-⌈|a/n-n/a|/(|a/n-n/a|+1)⌉ (4).

Nous obtenons l'expression d'une fonction caractéristique correspondante à cette propriété de divisibilité réciproque dont la représentation par une suite de nombres de valeurs du sous-ensemble {0;1} n'a plus qu'un seul élément de valeur égale à 1 correspondant au seul cas ou a/n-n/a=0.

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1.1.d) L'expression de la fonction de terminaison caractéristique simple équivalente à l'expression de la propriété de diviseur 

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La fonction caractéristique de la relation de diviseur entre n ∈ N* et la variable a, telle que n est un diviseur de a, si et seulement s'il existe un entier x tel que x*n=a, est définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=1 si a/n-⌊a/n⌋=0

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=0 si a/n-⌊a/n⌋≠0

L'expression de cette fonction caractéristique de a(n)=a/n-⌊a/n⌋ (5), est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n-⌊a/n⌋)=1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ (6).

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La fonction caractéristique de la relation de diviseur entre n ∈ N*-{1} et la variable a, telle que donc n>1 est un diviseur de a, si et seulement s'il existe un entier x tel que x*n=a, avec x≠a, est définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=1 si a/n-⌊a/n⌋=0  ∧  n≠1

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=0 si a/n-⌊a/n⌋≠0 ∨ n=1

L'expression de cette fonction caractéristique de a(n)=a/n-⌊a/n⌋ (5), est définie comme suit:

∀ a ∈ N*,∀ n ∈ N*-{1}: 1A(a/n-⌊a/n⌋)=(n*mod(1,x)-mod(n,x))/n-((n-1)*mod(1,x)-mod((n-1)))/n (7)

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La fonction caractéristique de la relation de diviseur entre n ∈ N* et la variable a, telle que n est un diviseur de a, si et seulement s'il existe un entier x tel que x*n=a, avec x=1 ou x=a, est définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=1 si a/n-⌊a/n⌋=0 ∧ n=1 ∨ si a/n-⌊a/n⌋=0 ∧ n=a

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=0 si a/n-⌊a/n⌋≠0 ∨ si a/n-⌊a/n⌋=0 ∧ n≠a ∧ n≠1

L'expression de cette fonction caractéristique de a(n)=a/n-⌊a/n⌋ (5), est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n-⌊a/n⌋)=⌊(a/n+n-1)/a⌋-⌊(n*a+n-1)/a⌋+n (8)

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1.1.e) L'expression de la fonction de terminaison caractéristique simple équivalente à l'expression de la propriété de non diviseur 

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La fonction caractéristique de la relation de non diviseur entre n ∈ N* et la variable a, telle que n n'est pas un diviseur de a, si et seulement s'il n'existe pas un entier x tel que x*n=a, est définie comme suit:

 1A: E→ {0,1}

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=1 si a/n-⌊a/n⌋≠0

• 1A(a/n-⌊a/n⌋)=0 si a/n-⌊a/n⌋=0

L'expression de cette fonction caractéristique de a(n)=a/n-⌊a/n⌋ (5), est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n-⌊a/n⌋)=(⌈a/n-⌊a/n⌋⌉)*(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)  (9)

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1.1.f) L'expression de la fonction de terminaison caractéristique simple équivalente à l'expression de la relation de co-primalité des non-diviseurs

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"Deux entiers a et b sont premiers entre eux, ou qu’a est premier avec b ou premier à b ou encore qu’a et b sont co-premiers (ou encore étrangers) si leur plus grand commun diviseur est égal à 1; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun. Par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu'ils sont tous les deux divisibles par 3. 1 est premier avec tout entier ; 0 est uniquement premier avec 1 et –1. Les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1.Cette condition équivaut à: b a un inverse pour la multiplication modulo a, c'est-à-dire: il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a). "Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.

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"En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10.". Extrait de Wikipédia l'encyclopédie libre.

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La fonction caractéristique de la relation de co-primalité et de la relation de non diviseur entre n ∈ N* et la variable a ∈ N*, telle que n n'est pas un diviseur de a, si et seulement s'il n'existe pas un entier x tel que x*n=a, et telle que n et a sont co-premiers si leur plus grand commun diviseur est égal à 1, est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A((a/n-⌊a/n⌋)) ∪ 1A(pgcd(n,a))=1 si a/n-⌊a/n⌋≠0 ∧ pgcd(n,a)=1 ∨ si a/n-⌊a/n⌋=0 ∧ pgcd(n,a)=1

• 1A(a/n-⌊a/n⌋) ∪ 1A(pgcd(n,a))=0 si a/n-⌊a/n⌋=0 ∧ pgcd(n,a)>1 ∨  si a/n-⌊a/n⌋≠0 ∧ pgcd(n,a)>1

L'expression de cette fonction caractéristique de a(n)=a/n-⌊a/n⌋ ∪ a(n)=pgcd(n,a)  (10), est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(a/n-⌊a/n⌋) ∪ 1A(pgcd(n,a))=(1-⌈(pgcd(n,a)-1)/pgcd(n,a)⌉)*(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (11).

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Une autre définition plus conventionnelle (car sans le signe de l'opération sur les ensembles, d'union) de la fonction caractéristique de la relation de co-primalité et de la relation de non diviseur entre n ∈ N* et la variable a ∈ N*, telle que n n'est pas un diviseur de a, si et seulement s'il n'existe pas un entier x tel que x*n=a, et telle que n et a sont co-premiers si leur plus grand commun diviseur est égal à 1, est comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A((a/n-⌊a/n⌋)*pgcd(n,a))=1 si (a/n-⌊a/n⌋)*pgcd(n,a)≠0 ∧ pgcd(n,a)=1 ∨ si (a/n-⌊a/n⌋)*pgcd(n,a)=0 ∧ pgcd(n,a)=1

• 1A((a/n-⌊a/n⌋)*pgcd(n,a))=0 si (a/n-⌊a/n⌋)*pgcd(n,a)=0 ∧ pgcd(n,a)>1 ∨ si a/n-⌊a/n⌋≠0 ∧ pgcd(n,a)>1

L'expression de cette fonction caractéristique de a(n)=((a/n-⌊a/n⌋)*pgcd(n,a)) (12), est définie comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A((a/n-⌊a/n⌋)*pgcd(n,a))=(1-⌈(pgcd(n,a)-1)/pgcd(n,a)⌉)*(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (11').

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∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ)

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ