Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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La somme des puissances v-ième des n premiers entiers consécutifs strictement positifs est notée Sᵥ(n)=1ⱽ+2ⱽ+3 ⱽ +... + n ⱽ (v ∈ N) sous leur forme développé dans l'image au dessus et sous leur formes factorisés au dessous.
En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois.
En arithmétique, un nombre figuré est un nombre entier qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon plus ou moins régulière et formant une figure géométrique. On range les nombres figurés suivant la dimension de la figure représentée. Celle-ci est très fréquemment un polytope et le nombre est alors appelé un nombre polytopique.
En dimension 1
Les nombres linéaires sont les entiers classiques.
En dimension 2
Les nombres polygonaux (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux, octogonaux ou gnomoniques).
Les nombres polygonaux centrés (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux, octogonaux).
En dimension 3
Les nombres tétraédriques.
Les nombres cubiques et cubiques centrés.
Les nombres octaédriques et octaédriques centrés.
En dimension supérieure
Les nombres figurés ne sont plus représentables par des figures correspondant au monde tangible mais sont considérés comme des vues de l'esprit
nombre hypersolide (en dimension quatre)
nombre Dn (en dimension n)
L'étude des nombres figurés consiste en général à trouver une relation entre le nombre lui-même et son rang dans la série. Par exemple, le nombre triangulaire de rang n est n(n + 1)/2. Le nombre cubique de rang n est n³. Les concepts des nombres figurés font intervenir implicitement le concept « moderne » de récurrence.
Un Gnomon
Les nombres figurés étaient une préoccupation des mathématiques de Pythagore, et Pythagore est crédité de la notion que ces nombres sont générés à partir d'un gnomon ou d'une unité de base. Le gnomon est la pièce qui doit être ajoutée à un numéro figuré pour le transformer en un numéro plus grand.
Dans le cadre de l'étude des nombres figurés, le gnomon est une disposition de points dans un plan, représentant un nombre, et formant un modèle qui permet d'obtenir, par juxtaposition à la figure correspondant à un nombre figuré de la suite, la figure du nombre de rang suivant.Parmi les nombres figurés, le nombre gnomonique est initialement le nombre qui dessine un gnomon. Le gnomon en grec signifie équerre, on le retrouve dans les cadrans solaires et en géométrie comme différence de deux rectangles. C'est ainsi que les premiers nombres gnomoniques sont issus de la différence de deux carrés. Plus généralement, le gnomon est le morceau qui doit être ajouté à un graphique représentant un nombre figuré pour le transformer en le graphique représentant le nombre figuré de même type au rang suivant. Le nombre de points constituant le gnomon est alors appelé nombre gnomonique. Dans le cadre de l'étude des nombres figurés, le gnomon est une disposition de points dans un plan, représentant un nombre, et formant un modèle qui permet d'obtenir, par juxtaposition à la figurecorrespondant à un nombre figuré de la suite, la figure du nombre de rang suivant. Le carré de taille 8 composé de gnomons ressemble à ceci:
Les nombres gnomoniques des nombres triangulaires sont les nombres linéaires 2, 3, 4, etc. car, pour passer du nombre triangulaire de rang n au nombre triangulaire de rang n + 1 il suffit d'ajouter un gnomon constitué d'un segment de n + 1 points.
Les nombres gnomoniques carrés de rang 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sont donc les nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
Pour transformer un carré de n× n éléments en un carré de (n+1)×(n+1) éléments, on adjoint 2n + 1 éléments
On peut remarquer que cette technique gnomonique fournit également une vérification géométrique dans le cas particulier n=8, que la somme des n premiers nombres impairs est égale à n2 ; en effet la figure montre bien que 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82.
Les nombres gnomoniques des nombres carrés sont donc tous les nombres impairs. Le nombre gnomonique de rang n est 2n -1.
Les nombres gnomoniques des nombres triangulaires sont les nombres linéaires 2, 3, 4, etc. car, pour passer du nombre triangulaire de rang n au nombre triangulaire de rang n + 1 il suffit d'ajouter un gnomon constitué d'un segment de n + 1 points.
Les nombres gnomoniques carrés de rang 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sont donc les nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
Pour transformer un carré de n× n éléments en un carré de (n+1)×(n+1) éléments, on adjoint 2n + 1 éléments
- un à la fin de chaque rangée (n éléments),
- un à l'extrémité de chaque colonne (n éléments),
- et un seul dans le coin.
On peut remarquer que cette technique gnomonique fournit également une vérification géométrique dans le cas particulier n=8, que la somme des n premiers nombres impairs est égale à n2 ; en effet la figure montre bien que 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82.
Les nombres gnomoniques des nombres carrés sont donc tous les nombres impairs. Le nombre gnomonique de rang n est 2n -1.
Les nombres harmoniques sont la somme des inverses des nombres successifs de 1 à n:
Pour tout entier strictement positif n, on désigne par Hn la somme : Hn=1+1/2+1/3+⋯+1/n=∑k=1→n:1/k des inverses des n premiers entiers. Le « nième nombre harmonique » est la somme des inverses des n premiers entiers naturels non nuls;